2016届高考数学一轮复习教学案
平面向量的数量积与平面向量应用举例
[知识能否忆起]
一、两个向量的夹角
1．定义
已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做
向量a与b的夹角．
2．范围
向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.
3．向量垂直
如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.
二、平面向量数量积
1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．
规定0·a＝0.
当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.
2．a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.
2．a⊥b?a·b＝0.
3．a ·a ＝|a |2，|a |＝a ·a .
4．cos θ＝a ·b
|a ||b |.(θ为a 与b 的夹角)
5．|a ·b |≤|a ||b |. 四、数量积的运算律 1．交换律：a ·b ＝b ·a .
2．分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 3．对λ∈R ，λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )． 五、数量积的坐标运算
设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则： 1．a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. 2．a ⊥b ?a 1b 1＋a 2b 2＝0. 3．|a |＝
a 21＋a 22.
4．cos θ＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2
a 21＋a 22
b 21＋b 22
.(θ为a 与b 的夹角)
[小题能否全取]
1．已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A ．|a |＝
a·a
B ．|a·b |＝|a |·|b |
C ．λ(a·b )＝λa·b
D ．|a·b |≤|a |·|b |
解析：选B |a·b |＝|a |·|b ||cos θ|，只有a 与b 共线时，才有|a·b |＝|a ||b |，可知B 是错误的．
2．已知|a |＝4，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，则b 在a 方向上的投影为( ) A ．2
B.3
2 C ．－2
D ．－32
解析：选D |b |cos θ＝3cos 120°＝－3
2
.
3．(2012·重庆高考)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A.
5 B.
10
C ．2 5
D ．10
解析：选B ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即x －2＝0，∴x ＝2. ∴a ＝(2,1)，∴a 2＝5，b 2＝5，|a ＋b |＝
a ＋
b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋5＝10.
4．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量
积a ·b ＝________.
解析：a ·b ＝2×3×3
2
＝3.
答案：3
5．已知|a |＝1，|b|＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角θ＝________. 解析：∵a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，∴a ·b ＝2＋a 2＝3. ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝3
1×6＝12.∴向量a 与b 的夹角为π
3.
答案：π
3
1.对两向量夹角的理解
(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．
(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.
(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围． 2．向量运算与数量运算的区别
(1)若a，b∈R，且a·b＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却不能得出a＝0或b＝0.
(2)若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c.
(3)若a，b，c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(a·b)·c 与a·(b·c)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．
(4)若a，b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．
典题导入
[例1] (1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( ) A．6 B．5
C．4 D．3
(2) (2012·浙江高考)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________.
[自主解答] (1)8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，
所以(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝30.
即18＋3x＝30，解得x＝4.
(2) 如图所示，∵AB＝AM＋MB，AC＝AM＋MC―→＝
AM－MB，
∴AB·AC＝(AM＋MB)·(AM－MB)＝AM2－MB2＝
|AM |2－|MB |2＝9－25＝－16.
[答案] (1)C (2) －16
由题悟法
平面向量数量积问题的类型及求法
(1)已知向量a ，b 的模及夹角θ，利用公式a·b ＝|a ||b |·cos θ求解； (2)已知向量a ，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解．
以题试法
1．(1)(2012·天津高考)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ) AC ，λ∈R .若BQ ·CP ＝－2，则λ＝( )
A.13
B.23
C.43
D ．2
解析：选B 由题意可知BQ ＝AQ －AB ＝(1－λ) AC －AB ，
CP ＝AP －AC ＝λAB －AC ，且AB ·AC ＝0，故BQ ·CP ＝－(1－λ) AC 2－λAB 2＝－2.又|AB |＝1，|AC |＝2，代入上式解得λ＝2
3
.
(2)(2011·江西高考)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π
3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝
3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.
解析：b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，
则b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22.
又因为e 1，e 2为单位向量，夹角为π
3，
所以b 1·b 2＝3－2×1
2
－8＝3－1－8＝－6.
答案：－6
典题导入
[例2] (1)(2012·福州质检)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°，a＋b＋c＝0，则a与c的夹角为( )
A．150°B．90°
C．60° D．30°
(2)(2011·新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b 与向量k a－b垂直，则k＝________.
[自主解答] (1)∵a·b＝1×2×cos 120°＝－1，c＝－a－b，∴a·c＝a·(－a－b)＝－a·a －a·b＝－1＋1＝0，∴a⊥c.
∴a与c的夹角为90°.
(2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1.
又k a－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(k a－b)＝0，
即k a2＋k a·b－a·b－b2＝0.
∴k－1＋k a·b－a·b＝0.
即k－1＋k cos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)．
∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线，
∴cos θ≠－1.∴k＝1.
[答案] (1)B (2)1
若本例(1)条件变为非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，试求a与b的夹角．解：设|a|＝m(m>0)，a，b的夹角为θ，由题设知(a＋b)2＝c2，即2m2＋2m2cos θ
＝m 2，得cos θ＝－1
2
.又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a ，b 的夹角为120°.
由题悟法
1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律；
(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．
2．当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求得a·b 及|a |，|b |或得出它们的关系．
以题试法
2．(1)设向量a ＝(x －1,1)，b ＝(－x ＋1,3)，则a ⊥(a －b )的一个充分不必要条件是( ) A ．x ＝0或2 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝±2
(2)已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝a ＋λb (λ∈R )，向量d 如图所示，则( )
A ．存在λ>0，使得向量c 与向量d 垂直
B ．存在λ>0，使得向量c 与向量d 夹角为60°
C ．存在λ<0，使得向量c 与向量d 夹角为30°
D ．存在λ>0，使得向量c 与向量d 共线
解析：(1)选B a ＝(x －1,1)，a －b ＝(x －1,1)－(－x ＋1,3)＝(2x －2，－2)，故a ⊥(a －b )?2(x －1)2－2＝0?x ＝0或2，故x ＝2是a ⊥(a －b )的一个充分不必要条件．
(2)选D 由图可知d ＝4a ＋3b ＝4? ??
??
a ＋34
b ，故D 正确；对于A ，由图知若向量
c 与
向量d 垂直，则有λ<0；对于B ，若λ>0，则由图观察得向量c 与向量d 夹角小于60°；对于C ，若λ<0，则向量c 与向量d 夹角大于30°.
典题导入
[例3] 设向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3，a ·(a －b )＝0，则|2a ＋b |＝( ) A ．2 B ．2 3 C ．4
D ．4
3
[自主解答] 由a ·(a －b )＝0，可得a ·b ＝a 2＝1， 由|a －b |＝
3，可得(a －b )2＝3，即a 2－2a ·b ＋b 2＝3，解得b 2＝4.
故(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝12，故|2a ＋b |＝2 3.
[答案] B
由题悟法
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)|a |2＝a 2＝a ·a ；
(2)|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2； (3)若a ＝(x ，y )则|a |＝
x 2＋y 2.
以题试法
3．(2012·聊城质检)已知向量a ＝(sin x,1)，b ＝?
????
cos x ，－12.
(1)当a ⊥b 时，求|a ＋b |的值； (2)求函数f (x )＝a ·(b －a )的最小正周期． 解：(1)由已知得a·b ＝0， |a ＋b |＝
a ＋
b 2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝a 2＋b 2
＝ sin 2x ＋1＋cos 2x ＋
1
4＝32
. (2)∵f (x )＝a·b －a 2＝sin x cos x －1
2－sin 2x －1
＝12sin 2x －1－cos 2x 2－32＝22sin ? ?
???2x ＋π4－2，
∴函数f (x )的最小正周期为π.
典题导入
[例4] (2012·太原模拟)已知f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)(x
∈R )．
(1)求f (x )的周期和单调递减区间；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，AB ·AC ＝
3，求边长b 和c 的值(b >c )．
[自主解答] (1)由题意知，f (x )＝2cos 2x －
3sin 2x ＝1＋cos 2x －
3sin 2x ＝1＋2cos ?
????
2x ＋π3，
∴f (x )的最小正周期T ＝π，
∵y ＝cos x 在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上单调递减， ∴令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π，得k π－π6≤x ≤k π＋π3
.
∴f (x )的单调递减区间??
????
k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . (2)∵f (A )＝1＋2cos ?
????
2A ＋π3＝－1，
∴cos ?
????
2A ＋π3＝－1.
又π3<2A ＋π3<7π3，∴2A ＋π
3＝π. ∴A ＝π3
.
∵AB ·AC ＝3，即bc ＝6，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc,7＝(b ＋c )2－18，b ＋c ＝5，
又b >c ，∴b ＝3，c ＝2.
由题悟法
向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、夹角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题．
以题试法
4．(1)(2012·朔州调研)质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )
A ．2
7 B ．2
5
C ．2
D ．6
(2)若M 为△ABC 所在平面内一点，且满足(MB －MC )·(MB ＋MC －2MA )＝0，则△ABC 为( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
解析：(1)选A 由已知条件F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－F 1－F 2，F 23＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos
60°＝28.
因此，|F 3|＝2
7.
(2)选B 由(MB －MC )·(MB ＋MC －2MA )＝0，可知CB ·(AB ＋AC )＝0，设
BC 的中点为D ，则AB ＋AC ＝2AD ，故CB ·AD ＝0.所以CB ⊥AD .又D 为BC 的中
点，故△ABC 为等腰三角形
1．(2012·豫东、豫北十校阶段性测试)若向量a ＝(x ＋1,2)和向量b ＝(1，－1)平行，则|a ＋b |＝( )
A.
10
B.102
C. 2
D.
22
解析：选C 依题意得，－(x ＋1)－2×1＝0，得x ＝－3，故a ＋b ＝(－2,2)＋(1，－1)＝(－1,1)，所以|a ＋b |＝
－
2＋12＝
2.
2．(2012·山西省考前适应性训练)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为( )
A.
13
B.135
C.65
D.655
解析：选D 依题意得，向量a 在b 方向上的投影为
a ·b
|b |
＝
－＋3×7－2＋72＝65
5
. 3．已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量AB ＝(1,1)，n ＝(1，－1)，且n ·AC ＝2，则n ·BC 等于( )
A ．－2
B ．2
C ．0
D ．2或－2
解析：选B n ·BC ＝n ·(BA ＋AC )＝n ·BA ＋n ·AC ＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0
＋2＝2.
4．(2012·湖南高考)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB ·BC ＝1，则BC ＝( ) A.
3
B.7 C ．2 2
D.
23
解析：选A ∵AB ·BC ＝1，且AB ＝2， ∴1＝|AB ||BC |cos(π－B )，∴|BC |cos B ＝－1
2.
在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ， 即
9＝4＋BC 2－2×2×
? ??
??
－12. ∴BC ＝
3.
5．已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2
3
3
|a |，则a ＋b 与a －b 的夹角θ为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
解析：选B 将|a ＋b |＝|a －b |两边同时平方得a·b ＝0； 将|a －b |＝
233|a |两边同时平方得b 2＝1
3
a 2，
所以cos θ＝
a ＋
b a －b
|a ＋b |·|a －b |
＝
a 2－
b 243
a 2
＝1
2
.
6．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝3BD ，|AD |＝1，则AC ·AD ＝( )
A ．2 3
B ．3 3
C.
32
D.
3
解析：选D 建系如图．
设B (x B,0)，D (0,1)，C (x C ，y C )，BC ＝(x C －x B ，y C )，
BD ＝(－x B,1)，
∵BC ＝
3BD ，∴x C －x B ＝－
3x B ?x C ＝(1－3)·x B ，y C ＝
3，AC ＝((1－
3)x B ，
3)，AD ＝(0,1)，AC ·AD ＝
3.
7．(2013·“江南十校”联考)若|a |＝2，|b |＝4，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角是________．
解析：设向量a ，b 的夹角为θ.由(a ＋b )⊥a 得(a ＋b )·a ＝0，即|a |2＋a ·b ＝0，∵|a |＝2，∴a ·b ＝－4，∴|a |·|b |·cos θ＝－4，又|b |＝4，∴cos θ＝－12，即θ＝2π
3.∴向量a ，b 的夹角
为2π
3
. 答案：2π3
8．(2012·新课标全国卷)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |
＝________.
解析：∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |·cos 45°＝
22|b |，
∴|2a －b |2＝4－4×2
2
|b |＋|b |2＝10.∴|b |＝3 2.
答案：3
2
9．(2012·大连模拟)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋
b )⊥(b －
c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN 的模为________．
解析：∵a ∥b ，∴x ＝4.∴b ＝(4，－2)， ∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )． ∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0， 即6－3(－2－y )＝0，解得y ＝－4.
∴向量MN ＝(－8,8)，∴|MN |＝8 2.
答案：8
2
10．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n )，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ；
(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 解：(1)∵a ·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4，
∴cos 45°＝
2n －25·
n 2＋4
＝
22
，
∴3n 2－16n －12＝0(n >1)．
∴n ＝6或n ＝－2
3(舍)．∴b ＝(－2,6)．
(2)由(1)知，a ·b ＝10，|a |2＝5. 又∵c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)． ∵(c －a )·a ＝0，
∴λb ·a －|a |2＝0.∴λ＝|a |2b ·a ＝510＝1
2.
∴c ＝1
2
b ＝(－1,3)．
11．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?
解：由已知得，a ·b ＝4×8×? ??
??
－12＝－16.
(1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝16＋2×(－16)＋64＝48， ∴|a ＋b |＝4
3.
②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2
＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a －2b |＝16
3.
(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )， ∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0， ∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0， 即16k －16(2k －1)－2×64＝0. ∴k ＝－7.
即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．
12．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝? ??
???－12，
32.
(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直； (2)当向量
3a ＋b 与a －
3b 的模相等时，求α的大小．
解：(1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－? ??
??
14＋34＝0， 所以a ＋b 与a －b 垂直． (2)由|
3a ＋b |＝|a －
3b |，两边平方得
3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－2
3a·b ＋3|b |2，
所以2(|a |2－|b |2)＋4
3a·b ＝0.
而|a |＝|b |，所以a·b ＝0，
则? ??
??－12×cos α＋32×sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0，
所以α＋60°＝k ·180°＋90°， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z .
又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°.
1．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )
A ．a ∥b
B ．a ⊥b
C ．|a |＝|b |
D ．a ＋b ＝a －b
解析：选B 因为|a ＋b |＝|a －b |，所以(a ＋b )2＝(a －b )2，即a ·b ＝0，故a ⊥b . 2．(2012·山东实验中学四诊)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB ＋AC ＝2AO ，且|OA |＝|AC |，则向量BA 在向量BC 方向上的射影为( )
A.32
B.32
C ．3
D ．－
32
解析：选A 由已知条件可以知道，△ABC 的外接圆的圆心在线段BC 的中点O 处，因此△ABC 是直角三角形，且∠A ＝π2.又|OA |＝|CA |，所以∠C ＝π3，∠B ＝π
6，AB ＝
3，AC
＝1，故BA 在BC 上的射影|BA |cos π6＝3
2
.
3．已知AB ＝(6,1)，BC ＝(x ，y )，CD ＝(－2，－3)． (1)若BC ∥DA ，求x 与y 之间的关系式；
(2)在(1)条件下，若AC ⊥BD ，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积． 解：(1)∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝(x ＋4，y －2)， ∴DA ＝－AD ＝(－x －4,2－y )． 又∵BC ∥DA 且BC ＝(x ，y )， ∴x (2－y )－y (－x －4)＝0， 即x ＋2y ＝0.①
(2)由于AC ＝AB ＋BC ＝(x ＋6，y ＋1)，
BD ＝BC ＋CD ＝(x －2，y －3)，
又AC ⊥BD ， 所以AC ·BD ＝0，
即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0.② 联立①②化简，得y 2－2y －3＝0. 解得y ＝3或y ＝－1. 故当y ＝3时，x ＝－6，
此时AC ＝(0,4)，BD ＝(－8,0)， 所以S ABCD ＝1
2|AC |·|BD |＝16；
当y ＝－1时，x ＝2，
此时AC ＝(8,0)，BD ＝(0，－4)， ∴S ABCD ＝1
2
|AC |·|BD |＝16.
1．△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB ＝a ，CA ＝b ，a ·b ＝0， |a |＝1，|b |＝2，则AD ＝( ) A.13a －1
3b
B.23a －2
3b C.35a －3
5
b
D.45a －45
b 解析：选D 如图，∵a ·b ＝0，∴a ⊥b ，∴∠ACB ＝90°， ∴AB ＝
AC 2＋BC 2＝ 5.
又CD ⊥AB ，
∴AC 2＝AD ·AB ，∴AD ＝
455.
∴AD ＝4
5AB ＝45(a －b )＝45a －4
5
b .
2．(2012·郑州质检)若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12
B ．2
3
C ．3 2
D ．6
解析：选D 依题意得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2,9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y ＝
2
32x ＋y ＝2
32＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y 的最小值是6.
3．(2012·山西省四校联考)在△OAB (O 为原点)中，OA ＝(2cos α，2sin α)，OB ＝(5cos β，5sin β)，若OA ·OB ＝－5，则△OAB 的面积S ＝( )
A.
3
B.3
2 C ．5 3
D.
532
解析：选D 设∠AOB ＝θ，由|OA |＝2，|OB |＝5，OA ·OB ＝－5，得cos θ＝
－5
2×5＝－12，sin θ＝32，所以S ＝12|OA |·|OB |sin θ＝12×2×5×32＝532
.
4． (2012·上海高考)在矩形ABCD 中，边AB ，AD 的长分别为2,1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM ||BC |＝|CN ||CD |
，则AM ·AN 的取值范围是________．
解析：如图所示，设|BM ||BC |＝|CN |
|CD |
＝λ(0≤λ≤1)，则BM ＝λBC ，
CN ＝λCD ，DN ＝CN －CD ＝(λ－1) CD ，
所以AM ·AN ＝(AB ＋BM )·(AD ＋DN ) ＝(AB ＋λBC )·[AD ＋(λ－1) CD ] ＝(λ－1) AB ·CD ＋λBC ·AD ＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，
故当λ＝0时，AM ·AN 取得最大值4；当λ＝1时，AM ·AN 取得最小值1. 因此AM ·AN ―→∈[1,4]． 答案：[1,4]