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高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数:第8节 二次函数

高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数:第8节  二次函数
高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数:第8节  二次函数

第8节 二次函数

【基础知识】

1.一次函数与二次函数的解析式

(1)一次函数:y =kx +b (k ,b 为常数,且k ≠0). (2)二次函数

①一般式:f (x )=ax 2+bx +c _(a ≠0). ②顶点式:f (x )=a (x -m )2+n (a ≠0). ③零点式:f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)_(a ≠0). 2.一次函数与二次函数的定义及性质

(1)一般式:()2

()0f x ax bx c a ≠=++;

(2)顶点式:若二次函数的顶点坐标为()h k ,,则其解析式为()2

())0(f x a x h k a ≠=-+;

(3)两根式:若相应一元二次方程的两根为12,x x ,则其解析式为

()12()(0)()f x a x x x x a ≠=--.

4、二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”,它们常有机结合在一起,而二次函数又是“三个二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体.因此,有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.用函数思想研究方程、不等式(尤其

是恒成立)问题是高考命题的热点.

5、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系

当0?

?20(0)ax bx c ++><的解集为?或者是R;

当0?=?()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴相切?20ax bx c ++=有两个相等的实根

?20(0)ax bx c ++><的解集为?或者是R;

当0?>?()f x =

2ax bx c ++的图像与x 轴有两个不同的交点?2

0ax bx c ++=有两个不等的实根? 2

0(0)ax bx c ++><的解集为(,)αβ()αβ<或者是

(,)(,)αβ-∞+∞ .

二次函数根的分布:

设一元二次方程02=++c bx ax (0≠a )的两实根为1x ,2x ,且21x x ≤.k 为常数.则一元二次方程根的k 分布(即1x ,2x 相对于k 的位置)有以下若干定理.

【定理1】21x x k ≤

???????

>->≥-=?k a

b k af a

c b 20)(042;

【定理2】k x x <≤21?

????

???

<->≥-=?k a

b k af a

c b 20)(0

42;

【定理3】21x k x <

.

推论1 210x x <

【定理4】2211k x x k <≤>>≥-=?2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或???

??

?

?????

<-<<<<≥-=?212

1220

)(0)(004k a b k k f k f a ac b

【定理5】221211p x p k x k <<≤<<<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或?????

????<>><<0

)(0

)(0)(0

)(0

21

21p f p f k f k f a

【定理6】在区间(,)a b 内有且只有一根,则()()0f a f b ≤,且检验等号.

【规律技巧】

1、根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:

2、二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论;

3、二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.

二次函数求最值问题,一般先用配方法化为y=a(x-m)2+n的形式,得顶点(m,n)和对称轴4、方程x=m,结合二次函数的图象求解,常见有三种类型:

(1)顶点固定,区间也固定;

(2)顶点含参数(即顶点为动点),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之外;

(3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数.

讨论的目的是确定对称轴和区间的关系,明确函数的单调情况,从而确定函数的最值.二次方程根的分布问题,通常转化为相应二次函数与x轴交点的个数问题,结合二次函数的图象通过对称轴,判别式Δ,相应区间端点函数值来考虑.

【典例讲解】

例1、已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数.

【拓展提高】

二次函数有三种形式的解析式,要根据具体情况选用:如和对称性、最值有关,可选用顶点式;和二次函数的零点有关,可选用零点式;一般式可作为二次函数的最终结果.【变式探究】已知二次函数f(x)同时满足条件:

(1)f(1+x)=f(1-x);

(2)f(x)的最大值为15;

(3)f(x)=0的两根平方和等于17.

求f (x )的解析式.

【解析】依条件,设f (x )=a (x -1)2+15 (a <0), 即f (x )=ax 2-2ax +a +15.

令f (x )=0,即ax 2-2ax +a +15=0, ∴x 1+x 2=2,x 1x 2=1+15

a

.

x 21+x 22=(x 1+x 2)2

-2x 1x 2

=4-2????1+15a =2-30

a =17, ∴a =-2,∴f (x )=-2x 2+4x +13.

例2、已知函数f (x )=x 2+2ax +3,x ∈[-4,6]. (1)当a =-2时,求f (x )的最值;

(2)求实数a 的取值范围,使y =f (x )在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当a =1时,求f (|x |)的单调区间. 【拓展提高】

(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论;(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.

【变式探究】 若函数f (x )=2x 2+mx -1在区间[-1,+∞)上递增,则f (-1)的取值范围是____________.

【答案】(-∞,-3]

【解析】 ∵抛物线开口向上,对称轴为x =-m

4,

∴-m

4

≤-1,∴m ≥4.

又f (-1)=1-m ≤-3,∴f (-1)∈(-∞,-3].

例3、若二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)满足f (x +1)-f (x )=2x ,且f (0)=1. (1)求f (x )的解析式;

(2)若在区间[-1,1]上,不等式f (x )>2x +m 恒成立,求实数m 的取值范围. 【拓展提高】

二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,而二次函数又

是“三个二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体.因此,有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.

【变式探究】已知函数f (x )=x 2+mx +n 的图象过点(1,3),且f (-1+x )=f (-1-x )对任意实数都成立,函数y =g (x )与y =f (x )的图象关于原点对称.

(1)求f (x )与g (x )的解析式;

(2)若F (x )=g (x )-λf (x )在(-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围. 【答案】(2)∵F (x )=g (x )-λf (x )=-(1+λ)x 2+(2-2λ)x , 当λ+1≠0时,F (x )的对称轴为x =2-2λ2 1+λ =1-λ

λ+1,

又∵F (x )在(-1,1]上是增函数. ∴????? 1+λ<01-λ1+λ≤-1或????

?

1+λ>01-λ1+λ≥1.

∴λ<-1或-1<λ≤0.

当λ+1=0,即λ=-1时,F (x )=4x 显然在(-1,1]上是增函数. 综上所述,λ的取值范围为(-∞,0].

【针对训练】

1、已知二次函数的图象经过三点01A (,),12B (,),21C -(,)那么这个二次函数的解析式为

______.

【答案】2

231y x x =-++

2、已知:抛物线与x 轴交于(-2,0),(4,0)两点,且过点为(1,-2

9

),则函数解析式为______. 【答案】2

142

y x x =

-- 【综合点评】利用待定系数法求二次函数解析式的过程中注意选择合适的表达式,这是解题的关键所在;另外要注意在做题过程中体会:数形结合思想,方程思想,函数思想的应用.

3、设二次函数()22f x ax ax c =-+在区间[]0,1上单调递减,且()()0f m f ≤,则实数m

的取值范围是 ( )

( )

A .(-∞,0]

B .[2,+∞)

C .(-∞,0]∪[2,+∞)

D .[0,2]

【答案】 D

4、一次函数y ax b =+与二次函数2y ax bx c =++在同一坐标系中的图象大致是( )

【答案】 C

5、已知函数()2

f x x x c =++,若()()000f f p >,<,则必有( )

A .1()0f p +>

B .1()0f p +<

C .1()0f p +=

D .()1f p +的符号不能确定

【综合点评】1、分析二次函数的图象,主要有两个要点:一个是看二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向;二是看对称轴和最值,它确定二次函数的具体位置.对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断,如函数图象与正半轴的交点,函数图象的最高点与最低点等.

2、抛物线的开口,对称轴位置定义区间三者相互制约,常见的题型中这三者有两定一不定,要注意分类讨论.

6、设二次函数()22f x ax ax c =-+在区间[]0,1上单调递减,且()()0f m f ≤,则实数m

的取值范围是 ( )

( )

A .(-∞,0]

B .[2,+∞)

C .(-∞,0]∪[2,+∞)

D .[0,2]

【答案】 D

7、一次函数y ax b =+与二次函数2

y ax bx c =++在同一坐标系中的图象大致是( )

【答案】 C

8、已知函数()2

f x x x c =++,若()()000f f p >,<,则必有( )

A .1()0f p +>

B .1()0f p +<

C .1()0f p +=

D .()1f p +的符号不能确定

【综合点评】1、分析二次函数的图象,主要有两个要点:一个是看二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向;二是看对称轴和最值,它确定二次函数的具体位置.对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断,如函数图象与正半轴的交点,函数图象的最高点与最低点等.

2、抛物线的开口,对称轴位置定义区间三者相互制约,常见的题型中这三者有两定一不定,要注意分类讨论.

9、一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大,另一根比-1小,则实数a 的取值范围

是 . 【答案】2

03

a <<

10、已知关于x 的方程11()()204

2

x x a -+=在区间[]1,0-上有实数根,则实数a 的取值范围是 . 【答案】[]1,0-

11、若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ,且012αβ<<<<,则m 的取值范围是 .

【答案】5(2,)2

【综合点评】二次方程根的分布问题,通常转化为相应二次函数与x 轴交点的个数问题,结合二次函数的图象通过对称轴,判别式Δ,相应区间端点函数值来考虑.

【练习巩固】

1、已知二次函数()f x 的图象经过点()4,3,它在x 轴上截得的线段长为2,并且对任意

x R ∈,都有()2)2(f x f x -=+,求f (x )的解析式.

2、已知二次函数f (x )同时满足以下条件:

(1)()1)1(f x f x +=-;

(2)()f x 的最大值为15;

(3)()f x =0的两根的立方和等于17. 求()f x 的解析式.

【综合点评】确定二次函数解析式需要三个独立条件,往往从对称轴、顶点坐标、与x 轴的交点以及函数图象经过的定点等方面挖掘等量关系.

3、已知关于x 的方程0322=-+-m mx x 的两个实数根21,x x 满足)0,1(1-∈x ,

),3(2+∞∈x ,则实数m 的取值范围是( )

【答案】B

4、已知函数2

()f x ax x =+(a 为常数),则函数(1)f x -的图象恒过点( ) (A )(1,0)- (B )(0,1) (C )(1,1) (D )(1,0) 【答案】D

【综合点评】二次函数在给定区间的最值问题是通过考虑对称轴和所给区间的位置关系,通过数形结合研究函数的最大值和最小值;当定义域落在对称轴一侧时,二次函数具有单调性.

5、已知函数()2f x ax bx c =++,且,0a b c a b c >>++=,则( )

(A)()0,1x ?∈,都有()0f x > (B) ()0,1x ?∈,都有()0f x < (C)()00,1x ?∈,使得()00f x = (D) ()00,1x ?∈,使得()00f x > 【答案】B

6、若函数2()|(21)(2)|f x mx m x m =-+++恰有四个单调区间,则实数m 的取值范围

( ) A.14m <

B. 14m < 且0m ≠

C. 104m <<

D. 14

m > 【答案】B

7、设函数()f x x x bx c =++,给出下列四个命题:

①0c =时,f (x )是奇函数;

②00b c >=,时,方程()0f x =只有一个实根;

③()f x 的图象关于(0)c ,对称; ④方程()0f x =至多有两个实根. 其中正确的命题是

A .①④

B .①③

C .①②③

D .②④

【答案】C

【综合点评】有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.用函数思想研究方程、不等式 (尤其是恒成立)问题是高考命题的热点. 8、已知二次函数()f x 满足()()()12f x f x x x R +-=∈,且()01f =. (1)求()f x 的解析式;

(2)当[]1,1x ∈-时,方程m x x f +=2)(有解,求实数m 的取值范围; (3)设()()2g t f t a =+,[]1,1t ∈-,求()g t 的最大值. 9

、已知二次函数

的导函数为

,且

>0,

的图象与x

( )

A .3

B .2 D 【答案】C

【综合点评】二次函数在给定区间的最值与开口方向、对称轴和定义域的位置有关系;二次函数的单调性只需让定义域落到对称轴一侧以及考虑开口方向;恒成立问题和有解问题可考虑参变分离.

10、已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=.

(1)若方程有两根,其中一根在区间()1,0-内,另一根在区间()1,2内,求m 的取值范围; (2)若方程两根均在区间()0,1内,求m 的取值范围.

11、是否存在这样的实数a ,使函数()2

31(2)f x x a x a =+-+-在区间上[]1,3-恒有一个

零点,且只有一个零点?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由. 【综合点评】二次函数的根的分布就是对应二次方程的根也即二次函数图象与x 轴交点横坐标的范围,解决该类题的关键是熟练掌握二次函数图象,注意对称轴、判别式、开口方向以及特殊点的函数值,善于运用数形结合思想去分析问题和解决问题.

2()1

f x ax bx =++'()

f x '(0)

f ()

f x

2014高中数学抽象函数专题

2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f (x )的定义域是[-2,2],则函数y = f (x+1)+f (x -1)的定义域为 11≤≤-x 。 解:f(x)的定义域是[]2,2-,意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析:已知f(x)的定义域是A ,求()()x f ?的定义域问题,相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习:已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ,求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2:已知函数()x f 3log 的定义域为[3,11],求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析: 已知函数()()x f ?的定义域是A ,求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。

高中数学二次函数分类讨论经典例题

例1(1)关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根,且一个大于1,一个小于1,求m 的取值范围; (2)关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内,求m 的取值范围; ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外,求m 的取值范围 (4)关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1,求实数a 的值。

解(1)令142)3(2)(2++++=m x m x x f ,∵对应抛物线开口向上,∴方程有两个实根,且一个大于1,一个小于1等价于0)1(?吗?),即.4 21-++++≥+????? ?????≥+-+<+-<≥≥m m m m m m m m m m f f (3)令142)3(2)(2++++=m x m x x f ,原命题等价于 ???<<0)3(0)1(f f 即? ??<++++<++++0142)3(690142)3(21m m m m 得.421-0)4(0g m 或,0 )4(0???>)(恒成立,求实数a 的取 值范围。 解:(1)0)()(恒成立?.)]([min a x f >又当]1,1[-∈x 时, 5)1()]([min -=-=f x f ,所以).5,(--∞∈a 【评注】“有解”与“恒成立”是很容易搞混的两个概念。一般地,对于“有解”与“恒成立”,有下列常用结论:(1)a x f >)(恒成立?a x f >min )]([;(2)a x f <)(恒成立?a x f )(有解?a x f >max )]([;(4)a x f <)(有解?.)]([min a x f < 分析:这是一个逆向最值问题,若从求最值入手,首先应搞清二次项系数a 是否为零,如果)(,0x f a ≠的最大值与二次函数系数a 的正负有关,也与对称轴

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[A 基础达标] 1.函数f (x )=-x 2+4x +5(0≤x <5)的值域为( ) A . (0,5] B .[0,5] C .[5,9] D .(0,9] 解析:选D.f (x )=-x 2+4x +5=-(x -2)2+9(0≤x <5),当x =2时,f (x )最大=9;当x >0且x 接近5时,f (x )接近0,故f (x )的值域为(0,9]. 2.已知函数y =x 2-6x +8在[1,a )上为减函数,则a 的取值范围是( ) A .a ≤3 B .0≤a ≤3 C .a ≥3 D .10时,f (x )的对称轴为x =12a ,在????-∞,12a 上是递减的,由题意(-∞,2)?? ???-∞,12a , 所以2≤12a ,即a ≤14 ,综上,a 的取值范围是????0,14. 4.如果函数f (x )=x 2+bx +c 对任意的实数x ,都有f (1+x )=f (-x ),那么( ) A .f (-2)<f (0)<f (2) B .f (0)<f (-2)<f (2) C .f (2)<f (0)<f (-2) D .f (0)<f (2)<f (-2) 解析:选D.函数f (x )=x 2+bx +c 对任意的实数x 都有f (1+x )=f (-x ).可知函数f (x )图像的对称轴为x =12 ,又函数图像开口向上,自变量离对称轴越远函数值越大,故选D. 5.设二次函数f (x )=-x 2+x +a (a <0),若f (m )>0,则f (m +1)的值为( )

【精品】高中数学函数专题(理科)

专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念,了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一:函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石,也是高考考查的重点内容.在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫. 复习函数的性质,可以从“数”和“形”两个方面,从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手,在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固,在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化.具体要求是: 1.正确理解函数单调性和奇偶性的定义,能准确判断函数的奇偶性,以及函数在某一区间的单调性,能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性. 2.从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性,深化对函数性质几何特征的理解和运用,归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法. 3.培养学生用运动变化的观点分析问题,提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力. 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解. 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.函数y=f(x)在给定区间上的单调性,反映了函数在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制. 对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上,要明确对定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是:函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广,可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x,都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映. 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件,调动相关知识,选择恰当的方法解决问题,是对学生能力的较高要求. 函数的图象是函数性质的直观载体,函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。 因此,掌握函数的图像是学好函数性质的关键,这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面。 1.掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法. 2.会利用函数图象,进一步研究函数的性质,解决方程、不等式中的问题. 3.用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题. 4.掌握知识之间的联系,进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力. 以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法,掌握这两种方法是本节的重点.运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线.要把表列在关键处,要把线连在恰当处.这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究.而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个难点.用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换.这也是个难点. 例1设a>0,求函数 ) ln( ) (a x x x f+ - =(x∈(0,+∞))的单调区间. 分析:欲求函数的单调区间,则须解不等式 ()0 f x '≥ (递增)及 ()0 f x '< (递减)。

高中数学专题:抽象函数常见题型解法

抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。 一、定义域问题 例1. 已知函数 )(2x f 的定义域是[1,2],求f (x )的定义域。 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21 [,-,求函数)] 3([log 2 1x f -的定义域。 二、求值问题 例 3. 已知定义域为+ R 的函数f (x ),同时满足下列条件:① 51 )6(1)2(= =f f ,;② )()()(y f x f y x f +=?,求f (3),f (9)的值。 三、值域问题 例4. 设函数f (x )定义于实数集上,对于任意实数x 、y ,)()()(y f x f y x f =+总成立,且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠,求函数)(x f 的值域。 解:令0==y x ,得2 )]0([)0(f f =,即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ,则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ,对任意R x ∈均成立,这与存在实数21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠成立矛盾,故0)0(≠f ,必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立,因此,对任意R x ∈,有 )]2([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明,对任意0)(≠∈x f R x , 设存在 R x ∈0,使得0)(0=x f ,则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾,因此,对任意0)(≠∈x f R x , 所以0)(>x f 评析:在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适当的赋值,这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题

高中数学-二次函数的性质与图象练习

高中数学-二次函数的性质与图象练习课时过关·能力提升 1函数y=x2-2x+m的单调递增区间为() A.(-∞,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,1] D.[-2,+∞) 解析因为二次函数的图象开口向上,且对称轴为x=1, 所以单调递增区间为[1,+∞). 答案B 2函数f(x)=x2-mx+4(m>0)在(-∞,0]上的最小值是() A.4 B.-4 C.与m的取值有关 D.不存在 解析因为函数f(x)的图象开口向上,且对称轴x=>0, 所以f(x)在(-∞,0]上为减函数, 所以f(x)min=f(0)=4. 答案A 3二次函数y=4x2-mx+5的对称轴为x=-2,则当x=1时,y的值为() A.-7 B.1 C.17 D.25 解析由已知得-=-2,解得m=-16, 故y=4x2+16x+5.当x=1时,y=4×12+16×1+5=25. 答案D 4已知二次函数f(x)=x2-ax+7,若f(x-2)是偶函数,则a的值为()

A.4 B.-4 C.2 D.-2 解析由已知得f(x-2)=(x-2)2-a(x-2)+7=x2-(a+4)x+2a+11. 因为f(x-2)是偶函数, 所以其图象关于y轴对称, 即=0,所以a=-4. 答案B 5已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是() 答案D 6已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是() A.[1,+∞) B.[1,2) C.[1,2] D.(-∞,2] 解析由于y=x2-2x+3=(x-1)2+2,其图象如图所示,且f(0)=3,f(1)=2,f(2)=3.结合图象可知m的取值 范围是[1,2]. 答案C 7已知二次函数f(x)=ax2+bx-1(a≠0).若f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则f(x1+x2)等于() A.- B.- C.-1 D.0 解析由f(x1)=f(x2)可得f(x)图象的对称轴为x=, 故=-,即x1+x2=-,

高中数学教学论文 浅谈二次函数在高中阶段的应用

高中数学教学论文:浅谈二次函数在高中阶段的应用 在初中教材中,对二次函数作了较详细的研究,由于初中学生基础薄弱,又受其接受能力的限制,这部份内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解。进入高中以后,尤其是高三复习阶段,要对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用,对二次函数还需再深入学习。 一、进一步深入理解函数概念 初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射?:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应,记为?(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素X在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题: 类型I:已知?(x)= 2x2+x+2,求?(x+1) 这里不能把?(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值。 类型Ⅱ:设?(x+1)=x2-4x+1,求?(x) 这个问题理解为,已知对应法则?下,定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1,求定义域中元素X的象,其本质是求对应法则。 一般有两种方法: (1)把所给表达式表示成x+1的多项式。 ?(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得?(x)=x2-6x+6 (2)变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。 令t=x+1,则x=t-1 ∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而?(x)= x2-6x+6 二、二次函数的单调性,最值与图象。 在高中阶阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间(-∞,-b2a ]及[-b2a ,+∞)上的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步充分利用函数图象的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。 类型Ⅲ:画出下列函数的图象,并通过图象研究其单调性。

高考数学函数专题习题及详细答案

函数专题练习 1.函数1()x y e x R +=∈的反函数是( ) A .1ln (0)y x x =+> B .1ln (0)y x x =-> C .1ln (0)y x x =--> D .1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+? 是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1(0,)3 (C )11 [,)73 (D )1 [,1)7 3.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠ , 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数,当01x <<时,()l g f x x = 设 63(),(),52a f b f ==5 (),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1 (,)3 -+∞ B . 1 (,1)3 - C . 11 (,)33 - D . 1 (,)3 -∞- 6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ 7、函数()y f x =的反函数1 ()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示),则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称,则 A .()22()x f x e x R =∈ B .()2ln 2ln (0)f x x x => )

高中数学抽象函数专题含答案-教师版

抽象函数周期性的探究(教师版) 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数,所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以特探究一下抽象函数的周期性问题. 利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征,寻找函数的周期,从而解决问题.以下给出几个命题:命题1:若a是非零常数,对于函数y=f(x)定义域的一切x,满足下列条件之一,则函数y=f(x)是周期函数. (1)函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期. (2)函数y=f(x)满足f(x+a)= 1 () f x ,则f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期. (3)函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1,则f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期. : 命题2:若a、b(a b )是非零常数,对于函数y=f(x)定义域的一切x,满足下列条件之一,则函数y=f(x)是周期函数. (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b),则f(x)是周期函数,且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线x=a,x=b对称,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是它的一个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是它的一个周期. (4)函数图象关于直线x=a,及点M(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是它的一个周期. 命题3:若a是非零常数,对于函数y=f(x)定义域的一切x,满足下列条件之一,则函数y=f(x)是周期函数. (1)若f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=a对称,则f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期. (2)若f(x)是定义在R上的奇函数,其图象关于直线x=a对称,则f(x)是周期函数,且4a是它的一个周期. 【 我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3(1),其他命题的证明基本类似. 设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: ①已知A、B→ C (2001年全国高考第22题第二问) ∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a) ) ∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期

高一数学二次函数在闭区间上的最值练习题

第1课 二次函数在闭区间上的最值 一元二次函数的区间最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。 一般分为:对称轴在区间的左边,中间,右边三种情况. 设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ,求)(x f 在][n m x ,∈上的最大值与最小值。 分析:将)(x f 配方,得顶点为???? ? ?--a b ac a b 4422,、对称轴为a b x 2-= 当0>a 时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在[m ,n]上)(x f 的最值: (1)当[]n m a b ,∈-2时,)(x f 的最小值是 a b ac a b f 4422 -= ?? ? ??-, )(x f 的最大值是)()(n f m f 、中的较大者。 (2)当),(2m a b -∞∈- 时,)(x f 在[]n m ,上是增函数则)(x f 的最小值是)(m f ,最大值是)(n f (3)当),(2+∞∈-n a b 时,)(x f 在[]n m ,上是减函数则)(x f 的最大值是)(m f ,最小值是)(n f 当0

成都市东湖中学九上数学《二次函数专题之化斜为直问题》专练

成都市东湖中学九上数学《二次函数专题之化斜为直问题》专练 运用数学思想:①转换思想(坐标与线段的相互转换)②方程思想(几何问题代数化,代数问题方程化)-、基本图形在直角坐标系中: (1) (2) 二、典题练习 1、如图1,抛物线y=ax2-3ax+b经过A(一1,0)C(3,2)两点,与y轴交于点D,与x轴交于另一点B.求此抛物线的解析式; (1)如图2,过点E(1,一1),作EF⊥x轴于点F,将ΔAEF绕平面内某点旋转180后得ΔMNQ(点M、N、Q分别与点A、E、F对应)使点M、N在抛物线上,求M、N坐标。 AM=_________ MB=_________ AB=AM?________=MB?________ 1 = PB AP , P的坐标________ 2 1 = PB AP ,P的坐标________ n PB AP =,P的坐标________

2、如图,已知抛物线y =x 2 一4与x 轴交于A 、B 两点,直线y =2 1 x +b 交抛物线与D 、E 两点. ①若ED =30,求b 的值; ②若ED 交y 轴于P 且PE:PD =1:2,求b 的值; ③若ED 交x 轴于M 且S ΔPOD :S ΔPAD =1:3,求b 的值。 三、巩固练习 1、ΔABO 中,点A 、B 的坐标分别为(2,0)(1,3),若点C 在第一象限,且BC 平行且等于OA ,抛物 线y =cx 2 +bx +c 经过O 、A 、C 三点,点D 是抛物线的顶点.求此抛物线的解析式; (1)在平面内是否存在这样一点Q ,将线段AD 绕点Q 旋转180后得到线段MN ,使点M 在x 轴上,点N 在该抛物线上,若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

(新)高一数学函数专题训练(一)

函数专题训练(一) 一、选择题 1.(文)若函数f(x)的定义域是[0,4],则函数g(x)=f (2x )x 的定义域是( ) A .[0,2] B .(0,2) C .(0,2] D .[0,2) (理)(2013·湖北荆门期末)函数f(x)=1x ln(x 2-3x +2+-x 2-3x +4)的定义域为( ) A .(-∞,-4]∪(2,+∞) B .(-4,0)∪(0,1) C .[-4,0)∪(0,1] D .[-4,0)∪(0,1) 2.(文)(2012·江西文,3)设函数f(x)=????? x 2+1,x ≤1,2x ,x>1.则f(f(3))=( ) A.15 B .3 C.23 D.139 (理)已知函数f(x)=??? 2x +1,x ≤0,f (x -3),x>0, 则f(2014)等于( ) A .-1 B .1 C .-3 D .3 3.已知函数f(x)=??? 2x +1,x<1,x 2+ax ,x ≥1, 若f[f(0)]=4a ,则实数a 等于( ) A.12 B.45 C .2 D .9 4.(2013·银川模拟)设函数f(x)=??? x 2-4x +6,x ≥0,x +6,x<0, 则不等式f(x)>f(1)的解集是( A .(-3,1)∪(3,+∞) B .(-3,1)∪(2,+∞) C .(-1,1)∪(3,+∞) D .(-∞,-3)∪(1,3) 5.(文)函数f(x)=22x -2 的值域是( ) A .(-∞,-1) B .(-1,0)∪(0,+∞)C .(-1,+∞) D .(-∞,-1)∪(0,+∞) (理)若函数y =f(x)的值域是[12,3],则函数F(x)=f(x)+1f (x ) 的值域是( ) A .[12,3] B .[2,103] C .[52,103] D .[3,103] 6.a 、b 为实数,集合M ={b a ,1},N ={a,0},f 是M 到N 的映射,f(x)=x ,则a +b

高中数学二次函数教案人教版必修一

二次函数 一、考纲要求 1、掌握二次函数的概念、图像特征 2、掌握二次函数的对称性和单调性,会求二次函数在给定区间上 的最值 3、掌握二次函数、二次方程、二次不等式(三个二次)之间的紧 密关系,提高解综合问题的能力。 二、高考趋势 由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系,加上三次函数的导数是二次函数,因此二次函数在高中数学中应用十分广泛,一直是高考的热点,特别是借助二次函数模型考查考生的代数推理问题是高考的热点和难点,另外二次函数的应用问题也是2010年高考的热点。 三、知识回顾 1、二次函数的解析式 (1)一般式: (2)顶点式: (3)双根式: 求二次函数解析式的方法: ○1已知时,宜用一般式○2已知时,常使用顶点式○3已知时,用双根式更方便

2、 二次函数的图像和性质 二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像是一条抛物线,对称轴的方程为 顶点坐标是( ) 。 (1)当0>a 时,抛物线的开口 ,函数在 上递减,在 上递增,当a b x 2- =时,函数有最 值为 (2)当0x f , 当 时,恒有 ()0.-=?ac b 时,图像与 x 轴有两个交点,.),0,(),0,(21212211a x x M M x M x M ?=-= 四、基础训练 1、已知二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的对称轴方程为x=2,则在f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)中,相等的两个值为 ,最大值为 。 2函数()322+-=mx x x f ,当]1,(-∝-∈x 时,是减函数,则实数m 的取值范围是 。 3函数()a ax x x f --=22的定义域为R ,则实数a 的取值范围是

高中数学_经典函数试题及答案

经典函数测试题及答案 (满分:150分 考试时间:120分钟) 一、选择题:本大题共12小题。每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.函数)12(-=x f y 是偶函数,则函数)2(x f y =的对称轴是 ( ) A .0=x B .1-=x C .21= x D .2 1-=x 2.已知1,10-<<x 时,,log )(2x x f =则当0m D .12-<<-m 或13 2 <

2017高中数学抽象函数专题

三、值域问题 例4.设函数f(x)定义于实数集上,对于任意实数x 、y ,f(x+y)=f(x)f(y)总成立,且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠,求函数f(x)的值域。 解:令x=y=0,有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0,则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立,这与存在实数21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠成立矛盾,故 f(0)≠0,必有 f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x 、y 均成立,因此,0 )2()(2 ≥? ? ? ? ? =x f x f , 又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0. 四、求解析式问题(换元法,解方程组,待定系数法,递推法,区间转移法, 例6、设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ,函数f(x)满足,()x x x f x f +=?? ? ??-+11 ,求f(x)的解析式。 解:(1)1),x 0(x x 1)x 1x (f )x (f ≠≠+=-+且Θ---- ,1 2)11()1(:x 1-x x x x f x x f x -=-+-得代换用 (2) :)1(x -11 得中的代换再以x .12)()x -11f(x x x f --=+---(3)1)x 0(x x 2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件: ①f(n)>0,n ∈N;②f(n 1+n 2)=f(n 1)f(n 2),n 1,n 2∈N*;③f(2)=4同时成立? 若存在,求出函数f(x)的解析式;若不存在,说明理由. 解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x (x ∈N*) 小结:对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究,如果给出的关系式具有递推性,也常用递推法来求解. 练习:1、.23 2|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:0 2)x (x f 3 x ,x 1)x (f 2)x 1(f ,x x 12 =++=-与已知得得代换用,. 23 2 |)x (f |,024)x (9f 02 ≥ ∴≥?-≥?得由 3、函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x +y)-f (y)=(x +2y+1)x 成立,且f (1)=0, (1)求(0)f 的值; (2)对任意的11 (0,)2 x ∈,21(0,)2 x ∈,都有f (x 1)+2

最新2018高中数学二次函数试题(含答案)

二、二次函数(命题人:华师附中 郭键) 1.(人教A 版第27页A 组第6题)解析式、待定系数法 若()2 f x x bx c =++,且()10f =,()30f =,求()1f -的值. 变式1:若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-,与y 轴的交点坐标为(0,11),则 A .1,4,11a b c ==-=- B .3,12,11a b c === C .3,6,11a b c ==-= D .3,12,11a b c ==-= 变式2:若()()2 23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称,则c =_______. 变式3:若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x ,且2212269 x x +=,试问该二次函数的图像由()()231f x x =--的图像向上平移几个单位得到? 2.(北师大版第52页例2)图像特征 将函数()2 361f x x x =--+配方,确定其对称轴,顶点坐标,求出它的单调区间及最大值或最小值,并画出它的图像. 变式1:已知二次函数()2 f x ax bx c =++,如果()()12f x f x =(其中12x x ≠),则122x x f +??= ??? A .2b a - B .b a - C . c D .244ac b a - 变式2:函数()2 f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-,那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是 A .()()()110f f f <-< B .()()()011f f f <-< C .()()()101f f f <<- D .()()()101f f f -<< 变式3:已知函数()2f x ax bx c =++的图像如右图所示, 请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________. 3.(人教A 版第43页B 组第1题)单调性 x y O

初中数学二次函数动点问题

函数性问题专题—动点问题 函数及其图象是初中数学中的主要内容之一,也是初中数学与高中数学相联系的纽带.它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系,中考命题中既重点考查函数及其图象的有关基础知识,同时以函数为背景的综合性问题也是命题热点之一,多数省市作压轴题.因此,在中考复习中,关注这一热点显得十分重要.以函数为背景的综合性问题往往都可归结为动点性问题,我们把它归纳为以下七种题型(附例题) 一、因动点而产生的面积问题 例1:如图10,已知抛物线P :y =ax 2 +bx +c (a ≠0 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上,与y 轴交于点C ,矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上,顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上,抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下: (1 求A 、B 、C 三点的坐标; (2 若点D 的坐标为(m ,0 ,矩形DEFG 的面积为S ,求S 与m 的函数关系,并指出m 的取值范围; (3 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时,连接DF 并延长至点M ,使FM =k ·DF ,若点M 不在抛物线P 上,求k 的取值范围. 若因为时间不够等方面的原因,经过探索、思考仍无法圆满解答本题,请不要轻易放弃,试试将上述(2、(3小题换为下列问题解答(已知条件及第(1小题与上相同,完全正确解答只能得到5分: (2 若点D 的坐标为(1,0 ,求矩形DEFG 的面积 . 例2:如图1,已知直线

12 y x =-与抛物线2 164 y x =- +交于A B ,两点. (1)求A B ,两点的坐标; (2)求线段A B 的垂直平分线的解析式; (3)如图2,取与线段A B 端点分别固定在A B ,两处.用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线A B 动点P 将与A B ,构成无数个三角形,这些三角求出最大面积,并指出此时P 点的坐标;如果不存在,请简要说明理由.图2 图1 图10 第-2-页共4页 例3:如图1,矩形ODEF 的一边落在矩形ABCO 的一边上,并且矩形ODE F ∽矩形ABCO ,其相似比为1 : 4,矩形ABCO 的边 AB=4,BC=4

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