HR Planning System Integration and Upgrading Research of
A Suzhou Institution
有关椭圆焦点弦的高考题的探究
上海市育才中学 龚新平 201801
（发表在《中学生数学》杂志2007-9上）
刚结束的2007年重庆市高考第22题是关于椭圆的焦点弦一类问题，给我留下了深刻的印象和许多思考，本文将对该问题加以分析和探究。
O 的椭圆的右焦点为(30)F ，
，右准线l 的方程为：12x =。 （1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三点1P ，2P ，3P ，使122331PF P PF P PF P ==∠∠∠，
证明：
123
111
FP FP FP ++
为定值，并求此定值。 解：（I ）易得所求椭圆方程为
22
13627
x y +=； （2）记椭圆的右顶点为A ，并设i i AFP α∠=（
i =1，2，3）， 不失一般性，假设1203απ<
≤，且2123ααπ=+，3143
ααπ
=+。 又设点i P 在l 上的射影为i Q ，因椭圆的离心率1
2
c e a =
=，从而有e FP c c a e Q P FP i i i i i ????
? ??--=?=αcos 21
(9cos )2i i FP α=-(123)i =，，。 变形得：1211cos 92i i FP α??=+ ??? (123)i =，
，。∑∑==???
??+=∴3
1
31cos 211921i i i i FP α， ???
?????? ??+++++=∴
∑
=)34cos()32cos(cos 2139211113
1
παπααi i
FP ，而 )34cos()32cos(cos 111παπαα+++
+0)3
2cos(32cos )32cos(211=+++=π
αππα，
故
123
11123FP FP FP ++=为定值．
（1）焦点为F 的椭圆
12
22
2=+
b y a x 上三点1P ，2P ，3P ，且122331PFP
P FP P FP ==∠∠∠，
则有
1
23111FP FP FP ++
=23b a
。 证明：这里也可以采用极坐标的方法来证明。（由椭圆的对称性知：不妨设点F 为左焦点）
由圆锥曲线的极坐标方程θρcos 1e ep
-=，得)3,2,1(cos 11=-=i ep e i i θρ。 不失一般性，设3201πθ<
≤，且3212πθθ+=，3
413π
θθ+=，则有： ep
e ep
e ep
e )3
4cos(1)32cos(1cos 11
1
1
111
3
2
1
π
θπθθρρρ+-++
-+-=
+
+
ep
e ))34cos()32cos((cos 31
1
1
111321π
θπθθρρρ+++
+-=
+
+
2
2223
2133)(331
11b a
c a a c c
a a c ep =
-=-==
+
+
∴
ρρρ，即：1
23111FP FP FP ++
=23b a
。 （2）焦点为F 的双曲线12
22
2=-
b
y a
x 同支上三点321,,P P P ，且122
3
31
P F P P F P P F P ==∠∠∠，
则有321,,FP FP FP 倒数的代数和为定值
2
3b a 。（允许极径ρ为负值，证明同（1））
（3）焦点为F 的抛物线px y 22=上三点321,,P P P ，且122331PF P PF P PF P ==∠∠∠，
则有123
111FP FP FP ++
=p 3
。（证明同（1））
n 个点呢？由上面的证明，我们不难得到： （1）焦点为F 的椭圆
12
2
22
=+b y a x 上依次有n 个不同的点
n P P P ,,21，且满足13221FP P FP P FP P n ∠==∠=∠ ，则有n FP FP FP 11121+++ =2b
na
。 证明：由圆锥曲线极坐标方程θ
ρcos 1e ep
-=，得),2,1(cos 11n i ep e i i =-=θρ。 不失一般性，设n πθ201<
≤，且 ,212n π
θθ+=
，n
n n πθθ)1(21-+=，则有：
ep
n
n e ep
n e ep
e n
))1(2cos(1)2cos(1cos 11
1
1
111
2
1
πθπ
θθρρρ-+-+++
-+-=
+
++
ep
n n n e n n
)))1(2cos()2cos((cos 1
1
1
1112
1
πθπ
θθρρρ-++++
+-=
+
++
由复数n 次单位根的知识，易得：0))1(2cos()2cos(cos 111=-+++++n
n n πθπ
θθ 22222
1
)(1
1
1
b
na c a na c c
a a c n ep n n
=-=-==
+
++
∴ρρρ 。 特别的，当2=n 及4=n 时，就是我们常见的椭圆中过焦点作直线的焦点弦问题。 （2）焦点为F 的双曲线
12
22
2=-
b y a x 同支上有n 个不同点n P P P ,,21，且满足
13221FP P FP P FP P n ∠==∠=∠ ，则有n FP FP FP ,,21倒数的代数和为定值
2
3b
a 。（允许
极径ρ为负值，证明同（1））
（3）焦点为F 的抛物线px y 22=上顺次有n 个不同点n P P P ,,21，且满足
13221FP P FP P FP P n ∠==∠=∠ ，则有
n FP FP FP 11121+++ =p
n
。 特别的，当2=n 及4=n 时，就是我们常见的抛物线中过焦点作直线的焦点弦问题。
而是中心距),2,1(n i OP i =，是否也有类似的结论呢？ 中心为O 的椭圆
12
22
2=+b y a x 上依次有n 个不同点n P P P ,,21，且满足3221FP P FP P ∠=∠
1FP P n ∠== ，则有
2
2
2
2
1
111n
OP OP OP +
++
=
2
2222)(b a b a n +。
证明：设n i r r P i i i i i ,2,1),sin ,cos (=θθ，不失一般性，设n
π
θ201<
≤，且 ,212n π
θθ+=，n n n πθθ)1(21-+
=，代入方程12222=+b y a x ，得1)sin ()cos (2
222=+b r a r i i i i θθ，2
2
22
21sin cos i
i i r b
a
=
+
θθ，所以
)22cos 122cos 1(
)sin cos (
1
2
12
1
2
22
21
2
b
a
b a
r
i
n
i i
n
i i i n
i i θθθθ-+
+=
+
=
∑
∑
∑===
2
2220
2
2
2
2222
1
2
2)(2cos )
21
21(
2)()22cos 122cos 1(
b a b a n b a b a b a n b a n
i i
i
n
i i
+=
-
++=
-+
+=
∑∑==θ
θθ。从而有：
2
2
2
2
1
111n
OP OP OP +++ =
2
2222)(b a b a n +。
n 等份，结果会怎样呢？ 于是有：
将椭圆
12
22
2=+
b y a x 的长轴AB 分成n 等份，过每个分点作x 轴
的垂线交椭圆的上半部分于121,,-n P P P 共1-n 个点，F 是椭圆的一个焦点，则a n FP FP FP n )1(121-=+++- 。 证明：设n i y x P i i i ,2,1),,(=，∑∑
-=-=-+
-=+=+++1
1
1
1
1
21)1()(n i i
n i i n x
a c
a n x a c a FP FP FP ，
由椭圆的对称性可知：
011
=∑-=n i i
x
，所以a n FP FP FP n )1(121-=+++- 。
特别地，当8=n 时，即是2006年四川省高考题：
将椭圆
22
12516
x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于721,,P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则=+++721FP FP FP 35 。
021=++n FP FP FP ,是否有类似结论呢？我们继续如下探究： （1）焦点为F 的椭圆
12
22
2=+b y a x 上依次有n 个不同点n P P P ,,21，若满足
021=++n FP FP FP ，则有n FP FP FP +++ 21=a
nb 2
。
证明：设n i y x P i i i ,2,1),,(=，由021=++n FP FP FP 得
0)(1
=-∑=n
i i
c x
，得：
nc x n
i i =∑
=1
，从而：a nb a c a n x a c na x a c a FP FP FP n i i n
i i n 221121)()(=-=???
? ??-=-=+++∑
∑
== 。 同理，双曲线也有与（1）几乎完全一样的结论！
（2）焦点为F 的抛物线px y 22=上依次有n 个不同点n P P P ,,21，若满足
021=++n FP FP FP ，则有n FP FP FP +++ 21=np 。
证明：设n i y x P i i i ,2,1),,(=，由021=++n FP FP FP 得
0)2
(1
=-
∑
=n
i i p
x ，得： 2
1
np
x n
i i =∑
=，从而：np x
np p x FP FP FP n
i i
n
i i n =+
=+=+++∑∑
==11
212)2( 。
特别地，当3=n 时，即为2007年全国高考题：设F 为抛物线2
4y x =的焦点，A B C
，，
为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0 ，则FA FB FC ++=
6 。
参考文献：
2007年重庆市高考试卷（理科）
椭圆的焦点弦长公式 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
椭圆的焦点弦长公式 θ2222 21cos 2c a ab F F -=及其应用 在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题： 若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ 2222 21cos 2c a ab F F -=。 上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。 例1、已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？ 分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而 22=b ，故由焦 点弦长公式θ 2222 21cos 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-??α，解得αcos ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。 例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的 准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3 π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为5 16，求椭圆E 的方程。 分析：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(22 22=-+--b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32 +=c c a （1）， 又由焦点弦长公式有3cos 22 222 πc a ab -=5 16 （2）又 222c b a += （3）。解由（1）、
椭圆的焦点弦长公式 θ2222 21cos 2c a ab F F -=及其应用 在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢首先我们有命题： 若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ 2222 21cos 2c a ab F F -=。 上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。 例1、已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长 分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦 点弦长公式θ 2222 21cos 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-??α，解得αcos ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。 例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为 3 π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。 分析：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(22 22=-+--b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32 +=c c a （1）， 又由焦点弦长公式有3cos 22 222πc a ab -=516 （2）又 222c b a += （3）。解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32 =b ，1=c ，从而所求椭圆E 的方程为13 )1(4)4(2 2=-+-y x 。 例3、已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ），直线1l ：1=-b y a x 被椭圆C 截得的
与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件
9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=?恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件
10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ=恒成立？ 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用 摘要 ：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12 AB x -或 者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式： 22222cos ab AB a c θ =-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便. 下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用. 解法一：根据弦长公式直接带入解决. 题：设椭圆方程为122 22=+b y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭 圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB . 椭圆方程12222=+b y a x 可化为02 22222=-+b a y a x b ……①， 直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得： 222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-= ∴24 1212222222 2,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++， ∴ 12AB y -==∴()2 222 221ab AB m b m a =++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90o ,则1 tan m θ = ，则有： ()222 2222 222 221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ ??=+=+ ?+??+, 由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为2 222 2cos ab AB a c θ =-……②. （2）若=90θo ，则0m =，带入()22 222 21ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由
圆锥曲线焦点弦问题
θ2222 sin 2c a ab - 高考题：1.过抛物线)0(22 >=p py x 的焦点F 作倾斜角为300的直线与抛物线交于A 、B 两点（点A 在y 轴左侧），则 =FB AF 解:由公式：11cos +-= λλθe 得:11-21+=λλ，解得λ=3，∴=FB AF 3 1 2.双曲线122 22=-b y a x ，AB 过右焦点F 交双曲线与A 、B ，若直线AB 的斜率为3， 4=则双曲线的离心率e= 解：∵由已知tan θ=3∴θ=600, 由公式：11cos +-= λλθe 得：e 11-21+=λλ=1 41 -4+ ∴ e= 5 6 3.（2010高考全国卷）已知椭圆C ：12222=+b y a x （a>b>0）,离心率23 =e ，过右焦点且 斜率为k （k>0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若3=，则k=（ B ）
A 、1 B 、2 C 、3 D 、2 解：由公式：11 cos +-= λλθe 得cos θ=3 1∴ k=tan θ=2;故选B 。 4.2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为 ，过 且斜率为的直线交 于 两点。若 ，则 的离心率为（ ） 解 这里，所以，又，代入公式得，所 以 ，故选。 5.（08高考江西）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物 线交于 两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 解 如图3，由题意知直线 与抛物线的地称轴的夹角 ，当点 在 轴左侧时， 设，又，代入公式得，解得，所以。
6.（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。 7.已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿ 解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。8.（2009年高考福建）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿ 解由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。 11.（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿ 解易知均在右支上，因为，离心率，点准距 ，因倾斜角为，所以。由焦半径公式得， 。
圆锥曲线弦长公式 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式 求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。. 椭圆的焦点弦长若椭圆方程为 ，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、B两点，求弦长。解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得 ，整理可得，同理可求得，则弦长 同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b 为短半轴，c为半焦距） 结论：椭圆过焦点弦长公式： 二 . 双曲线的焦点弦长 设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。
。 解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A、B在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得 整理可得，同理 ，则可求得弦长 （2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B在两支上，连，设，则， ，由余弦定理可得，
整理可得，则 因此焦点在x轴的焦点弦长为 同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式 三 其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。. 抛物线的焦点弦长 若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的 倾斜角为，求弦长|AB|？（图4） 解：过A、B两点分别向x轴作垂线为垂足，设，，则点A的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得
即 则 同理的焦点弦长为 的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为 由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握。 一
在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题。 结论：若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ 2222 21cos 2c a ab F F -=。 例1.已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点， 设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？ 解：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，由焦点弦长公式 θ2222 21cos 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-??α，解得αcos ±=22-，即 α=arc 22cos -或arc -π22cos -。 例2.在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3 π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。 解：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(22 22=-+--b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32 +=c c a ；由焦点弦长公式有3cos 22222π c a ab -=5 16；又 222c b a +=；解得：42=a ，32=b ，1=c ，从而所求椭圆E 的方程为13 )1(4)4(2 2=-+-y x 。 例3.已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ），直线1l ：1=-b y a x 被椭圆C 截得的弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截得的弦长是它的长轴长的5 2，求椭圆C 的方程。 解：由题意可知直线1l 过椭圆C 的长、短轴的两个端点，故有822=+b a ，又由焦点弦长公式得 θ2222cos 2c a ab -=54a ， 因tan θ=3，得3 πθ=，又 222c b a += ，解得：62=a ，22=b ，从而所求椭圆E 的方程为1262 2=+y x 。
三、与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1 ） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=? 恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件
9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2 ） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=? 恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -=+ 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -=+ 备用课件
10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ= 恒成立？ 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件
椭圆的焦点弦长公式 θ 2 2 2 2 21cos 2c a ab F F -= 及其应用 在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题： 若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、 短半轴长和焦半距，则有θ 2 2 2 2 21cos 2c a ab F F -= 。 上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。 例1、已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？ 分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦 点弦长公式θ 2 2 2 2 21cos 2c a ab F F -= 及题设可得： 24c o s 816)22(422 2 =-??α ，解得 αc o s ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。 例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴， 直线l 通过点F ，且倾斜角为3 π ，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为5 16，求椭圆E 的 方程。 分析：由题意可设椭圆E 的方程为 1)1() 3(2 2 2 2 =-+ --b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线 为Y 轴，故有 32 +=c c a （1）， 又由焦点弦长公式有 3 cos 22 2 2 2 πc a ab -= 5 16 （2） 又 222c b a += （3）。解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32 =b ，1=c ， 从而所求椭圆E 的方程为 13 ) 1(4) 4(2 2 =-+ -y x 。 例3、已知椭圆C ： 12 22 2=+ b y a x （0>>b a ），直线1l ： 1=- b y a x 被椭圆C 截得的
与焦点弦相关的问题 8.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质(定值1） 问题探究８ 已知椭圆22 143 x y +=,1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ,B 两点,是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?恒成立.并由此求∣A Ｂ∣的最小值.(借用柯西不等式) 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件
9.椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质(定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=,1F 为椭圆之左焦点,过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ,B 两点和Ｃ，Ｄ两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ,使AB CD AB CD λ+=?恒成立.并由此求四边 形AB ＣＤ面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件
10.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于Ａ，B 两点,AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ,使1AB F D λ=恒成立? 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长 轴于点D ,则∣D Ｆ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半(F 为焦点) 备用课件 设双曲线焦点弦ＡB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣D Ｆ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半(F 为焦点) 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ,则∣ＤF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用 摘要 ：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即 AB = 1 k 2 x 1 x 2 或者 AB= 1+( k 1 )2 y 1 y 2 ，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公 式： 2ab 2 AB 2 2a 2b 2 ，如果记住公式，可以给我们解题带来方便 . a 2 c 2 cos 2 下面我们用万能弦长公式， 余弦定理， 焦半径公式， 仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式， 这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用 . 解法一 ：根据弦长公式直接带入解决 . 22 题：设椭圆方程为 x 2 y 2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab 圆于 A( x 1 , y 1), B ( x 2 , y 2 )两点，求弦长 AB . 22 椭圆方程 x 2 y 2 1可化为 b 2x 2 a 2y 2 a 2 b 2 ??①， a 2 b 2 直线 l 过右焦点，则可以假设直线为： x my c ( 斜率不存在即为 m 0时 ) ，代入①得： (b 2m 2 a 2)y 2 2mc b 2 y b 2 c 2 a 2b 2 0 ，整理得， (b 2m 2 a 2)y 2 2mcb 2 y b 4 ∴ y 1 y 2 b 2m 2 2mcb 2 2 ,y 1y 2 a b 4 b 2m 2 a AB = 1+( k 1 )2 y 1 y 2 1 m 2 ( 2 2 bm 2mcb 2 ) 2 2) a 4b 4 2 2 2 b m a 1 m 2 4a 2 b 4 (1 m 2 ) 2 2 2 2 (b m a ) ∴ AB 2ab 2 2 2 2 b m a 1m 1)若直线 l 的倾斜角为 ，且不为 90o ,则 1 tan ，则有： AB b 2m 2a 2b a 2 1 m 2 b m a 2ab 2 2 1 2 b 2 a tan 1 tan 2 由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为 AB 2ab 2 2 2 2 a c cos ②. 2)若 =90o ，则 m 0，带入 AB 2 2ab 2 2 2 2 b m a 1 m 2 ,得通径长为 2b 2 ，同样满足②式 .并且由 a
椭圆中的“定” 二、与椭圆的焦点弦有关 4. 椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的离心率为e ，PQ 为过椭圆焦点2F 而不垂直于x 轴的弦，且PQ 的中垂线交x 轴于R ，则 22PQ F R e =. 5.PQ 为过椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的一个焦点2F 的弦，2F K 为焦准距，e 为椭圆的离心率，则222112PF QF e F K +=. 6.（1）PQ 为过椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 焦点F 的弦，PQ 的中垂线交F 所在的椭圆的对称轴于R ，直线RF 交F 所对应的准线于K ，则P 、K 、Q 、R 四点共圆. （2）弦MN （异于长轴）过椭圆 122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的右焦点2F ，过椭圆左顶点1A 的两条直线11,A M A N 交椭圆的准线l 于,S T 两点,则以ST 为 直径的圆一定过椭圆的右焦点2F 和2 F 关于准线的对称点 .
（3）弦MN 过椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的右焦点2F ，椭圆的准线l 交 椭圆的对称轴于点D ,则 22MDF NDF ∠=∠. （4）P 为椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 上任一点，2F 为椭圆右焦点，过P 作椭圆的切 线交椭圆的右准线于点N ，则 222ON PF b k k a =-. 7.(1,2,3,)n n P Q n =为过圆锥曲线的一个焦 点2F 的弦，n n P Q 的中垂线交2F 所在的曲线的 对称轴于n R ，则过,,(1,2,3,)n n n P Q R n =的 圆必交于同一点2,0a c ?? ??? . 8. 弦AB （异于长轴）过椭圆122 22=+b y a x C ： ()0>>b a 的焦点，过B A ,两点分别作椭圆的两条切 线交圆222x y a +=于,M M '两点，则 （1）MM '是圆222x y a +=的一条直径，且四边形 MM BA '为梯形； （2）角APB ∠为锐角； （3）若两切线的交点为P ，当点P 为2,0a c ?? ???时，APB ?的面积最小，其最小值为4 b ac .
与焦点弦相关的问题 8. 椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为 常数 1 1 2 ---- 1 ---- = --- I Af ； I IBf ； I ep 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和 为常数 AB 在同支 Ill _ 2 IA 存 I IBFJ 一亦 AB 在异支I ________ I=Z IAFil IB 斤 I 一印 备用课件 拋物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和 为常数 1 1 _ 2 IAF I + IBF ?~7p 备用课件 已知椭圆｝ +十=1,耳为椭圆之左焦点，过点片的直线交椭圆于力，B 两点、,是否存在 = λFA ? FB 恒成立?并由此求I AB \的最小值.（借用柯西不等式） FiB = 2.09 . AFI = 1.56 ?ie ?? FB = 3.54 JlJK AfiiF = 2.44 穌 FO ≡ 1.44 P = 2.89 米 一 + ”.—=— BF AF ep ?+?=0? 69l ^i ?, - = 0,69.Ψ??1 问题探究8
9.椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦 性质（定值2） 实验成果动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 1 1 2-e1 ----- + ------- = -------- IABl ICDl 2ep 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 1 1 2-e2 + = IABl ICDl 2ep 备用课件 问题探究9 2 2 已知椭圆丄- + 2- = 1, Fl为椭圆之左焦点，过点片的直线人 仏分别交椭圆于儿3两点和 C, Q两点，且厶丄心，是否存在实常数几，^IASI+ ∣CD∣ = 2∣ΛB∣?∣CD∣恒成立.并由此求四边形 =15.03凰米 B = 6.91 O 同支线段 a = C = 398 A?+?= 0?21,,,?^ 异支线段 A拖 B CD z°08,r^ 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 1 1 _\2-e 2 I ? AB ?+? CD ?~ Iep 备用课件 - IBBiI的IE交焦点孩性J? J 0X
椭圆的焦点弦长公式θ2222 21cos 2c a ab F F -=及其应用 在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题。 结论：若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ 2222 21cos 2c a ab F F -=。 例1.已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点， 设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长 解：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，由焦点弦长公式 θ2222 21cos 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-??α，解得αcos ±=22-，即 α=arc 22cos -或arc -π22cos -。 例2.在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3 π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。 解：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(2 2 22=-+--b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32 +=c c a ；由焦点弦长公式有3cos 22222π c a ab -=5 16；又 222c b a +=；解得：42=a ，32=b ，1=c ，从而所求椭圆E 的方程为13 )1(4)4(2 2=-+-y x 。 例3.已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ），直线1l ：1=-b y a x 被椭圆C 截得的弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截得的弦长是它的长轴长的5 2，求椭圆C 的方程。 解：由题意可知直线1l 过椭圆C 的长、短轴的两个端点，故有822=+b a ，又由焦点弦长公式得 θ2222cos 2c a ab -=54a ， 因tan θ=3，得3 πθ=，又 222c b a += ，解得：62=a ，22=b ，从而所求椭圆E 的方程为1262 2=+y x 。
椭圆的焦点弦长公式 θ 2222 21cos 2c a ab F F -=及其应用 在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有 命题： 若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ 2222 21cos 2c a ab F F -=。 上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。 例1、已知椭圆的长轴长 AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？ 分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦 点弦长公式θ 2222 21cos 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-??α，解得αcos ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。 例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3 π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。 分析：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(2 2 22=-+--b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32 +=c c a （1）， 又由焦点弦长公式有3cos 22222π c a ab -=5 16 （2）又 222c b a += （3）。解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32=b ，1=c ， 从而所求椭圆E 的方程为13 )1(4)4(2 2=-+-y x 。
圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程） 圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！? 定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则 （1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长| cos 1|||2 2αe H AB -= ； （2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长| sin 1|||22αe H AB -=. 推论： （1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 22cos 1||e H AB -=； 当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 cos ||2 2-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时，α 2 sin ||H AB = . （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 22sin 1||e H AB -=； 当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 sin ||2 2-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时，
α 2cos ||H AB = . 典题妙解 下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用. 例1（06湖南文第21题）已知椭圆13 4221=+y x C ：，抛物线px m y 22 =-）（（p ＞0）， 且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点. （Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）若3 4 =p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.
问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?u u u r u u u r u u u r 恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件
问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=?u u u r u u u r u u u r u u u r 恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3） 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应 用 江西省上犹中学 刘鹏 关键词：椭圆 焦点弦 弦长公式 应用 摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即 12AB x -或者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：22222cos ab AB a c θ =-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便. 下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用. 解法一：根据弦长公式直接带入解决. 题：设椭圆方程为122 22=+b y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2 F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB . 椭圆方程122 22=+b y a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①， 直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得： 222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-= ∴24 1212222222 2,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++， ∴ 12AB y y -==
∴()2 222 221ab AB m b m a =++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90o ,则1 tan m θ= ，则有： ()222 2222 222221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ ??=+=+ ?+??+, 由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为2 2222cos ab AB a c θ =-……②. （2）若=90θo ，则0m =，带入()22 222 21ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式. 并且由 ()222232222222 2222222222 22()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 2 2，故可知通径是最短的焦点 弦，. 综上，焦点弦长公式为2 222 2cos ab AB a c θ =-. 解法二：根据余弦定理解决 题：设椭圆方程为122 22=+b y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2 F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .
关于焦点三角形与焦点弦 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法 典例剖析 1 求椭圆的标准方程
【例2】设椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过A 点作AF 的垂线 分别交椭圆于P ，交x 轴于Q ，且85 AP PQ =u u u r u u u r （1）求椭圆的离心率。 （2）若过,,A F Q 三点的圆恰好与直线30x ++=相切，求椭圆的方程。 【例4】已知椭圆的中心在原点O ，短轴长为右准线交x 轴于点A ，右焦点为F ， 且2OF FA =，过点A 的直线l 交椭圆于,P Q 两点 （1）求椭圆的方程 （2）若0OP OQ ?=u u u r u u u r ，求直线l 的方程 （4）求OPQ V 的最大面积
2 椭圆的性质 【例6】已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，在椭 圆上存在一点P ，使得120PF PF ?=u u u r u u u r （1）求椭圆离心率e 的取值范围 （2）当离心率e 取最小值时，12PF F V 的面积为16，设,A B 是椭圆上两动点， 若线段AB 的垂直平分线恒过定点(0,Q 。①求椭圆的方程；②求直线AB 的斜率k 的取值范围。
求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况： （1）已知不等式；（2）椭圆上的点的横坐标满足0a x a -≤≤；（3）0?>； （4）椭圆内部的点()00,x y 满足22 00221x y a b +<； 【例7】椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，斜率为1的直线过椭圆的右焦点2F 与椭圆 交于,A B 两点，OA OB +u u u r u u u r 与向量()3,1a =-r 共线。
论文椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其 应用 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用 江西省上犹中学 刘鹏 关键词：椭圆 焦点弦 弦长公式 应用 摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即 12AB x -或者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：2 2222cos ab AB a c θ =-，如果记住公式，可以给我们解题带 来方便. 下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用. 解法一：根据弦长公式直接带入解决. 题：设椭圆方程为122 22=+b y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的 右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB . 椭圆方程122 22=+b y a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①， 直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得， 222224()20b m a y mcb y b ++-= ∴24 12122222222,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++， ∴ 12AB y -==∴()2 222221ab AB m b m a =++
椭圆的焦点弦长公式 在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有 命题： 若椭圆的焦点弦F i F 2所在直线的倾斜角为 ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短 2ab 2 ~2 2 2 a c cos 上面命题的证明很容易得岀，在此笔者只谈谈该命题的应用。 例1、已知椭圆的长轴长 AB 8，焦距F J F 2 4J2，过椭圆的焦点 F j 作一直线交椭 圆于P 、Q 两点，设 PF 1X （0 长？ ），当 取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴 PQ 是椭圆的焦点弦，且 a 4，c 2.. 2，从而b 2 2，故由焦 厂譬 —及题设可得： 2 4（2 ?斗 4 2，解得 a c cos 16 8cos 2 2 2 a c cos — 3 cos 2 2，即 arc cos . 2 2 或 arc cos . 2 2。 例2、在直角坐标系中, 线|通过点F ，且倾斜角为 已知椭圆 E 的一个焦点为 F （ 3，1），相应于F 的准线为丫轴，直 —，又直线|被椭圆E 截得的线段的长度为 16 ，求椭圆 3 5 E 的方程。 分析：由题意可设椭圆 E 的方程为（ X c 3） (y 21) 1，又椭圆 b 2 E 相应于 F 的准线为丫 轴，故有 a 2 （1），又由焦点弦长公式有 2ab 2 16 (2)又 a 2 b 2 (3) 。解由 （1）、 2 （2）、（3）联列的方程组得：a 2 4，b 2 从而所求椭圆 E 的方程为 (x 4)2 (y 1)2 F i F 2 2 2a b 2及其应用 a c cos 分析：由题意可知 点弦长公式F 1F 2 半轴长和焦半距，则有