?科学技术哲学?
规范场论的研究纲领述评3
———一种毕达哥拉斯模式的解读
桂起权
(武汉大学哲学学院,湖北武汉 430072)
摘 要:宇宙的基本结构及其相互作用的奥秘都深藏于数学规律之中,这是毕达哥拉斯主义的基本理念。它分别体现在现代物理学的三大研究纲领中:(1)根据物理学的几何化纲领,引力场弯曲空间的奥秘需要通过黎曼几何、微分几何与张量分析来解读;(2)根据量子场论纲领,场理论的“产生和湮灭”算符,能方便而精确地表征和重构相关的微观作用机制;“场的本体论”和“生成辩证法”同时得到体现。(3)根据规范场论的纲领,自然界四种相互作用的奥秘都深藏于“规范对称性”之中。第三纲领相当于前两个纲领的整合。
关键词:规范场论纲领 物理学几何化纲领 量子场论纲领 毕达哥拉斯主义模式 宇宙奥秘
〔中图分类号〕N02 〔文献标识码〕A 〔文章编号〕 1000-0763(2008)06-0020-06
在20世纪物理学中先后出现了探索描述物理世界基本相互作用的三大研究纲领:(1)广义相对论的物理学几何化纲领;(2)量子场论纲领;(3)规范场论纲领。波士顿大学科学哲学家曹天予在《规范理论和基础物理学的几何化》(1987)〔1〕一文和《20世纪场论的概念发展》(1997)〔2〕一书中对此首先做出明确概括。笔者打算按照毕达哥拉斯主义的理念来对此进行解读。
毕达哥拉斯主义的基本理念是:“数是万物之本原”。具体地说,数学和谐性(特指数学对称性)是关于物理世界基本结构知识的本质核心,在自然界那种富有意义的秩序中,必须从自然规律的数学核心中寻找它的根源。科学家在探索物理定律的过程中,“数学和谐性”是强有力的助发现的启发性原则。
笔者在《物理学的毕达哥拉斯主义研究传统》(2004)〔3〕中曾表示坚信,宇宙的基本结构及其相互作用的奥秘都深藏于数学规律,尤其是基本对称性之中。又在《对称性破缺与宇宙设计》(2007)〔4〕中进一步指出,即使“对称性破缺”仍是深层物理规律的“内在对称性”局部的、不完全的反映。如果有某位科学美学鉴赏家说,宇宙=上帝的几何学杰作,这并没有错,只不过这个“上帝”=自组织的宇宙本身。基本对称性是宇宙所固有的。笔者所主张的毕达哥拉斯主义理念是与科学实在论相融合的。
一、物理学几何化纲领的毕达哥拉斯主义解读
爱丁顿在1919年的日全食观测,对验证爱因斯坦引力场理论有过决定性贡献。1921年,爱丁顿引进了一个“世界结构的几何”观念作为时间、空间和事物的共同基础,当然它理应包含与物质相关的元素和物质系统的相互作用机制。这是符合“宇宙奥秘深藏于数学规律”的毕达哥拉斯精神的。爱丁顿认为,物理
3教育部在山西大学的人文社会科学重点基地重大项目“规范场的哲学意义”,批准号:02JAZ JD720012。
〔收稿日期〕2007年5月31日
〔作者简介〕桂起权(1940-)男,浙江宁波人,武汉大学哲学学院教授,博士生导师,主要从事科学哲学研究。
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世界的自然几何就是黎曼几何。毫无疑问,引入物理世界结构的几何概念,对于物理学几何化纲领的发展是至关重要的。
按照物理学几何化的纲领,相互作用是通过连续的经典场而实现的,物理上引力场的“弯曲空间”在数学上是用相应的几何结构(诸如度规、仿射联络和曲率)来刻画的。虽然,爱因斯坦早在1907年就有了广义相对论原理的物理思想,但是在寻找最佳数学工具过程中却走过一段弯路(陈省身就特别注意到这一点)。爱因斯坦好不容易才认识到,准欧几里德的“刚性度规”应当推广到弯曲空间的“柔性度规”的普遍情况中去,这样才能适应于非惯性系或引力场,它对应于非线性变换的情况。他从黎曼的思想中汲取了力量,并就此取得了关键性的突破,他认识到引力场“弯曲空间”需要有黎曼几何与张量分析来配套。
笔者认为,关注物理思想和数学思想之间的内在联系,对于科学哲学学者来说是十分重要的,不应该把数学仅仅看作是技术性工具。黎曼关于“度规、距离法则决定了一种几何学”的思想,对于广义相对论的创建有着特殊的启发力。度规张量表征着弯曲空间的内禀性质,协变导数解决了弯曲空间中的矢量求导和无穷小平移问题,仿射联络能恰当刻画弯曲空间矢量的平移性质与度规张量(空间内禀性质)之间的确定联系,黎曼联络是引力势对坐标偏微分(变化率)的组合,体现着引力场的分布等等。引伸一点说,“联络”解决了弯曲空间中不同时空点测量标尺的差异和可换算性问题,后来成为规范场理论思想的一个源头。“宇宙奥秘深藏于数学规律”的毕达哥拉斯主义理念,在爱因斯坦的引力场论中被具体化和精细化了。
按照笔者的看法,爱因斯坦的引力场纲领在本体论上所采取的是“场的实在论”立场(也可以称作为“场的本体论”)。在爱因斯坦的广义相对论中,“以太”、空间、真空、场=同一个物理实在。与粒子本体论立场的根本区别在于,作为一个场,必定是一个连续的充实(plenum),从亚里斯多德的“虚空是不可能的”到笛卡儿的“充实空间”和“广延性=物质最基本的属性”,直至爱因斯坦所肯定的“广义相对论以太”,这个连续的充实的思想是一脉相承的(详细分析见拙作〔5〕)。其实在这一点上,甚至后来的量子场也和经典场没有两样。
二、量子场论纲领的“生成论”和毕达哥拉斯主义再解释
然而,物理学家对于电磁力、强力、弱力的研究路线可以说是各不相同的,统一的描述十分困难。直到1928-1929年,随着量子电动力学的出现,才开创了基本相互作用的第二个研究纲领,即量子场论的纲领。量子场论纲领,按照它自身的内在逻辑所应当采取的是“场的本体论”立场。可是,人们的潜意识在习惯上总是容易滑到“粒子本体论”的立场上去。
量子场论纲领认为,场(量子场)才是第一性的实在,粒子不是永固不变的而只是派生的,通过激发和退激,粒子(=场量子)在场中产生和湮灭,相互作用是通过量子场来实现的。量子场以局域耦合和场量子的传播为基础。总之,这种系统阐述方式,是植根于通过局域耦合概念而建立的“算符场”的定域激发概念。从数学角度看,抽象的希尔伯特空间中的对称变换群,构成一般量子力学的数学基础,可观察量是用其中的线性“厄米算符”表示的。量子场论所处理的是所谓的定域场(局域场)。也就是说,场变量只在一个点空间才有定义,定域场相当于一个算符,定域的场算符。量子场论确立之后,能够用场理论的“产生和湮灭”算符方便而精确地描述所有相关过程(包括玻色子、费米子的场,还包括其间的基本相互作用)。换句话说,费米子和玻色子都被看作是一个场的量子。在场论的这种表述中,引入产生和湮灭算符(即a,a3或b,b3)以增加或减少在某种量子态中的粒子数。一个振子振幅的算符能够产生或者毁灭振子的一个量子。这样,物理上场量子的“产生和湮灭”过程以及哲学上的“生成论”思想(见下文),其关键性特征可以通过精致的数学形式加以刻画。可见,“宇宙奥秘深藏于数学规律”的毕达哥拉斯主义理念,对由量子场所代表的流变的微观物理世界并没有例外。
笔者认为,尽管在引力场几何化纲领和量子场纲领之间,从相互作用机制上说存在着深刻的区别(前者涉及宏观、外部空间,后者涉及微观、抽象空间)。然而,引力场与量子场在场本体论上却仍然有一致性。
曹天予发现,引力场几何化纲领与量子场纲领之间存在着联系媒介,这就是第三个纲领即规范场论的纲领。换句话说,规范场的作用机制为寻求一种“量子作用”和“时空几何化结构”的密切关系提供了真正的可能性。关键在于,一方面,规范场论与引力场论之间在数学结构上存在惊人的相似性,通过细致类比,可以为规范场理论找到合理的几何化解释。另一方面,规范场理论和一般量子场理论之间又存在着密切的关系。由于量子场理论唯有符合规范对称性才是可以重整化的,因此有了对规范理论的真正理解,回过
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头来也就可能对量子场论有更深刻的理解。
现在让我们来回顾一下量子场论的研究纲领。在一般量子力学中可观察的物理量是用“算符”来表示的,而在量子场论中量子场则表现为定域化的“算符场”。按照笔者的看法,成熟的量子场论在哲学上不仅立足于“场本体论”,而且应当强调也是立足于“生成论”的。因为,算符场的局域性的激发表现为场量子的“产生”,相反,退激则表现为场量子的“湮没”。这里包含着本来意义上的“生成论”思想!可是,笔者注意到一个有趣的现象,这就是即使量子场论的奠基人狄拉克,在初创阶段并未立即摆脱“构成论”的立场。从科学哲学眼光看,最初狄拉克是采用“特设性假设”的方法,借用旧的“构成论”语言来表述生成-湮没的“生成论”全新过程的。他在1927年的论文《辐射的发射和吸收的量子理论》中,假定光量子也好像电子一样存在最低能量状态———基态,在这里称作“零态”。有无数个光子都处在这种能量的最低状态,但是它们却是不可观察的,因此称作“虚光子”。当它们从“零态”跃迁出来,不可观察的虚光子就变成可以观察的实光子。虚光子显现为实光子的过程,叫做创生或生成;实光子隐蔽成为虚光子的过程,叫做湮没(湮灭)。〔6〕仔细想来,此刻狄拉克并没有完全脱离“粒子为本”的预设。为什么这样说呢?因为对他而言,粒子仍然是第一性的物质,它本身是永固不变的。它只是可以通过“跃迁”,既可以显现出来,也可以隐藏起来,但是并没有真正的产生和毁灭。然而,一旦正式进入量子场论的语境,就由不得狄拉克了。必定要用“场的本体论”立场去替代“粒子本体论”,相应地用“生成论”语言去替代“构成论”,那时,库恩所说的“范式转换”和“科学革命”就发生了。在新的眼光下,一切都变了,场才是第一性物质,粒子只是派生的,是可生可灭的。当新学科有了自己的第一原理,作为过渡阶段中间产物的“特设性假设”就成为多余,可以放入历史博物馆。量子场的这种新奇的性质和相互作用机制,更新了根深蒂固的原子论的传统观念。话说回来,其实古希腊哲学家赫拉克里特早就曾经提出过“一切皆流,一切皆变”,这是关于世界万物生成和湮没的辩证图景。现在,量子场论再现了这种关于量子世界的“粒子的生成和湮没”的生动图景。笔者在这里看到,量子场理论正在为赫拉克里特的辩证法和金吾伦的“生成哲学”提供着现代科学的经验证据。
然而,量子场理论有自己的困难。在用微扰法对相互作用的量子场进行展开计算时,总会出现无穷多发散的积分,这是一个伤脑筋的问题。好在近40年代来理论进展表明,描述基本相互作用的各种量子场理论,有可能通过“重整化”方法来克服无穷大或发散的困难。不过,必须以引进“规范不变性”概念作为必要条件。因此,为使量子场论发展为一个成功的研究纲领,它就必须与规范理论相结合。因此,量子场论的解释不可避免地和规范场的解释联系在一起。
三、规范不变性思想的历史渊源
现代规范场理论,由杨振宁与米尔斯于1954年所首创,它完全是在量子场论纲领的框架中出现的。杨振宁早就认识到,“规范不变性”是电磁场非常独特而重要的性质,很想把它推广到核强力研究中去。正好,在他身边的米尔斯很熟悉量子电动力学的计算,熟悉电磁场的量子化。于是,两者构成黄金搭档。二战之后越来越多的新粒子被发现,并且这些基本粒子之间存在着多种可能的耦合。因此,必定存在某种严格的限制条件可以决定实际过程的发生。换句话说,选择原理已成为必要。由他们提出的选择原理是基于“规范不变性”的概念,因此称为规范原理。
规范场论的数学基础,一开始就是以微分几何为起点的。在追溯规范场概念的早期历史时,杨振宁指出:“爱因斯坦发现的引力与空间-时间几何之间的关系刺激了许多大几何学家的工作,如列维—西维塔(Levi-Civita)、嘉当(Cartan)、外尔(Weyl)等等。”〔7〕正是爱因斯坦“弯曲空间”的预言得到的及时确证这件事(1919),激发外尔提出了他的“规范不变性”的革命性思想。事实上,外尔从1917年至1923年期间的研究几乎完全集中在广义相对论及其数学基础方面。外尔的《空间、时间与物质》(1919)这部著作不仅是广义相对论,同时也是黎曼几何的第一次系统阐述。外尔拓展黎曼几何的根本目的,就是企图实现电磁和引力的统一场论这一宏伟目标。其实,“1854年黎曼在准备就职演讲时,实际上正在试图建立电磁、光和引力的共同基础。他在给其兄弟的一封信中曾谈到:‘我在重新着手关于基本物理定律之间的联系的研究,并且我深深地沉浸于这一研究之中’。”〔8〕可见,不论是外尔的统一场论以及其中作为规范场论思想先导的“标度不变性”(E ich Invarianz),还是黎曼本人的研究,都是在追求对物理世界基本相互作用的统一描述。
当然,规范不变性观念的提出,完全应当归功于外尔(1919)。外尔发现,按照广义相对论的要求,在引力场中坐标系统只能定域地加以定义,同样长度或时间标尺也将只能是定域的。因此,必须在每个时空点
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建立一个各自不同的量度单位。外尔称这样一组分立的标尺系统整体上成为一个“规范系统”。在他看来,一个规范系统像一个坐标系统一样,对于描述物理事物同样是必要的。由于客观的物理事件独立于我们所选择的描述框架,外尔坚持认为,规范不变性就像广义协变性一样,必须被所有物理理论所满足。
笔者认为,不论是狭义、广义相对论,还是规范场理论都包含一个深刻的科学哲学思想:“物理定律能保持在变换中的内在不变性”。(详细分析见拙作《从康德的科学哲学到规范场论》〔9〕)在相对论中,基于宇宙中没有绝对参照系的思想,作为物理世界本真规律的物理学定律,必定具有独立于参照系选择的内禀不变性。尤其是在广义相对论中,对于引力场弯曲空间,在不同时空点上不仅法线方向不断发生变化,而且长度和时间标尺都不统一,因此引力场中运动的描述要比起惯性系统复杂得多,参照系只能被“局域”地定义。既然如此,那么,在不同时空点上进行物理测量何以可能呢?不同的标尺之间怎样建立一种换算关系呢?全域的洛仑兹变换显然是不能胜任的。为了顺应新的需要,爱因斯坦定义了一种新的数学关系叫“联络”,它很快就得到微分几何学家的认可。既然引力场的弯曲空间只能定义局域坐标,那么这种由引力场确定的局域性就自然导致局域坐标系之间的兑换关系,这就是“联络”的观念。时空中每一点“联络”的值有赖于引力场的局域性质。因此,从规范理论的角度,狭义相对论与广义相对论的本质区别是,前者是整体理论而后者是局域理论,而这个“局域性”正是外尔规范理论的关键。
诚如K.M oriyasu所言,“外尔迈出的勇敢一步就是把规范联络等同于电磁势Aμ。”〔10〕这种等同的“根据”之一是联络自身的变换规律就像一个势,这直接表明有标量因子Λ的规范变化将把联络变换为9μS?9μS+9μΛ。对照经典电磁学,我们知道在规范变换下势的改变为Aμ?Aμ+9μΛ,则其中电场和磁场保持不变。在笔者看来,上面两个公式在数学形式上的等同性,所体现的深层次的思想正是“物理规律在规范变换下的内在不变性”。
可惜,外尔的“标度不变性”刚一提出就出问题,其最初方案的推断是与实验事实相矛盾的。例如,爱因斯坦指出,它意味着具有确定频率的光谱线不能存在。尽管如此,局域规范对称性的核心思想仍然保存了下来,而且随着量子力学的出现获得了新的意义。其基本思路是,规范变换可以重新解释成在波函数中的相的改变:φ?φe-ieλ,与电磁势Aμ类似的规范变换就变成Aμ?Aμ-9μλ,而在量子化的电磁场中带电粒子的薛定谔波动方程(即物理学规律)在以上两种变换下都保持不变。如此看来,波函数的“相”完全满足新的局域变量的要求。因为这个相因子不直接涉及时-空变量的测量,这将对任何可观察量都没有影响。势的表观任意性(即波函数的相位的任意性)不影响波动方程。物理学规律仍然保持内在的不变性。这就是“规范不变性”的真谛。至此,外尔“规范不变性”的思想内核不仅被重新发现,而且得到了更正确的解释和更深刻的理解。“物理规律在规范变换下保持内在不变性”的思想,真正站住了脚。“宇宙奥秘深藏于数学规律,尤其是基本对称性之中”的毕达哥拉斯主义理念,在规范理论中仍然具有启发价值。
当然,最重要的一步是1954年杨振宁和米尔斯所迈出的。他们提出,核强力可以用像电磁场一样的“具有规范不变性的场论”来描述。他们假设这种具有“局域规范不变性”的群就是S U(2)同位旋群,正是这个革命性的观念改变了人们对于基本相互作用的理解。
洪定国在《物理实在论》一书中,就对基本粒子论中的“规范对称性”(包括外部和内部对称性)作了精细的分析。他指出,在彭加勒群(罗仑兹群是其子群)变换中,基本粒子场方程保持形式不变,从而基本粒子的外部时空对称性得到最终形式的体现。另一方面,基本粒子的内禀性质的对称性是通过幺正变换群来描述的,后者又分解为相变换群与特殊幺正群US(n)等等〔11〕。电磁场是最简单的规范场,U(1)是体现其规范对称性的幺正群。杨-米尔斯理论是基于S U(2)规范对称性的,即二维特殊幺正群,它所取得的初步成功,为后继者铺平了道路。受此鼓舞,1970年代初格拉肖、温伯格、萨拉姆以S U(2)×U(1)规范对称性为基础成功地建构了弱-电统一理论。此后又出现了以更大的规范对称性S U(3)×S U(2)×U(1)为基础的大统一理论,企图将强力、弱力、电磁力都统一为一种规范作用。其中最简单且有代表性的是S U(5)方案,如此等等。
整个说来,在规范理论的构架中,“对称性确定动力学”是一个极为深刻的新物理思想。对称性是自然秩序的一种象征。由于规范场包含着深刻的内在对称性,而对称性确定动力学,确定着相互作用。最终,杨振宁总结说:“近(现)代物理学研究自然界的‘力’,发现共有四种:核力、电磁力、弱力和引力。四种力和它们的能都是规范场。”〔12〕
关于基本对称性与粒子物理学的关系,海森伯在《二十世纪物理学中概念的发展》一文中,则说过一段话意味深长的话:“可以说,物理学的现代发展又从德谟克里特哲学重新回到了柏拉图哲学。事实上,如果
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我们想把物质一步一步地分下去,那就正好按照柏拉图的观念,我们最终得到的不是最小的粒子,而是由对称性所决定的物质客体。柏拉图式的物体,其基础是三角形。现代物理学中的粒子,正是基本对称性的数学抽象”。〔13〕
根据毕达哥拉斯主义的理念,抽象的“数学对称性”对揭示物理世界的奥秘往往有示向作用,因此探索新的对称性已经成为现代物理学家认识世界的一种重要手段。
四、规范场论纲领与物理学几何化纲领是统一的
规范场论纲领直接继承了量子场论纲领的全套基本理念,它是场本体论的、量子化的,只是在理论结构上,加上了规范对称性(规范原理)的严格限制。任何规范理论的核心是具有规范对称性的群和它在决定理论动力学(以相关的守恒定律为标志)时的关键作用。对称性可以有不同的类型:(1)如果一个对称性的表象在不同时空点都是同样的,称作全域对称性。(2)否则,称作局域对称性。(3)如果相关可观察自由度在本质上是属于外部时空的,则是外部对称性。(4)否则,就是内禀对称性。〔14〕
现代规范理论正是从外部对称性到更普遍的局域内禀对称性的推广。这第一步是由杨振宁和米尔斯所采用的,当时他们想要寻找假定同位旋守恒定律的后果。同位旋概念是由N.K emmerz在1938年引入的,“同位旋”被设想为在进行相互作用时与“电子自旋”相类似。它在随后的核力理论和规范场理论中都有重要作用。“同位旋守恒”是核力对电荷无关性这一事实的重新表述。按海森伯的说法,质子和中子是在一个抽象的“同位旋空间”中的同一个粒子的两个状态。既然电荷守恒与相不变性有关,那么通过类比,人们就会猜想强相互作用在同位旋转动中有不变性。
从科学哲学的观点看,在“规范不变性”的思想中所体现的是,客观的物理事件独立于我们所选择的描述框架,即物理学定律具有某种深刻的内在不变性。“同位旋不变性”属于规范不变性之列(“同位旋空间”属于“内部空间”的一种)。杨与米尔斯所得的结果意义重大。
我们强调,数学对称性是关于物理世界基本结构知识的本质核心。现在,杨-米尔斯规范势Bμ是规范场形式结构的体现。它包含着同时体现外部时空和“内部空间”结构的双重作用:一方面,作为外部时空中的四维矢量场,另一方面作为体现内部自由度的S U(2)同位旋矢量算符。类似地,电磁势Aμ及其同场的相互作用在本质上也被“相位不变性”的要求所决定。概括地说,“规范不变性”的要求是一个决定相互作用形式的强有力的原理。规范原理具有普适性,因为多种相互作用都可以通过“规范势”来刻画。这个原理在旧量子场论中是没有的,却是规范场纲领的基石。
从规范场纲领,回头来看爱因斯坦的引力场理论。原来,引力场的几何化可以归结为规范场的几何化问题。爱因斯坦提出的广义相对性原理包含物理表述Π数学表述两方面的思想:物理上强调的是自然定律的普适性,数学上强调的则是坐标变换中的广义协变性(变换中之不变性)。可是批评者却误以为,任何非广义协变理论似乎都可以通过一定的数学变换重铸成广义协变形式。因此广义协变性原理没有实质性内容。然而,曹天予却提出了强有力的反驳。因为在批评者所做的那些变换所得的结果中,时空是平坦的,并且外部对称是全域的,而引力相互作用则必定由弯曲时空的“局域对称性”所支配的。可见,真正的“广义协变性”必定是局域对称的,这是引力场弯曲时空所满足的唯一一类对称性。规范对称性原理仍然是不可或缺的。
此外,在电磁场理论(作为一种最早的规范理论)与广义相对论的理论结构之间存在着高度的相似性,从规范场理论的眼光看,这是不足为怪的。相似性在于:以电磁场对应于引力场,以局域相函数对应于局域切矢,以电磁势对应于仿射联络,以规范不变性对应于广义协变性。一方面,爱因斯坦已经做到的是“引力场的几何化”:让彭加勒群的“局域对称性”消除时空的平坦性,并要求引进与引力相关的时空几何结构,比如矩阵、仿射联络和曲率。现在发现,规范场的理论结构与引力场的情况是相互对应的,它们之间可以恰当地进行类比。另一方面,对于引力以外的其它相互作用,人们确信也都可以用规范相互作用来描述。还存在着多种具有内部对称性的空间:电磁学中的相空间,看来像一个环;核物理学中的同位旋空间(is o2 space),看来像一个三维球的内部;还有描述强相互作用的更加抽象的“色空间”等等。翻译成微分几何的语言是,在每一时空点上嫁接的内部空间称为“纤维”,这个内部空间(纤维)与外部时空(底空间)的联合称为“纤维丛空间”。
曹天予在《规范理论和基础物理学的几何化》(1987)中提出了将规范场与引力场进行细致类比的思42
想。如果从规范场论的眼光来看引力场,那么“局域规范对称性”就可消除时空的“平坦性”,而“仿射联络”能够在弯曲时空中起到联络不同时空点方向的作用。与引力场的弯曲时空相似,物理系统的内部空间的方向在不同时空点也是不同的。因此局域规范对称性也要求引入规范势,这相应于规范作用,以便联络在不同时空点的内方向。这样,规范势在规范理论的“纤维丛空间”中所起的作用,恰好等同于仿射联络在广义相对论的“弯曲时空”所起的作用。因此,规范相互作用应当看作一种新的几何化。〔15〕前文提到过,在广义相对论之后爱丁顿就认识到,需要有一种“世界结构的几何”,作为时间、空间和事物的共同基础(1921)。笔者确信,爱丁顿是深刻的,宇宙的基本结构及其相互作用的奥秘确实深藏于数学规律,尤其是基本对称性之中。这一思想应当推广到微观世界的“内部空间”中去。现代规范理论就是从局域外部对称性到更一般的局域内禀对称性的一种推广。从“世界结构的几何”的眼光看,杨振宁规范场理论的根本特点就在于“外部时空”与“内部空间”的整合,它是分三个步骤完成的:(1)建立规范场理论的两篇奠基论文(关于“同位旋守恒和规范不变性”,1954)。(2)外部空间和“内部空间”概念整合的微分形式(1967)。(3)外部空间和“内部空间”概念整合的积分形式(1974,1975)。具体说:(1)在最初的杨-米尔斯
理论(1954)中,所谓的微分形式、内部自由度,虽然以复数的简单相推广到李群的生成元,只是推广了量子电动力学。(2)外部空间和“内部空间”概念的初步整合(微分形式)。到1967年,内部与外部自由度的接触点开始显现。吴大浚与杨振宁在其1967年论文《经典同位旋方程的一些解》中提出了一种对同位旋规范场方程的b
=Σiατf(r)Πr,这里α=1,2,3表示内部自由度的同位旋指标,i和τ是外部时空的指标,而r iα
是3-矢量(x1,x2,x3)的长度。这个解显然融合了同位旋指标与外部空间指标,在物理学上确实意味着全新的创造。(3)使规范理论获得更加鲜明的几何含义的,是杨振宁的《规范场的积分形式》(1974),而吴大浚和杨振宁的《不可积相因子以及规范场的全域表述》(1975)的工作则进一步强化了这一点。1974年论文最主要的是引入了“不可积相因子”概念。由此,杨振宁发现,引力场理论中所用的平移概念、线性联络、黎曼曲率,分别只是规范场理论中不可积相因子、规范势、规范场强的特例。
引申一点说,引力场几何化纲领实质上可以看作规范场纲领的特例,规范场纲领是更高、更普遍的观念。现在,杨振宁关于规范场的一般观念已经被普遍接受。上述规范积分形式和全域表述的工作,更加清楚地表明了规范场是高度几何化的。不仅外部空间可以几何化,而且“内部空间”也可以几何化。对应在微分几何中,这个“内部空间”(纤维)与外部时空(底空间)的联合称为“纤维丛空间”。因此,如果说杨振宁“物理学的规范场理论”与陈省身“微分几何的纤维丛理论”遥相呼应和不谋而合是出于天意,那么这种说法实不为过。杨振宁在断言各种自然力都是规范场之后,提出一个有趣的谜语:“为什么自然界的各种力都要建筑在几何学的纤维丛观念上”?我们猜想的谜底是:从微观到宏观,物理世界的基本结构及其相互作用的奥秘都深藏于数学规律,尤其是基本对称性之中,这对于规范场问题没有例外。
〔参考文献〕
〔1〕〔14〕T ian Y u C AO.G auge Theory and the G eometrization of Fundamental Physics,in Philosophical Foundations o f Quantum Field Theory 〔M〕,edited by Harvey R.Brown And R om Harre,Clarendon Press.Ox ford,pp.117-132.
〔2〕T ian Y u C AO.Conceptual Developments o f20th Century Field Theories〔M〕.Cambridge University Press1997.
〔3〕桂起权:《物理学的毕达哥拉斯主义研究传统》,载吴彤等主编《科学技术的哲学反思》〔C〕.北京,清华大学出版社2004年8月版,第183-198页。
〔4〕桂起权:《对称性破缺与宇宙设计》〔J〕.载北京《自然辩证法研究》2007(1)。
〔5〕桂起权、宋伟:《充实的真空:量子场的实在论与生成辩证法》〔J〕.载郑州《河南社会科学》2007(2)。
〔6〕薛晓舟:《量子真空物理导引》〔M〕.北京,科学出版社2005年版。
〔7〕杨振宁:《杨振宁文集》〔M〕.上海,华东师范大学出版社1998年版,第237-238页。
〔8〕郝刘祥:《外尔的统一场论及其影响》〔J〕.载北京《自然科学史研究》2004(1)。
〔9〕桂起权、李继堂:《从康德的科学哲学到规范场论》〔J〕.载北京《自然辩证法研究》2004(6).
〔10〕K.M oriyasu.An Elementary Primer For Gauge Theory,W orld Scientific,1983,p.13.
〔11〕洪定国:《物理实在论》〔M〕.北京商务印书馆2001年版,第374-382页。
〔12〕陈省身:《陈省身文选》〔C〕.北京科学出版社1989年版,第352页。
〔13〕海森伯:《二十世纪物理学中概念的发展》,《现代物理学参考资料》第三集〔C〕.北京,科学出版社1978年,第29页。
〔责任编辑 胡新和〕
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Abstract
H umanism on the“I ce Slopes of Logic”———A Study on Schlick’s Scienti fic H umanism(p.1)
HAO Y uan
(C ollege of Humanities and S ocial Sciences,G raduate University of Chinese Academy of Sciences,Beijing)
Schlick’s scientific philos ophy embodies flourishing thoughts of Scientific Humanism,which mainly contains the three levels of connota2 tions as follows:(1)struggling against traditional metaphysician w orldview s o as to positively construct the“scientific conception of w orld”which con firms the humanistic values of human reas on and scientific knowledge,(2)illuminating the significant role of“the passion of y outh”and“the freedom of play”in the m otive power of science s o as to publicize the humanistic meaning of the pursuit of truth in scientific enterpris2 es,and(3)revealing the fundamental regularities of human being by logic analysis and psychological inquiry s o as to adv ocate the scientific outlook of life which pursues the secular happiness and self-fulfillment.Schlick’s scientific humanism tries to make relatively rational tension between science and humanities,tradition and rev olution,theory and practice,place the“ice slopes of logic”on the“ground of humanities”, thus adding an inspiring approach to the communication and integration between science and humanities.
Suspicion of Apollo Moonlanding and R eflection on Public Discourse(p.8)
SHI Bin,J I ANG X iao-yuan
(Department for the History of Science&Philos ophy of Science of Shanghai Jiaotong University,Shanghai)
The authenticity of Apollo M oonlanding Project has been suspected since1970s.A fter the turn of the century,the concern of this event has been heating up at home and abroad.The discussion and debate is being formed in the public sphere.F ounded on the com prehensive ex2 ploration of the skeptical view points,this article begins from the suspicion,analyses the debate of the m oonlanding’s authenticity,tries to dis2 cover the changes of attitudes and discourses of the public concept to science from this event.
A Study of the Evolution of Ethical Considerations of Chinese E ngineers:
B ased on a H istoric I nquiry into the R evisions of the Ethic Code of
China I nstitute of E ngineer from1933to1996(p.14)
S U Jun-bin,C AO Nan-yan
(Institute of STS,Tsinghua University,Beijing)
From a perspective of the s ocial study of technology,this paper investigates the first formulation of the ethical code of China Institute of Engineer(CIE)in1933and the revisions adopted in1941and1996.A fter com paring CIE code of ethics to contem porary codes approved by American engineer s ocieties respectively,the authors explore the ethical considerations of CIE and analyze the factors which in fluenced the eth2 ical considerations of engineers.
Comments on the R esearch Program of G auge Field Theory
———R einterpretaion through Pythagorean Mode(p.20)
G UI Qi-quan
(Philos ophy School,Wuhan University,Wuhan,Hubei)
The essence of the basic structure and interaction of cosm os are rooted in the law of mathematics which is the basic idea of Pythag orean2 ism.I t is embodied in the three research programs of m odern physics:(1)According to the program of geometrization of physics,the essence of the Curved S pace in gravitational field needs to be explicated by Riemannian geometry,differential geometry,tens or analysis;(2)According to the program of quantum field theory,the generation and annihilation operator can represent and reconstruct the relevant micro-mechanism conveniently and exactly;and“the ontology of field”and“dialectics of generation”can both be embodied.(3)According to the program of gauge field theory,the essence of four natural interaction are rooted in“gauge symmetry”.The third program is the combination of the former tw o programs.
On T arski’s Semantic Definition of T ruth(p.26)
T ANG Fang-fang
(Department of Philos ophy,Tsinghua University,Beijing)
The semantic conception of truth was crucial for logic and philos ophy of language.The semantic explanation of truth that T arski made im2 posed great effect on the foundations of semantics of logic and philos ophy of language,which reflected that logic technique was helpful for re2 s olving the problems in philos ophy.H owever,s ome papers on T arski’s im portant results con fused s ome conceptions.This paper w ould clarify the meaning of“essentially richer”by com paring tw o fam ous papers of T arski on the concept of truth,and em phasize that the idea of hierarchy of language played a role in the semantic definition of truth.And this idea im proved our understanding of the Incom pleteness Theorem.
011
证明毕达哥拉斯定理 制作：有丘直方 毕达哥拉斯定理 222BC AC AB =+ 或者可以这么说： 直角三角形的一条直边的长度乘自己得到的积和另一条直边的长度乘自己得到的积相加的和等于斜边的长度乘自己得到的积——是不是很烦？ 中国人称这条定理为“勾股定理”，他们把直角三角形的两条直边的长度分别叫做“勾”和“股”，斜边就叫“弦”。这就简单多了： 直角三角形中的勾乘自己得到的积和股乘自己得到的积相加的和等于弦乘自己得到的积。 甚至可以更简单，因为如果用“勾”、“股”和“弦”的话，就不用画图了。这又是因为“勾”、“股”和“弦”只在直角三角形中出现。 222弦股勾=+ 简单不？中国人就是聪明，因为勾股定理比毕达哥拉斯定理早发现好多年，而且更简单。 证明毕达哥拉斯定理 首先，我们画一幅图： 啊，真乱。让我们先把重要的部分先择出来。 我们现在需要证明图中用蓝色的线表示的HDEG JAHI ABCD □□□=+（因为ABCD □是2AD 、JAHI □是2AH 、HDEG □是2HD ）。其中，用蓝色的粗线表示的形状就是我们图中最最重要的部分——直角三角形。图中用绿色的线表示的诸线段是辅助线，用绿色的虚线表示的线段都是很少时候才用到的辅助线。 根据定理，我们只要证明XDEF ABCD □□=且HXFG JAHI □□=就能证明HDEG JAHI ABCD □□□=+，因为HDEG HXFG XDEF □□□=+（这是肯定的）。
我们先不看JH 、ID 、AG 和HF ，这些线段暂时用不到。我们先证明XDEF ABCD □□=。 因为ABCD BCD □△21=且XDFE DEF □△2 1=，所以我们只要证明出BCD DEF △△=就可以推出XDEF ABCD □□=。这又是因为等号两边同时缩小2 1倍，这个等式还是成立。 现在，让我们先岔开一下，看看两个角——你会知道为什么我们要提到它们的。这两个角是：CDH ∠和ADE ∠。先看CDH ∠，它被AD 分成了两个角：CDA ∠和ADH ∠；再看ADE ∠，它被HD 分成了两个角：HDE ∠和ADH ∠。所以，?+=90∠∠ADH CDH （CDA ∠是直角，所以用?90代替）且?+=90∠∠ADH ADE （HDE ∠是直角，所以用?90代替）。看看这两条等式，你会发现其实ADE CDH ∠∠=！这很重要！ 让我们再看看两个三角形——你会知道为什么我们要提到它们的。这两个三角形是：CDH △和ADE △。先看CDH △，它的两条蓝色的边的长度分别是AD 和HD （AD 其实是CD 的长度，因为他们标了全等标记，所以CD 可以用AD 表示）；再看ADE △，它的两条蓝色的边的长度分别是AD 和HD （HD 其实是DE 的长度，因为他们标了全等标记，所以HD 可以用DE 表示）。比较一下CDH △和ADE △，它们有两条对应的邻边相等！因为当两个三角形中有两条对应的边相等且这两条边之间的夹角相等则这两个三角形全等，所以ADE CDH ≌△△（因为它们之间的夹角ADE CDH ∠∠=）。 我们接下来先看看CDH △与BCD △之间的关系。你发现了没？它们的面积是相等的！因为两个三角形，如果它们的底和高相等，那么它们的面积相等。如果它们的底的长度都是CD ，那么高的长度就都是BC （因为平行线之间的线段长度相等且CD BH ∥，CD BH ∥又是因为BH 和CD 都垂直于BC ） 。再看看ADE △与DEF △之间的关系。它们的面积也是相等的！因为它们的底和高相等。如果它们的底的长度都是DE ，那么高的长度就都是FE （因为平行线之间的线段长度相等且DE AF ∥，DE AF ∥又是因为AF 和DE 都垂直于FE ）。 那么现在……ADE CDH △△=且BCD CDH △△=且DEF ADE △△=。通过这 三条等式我们就可以推出BCD DEF △△=！那么让它们都被2 1除，就能得到XDEF ABCD □□=了！
关于毕达哥拉斯定理的证明 业:XXXXX 姓名：XX 指导老师：XX 摘要:对于几何原本中毕达哥拉斯定理的证明过程，欧几里得以定义，公设，公理的方式进行推理，现将所有涉及毕达哥拉斯定理的证明命题提出。 关键词:毕达哥拉斯定理，定义，公设，公理。 正文： 定义：1.点是没有大小的东西 2. 线只有长度而没有宽带 3. 一线的两端是点 4. 直线是它上面的点一样地平放着的线 5. 面只有长度和宽带 6. 面的边缘是线 7. 平面是它上面的线一样地平放着 8. 平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度 9. 当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角. 10. 当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角每一个被叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。 11. 大于直角的角称为钝角。 12 .小于直角的角称为锐角 13. 边界是物体的边缘 14. 图形是一个边界或者几个边界所围成的 15. 圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个 点所连成的线段都相等。 16. 这个点（指定义15中提到的那个点）叫做圆心。 17. 圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段， 且把圆二等分。 18. 半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形，半圆的圆心与原圆心相同。
19. 直线形是由直线围成的.三边形是由三条直线围成的，四边形是由四条直线围成的，多边形是由四条以上直线围成的? 20. 在三边形中，三条边相等的，叫做等边三角形；只有两条边相等的，叫做等腰三角形；各边不等的，叫做不等边三角形? 21. 此外，在三边形中，有一个角是直角的，叫做直角三角形；有一个角是钝角的，叫做钝角三角形；各边不等的，叫做不等边三角形? 22. 在四边形中，四边相等且四个角是直角的，叫做正方形；角是直角，但四边不全相等的，叫做长方形；四边相等，但角不是直角的，叫做菱形；对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的，叫做斜方形；其余的四边形叫做不规则四边形? 23. 平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线.0 公理：1.等于同量的彼此相等 2. 等量加等量，其和相等； 3. 等量减等量，其差相等 4. 彼此能重合的物体是全等的 5. 整体大于部分。 公设: 1.过两点能作且只能作一直线； 2. 线段（有限直线）可以无限地延长； 3. 以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆； 4. 凡是直角都相等； 5. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°,则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。 作图证明： 1. 在一个已知有限直线上作一个等边三角形 设AB是已知直线 以A为圆心，以AB为距离画圆 以B为圆心，以AB为距离画圆 两圆交点C到A,B的来连线CA,CB ?/ AC=AB BC=BA ??? CA=CB=AB ???△ ABC是等边三角形
名人故事：毕达哥拉斯的故事 公元前570年左右，毕达哥拉斯出生在米里都附近的萨摩斯岛(今希腊东部的小岛)，他最先概括“数学”和“哲学”两门学问和推算出“直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和”定理。 古希腊人热爱运动，崇尚健壮的体魄，欣赏高超的竞技能力。一次，菲罗斯僭主勒翁邀请毕达哥拉斯观看竞技比赛。盛大的竞技场里人山人海，场面恢宏。毕达哥拉斯与勒翁谈天说地，气氛和谐。勒翁很钦佩毕达哥拉斯的知识学问，看到竞技场里各种身份的人士和竞技台上身怀绝技的勇士，便转身问毕达哥拉斯是什么样的人。 毕达哥拉斯说：我是哲学家(希腊语哲学的意思是爱智慧，哲学家就是爱智慧的人)。这也是人类第一次使用哲学这个词。 勒翁问为什么是爱智慧，而不是智慧? 毕达哥拉斯说，只有神是智慧的，人最多是爱智慧。就像今天来竞技场的各种各样的人，有的是来做买卖挣钱的，有的是无所事事闲逛的，而最好的人是沉思的观众。如同生活中，不少人为卑微的欲望追求名利，只有哲学家寻求真理。 从此，世界有了哲学家，追求真理也成为哲学家永不放弃的目标和信念。 孔子和毕达哥拉斯是同时代的人，也是两种不同文化传统的创立者和代表者(古代中国的儒家学和古希腊的毕达哥拉斯学派)。虽然这两位思想家所在的人文环境和地理环境相差遥远，但他们有关“和”
的思想以及对音乐功能的认识却表现出极大的相同点。 汪精卫对我说，现在，你的军队应该跟日本人打一下。我就问他，是真打吗?你中央是不是有所准备，有所办法?如果没有，打一下结果会怎样?一定打败!那你为什么要打呢? 有一天，毕达哥拉斯路过一家铁匠铺，听到铁锤打击铁砧的声音，辨听出了四度、五度和八度三种和谐音。他猜想是由于铁锤重量的不同导致了声音的不同，于是通过称量不同铁锤的重量确认了这种关系。 随后，他又在竖琴上做进一步试验。根据不同长度弦的振动，发现了弦的长短与和谐音的关系。证明音乐中蕴藏着数的奥秘，竖琴之所以能发出悦耳的音调，是因为合乎一定数的关系。他甚至认为灵魂就是一种和谐。因此，“毕达哥拉斯是千古第一人表现声音与数字比例相对应，比任何人更早把一种看来好像是质的现象——声音的和谐——量化，从而率先建立了日后成为西方音乐基础的数学学说。” 毕达哥拉斯认为数是万物的本源，万物由数构成。 他对数充满敬畏。相信是数创造了世界，通过对数的研究能了解宇宙的奥妙。而‘一’最为基本，既是一切数的开始，又是计量一切数的单位，与理性、灵魂、本体是同一个东西。 有一个人听了他5年课，最后他还是拒绝与这人见面。心怀强烈的嫉恨，这人放火烧了毕达哥拉斯的房子，克罗内托城对他言行不满的人乘机发起攻击。他本来可以跑脱的，路上他遇到一块豆地就停了下来，他宁愿被抓住也不穿过豆地，违背自己的禁忌，宁愿被杀也不玷污自己学的说。这样，他被追上来的人割断喉管。
几何学中，有着无数定理，毕达哥拉斯定理是其中最诱人的一个。毕达哥拉斯定理的历史最悠久、证明方法最多、应用最广泛，它是人类科学发现中的一条基本定理，对科技进步起了不可估量的作用。中世纪德国数学家、天文学家开普勒称赞说：“几何学中有两件瑰宝，一是毕达哥拉斯定理，一是黄金分割律。”在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。数学公式中常写作a2+b2=c2 “勾三股四弦五”是我们现在耳熟能详的“勾股定理”中的一个特例，它早在西汉的数学著作《周髀算经》中就已经出现，遗憾的是我们的祖先没有从这一特例中发现普遍意义，而拱手将这一定理的发现权及冠名权让给了古希腊著名数学家和哲学家毕达哥拉斯。他第一个用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。因而这条定理在西方以他的名字命名，被称为“毕达哥拉斯定理”。 大约在公元前572年，毕达哥拉斯出生在爱琴海的萨摩斯岛。自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学，后来因对东方的向往，游历了巴比伦、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明，大约在公元前550年才返回希腊，创建了自己的学派。此后他一边从事教育，一边从事数学研究。 毕达哥拉斯定理是毕达哥拉斯一个最具代表的数学成就，关于这一定理的发现还有一个有趣的故事。相传，毕达哥拉斯应邀参加一次豪华聚会，不知道什么原因，大餐迟迟不上桌。善于观察和理解的毕达哥拉斯没有注意这些，而是被脚下规则、美丽的方形石砖所深深吸引，他不是在欣赏它们的美丽而是在思考它们和“数”之间的关系。于是，在大厅广之下，他蹲在地板上，拿了画笔在选定的一块石砖上以它的对角线为边画一个正方形，结果惊奇的的发现这个正方形的面积恰好等于两块砖的面积和。开始他以为这只是巧合，但当他爸两块砖拼成的矩形之对角线做另一个正方形时，这个正方形面积相当于5块砖的面积。这也就是说它等于以两股为边作正方形面积之和。后来，他又做了进一步演算，最终证明了“毕达哥拉斯定理”。 这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。历史上，印度、阿拉伯、日本、美国等许多国家和地区的数学家对毕达哥拉斯定理都有独到的研究。在探索定理证明的人海中，不但有数学家，还有物理学家、画家、政治家，甚至还有一位美国总统。美国第20届总统加菲尔德，在他当选总统的前5年还是一位议员。1876年，他在和其他议员一起做“思维体操”时，想出了一种证明毕达哥拉斯定理的方法，他的这一证法后来发表在《新英格兰教育月刊》上。总统证明毕达哥拉斯定理，成了数学史 上的一段佳话。 20世纪最伟大的科学家之一爱因斯坦，在中学时代对几何学 也是情有独钟。18岁的时候，爱因斯坦找到了毕达哥拉斯定理的 两种新证法。 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。 我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前1120年)答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。
初中数学综合实践活动课 一、实践活动主题：勾股定理的证明方法 二、实践活动背景： 1、背景说明：此内容为学生提供自主活动、自主探索的机会，有助于积累数学活动经验、培养创新意识,从而获取知识与技能. 2、课题的意义：勾股定理的数学教育价值绝不仅仅是公理体系中的一环，一般的几何定理教学环节包括：发现定理、证明定理和应用定理。而勾股定理承载了太多，它是一个引导学生与数学史上智者们对话的绝佳契机。通过勾股定理的学习能够了解知识背后的数学文化和数学史，体验数学美，感受数学的无穷魅力。而且，勾股定理的研究是我国古代杰出数学研究成果之一，为世界所瞩目，获得高度评价，在勾股定理的学习过程中感受到能够感受到民族自豪感，激发爱国热情。 3、课题介绍:本次实践活动所研究的勾股定理，是直角三角形的一条非常重要的性质，它也是几何学中重要的定理之一。勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。通过探索勾股定理的活动，体验由特殊到一般地探索数学问题的方法，尝试用数形结合来解决数学问题的思想。 三、实践活动目标： 1. 理解勾股定理的内容，知道勾股定理的五种重要证明方法，（赵爽弦图法、毕达哥拉斯证法、总统证法、青朱出入图法、欧几里得法）了解与勾股定理有关的一些数学史，体会数形结合. 2. 在勾股定理证明方法的赏析过程中感受数学文化，拓展思维，培养数学兴趣，感受数学美. 3. 在对勾股定理的独立自学、小组合作、展示交流过程中，逐步提高综合实践能力. 四、实践活动时间 五、学生特征分析 勾股定理的证明方法很多，本节课采用的是面积证法。首先由于前面没有系统学习面积证法，这种证明方法学生感到很陌生，尤其是觉得推理根据不明确不像证明，没有教师的启发引领，学生不容易独立想到。
经典有趣的数学家故事 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《经典有趣的数学家故事》的内容，具体内容：关于数学家的故事，我们听到的最熟悉的故事应该是阿拉伯的故事，因为阿拉伯发明了数字1，2，3，......，所以后来我们管这些数字叫做阿拉伯数字，其实，在数学界还有很多... 关于数学家的故事，我们听到的最熟悉的故事应该是阿拉伯的故事，因为阿拉伯发明了数字1，2，3，......，所以后来我们管这些数字叫做阿拉伯数字，其实，在数学界还有很多知名的数学家，下面我就给大家介绍几位，一起来看看。 高斯的故事： 关于高斯的故事,最广为流传的是"5050"。老师本来想用一道难题,让全班的同学安静一节课的时间,却没有想到小高斯只用了一两分钟就说出了答案。他把1、2、3......分别和100、99、98结对子相加,就得到50个101,最后轻易就算出从1加到100的和是5050。 毕达哥拉斯的故事： 毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)的贵族家庭，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。因为向往东方的智慧，经过万水千山，游历了当时世界上两个文化水准极高的文明古国——巴比伦和印度，以及埃及(有争议)，吸收了美索不达米亚文明和印度文明(公元前480年)的文化。
他最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用;认为无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学。他在数论和几何方面都有杰出贡献，尤其以最早发现"勾股定理"(西方称"毕达哥拉斯定理")著称于世。 陈景润 陈景润是我国有名的数学家。他不爱逛公园，不爱遛马路，就爱学习。他学习起来，常常忘记了吃饭睡觉。有一天，陈景润在吃中饭的时候，摸摸脑袋发现头发太长了，应该快去理一理，要不，人家看见了，还当他是个大姑娘呢。于是，他放下饭碗，就跑到理发店去了。 理发店里人很多，大家挨着次序理发。陈景润拿得牌子是三十八号。他想：轮到我还早着哩，时间是多么宝贵啊，我可不能白白浪费掉。他赶忙走出理发店，找了个安静的地方坐下来，然后从口袋里掏出个小本子，背起外文生字来。他背了一会，忽然想起上午读外文的时候，有个地方没看懂。不懂的东西，一定要把他弄懂，这是陈景润的脾气。他看表，才十二点半。他想：先到图书馆去查一查，再回来理发还来得及，站起来就走了。谁知道，他走了不多久，就轮到他理发了。理发员大声地叫："三十八号!谁是三十八号?快来理发!"你想想，陈景润正在图书馆里看书，他能听见理发员喊三十八号吗? 华罗庚 华罗庚初中毕业后，因家境贫寒，无力进入高中学习，只好到黄炎培在上海创办的中华职业学校学习会计。那时罗庚站在柜台前，顾客来了就帮助父亲做生意，打算盘、记账，顾客一走就又埋头看书演算起数学题来。
毕达哥拉斯 毕达哥拉斯 毕达哥拉斯(Pythagoras,572 BC?—497 BC?)古希腊数学家、哲学家。无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学!最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在2500年前的毕达哥拉斯。毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。以后因为向往东方的智慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃及（有争议），吸收了阿拉伯文明和印度文明(公元前480年)。 数的艺术 毕达哥拉斯学派认为“1”是数的第一原则，万物之母，也是智慧；“2”是对立和否定的原则，是意见；“3”是万物的形体和形式；“4”是正义，是宇宙创造者的象征；“5”是奇数和偶数，雄性与雌性和结合，也是婚姻；“6”是神的生命，是灵魂；“7”是机会；“8”是和谐，也是爱情和友谊；“9”是理性和强大；“10”包容了一切数目，是完满和美好。 毕达哥拉斯的黄金分割：(a:b=
毕达哥拉斯 最早把数的概念提到突出地位的是毕达哥拉斯学派、他们特别重视数学，企图用数来解释一切、宣称数是宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于使用而是为了探究自然的奥秘、他们从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了五那个数、这在今天看来是特别平常的事，但在当时的哲学和有用数学界，这确实是一个巨大的进步、在有用数学方面，它使得算术成为可能、在哲学方面，那个发明促使人们相信数是构成实物世界的基础、毕达哥拉斯定理——勾股定理 毕达哥拉斯本人以发明勾股定理(西方称毕达哥拉斯定理)著称于世、这定理早已为巴比伦人和中国人所知(在中国古代大约是战国时期西汉的数学 著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话、商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五、”商高那段话的意思确实是说：当直角三角形的两条直角边分别为3〔短边〕和4〔长边〕时，径隅〔确实是弦〕那么为5、以后人们就简单地把那个事实说成“勾三股四弦五”、这确实是中国闻名的勾股定理.)，只是最早的证明大概可归功于毕达哥拉斯、他是用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和，即毕达哥拉斯定理(勾股定理)、 整数的变化 毕达哥拉斯和他的学派在数学上有特别多创造，尤其对整数的变化规律感兴趣、例如，把(除其本身以外)全部因数之和等于本身的数称为完全数(如6，28，496等)，而将本身大于其因数之和的数称为盈数；将小于其因数之和的数称为亏数、 几何的其他贡献 在几何学方面，毕达哥拉斯学派证明了“三角形内角之和等于两个直角”的论断；研究了黄金分割；发明了正五角形和相似多边形的作法；还证明了正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体、
第2讲数学家的小故事一 1、阿基米德 阿基米德在数学上的发现创造是数不胜数，阿基米德螺线，抛物线上的弓形求面积方法含有现代积分思想，等等。 直到现在，全世界活着的人中，至少还有百分之六十的人数学知识比不上两千年前的阿基米德。 一个关于他的著名的故事是：叙拉古的国王委托金匠造一顶纯金的皇冠，但是怀疑里面被掺了银子，当然不可能通过把皇冠割开来检验这个王冠，于是便请阿基米德鉴定一下。 一次当他洗澡时正在冥思苦想，这时水漫溢到盆外，于是悟得不同质料的物体，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水也必不相等。根据这一道理，就可以判断皇冠是否掺假。 阿基米德高兴得跳起来，赤身奔回家中，口中大呼：“我发现了！我发现了！”于是便开始在大街上裸奔起来了，一直跑到家里。 阿基米德的死也具有传奇色彩。 公元前212年，罗马军队攻入叙拉古，并闯入阿基米德的住宅，他们看见一位老人在地上埋头作几何图形，士兵们将沙盘踩坏。 阿基米德怒斥士兵：“不要弄坏我的图！”士兵拔出短剑，刺死了这位旷世绝伦的大科学家，阿基米德竟死在愚蠢无知的罗马士兵手里。 还有一个版本是他死前说的话是：“让我做完最后一道题。” 关于阿基米德在数学史上的地位，美国的数学史学家贝尔在《数学人物》上是这样评价阿基米德的： “任何一张开列有史以来三位最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基米德，而另外两们通常是牛顿和高斯。不过以他们的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德。” 2、毕达哥拉斯： 毕达哥拉斯是一个杰出的数学家，他创立的有理数的概念至今对于一些受过高等教育的中国人还是一个难的东西。 他也是历史上最有趣味而又最难理解的人物之一。他建立了一种宗教，主要的教义是灵魂的轮回和吃豆子的罪恶性。 毕达哥拉斯教派有一些规矩是： 1．禁食豆子。 2．东西落下了，不要拣起来。 3．不要去碰白公鸡。 4．不要擘开面包。 5．不要迈过门闩。
关于毕达哥拉斯定理的证明 专业：××××× 姓名：×× 指导老师：×× 摘要：对于几何原本中毕达哥拉斯定理的证明过程，欧几里得以定义，公设，公理的方式进行推理，现将所有涉及毕达哥拉斯定理的证明命题提出。 关键词：毕达哥拉斯定理，定义，公设，公理。 正文： 定义：1. 点是没有大小的东西 2.线只有长度而没有宽带 3.一线的两端是点 4.直线是它上面的点一样地平放着的线 5.面只有长度和宽带 6.面的边缘是线 7.平面是它上面的线一样地平放着8. 平面角是在一平面内但不在一条 直线上的两条相交线相互的倾斜度. 9. 当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角. 10. 当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角每一个被叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。 11. 大于直角的角称为钝角。 12. 小于直角的角称为锐角 13. 边界是物体的边缘 14. 图形是一个边界或者几个边界所围成的 15. 圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等。 16. 这个点（指定义15中提到的那个点）叫做圆心。 17. 圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段，且把圆二等分。 18.半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形，半圆的圆心与原圆心相同。
19.直线形是由直线围成的.三边形是由三条直线围成的,四边形是由四条直线围成的,多边形是由四条以上直线围成的. 20.在三边形中,三条边相等的,叫做等边三角形;只有两条边相等的,叫做等腰三角形;各边不等的,叫做不等边三角形. 21.此外,在三边形中,有一个角是直角的,叫做直角三角形;有一个角是钝角的,叫做钝角三角形;各边不等的,叫做不等边三角形. 22.在四边形中,四边相等且四个角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四边不全相等的,叫做长方形;四边相等,但角不是直角的,叫做菱形;对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四边形叫做不规则四边形. 23.平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线.0 公理：1.等于同量的彼此相等 2.等量加等量，其和相等； 3.等量减等量，其差相等 4.彼此能重合的物体是全等的 5.整体大于部分。 公设: 1.过两点能作且只能作一直线； 2.线段(有限直线)可以无限地延长； 3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆； 4.凡是直角都相等； 5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。 作图证明： 1.在一个已知有限直线上作一个等边三角形 设AB是已知直线 以A为圆心，以AB为距离画圆 以B为圆心，以AB为距离画圆 两圆交点C到A,B的来连线CA,CB ∵AC=AB BC=BA ∴CA=CB=AB ∴△ABC是等边三角形
毕达哥拉斯 Pythagoras “万物皆数”——毕达哥拉斯 【毕达哥拉斯(Pythagoras)简介】 泰勒斯(Thales)在哲学上有个对立面，这个人就是首先提出物质运动应该符合数学规律的古希腊哲学家、数学家、天文学家——毕达哥拉斯(公元前560年～公元前480年)。 【人生简历】 公元前580年，毕达哥拉斯出生在米里都附近的萨摩斯岛(今希腊东部的小岛)——爱奥尼亚群岛的主要岛屿城市之一，此时群岛正处于极盛时期，在经济、文化等各方面都远远领先于希腊本土的各个城邦。 毕达哥拉斯的父亲是一个富商，九岁时被父亲送到提尔，在闪族叙利亚学者那里学习，在这里他接触了东方的宗教和文化。以后他又多次随父亲作商务旅行到小亚细亚。 公元前551年，毕达哥拉斯来到米利都、得洛斯等地，拜访了泰勒斯、阿那克西曼德和菲尔库德斯，并成为了他们的学生。在此之前，他已经在萨摩斯的诗人克莱非洛斯那里学习了诗歌和音乐。 公元前550年，30岁的毕达哥拉斯因宣传理性神学，穿东方人服装，蓄上头发从而引起当地人的反感，从此萨摩斯人一直对毕达哥拉斯有成见，认为他标新立异，鼓吹邪说。毕达哥拉斯被迫于公元前535年离家前往埃及，途中他在腓尼基各沿海城市停留，学习当地神话和宗教，并在提尔一神庙中静修。 抵达埃及后，国王阿马西斯推荐他入神庙学习。从公元前535年到公元前525年这十年中，毕达哥拉斯学习了象形文字和埃及神话历史和宗教，并宣传希腊哲学，受到许多希腊人尊敬，有不少人投到他的门下求学。 毕达哥拉斯在49岁时返回家乡萨摩斯，开始讲学并开办学校，但是没有达到他预期的成效。公元前520年左右，为了摆脱当时君主的暴政，他与母亲和唯一的一个门徒离开萨摩斯，移居西西里岛，后来定居在克罗托内。在那里他广收门徒，建立了一个宗教、政治、学术合一的团体。
费尔马大定理及其证明 近代数学如参天大树，已是分支众多，枝繁叶茂。在这棵苍劲的大树上悬挂着不胜其数的数学难题。其中最耀眼夺目的是四色地图问题、费尔马大定理和哥德巴赫猜想。它们被称为近代三大数学难题。 300多年以来，费尔马大定理使世界上许多著名数学家殚精竭虑，有的甚至耗尽了毕生精力。费尔马大定理神秘的面纱终于在1995年揭开，被43岁的英国数学家维尔斯一举证明。这被认为是“20世纪最重大的数学成就”。 费尔马大定理的由来 故事涉及到两位相隔1400年的数学家，一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费尔马。丢番图活动于公元250年前后。 1637年，30来岁的费尔马在读丢番图的名著《算术》的法文译本时，他在书中关于不定方程 x^2＋ y^2 ＝z^2 的全部正整数解这页的空白处用拉丁文写道：“任何一个数的立方，不能分成两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分成两个数的四次方之和，一般来说，不可能将一个高于二次的幂分成两个同次的幂之和。我已发现了这个断语的美妙证法，可惜这里的空白地方太小，写不下。” 费尔马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上的话。1670年，他的儿子发表了费尔马的这一部分页端笔记，大家才知道这一问题。后来，人们就把这一论断称为费尔马大定理。用数学语言来表达就是：形如x^n+y^n=z^n的方程，当n大于2时没有正整数解。 费尔马是一位业余数学爱好者，被誉为“业余数学家之王”。1601年，他出生在法国南部图卢兹附近一位皮革商人的家庭。童年时期是在家里受的教育。长大以后，父亲送他在大学学法律，毕业后当了一名律师。从1648年起，担任图卢兹市议会议员。
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 是一个，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。是的一个特例。约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的之一。“”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程a 2+b 2=c 2的正整数组(a ,b ,c )。(3,4,5)就是。也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理 命题1如果的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 。 勾股定理的逆定理 命题2如果的三边长a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。 【证法1】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每 个直角三角形的面积等于2 1ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB. ∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o， ∴ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o. ∴EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于. ∴ ∴. 【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b ，所以面积相等. 即，整理得. 【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC. ∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o. ∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于 .又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 ∴.∴.
数学家毕达哥拉斯的故事 ★以下是###为大家整理的关于数学家毕达哥拉斯的故事的文章，希望大家能够喜欢！更多儿童故事资源请搜索与你分享！ 毕达哥拉斯(Pythagoras)是希腊的哲学家和数学家。出生在希腊撒摩亚(Samoa)地方的贵族家庭，年青时曾到过埃及和巴比仑那裡学习数学，游歷了当时世界上二个文化水準极高的文明古国。毕达哥拉斯后来就到意大利的南部传授数学及宣传他的哲学思想，后来和他的信徒们组成了一个所谓「毕达哥拉斯学派」的政治和宗教团体。 毕达哥拉斯是比同时代中一些开坛授课的学者进步一点；因為他容许妇女（当然是贵放妇女而不是奴隶女婢）来听课。他认為妇女也是和男人一样在求知的权利上平等，所以他的学派中就有十多名女学者。这是其他学派所无的现象。 传说他是一个非常优秀的教师，他认為每一个都该懂些几何。有一次他看到一个勤勉的穷人，他想教他学习几何，所以对此人建议：如果这人能学懂一个定理，那麼他就给他一块钱币。这个人看在钱份上就和他学几何了，不过过了一个时期，这学生对几何却產生了非常大的兴趣，反而要求毕达哥拉斯教快一些，并且建议：如果老师多教一个定理，他就给一个钱币。不需要多少时间，毕达哥拉斯把他以前给那学生的钱全部收回了。 毕达哥拉斯是死在意大利科多拿城裡，在一场城市*中，他被人暗杀掉。他的坟墓现仍在意大利的这个古山城中，这坟墓就像中国的馒头式坟。二千多年过去了，这坟还保留下来，可见人们对这学者的重视。 毕氏建立毕达歌拉斯兄弟会，崇拜整数、分数為偶像，他们认為透过对数的瞭解，能够揭示宇宙神秘，使他们更接近神，事实是一个宗教性社团组织。入会时需宣誓不得将数学发现公诸於世，甚至在毕氏死后，有成员因公开正12面体可由12个正五边形构成的发现而被
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程a 2 + b 2= c 2的正整数组(a ,b ,c )。(3,4,5)就是勾股数。也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2 ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。 勾股定理的逆定理 命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。 【证法1】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 2 1 ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于 . ∴ ∴ . 【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即， 整理得 .
当地的荣誉市民毕达哥拉斯幼年时代随父亲到各地经商。他一边旅游，一边频繁转学，留了很多次级以后，总算混到了小学毕业。那时候的毕达哥拉斯大概十八岁。他提出自费留学的想法，得到了叔父的支持于是毕达哥拉斯揣着一笔钱踏上了求学之路。 毕达哥拉斯首先去米利都求学于当时的大腕泰勒斯。泰勒斯教授已经老态龙钟，没办法亲自指导毕达哥拉斯，于是就让自己的学生阿那克西曼德带毕达哥拉斯做毕业设计。这个故事告诉我们，研究生见不到导师，自古有之。毕达哥拉斯系统学习了米利都学派的哲学和几何学，受益匪浅。为此他举办了盛大的谢师宴，德高望众的泰勒斯先生也赏脸参加了。席间，微醺的泰勒斯拍着毕达哥拉斯的肩膀深情地说了八个字：“欲练神功... ...必须向东！（不是你想的那句）”泰勒斯并没有老糊涂，毕竟在那个时候，东方代表着先进文化的发展方向。 毕达哥拉斯遵从老师的建议，向东方游学。据信，他在埃及、巴比伦都做过访问学者。像他的导师泰勒斯一样，毕达哥拉斯也从这些国家吸取了大量有用的知识。在埃及做访问学者期间，毕达哥拉斯被当时正在入侵埃及的波斯国王冈比西斯俘虏，一度蹲了监狱。但当时毕达哥拉斯的学术声望已经很高，所以当冈比西斯得知他的俘虏是毕达哥拉斯时，立刻释放了他，还十分诚挚地道了歉。除了学问，毕达哥拉斯对东方的文化也十分崇拜，他特别喜欢迦勒底术士的花花绿绿的帽子，就弄了一顶整天戴着。后来的毕达哥拉斯画像上，你还能找到这顶奇怪的帽子。 学费差不多花光的时候，毕达哥拉斯发表了代表他一生学术思想的论文——《万物皆数也》。随着论文的发表，他也回到了阔别已久的家乡。毕达哥拉斯出现在萨摩斯街头的时候，着实引起了一阵轰动。他头戴花帽，身着花袍，言谈间还时不时夹杂着两句外语，这让他在以平和朴素为美德的希腊人中间显得格外酷。 为了生计，毕达哥拉斯创办了一所私立学校，开班授课。但即使毕达哥拉斯拥有海归背景，无奈海盗波吕克拉底统治下的萨摩斯时局不稳，他的学校惨淡经营，最后关门大吉。毕达哥拉斯又背井离乡了。毕达哥拉斯辗转西西里岛，最后在意大利南部的克罗托内（Crotone）定居。也正是在这里，毕达哥拉斯创建了著名的团体——毕达哥拉斯学派。若干年后，毕达哥拉斯曾经光顾的西西里岛上还诞生了另外一个著名团体——黑手党，这是后话，按下不表。 学派率先倡导了男女平等。毕达哥拉斯冒天下之大不韪，允许妇女参加学派举办的各类学习班，而在当时，妇女是被禁止出现在任何公共场所的。当然，你肯定已经恶毒地想到，毕达哥拉斯一定是有收获的。没错，毕达哥拉斯的老婆就是某一期学习班的班花，芳名西亚娜。 毕达哥拉斯认为上帝是用数来统御世界的，他的一个基本观念是：万物皆数。学派的重点科研领域是数论，不为别的，是因为自然数的很多奇妙性质符合毕达哥拉斯倡导的神秘哲学。毕达哥拉斯学派整天研究自然数，取得了不少成果。他们定义了奇数和偶数，并认为奇数是善的，偶数是恶的。1被认为既是善又是恶的开始。他们还把物理现象同数联系起来，以证明宇宙是按照数学设计的。比如当两根弦的长度比为1：2或者2：3这样的整数比例时，弦就发出谐音。毕达哥拉斯还据此发明了一套音阶，又给自己加了一个音乐家的头衔。
勾股定理（毕达哥拉斯定理）及 各种证明方法 勾股定理（毕达哥拉斯定理） 勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期 发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程a2 + b2= c 2的正整数组（a, b, c）。（3,4,5）就是勾股数。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和
等于斜边的平方。 勾股定理 命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么”+b— 勾股定理的逆定理 命题2如果三角形的三边长a，b，c满足 = 3，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明） 全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等 V Rt △ DAH 今 Rt △ ABE, A ZHDA = ZEAB ? ??? ZHAD + ZHAD = 90°, :. ZEAB + ZHAD = 【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边 长分别为a 、b,斜边长为c,再做三个边长分别 以a 、b 为直角边（b>a ）, 以c 为斜边作四个 于冲 把这四个直角三角形拼成如图所示形状 . 90°,
为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼 成两个正方形?从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即，整理得宀F八 【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 >.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上? ??? Rt △ EAD也Rt △ CBE,「? / ADE = / BEC. ??? / AED + / ADE = 90o,二 / AED + / BEC = 90o.二 / DEC = 180c—90o= 90o. ??? △ DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于
數與代數範疇 阿默士與雷因草紙卷 阿默士與雷因 阿默士(Ahmes)，古埃及人，約生於公元前17 世紀。 雷因(Henry Rhind)，英國人，生於19 世紀。 兩人似乎毫不相干，然而阿默士的著作，卻又被稱為《雷因草紙卷》"Rhind Papyrus"。你知道箇中的原因嗎？ 雷因草紙卷 話說在1858 年，英國人雷因在埃及古都的廢墟中發現了一本以象形文字寫成的紙草書。這部紙草書幅面長550 cm，闊33 cm。經鑑定後，發現是至今流傳的兩本最古的埃及數學著作之一。此書的作者阿默士是古埃及的祭司，他在書中寫著：「這本書的很多內容，是從金字塔時代一份更古老的文獻中抄出來的。」 在阿默士的紙草書中，提供了80 多道數學問題的解答方案，內容範圍包括：四則運算、解方程、面積、體積等等，充份展示了古埃及人的數學智慧。此外，書中也採用了一套有趣的記數符號： 阿默士的紙草書原名為《獲知一切奧秘的指南》，然而為了紀念雷因的發現，人們多稱此書為《雷因草紙卷》。 畢達哥拉斯和三角形數
談到畢達哥拉斯 (Pythagoras, 約公元前551-公元前479)，我們最熟悉的是「畢氏定理」。然而，畢達哥拉斯最熱衷的，原來並不是幾何學。 畢達哥拉斯是古希臘數學家，他認為每個數字都具有獨特的個性，有善有惡。他更認為 10 是一個完美的數字、神妙莫測。這是因為 10 是首四個正整數 1、2、3 和 4 之和，是一個三角形數。在音樂上，若拉緊一條長度為 1 單位的弦 可發出一個音調 do，把弦的長度改為這四個正整數的比：、和，所發出的便分別是fa、so和高一均的do等主要音調。 畢達哥拉斯創立了一個學派，名為畢達哥拉斯學派。這個學派的組織十分嚴密，並且帶有濃厚的宗教色彩。他們認為數是萬物的根源。他們研究數，不是為了實際的應用，而是為了透過對數的認識，揭露宇宙的永恆真理。可惜的是，由於學派嚴守保密的原則，所以很多研究成果都已失傳了。 丟番圖享年之謎 丟番圖(Diophantus, 約246 - 330) 是希臘人，長期在亞歷山大城做數學研究工作。當時正是亞歷山大城輝煌的年代，很多數學新觀念也是在那時形成的。由於在丟番圖的著作中，較少提及別的數學家，所以我們很難從他的著作中，判斷他的準確生卒年份，有關他生平的紀錄也不多。 丟番圖的著作 《算術》"Arithmetica" 是丟番圖的主要著作，是一部代數的論著。原書共有13 卷，保留至今天的只有 6 卷，相傳其餘7 卷在一場大火中被燒毀了。在《算術》中，丟番圖採 用了一套數學符號來表示未知量，例如：s 表示x，表示，表示，表 示，他也是首位用符號來表示冪的數學家。然而，由於他所考慮的是實際生活的問題，所以在解方程時，他並不考慮負數解。(在實際生活中，-4 個人是沒有意義的。)