2011年全国初中数学竞赛试题及答案（福建赛区）
一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分） （1
）设x =
(1)(2)(3)x x x x +++的值为( ). （A ）0
（B ）1
（C ）﹣1
（D ）2
*（2）对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对（a ，b ）与（c ，d ）之间的运算“△”为；（a ，b ）△（c ，d ）=（a c+bd ，ad +b c ）。如果对于任意实数u ，v ，都有（u ，v ）△（x ，y ）=（u ，v ），那么（x ，y ）为（ ）。
（A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（-1，0） （D ）（0，-1）
*（3）已知A ，B 是两个锐角，使满足2
25
sin cos 4A B t +=，2225cos sin 4
A B t +=，则实数t 所
有可能的和为（ ）。
（A ）83-
（B ）53- （C ）1 （D ）11
3
（4）点D E ，分别在△ABC 的边A B
A C ，上，
B E
C
D ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ???====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).
（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定
（5）设33331111
1232011
S =
++++ ，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4
（B ）5
（C ）6
（D ）7
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
（6）两条直角边长分别是整数a b ，（其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为 .
（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是 .
（8）如图，双曲线x
y 2
=
（x ＞0）与矩形OABC 的边CB ， BA 分别交于点E ，F ，且AF=BF ，连接EF ，则△OEF 的面积为 .
（9）⊙Ｏ的三个不同的内接正三角形将⊙Ｏ分成的区域的个数为_________。
（10）设四位数abcd 满足3333
110a b c d c d ++++=+，则这样的四位数的个数为________。 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
（11）已知关于x 的一元二次方程2
0x cx a ++=的两个整数根恰好比方程2
0x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.
（12）如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，
求证：点P 为CH 的中点.
（13）若从1，2，3，……，n 中任取5个两两互素的不同的整数a1，a2，a3，a4，a5，其中总有个整数十素数，求n 的最大值。
（14）已知0122011i a i >= ，， ， ， ，且122011a a a <<< ，证明：122011a a a ，，，中一定存在两个数i j a a i j <，（），使得(1)(1)
2010
i j j i a a a a ++-<．
2011年全国初中数学竞赛试题及答案（福建赛区）
一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分） （1
）设x =
(1)(2)(3)x x x x +++的值为( ). （A ）0 （B ）1
（C ）﹣1
（D ）2
【答】C ． 解：由已知得2
310x x ++=， 于是
222
2
(1)(2)(3)(3)(32)
(31)1 1.
x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-
*（2）对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对（a ，b ）与（c ，d ）之间的运算“△”为；（a ，b ）△（c ，
d ）=（a c+bd ，ad +b c ）。如果对于任意实数u ，v ，都有（u ，v ）△（x ，y ）=（u ，v ），那么（x ，y ）为（ ）。
（A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（-1，0） （D ）（0，-1） 答案
B
*（3）已知A ，B 是两个锐角，使满足
22
5sin cos 4A B t +=，2225cos sin 4
A B t +=，则实数t 所有可能的和为（ ）。
（A ）83- （B ）53- （C ）1 （D ）11
3
答案
B
（4）点D E ，分别在△ABC 的边A B A C ，上，B E C D ，相交于点F ，设
1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ???====四边形，，，，
则13S S 与24S S 的大小关系为( ).
（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 【答】C ．
解：如图，连接DE ，设1
DEF S S ?'=， 则
14
23
S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >． （5）设333311111232011
S =
++++ ，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5
（C ）6
（D ）7
【答】A ．
解：当2 3 2011k = ，，，，因为()(
)()32
111112111k k k k k k k ??<=-??-+-??， 所以3331111115
11123201122201120124
S ??<=+
+++<+-< ???? ． 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
（6）两条直角边长分别是整数a b ，（其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为 .
【答】31．
解：由勾股定理,得 12)1(222+=-+=b b b a ．因为b 是整数，2011
a 是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即2
2
2
3 5 63 ，，，．因此a 一定是3，5，…，63，故满足条件的直角三角形的个数为31．
（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是 .
【答】
16
． 解： 在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6）， （2，5）， （2，5）， （3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是
61
366
=. （8）如图，双曲线x
y 2
=
（x ＞0）与矩形OABC 的边CB ， BA 分别交于点E ，F ，且AF=BF ，连接EF ，则△OEF 的面积为 .
【答】
32
． 解：如图，设点B 的坐标为a b （,）,则点F 的坐标为2
b a （，）.因为点F 在双曲线2
y x
=
上，所以 4.ab =
又点E 在双曲线上，且纵坐标 为b ，所以点E 的坐标为2
(
,)b b
.于是 11212222221312.22
OEF OEC FBE
OFBC S S S S b b b a b a b b ab ???=--=+-??-??-=+-=梯形（）（）（） （9）⊙Ｏ的三个不同的内接正三角形将⊙Ｏ分成的区域的个数为_________。 答案28
【解答】不妨设。⊙Ｏ的半径为1，则以点O 为圆心，0.5为半径的圆是⊙Ｏ的内接正三角形的内切圆．因为过内切圆外一点只能作这个内切圆的两条切线，所以，⊙Ｏ的三个不同的内接正三角形中没有三条边交于一点，于是区域的个数为 28 .
（10）设四位数abcd 满足3
3
3
3
110a b c d c d ++++=+，则这样的四位数的个数为________。 答案5
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
（11）已知关于x 的一元二次方程2
0x cx a ++=的两个整数根恰好比方程2
0x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.
解：设方程2
0x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，
则方程2
0x cx a ++=的两根为1
1αβ++，，由题意得 ()()11a a αβαβ+=-++=，， ………………………………5分
两式相加，得2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=，
所以，2123αβ+=??+=?，； 或232 1.αβ+=-??+=-?
， ………………………………10分
解得 11αβ=-??=?，； 或53.αβ=-??=-?
，
又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），
所以01
2a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，， 故3a b c ++=-，或29. ………………………………………………20分
（12）如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.
证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，
连接 AH BD QB QC QH ，，，
，. 因为AB 为⊙1O 的直径，
所以∠ADB =∠90=?BDQ ．…………5分
故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，
.
又因为点H 为△ABC 的垂心，所以AH BC BH AC ⊥⊥，
所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. ……15分 所以点P 为CH 的中点. …20分
（13）若从1，2，3，……，n 中任取5个两两互素的不同的整数a1，a2，a3，a4，a5，其中总有个整数十素数，求n 的最大值。
（14）已知0122011i a i >= ，， ， ， ，且122011a a a <<< ，证明：122011a a a ，，，中一定存在两个数i j a a i j
<，（），使得(1)(1)
2010
i j j i a a a a ++-<．
证明：令2010
1 2 20111i i
x i a =
=+ ，，，，， ……………………………………5分 则20112010102010x x x <<<<< . …………………………………10分 故一定存在1≤k ≤2010， 使得11k k x x +-<，从而
1
20102010
111k k a a +-<++． …………………………………15分
即 11(1)(1)
2010
k k k k a a a a ++++-<． …………………………………………20分
2012年全国初中数学竞赛试卷答案（福建赛区）
（考试时间：120分钟，总分：150分）
一、选择题（每小题7分，共35分）
1．如果实数a ，b ，c a b b c ++可以化简为（ C ）
A ．2c a -
B ．22a b -
C ．a -
D ．a
解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知0b a c <<<，且b c >，所以
()()()a b b c a a b c a b c a +++=-+++--+=-
2．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标()x y ，的个数为（ B ）
A ．10
B ．9
C ．7
D ．5
解：由题设2222x y x y +≤+，得220(1)(1)2x y ≤-+-≤．因为x ，y 均为整数，所以有
22(1)0(1)0x y ?-=??-=??，22(1)0(1)1x y ?-=??-=??，22(1)1(1)0x y ?-=??-=??，22
(1)1
(1)1x y ?-=??-=??
解得11x y =??=?，12x y =??=?，10x y =??=?，01x y =??=?，21x y =??=?，00x y =??=?，02x y =??=?，20x y =??=?，2
2x y =??=?
,以上共计9对()x y ，
3．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=?，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ B ）
A ．23
B ．4
C ．52
D ．4.5
解：如图，以CD 为边作等边△CDE ，连接AE ．由于AC = BC ，CD = CE ， BCD BCA ACD DCE ACD ACE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．
所以 △BCD ≌△ACE ， BD = AE ．又因为30ADC ∠=?，所以90ADE ∠=?．
在Rt △ADE 中，53AE AD ==，，于是DE 4=，所以CD = DE = 4．
4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ D ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数． 由题设可得 2(2)2()
x n y y n x n +=-??+=-?．消去x 得，(27)4y n y -=+，(27)1515
212727y n y y -+==+--．
因为
15
27
y -为正整数，所以27y -的值分别为1，3，5，15．y 的值只能为4，5，6，11．
从而n 的值分别为8，3，2，1．所以 x 的值分别为14，7，6，7．
5．黑板上写有111
123
100
，
， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，
，然后删去a b ，
，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ C ） A ．2012 B ．101 C ．100 D ．99
解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变． 设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ，则111
1(11)(1)(1)...(1)23100
x +=+++??+， 解得，1101x +=，100x =．
二、填空题（每小题7分，共35分）
6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 719x <≤ ．
解：前四次操作的结果分别为
32x -，3(32)298x x --=-，3(98)22726x x --=-，
3(2726)28180x x --=-．由已知得，2726487
8180487
x x -≤??->?．解得719x <≤．
容易验证，当719x <≤，32487x -≤，98487x -≤，故x 的取值范围是719x <≤．
7．如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点．以OA 为对角线作矩形OBAC ，且12OC =．延长BC ，
与⊙O 分别交于D E ，两点，则CE BD -的值等于 28
5 ．
解：如图，设DE 的中点为M ，连接OM ，则OM DE ⊥．
因为16OB ==，所以161248
205
OB OC OM BC ??===，
3664
55
CM BM ===，．
CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-28
5
=．
8．如果关于x 的方程2
2393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为1x ，2x ，那么20122
20111x x 的值为
32
- ．
解：根据题意，关于x 的方程有2
2
394(3)04
2
k k k ?=--+≥，由此得2(3)0k -≤． 又2(3)0k -≥，所以2(3)0k -= ，3k =．
此时方程为2
9304x x ++=，解得1232x x ==-．故2011120122212
3
x x x ==-
9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一
场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分．比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 8 ．
解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知 23130a b +=．由此得043b ≤≤．
又(1)(2)
2
m m a b +++=
，所以22(1)(2)a b m m +=++．
于是0130(1)(2)43b m m ≤=-++≤，87(1)(2)130m m ≤++≤． 由此得8m =或9m =．
当8m =时，40b =，5a =；当9m =时，20b =，35a =，55
22
a b a +>=．不合题设．故8m =． 10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD DC =．分别延长BA ，CD ，交点为E ．作BF EC ⊥，
并与EC 的延长线交于点F ．若AE AO =，6BC =，则CF 的长为 22
3 ．
解：如图，连接AC ，BD ，OD ． 由AB 是⊙O 的直径知90BCA BDA ∠=∠=?． 依题设90BFC ∠=?，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，
所以BCF BAD ∠=∠．所以Rt BCF Rt BAD △∽△，因此 BC BA
CF AD
=．
因为OD 是⊙O 的半径，AD CD =，
所以OD 垂直平分AC ，OD BC ∥，于是 2DE OE
DC OB
==． 因此223DE CD AD CE AD ===，．由AED CEB △∽△，知DE EC AE BE ?=?．
因为322BA AE BE BA ==，，所以 32322BA AD AD BA ?=?，BA =．
故
AD CF BC BA =?==
． 三、解答题（每题20分，共80分）
11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，8AO =，AB AC =，4
sin 5
ABC ∠=
．CD 与y 轴交于点E ，且C O E A D E S S =△△．已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．
解：因为sin ∠ABC =4
5
AO AB =，8AO =，所以AB = 10．
由勾股定理，得6BO =
=．易知ABO ACO △≌△，
因此 CO = BO = 6． 于是(08)A -，
，(60)B ，，(60)C -，． 设点D 的坐标为()m n ，
．由COE ADE S S =△△，得CDB AOB S S =△△． 所以 1122BC n AO BO ?=?，11
12()8622
n ?-=??．解得 4n =-．
因此D 为AB 的中点，点 D 的坐标为(34)-，
．因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线， 点E 为△A BC 的重心，所以点E 的坐标为8
(0)3
-，． 设经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+．将点E 的坐标代入，解得
a =272
． 故经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为228273
y x =
-． 12．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心． 求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）2AB AD BD +=．
解：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知
CID IAD IDA ∠=∠+∠，CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠． 所以CID CDI ∠=∠， CI = CD ．
同理，CI = CB ．故点C 是△IBD 的外心．连接OA ，OC ，因为I 是AC 的中点，
且OA = OC ，所以OI ⊥AC ，即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线． （2）如图，过点I 作IE ⊥AD 于点E ，设OC 与BD 交于点F ．
由 BC
CD =，知OC ⊥BD ． 因为∠CBF =∠IAE ，BC = CI = AI ，所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ．
又因为I 是△ABD 的内心，所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==． 故2AB AD BD +=．
13．已知整数a ，b 满足：a b -是素数，且ab 是完全平方数．当2012a ≥时，求a 的最小值．
【解答1】设a b m -=（m 是素数），2
ab n =（n 是正整数）．
因为 22()4()a b ab a b +-=-，所以 222(2)4a m n m --=，2
(22)(22)a m n a m n m -+--=． 因为22a m n -+与22a m n --都是正整数，且2222a m n a m n -+>--（m 为素数)， 所以 2
22a m n m -+=，221a m n --=．
解得2(1)4m a +=， 214m n -=． 于是2
14m b a m -=-=（）．又2012a ≥，即
2
(1)20124
m +≥．
又因为m 是素数，解得89m ≥． 此时，2
(891)4
a +≥=2025． 当2025a =时，89m =，1936
b =，
1980n =．因此，a 的最小值为2025．
【解答2】设a b m -=（m 是素数），2
ab n =（n 是非负整数）。
由于201221006=?，20133671=?，201421007=?，20155403=?，201621008=?， 因此，2012，2013，2014，2015，2016都不是质数。 5分
由于44?
?=?
?，且2017不能被2，3，4，…，44整除，
因此，2017是质数。………… 10分
（1）当0n =，即0b =时，由2012a ≥以及a b -是素数知，a 的最小值为2017。………… 15分 （2）当0n >时，1b ≥，201212013a ≥+=，
由于2013，2014，2015，2016都不是质数，而2017是质数。 当2017a =时，6b =，ab 不是完全平方数。所以，此时2017a >。 由（！）、（2）可知，a 的最小值为2017。 …………… 20分
14．将23n ，
， ，（2n ≥）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c ，，（可以相同）使得b a c =，求n 的最小值．
解：当16
21n =-时，把23n ， ， ，分成如下两个数组：{}88162322121+- ， ， ， ， ， 和{}8
4521- ，
， ， ． 在数组{}8
8
16
2322121+- ，
， ， ， ， 中，由于3
882
1632221<>-（，），所以其中不存在数a b c ，
，，使得b
a c =．
在数组{}
84521- ，
， ， 中，由于48421>-，所以其中不存在数a b c ，，，使得b a c =． 所以，16
2n ≥．
下面证明当16
2n =时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若2
24=也在第一组，则结论已经成立．故
不妨设224=在第二组． 同理可设48
42=在第一组，8216
(2)2=在第二组．
此时考虑数8．如果8在第一组，我们取8282a b c ===，，，此时b
a c =；如果8在第二组，我们取
16482a b c ===，，，此时b a c =．综上，162n =满足题设条件．所以，n 的最小值为162．
注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n 最小值为65536．
2013年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题
1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=??++=?
，，则222
ab bc ca
a b c ++++的值为（ ）． （A ）1
2
-
（B ）0 （C ）
12
（D ）1
【答案】A
【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是
2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212
ab bc ca a b c ++=-++．
2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，
2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，22
1
x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=
【答案】B
【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12b
x x a
+=-
，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 2
212122222
21212()2112x x x x b a c x x x x c +--+==，2
2221211a x x c
?=， 于是根据方程根与系数的关系，以
211x ，22
1
x 为两个实根的一元二次方程是222
2
20b ac a x x c c
--+=，即2222
(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．
（A ）OD （B ）OE （C ）DE （D ）AC
【答案】
D
（第3题）
【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA
＝OB ＝OC ＝2
AD BD
+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理
数．
由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2
OD OE OC
=，·DC DO DE OC =都
是有理数，而AC
4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．
（A ）3 （B ）4 （C ）6
（D ）8
【答案】C
【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC
． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．
连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．
因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．
5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：
()()
32233345
1160
x y x y xy x y x y +++*=
+++-，
且()x y z x y z **=**，则2013201232**** 的值为（ ）．
（A ）
607967 （B ）1821
967
（C ）5463967
（D ）
16389
967
【答案】C
【解答】设201320124m ***= ，则
()20132012433m ****=* 3232
33392745
93316460
m m m m m m ?+?+?+==++++-， 于是()201320123292****=* 32233339239292455463
10360967
??+??+?+==+-．
二、填空题
6．设a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9
（第3题答题）
（第4题答题）
（第4题）
【解答】由于2123a a <<<<
，故222b a =-=
，因此33(2)9b +==． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3
，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．
【答案】
204
13
【解答】如图，连接AF ，则有：
45
=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ???????++===，
35
4
AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ???????++====，
解得10813AEF S ?=
，96
13
AFD S ?=． 所以，四边形AEFD 的面积是204
13
．
8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．
【答案】2013
【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得
()
2
28666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．
若1a =，则()2
859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2
840b -=，无正整数解；
若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =??=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =??=． 综上知abc 的最大值为2013．
9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程
20x ax b ++=的两根为
c ，
d ，则所有满足条件的数组()，，，
a b c d 为 ．
【答案】(1212)，
，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）
（第7题答题）
（第7题）
【解答】由韦达定理得，，
，．+=-??=??+=-?
=??
a b c ab d c d a cd b
由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==b
c d ，进而2b d a c ==--=-．
若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件．
10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．
【答案】207
【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，
，+=??+
所以201371
(5032)44
y y x y -+=
=-+， 于是14
y +是整数．又20134()343503x y y y =++
所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．
三、解答题
11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴
交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线1
13
y x =-+与y 轴交于点D ．
求∠DBC -∠CBE ．
【解答】将0x =分别代入y =1
13
x -+，23y ax bx =+-知，
D (0，1)，C (0，3-)，
所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =1
13
x -+过点B ．
将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．
抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得
（第11题）
BC
＝CE
BE
＝
因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=?．
因此tan CBE ∠=CE CB =1
3
．又tan ∠DBO =
13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠． 所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=?．
12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．
【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．
因为1802BHC A BOC A ∠=?-∠∠=∠，，
所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ?-∠=∠，于是60A ∠=?．
（ii ）若
△ABC 为钝角三角形．
当
90A ∠>?时，因为
()1802180B H C A
B O
C A ∠=?-∠∠=?-∠，，
所以由180BHC BOC ∠+∠=?，可得()3180180A ?-∠=?，于是120A ∠=?。
当90A ∠?，因为2BHC A BOC A ∠=∠∠=∠，，
所以由180BHC BOC ∠+∠=?，可得3180A ∠=?，于是60A ∠=?．
（iii ）若△ABC 为直角三角形．
当90A ∠=?时，因为O 为边BC 的中点，B C H O ，，，不可能共圆， 所以A ∠不可能等于90?；
当90A ∠
综上可得，A ∠所有可能取到的度数为所有锐角及120?．
13．设a ，b ，c 是素数，记x b c a y c a b z a b c =+-=+-=+-，，，
当2,
2
z y =
=
（第12题答题（i ））
（第12题答题（ii ））
时，a ，b ，c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论．
【解答】不能．
依题意，得111
()()()222
a y z
b x z
c x y =+=+=+，，．
因为2y z =，所以211(1)
()()222
z z a y z z z +=+=+=．
又由于z 为整数，a 为素数，所以2z =或3-，3a =．
当2z =时，2242)16y z x ====，．进而，9b =，10c =，与b ，c 是素数矛盾；
当3z =-时，0a b c +-<，所以a ，b ，c 不能构成三角形的三边长．
14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．
【解答】若n ≤6，取m =1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有12n a a a ，，…，中的一个正整数M 是(1i j ，≤i ＜j ≤7)的公共的魔术数，即7|(10M i +)，7|(10M j +)．则有7|(j i -)，但0＜j i -≤6，矛盾．
故n ≥7．
又当12n a a a ，，…，为1，2，…，7时，对任意一个正整数m ，设其为k 位数（k 为正整数）．则10k i m +（12i =，，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i ，(1j ≤i ＜
j ≤7)，满足7|[(10)(10)]k k j m i m +-+，即7|10()k j i -，从而7|()j i -，矛盾．
故必存在一个正整数i (1≤i ≤7)，使得7|(10)k i m +，即i 为m 的魔术数． 所以，n 的最小值为7．
2014年全国初中数学竞赛预赛
试题及参考答案
（竞赛时间：2014年3月2日上午9:00--11:00）
一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分）以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，
则的值为【】
（A）2013（B）2014（C）2015（D）0
【答】D．
解：最大的负整数是－1，∴=－1；
绝对值最小的有理数是0，∴=0；
倒数等于它本身的自然数是1，∴=1.
∴==0.
2. 已知实数满足则代数式的值是【】
（A）（B）3（C）（D）7
【答】A．
解：两式相减得
3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1 中的线段MN在图2中的对应线段是【】
（A）（B）（C）（D）
【答】C．
解：将图1中的平面图折成正方体，MN和线段c重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN和△ABM所在的面为组合面，则△AMN和△ABM所在的面为两个相邻的组合面，比较图2，首先确定B点，所以线段d与AM重合，MN与线段c重合.
4. 已知二次函数的图象如图所示，则下列7个代数式，，，
，，，中，其值为正的式子的个数为【】
（A）2个（B）3个（C）4个（D）4个以上
【答】C．
解：由图象可得：，，，∴，，.
抛物线与轴有两个交点，∴.当=1时，，即.
当=时，，即.从图象可得，抛物线对称轴在直线=1的左边，即
，∴.因此7个代数式中，其值为正的式子的个数为4个.
5. 如图，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=2BO，当A点在反比例函
数（x>0）的图象上移动时，B点坐标满足的函数解析式为【】
（A）（x<0）（B）（x<0）
（C）（x<0）（D）（x<0）
【答】B．
解：如图，分别过点分别做轴的垂线，那
么∽，则
，故.
6．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为【】
（A）1 （B）2 （C）3 （D）6
【答】B．
解：设KH中点为S，连接PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF为平行四边形，∴G为PS的中点, 即在点P运动过程中，G始终为PS的中点，所以G的运行轨迹为△CSD的中位线,
∵CD=AB－AC－BD=6－1－1=4，∴点G移动的路径长为=2.
二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）
7．已知，化简得.
【答】．
解：∵，∴，，
原式=.
8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色
玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为.
2017年中考试题汇编--10浮力
2017中考试题汇编——浮力 一、选择题 1．（2017衡阳，6，2分）甲、乙两个完全相同的杯子盛有不同浓度的盐水，将同一个鸡 蛋先后放入其中，当鸡蛋静止时， 两个杯子中液面恰好相平，鸡蛋所 处的位置如图所示，则 A．甲杯中的盐水密度较大 B．乙杯底部所受液体的压强较大 C．甲杯底部所受的液体压力较大 D．鸡蛋在乙杯中收到的浮力较大 2．（2017郴州，18，2分）如图所 示，某同学将两个完全相同的 物体A、B分别放到甲、乙两 种液体中．物体静止时，A漂浮，B悬浮，且两 、液面相平，容器底部受到的液体压强分别为P 甲P乙，物体A、B所受浮力分別为F A、F B．则（）A．P甲＜P乙，F A=F B B．P甲＜P乙，F A＞F B C．P甲＞P乙，F A=F B D．P甲＞P乙，F A＜F B
底部，容器对桌面的压强又改变了460Pa．容器的底面积为100cm2，ρ铝=2.7g/cm3，g取10N/kg．下 列判断正确的是（） A．铝块浸没在液体中时所受浮力是0.8N B．铝块的体积是100cm3 C．铝块沉底时对容器底部的压力是4.6N D．液体的密度是0.8g/cm3 5．（2017广东，7）将体积相同材料不同的甲、乙、丙三个实心小球，分别轻轻放入三个装满水的相同 烧杯中，甲球下沉至杯底，乙球漂浮和丙球悬浮，如图所示，下列说法正确的是（） A．三个小球的质量大小关系是 m甲>m乙>m丙 B．三个小球受到的浮力大小关 系是F 甲=F 丙
2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=?。将 OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（ ） A ．(13)， B ．(33)， C ．(33)， D ．(31)， 【答案】 B 【解答】如图，设CD x ⊥轴于点D 。 依题意，23CA OA ==，260CAO BAO ∠=∠=?。 所以，3CD =，3AD =，3OD =。 因此，点C 的坐标为(33)， 。 2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 【答案】 A 【解答】依题意，a ，b 为方程2320x x +-=的两个不同实根。 因此，由韦达定理得，3a b +=-，2ab =-。 []22(1)(1)(123)(123)9(1)(1)91()9(132)18a b a b a b a b ab ++=+-+-=--=-++=+-=。 或解：222222222(1)(1)11()2194418a b a b a b a b ab a b ++=+++=++-+=+++=。 3．若关于x 的方程22240224 x x x a x x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ） A ．6- B ．30- C ．32- D ．38- 【答案】 D 【解答】方程 22240224 x x x a x x x +-+++=-+-化为22480x x a +++= ……………… ① 若方程①有两个相等实根，则168(8)0a =-+=△，6a =-。 6a =-时，方程①的根121x x ==-，符合要求。 若2x =是方程①的根，则8880a +++=，24a =-，此时，方程①的另一个根为4x =-，符合要求。 若2x =-是方程①的根，则8880a -++=，8a =-，此时，方程①的另一个根为0x =，符合要求。
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. . 内能--13年中考试题汇编2017． 2017中考试题汇编——内能 一．选择题（共20小题） 1201762）下列关于分子的说法中，山东枣庄，．（， ）正确的是（ A ．所有物质的分子都是规则排列的B0 ℃时，所有物质的分子都停止了运动．C ．分子之间的引力与斥力是同时存在的D ．固体的分子之间只有引力，没有斥力【答案】C 【解析】解： A、固体分晶体和非晶体，晶体的分子是规则排列的，非晶体的分子是规则排列的，故A错误； B、分子在永不停息地做无规则运动，在0℃ 时，所有物质的分子仍然在做无规则运动，故B错误； C、分子间同时存在着相互作用的引力和斥力，故C正确； D、任何分子间都存在相互作用的引力和斥力，二者同时存在，故D错误． 故选C． 【考点】分子动理论的其它内容及应用．2201732）八月桂花盛开，，微风吹过，．（江苏无锡，）飘来阵阵花香，这说明（． A B ．分了间有相互作用力．分子非常小C D ．分子处在无规则运动中．分子是可分的【答案】D 【解析】解： 八月桂花盛开，微风吹过，飘来阵阵花香，是桂花的芳香分子扩散到空气中，这种现象说明了分子在不停的做无规则的运动，故D 正确．故选D． 【考点】扩散现象． 3201733分）如图所示，瓶内有一贵州遵义，，．（些水，用带孔的橡皮塞把瓶口塞住，向瓶内打气一会儿后，瓶塞跳起，在瓶塞跳 起的过程中，下）列关于瓶内气体说法正确的是 （ A B．瓶．气体对瓶塞做功，气体的内能减少塞对气体做功，气体的内能减少C D．瓶气体对瓶塞做功，．气体的内能增加塞对气体做功，气体的内能增加【答案】A 【解析】解：向瓶内打气，瓶塞跳起时，在瓶塞跳起的过程中，瓶内气体对瓶塞做功，气体一部． 分内能转化为瓶塞的机械能；故A正确，BCD 错误． 故选 A． 大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标 准 The latest revision on November 22, 2020 2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题 考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ） A ．3- B ．2- C ．1- D ．1 2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。坐标原点O 为 AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则n m =（ ） A ．31+ B ．21+ C ．231- D ．221- 3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且1 2 BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则 AE AC =（ ） A ．2 5 B ．3 5 C ． 3 7 D ． 47 4．如图，H 、O 分别为ABC △的垂心、外心，45BAC ∠=?，若ABC △外接圆的半径 为2，则AH =（ ） A ．23 B ．22 C ．4 D ．31+ 5．满足方程22419151x xy y -+=的整数对()x y ， 有（ ） H O B C A （第4题图） （第2题图） E G B D （第3题图） A B C D 全国初中数学竞赛试卷及解析 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的。请将正确答案的代号填在题后的括号里） 1、设a ，b ，c 的平均数为M ，a ，b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若c b a ，则M 与P 的大小关系是（ ） A 、P M B 、P M C 、P M D 、不确定 答案：B 解析：∵3c b a M ，2b a N ，222c b a c N P ，12 2c b a P M ∵ c b a ∴012 2122 c c c c b a P M ，即0 P M ，即P M 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（a b ），再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ） 答案：C 解析：因为图（A ）中没有反映休息所消耗的时间；图（B ）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C ）正确地表述了题意。 3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ） A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案：A 解析：由题意知3×（甲－乙）151025 ∴甲－乙＝5。 4、一个一次函数图象与直线4 95 45 x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ） A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 答案：B 解析：在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ，N y 525 ，（N 是整数）．在线段AB 上这样的点应满足041 N ，且0525 N ，∴54 1 N ，即1 N ，2，3，4，5 5、设a ，b ，c 分别是ABC 的三边的长，且 c b a b a b a ，则它的内角A 、B 的关系是 2018年全国初中数学联合竞赛 笫一试 一、选择题(42分) 1.已知a=2-1,b=22-6,c=6-2,那么a 、b 、c 的大小关系是( ) (A)a 2017年全国中考语文试题汇编小说阅读 潘德高老师整理提供 1．（2017·福建省福州市）阅读下文．完成16—20题。(20分) 点燃一个冬天 游睿 山村的冬天就是来得早。寒气在十月刚过就开着队伍铺天盖地地卷过来。村里的人似乎都有些怕了，早上八点还没有多少人起床。只有几根玉米秆子被寒气冻得瑟瑟地颤抖。孙老师和自己的女人却早早地起床了。 “瘟走．又是下雨。”女人没好气地骂着。“一连倒了这么多天，天上的水也该倒得差不多了。” 孙老师笑了笑。大块大块的煤早就堆在了操场的角落。孙老师说：“生火吧．我已经听到孩子们的脚步声了。” 女人望天．叹气。“瘟天?”女人又咧咧地骂。走路的时候一步比一步用力，只差把地踏出一个坑。女人甩了几块木炭放在了煤的中央，然后嗤地划了根火柴。“瘟天，还下雨，我们这冬天就无法过了。”士人说。 孙老师知道，女人说的是煤。这点煤是女人用背蒌一块一块背回来的，女人背煤背得很辛苦。女人想甩这些煤度过这个冬天。孙老师不说话，他听见了孩子们的脚踏着水的声音。这声音渐行渐近。孙老师就想起他们沾满黄泥的裤腿，露出脚趾的胶鞋，贴着脸皮的头发和准备钻进嘴家里的鼻涕……孙老师说：”但愿这是最后一个雨天。” 这时孩子们来了。整整齐齐叫了一声老师好。孙老师唉唉地应看，说：“放下书包，快来烤烤．烤干身上我们马上上课。”【A】学生们就如一群鱼儿一样游在那堆火旁边．一边伸出湿漉漉的裤腿和鞋．—边在雾气里说着谁早上没等谁，谁昨天放学后看见了孙老师做什么了。孙老师笑着招呼：“都采烤烤，剐冻着了。” 女人在一边默默地看着。半晌，女人说，我有事先走了，你们慢慢烤。女人挎着背篓慢慢地被雾帘遮住。远处渐浙的有了狗叫或者一两声鸟儿的私语。 下午放学了．雾还没怎么散。卦老师和孩子们挥手，不断说着再见。孙老师说：“天黑得早，旱点回。住远一点的．要走两个多小时呢。“孩子们点头。 看孩子们走远，女人放下背姜。背姜里是满满的一背蒌干柴。 “哟，原来你是在弄柴，有了柴我们不就没事了吗?” 女人给了孙老师一个白眼。女人说：“你早早地就把学生放回家了，人家还不是在路上贪玩?” “谁说的?他们可都是听话的孩子，放学就回末了呀。”孙老师说。 “你不相信？我今天上山遇到了一个家长，他说你们怎么老留学生的课呀。可我们放学很早的。你想想，学生们是不是没听话？枉你还那么热心。”女人愤愤地说。 女人说完，就看见孙老师已经出了学校的门，脚步把寒气撞得哗啦哗啦响。 傍晚的时候，女人做好了饭菜。孙老师才回来。回来的时候抱了一大抽干柴。 “看到啥了?”女人问。 孙老师放下柴火，说：”看见了。他们在路上的一个草坪里玩。我批评了他们几句，放学是得早点回家。” 女人说：“你看你。唉。”女人摇摇头，想说什么．但没说出来。 这天晚上，寒风又把村庄哔哔啵啵摇了一个晚上。女人和孙老师在床上翻来翻去。女人说：“听见没有，下雪了。”孙老师说：“听见了，下就下呗。” “可我们没有煤了。准备着冻死?” “我们不是有干柴吗?怕什么呢。” 2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分） 01．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32 442m m m ++-的值为（ A ） A ．3- B ．2- C ．1- D ．1 【解答】依题意，2 1616(31)0m m D =++=，∴2 310 m m ++=，∴231m m =--，2 31m m +=-。 ∴3 2 2 2 442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。 02．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为()m n m n <、 。原点O 为AD 的中点，A D E 、、在y 轴上。若二次函数2 y ax =的图像经过C F 、 两点，则n m =（ B ） A 1 B 1 C ．1 D ．1 【解答】依题意，点C 的坐标为()2m m ，，点F 的坐标为()2 m n n -+，。 由二次函数2 y ax =的图像经过C F 、两点得22 2()2 m am m n a n ì=??í?+=-??， 消去a 得22 20n mn m --=。 ∴2210n n m m 骣-?=琪桫 ，解得1n m =（舍负根）。∴ n m =03．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上且12BD BC =，直线 A ．25 B ．35 C ．37 D ．4 7 （ D ） F B D F B 【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。 ∵G 为ABC △的重心且12BD BC = ，∴F 为BC 中点且21 AG GF =，DB BF FC ==。 过点F 作FM DE ∥，交AC 于点M ，则13CM CF CE CD ==，2 1 AE AG EM GF ==。 设CM k =，则3CE k =，2EM k =，4AE k =，∴7AC k =，44 77AE k AC k ==。 另解：如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。∵G 为ABC △的重心且1 2 BD BC =， ∴F 为BC 中点且21AG GF =，DB BF FC ==，∴23FD DC =，2 1 AG GF =。 在AFC △中，由梅涅劳斯定理得1FD CE AG DC EA GF 鬃=，22131CE EA 鬃=，34CE EA =，∴4 7 AE AC =。 （第03题答题图2） （第03题答题图1） （第03题图） 中国教育学会中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.） 1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那 22 ||()|| a a b c a b c ++-++可以化简为（）． （A）2c a-（B）22 a b -（C）a-（D）a 1（乙）．如果22 a=- 1 1 1 2 3a + + + 的值为（）． （A）2 -（B）2（C）2 （D） 22 2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数 y = x b（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）． （A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3） （D）（3，2） 2（乙）．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x ＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）． （A）10 （B）9 （C）7 （D）5 3（甲）．如果a b，为给定的实数，且1a b <<，那么 1121 a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的 绝对值是（ ）． （A ）1 （B ） 214a - （C ）12 （D ）1 4 3（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=?，AD = 3，BD = 5， 则CD 的长为（ ）． （A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4（乙）．如果关于x 的方程 2 0x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的 个数是（ ）． （A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8 5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则 0123p p p p ，，，中最大的是（ ）． （A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p 5（乙）．黑板上写有1 11123100 ， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数 a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数 是（ ）． （A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行 从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次 专题1 声现象 一、选择题 1．【2017?泰安卷】关于声现象，下列说法正确的是（） A．物体振动的越快，发出的音调越低 B．外科医生利用超声波振动除去人体内的结石是利用了声音传递能量 C．用真空罩罩住发声体减弱噪声的做法是控制噪声的产生 D．声音在不同介质中的传播速度都相同 【答案】B 【解析】 音调的高低与频率有关，频率越快，音调越高，故A错误；外科医生利用超声波振动除去人体内的结石是利用了声音能传播能量．故B正确；用泡沫盒罩住发声体减弱噪声的做法是在声音的传播过程中减弱噪声，即阻断噪声的传播．故C错误；声音在不同介质中的传播速度一般不同．故D错误；故应选B。 【考点定位】声音的综合利用 2、【2017?自贡卷】关于声现象，下列说法不正确的是（） A、声音是由物体的振动产生的 B、声音不可以在真空中传播 C、声源振动的频率越高，音调越高 D、音调越高，说明声源振动的幅度越大 【答案】D 考点：声音的产生；声音的传播条件；频率及音调的关系． 3．【2017?长沙卷】下列有关声现象的说法正确的是 A．声音在各种介质中的传播速度均为340m/s B．只要物体在振动，人就一定能听到声音 C．利用超声波清洗眼睛，说明了超声波可以传递能量 D．真空也能传声 【答案】C 【解析】 A.声音在15℃的空气中传播速度为340m/s，“各种介质”中，A错误； B.物体振动一定产生了声音，并不代表一定听到了声音，人听到声音，还需要传播到人的耳朵里，B错误； C.利用超声波清洗眼睛，说明了超声波可以传递能量，C正确； D.真空中不能传声，D错误；故选C 考点：声速声音的产生声音能够传递能量声音在真空中不能传声。 4. 【2017?菏泽卷】关于声现象，下列说法正确的是（） A.声音在空气中传播比在水中传播的快 B.声音和光在空气中传播时，声音传播的较快 C.喇叭播放的歌曲都是乐音 D.声音是由物体的振动产生的 【答案】D 【解析】 A．声音在不同介质中传播速度不同，在水中传播的比在空气中传播得快，故A错误。 B．声音和光在空气中传播时，光传播的较快，故B错误。 C．喇叭播放的歌曲影响了人们正常的工作、学习和休息，也是噪声，故C错误。 D．振动发声，声音是由物体的振动产生的，故D正确为答案。 考点：声现象 5.【2017?枣庄卷】下列声现象中，能说明声音的传播需要介质的是（） A.蝙蝠靠超声波发现昆虫 B.倒车雷达 C. 真空罩中的闹钟 D.超声波清洗机【答案】C 【解析】 A、蝙蝠是靠发出的超声波被昆虫反射发现目标的，此现象说明声音能够反射，形成回声．故A错误； B、倒车雷达是靠发出的超声波被障碍物反射发现车后物体的，此现象说明声音能够反射，形成回声．故B 错误； C、当逐渐抽掉罩内空气时，闹钟声音减小，由此可以推论，当罩内是真空时，声音将完全消失．说明声音的传播需要介质．故C正确； D、利用超声波可以清洗精密仪器，说明声音能够传递能量．故D错误． 故选C． 考点：声音的传播条件． 2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2017年3月19日 9∶00－11∶00 满分150分 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设a =1 a a + 的整数部分为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B 【解答】由2226a =+-=，知a = 于是1 a a + =2111()62866a a +=++=+，214()9a a <+<。 因此，1 a a + 的整数部分为2。 （注： a ==== 2．方程2 2( )32 x x x +=-的所有实数根之和为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 【答案】 A 【解答】方程2 2( )32 x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。 即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。 解得1x =。经检验1x =是原方程的根。 ∴ 原方程所有实数根之和为1。 3．如图，A 、B 、C 三点均在二次函数2y x =的图像上，M 为线段AC 的中点，BM y ∥轴，且2MB =。设A 、C 两点的横坐标分别为1t 、2t （21t t >），则21t t -的值为（ ） A ．3 B ． C ．± D ．【答案】 D 【解答】依题意线段AC 的中点M 的坐标为22 1212 ()22 t t t t ++，。 （第3题） 由BM y ∥轴，且2BM =，知B 点坐标为22 1212 (2)22t t t t ++-，。 由点B 在抛物线2 y x =上，知22 212122()22 t t t t ++-=。 整理，得2222 121122 2282t t t t t t +-=++，即221()8t t -=。 结合21t t > ，得21t t -= 4．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=?，D 为线段BC 的中点，E 在线段AB 内，CE 与AD 交于点F 。若A E E F =，且7AC =，3FC =，则c o s A C B ∠的值为（ ） A ．37 B ． C ．314 D 【答案】 B 【解答】如图，过B 作BK AD ∥与CE 的延长线交于点K 。 则由AE EF =可得，EBK EAF AFE BKE ∠=∠=∠=∠。 ∴ EK EB =。 又由D 为BC 中点，得F 为KC 中点。 ∴ 3AB AE EB FE EK KF FC =+=+===。 ∴ BC === ∴ cos 7 BC ACB AC ∠= = 。 或解：对直线AFD 及BCE △应用梅涅劳斯定理得， 1BD CF EA DC FE AB ??=。 由D 为线段BC 的中点，知BD DC =。 又AE EF =，因此，3AB CF ==。 结合7AC =，90ABC ∠=? ，利用勾股定理得，BC = 所以，cos 7 BC ACB AC ∠==。 D B A E （第4题） K 2018年全国初中数学竞赛试题及解答 一、选择题（只有一个结论正确） 1、设a,b,c 的平均数为M ，a,b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若a>b>c ，则M 与P 的大小关系是（ ） （A ）M ＝P ；（B ）M ＞P ；（C ）M ＜P ；（D ）不确定。 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（ba 1,b>b 1, c>c 1,，则S 与S 1的大小关系一定是（ ）。 （A ）S ＞S 1；（B ）S ＜S 1；（C ）S ＝S 1；（D ）不确定。 二、填空题 7、已知: a 23 331a a a ++＝________。 8、如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，AB ＝8，BC ＝ ∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD 的面积等于________。 9、已知关于的方程 (a-1)x 2 +2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数有_______个。 10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A 、C 处，向两侧地面上的E 、D ；B 、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为________米。 1 2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=?。将 OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（ ） A ．(1 B ．3) C ．(3 D ．1) 2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 3．若关于x 的方程22240224 x x x a x x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ） A ．6- B ．30- C ．32- D ．38- 4．如图，在ABC △中，6AB =，3BC =，7CA =，I 为ABC △的内心，连接CI 并延长交AB 于点D 。记CAI △的面积为m ， DAI △的面积为n ，则 m n =（ ） A ．32 B ．43 C ．53 D ．74 5．已知x ，y 为实数，且满足2244x xy y -+=，记224u x xy y =++的最大值为M ，最小 A B C D I 2 值为m ，则M m +=（ ） A ．403 B ．64 15 C ．13615 D ．315 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．在平面直角坐标系内有两点(11)A ，，(23)B ，，若一次函数2y kx =+的图像与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为 。 7．如图，在ABC △中，D 为BC 边上一点，E 为线段AD 上一点，延长BE 交AC 于点F 。若 25BD BC =，12AE AD =，则AF AC = 。 8．设1x ，2x ，3x ，…，n x 是n 个互不相同的正整数，且1232017n x x x x ++++=L ，则n 的最大值是 。 9．如图，AB 是O ⊙的直径，AC 是O ⊙的切线，BC 交O ⊙于E 点，若 OA CE =，则AE AB = 。 E O A B C F B C A D E 全国初中数学竞赛试 题及答案 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 1997年全国初中数学联赛试题 第一试 一.选择题 本题共有6小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四个答案,其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内. 1.下述四个命题 (1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1; (2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (3)2a 的平方根是a ±; (4)大于直角的角一定是钝角. (A)1个 (B)2个; (C)3个; (D)4个. 答( ) 2.已知354 234 -<<+x ,那么满足上述不等式的整数x 的个数是 答( ) (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 3.若实数c b a ,,满足9222=++c b a ,代数式222)()()(a c c b b a -+-+-的最大值是 (A)27 (B)18; (C)15; (D)12. 答( ) 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 4.给定平面上n 个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n 的最小可能值是 (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 5.在梯形ABCD 中,DC AD =,030=∠B ,060=∠C ,E,M,F,N 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点,已知BC =7,MN =3,则EF 之值为 (A)4 (B)2 14 (C)5; (D)6. 答( ) 6.如图,已知B A ∠=∠,1AA ,1PP ,1BB 均垂直于 11B A ,171=AA ,161=PP ,201=BB ,1211=B A ,则AP+PB 等于 （A ）12； （B ）13； （C ）14； （D ）15. 答( ) 二、填空题 1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是 . 2.当a 取遍0到5的所有实数值时,满足)83(3-=a a b 的整数b 的个数是 . 全国初中数学竞赛试题及参考答案 一．选择题（5×7'=35'） 1.对正整数n ，记n ！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( )． A ．0 B ．1 C ．3 D ．5 【分析】5≥n 时，n ！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3. 本题选C ． 2.已知关于x 的不等式组??????? <-+->-+x t x x x 2 353 52恰好有5个整数解，则t 的取值范围是( )． 2116.-<<-t A 2116.-<≤-t B 2116.-≤<-t C 2 116.-≤≤-t D 【分析】20232 35352<<-????????<-+->-+x t x t x x x ，则5个整数解是15,16,17,18,19=x ． 注意到15=x 时，只有4个整数解．所以 2116152314-≤<-?<-≤t t ，本题选C 3.已知关于x 的方程x x x a x x x x 22222--=-+-恰好有一个实根，则实数a 的值有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【分析】422222222+-=?--=-+-x x a x x x a x x x x ，下面先考虑增根： ⅰ）令0=x ，则4=a ，当4=a 时，0,1,022212===-x x x x （舍）； ⅱ）令2=x ，则8=a ，当8=a 时，2,1,0422212=-==--x x x x （舍）； 再考虑等根： ⅲ）对04222=-+-a x x ，270)4(84= →=--=?a a ，当21,272,1==x a . 故27, 8,4=a ，2 1,1,1-=x 共3个.本题选C ． １ 2018年全国初中数学竞赛试题及答案 考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则 ab c ca b bc a 2 22++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20a t b t c ++ =，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有333 3a b c abc ++=， 所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相 交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经 过△ABC 的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ， 即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ， 所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上， 也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多 解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。 第1页（共1页）一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D 二、7.-18.30°9.3或-110.221 三、11.（1）19×11=12×?è??19-111；………………………………………………………………………………5分（2）1()2n -1()2n +1；12×?è?? 12n -1-12n +1；…………………………………………………………………………………………………………10分 （3）a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×?è??1-13+12×?è??13-15+12×?è??15-17+12×?è??17-19+?+12×?è?? 1199-1201=12×?è?? 1-13+13-15+15-17+17-19+?+1199-1201……………………………………………15分=12×?è??1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.（1）130°.…………………………………………………………………………………………………5分 （2）∠APC =∠α+∠β. 理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ， 所以AB ∥PE ∥CD . 所以∠α=∠APE ， ∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分 （3）当点P 在BD 延长线上时， ∠APC =∠α-∠β；……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时， ∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.（1）根据题意，得t =?è??120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答：三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分 （2）有，设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A 地出发步行至点E ，继续前行后与甲在点F 处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达. …………………………………………………………………………………………………………10分 根据题意，得2?x -x 50?550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答：有，方案如下:甲从A 地出发载乙，同时丙步行前往B 地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B 地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分2017年中考试题汇编 13内能
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