第1课时 直线与圆锥曲线
一、选择题
1.过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( ) A.有且只有一条 B.有且只有两条 C.有且只有三条
D.有且只有四条
解析 ∵通径2p ＝2，又|AB |＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝3＞2p ，故这样的直线有且只有两条. 答案 B
2.直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的交点个数是( ) A.1
B.2
C.1或2
D.0
解析 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b
a x 平行，所以它与双曲线只有1个交点. 答案 A
3.经过椭圆x 22＋y 2
＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( ) A.－3 B.－13 C.－1
3或－3
D.±
13
解析 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2
＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，? ????
43，13，∴OA →·OB →
＝－13，同理，
直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →
＝－1
3.
答案 B
4.抛物线y ＝x 2到直线x －y －2＝0的最短距离为( ) A. 2
B.728
C.2 2
D.526
解析 设抛物线上一点的坐标为(x ，y )，则d ＝|x －y －2|
2
＝
|－x 2＋x －2|
2
＝
?????
?－? ????x －122－742，∴x ＝12时， d min ＝728.
答案 B
5.已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线P A ，PB 的斜率乘积k P A ·k PB ＝2
3，则该双曲线的离心率为( ) A.52
B.62
C. 2
D.153
解析 设A (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)根据对称性，得B 点坐标为 (－x 1，－y 1)，因为A ，P 在双曲线上， 所以?????x 21a 2－y 2
1b 2＝1，
x 22a 2－y 2
2b 2＝1，两式相减，得k P A k PB ＝b 2a 2＝2
3， 所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝53，故e ＝153. 答案 D 二、填空题
6.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________.
解析 由题意得?????c ＝2，
b 2
a ＝1，a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得?????a ＝2，b ＝2，
∴椭圆C 的方程为x 2
4＋y
2
2＝1.
答案 x 24＋y 2
2＝1
7.已知抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于________. 解析 由题设知p ＝
12a ＝2，∴a ＝14
. 抛物线方程为y ＝14x 2
，焦点为F (0，1)，准线为y ＝－1.
联立???y ＝14x
2
，
y ＝x ＋1，
消去x ，
整理得y 2－6y ＋1＝0，∴y 1＋y 2＝6，∵直线过焦点F ， ∴所得弦|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋1＋y 2＋1＝8. 答案 8
8.过椭圆x 216＋y 2
4＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________.
解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由于A ，B 两点均在椭圆上， 故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 22
4＝1， 两式相减得
（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）
4＝0.
又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，
∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2
＝－3
4.
∴直线AB 的方程为y －1＝－3
4(x －3). 即3x ＋4y －13＝0. 答案 3x ＋4y －13＝0 三、解答题
9.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列. (1)求E 的离心率；
(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程. 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝4
3a ， l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组????
?y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2
＝1，消去y ，
化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2
)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2（c 2－b 2
）a 2＋b 2
.
因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]，即4
3a ＝4ab 2a 2＋b
2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0
＋c ＝c 3. 由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1
x 0
＝－1，
得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.
故椭圆E 的方程为x 218＋y 2
9＝1.
10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为2
2.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)当△AMN 的面积为10
3时，求k 的值.
解
(1)由题意得?????a ＝2，c a ＝2
2，a 2＝b 2＋c 2.
解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2＝1. (2)由????
?y ＝k （x －1），x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.
设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2
，
所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2 ＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2
又因为点A (2，0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝
|k |
1＋k
2
， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k 2＝10
3，解得k ＝±1.
11.已知椭圆x 24＋y 2
b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )
A.1
B. 2
C.32
D. 3
解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2，由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2
a ＝3，可求得
b 2＝3，即b ＝ 3. 答案 D
12.抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2
＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( ) A.316
B.38
C.233
D.433
解析 ∵双曲线C 2：x 23－y 2
＝1，
∴右焦点为F (2，0)，渐近线方程为y ＝±3
3x . 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)，焦点为F ′? ?
???0，p 2.
设M (x 0，y 0)，则y 0＝12p x 2
0. ∵k MF ′＝k FF ′，∴12p x 20－p 2x 0＝p 2
－2.①
又∵y ′＝1p x ，∴y ′|x ＝x 0＝1p x 0＝3
3.② 由①②得p ＝43
3. 答案 D
13.设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足.如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.
解析 直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，联立?????y ＝－3x ＋23，
x ＝－2，
得y ＝43，
所以P (6，43).
由抛物线的性质可知|PF |＝6＋2＝8. 答案 8
14.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝5
4|PQ |. (1)求C 的方程；
(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程.
解 (1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p . 所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8
p . 由题设得p 2＋8p ＝54×8
p ，
解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以C 的方程为y 2＝4x .
(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0). 代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.
故AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )，|AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1). 又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1
m y ＋2m 2＋3. 将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4
m y －4(2m 2＋3)＝0. 设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4
m ， y 3y 4＝－4(2m 2＋3).
故MN 的中点为E ? ????2
m 2＋2m 2＋3，－2m ，
|MN |＝
1＋1
m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2
.
由于MN 垂直平分AB ，
故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而1
4|AB |2＋|DE |2＝1
4|MN |2，
即4(m 2＋1)2＋? ????2m ＋2m 2＋? ????
2m 2＋22＝4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4.
化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.
直线与圆锥曲线位置关系 一、基础知识： （一）直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点） 2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定， 下面以直线y kx m =+和椭圆：()22 2210x y a b a b +=>>为例 （1）联立直线与椭圆方程：222222 y kx m b x a y a b =+??+=? （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：() 2 22 2 22b x a kx m a b ++=，整理可得： ()22 222222220a k b x a kxm a m a b +++-= （3）通过计算判别式?的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0?>?方程有两个不同实根?直线与椭圆相交 ② 0?=?方程有两个相同实根?直线与椭圆相切 ③ 0?>为例： （1）联立直线与双曲线方程：22 2 2 22 y kx m b x a y a b =+?? -=?，消元代入后可得： ()()2 2222222220b a k x a kxm a m a b ---+= （2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2 2 2 0a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为2 2 2 b a k -，有可能为零。所以要分情况进行讨论
专题二 直线与圆锥曲线的综合问题 第一课时 一.知识体系小结 22 2222222222 222222 cos 1(0)()sin 11(0)1(00)1(00)2(0)2(0213x a x y x a b y b a b y x y a b a b x y y x x a b y a b a b a b y px p y px p 圆锥曲线的标准方程 椭圆：焦点在轴上时参数方程，其中为参数； 焦点在轴上时． 双曲线：焦点在轴上：，；焦点在轴上：，． 抛物线：开口向右时，，开口向左时，．22)2(0)2(0)x py p x py p ，开口向上时，开口向下时． 2222 2222 2222 222222 222222 221111 1(0)123142x y x y a b a b x y x y a b a b x y x y a b a b mx ny 常用曲线方程设法技巧 共焦点的设法：与椭圆有公共焦点的椭圆方程为；与双曲线有公共焦点的双曲线方程为；与双曲线共渐近线的双曲线方程为；中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆、双曲线方程可设为；不清楚开口方向的抛．物线设法：焦22(0)(0)x y mx m y x my m 点在轴上，； 焦点在轴上，． 3．解决直线与圆锥曲线问题的通法: (1)设方程及点的坐标； (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程； (3)应用韦达定理及判别式； (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． 1212|||| |.AB AB x x y y (5)直线与圆锥曲线相交的弦长公式或 222 0002220 222 0002220 2000 1()1()2(0)(). b x x y P x y k a b a y b x x y P x y k a b a y p y px p P x y k y 圆锥曲线中点弦斜率公式 在椭圆中，以，为中点的弦所在直线的斜率； 在双曲线中，以，为中点的弦所在直线的斜率； 在抛物线中，以，为中点的弦所在直线的斜率以上公式均可由点4．差法可得．
直线与圆锥曲线 考情分析： 本节内容是高中数学的重要内容之一，也是历年高考尝试新题的板块，各种解题方法在这里表现得比较充分，尤其是在近几年高考的新课程卷中.平面向量与解几融合在一起，综合性很强，题目多变，解法灵活多样，能充分体现高考的选拔功能. 1、考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程、直线的位置关系，此类题大都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考. 2、二次曲线的基础知识，直线与二次曲线的普通方程、参数方程，以及普通方程与参数方程的互化，常以选择题、填空题的形式出现属于中档题. 3、有关直线与圆、直线与圆锥曲线的综合题，多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生几何知识与代数知识的综合应用，对学生分析问题、解决问题的能力要求较高. 二、考点整合 1、第一部分内容：直线的倾斜角、斜率，直线的方程，两条直线的位置关系；简单的线性规划及其实际应用；曲线和方程、圆的方程. 2、第二部分内容包括椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质，以及它们与直线的位置关系的判定，弦长的有关计算、证明等，本部分内容为高考命题的热点. 3、椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质. 4、椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线，它们的统一性如下： （1）从方程的形式看：在直角坐标系中，这几种曲线的方程都是二元二次方程，所以它们属于二次曲线； （2）从点的集合（或轨迹）的观点看：它们都是与定点和定直线距离的比是常数e 的集合（或轨迹），这个点是它们的焦点，定直线是它们的准线.只是由于离心率e 取值范围的不同，而分为椭圆（10<
第32练 直线与圆锥曲线的综合问题 [题型分析·高考展望] 本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题，从近几年的高考试题来看，除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外，在填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高，但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.预测在今后高考中，主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题，有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来；对于方程的求解，不要忽视轨迹的求解形式，后面的设问将是对最值、定值、定点、参数围的考查，探索类和存在性问题考查的概率也很高. 常考题型精析 题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用 例1 (1)(2015·改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45 ，则椭圆E 的离心率的取值围是________________. (2)设焦点在x 轴上的椭圆M 的方程为x 24＋y 2b 2＝1 (b >0)，其离心率为22 . ①求椭圆M 的方程； ②若直线l 过点P (0,4)，则直线l 何时与椭圆M 相交？ 点评 对于求过定点的直线与圆锥曲线的位置关系问题，一是利用方程的根的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零；二是利用图形来处理和理解；三是直线过定点位置不同，导致直线与圆锥曲线的位置关系也不同.
变式训练1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点P (2，3). (1)求椭圆C 的方程； (2)设Q (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A (0,22)，连结AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 题型二 直线与圆锥曲线的弦的问题 例2 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为6，点P 是椭圆短轴的一个端点，△PF 1F 2的周长为16. (1)求椭圆C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45 的直线l 被椭圆C 所截得的线段中点的坐标. 点评 直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程，弦长，弦的位置确定，弦中点坐标轨迹等问题，解决这些问题的总体思路是设相关量，找等量关系，利用几何性质列方程(组)，不等式(组)或利用一元二次方程根与系数的关系，使问题解决.
1(2015·山东，20，13分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭 圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3 2，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆 心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程； (2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 2 4b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线 PO 交椭圆E 于点Q . ①求|OQ ||OP | 的值； ②求△ABQ 面积的最大值．
(2014·课标Ⅰ，20，12分)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2 a 2＋ y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程； (2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 2(2016·课标Ⅱ，20，12分)平面直角坐标系xOy 中，过椭
圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程； (2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． (2016·课标Ⅰ，10)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点 为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 2 27＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 2 9 ＝1
《圆锥曲线与直线》学案（一） 学习目标：1．能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为方程组解的问题； 2．能够运用数形结合的方法，迅速判断某些直线与圆锥曲线的公共点个数. 问题导学： 1．回忆在直线和圆的位置关系中，怎样判断有几个公共点． ２．你能否用作图的方法粗略地探究直线与椭圆、双曲线有几种位置关系，分别有几个公共点， ３．怎样能准确地判断我们的探究结果是否正确？ ４．你能同样画出直线与双曲线的各种位置关系吗？分别有几个公共点？并试着举出实例证明自己的观点。 问题探究： 以上各种情况中的公共点能否说成是交点，为什么？ 课堂训练： 1．判断直线01=+-y x 与椭圆116252 2=+y x 、双曲线122=-y x 、抛物线x y 42=公共点的个数，并说出位置关系。 2．过点P(1,1)与双曲线11692 2=-y x 只有一个交点的直线共有几条？ <变式>：若将点P(1,1)改为 （1）A(3,4) （2）B(3,0) （3）C(4,0) （4）D(0,0). 3．
3.（04全国）设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 4．（04全国）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有 条 5．过点)2,0(M 与抛物线x y 82=只有一个公共点的直线的方程是 6．直线1-=kx y 与双曲线122=-y x 只有一个公共点，则k 的取值是 7．直线1+=kx y 与椭圆13 42 2=+y x 的交点个数是 ><变式：若直线1+=kx y 与椭圆1252 2=+m y x 恒有公共点，则m 的范围是 8．直线3-=x y 与曲线14 92=-x x y 的交点个数为 ><变式：若方程24x -=2+kx 恰好有两个实数根，则实数k 的取值范围是 9．已知双曲线以两条坐标轴为对称轴,且与x 2+y 2=17圆相交于A(4,-1),若圆在点A 的切线与双曲线的一条渐近线平行,求双曲线的方程． 10．已知抛物线)0(22>=p px y ，过动点)0,(a M ，且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点，p AB 2≤， （1） 求a 的取值范围。 （2） 若线段AB 的中垂线交x 轴于点N ，求三角形ABC 面积的最大值。 自主小结：
第３2练 直线与圆锥曲线得综合问题 ［题型分析·高考展望］ 本部分重点考查直线与圆锥曲线得综合性问题,从近几年得高考试题来瞧,除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线得联立外,在填空题中出现得圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分得主要特点就是运算量大、思维难度较高,但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍得效果。预测在今后高考中,主要围绕着直线与椭圆得位置关系进行命题,有时会与向量得共线、模与数量积等联系起来;对于方程得求解,不要忽视轨迹得求解形式,后面得设问将就是对最值、定值、定点、参数范围得考查,探索类与存在性问题考查得概率也很高. 常考题型精析 题型一 直线与圆锥曲线位置关系得判断及应用 例1 (１)(2０15·福建改编)已知椭圆E :x 2a 2＋y ２ b 2＝１(a ＞b ＞０)得右焦点为F ,短轴得一个端点为M ,直线l :3ｘ—4y =0交椭圆Ｅ于A ,Ｂ两点。若ＡF ＋BF =4,点M 到直线l 得距离不小于＼f(4,5),则椭圆E 得离心率得取值范围就是_＿__＿_＿____＿__＿_。 (２)设焦点在x 轴上得椭圆M 得方程为错误!＋错误!＝１ (b >0),其离心率为错误!. ①求椭圆Ｍ得方程; ②若直线l 过点Ｐ(0,4),则直线l 何时与椭圆M 相交? 点评 对于求过定点得直线与圆锥曲线得位置关系问题,一就是利用方程得根得判别式来确定,但一定要注意,利用判别式得前提就是二次项系数不为零;二就是利用图形来处理与理解;三就是直线过定点位置不同,导致直线与圆锥曲线得位置关系也不同. 变式训练1 已知椭圆C :ｘ2ａ2+y 2 b 2＝1(ａ＞b >0)得焦距为4,且过点P (２,＼r(3))。 (１)求椭圆Ｃ得方程; (2)设Q (x ０,ｙ0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点,过点Q 作x 轴得垂线,垂足为E 、取点A (0,2＼r(２)),连结AE ,过点A 作AE 得垂线交x 轴于点D 。点G 就是点D 关于ｙ轴得对称点,作直线Q Ｇ,问这样作出得直线ＱＧ就是否与椭圆Ｃ一定有唯一得公共点?并说明理由、 题型二 直线与圆锥曲线得弦得问题 例２ 设椭圆C :x ２ a 2+错误!＝1 (ａ>ｂ>0)得左,右焦点分别为Ｆ1,F 2,且焦距为6,点Ｐ就是椭圆短
“设而不求”与“设而求” 一般地，我们解答直线与圆锥曲线问题，已经形成一种习惯，利用一元二次方程的判别式 研 究范围，利用根与系数的关系研究有关参数的关系，还美其名曰“设而不求”，事实上，“设而 求”也可能比“设而不求”更加简单，避开了一元二次方程的判别式与根与系数的关系研究有关 参数的关系，也许另有一种更好的解法等待着你去探究，不信请看下面的例题： 丫2 例1、己知椭圆方程为y+/=l,过定点P(0,2)的直线交椭圆于不同的两点A 、B (在 A 、P 之间)，且满足西=2顾，求的取值范围. 解析1：设AB 的方程为)=尬+ 2, A3」)，Ba ，%)，贝9 PA = (x },y }-2), PB = (x 2,y 2 -2),由 PB = ZPA ,得 X 2 1 3 由 Q + * '得(1 + 2比2)严+池+6二0.又△二64疋一24(1 + 2/)= 0>0,得k 2>~. y = kx + 2, Sk 6 由根与系数关系，坷+禺=一 ，= - 1+2F - 1 + 2亡 把七=2西代入坷+召=_] + 2加 有西(1+2) = _] +朮，(1) 6 0 6 把x 2=^代入“2=仃乔有彷=匚乔，(2) 由(1)、(2)可以消去西得到含有入比的关系式，这个过程比较复杂，这个关系式是 32k 2 (1+A)2 3 1 3(1+2/) 2 八 3 _― =—■—, 或者变为__+?7 =—石刁—= — ， 由* >二，可以求得 召=2坷， y 2-2 = A(y l -2).
3(1+2Q A 32k「 16 32k~(1 + 久)「2
初于是建立了关于2的不等式 '2 v￡,又0vQvl,解得￡v2vl. 32K I O O (1+A ) O 3 当初没有斜率时，宀亍所以扫＜「 解析2：构造2 + ]=玉+玉=(召+兀T ,如此可以直接把年+召=一￡「 / x } x 2 x }x 2 l + 2k 6 1 ao&2 3 也=砲代入得到'+君茹莎r"込百-2,由解法1知：宀亍可以 求得2＜丐＜罟,又061,解得打＜1?当仙殳有斜率时，4,所以押＜1. 解析3：设人(西,刃),8也,％)，则 力4 =(兀[,刃一2), PB = (X 2,>2-2),由 PB = APA ,得v 4+^=i, 2 O 1 又人(召,刃)，3(%,%)在二+b=l 上，所以]2 2 - + ^=1. 〔2 - 事实上仅用以上这四个等式就可以求出2与西,必,兀2，%中任意一个的关系. j 吕+*=1,⑴ F 字+(勿 _2Q +2)2=[.(2) (l)x A 2 _(2)得：(Ay.)2 -(心 -22 + 2)2 = / 一 1, (22-2)(22^ -2A + 2) = -1,注意到0<2<1,所以4仇开 一2 + 1) = 2 + 1,解得 气J) _ 3 斥彳一3 1 ”=—,注意到—1S)[S1，所以—is — <1,解得一5/153,又0V/lvl, 1 4A 1 4 2 3 所以-<2<1. 3 解法评价：解法1与解法2都是利用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，是解析 几何常用的方法，但是用这种方法必须对直线方程进行讨论，还应注意，有些时候仅仅使用其中 的根与系数的关系而没有用根的判别式,但是由于根与系数的关系是从整体上建立有关系数的关 系的，所以无法保证实数根的存在性，因此一定要检验判别式大于零.解法3 32k 1 冷=岔， y 2-2 = /l(y l -2).
北京市北纬路中学徐学军 《直线与圆锥曲线的位置关系（一）》教学设计 一、教材分析及学生情况分析 本节课是平面解析几何的核心内容之一。在此之前，学生已学习了直线的基本知识，圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，直线与圆的位置关系及判定，这为本节课的学习起着铺垫作用。本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》的第一节课，着重是教会学生如何判断直线与椭圆的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。所以是承上启下的一节课。这节课还是培养学生数学能力的良好题材，所以说是解析几何的核心内容之一。 数学思想方法分析：作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。因此本节课在教学中力图让学生动手操作，自主探究、发现共性、类比归纳、总结解题规律。 学生情况分析：对于直线和圆，学生已经非常熟悉，并且知道直线与圆有三种位置关系：相离，相切和相交，会从代数、几何两个方面进行判断。本节课，学生将类比挖掘直线与椭圆圆的位置关系，学会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础。本班为理科班，学生整体思维能力较强，勤于动脑，喜欢想问题，但不愿动手实践，特别是进行相关计算，另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识及反思总结等方面有待加强。 二、教学目标 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知心理特征和实际，制定如下教学目标： 知识与技能：①理解直线与椭圆的位置关系； ②会进行位置关系的判断，计算弦长。 过程与方法：根据本节课的内容和学生的实际水平，通过回忆画图让学生理解直线与椭圆的位置关系；观察类比直线与圆的位置关系的判定，归纳总结出直线与椭圆的位置关系的判定，掌握代数方法， 学会解决相关的问题。 情感、态度、价值观：使得学生在学习知识的同时，培养学生自主探究和数形结合解决问题的能力。 三、教学重点、难点、关键 本着课程标准，在吃透教材基础上，我觉得这节课是解决直线与圆锥曲线综合问题的基础。对解决综合问题，我觉得只有先定性分析画出图形并观察图形，以形助数，才能定量分析解决综合问题。如：解决圆锥
直线与圆锥曲线题型总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
直线和圆锥曲线基本题型 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 :14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范 围 解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆 22 :14x y C m +=过动点04m ±≠（，且，如果直线:1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m +=始 终有交点，则 14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 题型二：弦的垂直平分线问题 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+?? =?消y 整理，得 2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ?=--=-+> 即21 04 k << ② 由韦达定理，得：212221 ,k x x k -+=-121x x =。则线段 AB 的中点为 22 211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得021122 x k = -，则211( ,0)22 E k -
例1、如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4 π的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物 线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积. 〖解析〗由题意，可设l 的方程为y =x +m ,－5＜m ＜0, 由方程组? ??=+=x y m x y 42,消去y , 得x 2+(2m －4)x +m 2=0 ① ∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ， ∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0) , 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2, ∴|MN |=4 ) 1(2m -, 点A 到直线l 的距离为d =2 5m +. ∴S △=2(5+m ) m -1,从而S △2 =4(1－m )(5+m )2 =2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(3 5522m m m ++++-)3=128. ∴S △≤8 2 ,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号. 故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为8 2 . 〖总结与提高〗直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题.本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法” 知识依托：弦长公式、三
角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想
. 错解分析：将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m的取值范围.不等式法求最值忽略了适用的条件. 技巧与方法：涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算. 例2、已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2) (1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点. (2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在. 〖解析〗(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点. 当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 ① (ⅰ)当2－k2=0,即k=±2时，方程①有一个根，l与C有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±2时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k) 3时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点. ①当Δ=0,即3－2k=0,k= 2 3,又k≠±2, ②当Δ＞0,即k＜ 2 3时，方程①有两不等实根，l与C有两故当k＜－2或－2＜k＜2或2＜k＜ 2 个交点. 3时，方程①无解，l与C无交点. ③当Δ＜0，即k＞ 2 3，或k不存在时，l与C只有一个交点； 综上知：当k=±2,或k= 2
直线圆锥曲线与向量的综合问题 高考考什么 知识要点： 1．直线与圆锥曲线的公共点的情况 00 ),(0 2=++??? ?==++C Bx Ax y x f c by ax 曲线：直线：)0'''(2=++C y B y A 或 （1）没有公共点 → 方程组无解 （2）一个公共点 → 0 ,0)0)=?≠→=→A ii A i 相切相交 （3）两个公共点 → 0,0>?≠A 2．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常 用的弦长公式：1212AB x y y =-=- 3．以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 4.几何与向量综合时可能出现的向量容 （1） 给出直线的方向向量或； （2）给出与相交,等于已知过的中点; （3）给出,等于已知是的中点; （4）给出,等于已知A 、B 与PQ 的中点三点共线; （5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线. （6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即 （7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。 （8）给出,等于已知是的平分线。 （9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;
（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形; （11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （14）在中，给出等于已知通过的心； （15）在中，给出等于已知是的心（三角形切圆的圆心，三角形的心是三角形三条角平分线的交点）； （16）在中，给出,等于已知是中边的中线; 高考怎么考 主要题型： 1．三点共线问题；2．公共点个数问题；3．弦长问题； 4．中点问题；5．定比分点问题；6．对称问题；7．平行与垂直问题；8．角的问题。 近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为 （1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。 （2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。 特别提醒：法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。 高考真题 1.[2012·卷] 若n＝(－2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．．arctan2 [解析] 考查直线的法向量和倾斜角，关键是求出直线的斜率． 由已知可得直线的斜率k× 1 －2 ＝－1，∴k＝2，k＝tanα，所以直线的倾斜角α＝arctan2. 2.[2012·卷] 如图1－3，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形． 图1－3
专题27 快速解决直线与圆锥曲线综合问题的解题技巧 一．命题陷阱 1.不用韦达定理与用韦达定理的选择陷阱 2.范围不完备陷阱 3.圆锥曲线中三角形面积公式选取陷阱 4．不用定义直接化简的陷阱（圆锥曲线定义的灵活运用） 5.圆锥曲线中的求定点、定直线只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱 6.圆锥曲线中的求定值只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱 二、知识回顾 1.椭圆的标准方程 (1) 22221,(0)x y a b a b +=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c = (2) 22221,(0)x y a b b a +=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c =2.双曲线的标准方程 (1) 22221,(0,0)x y a b a b -=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c ． (2) 22221,(0,0)x y a b b a -=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c 3．抛物线的标准方程 (1) 2 2 2 2 2,2,2,2,(0)y px y px x py x py p ==-==->．对应的焦点分别为： (,0),(,0),(0,),(0,)2222 p p p p F F F F --. 三．典例分析 1.不用韦达定理与用韦达定理的选择陷阱 例1. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12 .已知A 是抛物线22(0) y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为1 2 . （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .
直线与圆锥曲线的位置关系 规范答题示专题 典例 (12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋ y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为 32 ， 且点? ???? 3，12在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程； (2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 2 4b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . ①求|OQ ||OP | 的值；②求△ABQ 面积的最大值． 审题路线图 (1)椭圆C 上点满足条件―→得到a ，b 的关系式――――――――――→已知离心率e ＝ 3 2 a 2＝ b 2＋ c 2 基本量法求得椭圆C 的方程 (2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P ，Q 共线设坐标代入方程―→求出|OQ | |OP | ②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 的方程联立――→通法 研究判别式Δ并判断根与系数的关系―→用m ，k 表示S △OAB ―→ 求S △OAB 的最值 ―――――――――――→利用①得 S △ABQ 和S △OAB 的关系 得S △ABQ 的最大值
(2)由(1)知椭圆E 的方程为 x 216＋y 2 4 ＝1. ①设P (x 0，y 0)，|OQ | |OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)． 因为x 20 4 ＋y 20＝1， 又－λx 02 16 ＋ －λy 0 2 4 ＝1，即λ24? ?? ??x 20 4 ＋y 20 ＝1， 所以λ＝2，即|OQ | |OP |＝2.5分 ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2，(*) 则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝ 4 16k 2＋4－m 21＋4k 2 . 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝ 2 16k 2＋4－m 2|m | 1＋4k 2 ＝ 216k 2＋4－m 2 m 2 1＋4k 2 ＝2 ? ?? ??4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2.8分 设 m 2 1＋4k 2 ＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.(**)
直线与圆锥曲线位置关系（椭圆为例） 【复习要点】直线与圆锥曲线问题常用知识点 1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+ 垂直：则12 1k k =-； 直线所在的向量1 20v v = 平行：斜率相等，截距不等。 2、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ， 则1212,b c x x x x a a +=- =。 3、中点坐标公式： 点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标M （x,y ）其中（1212 ,y 22 x x y y x ++==，）。 4、弦长公式： 若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1 122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， 222222 1212121212()()()()(1)()AB x x y y x x kx kx k x x =-+-=-+-=+-221212(1)[()4]k x x x x =++- 或者 2222212121212122111()()()()(1)()AB x x y y x x y y y y k k k =-+-=-+-=+-2121221 (1)[()4]y y y y k =++-。 【题型解析】直线和椭圆（圆锥曲线）常考题型 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 解：数形结合，直线恒过（0,1）点，即此点在椭圆内即可。 14m m ≤≠且。 题型二：弦的垂直平分线问题 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)， 使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22 x x y y x ++= =，其中（,x y ）是点 1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则 1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB === = 或者 AB === = 3、两条直线111222: ,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =r r g 4、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 常见的一些题型： 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22 : 14x y C m +=过动点04m ±≠（，且，如果直线 :1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m + =14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101l y kx =+?过定点（，） :(1)1l y k x =+?-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+?-过定点（，2） 题型二：弦的垂直平分线问题 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在， 求出0x ；若不存在，请说明理由。
直线与圆锥曲线（复习）辅导教案 知识点一、直线与圆锥曲线的关系 1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24 ＝1的位置关系为( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 2．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24 ＝1相交，则k 的取值范围是( ) A.??? ?0，23 B.????－23，0 C.????－23，23 D.????－∞，－23∪??? ?23，＋∞ 3．(2014·辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )
A.12 B.23 C.34 D.43 知识点二、弦长问题 4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、 B 两点，则弦AB 的长为________． 知识点三、中点弦问题 5.过椭圆x216＋y24 ＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M 点平分，求此弦所在的直线方程． 知识点一、 直线与圆锥曲线 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标．也 可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是 二次项系数不为0. (2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程， 此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为 0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解． 知识点二、点差法 涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2 和x 1＋x 2，y 1＋y 2，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想． 知识点三、定点定值问题
第四讲 直线与圆锥曲线中的弦长问题 【关卡1 一般弦的计算问题】 笔 记 1.直曲联立韦达定理法（优化的弦长公式） 2.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 代数法 几何法 例 题 1.已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为，且 e =，过椭圆C 的右焦点且斜率为2l 被椭圆C 截的弦长AB ， （1）求椭圆的方程； （2）弦AB 的长度. 2.已知椭圆1422=+y x 以及直线m x y += （1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围 （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程 3.已知直线3+=kx y 与椭圆12 22 =+y x ，试判断k 的取值范围，使得直线与椭圆分别有两个交点，一个交点和没有交点？ 4.已知椭圆1222=+y x ，),(00y x P ，120202 0≤+ 5.已知双曲线422=-y x ，直线)1(:-=x k y l ，试讨论满足下列条件时实数k 的取值范围 （1）直线l 与双曲线有两个公共点 （2）直线l 与双曲线有且只有一个公共点 （3）直线l 与双曲线没有公共点 过关练习 1.)0(122 22>>=+b a b y a x 的离心率为3 6，设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l 和椭圆交于A,B 两点,当|AB |= 3，求的b 值. 2.已知椭圆G:14 22=+y x ，过点（m ，0）作圆122=+y x 的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点 （1）求椭圆的焦点坐标和离心率； （2）将|AB |表示成m 的函数，并求|AB |的最大值 3.直线01=--kx y 与椭圆152 2=+m y x 恒有公共点，求m 的取值范围？ 4.若直线 2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，求k 的取值范围？ 直线与圆锥曲线 学习目标： 1、 掌握直线与圆锥曲线的交点个数问题的解法 2、 掌握直线与曲线相交时，用列联方程组的方法解题 3、 设而不求的思想方法在解题过程中的使用 例题选讲： 例1. （方略：双曲线）直线01:=--y ax l 与曲线12:2 2 =-y x C . （1） 若直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围； （2） 若直线l 被曲线C 截得的弦长212a PQ +=，求实数a 的取值范围； （3） 是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆过原点，若存在，求出a 的值，若不存在， 说明理由. 例2. （方略P270）直线l 的斜率为1，在y 轴上的截距为b ，若直线l 与椭圆12 422=+y x 交于A 、B 两点，当OAB ?的面积最大时，求直线l 的方程，并求出面积的最大值. 例3.（2017年一模普陀18）已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、 2F ， 过2F 的一条直线交椭圆于P 、Q 两点，若12PF F ?的周长为4+ . （1）求椭圆C 的方程； （2）若12F P F Q PQ +=u u u r u u u u r u u u r ，求直线PQ 的方程. 例4.（2017年一模虹口20）椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>过点(2,0)M ，且右焦点为 (1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜 率分别为1k 和2k ． （1）求椭圆C 的方程； （2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ?的值； （3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出12k k +的取值范围． A B O x F解析几何——直线与圆锥曲线
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