1.【2015高考新课标1，文5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为
1
2
，E 的右焦点与抛物线2
:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )
（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 【答案】B
【解析】∵抛物线2:8C y x =的焦点为（2,0），准线方程为2x =-，∴椭圆E 的右焦点为（2,0），
∴椭圆E 的焦点在x 轴上，设方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，c=2，
∵12
c e a ==，∴4a =，∴222
12b a c =-=，∴椭圆E 方程为2211612x y +=，
将2x =-代入椭圆E 的方程解得A （-2,3），B （-2，-3），∴|AB|=6，故选B. 【考点定位】抛物线性质；椭圆标准方程与性质
【名师点睛】本题是抛物线与椭圆结合的基础题目，解此类问题的关键是要熟悉抛物线的定义、标准方程与性质、椭圆的定义、标准方程与性质，先由已知曲线与待确定曲线的关系结合已知曲线方程求出待确定曲线中的量，写出待确定曲线的方程或求出其相关性质.
2.【2015高考重庆，文9】设双曲线22
221(a 0,b 0)x y a b
-=>>的右焦点是F ，
左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若
12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）
(A) 1
2
±
(B) ± (C) 1±
(D) 【答案】C
【解析】由已知得右焦点(,0)F c (其中)0,2
2
2
>+=c b a c ，
)0,(),0,(21a A a A -，),(),,(2
2a
b c C a b c B -，
从而),(),,(2
221a b a c C A a b a c B A -=-+=，又因为12A B A C ⊥，
所以021=?C A B A ，即0)()()()(2
2=?-++?-a b a b a c a c ，
化简得到1122±=?=a b
a
b ，即双曲线的渐近线的斜率为1±，
故选C.
【考点定位】双曲线的几何性质与向量数量积.
【名师点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，利用向量垂直的条件来转化两直线垂直的条件而得到a 与b 的关系式来求解.本题属于中档题，注意运算的准确性.
3.【2015高考四川，文7】过双曲线2
2
13
y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两
条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )
(A (B (C )6 (D 【答案】D
【解析】由题意，a ＝1，b c ＝2，
渐近线方程为y ＝x
将x ＝2代入渐近线方程，得y 1，2＝
故|AB |＝D
【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力.
【名师点睛】本题跳出直线与圆锥曲线位置关系的常考点，进而考查直线与双曲线渐近线交点问题，考生在解题中要注意识别.本题需要首先求出双曲线的渐近线方程，然后联立方程组，接触线段AB 的端点坐标，即可求得|AB |的值.属于中档题.
4.【2015高考陕西，文3】已知抛物线2
2(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）
A ．(1,0)-
B ．(1,0)
C ．(0,1)-
D ．(0,1) 【答案】B
【解析】由抛物线22(0)y px p =>得准线2
p
x =-
，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =， 所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 【考点定位】抛物线方程和性质.
【名师点睛】1.本题考查抛物线方程和性质，采用待定系数法求出p 的值.本题属于基础题，
注意运算的准确性.2.给出抛物线方程要求我们能够找出焦点坐标和直线方程，往往这个是解题的关键.
5.【2015高考新课标1，文16】已知F 是双曲线2
2
:18
y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，
(
A ，当APF ?周长最小时，该三角形的面积为 ．
【答案】
【考点定位】双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题
【名师点睛】解决解析几何问题，先通过已知条件和几何性质确定圆锥曲线的方程，再通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，解析几何中的计算比较复杂，解决此类问题的关键要熟记圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线位置关系的常见思路.
6.【2015高考广东，文8】已知椭圆22
2
125x y m +=（0m >）
的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C
【解析】由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ． 【考点定位】椭圆的简单几何性质．
【名师点晴】本题主要考查的是椭圆的简单几何性质，属于容易题．解题时要注意椭圆的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是椭圆的简单几何性质，
即椭圆22
221x y a b +=（0a b >>）的左焦点()1F ,0c -，右焦点()2F ,0c ，其中222a b c =+．
7.【2015高考天津，文5】已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲
线的渐近线与圆()
2
22
y 3x -+=相切,则双曲线的方程为（ ）
(A) 221913x y -= (B) 221139x y -= (C) 2
213x y -= (D)
2
2
13
y x -= 【答案】D
【解析】由双曲线的渐近线0bx ay -=与圆()
2
22
y 3x -+=相切得
=,由
2c ==,解得1,a b ==,故选D.
【考点定位】圆与双曲线的性质及运算能力.
【名师点睛】本题是圆与双曲线的交汇题,虽有一定的综合性,但方法容易想到,仍属于基础题.不过要注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧
性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.
8.【2015高考湖南，文6】若双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线
的离心率为( )
A B 、54 C 、43 D 、5
3
【答案】D
【解析】因为双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近线经过点（3，-4），
2225
349163
c b a c a a e a ∴=∴-=∴=
，（），=． 故选D. 【考点定位】双曲线的简单性质
【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形
结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：(1)与双曲线22
221x y a b
-=共渐近线的可设为
2222(0)x y a b λλ-=≠；(2)若渐近线方程为b y x a =±，则可设为22
22(0)x y a b λλ-=≠；(3) 双曲线
的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b ；(4) 22
221(0.0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为
b a ==可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置. 9.【2015高考安徽，文6】下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）
（A ）22
14y x -= （B ）2214
x y -=
（C ）22
12y x -= （D ）2
212
x y -= 【答案】A
【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为x y 2±=，故选A . 【考点定位】本题主要考查双曲线的渐近线公式.
【名师点睛】在求双曲线的渐近线方程时，考生一定要注意观察双曲线的交点是在x 轴，还是
在y 轴，选用各自对应的公式，切不可混淆.
10.【2015高考湖北，文9】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >
【答案】D .
【解析】不妨设双曲线1C 的焦点在x 轴上，即其方程为：22
221x y a b
-=，则双曲线2C 的方程为：
22
22
1()()x y a m b m -=++，所以1e ==，
2e ==，当a b >时， ()()()0()()b m b b m a b a m a b m a m a a m a a m a ++-+--==>+++，所以b m b a m a +>+，所以2
2
b m b a m a +????> ? ?+????，所以21e e >；当a b <时，
()()()0()()b m b b m a b a m a b m a m a a m a a m a ++-+--==<+++，所以b m b
a m a
+<+，所以2
2
b m b a m a +????
< ? ?+????
，所以21e e <；故应选D . 【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系.
【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性.
11.【2015高考福建，文11】已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为F ．短轴的一个
端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于
4
5
，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）
A ．
B ．3(0,]4
C ．
D ．3[,1)4
【答案】A
【解析】设左焦点为F ，连接1AF ，1BF ．则四边形1BF AF 是平行四边形，故1AF BF =，所以
142AF AF a +==，所以2a =，设(0,)M b ，则
44
55
b ≥，故1b ≥，从而221a
c -≥，203c <≤
，
0c <≤，所以椭圆E
的离心率的取值范围是，故选A ． 【考点定位】1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．
【名师点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，将4AF BF +=转化为142AF AF a +==，进而确定a 的值，是本题关键所在，体现了椭圆的对称性和椭圆概念的重要性，属于难题．求离心率取值范围就是利用代数方法或平面几何知识寻找椭圆中基本量,,a b c 满足的不等量关系，以确定
c
a
的取值范围． 12．【2015高考浙江，文15】椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线b
y x
c
=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．
【解析】设()F ,0c 关于直线b y x c =的对称点为(,)Q m n ，则有12
22n b
m c c
n b m c
??=-??-?+?=???，解得
3222222,c b bc bc m n a a --==，所以32222
22(,)c b bc bc
Q a a --在椭圆上，即有32222422(2)(2)1c b bc bc a a b --+=，解得22
2a c =
，所以离心率c e a ==【考点定位】1.点关于直线对称；2.椭圆的离心率.
【名师点睛】本题主要考查椭圆的离心率.利用点关于直线对称的关系，计算得到右焦点的对
称点，通过该点在椭圆上，代入方程，转化得到关于,a c 的方程，由此计算离心率.本题属于中等题。主要考查学生基本的运算能力.
13.【2015高考北京，文12】已知()2,0是双曲线2
2
21y x b
-=（0b >）的一个焦点，则
b = ．
【解析】由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以b =. 【考点定位】双曲线的焦点.
【名师点晴】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质，属于容易题．解题时要注意双曲线的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是双曲线的简单几何
性质，即双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左焦点()1F ,0c -，右焦点()2F ,0c ，其中
222c b a =+．
【2015高考上海，文7】抛物线)0(22
>=p px y 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则
=p .
【答案】2
【解析】依题意，点Q 为坐标原点，所以12
=p
，即2=p . 【考点定位】抛物线的性质，最值.
【名师点睛】由于抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，所以抛物线的顶点到焦点的距离最小.
【2015高考上海，文12】已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为14
22
=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .
【答案】14
42
2=-y x 【解析】因为1C 的方程为1422=-y x ，所以1C 的一条渐近线的斜率2
1
1=k ，所以2C 的一条
渐近线的斜率12=k ，因为双曲线1C 、2C 的顶点重合，即焦点都在x 轴上，
设2C 的方程为)0,0(122
22>>=-b a b y a x ，
所以2==b a ，所以2C 的方程为14
42
2=-y x .
【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.
【名师点睛】在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程； (3)渐近线的斜率与离心率的关系，如k ＝b
a ＝c 2－a 2a
＝
c 2a
2－1＝e 2
－1. 14.【2015高考山东，文15】过双曲线C ：22
221x y a a
-=0,0a b >>（）
的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 .
【答案】2
【解析】双曲线22221x y a a -=的右焦点为(,0)c .不妨设所作直线与双曲线的渐近线b
y x a =平
行，其方程为()b
y x c a =-，代入22221x y a a -=求得点P 的横坐标为222a c x c +=，由
22
22a c a c +=，得2()410c c a a -+=，解之得2c a =2c
a
=（舍去，因为离心率
1c
a
>），故双曲线的离心率为2. 【考点定位】1.双曲线的几何性质；2.直线方程.
【名师点睛】本题考查了双曲线的几何性质及直线方程，解答本题的关键，首先是将问题进一步具体化，即确定所作直线与哪一条渐近线平行，事实上，由双曲线的对称性可知，两种情况下结果相同；其次就是能对所得数学式子准确地变形，利用函数方程思想，求得离心率. 本题属于小综合题，也是一道能力题，在较全面考查直线、双曲线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及函数方程思想.
15.【2015高考安徽，文20】设椭圆E 的方程为22
221(0),x y a b a b
+=>>点O 为坐标原点，点
A 的坐标为(,0)a ,点
B 的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 的
. （Ⅰ）求E 的离心率e ;
（Ⅱ）设点C 的坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .
【答案】（Ⅰ（Ⅱ）详见解析. 【解析】
（Ⅰ）解：由题设条件知，点)31,32(b a M ，又105=
OM k 从而10
52=a b . 进而b b a c b a 2,522=-==
，故5
52=
=
a c e . （Ⅱ）证：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为??? ??-2,2
b a ，可得??
?
??=65,6b a NM . 又()b a AB ,-=，从而有()
22
2256
16561a b b a NM AB -=+-
=? 由（Ⅰ）得计算结果可知,52
2
b a =所以0=?NM AB ，故AB MN ⊥. 【考点定位】本题主要考查椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系等基础知识.
【名师点睛】本题主要将椭圆的性质与求椭圆的离心率相结合，同时考查了中点坐标公式，以及解析几何中直线与直线垂直的常用方法，本题考查了考生的基本运算能力和综合分析能力.
16．【2015高考北京，文20】（本小题满分14分）已知椭圆C :2
2
33x y +=，过点()D 1,0且
不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，
B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．
（I ）求椭圆C 的离心率；
（II ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；
（III ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．
【答案】（I （II ）1；（III ）直线BM 与直线D E 平行. 【解析】
试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（I ）先将椭圆方程化为标准方程，得到a ，b ，c 的值，再利用c
e a
=
计算离心率；（II ）由直线AB 的特殊位置，设出A ，B 点坐标，设出直线AE 的方程，由于直线AE 与3x =相交于M 点，所以得到M 点坐标，利用点B 、点M 的坐标，求直线BM 的斜率；（III ）分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB 和直线AE 的方程，将椭圆方程与直线AB 的方程联立，消参，得到12x x +和12x x ，代入到1BM k -中，只需计算出等于0即可证明BM DE k k =，即两直线平行.
试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213
x y +=.
所以a =1b =，c =
所以椭圆C 的离心率c e a =
=
. （Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--. 令3x =，得1(3,2)M y -. 所以直线BM 的斜率11
2131
BM y y k -+=
=-.
（Ⅲ）直线BM 与直线D E 平行.证明如下： 当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =. 又因为直线D E 的斜率10
121
DE k -=
=-，所以//BM DE . 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠.
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为111
1(2)2
y y x x --=
--. 令3x =，得点1113
(3,
)2
y x M x +--.
由2233(1)x y y k x ?+=?=-?，得2222(13)6330k x k x k +-+-=. 所以2122613k x x k +=+，2122
33
13k x x k -=+.
直线BM 的斜率112
12
3
2
3BM
y x y x k x +---=
-. 因为11112121(1)3(1)(2)(3)(2)
1(3)(2)
BM k x x k x x x x k x x -+--------=
--
121221(1)[2()3)
(3)(2)
k x x x x x x --++-=
--
22
22
213312(1)[3)1313(3)(2)
k k k k k x x -+-+-++=
-- 0=，
所以1BM DE k k ==. 所以//BM DE .
综上可知，直线BM 与直线D E 平行.
考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.
【名师点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线的斜率和两条直线的位置关系，属于中档题．解题时一定要注意直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是椭圆的离心率，直线的两点斜率公式和两条直线的位置关系，
即椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率c
e a
=，过()111,x y P ，()222,x y P 的直线斜率
21
21
y y k x x -=
-（12x x ≠），若两条直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+斜率都存在，则12//l l ?12k k =且12b b ≠．
17.【2015高考福建，文19】已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =． （Ⅰ）求抛物线E 的方程；
（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．
【答案】（Ⅰ）2
4y x =；（Ⅱ）详见解析． 【解析】解法一：（I ）由抛物线的定义得F 22
p
A =+． 因为F 3A =，即232
p
+
=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =． （II ）因为点()2,m A 在抛物线:E 2
4y x =上，
所以m =±
(2,A ．
由(2,A ，()F 1,0可得直线F A
的方程为)1y x =-．
由)214y x y x
?=-??=??，得22520x x -+=， 解得2x =或12x =
，从而1,2?B ?． 又()G 1,0-，
所以
G k A =
=
G k B ==， 所以G G 0k k A B +=，从而GF GF ∠A =∠B ，这表明点F 到直线G A ，G B 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 解法二：（I ）同解法一．
（II ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ． 因为点()2,m A 在抛物线:E 2
4y x =上，
所以m =±
(2,A ．
由(2,A ，()F 1,0可得直线F A
的方程为)1y x =-．
由)214y x y x
?=-??=??，得22520x x -+=，
解得2x =或12x =
，从而1,2?B ?． 又()G 1,0-，故直线G A
的方程为30y -+=，
从而r ． 又直线G B
的方程为30y ++=，
所以点F 到直线G B
的距离d r =． 这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切．
【考点定位】1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系．
【名师点睛】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离进行转化，从而简化问题的求解过程，在解抛物线问题的同时，一定要善于利用其定义解题．直线和圆的位置关系往往利用几何判断简洁，即圆心到直线的距离与圆的半径比较；若由图形观察，结合平面几何知识，说明GF GF ∠A =∠B 即可，这样可以把问题转化为判断G G 0k k A B +=，高效解题的过程就是优化转化的过程．
18.【2015高考湖北，文22】一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔
尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总
与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ?的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）22
1.164x y +
=（Ⅱ）当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ?的面积取得最小值8.
【解析】（Ⅰ）因为||||||314OM MN NO ≤+=+=，当,M N 在x 轴上时，等号成立；同理||||||312OM MN NO ≥-=-=，当,D O 重合，即MN x ⊥轴时，等号成立. 所以椭圆C 的中心
为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为22
1.164
x y +
=
第22题图
1
第22题图2
y
（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有1
4482
OPQ S ?=
??=. （2）当直线l 的斜率存在时，设直线1
:()2l y kx m k =+≠±， 由22
,416,y kx m x y =+??+=?
消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以
2222644(14)(416)0k m k m ?=-+-=，即22164m k =+. ①
又由,20,y kx m x y =+??-=?
可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m
Q k k -++.由原点O 到直线PQ 的距
离为
d =
和|||P Q PQ x x =-，可得
2
2
111222||||||||222121214OPQ
P Q m m m S PQ d m x x m k k k ?=?=-=?+=
-+-. ② 将①代入②得，2222
41281441
OPQ
k m S k k ?+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ?+==+>--；当2
104k ≤<时，222
4128()8(1)1414OPQ k S k k ?+==-+--.因2
104
k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以2
2
8(1)814OPQ
S k ?=-+≥-，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ?的最小值为8.
综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ?的面积取得
最小值8.
【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆相交综合问题，属高档题.
【名师点睛】作为压轴大题，其第一问将椭圆的方程与课堂实际教学联系在一起，重点考查学生信息获取与运用能力和实际操作能力，同时为椭圆的实际教学提供教学素材；第二问考查直线与椭圆相交的综合问题，借助函数思想进行求解.其解题的关键是注重基本概念的深层次理解，灵活运用所学知识.
19.【2015高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆
22
222:1y x C a b
+=
(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为，过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，与2C 相交于,C D 两点，且AC 与BD 同向.
（I ）求2C 的方程；
（II ）若AC BD =，求直线l 的斜率.
【答案】（I ）22198y x += ；(II) . 【解析】
试题分析：（I ）由题通过F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，可得221a b -=，
根据1C 与2C 的公共弦长为，1C 与2C 都关于y 轴对称可得
2296
14a b
+=，然后得到对应曲线方程即可； (II) 设11223344(,),(,),(,),(,),A x y B x y C x y D x y 根据AC BD =，可得
2234341212()4()4x x x x x x x x +-=+-，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+，联立
直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用韦达定理进行计算即可得到结果.
试题解析：（I ）由21:4C x y =知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，
所以221a b -= ①； 又1C 与2C 的公共弦长为，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的
方程为21:4C x y =，由此易知1C 与2C 的公共点的坐标为3
()2，22
96
14a b ∴
+= ②，
联立①②得2
2
9,8a b ==，故2C 的方程为22
198
y x +=。
（II ）如图，设11223344(,),(,),(,),(,),A x y B x y C x y D x y
因AC 与BD 同向，且AC BD =，
所以AC BD =，从而3142x x x x -=-，即3412x x x x -=-，于是
2234341212()4()4x x x x x x x x +-=+- ③
设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+，
由2
1
4y kx x y
=+??
=?得2440x kx --=，由12,x x 是这个方程的两根，12124,4x x k x x ∴+==-④
由221189y kx x y =+??
?+=??得22(98)16640k x kx ++-=，而34,x x 是这个方程的两根，
343422
1664
,9898k x x x x k k
+=-
=-++， ⑤ 将④、⑤代入③，得232
2221646416(1)(98)98k k k k ?+=+++。即222
22
169(1)16(1)(98)
k k k ?++=+ 所以22
(98)169k +=?
，解得k =，即直线l
的斜率为 【考点定位】直线与圆锥曲线的位置关系；椭圆的性质
【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单．
20.【2015高考山东，文21】平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22
22+=1(>>0)
x y b b
αα
12）在椭圆C 上.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆E ：22
22+=144x y a b
，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m 交
椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .
（i ）求
||
||
OQ OP 的值；
(ii)求ABQ ?面积的最大值.
【答案】（I ）2214x y +=；（II ）（i ）||
2||
OQ OP =；
（ii ） 【解析】
（I ）由题意知22311,4a b +==，解得22
4,1a b ==， 所以椭圆C 的方程为2
2 1.4
x y +=
（II ）由（I ）知椭圆E 的方程为22
1164
x y +=.
（i ）设00||
(,),
,||
OQ P x y OP λ=由题意知00(,)Q x y λλ--. 因为22
00 1.4x y +=又2200()()1164x y λλ--+=，即22200() 1.44
x y λ+=
所以2λ=，即
||
2.||
OQ OP = （ii ）设1122(,),(,),A x y B x y 将y kx m =+代入椭圆E 的方程，可得
222(14)84160k x kmx m +++-=，由0,?>可得22416m k <+……………………①
则有2121222
8416
,.1414km m x x x x k k
-+=-=++所以12||x x -=因为直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为(0,)m ，所以OAB ?的面积
121||||2S m x x =-==
= 设22
.14m t k
=+将直线y kx m =+代入椭圆C 的方程，可得222
(14)8440k x kmx m +++-=，
由0,?≥可得2214m k ≤+……………………②
由①②可知01,t S <≤==故S ≤.
当且仅当1t =，即2214m k =+时取得最大值
由（i ）知，ABQ ?的面积为3S ，所以ABQ ?面积的最大值为
【考点定位】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.距离与三角形面积；4.转化与化归思想.
【名师点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系、距离与三角形面积、二次函数的性质等，解答本题的主要困难是（II ）中两小题，首先是通过研究,P Q 的坐标关系，使（i ）得解，同时为解答（ii ）提供简化基础，即认识到ABQ ?与OAB ?的面积关系，从而将问题转化成研究OAB ?面积的最大值.通过联立直线方程、椭圆方程，并应用韦达定理确定“弦长”，进一步确定三角形面积表达式，对考生复杂式子的变形能力及逻辑思维能力要求较高.
本题是一道能力题，属于难题.在考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系、距离与三角形面积、二次函数的性质等基础知识的同时，考查考生的计算能力及转化与化归思想.本题梯度设计较好，层层把关，有较强的区分度，有利于优生的选拔.
21.【2015高考陕西，文20】如图，椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>经过点(0,1)A -，且离心
. (I)求椭圆E 的方程；
(II)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.
圆锥曲线中的存在性问题 一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标（x0, y0） （2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题： 22 例1：已知椭圆C : x+ y=1（a b0）的离心率为3，过右焦点F的直线l与C相交于A, B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（1）求a, b的值 uuur uuur uuur （2）C上是否存在点P，使得当l绕F旋转到某一位置时，有 OP = OA + OB成立？若存 在，求出所有的P的坐标和l的方程，若不存在，说明理由 解：（1）e = c = 3a:b:c = 3: 2 :1 a3
则a = 3c ,b = 2c ，依题意可得： F (c ,0) ，当l 的斜率为1时 l :y = x - c x - y - c = 0 d O - l = = 解得： c = 1 22 a = 3, b = 2 椭圆方程为： +=1 32 (2)设P ( x 0 , y 0 ) ， A (x 1, y 1),B (x 2, y 2) 当l 斜率存在时，设l :y = k (x -1) 联立直线与椭圆方程： y =k (x - 1) 消去y 可得： 2x 2+3y 2=6 (3k 2 +2)x 2 -6k 2x +3k 2 -6=0 uuur uuur uuur Q OP =OA +OB x 0 =x 1 +x 2 y 0 =y 1+y 2 x 1+x 2= 62k y 1+ y 2 =k (x 1+x 2)-2k = 6k 3 3k 2+2 -2k 4k 3k 2+ 2 4k P 3k 62k +2,-3k 42k +2 因为P 在椭圆上 23k 2+2+3-3k 2+2=6 72k 4 +48k 2 =6(3k 2 + 2)2 24k 2 (3k 2 +2)=6(3k 2 +2)2 24k 2= 6(3k 2+ 2) k = 2 当 k = 2 时， l : y =2 ( x -1) ， P , - 32 2,- 2 当k =- 2时，l : y =- 2(x -1)，P 3, 2 32 2, 2 当斜率不存在时，可知l :x =1 ，A 1,2 3 l :x =1 A 1, 3 ,B 1,-2 3 3 ，则P (2,0)不在椭圆上 2x 2+3k 2(x -1)2 = 6 ，整理可得：
圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 （Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解： （Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=． 又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-． 所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求 四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-． 即2 04 24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，． 由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．
第12讲 圆与圆锥曲线综合 【教学目标】 知识与技能 （1）能解决圆与圆锥曲线综合出现等有关问题； （2）促进学生形成系统化、结构化的知识结构。 过程与方法 （1）综合运用方程思想、函数思想、数形结合、等价转换等方法解决相关问题； （2）通过教学过程中的分析和解题后的反思，培养学生自觉领悟，自觉分析的意识。 情感态度与价值观 （1）培养学生坚忍不拔、勇于探究的意志品质。 （2）通过课堂中和谐、民主的师生关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，培养学生严谨的科学态度。 教学重点： 圆和圆锥曲线的综合问题 教学难点： 圆和圆锥曲线的综合问题 考点链接：能够对圆锥曲线的问题进行探究、分析 [典型例题] 例1 若已知曲线C 1方程为)0,0(18 2 2 ≥≥=-y x y x ，圆2C 的方程为（x-3）2+y 2=1，斜率 为k （k ＞0）直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与曲线C 1相交于点B ，3=AB ，则直线AB 的斜率为（ ） A ．1 B ． 21 C ．3 3 D ．3 例2 若椭圆的一个焦点与圆x 2+y 2-2x=0的圆心重合，且经过），（05，则椭圆的标准方程__________________． 例3 已知椭圆E ：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）过点P （3，1），其左、右焦点分别为F 1，F 2， 且621-=?F F ． （1）求椭圆E 的方程； （2）若M ，N 是直线x=5上的两个动点，且F 1M ⊥F 2N ，圆C 是以MN 为直径的圆，其面积为S ，求S 的最小值以及当S 取最小值时圆C 的方程．
摘要 《几何画板》是一个适用于几何（平面几何，解析几何，射影几何，立体几何）、部分物理、天文教学的专业学科优秀平台软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验，也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养其观察能力，问题解决能力，并发展思维能力。它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。 在对《几何画板》进行系统的学习之后，我利用有关知识制作了两大类综合的数学课件。主要包括：用动态效果展示圆锥曲线及截面的形成和两类立体图形的侧面展开过程。这两类课件在教学上都有很重要的应用。最新的《普通中学数学课程标准》中强调“教师应向学生展示平面截圆锥得到的椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解，有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线。”这表明圆锥曲线的教学在以往的教学过程中存在着很大的困难，由于以往教育技术的落后，无法生动直观的进行讲解。现在有了这个课件，我们就能达到既生动又直观的教学效果。第二类立体图形的侧面展开问题在以往的课件制作中都有所涉及，但制作方法都很繁琐。我所作课件的最大优势就在于利用了一个统一的方法进行课件制作，大大缩短了制作的时间，而且达到了很好的演示效果。 全文由三部分组成： 第一部分：《几何画板》课件制作的选题原则。 第二部分：详细介绍了我所选择制作的数学课件及其制作过程。 第三部分：学习及应用《几何画板》的体会。 关键词：几何画板，标记向量，椭圆，圆锥曲线，圆锥截面， 轨迹，追踪，侧面展开图， 目录
摘要 (1) Abstract ......................................................................................................................... .. (3) 引言 (4) 第一部分几何画板的选题原则 (4) 第二部分课件设计与制作 (5) 第一类课件：圆锥曲线及圆锥截面的形 成 (5) 第一部分：圆锥曲线的构 造 (6) 第二部分：圆锥截面的构 造 (8) 第二类课件：立体图形的侧面展 开 (9) 第一部分：构造圆柱展 开 (10) 第二部分：构造棱柱展 开 (10)
圆锥曲线中存在探索型问题 存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习． 1．常数存在型问题 例1 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在这样的实数a ，使A ，B 关于直线y ＝2x 对称？请说明理由． 分析 先假设实数a 存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论． 解 设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设 A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，则AB 中点坐标为????x 1＋x 22，y 1＋y 22. 依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22 ，即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)，① 又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，∴y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1， ∴y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2，② 由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2， 即(2－a )(x 1＋x 2)＝2，③ 联立????? y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0， ∴x 1＋x 2＝2a 3－a 2 ，④ 把④代入③，得(2－a )·2a 3－a 2 ＝2， 解得a ＝32 ，经检验符合题意， ∴k AB ＝32，而k l ＝2，∴k AB ·k l ＝32 ×2＝3≠－1. 故不存在满足题意的实数a . 2．点存在型问题 例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆与直线y ＝x 相切于原 点O ，椭圆x 2a 2＋y 29 ＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1)求圆C 的方程； (2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
高三圆锥曲线专题测试题 一、选择题 1．椭圆222312x y +=的两焦点之间的距离为（ ） Ａ． Ｃ． 2．椭圆2 214 x y +=的两个焦点为12F F ，，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个 交点为P ，则2PF =（ ） Ｃ．72 Ｄ．4 3．双曲线22 22 1124x y m m -=+-的焦距是（ ） Ａ．8 Ｂ．4 Ｃ． Ｄ．与m 有关 4．焦点为(06)，且与双曲线2 212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是（ ） Ａ．22 11224 x y -= Ｂ．22 12412y x -= Ｃ．2212412 x y -= Ｄ．22 11224 y x -= 5．抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3)P m -，到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为（ ） Ａ．24y x = Ｂ．28y x = Ｃ．24y x =- Ｄ．28y x =- 6．焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（ ） Ａ．216y x = 或 212x y =- Ｂ． 216y x =或 216x y = Ｃ． 216y x =或212x y = Ｄ．212y x =-或216x y = 7．椭圆22 213x y m m +=-的一个焦点为(01)， ，则m 等于（ ） Ａ．1 Ｂ．2-或1 Ｄ．53 8．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF △为等边三角形的椭圆的离心率是（ ） Ａ．14 Ｂ．12 9．以双曲线22312x y -+=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是（ ）
Ａ．22 11612 x y += Ｂ．22 1164x y += Ｃ．22 11216 x y += Ｄ．22 1416 x y += 10．经过双曲线228y x -=-的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是（ ） Ｃ． Ｄ．11．一个动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点（ ） Ａ．(02)， Ｂ．(02)-， Ｃ．(20)， Ｄ．(40)， 12．已知抛物线24x y =的焦点F 和点(18)A P -，，为抛物线上一点，则PA PF +的最小值是（ ） Ａ．16 Ｂ．12 Ｃ．9 Ｄ．6 三、填空题 13．已知椭圆22 14924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点12F F ，连线的夹角为直角，则 12PF PF =· ． 14．已知双曲线的渐近线方程为34 y x =±，则双曲线的离心率为 ． 15．圆锥曲线内容体现出解析几何的本质是 ． 16．当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时，椭圆长轴的最小值为 ． 三、解答题 17．若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个 1，求椭圆的方程．
航天中的圆锥曲线 2005年10月17日凌晨，5天前从酒泉卫星发射中心启航的神舟六号飞船，在平安飞行了115个小时32分后重返神州，缓缓降落在内蒙古四子王旗主着陆场的草地上．我国首次真正意义上有人参与的空间飞行试验取得了圆满成功．随着中国第二次载人航天飞行的圆满成功，中国人的太空探索就站在了一个新的起点上，越来越多的世人把目光投向中国的航天事业．下面就结合航天中的圆锥曲线的应用加以分析． 1．航天中的椭圆 例1．2005年10月12日9时整，神舟六号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行．该轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆．选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点．设近地点为A ，远地点为B ，已知地球半径为R ． （1）只从数学角度分析，如果仅知道的近地点A 的高度m ，能确定飞船飞行的椭圆轨 （2（3＝6371解析：（1（2）设飞船飞行的椭圆轨道的方程为 )0(12 22 2>>=+ b a b y a x ， ∵近地点A 的高度m ，远地点B 的高度n ，地球半径为R ， 则R n m a AB 22++==， 所以2 2R n m a ++=，2 )(2 222 m n R m R n m AF a c OF -= +-++= -==， ∴))((2 2 2 R n R m c a b ++=-=， ∴飞船飞行的椭圆轨道的方程为 1) )((4 ) 2(2 2 2 =+++ ++R n R m y R n m x ； （3）∵=m 200公里，=n 350公里，R ＝6371公里，
代入以上（2）中的方程可得飞船飞行的椭圆轨道的方程为 x y 2 2 44169316 44163691 1+ =． 点评：人造地球卫星的轨道也是椭圆，人们在设定了一定的轨道参数之后，就能控制和预报卫星的运行轨道，从而达到遥控和回收的目的． 2．航天中的双曲线 例2 ．“神舟”六号载人飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域内安排三个救援中心（记为A 、B 、C ），A 在B 的正东方向，相距6千米，C 在B 的北偏西?30，相距4千米，P 为航天员着陆点，某一时刻，A 接受到P 的求救信号，由于B 、C 两地比A 距P 远，因此4秒后，B 、C 两个救援中心才同时接受到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒． （1）求在A 处发现P 的方位角； （2）若信号从P 点的正上空Q 点处发出，则A 、B 收到信号时间差变大还是变小？请说明理由． 解析：（1）如图1，∵||||PB PC =，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上， 又∵4||||=-PA PB ，∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上， 以AB 中点为坐标原点，直线AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则)0,3(A ，)0,3(-B ， )32 ,5(-C ， ∴双曲线方程为 )0(15 4 2 2 >=- x y x ， 又直线BC 的垂直平分线方程为：073=+-y x ， 联立以上两个方程解得：8=x ，∴)35,8(P ， ∴3tan = ∠=PAx k PA ，即?=∠60PAx ，即P 点在A 点的北偏东?30处； B C （图1） （图2） （2）如图2，设h PQ =||，x PB =||，y PA =||，
圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式. 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用解 析法解决相应的几何问题. 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD 与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 , F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O
二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例 5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D （0,-1）为圆心 的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB 是矩形？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由
圆锥曲线与方程单元教 学设计 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
课题名称《圆锥曲线与方程》单元教学设计 设计者姓名郭晓泉 设计者单位华亭县第二中学 联系电话 电子邮箱 《圆锥曲线与方程》单元教学设计 一、教学内容分析 1、实际背景分析 该单元选自人教版数学选修2-1.圆锥曲线与科研、生产以及人类生活关系密切，早在16、17世纪之交，开普勒就发现了行星绕太阳运行的轨道是一个椭圆；探照灯反射镜是抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面；发电厂冷却塔的外形线是双曲线，……现代航空航天领域内圆锥曲线也有重要的应用。圆锥曲线在实际生产生活中有着巨大的作用，主要来自于它们的几何特征及其特性。 2、数学视角分析 《圆锥曲线与方程》是中学数学解析几何的主要内容，研究圆锥曲线的性质，是圆的几何性质的推广与延伸，是运用坐标法从代数的角度来研究圆锥曲线性质，为了解决这个问题，让学生更好地理解和学习圆锥曲线的性质，先了解曲线与方程的关系，研究如何建立曲线的方程，把几何的形与代数的数通过这个关系有机的联系起来，充分运用数的运算来解决形的问题，达到数形统一，体现数形结合的思想。对于圆锥曲线的几何特征与方程的研究，延续了必修课程《必修2》中研究直线与圆的方程的方法，通过图形探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，并通过方程来研究他们的简单性质，进而利用坐标法解决一些圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题。 3、课程标准视角分析 （1）学生学习方式的转变问题。在本部分内容中，延续了《必修2》中研究直线与圆的方程的思想，所以应该引导学生通过积极主动的探索来完成圆锥曲线的学习，教师通过圆锥曲线背景的介绍，激发学生的学习兴趣，在研究了椭圆方程及性质的基础上，用类比的方法来研究双曲线和抛物线的方程及性质，经历直观感知，定义、建立方程、研究性质的基本过程，感受坐标法的作用，体会数形结合法的思想。 （2）学生思维能力培养的问题。“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。”这是课标对学生思维培养的要求，在圆锥曲线这部分
圆锥曲线中的存在性问题 、基础知识 1在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数） 存在，并用代数形式进行表示。 再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素， 则假设成 立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1 ）点：坐标 x 0,y 0 （2 ）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3 ）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必 要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2 ）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素 作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素， 则可将核心变量参与到条件中， 列出关于该变量与辅助变 量 的方程（组），运用方程思想求解。 、典型例题: 于A,B 两点，当I 的斜率为1时，坐标原点 0到I 的距离为 在，求出所有的 P 的坐标和I 的方程，若不存在，说明理由 解：（1） e C 2 3 a : b : c '3^2 :1 a 3 2 2 例1 :已知椭圆C :笃每 1 a a b 0的离心率为 过右焦点F 的直线I 与C 相交 （1 ）求a,b 的值 （2） C 上是否存在点P ，使得当I 绕F 旋转到某一位置时，有 0P 成立？若存
则a , 3c, b ,2c，依题意可得：F c,0，当I的斜率为1时 d o 解得: 、、3,b 椭圆方程为: X2 2 y 2 (2)设P x o,y o ,X i,y i ,B X 2,y2 当l斜率存在时，设 X o X1 X2 联立直线与椭圆方程: 3k2 2 x2 6k2x X 1 6k2 X 23k2 2 6k2 3k2 2' 6k2 3k2 2 4 2 72 k 48k y o y1 y 2 2 2x 3y 3k2 y1 Y2 k y2 消去 6 X-| x2 y 可得：2x2 3k2 2k 6k3 3k2 2k 2 1 6，整理可得: 4k 3k2 2 4k 3k2 2 因为P在椭圆上 2 6 3k 2 2 2 24 k 3k 3k2 24k2 6 3k2 .2 .2 时，I 3 V2 2，2 当斜率不存在时，可知4,B 3 2,0不在椭圆上 1, 3
微专题圆锥曲线几何条件的处理策略 1.平行四边形处理策略 例 1.（2015，新课标2理科20）已知椭圆 222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ． (Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3 m m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ ）能，4 4+ 【解析】试题分析：(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点,A B 的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB 的中点和直线l 的斜率；设直线l 的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB 的中点，并寻找两条直线斜率关系； （Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线OM 方程并与椭圆方程联立，求得M 坐标，利用2P M x x =以及直线l 过点(,)3 m m 列方程求k 的值． 试题解析：(Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． 将y kx b =+代入222 9x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故122 29 M x x kb x k +==-+， 2 99 M M b y kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-，即9OM k k ?=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线l 过点(,)3 m m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9, y x k x y m ? =-???+=?得222 2981P k m x k =+ ，即P x =．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3) 3 m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分， 即2P M x x = = 2(3)23(9) mk k k -?+ ．解得14k = 24k =0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l 的斜率为 4 4+OAPB 为平行四边形． 考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系． 2.直角三角形处理策略 例2.椭圆 22 22x y a b +=（0a b >> （1）求椭圆的方程；2 214 x y += （2）过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于两点,E F ，O 为坐标原点，若OEF ?为直角三角形，求直线l 的斜率 解析：（2）根据题意，过点(0,4)D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+，联立 22 414 y kx x y =+???+=??消去y 得22 (14)32600k x kx +++=，
圆锥曲线三大难点解读 山东 王中华 李燕 2006年高考数学试题圆锥曲线部分全面考查曲线定义、简单性质等基础知识，还对最值与定值（定点）、求参数范围（或值）、存在与对称等问题加大了考查力度．本文对各地考题归类整理，并探讨这三大难点的求解策略． 难点一、最值与定值（定点）问题 圆锥曲线的最值与定值（定点）问题一直是高考的一大难点． 最值问题求解策略是：几何法与代数法，前者用于条件与结论有明显几何意义，利用图形性质来解决的类型；后者则将结论转化为目标函数，结合配方法、判别式法、基本不等式及函数的单调性等知识求解． 定值（定点）问题求解策略是：从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与变量无关．也可以在推理、计算过程中消去变量，直接得到定点（或定值）． 例1 （江西卷理21）如图1，椭圆2222:1(0) x y Q a b a b +=>>的右焦点(0)F c ，，过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A B ，两点，P 是线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹H 的方程； （2）在Q 的方程中，令2 1cos sin a θθ=++， 2sin 0b θθπ? ?=< ?2??≤，确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远，此时，设l 与 x 轴交点为D ．当直线m 绕点F 转动到什么位置时，ABD △的面积最大？ 分析：求轨迹方程可用“设而不求”法，考虑AB 的斜率是否存在，注意到AB 与PF 共线，得方程为2 2 2 2 2 0b x a y b cx +-=；在第（2）问中，由2 a 、 2b 不难得到满足要求的1c =，为避免讨论直线m 的斜率是否存在，可设m 的方程为1x ky =+，再利用三角函数求出θ， ABD △的面积用A B ，纵坐标可表示为121 2 S y y =-， 当直线m 垂直于x 轴时，ABD △的面积最大． 点评：本题集轨迹方程、最值问题、动态几何于一身，运用了点差法、分类讨论思想、二次方程根与系数的关系、三角函数的有界性、分离变量法、均值不等式法等，对各种能力的综合要求非常高． 注：与最值相关的试题，还有江西卷理科第9题、北京卷理科第19题、全国卷I 理科第20题、文科第21题、山东卷文科第21题等． 例2 （全国卷Ⅱ理21文22）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A B ，是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>u u u r u u u r ．过A B ，两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ． （1）证明FM u u u u r ·AB u u u r 为定值；
文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32 a x =上一点，12PF F ?是底角为30o 的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形， ∴0 260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，∴322 c a = ，∴e =34， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162 =的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：2 2 2 x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =，∵||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2） 到直线x y 3= 的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以222 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=
结论1：过圆2222a y x =+上任意点P 作圆222a y x =+的两条切线，则两条切线垂直． 结论2：过圆2 2 2 2 b a y x +=+上任意点P 作椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）的两条切线， 则两条切线垂直． 结论3：过圆2 2 2 2 b a y x -=+（0>>b a ）上任意点P 作双曲线122 22=-b y a x 的两条切 线，则两条切线垂直． 结论4：过圆222a y x =+上任意不同两点A ，B 作圆的切线，如果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆：2222a y x =+． 结论5：过椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）上任意不同两点A ，B 作椭圆的切线，如果切 线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆2222b a y x +=+． 结论6：过双曲线122 22=-b y a x （0>>b a ）上任意不同两点A ，B 作双曲线的切线，如 果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆2222b a y x -=+． 结论7：点M （0x ，0y ）在椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）上，过点M 作椭圆的切线方 程为 12020=+b y y a x x ． 结论8：点M （0x ，0y ）在椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）外，过点M 作椭圆的两条切 线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为 12020=+b y y a x x ． 结论8：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）内，过点M 作椭圆 的弦AB （不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=+b y y a x x ．
数学实验报告 实验序号：3日期：2015年3月28日班级：12组别：123成员：林佳彦林佳佳刘嘉棣郑 素萍黄永欣 1.实验名称：关于圆锥曲线产生的三个经典实验 2.实验目的：沿着历史的轨迹，重走前人发现圆锥曲线的历程。重现圆锥曲线产生 的三个经典实验——梅内克缪斯的割圆锥法、阿波罗尼奥斯的割圆锥法、Dandelin双球实验。探讨圆锥曲线的种类和各种圆锥曲线产生的条件。 3.实验方法：利用实物、模具观察，利用几何画板课件进行探讨、反思 4.实验器材：卡纸、水、橡皮泥、乒乓球、透明软文件夹 5.实验过程：（操作步骤、异常情况报告、处理方法） 一、梅内克缪斯割圆锥法——最早对圆锥曲线的命名 背景：公元前4世纪，希腊著名学者梅内克缪斯首先发现了圆锥曲线.他用平面去截圆锥曲面而得到截痕,并称之为圆锥曲线.当时的圆锥曲面都是通过直角三角形的一条直角边为旋转轴旋转而成的.根据轴三角形顶角的不同,将圆锥曲面分为锐角圆周、钝角圆锥和直角圆锥.Menaechmus用垂直于一条母线的平面去截这三种圆锥面，得到三种不同的截痕。在锐角圆锥上的截痕定义为椭圆，钝角圆锥上的截痕是双曲线（的一支），在直角圆锥上的截痕是抛物线.值得注意的是，梅内克缪斯虽然推导了圆锥曲线的一些性质，但并没有建立焦点、焦半径的概念.并且当时所使用的旋转体均为直角三角形，得到的均为正圆锥，有一定的局限性.
（1）我们小组通过用建立坐标轴的方式，将梅内克缪斯割圆锥法用现在定义的圆锥曲线方程进行验证，发现其与现在的圆锥曲线方程是相符的.即两种定义是相符的，满足了定义的一致性. ○1直角圆锥： ∵平面DEG⊥平面ABC,平面PVR⊥ABC ∴QP⊥平面ABC ∴PQ⊥RV又∵RV是直径,根据射影定理 ∴PO2=RO×OV ∵△HDG∽DOV∴DO OV DO DG =OV= HD DG HD ? ?且RO=HD ∴PO2=RO×OV=HD×DO DG HD ? =DO×DG 若我们建立以D为圆心,DF为X轴的直角坐标系,P点坐标为(x,y) 则得到曲线方程为:2y DG x =?,其中DG由点D的位置决定,是一个常数 这正好符合我们现代解析几何中的抛物线的方程。即梅内克缪斯的定义和现代定义是
圆锥曲线与方程同步测试 一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分） 1.准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（ ） A. 2 2y x =- B. 2 4y x =- C. 2 2y x =- D. 2 4y x = 2.曲线 221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的( ) A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同 3已知两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ） A. 221169x y += B.2211612x y += C. 22143x y += D. 22134 x y += 4．已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近线的夹角为3π ，则双曲线的离心率为 （ ） （A ）3 （B ）3 （C （D ）2 5. 双曲线 221(0)x y mn m n -=≠的离心率为2, 有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合,则mn 的值为( ) A. 316 B.38 C.163 D.83 6. 设双曲线以椭圆22 1259 x y +=长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（ ） A.2± B.43± C.12± D.34 ± 7. 抛物线2 4y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A. 1716 B. 1516 C. 7 8 D. 0 8.直线y=x+3与曲线9 y 2-4x x ?=1交点的个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9过抛物线2 4y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ） A. 不存在 B. 有无穷多条 C. 有且仅有一条 D. 有且仅有两条
《几何画板》课件制作 圆锥曲线的形成 选题：圆、椭圆、抛物线、双曲线这四种曲线可以看作不同的平面截圆锥面所得到的截线，故它们统称为圆锥曲线。在中学数学教学中，很难用实物教具演示圆锥曲线的形成过程。在学习之初，学生很难对圆锥曲线的形成有一个直观的认识。现利用几何画板模拟不同的平面截圆锥面的过程，动态演示不同圆锥曲线及截面的形成，为高中数学圆锥曲线的学习作引入。这样设计使学生对抽象的圆锥曲线概念有一个更感性的认识，更便于学生理解圆锥曲线的实际意义。 原理：圆锥面被一平面所截所得的曲线形有：圆、椭圆、抛物线、双曲线。 制作过程：圆锥曲线的构造 1．构造能够控制截面作移动和倾斜变化的示意图 1作小椭圆：利用同心圆法作椭圆，椭圆的长半轴为OA，短半轴为OB； （1）过O作OA的垂线，在垂线的上方任取一点H，作线段HO并隐藏垂线。用线段连接AH，分别在线段 HO和AH上任取点C和点D，连接CD； （2）作截面：以点C为圆心，以小线段r为半径作圆。在上半圆上任取一点E，隐藏小圆。依次选定点E和点C并标记为向量，把点C 按标记向量平移得到点E′，再依次选定点C和点D并标记为向量，把点E和E′按标记向量平移得到点F和F′。同时选定点E、F、F′和E′，用线段相连得截面EFF′E′，并涂上浅黄色，如图 1所示： B r b() a() 圆锥截面的形成 ' <图 1> <图 2> 注意：利用示意图控制截面作移动和倾斜变化： 1）拖动点A或点B，可以改变椭圆的大小； 2）拖动点C或点D，可以使截面EFF′E′上下移动或上下倾斜；
3）拖动点E，可以使截面左右倾斜或翻转。 2．构造圆锥面被截面所截形成圆锥截面曲线的过程 （1）做大椭圆：利用同心圆法作椭圆，椭圆的长半轴O′A′=2|OA|，短半轴O′B′=2|OB|，椭圆中心为Ｏ′； （2）作圆截面：依次选定点O和点H并标记为向量，把点O′按标记向量平移两次得点H′,使O′H′=2 |OH|。在椭圆上任取一点Ｐ，用线段连接O′Ｐ依次选定点Ｐ和点Ｈ′并标记为向量，把点Ｈ′按标记向量平移得点Ｐ′，用线段连接ＰＰ′和Ａ′Ｈ′； 作P′轨迹，同时选定点P和点P′，执行〈作图/轨迹〉选项，求得一个与圆椭圆关于H′对称的椭圆； 作PP′轨迹，再同时选定线段PP′和点P，执行〈作图/轨迹〉选项，作出圆锥面，并用浅颜色表示。 （3）作截面：依次选定点O和C并标记为向量，把点O′按标记向量平移两次得点C′，使O′C′=2|OC|。过点C′作平行于CD的直线a交H′A′于点D′。在直线a上任取一点M，选定点M和C′并标记为向量，把点C′按标记向量平移得点M′。过点M 作EE′平行线d，在d上任取一点N，选定点N和M并标记为向量，使点M按标记向量平移得点N′。依次选定点M和M′并标记为向量，使点N，N′按标记向量平移得点Q和Q′。隐藏直线d，用线段连接N、N′、Q′、Q得截面 NN′Q′Q，并涂上浅黄色。 （4）作圆锥曲线：先求作截面NN′Q′Q与棱H′P的交点G。过点D′作O′A′平行线交O′H′于O″点。分别过点O″和D′作线段O′P和FF′的平行线b和c，并交于点R。作直线RC′，求得RC′与PP′的交点G，即为截面与棱PP′的交点。隐藏除直线a外的所有直线。 （5）求点G的轨迹，同时选定点G和点P，执行〈作图/轨迹〉选项，求得截面与锥面相交的圆锥曲线。根据截面不同位置，点G的轨迹可分别形成椭圆、抛物线、双曲线等，建立动画按钮控制截面的运动，改标签为“圆锥曲线”。 用同样方法，可求得圆锥曲线在水平面上的投影，即过G点作A′O′的垂线与PO′交于点G′，求点G′的轨迹即是。 （6）在控制图上选取四个特殊点，此时所成圆锥曲线为双曲线、抛物线、椭圆、圆。分别构造到这几个点的移动按钮，并改名为“双曲线”、“抛物线”、“椭圆”、“圆”如图2所示： 圆锥曲线的画法 选题：圆锥曲线的画法虽然很多种，但归纳起来有以下五种：