2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂
内外+限时训练）：6.5 数列的综合应用
一、选择题
1．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5
a 3＋a 4的值为( )
A.5－1
2 B.5＋1
2
C.
1－5
2
D.
5－12或5＋1
2
解析：设{a n }的公比为q (q ＞0)，由a 3＝a 2＋a 1，得q 2
－q －1＝0，解得q ＝1＋52.而
a 4＋a 5a 3＋a 4
＝q ＝1＋5
2
.
答案：B
2．据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )
A ．10秒钟
B ．13秒钟
C ．15秒钟
D ．20秒钟
解析：设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…a n 则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋
n n －1d
2
＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15.
答案：C
3．数列{a n }中，a n ＝3n －7(n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝13，b n －1＝27b n (n ≥2，且n ∈N *
)，
若a n ＋log k b n 为常数，则满足条件的k 值( )
A ．唯一存在，且为1
3
B ．唯一存在，且为3
C ．存在，且不唯一
D ．不一定存在
解析：依题意，
b n ＝b 1·? ????127n －1＝13·? ????133n －3＝? ??
??
133n －2，
∴a n ＋log k b n ＝3n －7＋log k ? ??
??133n －2
＝3n －7＋(3n －2)log k 1
3
＝?
????3＋3log k 13n －7－2log k 13. 若a n ＋log k b n 是常数，则3＋3log k 1
3＝0.
即log k 3＝1，∴k ＝3. 答案：B
4．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n －1＝2a n ，n ≥2，点O 是平面上不在l 上的任意一点，l 上
有不重合的三点A 、B 、C ，又知a 2OA →
＋a 2 009OC →＝OB →
，则S 2 010＝( )
A ．1 004
B ．2 010
C ．2 009
D ．1 005
解析：如图所示， 设AB →
＝λAC →
，则a 2OA →＋a 2 009OC →＝OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋λAC →＝OA →＋λ(OC →－OA →
)． 故(a 2－1＋λ)OA →
＝(λ－a 2 009)OC →
.
又∵A 、B 、C 三点不重合，
∴?????
a 2－1＋λ＝0，λ－a 2 009＝0，
∴a 2＋a 2 009＝1.
又∵a n ＋1＋a n －1＝2a n ，n ≥2，∴{a n }为等差数列． ∴S 2 010＝2 010×a 1＋a 2 0102
＝2 010×a 2＋a 2 0092
＝1 005.
答案：D
5．抛物线y ＝(n 2
＋n )x 2
－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交点分别为A n ，B n (n ∈N *
)，以|A n B n |表示该两点的距离，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 010B 2 010|的值是( )
A.2 009
2 010 B.2 010
2 011 C.
2 011
2 012
D.
2 012
2 013
解析：令y ＝0，则(n 2
＋n )x 2
－(2n ＋1)x ＋1＝0. 设两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2n ＋1n 2＋n ，x 1x 2＝1
n 2＋n .
解得x 1＝1n ，x 2＝1
n ＋1
∴|A n B n |＝1n －1
n ＋1
，
∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A n B n |＝? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????1
n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. ∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 010B 2 010|＝2 0102 011.
答案：B
6．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2
－b n x ＋2n
的两个零点，则b 10等于( )
A ．24
B ．32
C ．48
D ．64
解析：依题意有a n a n ＋1＝2n
，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1
，
两式相除，得
a n ＋2
a n
＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…成等比数列．而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2·24＝32，a 11＝1·25＝32.
又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64. 答案：D 二、填空题
7．已知等比数列{a n }中，a 2＞a 3＝1，则使不等式?
????a 1－1a 1
＋?
????a 2－1a 2
＋?
??
??a 3－1a
3
＋…＋? ??
??a n －1a n ≥0成立的最大自然数n 是__________．
解析：∵a 2＞a 3＝1，∴0＜q ＝a 3a 2＜1，a 1＝1q
2＞1，? ????a 1－1a 1＋? ????a 2－1a 2＋? ??
??a 3－1a 3＋…＋
? ????a n －1a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－? ??
??1a 1＋1a 2
＋…＋1a n ＝a 11－q n
1－q －1a 1? ?
???1－1
q n 1－1q
＝a 11－q n 1－q －
q 1－q n a 11－q q n
≥0，
∴a 11－q n 1－q ≥q 1－q n a 11－q q n
.
∵0＜q ＜1，化简，得a 2
1≥
1
q
n －1
，q 4≤q
n －1
，
∴4≥n －1，n ≤5，所以n 的最大值为5. 答案：5
8．已知函数f (x )＝sin x ＋tan x ，项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈? ??
??－π2，π2，且公
差d ≠0，若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，则当k ＝__________时，f (a k )＝0.
解析：由于f (x )＝tan x ＋sin x ，显然该函数为奇函数．
若a n ∈? ??
??－π2，π2，且f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，可以得出等差数列{a n }的这27项在0的两侧对称分布，所以处在中间位置的a 14＝0?f (a 14)＝0.
答案：14
9．在各项均为正数的数列{a n }中，S n 为前n 项和，na 2
n ＋1＝(n ＋1)a 2
n ＋a n a n ＋1且a 3＝π，则tan S 4＝__________.
解析：由na 2
n ＋1＝(n ＋1)a 2
n ＋a n a n ＋1. 可得(a n ＋a n ＋1)(na n ＋1－na n －a n )＝0. ∵数列{a n }各项都为正数，
∴a n ＋a n ＋1＞0，∴na n ＋1－na n －a n ＝0. ∴
a n a n ＋1＝n n ＋1
. ∴a 3a 4＝34，a 4a 5＝45，…，a n －1a n ＝n －1n . 各式相乘，得a 3a n ＝3n
.
∵a 3＝π，∴a n ＝
n π
3
.
∴S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝π3＋2π3＋3π3＋4π3＝10π
3.
∴tan S 4＝tan 10π3＝tan π
3＝ 3.
答案： 3 三、解答题
10．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年
减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初
M 的价值为上年初的75%.
(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式； (2)设A n ＝
a 1＋a 2＋…＋a n
n
，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M
更新，证明：须在第9年初对M 更新．
解析：(1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列．
a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；
当n ＞6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×? ??
??34n －6
.
因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为 a n ＝?
???
?
130－10n ， n ≤6，70×? ????34n －6， n ≥7.
(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，
A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；
当n ≥7时，由于S 6＝570，故
S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )
＝570＋70×34×4×????
??1－? ????34n －6
＝780－210×? ????34n －6
，
A n ＝780－210×? ??
?
?34n －6
n
.
因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列．
又A 8＝780－210×? ??
?
?342
8＝824764＞80，
A 9＝780－210×? ??
?
?343
9＝767996
＜80.
所以须在第9年初对M 更新．
11．已知二次函数f (x )＝ax 2
＋bx 的图像过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，(n ∈N *
)． (1)求f (x )的解析式；
(2)若数列{a n }满足
1
a n ＋1
＝f ′? ??
??1a n ，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式．
解析：(1)由f ′(x )＝2ax ＋b ，∴?????
b ＝2n
16n 2
a －4n
b ＝0
.
解之得a ＝12，b ＝2n ，即f (x )＝12x 2＋2nx (n ∈N *
)．
(2)由
1
a n ＋1＝1a n
＋2n ，∴1a n ＋1－1a n
＝2n .
由累加得1a n －14＝n 2－n ，∴a n ＝
4
2n －12
(n ∈N *
)．
12．设不等式组????
?
x ＞0，y ＞0，
y ≤－nx ＋3n
所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数为a n (n
∈N *
)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)．
(1)求数列{a n }的通项公式．
(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n
3·2
.若对于一切的正整数n ，总有T n ≤m ，
求实数m 的取值范围．
解析：(1)由x ＞0，y ＞0,3n －nx ＞0，得0＜x ＜3. ∴x ＝1，或x ＝2.
∴D n 内的整点在直线x ＝1和x ＝2上．
记直线y ＝－nx ＋3n 为l ，l 与直线x ＝1、x ＝2的交点的纵坐标分别为y 1，y 2. 则y 1＝－n ＋3n ＝2n ，y 2＝－2n ＋3n ＝n . ∴a n ＝3n (n ∈N *
)．
(2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n )＝3n n ＋12
，
∴T n ＝
n n ＋12
n
，
∴T n ＋1－T n ＝n ＋1n ＋22
n ＋1
－n n ＋12
n
＝
n ＋12－n 2
n ＋1
， ∴当n ≥3时，T n ＞T n ＋1，且T 1＝1＜T 2＝T 3＝3
2.
于是T 2，T 3是数列{T n }中的最大项，故m ≥T 2＝3
2
.
必修1 第一章集合与函数概念 1．1 集合 1．2 函数及其表示 1．3 函数的基本性质 第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数 2．2 对数函数 2．3 幂函数 第三章函数的应用 3．1 函数与方程 3．2 函数模型及其应用 必修2 第一章空间几何体 1．1 空间几何体的结构 1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2．2 直线、平面平行的判定及其性质 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质 第三章直线与方程 3．1 直线的倾斜角与斜率 3．2 直线的方程 3．3 直线的交点坐标与距离公式 必修3 第一章算法初步 1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 算法案例 阅读与思考割圆术 第二章统计 2．1 随机抽样 阅读与思考一个著名的案 例 阅读与思考广告中数据的 可靠性 阅读与思考如何得到敏感 性问题的诚实反应 2．2 用样本估计总体 阅读与思考生产过程中的 质量控制图 2．3 变量间的相关关系 阅读与思考相关关系的强 与弱 第三章概率 3．1 随机事件的概率 阅读与思考天气变化的认 识过程 3．2 古典概型 3．3 几何概型 必修4 第一章三角函数 1．1 任意角和弧度制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象与性质 1．5 函数y=Asin（ωx+ψ） 1．6 三角函数模型的简单应 用 第二章平面向量 2．1 平面向量的实际背景及 基本概念 2．2 平面向量的线性运算 2．3 平面向量的基本定理及 坐标表示 2．4 平面向量的数量积 2．5 平面向量应用举例 第三章三角恒等变换 3．1 两角和与差的正弦、余 弦和正切公式 3．2 简单的三角恒等变换 必修5 第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.2应用举例 1.3实习作业 第二章数列 2.1数列的概念与简单表示法 2.2等差数列 2.3等差数列的前n项和 2.4等比数列 2.5等比数列的前n项和 第三章不等式 3.1不等关系与不等式 3.2一元二次不等式及其解法 3.3二元一次不等式（组）与简 单的线性规划问题 3.3.1二元一次不等式（组）与平 面区域 3.3.2简单的线性规划问题 3.4基本不等式 选修1-1 第一章常用逻辑用 语 1.1命题及其关系 1.2充分条件与必要条件 1.3简单的逻辑联结词 1.4全称量词与存在量词 第二章圆锥曲线与 方程 2.1椭圆 2.2双曲线 2.3抛物线 第三章导数及其应 用 3.1变化率与导数 3.2导数的计算
数学（理） 培优点一函数的图象与性质01 培优点二函数零点06 培优点三含导函数的抽象函数的构造10 培优点四恒成立问题14 培优点五导数的应用18 培优点六三角函数23 培优点七解三角形29 培优点八平面向量33 培优点九线性规划36 培优点十等差、等比数列40
培优点十一数列求通项公式43 培优点十二数列求和47 培优点十三三视图与体积、表面积51 培优点十四外接球56 培优点十五平行垂直关系的证明59 培优点十六利用空间向量求夹角67 培优点十七圆锥曲线的几何性质76 培优点十八离心率81 培优点十九圆锥曲线综合86 培优点二十几何概型93
2019届高三好教育精准培优专练 1．单调性的判断 例１：（1）函数()2 12 log (4)f x x -=的单调递增区间是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(0),-∞ C ．(2,)+∞ D ．(),2-∞- （2）2 23y x x +-+=的单调递增区间为________． 2．利用单调性求最值 例2：函数y x =+________． 3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式 例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时， ()()2121()0f x f x x x -?-????<恒成立，设12 a f ??=- ?? ? ，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．b a c >> （2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且102f ??= ? ??，则满足19log 0f x ??> ?? ?的x 的集合为________________． ４．奇偶性 例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ?? -< ??? 的x 的取值范围是（ ） A ．12,33?? ??? B ．12,33?? ???? C ．12,23?? ??? D ．12,23?? ???? ５．轴对称 例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+ 都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（ ） A ．404 B ．804 C ．806 D ．402 培优点一 函数的图象与性质
人教版普通高中课程标准实验教科书数学 必修一 第一章集合与函数概念 1．1集合 1．2函数及其表示 1．3函数的基本性质 第二章基本初等函数（Ⅰ） 2．1指数函数 2．2对数函数 2．3幂函数 第三章函数的应用 3．1函数与方程 3．2函数模型及其应用 必修二 第一章空间几何体 1．1空间几何体的结构 1．2空间几何体的三视图和直观图 1．3空间几何体的表面积与体积 第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系 2．2直线、平面平行的判定及其性质 2．3直线、平面垂直的判定及其性质 第三章直线与方程 3．1直线的倾斜角与斜率 3．2直线的方程 3．3直线的交点坐标与距离公式 必修三： 第一章算法初步 1．1算法与程序框图 1．2基本算法语句 1．3算法案例 第二章统计 2．1随机抽样 阅读与思考一个著名的案例 阅读与思考广告中数据的可靠性 阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应 2．2用样本估计总体 阅读与思考生产过程中的质量控制图 2．3变量间的相关关系 阅读与思考相关关系的强与弱 第三章概率 3．1随机事件的概率 阅读与思考天气变化的认识过程3．2古典概型 3．3几何概型 阅读与思考概率与密码 必修四： 第一章三角函数 1．1任意角和弧度制 1．2任意角的三角函数 1．3三角函数的诱导公式 1．4三角函数的图象与性质 1．5函数y=Asin（ωx+ψ） 1．6三角函数模型的简单应用 第二章平面向量 2．1平面向量的实际背景及基本概念 2．2平面向量的线性运算 2．3平面向量的基本定理及坐标表示 2．4平面向量的数量积 2．5平面向量应用举例 第三章三角恒等变换
高三数学一轮复习 1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21++=+n n n a S S ， . ①283-=+a a ；②287-=S ；③2a ，4a ，5a 成等比数列； 请在①②③这三个条件中选择一个，填入题中的横线上，并解答下面的问题： （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值并指明相应n 的值. 解：（1）21++=+n n n a S S ，21=-∴+n n a a ∴数列{}n a 是公差2=d 的等差数列。 选①2-922-183=+∴=+d a a a 解得10-1=a 122-=∴n a n 选②287-=S 解得10-1=a 122-=∴n a n 选③由2a ，4a ，5a 成等比数列得522 4a a a =即())4)((3112 1d a d a d a ++=+ 解得10-1=a 122-=∴n a n （2）解法一：令?? ?≥≤+001n n a a 即???≥-≤-0 1020 122n n 解得65≤≤n ∴当65==n n 或时，n s 取得最小值，且最小值为30- 解法二：)11(-=n n s n ∴当65==n n 或时，n s 取得最小值，且最小值为30- 2.在①231a b b =+，②44a b =，③255-=s 中选择一个作为条件，补充在下列题目中，使得正整数 k 的值存在，并求出正整数k 的值 设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，{}n b 是等比数列，★_______，51a b =，32=b ，81-5=b 是否存在正整数k ，1+k k s s ，21++k k s s 解：32=b ，81-5=b 3-=∴q 151-==∴a b 274=∴b 011 ++∴k k k a s s 0221 +++∴k k k a s s ，0-12 d a a k k =∴++ 若存在正整数k ，1+k k s s ，21++k k s s ，那么等差数列{}n a 的前n 项和为n s 必然为开口向上() 0 d 的函数模型，在条件选择的时候，选择条件②2744==a b ，由151-==a b 显然公差()0 d ，由
第1章集合与常用逻辑用语 第1讲集合的概念与运算 板块一知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点1集合与元素 1．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． 2．元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示．3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法． 4．常见数集的记法 考点2集合间的基本关系 A B或 B A
??A ?B(B≠?) 考点3集合的基本运算 A∪B＝A∩B＝?A＝ [必会结论] 1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. 2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. 3．A∩(?U A)＝?；A∪(?U A)＝U；?U(?U A)＝A. [考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合{x|y＝x－1}与集合{y|y＝x－1}是同一个集合．() (2)已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1,2}，且A?B，则实数m＝1 或 m＝1 2.() (3)M＝{x|x≤1}，N＝{x|x>ρ}，要使M∩N＝?，则ρ所满足的条 件是ρ≥1.() (4)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y ∈B}中有4个元素．() (5)若5∈{1，m＋2，m2＋4}，则m的取值集合为{1，－1,3}．()
答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)× 2．[2017·北京高考]若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x ＞3}，则A∩B＝() A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3} C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3} 答案 A 解析∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}， ∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A. 3．[课本改编]已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0 高三数学第二轮专题复习：分类讨论思想 高考要求 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论” 重难点归纳 分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则分类讨论常见的依据是 1由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 2由公式条件分类如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论 典型题例示范讲解 例1已知{a n }是首项为2，公比为2 1的等比数列，S n 为它的前n 项和 （1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立 命题意图 本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力 知识依托 解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质 错解分析 第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223 技巧与方法 本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想 即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案 解 （1）由S n =4(1–n 21），得221)2 11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *） 因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥2 3S 1–2=1 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3 当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不 高三培优专练 1．单调性的判断 例１：（1）函数()2 12 log (4)f x x -=的单调递增区间是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(0),-∞ C ．(2,)+∞ D ．(),2-∞- （2）2 23y x x +-+=的单调递增区间为________． 2．利用单调性求最值 例2：函数1y x x =+-的最小值为________． 3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式 例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时， ()()2121()0f x f x x x -?-????<恒成立，设12 a f ??=- ?? ? ，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．b a c >> （2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且10 2f ??= ???，则满足19log 0f x ??> ?? ?的x 的集合为________________． ４．奇偶性 例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ?? -< ??? 的x 的取值范围是（ ） A ．12,33?? ??? B ．12,33?? ? ??? C ．12,23?? ??? D ．12,23?? ? ??? ５．轴对称 例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+ 都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（ ） A ．404 B ．804 C ．806 D ．402 ６．中心对称 例６：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()()2f x f x =+ D ．()3f x +是奇函数 ７．周期性的应用 例７：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-， 则()()20172019f f +的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．0 D ．无法计算 一、选择题 培优点一 函数的图象与性质 对点增分集训 新课标高中数学教材目录大全 新课标人教A版 必修一 第一章集合与函数的概念 1.1 集合 1.2 函数及其表示 1.3 函数的基本性质 本章小结与复习 第二章基本初等函数(I) 2.1 指数函数 2.2 对数函数 2.3 幂函数 本章小结与复习 第三章函数的应用 3．1 函数与方程 3．2 函数模型及其应用 本章小结与复习 必修二 第一章空间几何体 1．1 空间几何体的结构 1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积 本章小结与复习 第二章点、直线、平面之间的位置关. 2．1 空间点、直线、平面之间的位. 2．2 直线、平面平行的判定及其性. 2．3 直线、平面垂直的判定及其性. 本章小结与复习 第三章直线与方程 3．1 直线的倾斜角与斜率 3．2 直线的方程 3．3 直线的交点坐标与距离公式 本章小结与复习 第四章圆与方程 4．1 圆的方程 4．2 直线、圆的位置关系 4．3 空间直角坐标系 本章小结与复习 必修三 第一章算法初步 1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 算法案例 本章小结与复习 第二章统计 2．1 随机抽样 2．2 用样本估计总体 2．3 变量间的相关关系 本章小结与复习 第三章概率 3．1 随机事件的概率 3．2 古典概型 3．3 几何概型 本章小结与复习 必修四 第一章三角函数 1．1 任意角和弧度制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象与性质 1．5 函数y=Asin(ωx+?)的图象 1．6 三角函数模型的简单应用 本章小结与复习 第二章平面向量 2．1 平面向量的实际背景及基本概. 2．2 平面向量的线性运算 2．3 平面向量的基本定理及坐标表. 2．4 平面向量的数量积 2．5 平面向量应用举例 本章小结与复习 第三章三角恒等变换 3．1 两角和与差的正弦、余弦和正. 3．2 简单的三角恒等变换 本章小结与复习 必修五 第一章解三角形 1．1 正弦定理和余弦定理 1．2 应用举例 1．3 实习作业 本章小结与复习 第二章数列 2．1 数列的概念与简单表示法 2．2 等差数列 2．3 等差数列的前n项和 2．4 等比数列 2．5 等比数列前n项和 本章小结与复习 第三章不等式 3．1 不等关系与不等式 3．2 一元二次不等式及其解法 3．3 二元一次不等式(组)与简单的. 3．4 基本不等式ab≤ 2 b a+ (a≥0，b≥0) 第1页 共64页 高考数学总复习教案 第一章-集合 考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. 第 9 讲 分类讨论的思想 【开心自测】 已知 4:2 2=+y x C 圆， （1）过点)3,1(-的圆的切线方程为________________. （2）过点)0,3(的圆的切线方程为________________. （3）过点)1,2(-的圆的切线方程为________________. （4）斜率为－1的圆的切线方程为__________________. 【教学重难点】高考中的分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论 题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” 【秒杀方略】 当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”． 1. 分类讨论的思想的本质 分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略． 2. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤 ⑴确定讨论对象和确定研究的全域； ⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）； ⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； ⑷归纳总结，整合得出结论． 4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有： ⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n 项和公式等等； ⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等； ⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； ⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论； ⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法； ⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。 【金题精讲】 1.问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论 【例1】设0>a ，函数|1ln |)(2 -+=x a x x f . (1) 当1=a 时,求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程; (2) 当),1[+∞∈x 时,求函数)(x f 的最小值. 2012级高三数学培优资料（教师版） 泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用 泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ,去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数 ] 31[-.所以泰勒 公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 泰勒公式知识：设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ，使得： ()f x =()0f x +()0' f x 0(x -x )+()0f''x 2!02(x -x )+???+ ()()0 n f x n! 0n (x -x )+()n R x ， 其中()n R x = ()(1)(1)! n f n ξ++10)(+-n x x 称为余项，上式称为n 阶泰勒公式； 若0x =0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式， 即()f x = ()0f +()0' f x +()02!f''2x +???+()()0! n f n n x +0()n x . 利用泰勒公式证明不等式：若函数)(x f 在含有0x 的某区间有定义,并且有 直到)1(-n 阶的各阶导数,又在点0x 处有n 阶的导数)(0) (x f n ,则有公式 )()(! )()(!2)()(!1)()()()(00)(2 00000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= 在上述公式中若0)(≤x R n (或0)(≥x R n ),则可得 集合 1、集合的含义 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)． 2、集合中元素的三个特征 (1)确定性：给定集合A ，对于某个对象x ，“x ∈A ”或“x ?A ”这两者必居其一且仅居其一． (2)互异性：集合中的元素互不相同． (3)无序性：在一个给定的集合中，元素之间无先后次序之分． 3、集合的表示 (1)把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法称为列举法． (2)把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法称为描述法．常 用形式是：{x |p }，竖线前面的x 叫做集合的代表元素，p 表示元素x 所具有的公共属性． (3)用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn 图．用Venn 图、数 轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为图示法． 4、元素与集合的关系 如果x 是集合A 中的元素，则说x 属于集合A ，记作x ∈A ；若x 不是集合A 中的元素，就说x 不属于集合A ，记作x ?A ． 5、常用数集的符号表示 6、有限集与无限集 含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集． 例1：若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B ．98 C ．0 D ．0或 9 8 例2：说出下列三个集合的含义：①{x |y ＝x 2}；②{y |y ＝x 2}；③{(x ，y )|y ＝x 2}． 1．子集 例如：A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2,3}，则A、B的关系是A?B或B?A． 2．真子集 A B(或 B A) 例如：A＝{1,2}, B＝{1,2,3}，则A、B的关系是A B(或B A) 3．相等 若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B. 例如：若A＝{0,1,2}，B＝{x,1,2}，且A＝B，则x＝0. 4．空集 没有任何元素的集合叫空集，记为?. 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 厦大附中高一数学培优专题（一） （2010-3-6/13） 知识要点梳理 本节公式中，,2a b c s ++=,r 为切圆半径，R 为外接圆 半径，Δ为三角形面积. （一). 三角形中的各种关系 设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角A 、B 、C ． 1．角与角关系：A +B +C = π， 2．边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ， a － b < c ，b －c < a ，c －a < b ． 3．边与角关系： 正弦定理； R C c B b A a 2sin sin sin === 余弦定理； c 2 = a 2+b 2－2ba cos C ， b 2 = a 2+ c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ． 它们的变形形式有：a = 2R sin A ，b a B A =sin sin ， bc a c b A 2cos 2 22-+=． 3）射影定理：a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ， b ＝a ·cos C ＋ c ·cos A ， c ＝a ·cos B ＋b ·cos A ． 4 ）面积公式：11sin 224a abc S ah ab C rs R ?===== （二）、关于三角形角的常用三角恒等式： 1.三角形角定理的变形 由A ＋B ＋C ＝π，知A ＝π－（B ＋C ）可得出： sin A ＝sin （B ＋C ），cos A ＝－cos （B ＋C ）． 而 2 22C B A +-=π．有：2cos 2sin C B A +=，2 sin 2cos C B A +=． 2.常用的恒等式： （1）sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos 2 A cos 2 B cos 2 C ； （2）cos A ＋cos B ＋cos C ＝1＋4sin 2 A sin 2 B sin 2 C ； （3）sin A ＋sin B －sin C ＝4sin 2 A sin 2 B cos 2 C ； （4）cos A ＋cos B －cos C ＝－1＋4cos 2 A cos 2 B sin 2 C ． 3．余弦定理判定法：如果c 是三角形的最大边，则有： a 2＋ b 2＞ c 2 ? 三角形ABC 是锐角三角形 a 2＋b 2＜c 2 ? 三角形ABC 是钝角三角形 a 2＋b 2=c 2 ? 三角形ABC 是直角三角形 (三) 三角形度量问题：求边、角、面积、周长及有关圆半径等。 2018届高三文科数学培优资料（一） 圆锥曲线的方程与性质 一、知识整合 二、真题感悟： 1． (全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直 径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x 答案 C 解析 由题意知：F ????p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2 ，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p 2 ，设以MF 为直径的圆的圆心为????52，y M 2，所以圆的方程为????x －522＋????y －y M 22＝25 4 ，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ????5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C. 2． (全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5 2 ，则C 的渐近线方程为 ( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±1 2 x D ．y ＝±x 答案 C 解析 由e ＝c a ＝5 2知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)， 由b 2＝c 2－a 2＝k 2知b ＝k . 所以b a ＝12 . 即渐近线方程为y ＝±1 2x .故选C. 3． (山东)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23 －y 2 ＝1的右焦点的连线交C 1于 第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于( ) A.316 B.38 C.233 D.433 答案 D 解析 抛物线C 1的标准方程为：x 2＝2py ，其焦点F 为??? ?0，p 2，双曲线C 2的右焦点F ′为(2,0)，渐近线方程为：y ＝±3 3 x . 由y ′＝1p x ＝33得x ＝33p ，故M ????33 p ，p 6. 由F 、F ′、M 三点共线得p ＝43 3 . 4． (福建)椭圆Г：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3 (x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 ________． 答案 3－1 解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )， 知∠MF 1F 2＝60°，又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1， 所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2， 所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ， 所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a .即e ＝c a ＝3－1. 5． (浙江)设F 为抛物线C ：y 2 ＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A 、B 两 点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________． 答案 ±1 解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、Q (x 0，y 0)．解方程组 ????? y ＝k (x ＋1) y 2 ＝4x . 常见分类讨论类型 一、分类讨论思想在立体几何中的应用 1 ．有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够 焊接成一个三棱锥形的铁架,则a 的取值范围是 （ ） A ． B ．(1,) C ． D ．(0,) 【答案】【答案】 A 【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力. 【解析】根据条件,四根长为 2的直铁条与两根长为a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架,有以下两种情况 :(1)地面是边长为2的正三角形,三条侧棱长为2,a,a,如图, 此时a 可以取最大值,可 知 AD= ,SD= ,则有 <2+ ,即 , 即有 (2) 构成三棱锥的两条对角线长为a,其他各边长为2,如图所示 ,此时a>0; 综上分析可知a ∈【编号】45690 【难度】较难 2 ．共点的三条直线可以确定几个平面_______________ 【答案】1个或3个 【编号】41766 【难度】简单 二、分类讨论思想在集合中的应用 3 ．已知集合 22{|40},{|0}A x x x B x x ax a =+==++=，若B A ?，求实数a 的取值 范围。 【答案】解：{0,4}A =- ①B =Φ时，2 40a a ?=-<，即04a << 4分 ②B ≠Φ时，即{0}B =或{4}B =-或{4,0}B =- 当{0}B =时，0a =满足题意； 当{4}B =-，{4,0}B =-时，不满足题意 10分 综上所述：a 的取值范围是04a ≤< 12分 【编号】36832 【难度】较难 228a <+= 4 ．已知集合2 {|230,}A x mx x m R =-+=∈，若A 中元素至多只有一个，求m 的取值范 围。 【答案】解:①当0m =时，3 2 x =，满足题意。 4分 ②当m ≠0时，方程2230mx x -+=至多只有一个解， 则0?≤，即4120m -≤，1 3 m ∴≥ 10分 综上所述，m 的取值范围是0m =或1 3 m ≥ 12分 【编号】36828 【难度】一般 5 ．已知集合2 {|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，若{|0}A x R x ∈>=? ，求实数a 的取值范围。 【答案】解：当A ≠?时，由{|0}A x R x ∈>=? 知A 的元素为非正数， 即方程2 (2)10x a x +++=没有正数根。则由2(2)40 (2)0a a ??=+-≥?-+=? ，此时2(2)40a ?=+-<，解得 40a -<< 综上，的(4,)a ∈-+∞ 【编号】32168 【难度】较难 三、分类讨论思想在函数中的应用 6 ．求函数2 ||1y x x a =+-+的值域。 【答案】解：2 2 1()1x x a y f x x x a ?+-+?==?-++??2213()()24 13()()24 x a x a x a x a ?++-≥??=??-++ 2019届高三第一轮复习《原创与经典》（苏教版） （理科） 第一章集合常用逻辑用语推理与证明 第1课时集合的概念、集合间的基本关系 第2课时集合的基本运算 第3课时命题及其关系、充分条件与必要条件 第4课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 第5课时合情推理与演泽推理 第6课时直接证明与间接证明 第7课时数学归纳法 第二章不等式 第8课时不等关系与不等式 第9课时一元二次不等式及其解法 第10课时二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 第11课时基本不等式及其应用 第12课时不等式的综合应用 第三章函数的概念与基本初等函数 第13课时函数的概念及其表示 第14课时函数的定义域与值域 第15课时函数的单调性与最值 第16课时函数的奇偶性与周期性9 第17课时二次函数与幂函数 第18课时指数与指数函数 第19课时对数与对数函数 第20课时函数的图象 第21课时函数与方程 第22课时函数模型及其应用 第四章 导数 第23课时 导数的概念及其运算（含复合函数的导数） 第24课时 利用导数研究函数的单调性与极值 第25课时 函数的最值、导数在实际问题中的应用 第五章 三角函数 第26课时 任意角、弧度制及任意角的三角函数 第27课时 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 第28课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第29课时 二倍角的三角函数 第30课时 三角函数的图象和性质 第31课时 函数sin()y A x ω?=+的图象及其应用 第32课时 正弦定理、余弦定理 第33课时 解三角形的综合应用 第六章 平面向量 第34课时 平面向量的概念及其线性运算 第35课时 平面向量的基本定理及坐标表示 第36课时 平面向量的数量积 第37课时 平面向量的综合应用 第七章 数 列 第38课时 数列的概念及其简单表示法 第39课时 等差数列 第40课时 等比数列 第41课时 数列的求和 第42课时 等差数列与等比数列的综合应用 第八章 立体几何初步 第43课时 平面的基本性质及空间两条直线的位置关系 2018年高考数学总复习讲座 分类讨论思想 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0 省始兴县风度数学 课外培优练习 2．如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2 1A B ，点E 、M 分别为A 1B 、C 1C 的中点，过点A 1，B ，M 三点的平面A 1BMN 交C 1D 1于点N. （Ⅰ）求证：EM ∥平面A 1B 1C 1D 1； （Ⅱ）求二面角B —A 1N —B 1的正切值. 1．解法一：PO ⊥平面ABCD ， PO BD ∴⊥ 又,2,2PB PD BO PO ⊥==， 由平面几何知识得：1,3,6OD PD PB == = （Ⅰ）过D 做//DE BC 交于AB 于E ，连结PE ，则PDE ∠或其补角为异面直线PD 与BC 所成的角， 四边形ABCD 是等腰梯形，1,2,OC OD OB OA OA OB ∴====⊥ 5,22,2BC AB CD ∴=== 又//AB DC ∴四边形EBCD 是平行四边形。 5,2ED BC BE CD ∴==== E ∴是AB 的中点，且2AE = 又6PA PB ==，PEA ∴?为直角三角形，22622PE PA AE ∴= -=-= 在PED ?中，由余弦定理得 222215cos 215235 PD DE PE PDE PD DE +-∠===??? 故异面直线PD 与BC 所成的角的余弦值为215 （Ⅱ）连结OE ，由（Ⅰ）及三垂线定理知，PEO ∠为二面角 P AB C --的平面角 2sin 2 PO PEO PE ∴∠==，045PEO ∴∠= ∴二面角P AB C --的大小为045 （Ⅲ）连结,,MD MB MO ， PC ⊥平面,BMD OM ?平面BMD ，PC OM ⊥ 又在Rt POC ?中， 3,1,2PC PD OC PO ====， 233,33PM MC ∴==，2PM MC ∴= 故2λ=时，PC ⊥平面BMD 解法二： PO ⊥平面ABCD PO BD ∴⊥[精品]新高三数学第二轮专题复习分类讨论思想优质课教案
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q D.当a>1时，p>q；当0
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