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2011年各地中考数学试题汇编——尺规作图
一、选择题
1. （2011浙江绍兴，8，4分）如图，在ABC ?中，分别以点
A
和点B 为圆心，大于12
AB 的长为半径画弧，两弧相交于点
,M N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD .若
ADC ?的周长为10，7AB =，则ABC ?的周长为（ ）
A.7
B.14
C.17
D.20
A
【答案】C 二、填空题 三、解答题
1. （2011江苏扬州，26,10分）已知，如图，在Rt△ABC 中，∠C=90o，
∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D 。
（1）以AB 边上一点O 为圆心，过A ，D 两点作⊙O（不写作法，
保留作图痕迹），再判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若（1）中的⊙O 与AB 边的另一个交点为E ，AB=6，BD=32
,
求线段BD 、BE 与劣弧DE 所围成的图形面积。（结果保留根号和π）
【答案】（1）如图，作AD 的垂直平分线交AB 于点O ，O 为圆心，
OA 为半径作圆。
判断结果：BC 是⊙O 的切线。连结OD 。
∵AD 平分∠BAC ∴∠DAC=∠DAB
∵OA=OD ∴∠ODA=∠DAB
∴∠DAC=∠ODA ∴OD∥AC ∴∠ODB=∠C ∵∠C=90o ∴∠ODB=90o 即：OD⊥BC
∵OD 是⊙O 的半径 ∴ BC 是⊙O 的切线。 (2) 如图，连结DE 。
设⊙O 的半径为r ，则OB=6-r ， 在Rt△ODB 中，∠ODB=90o， ∴ 0B 2
=OD 2
+BD
2
即：(6-r)2
= r 2+(32
)
2
∴r=2 ∴OB=4 ∴∠OBD=30o，∠DOB=60o
∵△ODB 的面积为322322
1=??，扇形ODE 的面积为
ππ3
2
2360602=?? ∴阴影部分的面积为32
—π
3
2
。
2. （2011山东滨州，23，9分）根据给出的下列两种情况，请用
直尺和圆规找到一条直线，把△ABC 恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：∠A 与∠B 有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论。
（1）如图①△ABC 中，∠C=90°，∠A =24°
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①作图： ②猜想： ③验证：
（2）如图②△ABC 中，∠C =84°，∠A =24°.
①作图： ②猜想： ③验证： 【答案】
(1)①作图：痕迹能体现作线段AB(或AC 、或BC)的垂直平分线，
或作∠ACD=∠A(或∠BCD=∠B)两类方法均可，在边AB 上找出所需要的点D ，则直线CD 即为所求………2分 ②猜想：∠A+∠B=90°，…………4分
③验证：如在△ABC 中，∠A=30°，∠B=60°时，有∠A+∠B=90°，
此时就能找到一条把△ABC 恰好分割成两个等腰三角形的直线。………………5分
（2）答：①作图：痕迹能体现作线段AB(或AC 、或BC)的垂直平
分线，或作∠ACD=∠A 或在线段CA 上截取CD=CB 三种方法均可。在边AB 上找出所需要的点D ，则直线CD 即为所求…………6分
②猜想：∠B=3∠A……………8分
③验证：如在△ABC 中，∠A=32°，∠B=96，有∠B=3∠A，此时
就能找到一条把△ABC 恰好分割成两个等腰三角形的直线。………9分
3. （2011山东威海，20，8分）我们学习过：在平面内，将一个
图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫旋转中心．
（1）如图①，△ABC ≌△DEF ，△DEF 能否由△ABC 通过一次旋转
得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简
要说明理由．图①
（2）如图②，△ABC ≌△MNK ，△MNK 能否由△ABC 通过一次旋转
得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由． （保留必要的作图痕迹）
图① 图②
【答案】 解：（1）能，点1O 就是所求作的旋转中心．
图① 图②
（1）能，点2O 就是所求作的旋转中心．
4. （2011浙江杭州，18，6）四条线段a ，b ，c ，d 如图，a ：b ：
c ：
d ＝1：2：3：4．
(1)选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图，要求保留
作图痕迹，不必写出作法)；
(2)任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率．
C
B A
（第23题图①）
（第23题图
C
B
A
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【答案】(1)只能取b ,c ,d 三条线段，作图略
(2) 四条线段中任取三条共有四种等可性结果：（a ，b ，c ），（a ，
b ，d ），（
a ，c ，d ），（
b ，
c ，
d ），其中能组成三角形的只有（b c ，d ），所以以它们为边能作出三角形的概率是1
4
．
5. （2011四川重庆，20，6分）为进一步打造“宜居重庆”，某
区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M 到广场的两个入口A 、B 的距离相等，且到广场管理处C 的距离等于A 和B 之间距离的一半，A 、B 、C 的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M 、位置．(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)
【答案】
6. （2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形
网格中，一段圆弧经过网格的交点A 、B 、C 。 （1）请完成如下操作：
①以点O 为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边
长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD 、CD 。
（2）请在（1）的基础上，完成下列问题： ①写出点的坐标：C 、D ；
②⊙D 的半径= （结果保留根号）；
③若扇形ADC 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为
（结果保留π）；
④若E （7，0），试判断直线EC 与⊙D 的位置关系并说明你的理由。
【答案】（1）
（2）
① C（6，2），D （2，0） ②③
5
4
④相切。
理由：∵CD=DE=5
∴CD 2
+CE 2
=25=DE 2
∴∠DCE=90°即CE⊥CD ∴CE 与⊙D 相切。
7. （ 2011重庆江津， 23，10分）A 、B 两所学校在一条东西走
向公路的同旁,以公路所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系,且点A 的坐标是(2,2),点B 的坐标是(7,3). (1)一辆汽车由西向行驶,在行驶过程中是否存在一点C,使C 点到
A 、
B 两校的距离相等,如果有?请用尺规作图找出该点,保留
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作图痕迹,不求该点坐标.
(2)若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之各最小,通
过作图在图中找出建游乐场的位置,并求出它的坐标.
【答案】(1)存在满足条件的点C: 作出图形，如图所示，作图略； （2）作出点A 关于x 轴的对称点A /
(2,-2), 连接A /
B ，与x 轴
的交点即为所求的点P.
设A /
B 所在的直线的解析式为： y=kx+b, 把A /
(2,-2), B(7,3)
分别代入得：
???-=+=+2237b k b k 解得：?
??-==41b k ·
所以： y=x-4·
当y=0时，x=4,所以交点P 为（4，0）·
8. (2011重庆綦江，19，6分)为了推进农村新型合作医疗制度改
革,准备在某镇新建一个医疗点P ，使P 到该镇所属A 村、B 村、C 村的村委会所在地的距离都相等(A 、B 、C 不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P 的位置.
要求: 写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹． 解：已知：
求作：
【答案】：解：已知：A 、B 、C 三点不在同一直线上. 求作：一点P ，使PA ＝PB ＝PC. (或经过A 、B 、C 三点的外接圆圆心P )
正确作出任意两条线段的垂直平分线，并标出交点P
9. (2011江苏南京，27，9分)如图①，P 为△ABC 内一点，连接
PA 、PB 、PC ，在△PAB、△PBC 和△PAC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点． ⑴如图②，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A ，CD 是AB
上的中线，过点B 作BE⊥CD，垂足为E ，试说明E 是△ABC
的自相似点．
⑵在△ABC 中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作
图痕迹）；
②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内
角的度数．
【答案】解：⑴在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是AB 上的中
线， ∴1
2
CD
AB =
，∴CD=BD． ∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠B EC ＝90°， ∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC． ∴E 是△ABC 的自相似点． ⑵①作图略．
作法如下：（i ）在∠ABC 内，作∠CBD＝∠A；
（ii ）在∠ACB 内，作∠BCE＝∠ABC；BD 交CE 于点P ．
B
B B C
C C
①
②
③
(第27题)
.A(2, 2)
.B(7, 3)
y
O
x
第23题图
学习地址：佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2 D 第5页咨询热线：0757-******** 137********（吉老师）则P为△ABC的自相似点．
②连接PB、PC
．∵P为△ABC的内心，∴
1
2
PBC ABC
∠=∠
1
2
PCB ACB
∠=∠．
∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．
∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，
∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．
∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．
∴
180
7
A
∠=
．∴该三角形三个内角的度数分别为
180
7
、
360
7
、
720
7
．
10．（2011江苏无锡，26，6分）(本题满分6分)如图，等腰梯形
MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°。正方形ABCD
的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合。现
将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻
滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动。
(1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中
所经过的路线图；
(2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ
的三边MN、NP、PQ
所围成图形的面积S。
【答案】解：(1)如右图所示．……………………(3分)
(2)S = 2[
1
4
π·12 +
1
4
π·(2)2 + 1 +
150
360
π·12]
=
7π
3
+ 2．………………………(6分)
11.（2011重庆市潼南,19,6分）画△ABC,使其两边为已知线段
a、b，夹角为β.
（要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已
知的线、角上作图；不
写作法）.
已知：
求作：
【答案】已知：线段a、b、角β -----1分
求作：△ABC使边BC=a，AC= b，∠C=β --------2分
画图（保留作图痕迹图略） --------6分
12. （2011湖北宜昌，23，10分）如图1,Rt△ABC两直角边的边
长为AC = 1，BC =2.
(1) 如图2, ⊙O与R t△ABC的边AB 相切于点X，与边CB相切
于点Y.请你在图2 中作出并标明⊙O的圆心0；(用尺规作
图，保留作图痕迹，不写作法和证明)
(2) P 是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P 为圆心的⊙P 与
Rt△ABC 的两条边相切.设⊙P 的面积为S，你认为能否确定
S 的最大值？若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你
说明不能确定S的最大值的理由.
B
A(M)
D
C
N
P
Q
B
A(M)
D
C
N P
Q
19题图
a b
β
◆ 以鲜明的教育理念启发人 ◆ 以浓厚的学习氛围影响人 第6页 ◆ 以不倦的育人精神感染人 ◆ 以优良的学风学纪严律人◆
（第23题图1） （第23题图2） 【答案】解：(1)共2分.（标出了圆心，没有作图痕迹
的评1分）看见垂足为Y （X ）的一 条 垂 线 (或 者∠ABC 的平分线)即评1分，
(2)①当⊙P 与Rt△ABC 的边 AB 和BC 相切时，由角
平分线的性质，动点P 是∠ABC 的平分线BM 上的点，如图1，在∠ABC 的平分线BM 上任意确定点P 1 (不为∠ABC 的顶点)，
∵ OX ＝BOsin∠ABM ，P 1Z ＝BP 1sin∠ABM ．当 BP 1＞
BO 时 ，P 1Z ＞OX,即P 与B 的距离越大，⊙P 的面积越大．这时，BM 与AC 的交点P 是符合题意的BP 长度最大的点.
（3分.此处没有证明和结论不影响后续评分） 如图2，∵∠BP A ＞90°，过点P 作PE⊥AB，垂足为E ，
则E 在边AB 上.
∴以P 为圆心、PC 为半径作圆，则⊙P 与边CB 相切于
C ，与边AB 相切于E ，即这时的⊙P 是符合题意的圆.（4分.此处没有证明和结论不影响后续评分）这时⊙P 的面积就是S 的最大值. ∵∠A ＝∠A，∠BCA＝∠AEP ＝90°, ∴ Rt△ABC∽Rt△APE ，（5分） ∴
AB
PA =
BC
PE .∵AC＝1，BC ＝2，∴AB＝
5 .
设PC ＝x ，则PA ＝AC －PC ＝1－x,PC ＝PE ，
∴
5
1x - =
2
x ，∴x ＝
5
22+．（6分）
② 如图3，同理可得：当⊙P 与Rt△ABC 的边AB 和AC 相切时，
设PC ＝y ，则 52y - =1y ，∴y= 5
12+（7分） ③ 如图4，同理可得：当⊙P 与Rt△ABC 的边BC 和AC 相切时，设PF ＝z ，则22z -=
1
z ，∴z=
3
2（8分）由①，②，③可知：∵
5 ＞2，∴ 5 ＋
2＞5＋1＞3，∵当分子、分母都为正数时，若
分子相同，则分母越小，这个分数越大，(或者:∵x ＝
5
22+＝25 －4, y=
5
12
+= 215-，
∴y -x=
2
4549->0,∴y>x.
∵z -y=32－ 215-=6457->0，
∴23
2>
5
12+>
5
22+，（9分，没有过程直接得出
酌情扣1分）∴ z ＞y ＞x. ∴⊙P 的面积S 的最大值为
9
4
π.（10分）
(第
A A A