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微积分基本知识[1]

微积分基本知识[1]
微积分基本知识[1]

微积分基本知识

第一章、 极限与连续

一、 数列的极限 1. 数列 定义:

按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数

1,,,n x x 叫数列,记作{}n x ,并吧每个数叫做数列的项,第n 个数叫做数列的第n 项或通项 界的概念:

一个数列{}n x ,若0M ?>,..s t 对*n N ?∈,都有n x M ≤,则称{}n x 是有界的: 若不论M 有多大,总*m N ?∈,..s t m x M >,则称{}n x 是无界的 若n a x b ≤≤,则a 称为n x 的下界,b 称为n x 的上界

{}n x 有界的充要条件:{}n x 既有上界,又有下界

2. 数列极限的概念 定义:

设{}n x 为一个数列,a 为一个常数,若对?0ε>,总?N ,..s t 当n N >时,有

n x a ε-< 则称a 是数列{}n x 的极限,记作lim n n x a →∞

=或()n x a n →→∞

数列有极限时,称该数列为收敛的,否则为发散的 几何意义:

从第1N +项开始,{}n x 的所有项全部落在点a 的ε邻域(,)a a εε-+

3. 数列极限的性质

①唯一性 ②收敛必有界 ③保号性:极限大小关系?数列大小关系(n N >时) 二、 函数的极限 1.定义:两种情形

①0x x →:设()f x 在点0x 处的某去心邻域内有定义,A 为常数,若对0ε?>,

0δ?>,..s t 当00x x δ<-<时,恒有()f x A ε-<成立, 则称()f x 在0x x →时有极限A

记作0

lim ()x x f x A →=或0()()f x A x x →→

几何意义:对0ε?>,0δ?>,..s t 当00x x δ<-<时,()f x 介于两直线y A ε=± 单侧极限:设()f x 在点0x 处的右侧某邻域内有定义,A 为常数,若对0ε?>,

0δ?>,..s t 当00x x δ<-<时,

恒有()f x A ε-<成立,称()f x 在0x 处有右极限A , 记作0

lim ()x x f x A +

→=或0()f x A +

= 0

lim ()x x f x A →=的充要条件为:00()()f x f x +-

==A

垂直渐近线:当0

lim ()x x f x →=∞时,0x x =为()f x 在0x 处的渐近线

②x →∞:设函数()f x 在0x b ≥≥上有定义,A 为常数,若对0ε?>,,..X b s t ?>当x X >时,有()f x A ε-<成立,则称()f x 在x →∞时有极限A ,记作

lim ()x f x A →∞

=或()()f x A x →→∞

lim ()x f x A →∞

=的充要条件为:lim ()lim ()x x f x f x A →+∞

→-∞

==

水平渐进线: 若lim ()x f x A →+∞

=或lim ()x f x A →-∞

=,则y A =是()f x 的水平渐近线

2.函数极限的性质:

①唯一性 ②局部有界性 ③局部保号性(②③在当00x x δ<-<时成立) 三、 极限的运算法则 1. 四则运算法则

设()f x 、()g x 的极限存在,lim (),lim ()f x A g x B ==则 ①lim ()()f x g x A B ±=± ②lim[()()]f x g x AB = ③()lim

()f x A

g x B

= (当0B ≠时) ④lim ()cf x cA = (c 为常数) ⑤lim[()]k k f x A = (k 为正整数) 2. 复合运算法则

设[()]y f x ?=,若0

lim ()x x x a ?→=,则0

lim [()]()x x f x f a ?→=

可以写成0

lim [()][lim ()]x x x x f x f x ??→→= (换元法基础)

四、极限存在准则及两个重要极限 1.极限存在准则 ①夹逼准则

设有三个数列{}n x ,{}n y ,{}n z ,满足

n n n y x z ≤≤ , lim lim n n n n y z a →∞

→∞

== 则lim n n x a →∞

=

②单调有界准则 有界数列必有极限 3. 重要极限

①0sin lim

1x x x →= ②1lim 1x

x e x →∞??

+= ???

或()1

0lim 1x x x e →+= 五、无穷大与无穷小 1.无穷小:

在自变量某个变化过程中lim ()0f x =,则称()f x 为x 在该变化过程中的无穷小 ※ 若()0f x =,则()f x 为x 在所有变化过程中的无穷小

若()f x ε=,则()f x 不是无穷小 性质:1.有限个无穷小的代数和为无穷小 2.常量与无穷小的乘积为无穷小 3.有限个无穷小的乘积为无穷小

4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小

5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小

定理:lim ()f x A =的充要条件是()()f x A x α=+,其中()x α为x 在该变化中过程中的无穷小

无穷小的比较:(趋于0的速度的大小比较)

(),()x x ααββ==,为同一变化过程中的无穷小

若lim

c α

β

=(0c ≠常数) 则α是β的同阶无穷小 (当1c =时为等价无穷小) 若lim

k

c α

β=(0c ≠常数) 则α是β的k 阶无穷小 若lim

β

= 则α是β的高阶无穷小 常用等价无穷小:(0x →)sin tan arcsin arctan ln(1)1x x x x x x x e +- ;

2

1cos 2x x - ;(1)1x x βααβ+- ;1ln x a x a -

2.无穷大:

设函数()f x 在0x 的某去心邻域内有定义。若对于0M ?>,0δ?>..s t 当

00x x δ<-<时,恒有()f x M >

称()f x 当0x x →时为无穷大,记作0

lim ()x x f x →=∞

定理:lim ()f x 1lim ()1lim ()f x f x ??

????

????

????

无穷大为无穷小无穷小为无穷大 (下:趋于某点,去心邻域不为0)

※ 无穷大的乘积为无穷大, 其和、差、商不确定

六、连续函数 1.定义

设函数()y f x =在0x 某邻域有定义,若对0ε?>,0δ?>..s t 当00x x δ<-<时,恒有: 0()()f x f x ε-<

也可记作 0

0lim ()()x x f x f x →= 或 0

lim 0x y ?→?=

00()()f x f x -=(或00()()f x f x +=)为左(或右)连续

2.函数的间断点

第一类间断点:左右极限存在??

?

左右极限相等,该处无定义可去间断点

左右极限不等跳跃间断点

第二类间断点:无穷间断点,震荡间断点等

3.连续函数的运算

若函数()f x 与()g x 都在x 处连续,则函数

()()f x g x ±,()()f x g x ,

()

()

f x

g x (()0g x ≠) 定理:[()]y f g x =,00()g x u =,若()g x 在0x 处连续,()f g 在0u 处连续,则

[()]y f g x =在0x 处连续

4. 闭区间连续函数的性质

① 最值定理:()f x 在[,]a b 上连续, 则12,x x ?,对一切[,]x a b ∈有 12()()()f x f x f x ≤≤

②介值定理:()f x 在[,]a b 上连续,对于()f a 与()f b 之间的任何数u ,至少?一点ξ,

..s t ()f u ξ=

第二章、 导数

一、导数的概念

定义:设函数()y f x =在点0x 的某邻域有定义,如果极限 000

()()

lim

x f x x f x x

?→+?-? 存在,则称函数()y f x =在点

0x 可导,极限值为函数()y f x =在点0x 处的导数,记为'0()f x

单侧导数:设函数()y f x =在点0x 处的左侧00(,]x x δ-有定义,若极限 000

()()

lim x f x x f x x

-

?→+?-? 存在,则称此极限为函数

()y f x =在点0x 处的左导数,记为'0()f x -,类似有右导数'0()f x +

导函数:函数()y f x =在某区间上可导,则 '0

()()

()lim

x f x x f x f x x

?→+?-=?

性质:①函数()y f x =在点0x 处可导的充要条件''00()()f x f x -+= ②可导?连续

导数的几何意义: 函数点处的切线斜率 二、求导法则

1.函数的和、差、积、商的求导法则

定理:若(),()u u x v v x ==都在x 处可导,则函数()()u x v x ±在x 处也可导,且 '''[()()]()()u x v x u x v x ±=±

定理:若(),()u u x v v x ==都在x 处可导,则函数()()u x v x 在x 处也可导,且 '''[()()]u x v x u v uv =+

推论:若1,,n u u 都在x 处可导,则函数12n u u u 在x 处也可导,且

''''

12121212[]n n n n

u u u u u u u u u u u u =++ 定理:若(),()u u x v v x ==都在x 处可导,则函数

()

()

u x v x 在x 处也可导,且 '

''

2

()()u x u v uv v x v ??-=???? 2.反函数的求导法则

定理:设函数()x g y =在y I 上单调可导,它的值域为x I ,而'()0g y ≠,则其反函数

1()()y g x f x -==在区间x I 上可导,并且有

''1

()()

f x

g x = 4. 复合函数的求导法则

定理:若函数()u x ?=在0x 可导,函数()y f u =在点00()u x ?=可导,则复合函数

(())y f x ?=在0x 处可导

'''[(())](())()f x f x x ???= 或 dy dy du

dx du dx

= (连锁规则) 三、高阶导数

定义:若函数()y f x =的导数''()y f x =仍可导,则''()y f x =导数为()y f x =的二

阶导数,记作2"

"

2,(),d y y f x dx , 类似的,有n 阶导数()()

,(),n n n n d y y f x dx

四、隐函数求导

对于[,()]0F x y x =,或[,()][,()]F x y x G x y x =,若求dy dx

求导法:方程两侧对x 求导

微分法:方程两侧求微分

公式法:''x y

F dy

dx F =- ,将方程化成[,]F x y =0,将F 看成关于x,y 的二元函数,分

别对x,y 求偏导'',x y F F 五、参数方程所确定的函数求导

()()

x t y t ?ψ=??

=? ,''''()/()t t y dy dy dt dy dx t dx dt dx dt dt t x ψ?====

导数公式 基本函数:

导数运算法则:

'''()u v u v ±=± ''()Cu Cu =

'

'

'

()uv u v uv =+ ''

'2

()u u v uv v v

-= ()

()

()()

n n n u v u

v ±=± ()

()()

()

n

n k n k k n k uv C u v -==∑ 高阶导数

()()[()]()n n n Cf ax b Ca f ax b +=+

()

*(),(),0n m m n m

n x A x n N m n -=∈>=若则 ()

11!(1)n n

n n x x

+??=- ?

??

()()ln x n x n a a a = ()1

(1)!

(log )(1)ln n n a n

n x x a --=- ()(sin )sin()2

n n x x π

=+

()(cos )cos()2

n n x x π

=+

※1.1()()n n o x o x x += 2.'000

()()

lim ()x f x f x f x x x ?→-≠-,需补充条件()f x 在0x 处可导或该极限存在

'0C ='1()x x μμμ-='

()ln x x a a a ='1(log )ln a x x a ='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'2(cot )csc x x =-'(sec )sec tan x x x ='(csc )csc cot x x x =

-'(arcsin )x =

'(arccos )x ='21(arctan )1x x =

+'2

1(arccot )1x x =-

+

第三章、微分

一、微分的概念

定义:设函数()y f x =在某区间I 上有定义,00,x x x I +?∈,若

00()()y f x x f x ?=+?-可表示为

()y A x o x ?=?+? (其中A 与x ?无关) ,则称A x ?为y 在0x 处的微分,记作dy A x =? ※dy y ?与的区别: 当y 为自变量时,dy y =?

当y 为因变量时,dy y ≈?,()y dy o x ?=+?,dy 为y 的线性主部 定理:对于一元函数()y f x =,?可导可微

性质:一阶微分形式不变性,对于高阶微分()()()n n n d y f x dx = 二、微分的几何意义 “以直代曲”

①有限增量定理:'()y f x x x θ?=+?? (01)θ<<

②,

LHospital 法则:

型未定式定值法:(),()f x g x 在0x 的某去心邻域有定义,且0

lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==,(),()f x g x 在0x 的某去心邻域可导,且'()0g x ≠

0''()lim ()x x f x A g x →=,则有00''

()()

lim lim ()()

x x x x f x f x g x g x →→= ∞

∞,0∞ ,1∞,∞-∞,00,0∞类似

四、函数的单调性与极值 1.单调性:

定理:设函数()y f x =在[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,则

2.极值

定义:设函数()y f x =在点0x 某邻域有定义,若对该邻域内一切x 都有 0()()f x f x >

则0()f x 是函数()f x 的一个极大值,点0x 为函数()f x 的一个极大值点。(极小值类似) 函数取得极值的一阶充分条件

函数()y f x =在点0x 去心邻域可导,且在0x 处可导或导数不存在,则: ①当0x x <时,'()0f x >,0x x >时,'()0f x <,则0()f x 是极大值 ②当0x x <时,'()0f x <,0x x >时,'()0f x >,则0()f x 是极小值 ③无论0x x <还是0x x >,总有'()0f x >(或'()0f x <),则0()f x 不是极值 函数取得极值的二阶充分条件

函数()y f x =在点0x 处具有二阶导数,且'0()0f x =,"0()0f x ≠,则

①若"0()0f x >,则0()f x 是极小值

②若"0()0f x <,则0()f x 是极大值

第四章、不定积分

一、不定积分的概念和性质 1.原函数与不定积分

原函数:设()f x 在I 上有定义,若对x I ?∈,都有

'()()F x f x = 或 ()()dF x f x dx =

则称()F x 为()f x 在I 上的一个原函数

原函数存在定理:若函数()f x 在I 上连续,则在I 上?可导函数()F x ,..s t 对x I ?∈,

都有'()()F x f x =。即连续函数一定有原函数

不定积分:设()F x 使()f x 的一个原函数,C 为任意常数,称()F x C +为()f x 的不

定积分,记作

()()f x dx F x C =+?

几何意义:积分曲线族 2.不定积分的性质:

①积分运算与微分运算为互逆运算 ②[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±??? ③()()kf x dx k f x dx =?? 0k ≠ 二、换元积分法 1.第一类换元积分法

定理:设()f u 有原函数,且()u x ?=具有连续导数,则'[()]()f x x ??有原函数

'[()]()()f x x dx f u du ??=?

?

2.第二类换元积分法

定理:设()f x 连续,()x t ?=具有连续导数,且'()0t ?≠,则

'()[()]()f x dx f t t dt ??=?

?,其中1()t x ?-=

三、分部积分法

''uv dx uv u vdx =-??

四、有理函数的积分 1.简单有理函数的积分 ①将真分式

()

()

P x Q x 分解为部分分式之和

对于()()k Q x x a =-形式:应分解成k 个部分分式12

2,()()k k

A A A x a x a x a --- 对

2

()

()l

Q x x

p x q =++:应分解成

l 个部分分式

1122

2222,()()l l l

C x

D C x D C x D x px q x px q x px q +++++++++ ②求4种积分

1dx x a -?,1()k dx x a -?,2Cx D dx x px q +++?,2()l Cx D

dx x px q +++?

其中,对于2()l Cx D

dx x px q +++?,可令2p t x =+,2444q p a -?==-

则2()l

Cx D dx x px q +++?

221

()l dt t a =+?,再利用递推法 2.三角函数有理式的积分

万能变换:tan 2x u =,2

2

22sin 11cos 1u x u u

x u ?

=??+?-?=?+? ,221dx du u =+ 其他方法:

一、

二、tan n xdx ?与cot n xdx ? *n N ∈ 对于tan n xdx ?令tan t x = 对于cot n xdx ?令cot t x =

三、sec n xdx ?与csc n xdx ? n 为偶数 对于sec n xdx ?令tan t x =

对于csc n xdx ?令cot t x = 四、sin cos m n x xdx ?

当n,m 至少有一个为奇数时,可利用22sin cos 1x x +=将其转化 当n,m 均为偶数时,利用2倍角转化

五、11sin cos sin cos a x b x

dx a x b x

++?

令11(sin cos )(sin cos )(cos sin )a x b x A a x b x B a x b x +=++- 分母

分子

解出A,B

原函数为ln|sin cos |Ax B a x b x C +++

分母

积分表

kdx kx C =+? 111n

n x dx x C n +=

++? (1n ≠-) 1

ln dx x C x

=+? ln x

x

a a dx C a =+? sin cos xdx x C =-+? cos sin xdx x C =+?

tan ln cos xdx x C =-+? cot ln sin xdx x C =+? sec ln sec tan xdx x x C =++? csc ln csc cot xdx x x C =-+? 2

sec

tan x x C =+? 2csc cot xdx x C =-+?

sec tan sec x xdx x C =+? csc cot cot x xdx x C =-+?

arcsin x C =+

21arctan 1dx x C x =++? 22

11arctan x

dx C x a a a

=++?22

11ln 2x a

dx C x a a x a

-=+-+?

arcsin

x C a =+ x C =+

第五章、定积分

一、定积分的定义

定义:设函数()f x 在[,]a b 上有界,在[,]a b 内任意插入n-1个分点

011n n a x x x x b -=<<<<=

把[,]a b 分成n 个小区间,1[,]i i x x -(1,2,,i n = ).记1i i i x x x -?=-,在第i 个区间上

任取一点i ξ,用()i f ξ乘上区间长度i x ?,即()i i f x ξ?,并作和1

()n

i i i f x ξ=?∑.

记{}12max ,,,n x x x λ=??? ,无论怎么分割,无论怎么取i ξ,若0λ→时,

1

()n

i

i

i f x ξ=?∑趋于同一极限,则称此极限为()f x 在[,]a b 上的定积分.记作()b

a

f x dx ?

()b

a

f x dx ?

1

lim ()n

i i i f x λξ→==?∑

可积定理:

①函数()f x 在[,]a b 上连续

②函数()f x 在[,]a b 上有界,且仅有有限个第一类间断点 ③函数()f x 在[,]a b 上单调有界 二、定积分的性质

①()()b

b

a

a

kf x dx k f x dx =?? ②[()()]()()b

b

b

a

a

a

f x

g x dx f x dx g x dx ±=±???

③区间可加性()()()b c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx =+???

④()b a

Cdx b a C =-? ⑤单调性:若[,]a b 上()()f x g x ≥则()()b b

a

a

f x dx

g x dx ≥??

()()b

b

a

a

f x dx f x dx ≤?

?

⑦估值性质:设M ,m 分别为()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值,则

()()()b

a

m b a f x dx M b a -≤≤-?

⑧定积分中值定理:若()f x 在[,]a b 上连续,则在区间[,]a b 上至少存在一点ξ,..s t

()()()b

a

f x dx f b a ξ=-?

⑨()f x 在[,]a b 上的平均值为1()b

a f x dx

b a

-? ⑩若()f x 为奇函数,()0a

a

f x dx -=?

;若为偶函数0

()2()a

a

a

f x dx f x dx -=??

⑾220

(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=?? 0

(sin )(sin )2xf x dx f x dx π

π

π

=

??

()f x 为周期函数,20

2

()()()T

T a

T

T a

f x dx f x dx f x dx +-==?

??

()()nT

T

f x dx n f x dx =?

?

三、微积分学基本定理 1.变上限函数

()()x

a

x f t dt φ=? [,]x a b ∈

定理:若()f x 在[,]a b 上连续,则变上限函数可导,'()()x f x φ=

2.原函数存在定理

若()f x 在[,]a b 上连续,则函数()x φ是()f x 在[,]a b 上的一个原函数 3.Newton-Leibniz 公式

(微积分基本定理)()f x 在[,]a b 上连续,()F x 是()f x 在[,]a b 上一个原函数

则()()()b

a f x dx F

b F a =-?

※若不满足连续条件,可分段积分 四、定积分换元法

定理:设函数()f x 在[,]a b 上连续,函数()x t ?=满足: ①()t ?在[,]αβ上单调,值域为[,]a b ,(),()a b ?α?β== ②()t ?在[,]αβ上具有连续导数

则有:'()()[()]b

a f x dx t f t dt β

α

??=??

五、定积分的分部积分法 类似不定积分 六、广义积分

1.无穷区间上的广义积分

设函数()[,]f x a +∞在上连续,任取b a >,若极限

lim ()b

a

b f x dx →+∞? 存在

则称此极限为函数在无穷区间[,]a +∞上的广义积分,记作()a

f x dx +∞?

()lim ()b

a

a

b f x dx f x dx +∞

→+∞=?

?

类似定义()[,]f x a -∞在上的广义积分

对于

()f x dx +∞

-∞

?

,令()()()c

c

f x dx f x dx f x dx +∞

+∞

-∞

-∞

=+?

?

?

,c 为常数

2.无界函数的广义积分

设函数()f x 在(,]a b 上连续,而lim ()x a

f x +

→=∞,取0ε>,如果极限

0lim ()b

a f x dx ε

ε++→?

存在

则称此极限为函数()f x 在(,]a b 上的广义积分,记作()b a

f x dx ?

()lim ()b

b

a

a f x dx f x dx ε

ε++→=?

?

类似可定义b 为无穷间断点时的广义积分

3.Γ函数

含参变量s (0)s >的广义积分

10

()s x s x e dx +∞

--Γ=?

称为Γ函数 性质:

①(1)()s s s Γ+=Γ (1)!n n Γ+= ②当0x +→,()s Γ→+∞ ③余元公式:()(1)sin s s s

π

πΓΓ-=

(01)s << ④令2

x u =,令21s t -= 得 2

11()22

t u t u e du +∞

-+=

Γ? (1)t >- 七、定积分的应用 1.求面积 2.求体积

①旋转体:旋转轴为1y y =,2

1[()]b

a

V f x y dx π=-?

②平行截面面积为已知的立体体积:平行截面是x 的函数()A x ,()b

a

V A x dx =?

3.求弧长

①对于()y f x =,a

s =?

②参数方程()

()x t y t ?φ=??=? t αβ≤≤ ,s βα

=?

③极坐标()cos ()sin x r y r θθ

θθ

=??=? αθβ≤≤ ,s βα

θ=?

※()f x 为奇函数,则()F x 为偶函数;()f x 为偶函数,则()F x 中仅0

()x

f t dt ?为奇函

()F x 为周期函数,则()f x 为周期函数;()f x 为周期函数,且0

()0T

f x dx =?则()

F x

为周期函数

专题13定积分与微积分基本定理知识点

专题13定积分与微积分基 本定理知识点 标准化文件发布号:(9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①). (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ①分割:把区间[a ,b ]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②); ②近似代替:对每个小曲边梯形“以值代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②); ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积. 2.求变速直线运动的路程 3.定积分的定义和相关概念 (1)如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0

高等数学基础知识点大全(94页完美打印版)

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A?B(或B?A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论: ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A

1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版

定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为

S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积

微积分知识点归纳

知识点归纳 1. 求极限 2.1函数极限的性质P35 唯一性、局部有界性、保号性 P34 A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是 :A x f x f x f x f x x x x == +==-+-→→)()0()()0(lim lim 0 000 2.2 利用无穷小的性质P37: 定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 0)sin 2(30 lim =+→x x x 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 0)1 sin (20 lim =→x x x 定理3无穷大的倒数是无穷小。反之,无穷小的倒数是无穷大。 例如:lim ∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim ∞→x 131 23523+--+x x x x 0= 2.3利用极限运算法则P41 2.4利用复合函数的极限运算法则P45 2.4利用极限存在准则与两个重要极限P47 夹逼准则与单调有界准则,

lim 0→x x x tan 1=,lim 0→x x x arctan 1=,lim 0→x x x arcsin 1=, lim )(∞→x ?)())(11(x x ??+e =,lim 0 )(→x ?) (1 ))(1(x x ??+e = 2.6利用等价无穷小P55 当0→x 时, x x ~sin ,x x ~tan , x x ~arcsin ,x x ~arctan ,x x ~)1ln(+, x e x ~,221 ~cos 1x x -,x x αα++1~)1(,≠α0 为常数 2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64 如何求幂指函数)()(x v x u 的极限?P66 )(ln )()()(x u x v x v e x u =,)(ln )()(lim )(lim x u x v x v a x a x e x u →=→ 2.8洛必达法则P120 lim a x →)() (x g x f )() (lim x g x f a x ''=→ 基本未定式:00,∞∞ , 其它未定式 ∞?0,∞-∞,00,∞1,0∞(后三个皆为幂指函数) 2. 求导数的方法 2.1导数的定义P77: lim 00|)(→?==='='x x x dx dy x f y x x f x x f x y x ?-?+ =??→?) ()(000lim h x f h x f h ) ()(000lim -+=→

7.微积分基本定理练习题

7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 1

11.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为________. 12.一物体沿直线以v =1+t m/s 的速度运动,该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________. 13.求曲线y =sin x 与直线x =-π2,x =5 4π,y =0所围图形的面积为________. 14.若a =??02x 2 d x ,b =??02x 3 d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 大小关系是________. 三、解答题 15.求下列定积分: ①??0 2(3x 2+4x 3 )d x ; ② sin 2 x 2 d x . 17.求直线y =2x +3与抛物线y =x 2 所围成的图形的面积. 18.(1)已知f (a )=??0 1(2ax 2 -a 2 x )d x ,求f (a )的最大值; (2)已知f (x )=ax 2 +bx +c (a ≠0),且f (-1)=2,f ′(0)=0,??0 1f (x )d x =-2,求a ,b ,c 的值. DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132-1) 13.4-2 2 [解析] 所求面积为 =1+2+? ?? ?? 1-22=4-22. 14.[答案] c

知识讲解_微积分基本定理

微积分基本定理 编稿:赵雷 审稿:李霞 【学习目标】1.理解微积分基本定理的含义。 2.能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。 【要点梳理】 要点一、微积分基本定理的引入 我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 (1)导数和定积分的直观关系: 如下图:一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s (t ),由导数的概念可知,它在任意时刻t 的速度v (t )=s '(t )。设这个物体在时间段[a ,b]内的位移为s ,你能分别用 s (t )、v (t )表示s 吗? 一方面,这段路程可以通过位置函数S (t )在[a ,b]上的增量s (b )-s (a )来表达, 即 s=s (b )-s (a )。 另一方面,这段路程还可以通过速度函数v (t )表示为 ()d b a v t t ? , 即 s = ()d b a v t t ? 。 所以有: ()d b a v t t =? s (b )-s (a ) (2)导数和定积分的直观关系的推证: 上述结论可以利用定积分的方法来推证,过程如下: 如右图:用分点a=t 0<t 1<…<t i -1<t i <…<t n =b , 将区间[a ,b]等分成n 个小区间: [t 0,t 1],[t 1,t 2],…,[t i ―1,t i ],…,[t n ―1,t n ], 每个小区间的长度均为

1i i b a t t t n --?=-= 。 当Δt 很小时,在[t i ―1,t i ]上,v (t )的变化很小,可以认为物体近似地以速度v (t i ―1)做匀速运动,物体所做的位移 111()'()'()i i i i i b a s h v t t s t t s t n ----?≈=?=?= 。 ② 从几何意义上看,设曲线s=s (t )上与t i ―1对应的点为P ,PD 是P 点处的切线,由导数的几何意义知,切线PD 的斜率等于s '(t i ―1),于是 1tan '()i i i s h DPC t s t t -?≈=∠??=??。 结合图,可得物体总位移 111 1 1 1 ()'()n n n n i i i i i i i i s s h v t t s t t --=====?≈=?=?∑∑∑∑。 显然,n 越大,即Δt 越小,区间[a ,b]的分划就越细,1 11 1 ()'()n n i i i i v t t s t t --==?=?∑∑与s 的近似程度就越好。由定积分的定义有 11lim ()n i n i b a s v t n -→∞=-=∑11 lim '()n i n i b a s t n -→∞=-=∑()d '()d b b a a v t t s t t ==??。 结合①有 ()d '()d ()()b b a a s v t t s t t s b s a ===-??。 上式表明,如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s (t ),那么v (t )=s '(t )在 区间[a ,b]上的定积分就是物体的位移s (b )―s (a )。 一般地,如果()f x 是区间[a ,b]上的连续函数,并且'()()F x f x =,那么 ()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理。 要点二、微积分基本定理的概念 微积分基本定理: 一般地,如果'()()F x f x =,且()f x 在[a ,b]上可积,则()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼兹公式。 其中,()F x 叫做()f x 的一个原函数。为了方便,我们常把()()F b F a -记作()b a F x ,即 ()d ()()()b b a a f x x F x F b F a ==-? 。

微积分大一基础知识经典讲解

Chapter1 Functions(函数) 1.Definition 1)A function f is a rule that assigns to each element x in a set A exactly one element, called f (x ), in a set B. 2)The set A is called the domain(定义域) of the function. 3)The range(值域) of f is the set of all possible values of f (x ) as x varies through out the domain. ? =)()(x g x f :N ote 1)(,1 1)(2 +=--= x x g x x x f Example )()(x g x f ≠? 2.Basic Elementary Functions(基本初等函数) 1) constant functions f (x )=c 2) power functions 0,)(≠=a x x f a 3) exponential functions 1,0,)(≠>=a a a x f x domain: R range: ),0(∞ 4) logarithmic functions 1,0,log )(≠>=a a x x f a domain: ),0(∞ range: R 5) trigonometric functions f (x )=sin x f (x )=cos x f (x )=tan x f (x )=cot x f (x )=sec x f (x )=csc x Given two functions f and g , the composite function(复合函数) g f is defined by )) (())((x g f x g f = Note )))((())((x h g f x h g f =

定积分及微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a2,c =??0 2sinxdx =-cosx|02 =1-cos2∈(1,2), ∴c

专题13 定积分与微积分基本定理知识点

考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①). (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ①分割:把区间[a ,b ]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②); ②近似代替:对每个小曲边梯形“以值代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②); ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积. 2.求变速直线运动的路程 3.定积分的定义和相关概念 (1)如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0

()d b a f x x ? =1 lim ()n i n i b a f n ξ→∞ =-∑ . (2)在 ()d b a f x x ? 中,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a ,b ]叫做积分区间,函数()f x 叫做被 积函数,x 叫做积分变量,f (x )d x 叫做被积式. 4.定积分的性质 (1)()()d d b b a a kf x x k f x x =??(k 为常数); (2)[()()]d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ±=±? ??; (3) ()d =()d +()d b c b a a c f x x f x x f x x ? ??(其中a

§1.6微积分基本定理

1.6微积分基本定理 一:教学目标 知识与技能目标 通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二:教学重难点 重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 三:教学过程: 1、复习: 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 21()T T v t dt ?。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 21()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有

()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注:1:定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数,则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明:因为()x Φ=()x a f t dt ?与()F x 都是()f x 的原函数,故 ()F x -()x Φ=C (a x b ≤≤) 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ,且()a Φ= ()a a f t dt ?=0 即有C=()F a ,故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =,有()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见,还常用()|b a F x 表示()()F b F a -,即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例1.计算下列定积分: (1)2 11dx x ?; (2)3211(2)x dx x -?。 解:(1)因为'1(ln )x x =, 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x ==-=?。 (2))因为2''211()2,()x x x x ==-, 所以3332211111(2)2x dx xdx dx x x -=-??? 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=。 练习:计算 120x dx ? 解:由于313 x 是2x 的一个原函数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有

高中微积分知识点总结

微积分(下)知识点总结 6月26日 马上就要进入期末考试了,本学期的推送也将告一段落了,希望同学们期末考试能有个好成绩,现将本学期所做的推送归纳一下。 微积分(下)的主要知识点和考点归纳如下: 第6章定积分及其应用 1、定积分的计算(换元积分法、分部积分法、定积分的对称性问题); 2、定积分的应用(平面图形的面积、旋转体的体积); 3、反常积分(无穷区间上的反常积分、无界函数的反常积分)。 第7章多元函数微分学 1、空间解析几何基础(空间两点间的距离、平面方程:一般方程、截距式方程特殊的平面方程、球面方程); 2、多元函数的概念(二元函数的极限、二元函数的连续性); 3、偏导数(偏导数的定义、偏导数的计算、偏导数存在与函数连续性的关系、高阶偏导数); 4、全微分及其应用(全微分的定义、全微分的计算、可微与连续,偏导数存在之间的关系); 5、多元复合函数的微分法; 6、多元函数的极值(二元函数的极值、二元函数的最值、条件极值)。 第8章二重积分 1、二重积分的几何意义; 2、二重积分的性质; 3、二重积分的计算(在直角坐标系中计算二重积分、交换积分次序、在极坐标中计算二重积分)。 第9章无穷级数 1、常数项级数的概念和性质(常数项级数收敛与发散的定义、常数项级数的性质、级数收敛的必要条件); 2、三类常用的级数(等比级数、调和级数、p级数); 3、正项级数及其审敛法(比较判别法、比较判别法的极限形式、比值判别法、根值判别法); 4、任意项级数(交错级数及其莱布尼茨判别法、绝对收敛与条件收敛); 5、幂级数(求幂级数的收敛半径及收敛域、求幂级数的和函数); 6、函数展开成幂级数(常用的函数的幂级数展开式、间接展开法)。 第10章微分方程 1、微分方程的基本概念(微分方程的阶数、验证函数是微分方程的解); 2、可分离变量的微分方程; 3、齐次方程; 4、一阶线性微分方程及其常数变易法; 5、二阶常系数齐次线性微分方程解的结构及求解方法。 §6.3定积分的换元积分法和分部积分法知识点; §6.4 定积分的应用知识点; §6.5 反常积分的知识点; 第6章定积分及其应用练习题及答案;

定积分与微积分基本定理1

第23练 定积分与微积分基本定理 一、选择题 1.(2016·安徽示范高中联考)??1 e ? ????2x +1x d x 等于( ) A .e 2 -2 B .e -1 C .e 2 D .e +1 2.从空中自由下落的一物体,在第一秒末恰经过电视塔塔顶,在第二秒末物体落地,已知自由落体的运动速度为v =gt (g 为常数),则电视塔高为( ) A.1 2g B .g C.32 g D .2g 3.(2016·江西师大附中期末)若? ?1 2(x -a )d x =∫π 40cos 2x d x ,则a 等于( ) A .-1 B .1 C .2 D .4 4.(2016·淄博一模)如图所示,曲线y =x 2 -1,x =2,x =0,y =0围成的阴影部分的面积为( ) A .??02|x 2 -1|d x B.???? ??02(x 2 -1)d x C.??0 2(x 2 -1)d x D.??01(x 2 -1)d x +??1 2(1-x 2 )d x

5.(2016·天津蓟县期中)由直线y =x 和曲线y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.14 B.12 C .1 D .2 6.(2016·辽宁师大附中期中)定积分??0 1x (2-x )d x 的值为( ) A.π4 B. π2 C .π D .2π 7.(2016·山西四校联考)定积分??-2 2|x 2 -2x |d x 等于( ) A .5 B .6 C .7 D .8 8.若函数f (x ),g (x )满足? ?1-1f (x )g (x )d x =0,则称f (x ),g (x )为区间[-1,1]上的一组 正交函数.给出三组函数: ①f (x )=sin 12x ,g (x )=cos 12x ;②f (x )=x +1,g (x )=x -1;③f (x )=x ,g (x )=x 2 . 其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 二、填空题 9.(2016·江西高安二中段考)已知? ?a -a(sin x +3x 2 )d x =16,则正实数a 的值为________. 10.(2017·德州月考)如图,已知点A ? ?? ??0,14,点P (x 0,y 0)(x 0>0)在曲线y =x 2 上,若阴影 部分面积与△OAP 面积相等,则x 0=________. 11.设变力F (x )作用在质点M 上,使M 沿x 轴正向从x =1运动到x =10,已知F (x )=x 2 +1且方向和x 轴正向相同,则变力F (x )对质点M 所做的功为________ J(x 的单位:m ;力的单位:N). 12.(2016·洛阳统考)用min{a ,b }表示a ,b 两个数中的较小的数,设f (x )=min{x 2 ,x },那么由函数y =f (x )的图象、x 轴、直线x =1 2和直线x =4所围成的封闭图形的面积为 ________.

(完整)高中微积分基本知识

高中微积分基本知识 第一章、 极限与连续 一、 数列的极限 1. 数列 定义: 按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数 1,,,n x x K L 叫数列,记作{}n x ,并吧每个数叫做数列的项,第n 个数叫做数列的第n 项或通项 界的概念: 一个数列{}n x ,若0M ?>,..s t 对*n N ?∈,都有n x M ≤,则称{}n x 是有界的: 若不论M 有多大,总*m N ?∈,..s t m x M >,则称{}n x 是无界的 若n a x b ≤≤,则a 称为n x 的下界,b 称为n x 的上界 {}n x 有界的充要条件:{}n x 既有上界,又有下界 2. 数列极限的概念 定义: 设{}n x 为一个数列,a 为一个常数,若对?0ε>,总?N ,..s t 当n N >时,有 n x a ε-< 则称a 是数列{}n x 的极限,记作lim n n x a →∞ =或()n x a n →→∞ 数列有极限时,称该数列为收敛的,否则为发散的 几何意义: 从第1N +项开始,{}n x 的所有项全部落在点a 的ε邻域(,)a a εε-+ 3. 数列极限的性质 ①唯一性 ②收敛必有界 ③保号性:极限大小关系?数列大小关系(n N >时) 二、 函数的极限 1.定义:两种情形 ①0x x →:设()f x 在点0x 处的某去心邻域内有定义,A 为常数,若对0ε?>, 0δ?>,..s t 当00x x δ<-<时,恒有()f x A ε-<成立, 则称()f x 在0x x →时有 极限A 记作0 lim ()x x f x A →=或0()()f x A x x →→

高中数学16微积分基本定理(教案)

三、教学过程 1、复习: 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注:1:定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数,则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明:因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数,故 ()F x -()x Φ=C (a x b ≤≤) 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ,且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ,故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =,有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见,还常用()|b a F x 表示()()F b F a -,即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求 定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。

大学微积分l知识点总结(一)

大学微积分I 知识点总结 【第一部分】大学阶段准备知识 1、不等式: 2 2 a b 2ab 3 abc c 3 3abc a b a 2 b 2 2 ' 2 当且仅当,a i b i 为常数,i 1,2,3...n 时取等号 2、函数周期性和对称性的常用结论 1、若 f (X+a ) =± f (X+b ),则 f (x )具有周期性;若 f (a+X )=± f (b-X ),则 f ( X )具有对 称性。 双向不等式: 扩展:若有y -b b 两侧均在ab > 0或ab < 0时取等号 且x 1 n 则的最大值为:Xl X2 ... X n n x 1 ?X 2?...?X n , X 2 ... x n p p 为常数 柯西不等式: ^设 a i 、a 2、...a n , b i 、 b 2、..?b n 均是实数,则有: a 〔 b-] a 2 2 2 2 a n b n a i a 2 2 2 2 ... a n b| b ? bn 2 a i a 2??? a n n n

口诀:“内同表示周期性,内反表示对称性” 2、周期性 (1) 若f (x+a) =f (b+x),贝U T=|b-a| (2) 若f (x+a) =-f (b+x),则T=2|b-a| (3) 若f (x+a) =± 1/f (x),贝U T=2a (4) 若f (x+a)=【1-f (x)】/【1+f (x)】,则T=2a (5) 若f (x+a)=【1+f (x)】/【1-f (x)】,则T=4a 3、对称性 (1) 若f (a+x) =f (b-x),贝U f (x)的对称轴为x= (a+b) /2 (2) 若f (a+x) =-f (b-x) +c,则f (x)的图像关于((a+b) /2,c/2)对称4、函数图象同时具备两种对称性,即两条对称轴,两个对称中心,一条对称轴和一个对称中心,则函数必定为周期函数,反之亦然。 (1) 若f (x)的图像有两条对称轴x=a和x=b,则f (x)必定为周期函数,其中一个周期为2|b-a| 。 (2) 若f (x)的图像有两个对称中心(a,0)和(b,0),(a^b),则f (x) 必定为周期函数,其中一个周期为2|b-a| (3) 若f (x)的图像有一个对称轴x=a和一个对称中心 则f (x)必定为周期函数,其中一个周期为4|b-a| 3、三角函数 正弦sin 余弦cos 十「十n 正切tan b,0) ,( a^ b),

微积分基础知识总结以及泰勒公式

§3.3 泰勒公式 常用近似公式 ,将复杂函数用简单的一 次多项式函数近似地表示,这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙(尤其当 较大时),从下图可看出。 上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进: 1、提高近似程度,其可能的途径是提高多项式的次数。 2、任何一种近似,应告诉它的误差,否则,使用者“ 心中不安”。 将上述两个想法作进一步地数学化: 对复杂函数 ,想找多项式来近似表示它。自然地,我们希望 尽可能多地反映出函数 所具有的性态 —— 如:在某点处的值与导 数值;我们还关心 的形式如何确定; 近似 所产生的误差 。 【问题一】 设 在含的开区间内具有直到阶的导数,能否找出一个关于 的 次多项式 近似 ? e x x x x x ≈+≈1,sin ()充分小 x f x ()p x n ()p x n () f x ()p x n () p x n () f x ()R x f x p x n n ()()() =-f x ()x 0n +1() x x -0n ) ,,1,0()()() 1()()()()(0)(0) (0202010n k x f x p x x a x x a x x a a x p k k n n n n ==-++-+-+=且f x ()

【问题二】 若问题一的解存在,其误差 的表达式是什么? 一、【求解问题一】 问题一的求解就是确定多项式的系数 。 …………… 上述工整且有规律的求系数过程,不难归纳出: R x f x p x n n ()()() =-a a a n 01,,, p x a a x x a x x a x x n n n ()()()()=+-+-++-0102020 ∴=a p x n 00() '=+-+-++--p x a a x x a x x na x x n n n ()()()()1203020123 ∴ ='a p x n 10() ''=??+???-+???-++?-??--p x a a x x a x x n n a x x n n n ()()()()()213243123040202 ∴ ??=''2120a p x n () '''=???+????-+????-++?-?-??--p x a a x x a x x n n n a x x n n n ()()()()()()3214325431234050203 ∴???='''32130a p x n ()

高中微积分基本知识

高中微积分基本知识 第一章、 极限与连续 一、 数列的极限 1. 数列 定义: 按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数 1, ,, n x x 叫数列,记作{}n x ,并吧每个数叫做数列的项,第n 个数叫做数列 的第n 项或通项 界的概念: 一个数列{}n x ,若0M ?>,..s t 对*n N ?∈,都有n x M ≤,则称{}n x 是有界的: 若不论M 有多大,总*m N ?∈,..s t m x M >,则称{}n x 是无界的 若n a x b ≤≤,则a 称为n x 的下界,b 称为n x 的上界 {}n x 有界的充要条件:{}n x 既有上界,又有下界 2. 数列极限的概念 定义: 设{}n x 为一个数列,a 为一个常数,若对?0ε>,总?N ,..s t 当n N >时,有 n x a ε-< 则称a 是数列{}n x 的极限,记作lim n n x a →∞ =或()n x a n →→∞ 数列有极限时,称该数列为收敛的,否则为发散的 几何意义: 从第1N +项开始,{}n x 的所有项全部落在点a 的ε邻域(,)a a εε-+ 3. 数列极限的性质

①唯一性 ②收敛必有界 ③保号性:极限大小关系?数列大小关系(n N >时) 二、 函数的极限 1.定义:两种情形 ①0x x →:设()f x 在点0x 处的某去心邻域内有定义,A 为常数,若对0ε?>, 0δ?>,..s t 当00x x δ<-<时,恒有()f x A ε-<成立, 则称()f x 在0x x →时有 极限A 记作0 lim ()x x f x A →=或0()()f x A x x →→ 几何意义:对0ε?>,0δ?>,..s t 当00x x δ<-<时,()f x 介于两直线y A ε=± 单侧极限:设()f x 在点0x 处的右侧某邻域内有定义,A 为常数,若对0ε?>,0δ?>,..s t 当00x x δ<-<时, 恒有()f x A ε-<成立,称()f x 在0x 处有右极限A , 记作0 lim ()x x f x A + →=或0()f x A + = 0 lim ()x x f x A →=的充要条件为:0 0()()f x f x +- ==A 垂直渐近线:当0 lim ()x x f x →=∞时,0x x =为()f x 在0x 处的渐近线 ②x →∞:设函数()f x 在0x b ≥≥上有定义,A 为常数,若对0ε?>,,..X b s t ?>当x X >时,有()f x A ε-<成立,则称()f x 在x →∞时有极限A ,记作 lim ()x f x A →∞ =或()()f x A x →→∞ lim ()x f x A →∞ =的充要条件为:lim ()lim ()x x f x f x A →+∞ →-∞ == 水平渐进线: 若lim ()x f x A →+∞ =或lim ()x f x A →-∞ =,则y A =是()f x 的水平渐近线 2.函数极限的性质: ①唯一性 ②局部有界性 ③局部保号性(②③在当00x x δ<-<时成立) 三、 极限的运算法则 1. 四则运算法则

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