微积分基本知识
第一章、 极限与连续
一、 数列的极限 1. 数列 定义:
按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数
1,,,n x x 叫数列,记作{}n x ,并吧每个数叫做数列的项,第n 个数叫做数列的第n 项或通项 界的概念:
一个数列{}n x ,若0M ?>,..s t 对*n N ?∈,都有n x M ≤,则称{}n x 是有界的: 若不论M 有多大,总*m N ?∈,..s t m x M >,则称{}n x 是无界的 若n a x b ≤≤,则a 称为n x 的下界,b 称为n x 的上界
{}n x 有界的充要条件:{}n x 既有上界,又有下界
2. 数列极限的概念 定义:
设{}n x 为一个数列,a 为一个常数,若对?0ε>,总?N ,..s t 当n N >时,有
n x a ε-< 则称a 是数列{}n x 的极限,记作lim n n x a →∞
=或()n x a n →→∞
数列有极限时,称该数列为收敛的,否则为发散的 几何意义:
从第1N +项开始,{}n x 的所有项全部落在点a 的ε邻域(,)a a εε-+
3. 数列极限的性质
①唯一性 ②收敛必有界 ③保号性:极限大小关系?数列大小关系(n N >时) 二、 函数的极限 1.定义:两种情形
①0x x →:设()f x 在点0x 处的某去心邻域内有定义,A 为常数,若对0ε?>,
0δ?>,..s t 当00x x δ<-<时,恒有()f x A ε-<成立, 则称()f x 在0x x →时有极限A
记作0
lim ()x x f x A →=或0()()f x A x x →→
几何意义:对0ε?>,0δ?>,..s t 当00x x δ<-<时,()f x 介于两直线y A ε=± 单侧极限:设()f x 在点0x 处的右侧某邻域内有定义,A 为常数,若对0ε?>,
0δ?>,..s t 当00x x δ<-<时,
恒有()f x A ε-<成立,称()f x 在0x 处有右极限A , 记作0
lim ()x x f x A +
→=或0()f x A +
= 0
lim ()x x f x A →=的充要条件为:00()()f x f x +-
==A
垂直渐近线:当0
lim ()x x f x →=∞时,0x x =为()f x 在0x 处的渐近线
②x →∞:设函数()f x 在0x b ≥≥上有定义,A 为常数,若对0ε?>,,..X b s t ?>当x X >时,有()f x A ε-<成立,则称()f x 在x →∞时有极限A ,记作
lim ()x f x A →∞
=或()()f x A x →→∞
lim ()x f x A →∞
=的充要条件为:lim ()lim ()x x f x f x A →+∞
→-∞
==
水平渐进线: 若lim ()x f x A →+∞
=或lim ()x f x A →-∞
=,则y A =是()f x 的水平渐近线
2.函数极限的性质:
①唯一性 ②局部有界性 ③局部保号性(②③在当00x x δ<-<时成立) 三、 极限的运算法则 1. 四则运算法则
设()f x 、()g x 的极限存在,lim (),lim ()f x A g x B ==则 ①lim ()()f x g x A B ±=± ②lim[()()]f x g x AB = ③()lim
()f x A
g x B
= (当0B ≠时) ④lim ()cf x cA = (c 为常数) ⑤lim[()]k k f x A = (k 为正整数) 2. 复合运算法则
设[()]y f x ?=,若0
lim ()x x x a ?→=,则0
lim [()]()x x f x f a ?→=
可以写成0
lim [()][lim ()]x x x x f x f x ??→→= (换元法基础)
四、极限存在准则及两个重要极限 1.极限存在准则 ①夹逼准则
设有三个数列{}n x ,{}n y ,{}n z ,满足
n n n y x z ≤≤ , lim lim n n n n y z a →∞
→∞
== 则lim n n x a →∞
=
②单调有界准则 有界数列必有极限 3. 重要极限
①0sin lim
1x x x →= ②1lim 1x
x e x →∞??
+= ???
或()1
0lim 1x x x e →+= 五、无穷大与无穷小 1.无穷小:
在自变量某个变化过程中lim ()0f x =,则称()f x 为x 在该变化过程中的无穷小 ※ 若()0f x =,则()f x 为x 在所有变化过程中的无穷小
若()f x ε=,则()f x 不是无穷小 性质:1.有限个无穷小的代数和为无穷小 2.常量与无穷小的乘积为无穷小 3.有限个无穷小的乘积为无穷小
4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小
5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小
定理:lim ()f x A =的充要条件是()()f x A x α=+,其中()x α为x 在该变化中过程中的无穷小
无穷小的比较:(趋于0的速度的大小比较)
(),()x x ααββ==,为同一变化过程中的无穷小
若lim
c α
β
=(0c ≠常数) 则α是β的同阶无穷小 (当1c =时为等价无穷小) 若lim
k
c α
β=(0c ≠常数) 则α是β的k 阶无穷小 若lim
0α
β
= 则α是β的高阶无穷小 常用等价无穷小:(0x →)sin tan arcsin arctan ln(1)1x x x x x x x e +- ;
2
1cos 2x x - ;(1)1x x βααβ+- ;1ln x a x a -
2.无穷大:
设函数()f x 在0x 的某去心邻域内有定义。若对于0M ?>,0δ?>..s t 当
00x x δ<-<时,恒有()f x M >
称()f x 当0x x →时为无穷大,记作0
lim ()x x f x →=∞
定理:lim ()f x 1lim ()1lim ()f x f x ??
????
????
????
无穷大为无穷小无穷小为无穷大 (下:趋于某点,去心邻域不为0)
※ 无穷大的乘积为无穷大, 其和、差、商不确定
六、连续函数 1.定义
设函数()y f x =在0x 某邻域有定义,若对0ε?>,0δ?>..s t 当00x x δ<-<时,恒有: 0()()f x f x ε-<
也可记作 0
0lim ()()x x f x f x →= 或 0
lim 0x y ?→?=
00()()f x f x -=(或00()()f x f x +=)为左(或右)连续
2.函数的间断点
第一类间断点:左右极限存在??
?
左右极限相等,该处无定义可去间断点
左右极限不等跳跃间断点
第二类间断点:无穷间断点,震荡间断点等
3.连续函数的运算
若函数()f x 与()g x 都在x 处连续,则函数
()()f x g x ±,()()f x g x ,
()
()
f x
g x (()0g x ≠) 定理:[()]y f g x =,00()g x u =,若()g x 在0x 处连续,()f g 在0u 处连续,则
[()]y f g x =在0x 处连续
4. 闭区间连续函数的性质
① 最值定理:()f x 在[,]a b 上连续, 则12,x x ?,对一切[,]x a b ∈有 12()()()f x f x f x ≤≤
②介值定理:()f x 在[,]a b 上连续,对于()f a 与()f b 之间的任何数u ,至少?一点ξ,
..s t ()f u ξ=
第二章、 导数
一、导数的概念
定义:设函数()y f x =在点0x 的某邻域有定义,如果极限 000
()()
lim
x f x x f x x
?→+?-? 存在,则称函数()y f x =在点
0x 可导,极限值为函数()y f x =在点0x 处的导数,记为'0()f x
单侧导数:设函数()y f x =在点0x 处的左侧00(,]x x δ-有定义,若极限 000
()()
lim x f x x f x x
-
?→+?-? 存在,则称此极限为函数
()y f x =在点0x 处的左导数,记为'0()f x -,类似有右导数'0()f x +
导函数:函数()y f x =在某区间上可导,则 '0
()()
()lim
x f x x f x f x x
?→+?-=?
性质:①函数()y f x =在点0x 处可导的充要条件''00()()f x f x -+= ②可导?连续
导数的几何意义: 函数点处的切线斜率 二、求导法则
1.函数的和、差、积、商的求导法则
定理:若(),()u u x v v x ==都在x 处可导,则函数()()u x v x ±在x 处也可导,且 '''[()()]()()u x v x u x v x ±=±
定理:若(),()u u x v v x ==都在x 处可导,则函数()()u x v x 在x 处也可导,且 '''[()()]u x v x u v uv =+
推论:若1,,n u u 都在x 处可导,则函数12n u u u 在x 处也可导,且
''''
12121212[]n n n n
u u u u u u u u u u u u =++ 定理:若(),()u u x v v x ==都在x 处可导,则函数
()
()
u x v x 在x 处也可导,且 '
''
2
()()u x u v uv v x v ??-=???? 2.反函数的求导法则
定理:设函数()x g y =在y I 上单调可导,它的值域为x I ,而'()0g y ≠,则其反函数
1()()y g x f x -==在区间x I 上可导,并且有
''1
()()
f x
g x = 4. 复合函数的求导法则
定理:若函数()u x ?=在0x 可导,函数()y f u =在点00()u x ?=可导,则复合函数
(())y f x ?=在0x 处可导
'''[(())](())()f x f x x ???= 或 dy dy du
dx du dx
= (连锁规则) 三、高阶导数
定义:若函数()y f x =的导数''()y f x =仍可导,则''()y f x =导数为()y f x =的二
阶导数,记作2"
"
2,(),d y y f x dx , 类似的,有n 阶导数()()
,(),n n n n d y y f x dx
四、隐函数求导
对于[,()]0F x y x =,或[,()][,()]F x y x G x y x =,若求dy dx
求导法:方程两侧对x 求导
微分法:方程两侧求微分
公式法:''x y
F dy
dx F =- ,将方程化成[,]F x y =0,将F 看成关于x,y 的二元函数,分
别对x,y 求偏导'',x y F F 五、参数方程所确定的函数求导
()()
x t y t ?ψ=??
=? ,''''()/()t t y dy dy dt dy dx t dx dt dx dt dt t x ψ?====
导数公式 基本函数:
导数运算法则:
'''()u v u v ±=± ''()Cu Cu =
'
'
'
()uv u v uv =+ ''
'2
()u u v uv v v
-= ()
()
()()
n n n u v u
v ±=± ()
()()
()
n
n k n k k n k uv C u v -==∑ 高阶导数
()()[()]()n n n Cf ax b Ca f ax b +=+
()
*(),(),0n m m n m
n x A x n N m n -=∈>=若则 ()
11!(1)n n
n n x x
+??=- ?
??
()()ln x n x n a a a = ()1
(1)!
(log )(1)ln n n a n
n x x a --=- ()(sin )sin()2
n n x x π
=+
()(cos )cos()2
n n x x π
=+
※1.1()()n n o x o x x += 2.'000
()()
lim ()x f x f x f x x x ?→-≠-,需补充条件()f x 在0x 处可导或该极限存在
'0C ='1()x x μμμ-='
()ln x x a a a ='1(log )ln a x x a ='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'2(cot )csc x x =-'(sec )sec tan x x x ='(csc )csc cot x x x =
-'(arcsin )x =
'(arccos )x ='21(arctan )1x x =
+'2
1(arccot )1x x =-
+
第三章、微分
一、微分的概念
定义:设函数()y f x =在某区间I 上有定义,00,x x x I +?∈,若
00()()y f x x f x ?=+?-可表示为
()y A x o x ?=?+? (其中A 与x ?无关) ,则称A x ?为y 在0x 处的微分,记作dy A x =? ※dy y ?与的区别: 当y 为自变量时,dy y =?
当y 为因变量时,dy y ≈?,()y dy o x ?=+?,dy 为y 的线性主部 定理:对于一元函数()y f x =,?可导可微
性质:一阶微分形式不变性,对于高阶微分()()()n n n d y f x dx = 二、微分的几何意义 “以直代曲”
①有限增量定理:'()y f x x x θ?=+?? (01)θ<<
②,
LHospital 法则:
型未定式定值法:(),()f x g x 在0x 的某去心邻域有定义,且0
lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==,(),()f x g x 在0x 的某去心邻域可导,且'()0g x ≠
0''()lim ()x x f x A g x →=,则有00''
()()
lim lim ()()
x x x x f x f x g x g x →→= ∞
∞,0∞ ,1∞,∞-∞,00,0∞类似
四、函数的单调性与极值 1.单调性:
定理:设函数()y f x =在[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,则
2.极值
定义:设函数()y f x =在点0x 某邻域有定义,若对该邻域内一切x 都有 0()()f x f x >
则0()f x 是函数()f x 的一个极大值,点0x 为函数()f x 的一个极大值点。(极小值类似) 函数取得极值的一阶充分条件
函数()y f x =在点0x 去心邻域可导,且在0x 处可导或导数不存在,则: ①当0x x <时,'()0f x >,0x x >时,'()0f x <,则0()f x 是极大值 ②当0x x <时,'()0f x <,0x x >时,'()0f x >,则0()f x 是极小值 ③无论0x x <还是0x x >,总有'()0f x >(或'()0f x <),则0()f x 不是极值 函数取得极值的二阶充分条件
函数()y f x =在点0x 处具有二阶导数,且'0()0f x =,"0()0f x ≠,则
①若"0()0f x >,则0()f x 是极小值
②若"0()0f x <,则0()f x 是极大值
第四章、不定积分
一、不定积分的概念和性质 1.原函数与不定积分
原函数:设()f x 在I 上有定义,若对x I ?∈,都有
'()()F x f x = 或 ()()dF x f x dx =
则称()F x 为()f x 在I 上的一个原函数
原函数存在定理:若函数()f x 在I 上连续,则在I 上?可导函数()F x ,..s t 对x I ?∈,
都有'()()F x f x =。即连续函数一定有原函数
不定积分:设()F x 使()f x 的一个原函数,C 为任意常数,称()F x C +为()f x 的不
定积分,记作
()()f x dx F x C =+?
几何意义:积分曲线族 2.不定积分的性质:
①积分运算与微分运算为互逆运算 ②[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±??? ③()()kf x dx k f x dx =?? 0k ≠ 二、换元积分法 1.第一类换元积分法
定理:设()f u 有原函数,且()u x ?=具有连续导数,则'[()]()f x x ??有原函数
'[()]()()f x x dx f u du ??=?
?
2.第二类换元积分法
定理:设()f x 连续,()x t ?=具有连续导数,且'()0t ?≠,则
'()[()]()f x dx f t t dt ??=?
?,其中1()t x ?-=
三、分部积分法
''uv dx uv u vdx =-??
四、有理函数的积分 1.简单有理函数的积分 ①将真分式
()
()
P x Q x 分解为部分分式之和
对于()()k Q x x a =-形式:应分解成k 个部分分式12
2,()()k k
A A A x a x a x a --- 对
于
2
()
()l
Q x x
p x q =++:应分解成
l 个部分分式
1122
2222,()()l l l
C x
D C x D C x D x px q x px q x px q +++++++++ ②求4种积分
1dx x a -?,1()k dx x a -?,2Cx D dx x px q +++?,2()l Cx D
dx x px q +++?
其中,对于2()l Cx D
dx x px q +++?,可令2p t x =+,2444q p a -?==-
则2()l
Cx D dx x px q +++?
221
()l dt t a =+?,再利用递推法 2.三角函数有理式的积分
万能变换:tan 2x u =,2
2
22sin 11cos 1u x u u
x u ?
=??+?-?=?+? ,221dx du u =+ 其他方法:
一、
二、tan n xdx ?与cot n xdx ? *n N ∈ 对于tan n xdx ?令tan t x = 对于cot n xdx ?令cot t x =
三、sec n xdx ?与csc n xdx ? n 为偶数 对于sec n xdx ?令tan t x =
对于csc n xdx ?令cot t x = 四、sin cos m n x xdx ?
当n,m 至少有一个为奇数时,可利用22sin cos 1x x +=将其转化 当n,m 均为偶数时,利用2倍角转化
五、11sin cos sin cos a x b x
dx a x b x
++?
令11(sin cos )(sin cos )(cos sin )a x b x A a x b x B a x b x +=++- 分母
分子
解出A,B
原函数为ln|sin cos |Ax B a x b x C +++
分母
积分表
kdx kx C =+? 111n
n x dx x C n +=
++? (1n ≠-) 1
ln dx x C x
=+? ln x
x
a a dx C a =+? sin cos xdx x C =-+? cos sin xdx x C =+?
tan ln cos xdx x C =-+? cot ln sin xdx x C =+? sec ln sec tan xdx x x C =++? csc ln csc cot xdx x x C =-+? 2
sec
tan x x C =+? 2csc cot xdx x C =-+?
sec tan sec x xdx x C =+? csc cot cot x xdx x C =-+?
arcsin x C =+
21arctan 1dx x C x =++? 22
11arctan x
dx C x a a a
=++?22
11ln 2x a
dx C x a a x a
-=+-+?
arcsin
x C a =+ x C =+
第五章、定积分
一、定积分的定义
定义:设函数()f x 在[,]a b 上有界,在[,]a b 内任意插入n-1个分点
011n n a x x x x b -=<<<<=
把[,]a b 分成n 个小区间,1[,]i i x x -(1,2,,i n = ).记1i i i x x x -?=-,在第i 个区间上
任取一点i ξ,用()i f ξ乘上区间长度i x ?,即()i i f x ξ?,并作和1
()n
i i i f x ξ=?∑.
记{}12max ,,,n x x x λ=??? ,无论怎么分割,无论怎么取i ξ,若0λ→时,
1
()n
i
i
i f x ξ=?∑趋于同一极限,则称此极限为()f x 在[,]a b 上的定积分.记作()b
a
f x dx ?
()b
a
f x dx ?
1
lim ()n
i i i f x λξ→==?∑
可积定理:
①函数()f x 在[,]a b 上连续
②函数()f x 在[,]a b 上有界,且仅有有限个第一类间断点 ③函数()f x 在[,]a b 上单调有界 二、定积分的性质
①()()b
b
a
a
kf x dx k f x dx =?? ②[()()]()()b
b
b
a
a
a
f x
g x dx f x dx g x dx ±=±???
③区间可加性()()()b c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+???
④()b a
Cdx b a C =-? ⑤单调性:若[,]a b 上()()f x g x ≥则()()b b
a
a
f x dx
g x dx ≥??
⑥
()()b
b
a
a
f x dx f x dx ≤?
?
⑦估值性质:设M ,m 分别为()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值,则
()()()b
a
m b a f x dx M b a -≤≤-?
⑧定积分中值定理:若()f x 在[,]a b 上连续,则在区间[,]a b 上至少存在一点ξ,..s t
()()()b
a
f x dx f b a ξ=-?
⑨()f x 在[,]a b 上的平均值为1()b
a f x dx
b a
-? ⑩若()f x 为奇函数,()0a
a
f x dx -=?
;若为偶函数0
()2()a
a
a
f x dx f x dx -=??
⑾220
(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=?? 0
(sin )(sin )2xf x dx f x dx π
π
π
=
??
()f x 为周期函数,20
2
()()()T
T a
T
T a
f x dx f x dx f x dx +-==?
??
()()nT
T
f x dx n f x dx =?
?
三、微积分学基本定理 1.变上限函数
()()x
a
x f t dt φ=? [,]x a b ∈
定理:若()f x 在[,]a b 上连续,则变上限函数可导,'()()x f x φ=
2.原函数存在定理
若()f x 在[,]a b 上连续,则函数()x φ是()f x 在[,]a b 上的一个原函数 3.Newton-Leibniz 公式
(微积分基本定理)()f x 在[,]a b 上连续,()F x 是()f x 在[,]a b 上一个原函数
则()()()b
a f x dx F
b F a =-?
※若不满足连续条件,可分段积分 四、定积分换元法
定理:设函数()f x 在[,]a b 上连续,函数()x t ?=满足: ①()t ?在[,]αβ上单调,值域为[,]a b ,(),()a b ?α?β== ②()t ?在[,]αβ上具有连续导数
则有:'()()[()]b
a f x dx t f t dt β
α
??=??
五、定积分的分部积分法 类似不定积分 六、广义积分
1.无穷区间上的广义积分
设函数()[,]f x a +∞在上连续,任取b a >,若极限
lim ()b
a
b f x dx →+∞? 存在
则称此极限为函数在无穷区间[,]a +∞上的广义积分,记作()a
f x dx +∞?
()lim ()b
a
a
b f x dx f x dx +∞
→+∞=?
?
类似定义()[,]f x a -∞在上的广义积分
对于
()f x dx +∞
-∞
?
,令()()()c
c
f x dx f x dx f x dx +∞
+∞
-∞
-∞
=+?
?
?
,c 为常数
2.无界函数的广义积分
设函数()f x 在(,]a b 上连续,而lim ()x a
f x +
→=∞,取0ε>,如果极限
0lim ()b
a f x dx ε
ε++→?
存在
则称此极限为函数()f x 在(,]a b 上的广义积分,记作()b a
f x dx ?
()lim ()b
b
a
a f x dx f x dx ε
ε++→=?
?
类似可定义b 为无穷间断点时的广义积分
3.Γ函数
含参变量s (0)s >的广义积分
10
()s x s x e dx +∞
--Γ=?
称为Γ函数 性质:
①(1)()s s s Γ+=Γ (1)!n n Γ+= ②当0x +→,()s Γ→+∞ ③余元公式:()(1)sin s s s
π
πΓΓ-=
(01)s << ④令2
x u =,令21s t -= 得 2
11()22
t u t u e du +∞
-+=
Γ? (1)t >- 七、定积分的应用 1.求面积 2.求体积
①旋转体:旋转轴为1y y =,2
1[()]b
a
V f x y dx π=-?
②平行截面面积为已知的立体体积:平行截面是x 的函数()A x ,()b
a
V A x dx =?
3.求弧长
①对于()y f x =,a
s =?
②参数方程()
()x t y t ?φ=??=? t αβ≤≤ ,s βα
=?
③极坐标()cos ()sin x r y r θθ
θθ
=??=? αθβ≤≤ ,s βα
θ=?
※()f x 为奇函数,则()F x 为偶函数;()f x 为偶函数,则()F x 中仅0
()x
f t dt ?为奇函
数
()F x 为周期函数,则()f x 为周期函数;()f x 为周期函数,且0
()0T
f x dx =?则()
F x
为周期函数
专题13定积分与微积分基 本定理知识点 标准化文件发布号:(9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①). (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ①分割:把区间[a ,b ]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②); ②近似代替:对每个小曲边梯形“以值代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②); ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积. 2.求变速直线运动的路程 3.定积分的定义和相关概念 (1)如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A?B(或B?A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论: ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 知识点归纳 1. 求极限 2.1函数极限的性质P35 唯一性、局部有界性、保号性 P34 A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是 :A x f x f x f x f x x x x == +==-+-→→)()0()()0(lim lim 0 000 2.2 利用无穷小的性质P37: 定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 0)sin 2(30 lim =+→x x x 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 0)1 sin (20 lim =→x x x 定理3无穷大的倒数是无穷小。反之,无穷小的倒数是无穷大。 例如:lim ∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim ∞→x 131 23523+--+x x x x 0= 2.3利用极限运算法则P41 2.4利用复合函数的极限运算法则P45 2.4利用极限存在准则与两个重要极限P47 夹逼准则与单调有界准则, lim 0→x x x tan 1=,lim 0→x x x arctan 1=,lim 0→x x x arcsin 1=, lim )(∞→x ?)())(11(x x ??+e =,lim 0 )(→x ?) (1 ))(1(x x ??+e = 2.6利用等价无穷小P55 当0→x 时, x x ~sin ,x x ~tan , x x ~arcsin ,x x ~arctan ,x x ~)1ln(+, x e x ~,221 ~cos 1x x -,x x αα++1~)1(,≠α0 为常数 2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64 如何求幂指函数)()(x v x u 的极限?P66 )(ln )()()(x u x v x v e x u =,)(ln )()(lim )(lim x u x v x v a x a x e x u →=→ 2.8洛必达法则P120 lim a x →)() (x g x f )() (lim x g x f a x ''=→ 基本未定式:00,∞∞ , 其它未定式 ∞?0,∞-∞,00,∞1,0∞(后三个皆为幂指函数) 2. 求导数的方法 2.1导数的定义P77: lim 00|)(→?==='='x x x dx dy x f y x x f x x f x y x ?-?+ =??→?) ()(000lim h x f h x f h ) ()(000lim -+=→ 7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 1 11.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为________. 12.一物体沿直线以v =1+t m/s 的速度运动,该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________. 13.求曲线y =sin x 与直线x =-π2,x =5 4π,y =0所围图形的面积为________. 14.若a =??02x 2 d x ,b =??02x 3 d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 大小关系是________. 三、解答题 15.求下列定积分: ①??0 2(3x 2+4x 3 )d x ; ② sin 2 x 2 d x . 17.求直线y =2x +3与抛物线y =x 2 所围成的图形的面积. 18.(1)已知f (a )=??0 1(2ax 2 -a 2 x )d x ,求f (a )的最大值; (2)已知f (x )=ax 2 +bx +c (a ≠0),且f (-1)=2,f ′(0)=0,??0 1f (x )d x =-2,求a ,b ,c 的值. DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132-1) 13.4-2 2 [解析] 所求面积为 =1+2+? ?? ?? 1-22=4-22. 14.[答案] c 微积分基本定理 编稿:赵雷 审稿:李霞 【学习目标】1.理解微积分基本定理的含义。 2.能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。 【要点梳理】 要点一、微积分基本定理的引入 我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 (1)导数和定积分的直观关系: 如下图:一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s (t ),由导数的概念可知,它在任意时刻t 的速度v (t )=s '(t )。设这个物体在时间段[a ,b]内的位移为s ,你能分别用 s (t )、v (t )表示s 吗? 一方面,这段路程可以通过位置函数S (t )在[a ,b]上的增量s (b )-s (a )来表达, 即 s=s (b )-s (a )。 另一方面,这段路程还可以通过速度函数v (t )表示为 ()d b a v t t ? , 即 s = ()d b a v t t ? 。 所以有: ()d b a v t t =? s (b )-s (a ) (2)导数和定积分的直观关系的推证: 上述结论可以利用定积分的方法来推证,过程如下: 如右图:用分点a=t 0<t 1<…<t i -1<t i <…<t n =b , 将区间[a ,b]等分成n 个小区间: [t 0,t 1],[t 1,t 2],…,[t i ―1,t i ],…,[t n ―1,t n ], 每个小区间的长度均为 1i i b a t t t n --?=-= 。 当Δt 很小时,在[t i ―1,t i ]上,v (t )的变化很小,可以认为物体近似地以速度v (t i ―1)做匀速运动,物体所做的位移 111()'()'()i i i i i b a s h v t t s t t s t n ----?≈=?=?= 。 ② 从几何意义上看,设曲线s=s (t )上与t i ―1对应的点为P ,PD 是P 点处的切线,由导数的几何意义知,切线PD 的斜率等于s '(t i ―1),于是 1tan '()i i i s h DPC t s t t -?≈=∠??=??。 结合图,可得物体总位移 111 1 1 1 ()'()n n n n i i i i i i i i s s h v t t s t t --=====?≈=?=?∑∑∑∑。 显然,n 越大,即Δt 越小,区间[a ,b]的分划就越细,1 11 1 ()'()n n i i i i v t t s t t --==?=?∑∑与s 的近似程度就越好。由定积分的定义有 11lim ()n i n i b a s v t n -→∞=-=∑11 lim '()n i n i b a s t n -→∞=-=∑()d '()d b b a a v t t s t t ==??。 结合①有 ()d '()d ()()b b a a s v t t s t t s b s a ===-??。 上式表明,如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s (t ),那么v (t )=s '(t )在 区间[a ,b]上的定积分就是物体的位移s (b )―s (a )。 一般地,如果()f x 是区间[a ,b]上的连续函数,并且'()()F x f x =,那么 ()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理。 要点二、微积分基本定理的概念 微积分基本定理: 一般地,如果'()()F x f x =,且()f x 在[a ,b]上可积,则()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼兹公式。 其中,()F x 叫做()f x 的一个原函数。为了方便,我们常把()()F b F a -记作()b a F x ,即 ()d ()()()b b a a f x x F x F b F a ==-? 。 Chapter1 Functions(函数) 1.Definition 1)A function f is a rule that assigns to each element x in a set A exactly one element, called f (x ), in a set B. 2)The set A is called the domain(定义域) of the function. 3)The range(值域) of f is the set of all possible values of f (x ) as x varies through out the domain. ? =)()(x g x f :N ote 1)(,1 1)(2 +=--= x x g x x x f Example )()(x g x f ≠? 2.Basic Elementary Functions(基本初等函数) 1) constant functions f (x )=c 2) power functions 0,)(≠=a x x f a 3) exponential functions 1,0,)(≠>=a a a x f x domain: R range: ),0(∞ 4) logarithmic functions 1,0,log )(≠>=a a x x f a domain: ),0(∞ range: R 5) trigonometric functions f (x )=sin x f (x )=cos x f (x )=tan x f (x )=cot x f (x )=sec x f (x )=csc x Given two functions f and g , the composite function(复合函数) g f is defined by )) (())((x g f x g f = Note )))((())((x h g f x h g f =高等数学基础知识点大全(94页完美打印版)
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
微积分知识点归纳
7.微积分基本定理练习题
知识讲解_微积分基本定理
微积分大一基础知识经典讲解
定积分及微积分基本定理练习题及答案