2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（天津卷，解析版）
本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。第I 卷1至3页。第Ⅱ卷4至11页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I 卷
注意事项：
1．答I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分。 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 棱柱的体积公式V=Sh.
()()()P A B P A P B ?=+ 其中S 表示棱柱的底面积.
h 表示棱柱的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)i 是虚数单位，复数
31i
i
+-= (A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i 【答案】A
【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。
进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2
改为-1.
331+24121-(1-)(1+)2
i i i i
i i i i +++===+（）() 【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。
(2)设变量x ，y 满足约束条件3,
1,1,x y x y y +≤??
-≥-??≥?
则目标函数z=4x+2y 的最大值为
（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）2 【答案】B
【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图
由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时z
取得最大值10.
(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)3 【答案】B
【解析】 本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。 第一次运行程序时i=1，s=3；第二次运行程序时，i=2，s=2；第三次运行程序时，i=3，s=1；第四次运行程序时，i=4，s=0，此时执行i=i+1后i=5，推出循环输出s=0.
【温馨提示】涉及循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决。 （4）函数f （x ）=2x
e x +-的零点所在的一个区间是
(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） 【答案】C
【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。 因为f （0）=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间（0，1）上，选C
【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。
(5)下列命题中，真命题是
(A)m R,f x x mx x R ?∈+∈2
使函数（）=（）是偶函数 (B)m R,f x x mx x R ?∈+∈2使函数（）=（）是奇函数 (C)m R,f x x mx x R ?∈+∈2使函数（）=（）都是偶函数 (D)m R,f x x mx x R ?∈+∈2使函数（）=（）都是奇函数
【答案】A
【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。当
m=0时，函数f （x ）=x 2
是偶函数，所以选A.
【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。
(6)设5
54a log 4b log c log ==
=25，（3），，则 (A)a 【答案】D 【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法，属于容易题。 因为50log 41,<<所以b 【温馨提示】比较对数值的大小时，通常利用0，1进行，本题也可以利用对数函数的图像进行比较。 (7)设集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈?=?若，则实数a 的取值范围是 (A){}a |0a 6≤≤ (B){}|2,a a ≤≥或a 4 (C){}|0,6a a ≤≥或a (D){}|24a a ≤≤ 【答案】C 【解析】本题主要考查绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算，属于中等题。 由|x-a|<1得-1 由图可知a+1 ≦1或a-1≧5，所以a ≦0或a ≧6. 【温馨提示】不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行，解题时注意验证区间端点是否符合题意。 （8）5y Asin x x R 66ππω??? =∈???? 右图是函数（+）（）在区间-，上的图象， 为了得到这 个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点 (A)向左平移 3π 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标 伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 向左平移 6 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移6 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识，属于中等题。 由图像可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin(2x+?).代入（-6 π，0）可得?的一个值为3π，故图像中函数的一个表达式是y=sin(2x+3π)，即y=sin2(x+ 6 π )， 所以只需将y=sinx （x ∈R ）的图像上所有的点向左平移6 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变。 【温馨提示】根据图像求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求?。三角函数图像进行平移变换时注意提取x 的系数，进行周期变换时，需要将x 的系数变为原来的 1ω （9）如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥ ，BC = BD ，1AD = ，则AC AD ? = （A ）（B （C （D 【答案】D 【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。 ||||cos ||cos ||sin AC AD AC AD DAC AC DAC AC BAC ?=?=?= ∠∠ ∠sin B BC == 【温馨提示】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。 （10）设函数2 ()2()g x x x R =-∈，()4,(), (),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是 （A ）9,0(1,)4??- ?+∞???? （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4?? -?+∞???? 【答案】D 【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。 依题意知2222 2(4),2()2,2x x x x f x x x x x ?-++<-??--≥-??，222,12 ()2,12 x x x f x x x x ?+<->??---≤≤??或 2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学（文史类） 第Ⅱ卷 注意事项： 1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2. 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。 题中的横线上。 （11）如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P 。若PB=1，PD=3，则BC AD 的值为 。 【答案】 13 【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于容易题。 因为A,B,C,D 四点共圆，所以,DAB PCB CDA PBC ∠=∠∠=∠,因为P ∠为公共角，所以 ?PBC ∽?PAB,所以 = BC PB AD PD =1 3 【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。 （12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。 【答案】3 【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的计算，属于容易题。 由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图可知该几何体的高为1，结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为1+=2 ??（12）213 【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是长为3，宽为2，高为1的长方体的一半。 （13）已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线 方程是y = ， 它的一个焦点与抛物线2 16y x =的焦点相同。则双曲线的方程为 。 【答案】22 1412 x y -= 【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。 由渐近线方程可知 b a =① 因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4 ② 又2 2 2 c a b =+ ③ 联立①②③，解得2 2 4,12a b ==，所以双曲线的方程为221412 x y -= 【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解，注意双曲线中c 最大。 （14）已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切。则圆C 的方程为 。 【答案】2 2 (1)2x y ++= 本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。 令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0,与x 轴的交点为（-1.0） 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r = =C 的方程为22 (1)2x y ++= 【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。 （15）设{a n }是等比数列， 公比q = ，S n 为{a n }的前n 项和。记*21 17,.n n n n S S T n N a +-= ∈设 0n T 为数列{n T }的最大项，则0n = 。 【答案】4 【解析】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。 n T== 17] n =+- 因为n+8， 当且仅当n=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时T n有最大值。 【温馨提示】本题的实质是求T n取得最大值时的n 值，求解时为便于运算可以对n进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解. （16）设函数f(x)=x- 1 x ,对任意x[1, ∈+∞），f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是________ 【答案】m<-1 【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。 已知f（x）为增函数且m≠0 若m>0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意。 M<0，时有2 2 1111 02()012 m mx mx mx m x mx x m x m -+- 2 y x =在[1,) x∈+∞上的最小值为2，所以1+ 2 1 2 m <即2m>1,解得m<-1. 【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。 三、解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分） 在?ABC中， cos cos AC B AB C =。 （Ⅰ）证明B=C： （Ⅱ）若cos A=- 1 3 ，求sin4B 3 π ?? + ? ?? 的值。 【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分. （Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得 sin B sin C = cosB cosC .于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为B C ππ -<-<，从而B-C=0. 所以B=C. （Ⅱ）解：由A+B+C=π和（Ⅰ）得A=π-2B,故cos2B=-cos（π-2B）=-cosA= 1 3 . 又0<2B<π,于是 3 . 从而sin4B=2sin2Bcos2B= 9，cos4B=227 cos 2sin 29 B B -=-. 所以sin(4)sin 4cos cos 4sin 3 3 3 18 B B B π π π + =+= （18）（本小题满分12分） 有编号为1A ,2A ,…10A 的10个零件，测量其直径（单位：cm ），得到下面数据： 其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品。 （Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； （Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个. （ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果； （ⅱ）求这2个零件直径相等的概率。本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力。满分12分 【解析】（Ⅰ）解：由所给数据可知，一等品零件共有6个.设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A ，则P （A ）= 610=3 5 . （Ⅱ）（i ）解：一等品零件的编号为123456,,,,,A A A A A A .从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{}{}{}121314,,,,,A A A A A A ,{}{}1516,,,A A A A ,{}23,A A , {}{}2425,,,A A A A ,{}{}{}263435,,,,,A A A A A A ,{}{}{}364546,,,,,A A A A A A ,{}56,A A 共有 15种. (ii)解：“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B ）的所有可能结果有：{}{}{}141646,,,,,A A A A A A ，{}{}{}232535,,,,,A A A A A A ，共有6种. 所以P(B)= 62 155 =. （19）（本小题满分12分） 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA ⊥平 面ABCD ，BC ∥AD ，CD=1，AD=，∠BAD ＝∠CDA ＝45°. （Ⅰ）求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值； （Ⅱ）证明CD ⊥平面ABF ； （Ⅲ）求二面角B-EF-A 的正切值。 【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.满分12分. (I)解：因为四边形ADEF 是正方形，所以FA//ED.故CED ∠为异面直线CE 与AF 所成的角. 因为FA ⊥平面ABCD ，所以FA ⊥CD.故ED ⊥CD. 在Rt △CDE 中，CD=1，ED==3,故cos CED ∠= ED CE =3. 所以异面直线CE 和AF . (Ⅱ)证明：过点B 作BG//CD,交AD 于点G ，则45BGA CDA ∠=∠= .由45BAD ∠= ,可得BG ⊥AB,从而CD ⊥AB,又CD ⊥FA,FA ?AB=A,所以CD ⊥平面ABF. (Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得，即G 为AD 的中点.取EF 的中点N ，连接GN ，则GN ⊥EF,因为BC//AD,所以BC//EF.过点N 作NM ⊥EF ，交BC 于M ，则G N M ∠为二面角B-EF-A 的平面角。 连接GM ，可得AD ⊥平面GNM,故AD ⊥GM.从而BC ⊥GM.由已知，可得GM=.由NG//FA,FA ⊥GM,得NG ⊥GM. 在Rt △NGM 中，tan GM 1 NG 4 GNM ∠==, 所以二面角B-EF-A 的正切值为14 . （20）（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=3 2 31()2 ax x x R - +∈，其中a>0. （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程； （Ⅱ）若在区间11,22?? - ???? 上，f （x ）>0恒成立，求a 的取值范围. 【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分. （Ⅰ）解：当a=1时，f （x ）=32 3x x 12 - +，f （2）=3；f ’(x)=233x x -, f ’(2)=6.所以曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9. （Ⅱ）解：f ’(x)=2 333(1)ax x x ax -=-.令f ’(x)=0，解得x=0或x=1a . 以下分两种情况讨论： （1） 若11 0a 2 <≤≥，则 ，当x 变化时，f ’(x)，f （x ）的变化情况如下表： 当11x f x 22??∈-????，时，（）>0等价于5a 10,()0,82 15a ()0,0. 28 f f -?? >->??????+??>>????即 解不等式组得-5 （2） 若a>2，则11 < <.当x 变化时，f ’(x),f （x ）的变化情况如下表： 当11x 22?? ∈-????，时，f （x ）>0等价于1 f(-)21f()>0,a ???????>0,即25811->0.2a a -???????>0, 5a <<或a <.因此2 综合（1）和（2），可知a 的取值范围为0 （21）（本小题满分14分） 已知椭圆22221x y a b +=（a>b>0）的离心率 e=2，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，已知点A 的坐标为（-a ，0）. （i ）若AB 5 ||=，求直线l 的倾斜角； （ii ）若点Q y 0（0，）在线段AB 的垂直平分线上，且QA QB=4 .求y 0的值. 【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、 直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分14分. （Ⅰ）解：由 e= c a =2234a c =.再由222c a b =-，解得a=2b. 由题意可知 1 2242 a b ??=，即ab=2. 解方程组2, 2,a b ab =??=? 得a=2，b=1. 所以椭圆的方程为2 214 x y +=. (Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A 的坐标是（-2,0）.设点B 的坐标为11(,)x y ，直线l 的斜率为k.则直线l 的方程为y=k （x+2）. 于是A 、B 两点的坐标满足方程组22 (2),1.4y k x x y =+?? ?+=??消去y 并整理，得 2222(14)16(164)0k x k x k +++-=. 由212164214k x k --=+，得2122814k x k -=+.从而12 414k y k =+. 所以2 ||14AB k ==+. 由||5 AB = ，得2145k =+. 整理得4 2 329230k k --=，即2 2 (1)(3223)0k k -+=，解得k=1±. 所以直线l 的倾斜角为 4 π或34π . （ii ）解：设线段AB 的中点为M ，由（i ）得到M 的坐标为22282,1414k k k k ?? - ?++?? . 以下分两种情况： （1）当k=0时，点B 的坐标是（2,0），线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是 ()()002,,2,.QA y QB y =--=- 由4QA QB ?= ，得y =±0 （2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为2222181414k k y x k k k ?? -=-+ ?++?? 。 令0x =，解得02614k y k =- +。 由()02,QA y =-- ，()110,QB x y y =- ， ()()210102222228646214141414k k k k QA QB x y y y k k k k --???=---=++ ?++++?? () () 422 2416151414k k k +-= =+， 整理得2 72k = 。故7k =± 。所以05y =±。 综上，0y =± 05 y =± （22）（本小题满分14分） 在数列{}n a 中，1a =0，且对任意k * N ∈，2k 12k 2k+1a ,a ,a -成等差数列，其公差为2k. （Ⅰ）证明456a ,a ,a 成等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）记2222323n n n T a a a =+++ ，证明n 32n T 2n 2 <-≤≥（2）. 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基 础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （I ）证明：由题设可知，2122a a =+=，3224a a =+=，4348a a =+=，54412a a =+=， 65618a a =+=。 从而 65543 2 a a a a ==，所以4a ，5a ，6a 成等比数列。 （II ）解：由题设可得21214,*k k a a k k N +--=∈ 所以()()()2112121212331...k k k k k a a a a a a a a ++----=-+-+- ()441...41k k =+-++? ()21,*k k k N =+∈. 由10a =，得()2121k a k k +=+ ，从而2 22122k k a a k k +=-=. 所以数列{}n a 的通项公式为221 ,2 ,2 n n n a n n ?-??=????为奇数为偶数 或写为()21124n n n a --=+，*n N ∈。 （III ）证明：由（II ）可知()2121k a k k +=+，2 22k a k =， 以下分两种情况进行讨论： （1） 当n 为偶数时，设n=2m ()*m N ∈ 若1m =，则2 222n k k k n a =-=∑， 若2m ≥，则 ()()()2 2 222112211112212214441221n m m m m k k k k k k k k k k k k k k a a a k k k --=====++++=+=++∑∑∑∑∑ ()()21 111441111222212121m m k k k k m m k k k k k k --==??+?? ??=++=++-?? ???++-??? ???∑∑ ()11312211222m m n m n ??=+-+ -=-- ???. 所以223122n k k k n a n =-=+∑ ，从而2 2322,4,6,8,....2n k k k n n a =<-<=∑ （2） 当n 为奇数时，设()21*n m m N =+∈。 ()()()22 2222221 212131 42221n m k k k k m m m k k m a a a m m m ==+++=+=--++∑∑ ()1131 4222121 m n m n =+ -=---+ 所以2231221n k k k n a n =-=++∑，从而2 2322,3,5,7,....2n k k k n n a =<-<=∑ 综合（1）和（2）可知，对任意2,*,n n N ≥∈有3 2 2.2 n n T <-≤ 2021年全国高校自主招生数学模拟试卷十五 含答案 一．选择题(每小题5分，共30分) 1．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx=0}，N={(x ，y )|x 2+y 2 ≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ） (A )4 (B )5 (C )8 (D )9 2．已知f (x )=a sin x +b 3 x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是（ ） (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值 3．集合A ，B 的并集A ∪B={a 1，a 2，a 3}，当A ≠B 时，(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A ，B )对的个数是（ ） （A ）8 （B ）9 （C ）26 （D ）27 4．若直线x =π 4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的 弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( ) (A ) π4 (B ) π3 (C ) π 2 (D )π 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c -a 等于AC 边上的高h ，则sin C －A 2 +cos C +A 2 的值是( ) (A )1 (B ) 12 (C ) 1 3 (D )-1 6．设m ，n 为非零实数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1，F 2为焦点)是( ) 二、填空题（每小题5分，共30分） 1．二次方程(1-i )x 2 +(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位，λ∈R )有两个虚根的充分必要条 (A) (B) (C) (D) 自主招生试题选讲(清华、北大、交大等) 清华大学、上海交通大学、中国科学技术大学、南京大学、西安交通大学五所顶尖大学自主招生上强强联手，掀开了国内高招史上的新篇章 自主招生试题特点：试题难度高于高考，有的达到竞赛难 度，试题灵活，毫无规律可寻，但各个学校有自己命题风 格。一般说来，各高校对后续性的知识点：如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。 应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，基础题目分数比例大约占60-70% 2、适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围 3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。 几个热点问题 方程的根的问题： 1.已知函数，且没有实数根．那么是否有实数根？并证明你的结 论．（08交大） 2.设，试证明对任意实数： （1）方程总有相同实根； （2）存在，恒有．（07交大） 3.（06交大）设 （05复旦）在实数范围内求方程：的实数根． 5.（05交大）的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数， 求a,b,c的值． 6. 解方程：．求方程（n重根）的解．(09交大) 凸函数问题 1. (2009复旦) 如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x，y都满足 ，则称这个函数时下凸函数，下列函数 （1）（2） （3）（） （4） 中是下凸函数的有-------------------。 A．(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 2. （06复旦）设x1,x2∈（0，），且x1≠x2，下列不等式中成立的是：(1) （tanx1+tanx2）>tan; (2) （tanx1+tanx2） Ⅰ、自主招生综述 前言： 从2008年开始，高校自主招生考试录取人数首次超过高考，并在08年后的几年内继续拉大与自主招生考试录取人数的差距，到了2010年自主招生已经成为了名校招生的主要途径，高考将慢慢退居二线。然而对于广大同学们来说，很多人并不了解高校自主招生，或者认为自己水平比较低，没有参加自主招生的必要，然而请你相信，随着自主招生规模的扩大，其门槛必定会降低，或许你不能拿到预录取资格，但是你很有可能比较容易的拿到高考加分的资格，因此，建议同学们慎重考虑，积极参与，高考的独木桥越来越窄，您应该扩大您的视野。 这一份资料来自OK学习网姜建锋老师的自主招生课程讲义，是我在自主招生结束后，闲得无聊，为学弟学妹们整理的，其中多数是直接截取了姜老师的板书(网上上课也能用笔写板书，神奇！)。由于讲义比较全，所以基本上涵盖了自主招生的所有内容，但是也不是完全覆盖，侧重于超纲的知识，这次考试有些就没有涉及到，但是比没有听讲好多了，可以说是目前最全的自主招生资料了，想想我去年拼命找，只找到一些没答案的题目，那叫一个郁闷啊！ 这一套资料的模式就是先补充一些超过高考范围但是自主招生常考的知识点（这个老师是口述或者板书写的比较多，我没办法做进来，同学们只能自己查找资料或咨询自己老师了），然后以历年自主招生真题为例进行讲解，最后老师自己出了一些仿真试题进行锻炼，其实如果你参加过竞赛，进行过竞赛辅导，那么感觉还是挺容易的。 适用对象：准备参加五校或者复旦自主招生的同学，学习能力强不想付钱去听课的同学。如果看文中板书困难，建议还是去亲自听讲解。 讲义来自OK学习网，因为未经官方授权，因此，请小心使用，版权没有^_^！ 希望我的这次努力能给广大参与自主招生的学弟学妹提供帮助，谢谢，如果后期闲的无聊，我会继续做一下其它科目，同学们如果感兴趣可以联系我。 Ps：题目图片的水印很烦，但是又没办法，大家要是看不清楚就去看板书的图吧！ 自主招生应试策略与物理试卷解读 在姜老师讲义开始之前，我也来解读下自主招生： 先说说我的经历：我老早就想去交大了，因为讨厌生物历史等等死记硬背的东西，加之自己理科也挺好，所以参加了五校联考，并且被预录取了，嘎嘎！现在对大家报考自主招生进行一点个人的指导： 如果你理科非常好，甚至参加过数学或者物理等竞赛，同时文科很烂，那么，我觉得你参加五校的自主招生最合适不过了，五校的风格就是变态题目，因为他们想招变态学生，考的东西很深，很多超过高考范围，难度跟竞赛一试难度有一拼，但是大家都在一条起跑线上，如果你参加过竞赛或者接受过专门辅导，那么你绝对会比别人跑的远！这一点我深有体会。至于准备的话，就是恶补自主招生常考的但是我们又没有学的东西，这里同学们也不要被吓着，其实也就是几个几个公式几个定理，没什么神奇的。 如果你是一个十项全能的同学，有种上知天文下知地理，文理兼修，两手抓两手都不误的感觉，但是理科又不太比得上那些诸如华师大二附中、复旦附中、上大附中等学校重点班的学生，那么我建议你去考复旦的自主招生，复旦题量特别大，题目比较简单，有200道题，包含了十个科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理、信息，覆盖面比较广，由此可见，复旦喜欢综合性人才，或者说讨厌我这种理科白痴。考试时间两个小时，也就是说一道题不能超过一分钟，更郁闷的是，做错题要倒扣分，假如你做对100分的题目，那么你的试卷为100-100=0分！因此复习的时 2019数学试题 考试时间 100分钟 满分100分 说明：（1）请各位同学注意，本试卷题目有一定的难度，你要根据自己的情况量力而行，争取用最短的时间获得最多的分数，提高自己的考试效率！考试，比的不仅是知识和能力，更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值，争取把会做的题目都做对，祝你取得好成绩！ （2）请在背面的答题纸上作答。另外，答完题后注意保护好自己的答案，防止他人的不劳而获，要做到公平竞争！ 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）。每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里，不填、多填或错填都得0分。 1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图．图中A 点表 示十月的平均最高气温约为15C o ，B 点表示四月的平均最低气温约为5C o ．下面叙述不 正确的是 A ．各月的平均最低气温都在0C o 以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均气温高于20C o 的月份有5个 2．上图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集为 A ．1x <-或5x > B ．5x > C ．15x -<< D ．无法确定 第2题 20C o 15C o 10C o 5C o A 十月 四月 三月 二月 一月十二月 十一月 九月 八月 七月 六月 五月 B 平均最低气温 平均最高气温 3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是,,M I N 中的一 个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ． 115 B ． 815 C ．18 D ． 130 4．在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若22245b c b c +=+-且 222a b c bc =+-，则ABC ?的面积为 A B C D 5．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积．．． （表面面积，也叫全面积）为 A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 参考公式：圆锥侧面积S rl π=，圆柱侧面积2S rl π=，其中r 为底面圆的半径，l 为母线长． 6．如下图，在ABC ?中，AB AC =，D 为BC 的中点， BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =， 则AE = A B C D 7．ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =，2c =，2cos 3 A =，则b = A B C ．2 D ．3 8．如下图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短．．路径条数为 A ．9 B ．12 C ．18 D ．24 E G F g g g 正视图 g 侧视图 俯视图 第5题图 上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题（每小题５分，共50分) １．设函数 () f x 满足 2(3)(23)61 f x f x x +-=+,则 ()f x = . 2.设,,a b c 均为实数，且364a b ==,则11a b -= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ． 4．设扇形的周长为６,则其面积的最大值为 . 5．11!22!33!!n n ?+?+?++?= . ６.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ?，则k 的最小值为 . ７ . 设 函 数 ()x f x x = ,则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= ． 8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ,则a = ． 9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10.已知函数121 ()1 x f x x -= +,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若 355()()f x f x =，则28()f x = . 二、计算与证明题(每小题10分，共50分) １1.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当 10,4r mm h mm ==时，R 的值． 1２.设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像． １３．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标. 参考答案: 学校 姓名 准考证号 自主招生考试 物理素质测试题 ◆注意事项： 本试题共四大题，满分80分，考试时间80分钟。 题号 一 二 三 四 总 分 15 16 得分 一、选择题（本大题5小题，每小题4分，共20分。每小题至少有一个正确选项，不选、错选均不得分，少选得2分） 1．如图1所示，上瓶内装有空气，下瓶内装有红棕色的二氧化氮气体，将上下两瓶间的玻璃板 抽掉后，两瓶气体混合在一起，颜色变得均匀，这个现象主要说明 A ．物质是由分子组成的 B ．分子不停做无规则运动 C ．分子间有作用力 D ．分子有一定的质量 2．有一根竖直吊着的弹簧，如果在弹簧下端挂上质量为m 1的物体后，弹簧长度为L 1；如果在 弹簧下端挂上质量为m 2的物体后，弹簧长度为L 2，则弹簧原来的长度不可能为（m 1＜m 2； 上述过程弹簧均处于弹性限度内） A ．21L L + B ．12L L - C ． 121 221m m m L m L -- D ．1 21122m m m L m L -- 3．一盏电灯接在恒定电压的电源上，其功率为100W 。若将这盏电灯先接在一段很长的导线后， 再接在同一电源上，已知导线上损失功率是9 W ，那么此时电灯实际消耗功率是 A ．91 W B ．小于91 W C ．大于91W D ．条件不足，无法确定 4．如图2所示，一平面镜放在圆筒的中心处，平面镜正对筒壁上一点 光源S ，点光源发出一细光束垂直射向平面镜。平面镜从图示位置开 始绕圆筒中心轴O 匀速转动，在转动ο 30角时，点光源在镜中所成的 像转过的角度1θ，照射到筒壁上的反射光斑转过的角度2θ，则 A ．ο 301=θ，ο 302=θ B ．ο 301=θ，ο 602=θ C ．ο 601=θ，ο 302=θ D ．ο 601=θ，ο60 2=θ 5．如图3所示装置中，均匀木棒AB 的A 端固定在铰链上，悬线一端绕过一固定定滑轮，另一 端用线套套在木棒上使棒保持水平。现使线套逐渐向右移动，但始终使木棒保持水平，则悬 线上的拉力T （棒和悬线足够长） A ．逐渐变小 B ．逐渐变大 C ．先逐渐变大，后又逐渐变小 D ．先逐渐变小，后又逐渐变大 图1 图3 图2 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2 一．选择题（36分，每小题6分） 1、 函数f(x)=)32(log 22 1--x x 的单调递增区间是 (A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 解：由x 2-2x-3>0?x<-1或x>3，令f(x)=u 2 1log , u= x 2-2x-3，故选A 2、 若实数x, y 满足(x+5)2+(y -12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 解：B 3、 函数f(x)= 22 1x x x -- (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解：A 4、 直线134=+y x 椭圆 19 162 2=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 解：设P 1(4cos α,3sin α) (0<α<2 π )，即点P 1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P 1AOB 的面积S 。 S=11 O BP O AP S S ??+=ααcos 432 1 sin 3421??+??=6(sin α+cos α)=)4sin(26πα+ ∴S max =62 ∵S ⊿OAB =6 ∴626)(max 1-=?AB P S ∵626-<3 ∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ，故选B 5、 已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的 每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有 (A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 49 99C 解：不妨设b 1 北京大学： 语文： 一。举出两个典型的成语曲解；两个病句改错：我们都有一个家，名字叫中国。素胚勾勒出青花笔锋浓转淡。 二。对联：博雅塔前人博雅； 三。“三国志”一段无标点文言文加标点并翻译（挺长的） 吴人之妇有绮其衣者衣数十袭届时而易之而特居于盗乡盗涎而妇弗觉犹日炫其华绣于丛莽之下盗遂杀而取之盗不足论而吾甚怪此妇知绮其衣而不知所以置其身夫使托身于荐绅之家健者门焉严扃深居盗乌得取唯其濒盗居而复炫其装此其所以死耳天下有才之士不犹吴妇之绮其衣乎托非其人则与盗邻盗贪利而耆杀故炫能于乱邦匪有全者杜袭喻繁钦曰子若见能不已非吾徒也钦卒用其言以免于刘表之祸呜呼袭可谓善藏矣钦亦可谓善听矣不尔吾未见其不为吴妇也 四。鲁迅“求乞者”的阅读： 我顺着剥落的高墙走路，踏着松的灰土。另外有几个人，各自走路。微风起来，露在墙头的高树的枝条带着还未干枯的叶子在我头上摇动。 微风起来，四面都是灰土。 一个孩子向我求乞，也穿着夹衣，也不见得悲戚，近于儿戏；我烦腻他这追着哀呼。 我走路。另外有几个人各自走路。微风起来，四面都是灰土。 一个孩子向我求乞，也穿着夹衣，也不见得悲戚，但是哑的，摊开手，装着手势。 我就憎恶他这手势。而且，他或者并不哑，这不过是一种求乞的法子。 我不布施，我无布施心，我但居布施者之上，给与烦腻，疑心，憎恶。 我顺着倒败的泥墙走路，断砖叠在墙缺口，墙里面没有什么。微风起来，送秋寒穿透我的夹衣；四面都是灰土。 我想着我将用什么方法求乞：发声，用怎样声调？装哑，用怎样手势？…… 另外有几个人各自走路。 我将得不到布施，得不到布施心；我将得到自居于布施之上者的烦腻，疑心，憎恶。 我将用无所为和沉默求乞！…… 我至少将得到虚无。 微风起来，四面都是灰土。另外有几个人各自走路。 灰土，灰土，…… …… 灰土…… 一九二四年九月二十四日 自主招生考试物理试题（十五） （满分100分，时间90分钟） 试卷说明： 1、答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2、答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水的签字笔在答题卡上书写，要求字迹工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。 第Ⅰ卷 （选择题 共40分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符 合题目要求） 1、甲、乙两辆汽车沿平直公路从某地同时驶向同一目标，甲车在前一半时间里以速度v 1匀速直线运动，后一半时间里以速度v 2做匀速直线运动(v 1≠v 2)；乙车在前一半路程中以速度v 1做匀速直线运动，后一半路程中以速度v 2做匀速直线运动(v 1≠v 2)，则（ ） A 、甲车先到达 B 、乙车先到达 C 、甲、乙同时到达 D 、不能确定 2、如图所示，A 、B 、C 三个物体叠放在水平面上，同时有N F 2 的两个水平力分别作用于A 、B 两物体上，A 、B 、C 三个物体仍处于静止状态，则不正确的是（ ） A 、A 物体对 B 物体的摩擦力为2N ，向左 B 、地面对A 物体的摩擦力为2N ，向右 C 、B 物体对C 物体的摩擦力为零 D 、A 物体受到5个力的作用 3、某校新建成一个喷水池，在池底中央安装了一支射灯，射灯发出的一束光照在右边的池壁上，当池内无水时，站在池旁左边的人，看到在S 点形成一个亮斑，如图所示，现往池内灌水，水面升至a 位置时，人看到亮斑的位置在P 点；如果水面升至b 位置时，人看到亮斑的位置在Q 点，则（ ） A 、P 点在S 点的上方，Q 点在S 点的下方 B 、P 点在S 点的下方，Q 点在S 点的上方 C 、P 点在S 点的下方，Q 点在S 点的下方 D 、P 点在S 点的上方，Q 点在S 点的上方 4、某敬老院为老人买了一辆电动轮椅，工作原理如图所示，操纵杆可以同时控制S 1和S 2两个 全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总一．集合与命题 (2) 二．不等式 (9) 三．函数 (20) 四．数列 (27) 五．矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，概率统计 (31) 六．排列组合，二项式定理，概率统计（续）复数 (35) 七．复数 (39) 八．三角 (42) 近年来自主招生数学试卷解读 第一讲集合与命题 第一部分近年来自主招生数学试卷解读 一、各学校考试题型分析： 交大： 题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单； 考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项 式定理、解析几何和立体几何 复旦： 题型：试题类型全部为选择题（四选一）； 全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）； 试题难度：基本相当于高考； 考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等； 考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等 同济： 题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：基本上相当于高考； 考试知识点分布：常规高考内容 二、试题特点分析： 1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。 关键步骤提示： 2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。 关键步骤提示： ()()() 42432 22342(2)(2)(1)(2)(1) f a x x a x x x x x x a x x x =--++-=+-+++-1 1 1 (,),(,),(,)n n n i i i i i i i i i i i d u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质， 2015年清华大学自主招生数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ，其中a 为实数.若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ，b 满足1a b ==，a b m ?=，则a tb +（R t ∈）的最小值为（ ） A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α，β，直线m ，n ，点A ，B 满足：αβ ，m α?，n β?，A α∈，B β∈，且AB 与α 所成的角为4π，m AB ⊥，n 与AB 所成的角为3 π ，那么m 与n 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为（ ） A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则tan tan 22 A C 的值为（ ） A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图，ABC △的两条高线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ， 过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ．则OFG △与GAH △面积之比为（ ） A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =（0a >）.过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是（ ） A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F 清华大学历年自主招生试题汇总 以下是2014年清华“领军计划”部分面试题： 1、怎么看待单独二孩政策？ 2、谈谈对节假日安排的看法，有什么建议？ 3、怎么看待社会公平？ 以下是2014年清华“自强计划”部分面试题： 结构性参考题目： 提问：在你的同龄人中，当有些同学在为上学、吃饭、治病乃至整个家庭的生计发愁时，另外一些同 学则在享受美味的食品、穿着流行的服装、接受各种优质的教育培训。你如何看待这一现象?你是否认为这是一种社会不公? 追问：你心目中的社会公平是怎样的?是否能够实现?若能实现，简要阐述实现的方法;若不能实现，请说说为什么? 自由提问参考题目： 请讲一个你的经历中体现你“自强”的故事。 你对自己的大学生活有何规划?将来想从事何种职业? 你认为自己的家乡至今仍然贫困的原因是有哪些?应该如何解决? 你曾经遇到过的最大困难是什么?你是如何面对和解决的? 考察点： 主要考察学生的个人理想与社会理想，是否能够独立思考并勇于创新，是否能够采取积极的方式克服 困难与挫折;是否能够保持积极向上的心态等。 以下是清华大学2013年自主招生复试考题： 1.近期上海、南京、杭州等地连续出现“H7N9禽流感”感染病例引起关注，公众非常想知道这方面的 相关信息。假如你是一位新闻发言人，你认为公众需要什么样的信息? 追问:假如你发布信息后，社会出现恐慌，那该怎么办? 2.“人类一思考，上帝就发笑”。请就人类社会发展与大自然的关系发表评论。 追问:基于你的评价，你打算在当下和未来做些什么? 3.请以“我和诺贝尔奖的距离”为题发表一段2分钟的演讲，可准备1分钟。 4.除了当选的10位人物外，举出你认为应该入围“2013‘感动中国’的一位人物”，并阐述理由。 2008年清华大学自主招生考试题目选 语文（此文与原考试选用的文章稍有出入）（语文试题应该算是完整版了）： 关于文学和它的寄主的故事 朱大可 关于文学死亡的话题，已经成为众人激烈争论的焦点。这场遍及全球的争论，映射了文学所面临的生 存危机。但文学终结并非危言耸听的预言，而是一种严酷的现实。本届诺贝尔文学奖，颁发给了多丽丝·莱辛，这位88岁高龄的英国女作家，代表了20世纪最后的文学精神。她是一枚被瑞典皇家委员会发现的化 石，她曾在20世纪中叶成为女权主义文学的激进代表，但其近15年来的作品，却遭到美国评论家哈罗德·布鲁姆的激烈抨击，认为它们只具有四流水准，完全不具备原创的能力。耐人寻味的是，在所有诺贝尔奖项 中，只有文学奖面临着二流化的指责，而造成这种状况的唯一原因，就是文学自身的全球性衰退。这种现 状，验证了20世纪60年代美国批评家关于“文学衰竭”的预言。 返观中国文学的狼藉现场，我们发现，汉语文学的衰退，主要基于以下三个方面的原因：第一，80年代以来活跃的前线作家，大多进入了衰退周期，而新生代作家还没有成熟，断裂变得不可避免。第二，重 商主义对文学的影响，市场占有率成为衡量作家成功与否的主要标准，这种普遍的金钱焦虑，严重腐蚀了 文学的灵魂和原创力，导致整个文坛垃圾丛生。第三，电影、电视、互联网、游戏等媒体的兴起，压缩了 传统文学的生长空间，迫使它走向死亡。 这是我关于文学衰败的基本看法。但我最近才意识到，这种看法其实是错误的。文学的衰败只有一个 主因，那就是文学自身的蜕变。建立在平面印刷和二维阅读上的传统文学，在经历了数千年的兴盛期之后，注定要在21世纪走向衰败。它是新媒体时代所要摧毁的主要对象。新媒体首先摧毁了文学的阅读者，把他们从文学那里推开，进而摧毁了作家的信念，把文学变成一堆无人问津的“废物”。 然而，尽管中国文坛充满了垃圾，但文学本身并不是垃圾，恰恰相反，文学是一个伟大的幽灵，飘荡 于人类的精神空间，寻找着安身立命的躯壳（寄主和媒体）。在可以追溯的历史框架里，文学幽灵至少两 度选择了人的身体作为自己的寄主。第一次，文学利用了人的舌头及其语音，由此诞生了所谓“口头文学” （听觉的文学）；而在第二次，文学握住了人手，由此展开平面书写、印刷及其阅读，并催生了所谓“书 面文学”（文字的文学）的问世。这两种文学都向我们提供了大量杰出的文本。在刻写术、纺织术、造纸 术和雕版印刷术的支持下，经历两千年左右的打磨，书面文学早已光华四射，支撑着人类的题写梦想。 文学还有两个值得关注的寄主，那就是歌曲和戏剧，它们跟传统文学并存，俨然是它的兄弟，照亮了 古代乡村社会的质朴生活。但就叙事和抒情的线性本质而言，它们都是口头和书面文学的变种而已。文学 的寄生形态，从来就是复杂多样的。它们制造了艺术多样性的幻觉。 一．选择题 1..如图甲为应用于机场和火车站的安全检查仪,用于对旅客的行李进行安全检查.其传送装置可简化为如图乙的模型,紧绷的传送带始终保持v=1m/s 的恒定速率运行.旅客把行李无初速度地放在A 处,设行李与传送带之间的动摩擦因数μ=0.1,A 、B 间的距离为2m,g 取10m/s 2.若乘客把行李放到传送带的同时也以v=1m/s 的恒定速率平行于传送带运动到B 处取行李,则( ). A 乘客与行李同时到达 B 处; B 乘客提前0.5s 到达B 处; C 行李提前0.5s 到达B 处; D 若传送带速度足够大,行李最快也要2.5s 才能到达B 处 【参考答案】. B 2．如图所示，AB 为均匀带有电荷量为＋Q 的细棒，C 为AB 棒附近的一点，CB 垂直于AB 。AB 棒上电荷形成的电场中C 点的电势为φ0 ，φ0可以等效成AB 棒上某点P 处、带电荷量为＋Q 的点电荷所形成的电场在C 点的电势。若PC 的距离为r ，由点电荷电势的知识可知φ0＝k r Q 。若某点处在多个点电荷形成的电场中，则电势为每一个点电荷在该点所产生的电势的代数和。根据题中提供的知识与方法，我们可将AB 棒均分成两段，并看成两个点电荷，就可以求得AC 连线中点C ′处的电势为 A．φ0B．φ0 C．2φ0D．4φ0 【参考答案】. C 3. 2014年3月8日凌晨2点40分，马来西亚航空公司一架波音777-200飞机与管制中心失去联系。2014年3月24日晚，初步确定失事地点位于南纬31°52’、东经115°52’的澳大利亚西南城市珀斯附近的海域。有一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星，每天上午同一时间在该区域正上方对海面拍照，则 A．该卫星一定是地球同步卫星 B．该卫星轨道平面与南纬31°52’所确定的平面共面 C．该卫星运行周期一定是地球自转周期的整数倍 D．地球自转周期一定是该卫星运行周期的整数倍 【参照答案】D 【名师解析】 该卫星运行轨道经过南纬31°52’、东经115°52’的澳大利亚西南城市珀斯附近的海域上空，而地球同步卫星一定在赤道上空，所以该卫星一定不是地球同步卫星，选项A错误。卫星运行万有引力提供向心力，轨道中心一定在地心，所以该卫星轨道平面不能与南纬31°52’所确定的平面共面，选项B错误。地球自转周期一定是该卫星运行周期的整数倍，选项D正确C错误。 4.如图所示，水平放置的光滑平行金属导轨，左端通过开关S与内阻不计、电动势为E的电源相连，右端与半径为L＝20 cm的光滑圆弧导轨相接，导轨电阻均不计。导轨所在空间有竖直方向的匀强磁场，磁感应强 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥 P ?ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A ?PB ?C 的平面角的余弦值为（ ） A. 7 1 B. 7 1- C. 2 1 D. 2 1- 2. 设实数a 使得不等式|2x ?a |+|3x ?2a |≥a 2 对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]3 1,31[- B. ]21,21[- C. ]3 1,41[- D. [?3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全 相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。则使不等式a ?2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A. 81 52 B. 81 59 C. 81 60 D. 81 61 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x ?c )=1对任意实数x 恒 成立，则 a c b cos 的值等于（ ） A. 2 1- B. 21 C. ?1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是 （ ） 6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (?3，0)，B (1，?1)，C (0，3)，D (?1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。 8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=?+?，则与的夹角的余弦值等于________。 9. 已知正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心， 3 3 2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。 10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。若a 1=d ， b 1=d 2 ，且3 212 3 2221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。 11. 已知函数)45 41(2)cos()sin()(≤≤+-= x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方 格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） D P 一、选择题 1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2 11 1-1z z + -=（ ） (A)0 (B)1 (C) 12 (D)32 2.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2 x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( ) (A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22 (C)直线AB 过抛物线y=2 x 焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =( )1x y f xy ++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数 5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)?kx 有（ ） (A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C= 3 π ，且sinC+sin(B ?A)?2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3△ABC 23(D)△ABC 23 7.设函数2 ()(3)x f x x e =-，则（ ） (A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b> 36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0 1．（2012年华约自主招生）如图所示，两个光滑的水平导轨间 距为L，左侧连接有阻值为R的电阻，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过导轨平面，有一质量为m的导体棒以初速度v0向右运动，设除左边的电阻R 外，其它电阻不计。棒向右移动最远的距离为s，问当棒运动到λs时0<λ 2.（2012清华保送生测试）如图所示，一个沙漏（古代的一种计时器）置 于一个盘秤上，初始时瓶中的所有沙子都放在上面容器中，瓶的质量为M ，瓶中沙子质量为m 。在t=0时，沙子开始释放流入下面的容器，沙子以质量变化率为 m t ??=λ离开上面的容器，试画出（并定性标明）一个图，给出在t>0的全部时间内秤的读数。 3、（2011年卓越自主招生）长为L ，质量为M 的木块静止在光滑水平面上。质量为m 的子弹以水平速度v 0射入木块并从中射出。已知从子弹射入到射出木块移动的距离为s ，则子弹穿过木块所用的时间为（ ） A ． +L s v B ． 01v [L +(1+M m )s ] C ． 01v [L +(1+m M )s ] D ． 01v [s +(1+M m )L ] 由动量 4. （2011复旦大学）太空飞船在宇宙空间中飞行时，会遇到太空尘埃的碰撞而受到阻碍作用。设单位体积的太空均匀分布着尘埃n 颗，每颗尘埃平均质量为m ，尘埃速度可 忽略、飞船的横截面积为S ，与尘埃碰撞后将尘埃完全黏附住。当飞船维持恒定的速率v 飞行时，飞船引擎需要提供的平均推力为 A ． 1 2nmv 2S B ．nmv 2S C ．32nmv 2S D ．1 3 nmv 2 S 5. （2011华约自主招生）如图所示，竖直墙面和水平地面均光滑，质量分别为m A =m ，m A =3m 的A 、B 两物体如图所示放置，其中A 紧靠墙壁，AB 之间有质量 高考自主招生20院校考试题（最新最全） 2017高考已经结束，各地的高考成绩陆续公布。自主招生作为优秀学生进入大学的一种方式，清华、北大、人大、中大、南大等多所高校2017年自主招生的相关试题引发了众多考生和家长的关注。万朋教育小编就为大家整理了2017年各高校自招的相关真题，附上专业解答，希望能对准高三的学生的高考备战有所帮助。万朋教育建议高一、高二同学们可以利用暑假课程，报名师课程，来提高自己的成绩。 西安交通大学 西安交大2017自主招生考核环节已经全部完成，今年的面试形式为小组比较型面试法，由5位专家面试6名考生，通过英语口语.人文素养.科学素养.小组辩论和心理素养5个环节，考查每个考生的思维深度.临场应变.沟通交流.团队协作和心理健康等综合素质。在面试内容方面，主要有： 1.人工智能是否会代替人类？ 2.和谐社会依赖于个人素质还是社会秩序？ 3.谈一谈对“这个世界最宝贵的是数据”的理解。 4.对诗意的理解。 四川大学 四川大学2017自主招生已于11日进行，面试方式为一分钟自我介绍+在纸袋中随机抽取两个问题，选择一个回答。川大的面试内容有： 1.如果你是一个猎人，只能选择带猎枪或者粮食一种东西进去森林，你会选择什么？（中文系） 2.把纸折成一个容器，在里面煮鸡蛋，怎么才能把鸡蛋煮熟，并不把纸烧坏？（物理专业） 南京大学 南京大学2017年自主招生笔试已于10日举行，1400多名考生参加了当天的考试。今年的自主招生测试包括笔试和面试，分别按60%.40%计入总成绩，笔试主要考查学生运用已有知识综合分析.解决问题的能力，面试主要考查学生综合素质和专业发展潜力。 文综的考卷上，一道“梁祝化蝶”考题让人脑洞大开：“梁祝化蝶的故事里，为什么梁山伯与祝英台会化成蝴蝶，而不是比翼鸟或者连理枝？”这道开放性考题并没有标准答案，主要还是考查考生对于文化的理解，考生的回答能够做到有依据，自圆其说就可以了。 考题还引用了犹太人学者本雅明著作《机械复制时代的艺术》的一个片段，要求考生结合材料与自身体会，对“在场”“本真性”和“灵韵”3个词做出名词解释，还考查了考生对于屈原标准像的理解.对艺术史的相关认知等。 最后一道题为看图作文，图画上的两个“无脸人”，一个西装革履下着国际象棋，另一个穿着唐装在下中国象棋。考题要求考生根据这幅画作，写出500字的小作文，体现中西文化的对比。 理综试卷总共8道大题，解题并不算费脑筋，但考题的表达方式灵活多变。如“外星人开飞船进攻地球，从地球上看，飞船长500米，宽400米，如果为这个飞船提供一个停机坪，大概需要多大？加速时候，动能的变化量是多少。” 北京大学 北大于6月11日进行了三大自主选拔的笔试环节，包括自主招生和筑梦计划的笔试.“博雅计划”中被评为优秀的学生的面试。 北大自招的考核方式除了传统的笔试、面试，对于一些具有特殊天赋和才能的学生还将量身定制测试方式。例如，对于自主招生中的科创类考生，还将进行一对多的现场答辩方式，【精品】2021年全国高校自主招生数学模拟试卷含答案15
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