高一数学必修1、必修2基本公式
一、集合
1、集合的三个性质:确定性、互异性、无序性; 例如:高一数学难题能不能够成一个集合。
2、常用的数集符号有:自然数集N 、整数Z 、有理数Q 、实数R 、空集?; 注意:(1)最小的自然数为0;(2)?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
3、元素与集合的关系是∈与?的关系,集合与集合是?与?的关系,
4、集合{}1,2,3A =的子集有3
28=个,有{}{}{}{}{}{}{},1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3?。
5、集合的运算:
{}{},A B x x A x B A B x x A x B ?=∈∈?=∈∈或且,{}U C A x x U x A =∈?且
6、重要结论:(1)如果,A B ?则,A B B A B A ?=?=;反之结论也成立;
(2),U U A C A U A C A ?=?=?。
7、集合的代表元素一定要注意。
例如、(1)集合{}2),(=+=y x y x M ,{}
4),(=-=y x y x N 则集合N M = . (2)、集合{}{}
1,1A x y x B y y x ==-==-,这两个集合的关系 。 二、函数
1、映射:对于集合A 中任意一个元素,在集合B 都有唯一元素对应。
2、定义域:自变量X 的取值范围构成的集合; 常见的题型有四类:(1)分母不为0;(2)开偶次方根,被开方数大于或等于0;(3)对数的真数大于0;(4)0次幂的底数不能等于0。
例:求下列函数的定义域051
(1),(2),(3)log ,(4)(3)2
y y x y x y x x =
===+-。 3、值域:函数值Y 的取值范围构成的集合。求值域的常见方法:直接法、图象法等。
直接法:利用常见函数的值域来求
①一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ; ②反比例函数)0(≠=
k x
k
y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; ③二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ,
当a>0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥};当a<0时,值域为{a
b a
c y y 4)4(|2
-≤
}. 例 求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)(
③1
+=
x x
y ④223y x x =++ 解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是[-1,5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2}
③1
111111+-=+-+=+=x x x x x y ∵
01
1
≠+x ∴1≠y ,即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}(此法亦称分离常数法) 4、(1)函数的单调性:当12,x x >都有12()()f x f x >,则函数在该区间内为增函数;
当12,x x >都有12()()f x f x <,则函数在该区间内为减函数。
(2)证明函数的单调性一般是根据定义来证明。步骤是:①先在定义域内任取12,x x ,②做差比较12()()f x f x -的大小,这一步最重要的是变形(常见的变形有通分、因式分解、配方法),③下结论。
(3)常见函数的单调性: ①一次函数单调性y kx b =+,当0k >,函数在R 为增函数,当0k <,函数在R 为减函数; ②反比例函数k
y x
=
,当0k >,函数在(,0),(0,)-∞+∞为减函数;当0k <,函数在(,0),(0,)-∞+∞为增函数;
③二次函数2y ax bx c =++的单调性由抛物线的开口方向与对称轴2b
x a
=-决定,其单调区间可数形结合写出。
④指数函数x y a =,当1a >,函数在R 为增函数,当01a <<,函数在R 为减函数; ⑤对数函数log a y x =,当1a >,函数在(0,)+∞为增函数,当01a <<,函数在(0,)+∞为减函数; 5、(1)函数的奇偶性:如果()()f x f x -=,则()f x 为偶函数;如果()()f x f x -=-,则()f x 为奇函数;判断函数奇偶性的前提条件是定义域要关于原点对称。
(2)奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于Y 轴对称,反之结论也成立。 (3)奇函数过原点(0在定义域范围内);
(4)奇函数的单调性在其对称区间内一致,偶函数的单调性在其对称区间内是相反的。 6、反函数:同底的指导数函数与对数函数互为反函数,它们的图形关于直线Y=X 对称。
例、指数函数3x y =与对数函数3log y x =互为反函数。 7、(1)指数公式整数指数幂的概念
*)(N n a a a a a a
n n ∈??=
个 )0(10
≠=a a *),0(1
N n a a
a n n
∈≠=
-
(2)运算性质: ,(),()m n m n m n m n n n
n
a a a a a a
b a b
+?===?。 (3)根式的运算性质:①当n 为奇数时,
n
n a =a ;②当n 为偶数时,
n
n a =|a|=??
?<-≥)
0()0(a a a a . 例 33)8(-= ;②2
)10(-= ;③44)3(π-= (4)指数函数:)10(≠>=a a a y x 且。图象和性质如下表: a>1