2013高考专题复习杨老师专讲座：
数列求和的方法20121105
1、公式法：
如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求. ①等差数列求和公式：()()
11122
n n n a a n n S na d +-=
=+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q
q ?=?
=-?-=≠?
--?
常见的数列的前n 项和：123+++……+n=(1)2
n n +， 1+3+5+……+(2n-1)=2
n
2
2
2
2
123+++……+n =(1)(21)6n n n ++，3333
123+++……+n =2
(1)2n n +??????
等. 考向一 公式法求和
【例1】?已知数列{a n }是首项a 1＝4，公比q ≠1的等比数列，S n 是其前n 项和，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列．(1)求公比q 的值；(2)求T n ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值．[审题视点] 求出公比，用等比数列求和公式直接求解．
解 (1)由题意得2a 5＝4a 1－2a 3.∵{a n }是等比数列且a 1＝4，公比q ≠1， ∴2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，∴q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝－2(舍去)或q 2＝1，∴q ＝－1. (2)∵a 2，a 4，a 6，…，a 2n 是首项为a 2＝4×(－1)＝－4，公比为q 2＝1的等比数列，∴T n ＝na 2＝－4n
.
应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数
列、等比数列的通项公式及前n 项和公式．
【训练1】 在等比数列{a n }中，a 3＝9，a 6＝243，求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和公式S n ，并求a 9和S 8的值．解 在等比数列{a n }中，设首项为a 1，公比为q ，由a 3＝9，a 6＝243，得q 3＝a 6a 3
＝243
9＝27，∴q ＝3.
由a 1q 2＝a 3，得9a 1＝9，∴a 1＝1.
于是，数列{a n }的通项公式为a n ＝1×3n －1＝3n －1，
前n 项和公式为S n ＝1×(1－3n )1－3
＝3n －12.由此得a 9＝39－1
＝6 561，S 8＝38
－12＝3 280.
要点考向：可转化为等差、等比数列的求和问题
考向链接：某些递推数列可转化为等差、等比数列解决，其转化途径有： 1．凑配、消项变换——如将递推公式
（q 、d 为常数，q ≠0，≠1）。通
过凑配变成
；或消常数转化为
2．倒数变换—如将递推公式（c 、d 为非零常数）取倒数得
3．对数变换——如将递推公式
取对数得
4．换元变换——如将递推公式
（q 、d 为非零常数，q ≠1，d ≠1）变
换成，令，则转化为的形式。
【例2】（2010·福建高考文科·Ｔ１7）数列{n a } 中a ＝1
3
，前n 项和n S 满足1n S +-n
S ＝1
13n +?? ???
（n ∈*
N ）. ( I ) 求数列{n a }的通项公式n a 以及前n 项和n S ；
（II ）若S 1, t ( S 1+S 2 ), 3( S 2+S 3 ) 成等差数列，求实数t 的值。
【思路点拨】第一步先求n a 的通项，可知n a 为等比数列，利用等比数列的前n 项和求解出
n S ；第二步利用等差中项列出方程求出t
【规范解答】 ( I ) 由1
113n n n S S ++??
-= ?
??
得()1
113n n a n N +*
+??
=∈ ?
??
，又1
13
a
=，故()13n
n a n N *
??=∈ ???，从而()11123n n S n N *????=-∈?? ???????
（II ）由( I ) 1231413
,,,3927
S S S ===
从而由S 1, t ( S 1+S 2 ), 3( S 2+S 3 ) 成等差数列可
得
14131432,392739t ????
+?+=?+ ? ?????
解得2t =。 【方法技巧】要求数列通项公式，由题目提供的是一个递推公式，如何通过递推公式来求数列的通项。题目要求的是项的问题，这就涉及有关“项”与“和”如何转化的问题。一般地，
含有n S 的递推关系式，一般利用11,1,2n n
n S n a S S n -=?=?-≥?化“和”为“项”。
考向链接：几种求通项及求和方法（1）已知
，求
可用叠加法，即
（2）已知，求可用叠乘法，即
【例3】(8分)[2012·温州十校联考] 等比数列{a n }中，已知a 2＝2，a 5＝
16.(1)求数列{a n }的通项a n ；
(2)若等差数列{b n }，b 1＝a 5，b 8＝a 2，求数列{b n }前n 项和S n ，并求S n 的最大值． 13．[解答] (1)由a 2＝2，a 5＝16，得q ＝2，解得a 1＝1，
从而a n ＝2n －1.(2)由已知得b 1＝16，b 8＝2，又b 8＝b 1＋(8－1)d ，解得d ＝－
2，所以S n ＝nb 1＋n (n －1)2d ＝16n ＋n (n －1)
2(－2)＝－n 2＋17n ，
由于S n ＝－?
?
???n －1722＋2894，n ∈N *，所以S n 的最大值为S 8＝S 9＝72.
2、倒序相加法：
类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.
【例1】已知函数(
)x
f x =（1）证明：()()11f x f x +-=；
（2）求128910101010f f f f ??
??????
+
+++
? ? ? ???
??
??
??
的值. 解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，
1928551101010101010f f f f f f ????????????+=+==+
= ? ? ? ? ? ???????
??????
128910101010S f f f f ??
??
????=+
+++
? ? ? ?????????令 982110101010S f f f f ??
??????=+
+++
? ? ? ???
??
??
??
则 两式相加得：
192991010S f f ?
?
????=?+= ? ?
???????
所以92S =.
小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加
法求和.针对训练3、求值：2222
2
22222
22123101102938101
S =++++++++ 3、错位相减法：
类似于等比数列的前n 项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.若n n n a b c =?，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令
1122
11
n n n
n
n S b c b c b
c b c -
-=+++
+则n qS = 1223
1n n n n
b c b c b c b c
-
++++
+
两式相减并整理即得【例1】已知数列)0()12(,,5,3,112≠--a a n a a n ，求前n 项和。
思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列1
2
,,,,-n a a a a 对应项
积，可用错位相减法求和。 解
：
()1)12(5311
2--++++=n n a n a a S
()2)12(5332n
n a n a a a aS -++++=
()()n n n
a n a a a a S a )12(22221)1(:21132--+++++=---
当
n
n n n a a a S a a )12()
1()1(21)1(,12
1----+=-≠-时 2
1
)1()12()12(1a a n a n a S n n n --++-+=
+ 当2
,1n S a n ==时
（3）设{ }为等差数列，为等比数列，求数列的前n 项和可用错位相减法。
【例2】（2010 ·海南宁夏高考）设数列{}n a 满足12a =，
（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式：（Ⅱ）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【思路点拨】由给出的递推关系，求出数列的通项公式，在求数列的前n 项和. 【规范解答】（Ⅰ)由已知，当1n ≥时，
[]111211()()()n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-+
+-+
21232(1)13(222)22n n n --+-=++
++=
而12a =，满足上述公式，所以{}n a 的通项公式为21
2n n a -=.
（Ⅱ）由212n n n b na n -==?可知，
35211222322n n n s -=?+?+?+
+? ①
从而 2
3572121222322n n n s +=?+?+?+
+? ②
①-②得
3
5
21212
(12)22222n n n n s -+-=+++
+-?
即 21
1(31)229
n n S n +??=
-+?? 【方法技巧】利用累加法求数列的通项公式，利用错位相减法求数列的和.
【例3】、（全国Ⅰ）已知 12n n a n -=?，求数列｛a n ｝的前n 项和S n . 解：01211222(1)22n n n
S n n --=++
+-+ ①
12121222(1)22n n n S n n -=++
+-+ ②
②—①得
01121222221n n n n n S n n -=---
=-+
小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列{}n c 的公比
q ；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和的公式求和.
考向 错位相减法求和
【例4】?(2011·辽宁)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.
(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列??????
???
?a n 2n －1的前
n 项和．
[审题视点] 第(1)问列出关于首项a 1与公差d 的方程组可求解；第(2)问观察数列????
??
a n 2n －1的通项采用错位相减法． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得???
a 1＋d ＝0，
2a 1＋12d ＝－10，解得
???
a 1＝1，
d ＝－1.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)设数列??????
????a n 2n －1的前n 项和为S n ，∵a n 2n －1＝2－n 2n －1＝12n －2－n
2
n －1，
∴S n ＝? ?
???2＋1＋12＋122＋…＋12n －2－? ????1＋22＋322＋…＋n 2n －1.
记T n ＝1＋22＋322＋…＋n 2n －1，
① 则12T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，
②
①－②得：12T n ＝1＋12＋122＋…＋12
n －1－n 2n ，∴12T n ＝
1－12n
1－12
－n
2n . 即T n ＝4? ????1－12n －n 2n －1.∴S n ＝2??????1－? ????12n 1－12－4
? ????1－12n ＋n 2n －1＝4? ????1－12n －4? ?
???1－12n ＋n 2
n －1＝n
2
n －1
.
用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数
列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．
【训练2】 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n
3，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n
a n
，求数列{b n }的前n 项和S n .
解 (1)a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3
n －1
a n ＝n 3，
①∴当n ≥2时， a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －1
3，
②
①－②得：3n －1a n ＝n 3－n －13＝13，∴a n ＝1
3n . 当n ＝1时，a 1＝13也适合上式，∴a n ＝1
3n .
(2)b n ＝n
a n
＝n ·3n ，∴S n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，
③
则3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋
1，
④
∴③－④得：－2S n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1
＝3(1－3n
)1－3－n ·3n ＋1＝－32
(1－3n )－n ·3n ＋1
.∴
S n ＝34(1－3n )＋
n ·3
n ＋1
2
＝34＋(2n －1)·3
n ＋1
4
.
阅卷报告——未对q ＝1或q ≠1讨论出错
【问题诊断】 错位相减法适合于一个由等差数列{a n }及一个等比数列{b n }对应项之积组成的数列．考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等．【防范措施】 两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的n －1项是一个等比数列． 【示例】?(2010·四川)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .错因 未对q ＝1或q ≠1分别讨论，相减后项数、符号均出现了错误． 实录 (1)由已知得
??? a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即???
3a 1＋3d ＝6，
8a 1＋28d ＝－4， 解得a 1＝3，d ＝－1，∴a n ＝4－n .(2)由(1)知b n ＝n ·q n －1，
∴S n ＝1＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1，qS n ＝1·q ＋2·q 2＋3·q 3＋…＋n ·q n ， 两式相减得：(1－q )S n ＝1＋q ＋q 2＋…＋q n －1＋n ·q n
＝1－q n 1－q ＋n ·q n .∴S n ＝1－q n (1－q )2＋n ·q n 1－q . 正解 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知得 ??? a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即???
3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4， 解得a 1＝3，d ＝－1，故a n ＝3－(n －1)＝4－n .
(2)由(1)知，b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1， 若q ≠1，上式两边同乘以q .qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n ，
两式相减得：(1－q )S n ＝1＋q 1＋q 2＋…＋q n －
1－n ·q n ＝1－q n
1－q
－n ·q n .
∴S n ＝1－q n (1－q )2－n ·q n 1－q ＝n ·
q n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(1－q )2.
若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2， ∴S n ＝?
????
n (n ＋1)2 (q ＝1)，nq n ＋
1
－(n ＋1)q n ＋1
(1－q )2 (q ≠1).
【试一试】 (2011·齐齐哈尔模拟)已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比q ＝1
4的等比数列，设b n ＋2＝3log 1
4a n (n ∈N *)，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n . (1)求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{c n }的前n 项和S n .
[尝试解答] (1)由题意，知a n ＝? ????
14n (n ∈N *)，又b n ＝3log 14a n －2，故b n ＝3n －2(n
∈N *)．(2)由(1)，知a n ＝? ????14n ，b n ＝3n －2(n ∈N *)，∴c n ＝(3n －2)×? ????
14n (n ∈N *)．
∴S n ＝1×14＋4×? ????142＋7×? ????143＋…＋(3n －5)×? ????14n －1＋(3n －2)×? ????
14n ，
于是14S n ＝1×? ????142＋4×? ????143＋7×? ????144＋…＋(3n －5)×? ????14n ＋(3n －2)×? ????
14n ＋1，
两式相减，得
34S n ＝14＋3??????? ????142＋? ????143＋…＋? ????14n －(3n －2)×? ????14n ＋1＝12－(3n ＋2)×? ??
??14n ＋1，
∴S n ＝23－3n ＋23×? ??
??
14n (n ∈N *)．
【训练3】(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝1
2
，前n 项和为S n ，且210S 30
－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项；(2)求{nS n }的前n 项和T n .
15．[解答] (1)由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0得210(S 30－S 20)＝S 20－S 10， 即210(a 21＋a 22＋…＋a 30)＝a 11＋a 12＋…＋a 20，
可得210·q 10(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝a 11＋a 12＋…＋a 20.
因为a n >0，所以210q 10＝1，解得q ＝12，因而a n ＝a 1q n －1＝1
2
n ，n ＝1,2，….
(2)因为{a n }是首项a 1＝12、公比q ＝1
2
的等比数列，故
S n ＝12? ?
??
?1－12n 1－12
＝1－12n ，nS n ＝n －n
2n .
则数列{nS n }的前n 项和T n ＝(1＋2＋…＋n )－? ????12＋2
2
2＋…＋n 2n ，
T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－? ????122＋2
2
3＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1.
两式相减，得T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－? ????12＋1
2
2＋…＋12n ＋n 2n ＋1
＝n (n ＋1)4－12? ?
??
?1－12n 1－12
＋n 2n ＋1，即T n ＝n (n ＋1)2＋12n －1＋n 2
n －2.
4、裂项相消法：
裂项相消法求和
考向链接：裂项求和的几种常见类型（1）；
（2）；（3）；
（4
）
；（5
）若是公差为d
的等差数列，则
；（6）；（7）
（8）。
【例1】数列{a n }满足：a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有：a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则
=++++2008
3211111a a a a _______解：∵a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，∴a n ＋1＝a n ＋a 1＋n ＝a n ＋1＋n ，∴利用叠加法得到：2)
1(+=
n n a n ，∴)111(2)1(21+-=+=n n n n a n
， ∴
)2009
1
1(2)20091200813121211(211112008321-=-++-+-=++++ a a a a 2009
4016
=
． 【例2】.求和)
12)(12()2(5343122
22+-++?+?=n n n S n 思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.
解
:
)1
21
121(211)12)(12(11)12)(12(11)2()12)(12()2(22+--+=+-+=+-+-=+-=k k k k k k k k k k a k
1
2)1(2)1211(21)]121121()5131()311[(2121++=
+-+=+--++-+-+=+++=n n n n n n n n a a a S n n 练习:求n n a n a a a S ++++= 32321 答案: ???
????≠----=+=)1()1()1()1()1(2
)
1(2a a a a n a a a n n S n n n
【例3】（2010·山东高考理科·Ｔ18）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，
{}n a 的前n 项和为n S ．
（1）求n a 及n S ；（2）令n b = 2
11n
a -(n ∈N *
)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【思路点拨】(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求n a 及n
S ；
(2)由(1)求出n b 的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法.
【规范解答】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有
1127
21026
a d a d +=??
+=?，解得13,2a d ==，
所以321)=2n+1n a n =+-（
；n S =n(n-1)
3n+22
?=2n +2n . （2）由（1）知2n+1n a =，所以b n =
211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?=111
(-)4n n+1
?，
所以n T =
111111(1-+++-)4223n n+1?-=11
(1-)=
4n+1?n 4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T =
n
4(n+1)
. 【例4】?在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ? ????S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n
2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .
[审题视点] 第(1)问利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)后，再同除
S n －1·S n 转化为????
??
1S n 的等差
数列即可求S n .第(2)问求出{b n }的通项公式，用裂项相消求和． 解 (1)∵S 2n ＝a n ? ????S n －12，a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，∴S 2n ＝(S n －S n －1)? ????S n －12， 即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，①由题意S n －1·S n ≠0，
①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列??????1S n 是首项为1S 1＝1
a 1
＝1，公差为
2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝1
2n －1.
(2)又b n ＝
S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ??
??1
2n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12??????? ????1－13＋? ????13－15＋…＋? ????1
2n －1－12n ＋1
＝12? ????1－12n ＋1＝n
2n ＋1
.
使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些
项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 【训练4】 在数列{a n }中，a n ＝
1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2
a n ·a n ＋1
，求数列
{b n }的前n 项和S n .
【训练4】解 a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n
n ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n (n ＋1)2(n ＋1)＝n 2.
∴b n ＝2a n ·a n ＋1＝2n 2·n ＋12
＝8n (n ＋1)＝8? ??
??1
n －1n ＋1.
∴S n ＝8??????? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????1
n －1n ＋1＝8? ????1－1n ＋1＝
8n n ＋1
. 【训练5】(8分)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n .
(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1
a 2n －1
(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .
【训练5】[解答] (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26， 解得a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)．
(2)因为a n ＝2n ＋1，a 2n －1＝4n (n ＋1)，故b n ＝
14n (n ＋1)＝14? ??
??1
n －1n ＋1， T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝141－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14? ????1－1n ＋1＝n 4(n ＋1).
所以数列{b n }的前n 项和T n ＝
n
4(n ＋1).
【训练6】(12分)已知点?
????1，13是函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；
(2)若数列?
?????????1b n b n ＋1前n 项和为T n ，问T n >1 000
2 009的最小正整数n 是多少？
【训练6】[解答] (1)∵f ()1＝a ＝13，∴f ()x ＝? ??
??
13x ，
a 1＝f ()1－c ＝13－c ，a 2＝[]f ()2－c －[]f ()1－c ＝－2
9
，
a 3＝[]f ()3－c －[]f ()2－c ＝－2
27.
又数列{}a n 成等比数列，a 1＝a 22
a 3＝481－227
＝－23＝13
－c ，所以c ＝1；
又公比q ＝a 2a 1＝13，所以a n ＝－23? ????13n －1＝－2? ??
??
13n ，n ∈N *；
∵S n －S n －1＝()S n －S n －1()S n ＋S n －1＝S n ＋S n －1()n ≥2，
又b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1；
数列{}S n 构成一个首项为1，公差为1的等差数列，∴S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－()n －12＝2n －1；
上式对n ＝1也成立，∴b n ＝2n －1(n ∈N *)．
(2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋1
5×7
＋…＋
1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ????1－13＋12? ????13－15＋12? ????15－17＋…＋12? ??
??12n －1－12n ＋1 ＝12?
????1－12n ＋1＝n 2n ＋1， 由T n ＝n 2n ＋1>1 0002 009得n >1 0009，满足T n >1 000
2 009
的最小正整数为112.
5、分组求和法：
有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 【例1】求和：①
个
n n S 111111111++++= ②22222)1()1()1
(n
n n x x x x x x S ++++
++= 思路分析：通过分组，直接用公式求和。
解：①)110(9
1
10101011112
-=++++==k k
k k a
个
]
)101010[(9
1
)]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-= 81
10910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++
=n
n
n x x x x x x S n x
x x x x x n n 2)1
11()(242242++++++++=
（1）当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2)
1()
1)(1(21)1(1)1(2
2222222222+-+-=+--+--=+--- （2）当n S x n 4,1=±=时 ③
k
k k k k k k k k k a k 2
3
252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(2-=-+-=
-+-+++++-=
2
)
1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221+-++?=+++-+++=
+++=n n n n n n n a a a S n n
)25)(1(6
1
-+=
n n n 总结：运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比11≠=q q 或讨论。
【例2】求和：()()()()123235435635235n n S n ----=-?+-?+-?++-?
解：()()()()123235435635235n n S n ----=-?+-?+-?+
+-? ()()123246235555n n ----=+++
+-+++
+
()2111553113114515
n
n
n n n n ????-?? ???????????=+-?
=+--
?? ???????
- 小结：这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常
见的数列，使问题得到顺利求解. 【例3】?(2012·包头模拟)已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，
p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求：(1)p ，q 的值；(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．
[审题视点] 第(1)问由已知条件列出关于p 、q 的方程组求解；第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求解．解 (1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，又因为x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，解得p ＝1，q ＝1.(2)由(1)，知x n ＝2n ＋n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n (n ＋1)2
.
对于不能由等差数列、等比数列的前n 项和公式直接求和的问题，一
般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和．
【训练7】 求和S n ＝1＋? ????1＋12＋? ????1＋12＋14＋…＋? ????1＋12＋14＋…＋12n －1. 解 和式中第k 项为
a k ＝1＋12＋14＋…＋12
k －1
＝1－? ????12k
1－12
＝2
? ?
???1－12k .∴S n ＝
2??????? ????1－12＋? ????1－122＋…＋? ????1－12n ＝2??????(1＋1＋…＋1)n 个－? ????12＋122＋…＋12n ＝2????
??n －12? ????1－12n
1－12＝12
n －1
＋2n －2.
【例4】已知数列{}n n n n S n a a 求],)1([2,---=。
思路分析：n n n a )1(22---=，通过分组，对n 分奇偶讨论求和。
解：n
n n a )1(22-+-=，若∑=-+++++-===m
k k
m n m S S m n 21
2)
1(2
)2321(2,2 则
)1(2)12()2321(2+-=+-=++++-=n n m m m S n
若
)
12(22)12(])1(2[22)12(,1222212-++-=--++-=-==-=-m m m m m m a S S S m n m m m m n 则
22)1()1(224222---=-+++-=-+-=n n n n m m
???---+-=∴)(2)()
1(2
为正奇数为正偶数n n n n n n S n
【例5】已知数列{}n a 的通项65()
2()n n n n a n -?=??
为奇数为偶数，求其前n 项和n S ．
解：奇数项组成以11a =为首项，公差为12的等差数列， 偶数项组成以24a =为首项，公比为4的等比数列； 当n 为奇数时，奇数项有
12n +项，偶数项有12
n -项， ∴1
121(165)
4(14)(1)(32)4(21)221423
n n n n n n n S --++--+--=+=+
-， 当n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有2
n
项，
∴2(165)
4(14)(32)4(21)221423
n n n n n n n S +----=+=+
-，
数列求和的教学反思 数列求和的教学反思 由于数列的求和在求解的方法中比较多，学生难以一次性熟练掌握全部的方法并灵活运用，所以在《数列求和》的专题课的教学重点放在了数列求和的前三种重要方法： 1、公式法求和（即直接利用等差数列和等比数列的求和公式进行求和）； 2、利用叠加法、叠乘法将已知数列转化为等差数列或等比数列再行求和； 3、对于数列的通项是由等差乘以等比数列构成的，用乘公比错位相减求和法。 从实际教学效果看教学内容安排得符合学生实际，由浅入深，比较合理，基本达到了这节课预期的教学目标及要求。结合自我感觉、工作室评课、学生反馈，这节课比较突出的有以下几个优点。 1、注重“三基”的训练与落实 数列部分中两种最基本最重要的数列就是等差数列和等比数列，很多数列问题包括数列求和都是围绕这两种特殊数列展开的，即使不能直接利用等差数列和等比数列公式求和，也可根据所给数列的
不同特点，合理恰当地选择不同方法转化为等差数列或等比数列再行求和。因此上课伊始做为本节课的知识必备，就要求学生强化等差数列和等比数列求和公式的记忆。其次本节课充分渗透了转化的数学思想方法，并且通过典型例题使学生体会并掌握根据所给求和数列的不同特点，分别采用叠加法或叠乘法将所给数列转化为等差数列或等比数列再行求和的基本技能。 2、例、习题的选配典型，有层次 一方面精选近年典型的高考试题、模拟题做为例、习题，使学生通过体会和掌握，达到举一反三的目的；另一方面结合学生实际，自行编纂或改编了一些题目，或在原题基础上降低了难度，设计出了层次，或在学生易错的地方设置了陷阱，提醒学生留意。同时所配的课堂练习也充分注意了题目的难易梯度，把握了层次性，由具体数字运算到字母运算，由直接给出数列各项到用分段函数形式抽象表述数列，由单一方法适用到能够一题多解等等。 3、对学生可能出现的问题有预见性，并能有针对性地对症下药进行设计 对于直接利用公式求和的等差数列或等比数列求和问题，预见到学生的关键问题应该出在搞不清
数列求和的若干常用方法 数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法等。本文就此总结如下，供参考。 一、分组求和法 所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 例1．数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满)(,311* +∈+==N n b a b b n n n .（Ⅰ）证明数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和T n。 解析：（Ⅰ）由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S ， 两式相减得：,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同， ,21=∴+n n a a 同定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列.（Ⅱ）,22,211111-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a ,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b ,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得： ,222 121322211 2101+=--+=++++=---n n n n b b n T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴-- =.12222 121-+=+--n n n n 例2．已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求：. 242n a a a +++ 解析：首先由31452 91010110=?=??+=d d a S 则：6223221)21(232)222(32 2323)1(1224221--?=---=-+++=+++∴-?=?-=-+=+n n n a a a a n d n a a n n n n n n n 二、裂项求和法
数列求和的方法 一、公式法[来源: 自然数方幂和公式：1 123(1)2 n n n +++???+= + 22221 123(1)(21)6n n n n +++???+=++ 333321 123[(1)]2 n n n +++???+=+ 【例题1】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1 {}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000 n T -<成立的n 的最小值. 【变式训练】已知等差数列{}n a 满足3a =2，前3项和3S =9 2 . (Ⅰ)求{}n a 的通项公式， (Ⅱ)设等比数列{}n b 满足1b =1a ，4b =15a ，求{}n b 前n 项和n T . 二、分组法 类型一、等比数列+等差数列混合求和： 【例题2】已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22 －1,9＋23 －1,12＋24 －1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和S n .
【变式训练】已知数列{a n }的通项公式为a n =2n (n ∈N*)，数列{b n }是以函数 214sin 12y x π? ?=+- ?? ?的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{a n - b n }的 前n 项和S n . 类型二、奇数项和偶数项分别求和： 【例题3】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N * )，则S 2 012= 。 【变式训练】【2015高考湖南，文19】（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 已知121,2a a ==，且13n n a S +=* 13,()n S n N +-+∈， （I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S . 类型三、正数项和负数项分别求和后再求和： 【例题4】在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (Ⅰ)求d ，a n ； （Ⅱ）若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |. 【变式训练】在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 3a 5＋2a 4a 6＋a 3a 9＝100，又4是a 4与a 6的等比中项． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n ＝log 2a n ，求数列{|b n |}的前n 项和S n .
专题43 数列 数列的求和4 （ 分组求和、倒序相加法） 【考点讲解】 一、具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述： 求数列前n 项和的基本方法 （1）直接用等差、等比数列的求和公式求和； 等差：； 等比： 公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时，q a S -= 11 （2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式： ； ； ； ； （3）倒序相加法求和：如果一个数列 {}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数， 那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. （4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么
这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?，其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. （5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为a n ＝ 的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 形如： n n b a +其中， （6）并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类 型，可采用两项合并求解. 合并求和：如求 的和. （7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项： ； . 【真题分析】
四年级奥数思维训练专题-巧妙求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列.数列中的每一个数称为一项.其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数. 相邻两项的差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差. 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算. 项数=（52－4）÷6＋1=9 答：这个数列共有9项. 试一试1：有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？ 例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 分析：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100.要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算. 第100项=3+4×（100－1）=399
试一试2：求1，4，7，10……这个等差数列的第30项. 例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100.请求出这个数列所有项的和. 分析：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 试一试3：6+7+8+…+74+75 例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和. 分析：项数=（末项－首项）÷公差+1 =（50－2）÷2+1=25 首项=2，末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）×25÷2=650 试一试4：9+18+27+36+…+261+270 巧妙求和（二） 专题简析：
数列求和专题 方法归纳 方法1：分组转化法求和 1．已知{a n }的前n 项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，3n ＋2n －1，则S n ＝ ________. 2．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2an －2＋n ，求 b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 方法2裂项相消法求和 3.设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N * )，则数列? ???????? ?1a n 前 10项的和为______． 4. S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. ①求{a n }的通项公式； ②设b n ＝ 1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和． 5．若已知数列的前四项是 112 ＋2，122＋4，132＋6，1 42＋8 ，则数列的前n 项和为________． 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. （1)求{a n }的通项 公式； (2)设b n ＝1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 7．已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)． (1)设 b n ＝1 a n ，求证：数列{ b n }是等差数列；(2)求数列?????? ??? ?a n n ＋1的前n 项和S n . 方法3：错位相减法求和 8．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列(b n ＞0)，且a 1＝b 1＝2，a 3＋b 3＝16，S 4＋b 3＝34.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n 为数列{a n b n }的前n 项和，求 T n . 9．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．
第2讲数列求和及综合问题 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟 1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________. 解析法一因为a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1， 所以当n为偶数时，a n＋2＋a n＝3n－1， 所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41， 所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92. 因为数列{a n}的前16项和为540， 所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.① 因为当n为奇数时，a n＋2－a n＝3n－1， 所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38， 所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.② 由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184. 又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，
所以a 1＋a 1＋10＋a 1＋44＋a 1＋102＝184，所以a 1＝7. 法二 同法一得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝448. 当n 为奇数时，有a n ＋2－a n ＝3n －1， 由累加法得a n ＋2－a 1＝3(1＋3＋5＋…＋n )－n ＋1 2 ＝32(1＋n )·n ＋12－n ＋12＝34n 2＋n ＋1 4， 所以a n ＋2＝34n 2＋n ＋1 4＋a 1. 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15 ＝a 1＋? ????34×12＋1＋14＋a 1＋? ????34×32＋3＋14＋a 1＋? ?? ?? 34×52＋5＋14＋a 1＋ ? ????34×72＋7＋14＋a 1＋? ????34×92＋9＋14＋a 1＋? ?? ??34×112 ＋11＋14＋a 1＋ ? ???? 34×132＋13＋14＋a 1＝8a 1＋392＝448，解得a 1＝7. 答案 7 2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 法一 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)， 所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＝－2n －1. 所以S 6＝－1×（1－26）1－2 ＝－63. 法二 由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.
数列求和的常用方法 第一类：公式法求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的. 1、等差数列前n 和公式：()() 11122 n n n a a n n S na d +-= =+ 2、等比数列前n 和公式：1 11(1)(1)(1) 11n n n na q S a a q a q q q q =?? =--?=≠?--? 自然数方幂和公式： 3、11(1)2n n k S k n n ===+∑ 4、211 (1)(21) 6n n k S k n n n ===++∑ 5、32 1 1[(1)]2 n n k S k n n ===+∑ 【例】已知数列{}n a 满足*111,4,n n a a a n N +==+∈，求数列{}n a 的前n 项和 n S . 【练习】已知321 log log 3 x -= ，求23n x x x x +++???++???的前n 项和.
第二类：分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 若数列{}n c 的通项公式为n n n c a b =+，其中数列{}n a ，{}n b 分别是等差数列和等比数列，求和时一般用分组结合法。 【例】数列111111,2,3,4 ,,,24816 2n n 求数列的前n 项和. 【练习】数列{}n a 的通项公式221n n a n =+- 第三类：裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 常用的通项分解（裂项）如：
高考数学复习 第四节 数列求和 [考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法． 1．公式法 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n a 1＋a n 2 ＝na 1＋n n －12 d ； (2)等比数列的前n 项和公式： 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解． 5．倒序相加法 如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 6．并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002 －992 ＋982 －972 ＋…＋22 －12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [常用结论] 1．一些常见的数列前n 项和公式：
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝ n n ＋1 2 ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2 ； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2 ＋n . 2．常用的裂项公式 (1) 1n n ＋k ＝1k ? ?? ??1 n －1n ＋k ； (2)1 4n 2－1＝1 2n －1 2n ＋1＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1； (3) 1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n ； (4)log a ? ?? ??1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n . [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2－1＝12? ?? ??1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2 ＋3a 3 ＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) (4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 2 1°＋sin 2 2°＋sin 2 3°＋…＋sin 2 88°＋sin 2 89°＝44.5.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n n ＋1 ，则S 5等于( ) A ．1 B.56 C.16 D. 1 30 B [∵a n ＝ 1n n ＋1＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6.] 3．若S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1) n －1 ·n ，则S 50＝________. －25 [S 50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25.] 4．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1 2 n ，…的前n 项和S n 的值等于________．
数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－ 1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通 项公式．
（二）.累加、累乘 型如1()n n a a f n --=, 1 ()n n a f n a -= 1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比 数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥， 1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-??
数列的求和 数列求和主要思路： 1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； 数列求和的常用方法 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 11123(1) 2 n n k S k n n n == =+++++=+∑L … 4、 222221 1 123(1)(21)6n n k S k n n n n ===++++=++∑L 5、 2 3 3 3 3 3 1 (1)1232n n k n n S k n =+?? ===++++=????∑L 公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n 的值； （2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。 例1．求和2 2 1-++++n x x x Λ(0,2≠≥x n ) 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例2．求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S 例3．求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 三、倒序相加法 如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加发，如等差数列的前n 项和就是此法推导的 例4．求ο ο ο ο ο 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2 2++???+++的值 例4变式训练1：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 例4变式训练2： 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002. 例4变式训练3：在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.
第四节数列求和 一、基础知识批注——理解深一点 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2 －1＝12? ???1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 2＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )
数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习） 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和.
解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f
第四节 数列求和 授课提示：对应学生用书第98页 [基础梳理] 1．等差数列的前n 项和公式 S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1 ＋n （n －1）2 d ． 2．等比数列的前n 项和公式 S n ＝??? na 1，q ＝1， a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. 3．数列求和方法 (1)公式法求和： 使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法． (2)错位相减法： 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的． (3)倒序相加法： 如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的． (4)分组求和法： 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． (5)并项求和法： 一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 1．先看数列通项特点，再想求和方法． 2．常见的拆项公式 (1)若{a n }为各项都不为0的等差数列，公差为d (d ≠0)， 则1a n ·a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1 )； (2)1n （n ＋k ）＝1k (1n －1 n ＋k )； (3)1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n ； (4)log a (1＋1 n )＝log a (n ＋1)－log a n (a ＞0且a ≠1)． 3．一些常见数列的前n 项和公式
数列求和的基本方法和技巧 一、利用常用求和公式求和：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 5.2 1 3)]1(21[+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位）
考点十二 数列求和（裂项及错位） [真题1] (2009山东卷)等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值； （11）当b=2时，记1()4n n n b n N a + += ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . [命题探究] 创新是高考命题的要求,《考试大纲》提出命题要“创设比较新颖的问题情境”，同时，“在知识的交汇点处设计命题”是近年来高考命题的一种趋势。本题将数列的递推关系式以点在函数图像上的方式给出，体现了这种命题理念，也渗透了数列是定义在正整数集上的函数观念。第（2）问中对b 的赋值，旨在使问题变得简捷，也使设置的数列求和问题降低难度，达成“不求在细节上人为地设置障碍，而是在大方向上考查考生的数学能力”的命题指导思想。 [命题探源] 本题在设置等比数列的递推关系时，以点(,)n n S 在函数(0x y b r b =+>的图像上的方式给出，这种命题方式与2008年福建一道文科有相似之处：“已知｛a n ｝是正数组成的数列，a 1=1 1n a +）（n ∈N *）在函数y =x 2+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛b n ｝满足b 1=1,b n +1=b n +2n a ，求证：b n ·b n +2＜b 2 n +1.”本题中增加了对参数r 的求解，因此，如何正确求出r 的值，成为本题的解题思考点，这恰好需要对递推 关系式{ 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -==-≥的正确理解（理角题目的条件：数列{n a }是等比数列，则11S a =满足数列递推式）。第（2）问求数列{}n b 的前n 项和n T ， 所用的方法是错位相减法，也是课本中推导等比数列前n 项和公式时所用的方法。高考复习历来提倡回归课本，理解教材，例题的求解方法、公式的推导方法，都需要我们在回归课本中积累知识，提炼方法，形成能力。 [知识链接] 数列求和的几种常见题型与求解方法 （1）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ① 111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k =-++； ③ )(1 )0(1 n k n k k k n n -+= >++ **④ 2 1 1 1 1 1 1 1 1(1)(1)1k k k k k k k k k - = < < = - ++--. （2）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 设{a n }是等差数列，且公差为d,{b n }是等比数列，且公比为q,记S n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a S ++++++=----1122332211... ① =n qS 1112233221...+-----++++++n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a ② =-n S q )1(+11b a 11232)...(+---+++++n n n n n b a b b b b b d （3）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. （4）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. 《规范解答》 广东省汕头市高三数学复习系列 等差数列、等比数列的性质及应用 新人教A 版 一．课题：等差数列、等比数列的性质及应用 二．教学目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力． 三．教学重点：等差（比）数列的性质的应用． 四．教学过程： （一）主要知识：
数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）
＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ －１，则＝ 题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2 +cn ，则a = ,b = ,c = . 解： 原式= 答案： 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1) 1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和.
数列求和练习1 1. 已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且 a 1=b 1=2,a 4+b 4=27,s 4-b 4=10. (1)求数列与的通项公式; (2)记S n 、T n 分别为数列{a n }{b n }的前n 项和，求S n 、T n 2. 设数列的前项和为,数列的前项和为,满足,.(1)求的值;(2)求数列的通项公式. 3. 设为数列的前项和，，，其中是常数． （1） 求及； （2） 若对于任意的，，，成等比数列，求的值 {}n a n n S {}n b {}n a {}n b {}n a n n S {}n S n n T 22n n T S n =-n ∈ *N 1a {}n a n S {}n a n 2 n S kn n =+*n N ∈k 1a n a *m N ∈m a 2m a 4m a k
4.等比数列中，已知 （1）求数列的通项公式； （2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式 及前项和。 5.已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a {}n a 142,16a a =={}n a 35,a a {}n b {}n b n n S
6.已知数列满足， . （1） 令，证明：是等比数列； (2)求的通项公式。 7.若数列的递推公式为1111 3,2()n n a n a a +==-∈，则求这个数列的通项公式。 8.已知数列{n a }满足2,11≥=n a 时，n n n n a a a a 112--=-，求通项公式n a 。 9.数列{a n }中，a 1=1, a n+1=2a n +2n . {}n a *1 1212,,2 n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝ ＝1n n n b a a +=-{}n b {}n a