课时跟踪检测(三十八) 合情推理与演绎推理
第Ⅰ组：全员必做题
1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．①和②
2．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；
②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；
④“t ≠0，mt ＝xt ?m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ?a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝a
b
”．
以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
3．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝1
4，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1
V 2
＝( )
A.18
B.19
C.164
D.127
4．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )
A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2
B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对?x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数
C ．由圆x 2
＋y 2
＝r 2
的面积S ＝πr 2
，推断：椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πab
D ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 5．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )
13 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31… … …
A ．809
B ．852
C ．786
D ．893
6．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．
7．若{a n }是等差数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有__________________．
8.(2013·湖北高考)在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.
(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________；
(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．
9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝1
2×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边
且等于第三边的1
2
；……
请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．
10．(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
(1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；
(2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
第Ⅱ组：重点选做题 1．观察下列算式： 13＝1， 23＝3＋5， 33＝7＋9＋11， 43＝13＋15＋17＋19， ……
若某数m 3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2 013”这个数，则m ＝________. 2．(2014·东北三校联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝(－1)n ·2a n －2(n ≥3，n ∈N *)，其前n 项和为S n .
(1)a 2n ＋1关于n 的表达式为________；
(2)观察S 1，S 2，S 3，S 4，…S n ，在数列{S n }的前100项中相等的项有________对．
答 案
第Ⅰ组：全员必做题
1．选B 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B. 2．选B ①②正确，③④⑤⑥错误．
3．选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝1
27
.
4．选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2
＝n 2
，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．
5．选A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.
6．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，
可得S 21＋S 22＋S 23＝S 2
4.
答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 2
4
7．解析：设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m －
n p
·b n －
p m ·b p －m
n
＝(b 1q p －
1)m －
n ·(b 1q m －
1)n －
p ·(b 1q n －
1)p
－m
＝b 01·
q 0＝1. 答案：b m －
n p
·b n －
p m ·b p －m
n ＝1
8．解析：(1)由定义知，四边形DEFG 由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有1个，边界上格点有6个，
S 四边形DEFG ＝3.
(2)由待定系数法可得， ?????
1
2＝a ·0＋b ·3＋c ，1＝a ·0＋b ·4＋c ，3＝a ·1＋b ·6＋c ，??????
a ＝1，
b ＝12，
c ＝－1，
当N ＝71，L ＝18时， S ＝1×71＋1
2×18－1＝79.
答案：(1)3,1,6 (2)79
9．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝1
3
×底面积×高；
(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的1
4.
10．解：(1)选择(2)式，计算如下：
sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝3
4.
(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝3
4.
证明如下：
法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－1
2sin 2α
＝34sin 2α＋34cos 2α＝3
4
. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝
1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)
2
－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋1
4cos 2α＋ 34sin 2α－34sin 2α－1
4(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.
第Ⅱ组：重点选做题
1．解析：某数m 3按上述规律展开后，等式右边为m 个连续奇数的和，观察可知每行的最后一个数为1＝12＋0,5＝22＋1,11＝32＋2，19＝42＋3，…，所以第m 行的最后一个数为m 2＋(m －1)．因为当m ＝44时，m 2＋(m －1)＝1 979，当m ＝45时，m 2＋(m －1)＝2 069，所以要使等式右边含有“2 013”这个数，
则m ＝45. 答案：45
2．解析：(1)a 3a 1＝a 5
a 3＝…＝a 2n ＋1a 2n －1
＝－2，又a 1＝1，从而a 2n ＋1＝(－2)n .
(2)由(1)及条件知，数列{a n }为1,2，－2,22，(－2)2,23，(－2)3,24，…，从而可知S 1＝S 3，S 5＝S 7，S 9＝S 11，…，故在{S n }的前100项中相等的项有25对．
答案：(1)a 2n ＋1＝(－2)n (2)25