1
第二章 极限与连续
极限是高等数学中最主要的概念之一，也是研究微积分的重要工具，如导数、定积分、重积分等定义都需要用极限来定义，因此，掌握极限的思想和方法是学好微积分学的基本前提．
第一节 极限的定义
教学目的：1.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。2.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 教学重难点：1.极限的概念和左极限与右极限概念及应用；2.无穷小及无穷小的比较；
本节将在中学学习过的数列的极限的基础上学习函数的极限、极限性质、无穷小的定义及性质、无穷大的定义及其与无穷小的关系．
一、数列的极限
定义 对于数列{}n x ，如果当n 无限增大时)(∞→n ，n x 无限趋近于一个确定的常数A ， 则称A 为数列{}n x 的极限．记作
=∞→n n x lim A 或 A x n →（n ∞→）． 亦称数列{}n x 收敛于A ；如果数列{}n x 没有极限，就称数列{}n x 是发
散的．
数列极限的运算法则为： 如果∞→n lim =n x A , ∞
→n lim =n y B ，那么 法则1 ∞
→n l i m (n x ±n y ) ∞
→=n lim n x ±∞
→n lim =n y A ±B ；
法则2
∞
→n lim (n x n y ) ?=∞
→n n x lim n n y ∞
→lim AB =；
2
法则3 ∞
→n lim lim n n n Cx C x →∞
==CA (C 是常数)；
法则4
∞→n lim B A y x y x n n n n n
n ==∞
→∞
→lim lim ()0≠B ． 以上法则1，法则2可以推广到有限个数列的和与积的情形．
二、函数的极限
1．当∞→x 时，函数)(x f 的极限
定义 如果当x 的绝对值无限增大（即∞→x ）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记为
A x f x =∞
→)(l i m 或 当∞→x 时，A x f →)(． 如图1－5（b ）所示, 函数x
x f 1
)(=当x 的绝对值无限增大时, 函数x
x f 1)(=的图象无限接近于x 轴．也就是，当∞→x 时，)(x f 无限地接近于常数零，即
01
lim
=∞→x
x ． 在上述定义中，自变量x 的绝对值无限增大指的是既取正值无限增大（记为+∞→x ），同时也取负值而绝对值无限增大（记为
-∞→x ）
．但有时自变量的变化趋势只能或只需取这两种变化的一种情形，为此有下面的定义：
定义 如果当+∞→x (或-∞→x )时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当+∞→x (或-∞→x )时的极限，记为
lim ()x f x A →+∞
=或当x →+∞时，()f x A →；
lim ()x f x A →-∞
=或当x →-∞时，()f x A →．
由图1－5（b ）可以看出，01lim
=+∞
→x
x 及01
lim =-∞→x x ，这两个极限与01
lim
=∞→x
x 相等，都是0．
由图1－11（b ）可以看出，2
arctan lim π
=
+∞
→x x ，2
arctan lim π
-
=-∞
→x x ．由
于当+∞→x 和-∞→x 时，函数x y arctan =不是无限趋近于同一个确定
的常数，所以x x arctan lim ∞
→不存在．由上面的讨论，我们得出下面的
3
定理：
定理
A x f x =∞
→)(lim 的充要条件是：
)(lim x f x +∞
→A x f x ==-∞
→)(lim ．
（证明略）
2．当0x x →时，函数)(x f 的极限
定义 设函数()y f x =在点0x 的某个近旁（点0x 本身可以除外）内有定义，如果当x 趋于0x （但0x x ≠）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为
A x f x
x =→)(lim 0
或 当0x x →时，A x f →)(． 例1 考察极限C x
x 0
lim
→ (C 为常数)和x x x 0
lim →． 解 因为当0x x →时，)(x f 的值恒为C ，所以=→)(lim
x f x
x C C x x =→0
lim ．
因为当0x x →时，()x ?x =的值无限接近于0x ，所以
l i m (
)x x x ?→=00
l i m x x x
x =→． 3．当0x x →时，)(x f 的左、右极限
因为0x x →有左右两种趋势，而当x 仅从某一侧趋于0x 时，只需讨论函数的单边趋势，于是有下面的定义：
定义 如果当x 从0x 左侧趋近0x （记为0x x -→）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那末A 称为函数)(x f 当0x x →时的左极限，记为 0
l i m ()x x f x A -→=．
如果当x 从0x 右侧趋近0x （记为0x x +→）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那末A 称为函数)(x f 当0x x →时的右极限，记为 0
l i m ()x x f x A +→=
定理
A x f x x =→)(lim 0
的充要条件是：
lim ()lim ()x x x x f x f x A -+
→→==． （证明略）
例2 讨论函数
10()0
010
x x f x x x x -?
4
当0→x 时的极限．
解 观察图2－1可知：
0lim ()x f x -
→1)1(lim 0
-=-=-
→x x ， 0lim ()x f x +
→1)1(lim 0
=+=+
→x x ． 因此，当0→x 时，)(x f 的左右极限存在但不相等，由定理2知，
极限 )(lim 0
x f x →不存在． 例3 研究当x →0时, x x f =)(的极限． 解 观察图2－2可知：
?
?
?≥<-==00
)(x x x x x x f 由于
)(lim 0x f x -
→0)(lim 0
=-=-
→x x , =+
→)(lim 0x f x 0lim 0
=+
→x x ． 所以当x 0→时，)(x f 的左, 右极限都存在且相等．由定理2
知x →0时, x x f =)(的极限存在，且等于0．
三、无穷小量
实际问题中，常有极限为零的变量．例如，电容器放电时，其电压随着时间的增加而逐渐减小并趋近于零．对于这样的变量，有下面的定义：
1．无穷小量的定义
图2－1
图2－2
5
定义 极限为零的变量称为无穷小量，简称为无穷小．
如果0
l i m ()0x x
x α→=，则变量()x α是0x x →时的无穷小，如果lim ()0x x β→∞
=，则称()x β是x →∞时的无穷小，类似的还有0x x +
→，
0x x -→，x →+∞，x →-∞等情形下的无穷小．
根据定义可知，无穷小是一种变化状态，而不是一个量的大小，无论多么小的一个数都不是无穷小，只有零是唯一的一个可作为无穷小的常数，无穷小是有极限变量中最简单而最重要的一类，在数学史上，很多数学家都致力于“无穷小分析”．
2．无穷小量的性质
定理 有限个无穷小的代数和为无穷小．（证明略）
注意，无穷个无穷小之和未必是无穷小，如n →∞时，
21n ，2
2
n ，2
n n 都是无穷小，但是222212(1)2n n n n n n n +++???+=，当n →∞时2(1)1
22n n n +→，所以不是无穷小．
定理 有界函数与无穷小的积为无穷小． （证明略） 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. （证明略） 推论2 有限个无穷小的积为无穷小．（证明略）
例4 求极限0
1lim
sin x x x
→． 解 因为x 是当0→x 时的无穷小，而x
1sin 是一个有界函数，所
以0
1
lim sin 0x x x
→=． 3．函数极限与无穷小的关系
设A x f x
x =→)(lim 0
，即0x x →时()f x 无限接近于常数A ，有()f x A -就接近于零，即()f x A -是0x x →时的无穷小，若记()()x f x A α=-，于是有
定理3 （极限与无穷小的关系）A x f x
x =→)(lim 0
的充分必要条件是()()f x A x α=+，其中()x α是0x x →的无穷小．
例如
11x x +→当()x →∞时，有11
1x x x
+=+，其中1
x
就是()x →∞时
的无穷小．
四、 无穷大量
6
1．无穷大的定义
定义6 若当0x x →（x →∞）时，函数()f x 的绝对值无限增大，则称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷大.
函数()f x 当0x x →（或x →∞）时为无穷大，它的极限是不存在的，但为了便于描述函数的这种变化趋势，我们也说“函数的极限为无穷大”，并记为
lim ()x x
f x →=∞ 或 lim ()x f x →∞=∞． 例如，当0→x 时，x
1是一个无穷大，又例如， 当x →+∞时，x
e 是一个无穷大．
注意，说一个函数()f x 是无穷大，必须指明自变量x 的变化趋向；无穷大是一个函数，而不是一个绝对值很大的常数．
2．无穷大与无穷小的关系
我们知道，当2x →时，2x -是无穷小，1
2
x -是无穷大；当x →∞时，x 是无穷大，1
x
是无穷小．
一般地，在自变量的同一变化过程中，如果)(x f 为无穷大，则
)(1x f 是无穷小；反之，如果)(x f 为无穷小，且)(x f 0≠，则)
(1x f 是无穷大．
利用这个关系，可以求一些函数的极限．
例5 求极限13
lim
1-+→x x x ． 解 因为
03
1l i m 1=+-→x x x ，由无穷大与无穷小的关系，所以∞=-+→1
3
lim
1
x x x ．
五、无穷小量比较
由无穷小的性质，我们知道两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小．但两个无穷小的商却会出现不同的情况．例如，当0x →时，
x 2、2
x 、x sin 均为无穷小，而02lim 20=→x x x ，∞=→202lim x x x ，1sin lim
0=→x
x x ．两个无穷小之比的极限的不同情况，反映了不同的无穷小趋向于零
的“快慢”程度．
7
一般地，对于两个无穷小之比有下面定义：
定义 设α和β都是同一过程的两个无穷小量，即lim 0α=，lim 0β=，
1．若lim 0α
β
=，则称α是β
的高阶无穷小量；记作()o αβ=，
此时也称β是α的低阶无穷小量．
2．若l
i m 0C α
β=≠，
则称α与β是同阶的无穷小量．记作()O αβ=． 3．若lim 1α
β
=，则称α与β是等价无穷小量．记作βα~．
例16 当1x →时，比较无穷小1x -与31x -的阶．
解 由于 0)1(lim 1=-→x x ，0)1(lim 31
=-→x x ，且 3111lim
x x x --→3
1
11lim 21=++=→x x x ， 所以当1x →时，1x -与31x -是同阶无穷小．
例17 当0→x 时，证明x cos 1-与
2
2
x 等价． 解
由于
)cos 1(lim 0
=-→x x ，
02
lim 20=→x x ，且
=-→2c o s 1lim 20x x x 12
2s i n
2l i m 220=→x x x ．所以，当0→x 时，x cos 1-与22x 为等价无
穷小．
习题训练
1．利用函数图像，观察函数的变化趋势，并写出其极限： （1）2
1lim
x x →∞； （2）lim 2x x →-∞
； （3）
1lim ()10x x →+∞； （4）1
lim(2)x x
→∞+； （5）2
lim(45)x x →-； （6）2
limsin x x π
→． 2．设2,1
()1,1
x x f x x ?≥-=?<-?，作出它的图象，求出当1-→x 时，()f x 的
左极限、右极限，并判断当1-→x 时，()f x 的极限是否存在？
3．设1
()1
x f x x -=-，求(10)f -和 (10)f +，并判断()f x 在1→x 时的
8
极限是否存在？
4．设
21
()1x f x x
-=-，求0lim ()x f x →，1lim ()x f x →． 5．下列函数在自变量怎样变化时是无穷小？无穷大？ （1）3
1
y x = ； （2）2
1
1y x =
+； （3） ln y x =；
（4
）y =
6．求下列函数的极限：
（1） sin lim
x x x →∞； （2）01
lim cos x x x
→； （3） 1lim 1x x x →-； （4）32
222lim (2)x x x x →+-．
第二节 极限的运算
教学目的：1.掌握极限的性质及四则运算法则;2.掌握利用两个重
9
要极限求极限的方法。
教学重难点：1.极限的四则运算法则；2.两个重要极限；
一、函数极限的运算法则
与数列极限类似，函数的极限也有如下四则运算法则： 设0
lim x x →=)(x f A ，0
lim x
x →=)(x g B ，则 法则1 0
lim x x →)]()([x g x f ±)(lim 0
x f x x →=±=→)(lim 0
x g x x A ±B ；
法则2 0
lim x x →)]()([x g x f ?)(l i m 0
x f x x →==→)(lim 0
x g x x A B ；
法则3 =→)(lim 0
x Cf x x CA x f C x x =→)(lim 0
；
法则4
0lim x x →B
A x g x f x g x f x x x x ==→→)(lim )
(lim )()(0
0（)0≠B ． 法则1和法则2可以推广到有限多个函数的情形，上述法则
对于∞→x 时同样成立．
例1 求极限)132(lim 32
+-→x x x ． 解
)132(lim 32
+-→x x x 32
l i m 2x x →=+-→x x 2
l i m
32
l i m 1x →=212323+?-?11=． 由例1可见，若函数()f x 为多项式，则有0
0lim
()()x x
f x f x →=．
例2 求极限2lim →x 1
31
32-+-x x x ． 解 2lim →x =-+-13132x x x 2232
lim(1)lim(31)
x x x x x →→-=+-2
3212321-=+?-313． 由例2可见，若
()
()
f x
g x 为有理分式函数，且0()0g x ≠时，则有0
00()
()lim
()()
x x f x f x g x g x →=
． 例3 求极限3
lim
→x 9
3
2
--x x ．
解 本题分子分母的极限皆为零，但它们有公因式3-x ，则
3lim
→x =--932x x 3lim →x =
-+-)3)(3(3
x x x 3lim →x =+31x 6
1．
例4
求极限1lim -→x (11+x 1
3
3+-x )．
10 解 当1x →-时，11x →∞+，331
x →∞+，故不能直接应用法则1．
因为
-+11x =+133x 1
2
2+--x x x ， 所以 1lim -→x (-+11x 133+x ) 1lim -→=x =+--1
2
2x x x 1-． 例5 求极限∞→x lim 1
31
24423+-+x x x ． 解 分子分母极限均不存在，不能直接运用法则．分子分母同除以4x ，则
∞→x lim =+-+1
3124423x x x 013124lim 4
42=+-+∞→x
x x x x ． 二、两个重要极限
在计算函数极限时，有时需要利用0
sin lim
x x x →和1
lim(1)x x x
→∞+这两个极限．
1．0
sin lim
1x x
x →= 根据sin x
y x
=在
0附近的图形（如图2—3）可以看出，当0
x →时，
sin 1x
x
→．即 0sin lim
1x x
x
→= 一般，若在某极限过程中，0
lim ()0x x
x ?→=，则在该过程中有 0sin ()
lim
1()x x x x ??→= sin x
y x
=
O
图2—3
1
11
我们来求下列函数的极限．
例6 求极限0
lim
→x x
x
2sin ． 解 0l i m →x =x x 2s i n 0l i m →x 2=?x x 22sin 21222sin lim 202=?=→x
x x ． 例7 求极限x
x
x tan lim 0→． 解 0lim
→x =x x tan 0lim →x ?x
x sin =x cos 10lim →x ?x x sin 0lim →x 111cos 1
=?=x ． 例8 求极限0lim →x x
x sin )
sin(sin ． 解 令t x =sin , 则0→x 时，有t 0→，所以
0lim →x =x x sin )sin(sin =→t t t sin lim 01． 例9 求极限0lim →x 2cos 1x
x
-． 解 0lim →x =-2cos 1x x 0lim →x =222sin
2x x 02
lim x →2
sin 1222x x ?? ? ? ???
12=×1221=． 例10 求极限0
lim
→x x
x
2arctan ． 解 令t x =2arctan ，则0→x 时，t 0→且t x tan 2
1
=
， 则 0lim →x =x
x 2arctan ==→→t t
t
t t t tan lim 2tan 2
1lim 002tan 1lim 20=→t t t ． 2．1
lim(1)x x e x
→∞+=． 根据表2—1，我们可以观察x →∞时，1
(1)x
+的变化趋势．
12
表2－1
可以看出，当x →∞时，函数1(1)x
x
+→常数e )7182818.2(≈e ，它是一个无理数，即
1
lim(1)x x e x
→∞+=． 利用代换1y x
=，则当x →∞时，0y →因此有
1
01
lim(1)lim(1)x y x y y e x
→∞→+=+=． 于是得到该极限的另一种常用形式：
10
lim(1)x
x x e →+=．
上述公式可以推广为：
1()
()0
lim [1()]
x x x e ???→+=
我们来求下列函数的极限．
例11 求极限x
x x
)11(lim -∞
→． 解 =-∞→x x x )11(lim
)()11(lim x x x --∞→-+111lim[(1)]x x e x
---→∞=+=-． 例12 求极限2
lim(1)x x x →∞+． 解 先将21x +改写成如下形式：2111,2x x
+=+，再令2x
t =，由于当
x →∞时，t →∞从而
222211
lim(1)lim[(1)][lim(1)]x t t x t t e x t t
→∞→∞→∞+=+=+=． 例13 求极限x
x x 10
)21(lim +→． 解 令x t 2=，当0→x 时，0→t ，所以
x
x x 10
)21(lim +→t
t t 20
)1(lim +=→2
10
])1[(lim t t t +=→2e =．
例14 求极限x
x x
x 2)1(lim +∞
→．
13
解
=+∞
→x x x x 2)1(
lim =+-∞→x x x x 2)1(lim =+-∞→2])11[(lim x x x 22])11(lim [--∞→=+e x
x x ． 例15
求极限1
23lim 21x x x x +→∞+?? ?+??
．
解 因为1
1232lim lim(1).2121x x x x x x x ++→∞→∞+??=+ ?++??
，令221t x =+，则112x t =-，当x →∞时，0t →，从而
1
1
12
23lim lim(1)(1)21x t x t x t t e x +→∞→+??=++= ?+??
．
四、用Matlab 求极限
极限运算是高等数学的基础，Matlab 提供了计算函数极限的命令，对于复杂的函数求极限，用Matlab 计算将既快又准，而且很方便，下面用例题的形式给予演示．
例18
求极限2
23
0tan 3lim
23(sin )x x x x →+
解 在命令窗口中输入：
>> syms x %确定x 为变量，没再次确定的，计算的时候都将视为常量；
>> y=tan(3*x^2)/(2*x^2+3*(sin(x))^3); %确定函数； >> limit(y) %求极限命令． 输出结果ans =
3/2
说明2230tan 33
lim 23(sin )2
x x x x →=
+． 例19 求极限22
111
lim[
]ln (1)
x x x x +
→-- 解 在命令窗口输入： >> syms x
>> y=1/(x*(log(x)^2))-1/(x-1)^2;
14 >> limit(y,x,1,'right') %'right'为右极限． 输出结果
ans =
1/12
说明22
1111
lim[
]ln (1)12
x x x x +
→-=-． 例20 求极限3lim(1)x
x x
→∞
+ 解 在命令窗口中输入： >> syms x >> y=(1+3/x)^x;
>> limit(y,x,inf) %inf 表示无穷大． 输出结果：
ans =
exp(3) % exp （x ）表示x e ．
说明33lim(1)x
x e x
→∞
+=．
习题训练
1．求函数的极限.
（1）2
1lim(234)x x x →---； （2）221
lim 4
x x x →+-； （3）3220325lim 23x x x x
x x
→+-+； （4）233lim 23x x x x →---； （5）311lim(3)x x x →∞--； （6）22321lim 567x x x x x →∞+--+； （7）330()lim t x t x t →+-； （8）lim x x
x x x e e e e
--→+∞+-． 2．求下列函数的极限.
15
（1）0tan 3lim 2x x x
→； （2）0sin lim cos x nx
mx
→； （3）0tan 3lim sin 2x x
x
→；
（4）0sin lim x arc x
x
→； （5）01cos 2lim sin x x
x x
→-； （6）0
lim
cot x x x →； （7）2
lim(1)x x x
→∞-； （8）10
lim(1
3)x
x x →+； （9）2
2lim(
)1
x x x x +→∞++； （10）10
lim(1)x
x kx →-（k 为正整数）．
3．当0x →时，22x x -与23x x -相比，哪一个是高阶无穷小？ 4．当1x →时，无穷小1x -和)1(2
1
2x -是否同阶？是否等价？ 5．证明当x 0→时,24-+x 与39-+x 是同阶无穷小量．
6．用Matlab 求下列极限
（1）311
3lim 11x x x x →??- ?--??； （2）x
x x x 21lim ?
?
?
??+∞→；
（3）1
1lim 341--→x x x ；
（4）x
x x 1
1lim 20--→； （5）()
11lim 22--+∞
→x x x ；
（6）3
02sin )cos 1(lim
x x
x x -→；
（7）x
x x x ?
?
?
??+-∞→1212lim ．
*第三节 函数的连续性
教学目的：1.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。2.了解连续函数的性质和初等函数的连续
16
图2－4
性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重难点：1.函数连续性及初等函数的连续性；2.区间上连续函数的性质;3.间断点及其分类；
自然界中有许多现象，如气温的变化，河水的流动，植物的生长等，都是连续的变化着的.这些现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性．
一、函数的增量
如果函数)(x f y =在点0x 及其近旁有定义，当自变量x 从0x 变到x x ?+0时，函数y 相应地从)(0x f 变到)(0x x f ?+，此时称)(0x x f ?+与)(0x f 的差为函数的增量，记为y ?，即
y ?-?+=)(0x x f )(0x f ．
例1 设函数32)(2-+=x x x f ，求函数当x 由2变到2＋x ?的增量． 解 y ?]3222[]3)2(2)2[()2()2(22-?+--?++?+=-?+=x x f x f
2)(6x x ?+?=．
二、函数的连续性
1．函数)(x f y =在0x 点的连续性
现在从函数的图象来考察在给定点0x 处及其左、右近旁函数的变化情况，如图2－4所示，曲线在点0x 处
没有断开，即当0x 保持不变，让x ?趋近零时，
曲线上的点N 沿曲线趋近于M ，这时y ?趋近于0．下面我们给出函数在点0x 处连续的定
义：
定义 1 设函数)(x f y =在点0x 处及其左、右近旁有定义，如果当自变量x 在0x 处
的增量0x x x -=?趋于零时，函数的增量)()(00x f x x f y -?+=?也趋于零，即
0lim 0
=?→?y x ． 则称函数)(x f y =
在点0x 处连续．
17
例2 证明函数122+=x y 在给定点2=x 处连续．
证 当自变量x 在2=x 处取得增量x ?时, 函数122+=x y 的相应的增量为
=+?-+?+=-?+=?)122(]1)2(2[)2()2(22x f x f y 2)(28x x ?+?．
因为
=?→?y x 0lim 0lim →?x [2)(28x x ?+?]0=． 所以函数122+=x y 在给定点2=x 处连续．
在上面定义1中，若把x ?改写为0x x -，则x x x ?+=0，于是
)()(00x f x x f y -?+=?)()(0x f x f -=，
当0x ?→，就是0x x →，0y ?→，就是0()()f x f x
→，因此在点0x 处函数连续的定义又可以叙述为： 定义 2 设函数()y f x =在点0x 处及左右
近旁有定义，若当0x x →时，()f x
且等于它在0x 处的函数值．即0
0lim ()()x x
f x f x →=，则称函数在0x 处连续．
例3作函数1,1
(),1
x f x x x ≤?=?
>?的图象，并讨论函数()f x 在点1x =处的连续性．
解 数在(,)-∞+∞内有定义，()f x 图象如图2－5所示，因为
=-
→)(lim 1x f x 11lim 1=-
→x ，=+
→)(lim 1x f x 1lim 1
=+
→x x ． 于是有1
lim
()1x f x →=，又(1)1f =，所以函数()f x 在点1x =处连续． 2．函数)(x f y =在区间],[b a 上的连续性
定义3 若函数()f x 在区间),(b a 内的每一点都是连续的，则称函数()f x 在区间),(b a 内连续，区间),(b a 称为函数()y f x =的连续区间．
下面先给出函数在一点左连续与右连续的概念．
设函数)(x f 在区间],(b a 内有定义，如果左极限)(lim x f b
x -
→存在且等于)(b f ，即
=-
→)(lim x f b x )(b f ，
那么称函数)(x f 在点b 左连续．
图2－5
18
设函数)(x f 在区间),[b a 内有定义，如果右极限)(lim
x f a
x +
→存在且等
于)(a f ，即
=+
→)(lim x f a x )(a f ，
那么称函数)(x f 在点a 右连续．
定义4 如果)(x f 在],[b a 上有定义，在),(b a 内连续，且)(x f 在右端点b 左连续，在左端点a 右连续，即=-
→)(l i m x f b x )(b f ，
=+
→)(lim x f a x )(a f ．那么就称函数)(x f 在],[b a 上连续．
连续函数的图象是一条连绵不断的曲线. 三、函数的间断点
如果函数)(x f 在点0x 处有下列三种情形之一： （1）在0x x =没有定义；
（2）虽在0x x =有定义，但)(lim 0
x f x
x →不存在； （3）虽在0x x =有定义，且)(lim
x f x
x →存在，但)(lim 0
x f x x →)(0x f ≠．
那么称函数)(x f 在点0x 为不连续，而点0x 称为函数)(x f 的不连续点或间断点．
例4 求函数1
1
)(2--=x x x f 的间断点．
解 由于函数)(x f 在1=x 处没有定义，故1=x 是函数的一个间
断点，如图2－6示．
例5 求函数
11
()0
111
x x f x x x x +>??==??-
的间断点． 解 分界点1=x 虽在函数的定义域内，但
=+
→)(lim 1x f x 2)1(lim 1=++
→x x , =-
→)(lim 1
x f x 0)1(lim 1=--
→x x ，
则极限)(lim
1
x f x →不存在，故1=x 是函数的一个间断点，如图2－7所示．
例6 求函数?
?
?=≠+=101
1)(x x x x f 的间断点．
解 函数)(x f 在点1=x 处有定义，且=→)(lim 1x f x 2)1(lim 1
=+→x x ，但是0)1(=f ，故)1()(lim 1
f x f x ≠→，所以1=x 是函数)(x f 的一个间断点，如图
19
2－8所示．
间断点通常可分为两类：如果0x 是)(x f 的间断点，但左、右极限都存在，那么0x 称为函数)(x f 的第一类间断点，例4、例5、例6中的间断点都是第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．例如1x =-是函数1
1
y x =
+的第二类间断点，0=x 是函数x
y 1
cos 2
=的第二类间断点． 四、初等函数的连续性
利用函数连续性定义，可以得
定理 设函数()f x 和()g x 在点0x 处连续，则函数
)()(x g x f ±，)()(x g x f ?，
()
()
f x
g x 0(()0)g x ≠ 在点0x 处连续．（证明略）
定理 设函数()u x ?=在点0x 处连续，00()x u ?=，函数()y f u =在点0u 处连续，则复合函数[()]y f x ?=在点0x 处连续（证明略）．
可知一切基本初等函数在其有定义的区域内都是连续的，由初等函数的定义和上面的定理可知：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
这个结论很重要，因为今后讨论的主要是初等函数，而初等函数的连续区间就是它有定义的区间．
若函数()f x 是初等函数，且0x 为其定义区间内的点，则()f x 在
点0x 处连续，即有0
0lim ()()x x
f x f x →=．因此求初等函数()f x ，当0x x →的
20 极限时，只需计算)(0x f 的值就可以了．
由于函数()f x 在0x 处连续，有
0lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→==．
说明函数()f x 在点0x 处连续的前提下，极限符号0
lim x x
→与函数符号f 可以交换运算顺序，这一结论给我们求函数的极限带来很大方便．
例7 求下列极限：
(1)
lim ln cos x x →；
(2) 2
ln(1cos )
lim sin x x x
π
→
+． 解 (1) 因为
l n c o s y x =是初等函数，其的定义域为
(2,2),,22k k k Z π
πππ-
+∈而0(,)22
ππ
∈-，所以
lim ln cos ln cos 0ln10x x →===．
（2）因为
l n (1c o s )
()sin x f x x
+=
是初等函数，其定义域为：(21),x k k Z π≠+∈，所以
2
ln(1cos )
ln(1cos )2lim 0sin sin 2
x x x ππ
π→
++==． 五、闭区间上连续函数的性质
下面介绍闭区间上连续函数的两个重要性质．
定理 （最大值和最小值定理）如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则它在这个区间上一定有最大值与最小值．
这就是说，如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，如图2－9所示，那么在],[b a 上至少有一点a (1ξ≤1ξ≤)b ，使得)(1ξf 为最大，即 )(1ξf ≥a x f ()(≤x ≤)b ；
又至少有一点a (2ξ≤2ξ≤)b ，使得)(2ξf 为最小，即 )(2ξf ≤a x f ()(≤x ≤)b ．
定理 （介值定理） 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 A a f =)( 与 B b f =)(，如图2－10所示，那么不论C 是A 与B 之间的怎样一个数，在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得()()f C a b ξξ=<<．（证明略）
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
实验二：极限与连续 第一题：数列极限 In[1]= f[n_]:=Sum[1/j^3,{j,1,n}]; xn=Table[N[f[n],10],{n,30}] Out[1]= {1.000000000,1.125000000,1.162037037,1.177662037,1.185662037,1.190291667,1. 193207119,1.195160244,1.196531986,1.197531986,1.198283300,1.198862004,1.199 317170,1.199681602,1.199977898,1.200222039,1.200425580,1.200597048,1.200742 842,1.200867842,1.200975822,1.201069736,1.201151926,1.201224264,1.201288264 ,1.201345159,1.201395965,1.201441518,1.201482521,1.201519558} In[2]=ListPlot[xn,PlotStyle→PointSize[0.02]] 第二题：递归数列 In[3]=Clear[f]; f[1]=1; f[n_]:=f[n]=N[(f[n-1]+3/f[n-1])/2,20]; fn=Table[f[n],{n,30}]
Out[3]= {1,2.00,1.00,1.29,1.05,1.53,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.3 5,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35} In[4]=ListPlot[fn,PlotStyle→PointSize[0.02]] Out[4]= Graphics 第三题：多次自复合 In[5]= Plot[{Sin[x],Nest[Sin,x,5],Nest[Sin,x,10],Nest[Sin,x,30]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle→{R GBColor[0,0,1],RGBColor[1,1,0],RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0]}] Out[5]=
第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤
天水师范学院数学与统计学院 实验报告 实验项目名称极限与连续 所属课程名称数学实验 实验类型上机操作 实验日期 2013-3-22 班级 10数应2班 学号 291010836 姓名吴保石 成绩
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 1．数列极限的概念 通过计算与作图，加深对极限概念的理解． 例2.1 考虑极限3321 lim 51 x n n →∞++ Print[n ，" "，Ai ，" "，0.4－Ai]； For[i=1，i 15，i++，Aii=N[(2i^3+1)/(5i^3+1)，10]； Bii=0.4－Aii ；Print[i ，" "，Aii ，" "，Bii]] 输出为数表 输入 fn=Table[(2n^3+1)/(5n^3+1)，{n ，15}]； ListPlot[fn ，PlotStyle {PointSize[0.02]}] 观察所得散点图，表示数列的点逐渐接近直线y=0 .4 2．递归数列 例2.2 设n n x x x +==+2,211．从初值21=x 出发，可以将数列一项项地计算出来，这样定义的数列称为 数列，输入 f[1]=N[Sqrt[2]，20]； f[n_]:=N[Sqrt[2+f[n-1]]，20]； f[9] 则已经定义了该数列，输入 fn=Table[f[n]，{n ，20}] 得到这个数列的前20项的近似值．再输入 ListPlot[fn ，PlotStyle {PointSize[0.02]}] 得散点图，观察此图，表示数列的点越来越接近直线2y =
例2.3 考虑函数arctan y x =，输入 Plot[ArcTan[x]，{x ，-50，50}] 观察函数值的变化趋势．分别输入 Limit[ArcTan[x]，x Infinity ，Direction +1] Limit[ArcTan[x]，x Infinity ，Direction -1] 输出分别为2 π 和2π-，分别输入 Limit[sign[x]，x 0，Direction +1] Limit[Sign[x]，x 0，Direction －1] 输出分别为-1和1 4．两个重要极限 例2．4 考虑第一个重要极限x x x sin lim 0→ ，输入 Plot[Sin[x]/x ，{x ，－Pi ，Pi}] 观察函数值的变化趋势．输入 Limit[Sin[x]/x ，x 0] 输出为1，结论与图形一致． 例2．5 考虑第二个重要极限1 lim(1)x x x →∞+，输入 Limit[(1+1/n)^n ，n Infinity] 输出为e ．再输入 Plot[(1+1/n)^n ，{n ，1，100}] 观察函数的单调性 5．无穷大 例2．6 考虑无穷大，分别输人 Plot[(1+2x)/(1-x)，{x ，-3，4}] Plot[x^3-x ，{x ，-20，20}] 观察函数值的变化趋势．输入 Limit[(1+2x)/(1-x)，x 1] 输出为-∞ 例2．7 考虑单侧无穷大，分别输人 Plot[E^(1/x)，{x ，-20，20}，PlotRange {-1，4}] Limit[E^(1/x)，x 0，Direction +1] Limit[E^(1/x)，x 0，Direction -1] 输出为图2.8和左极限0，右极限∞．再输入 Limit[E^(1/x)，x 0] 观察函数值的变化趋势． 例2．8 输入 Plot[x+4*Sin[x]，{x ，0，20Pi}] 观察函数值的变化趋势． 输出为图2 .9．观察函数值的变化趋势，当x →∞时，这个函数是无穷大，但是，它并不是单调增加．于是，无并不要求函数单调 例2．9 输入
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ? ??∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1 (y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1 )=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x
考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限
极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。
第二章 极限与连续 基础练习题（作业） §2.1 数列的极限 一、观察并写出下列数列的极限： 1．468 2, ,,357 极限为1 2．1111 1,,,,,2345 --极限为0 3．21 2212?-??=?+???n n n n n n a n 为奇数为偶数极限为1 §2.2 函数的极限 一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞ x x e 极限为零 2．2 lim tan x x π → 无极限 3．lim arctan →-∞ x x 极限为2 π- 4．0 lim ln x x + → 无极限，趋于-∞ 二、设2 221, 1()3,121,2x x f x x x x x x +??=-+? ，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？ 2 1 1 lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11 lim ()lim(21)3x x f x x -- →→=+= 22 2 lim ()lim(1)3x x f x x ++ →→=-=；222 lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2 lim ()x f x →∴不存在。 三、设()1 11x f x e = +，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在．
lim ()x f x →∴不存在。 四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在 §2.3 无穷小量与无穷大量 一、判断对错并说明理由： 1．1 sin x x 是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当 0x →时，1sin 0x x →；当1x →时，1 sin sin1x x →不是无穷小量。 2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量． 对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。 3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量． 对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。 二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量： 1． 22 1 x x +-， 2x →-时，或x →∞时，为无穷小量； 1x →时，或1x →-时，为无穷大量。 2．1ln tan x , k Z ∈ ()2x k ππ-→+时，tan x →+∞，则ln tan x →+∞，从而+1 0ln tan x →为无穷小量； x k π+→时，tan 0x +→，则ln tan x →-∞，从而1 0ln tan x -→为无穷小量； 4x k ππ→+时，tan 1x →，则ln tan 0x →，从而1 ln tan x →∞为无穷大量； 三、当0+ →x 时，2 x ，阶的无穷小量分别是谁？ 2 00lim lim 01x x x ++→→==，所以当0+→x 时，2x 22 300lim lim 0 1 x x x x ++→→==，所以当0+→x 时，2x 的高阶无穷小量。
第二章 极限与连续 一、教学要求 1.了解极限概念，了解无穷小量的定义与基本性质，掌握求极限的方法. 2.了解函数连续性的概念，掌握函数连续性的性质及运算. 重点：极限的计算，函数连续性的性质及运算。 难点：极限、连续的概念。 二、课程内容导读 1. 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。 例1 求下列极限： （1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =21613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即
x x x 10)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 （4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即 222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。 （5） 利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+? 2. 知道一些与极限有关的概念 (1) 知道数列极限、函数极限、左右极限的概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等； (2) 了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质； (3) 了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点； 例2 填空、选择题 (1) 下列变量中，是无穷小量的为（ ） A. )0(1ln +→x x B. )1(ln →x x C. )0(e 1 →-x x D. )2(422→--x x x 解 选项A 中：因为 +→0x 时， +∞→x 1，故 +∞→x 1ln ，x 1ln 不是无穷小量； 选项B 中：因为1→x 时，0ln →x ，故x ln 是无穷小量； 选项C 中：因为 +→0x 时，-∞→-x 1，故0e 1 →-x ；但是-→0x 时，x 1- +∞→，故+∞→-x 1 e ，因此x 1 e -当0→x 时不是无穷小量。 选项D 中：因为21422+=--x x x ，故当2→x 时，41422→--x x ，4 22--x x 不是无穷小量。 因此正确的选项是B 。 （2） 下列极限计算正确的是（ ）。 A.=→x x x 1sin lim 001sin lim lim 00=→→x x x x
习题2-1 1. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1 n n x n = + ; (2) 2(1)n n x =--； (3) 13(1)n n x n =+-； (4) 211n x n =-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451 n n x x x x x n =====+L L 所以lim 1n n x →∞=。 (2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--L L 所以原数列极限不存在。 (3) 1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+-L L 所以lim 3n n x →∞ =。 (4) 123421111 11,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-= -=-=-=-L L 所以lim 1n n x →∞=- 2.下列说法是否正确： (1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散； (4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。 (2) 错误 例如数列{} (-1)n 有界，但它不收敛。 (3) 正确。 (4) 错误 例如数列21(1) n n x n ?? =+-??? ? 极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。 *3.用数列极限的精确定义证明下列极限： (1) 1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=; (2) 22 2 lim 11 n n n n →∞-=++； (3) 3 2 3125lim -=-+∞→n n n 证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--= -=<，只要1 n ε >即可，所以可取正整数1 N ε ≥ . 因此，0ε?>，1N ε?? ?=???? ，当n N >时，总有 1(1)1n n n ε-+--<，所以
多元函数的极限与连续习题 1. 用极限定义证明:14)23(lim 1 2=+→→y x y x 。 2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 （1）y x y x y x f +-=),(； (2) y x y x y x f 1s i n 1s i n )(),(+=； (3) y x y x y x f ++=23 3),(； (4) x y y x f 1 s i n ),(=。 3. 求极限 （1）2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→； （2）1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x ； （3）2 20 01 sin )(lim y x y x y x ++→→； （4）22220 0) sin(lim y x y x y x ++→→。 4. 试证明函数?? ???=≠+=0 0)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上是连续的。
1. 用极限定义证明:14)23(lim 2 1 2=+→→y x y x 。 因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2 2 -+-=-+y x y x |1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+-
第二章 极限与连续 本章教学内容 本章介绍了数列极限与函数极限的概念、基本知识和基本理论以及函数连续性的基本知识． 微积分是一门以变量（函数等）作为研究对象、以极限方法作为基本研究手段的数学学科，无论是微分学、积分学、还是无穷级数问题都需以极限为工具进行研究，整个微积分学就是建立在极限论的基础之上的． 连续性是函数的一个重要的分析性质，本章运用极限引入函数连续性的概念． 在微积分学中讨论的函数，主要是连续型的函数，它有许多良好的性质，它是本课程的主要研究对象． 教学思路 1． 学习微积分的一个直接的重要的目的是掌握研究函数的微观性态和宏观性态的方法．这一点无论对学术研究能力的培养还是对研究生入学应试，都是非常重要的．当然，学习微积分的目的还有其更重要的另外一面，那就是培养和训练思维与思考问题的模式，掌握学习未知世界的方法与技巧，不管你将来是否从事数学及其相关学科，如能达到上述境界，则必会长期受益． 2．极限的思想、概念与方法是分析数学问题的基本工具和语言．数列极限和函数极限都是高等数学重要的基础，但相对而言，前者是训练和培养极限思维模式的基础．对数列极限的有关概念和方法，站到较高台阶上去思考，将有助于全部微积分内容的学习．因此，极限的基本概念要讲透，使学生能接受并理解其深刻的内涵．要使学生会熟练地求极限．可让学生适当地多做一些练习题． 3．用“N -ε”、“δε-”语言定义极限不能省略，不要求学生会做有关的习题，但要领会，以便理解有关的定理的证明． 4．函数的连续性作为承上（极限理论与方法）启下（微分、积分概念）的重要环节，它是用极限等工具研究函数局部性质与整体性质的开始．函数在一点处连续的概念描述了函数的局部性质，而在一个区间上的连续性则描述了一个函
第一章 极限论 极限可以说是整个高等数学的核心，贯穿高等数学学习的始终。因为有关函数的可积、连续。可导等性质都是用极限来定义的。毫不夸张地说，所谓高数，就是极限。衡量一个人高等数学的水平只需看他对极限的认识水平，对极限认识深刻，有利于高等数学的学习，本章将介绍数列的极限、函数的极限以及极限的求解。重点是求极限。 ??????? ?? ?? ?? 极限的定义数列极限极限的性质 函数极限的定义函数极限函数极限的性质 一、求极限的方法 1.利用单调有界原理 单调有界原理：若数列具有单调性、且有有界性，也即单调递增有上界、单调递减有下界，则该数列的极限一定存在。可以说，整个高等数学是从该结论出发来建立体系的。 利用该定理一般分两步：1、证明极限存在。2、求极限。 说明：对于这类问题，题中均给出了数列的第n 项和第1n +项的关系式，首先用归纳法或作差法或作商法等证明单调性，再证明其有界性（或先证有界、再证单调性），由单调有界得出极限的存在性，在最终取极限。 例1设0110,0,()0,1,2n n n a a x x x n x +>>=+=，…证{}n x 的极限存在，并求其极限。 分析：本题给出的是数列前后两项的关系，所以应该用单调有界原理求解。 解：由基本不等式，11()2n n n a x x x +=+≥n x 有下界；下面证单 调性，可知当2n ≥时，有2 111 ()()22n n n n n n n x a x x x x x x +=+≤+=，则n x 单调递减。综 合可得，则n x 单调递减有下界，所以lim n n x →∞ 存在；令lim n n x A →∞ = ，带入等式解得 A 评注：对于该题，再证明有界性的过程中用到基本不等式；特别是在证明单调性
第一章函数、极限、连续 习题一 一．选择题 1．下列各组中的函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是（） A.f(x)=x,g(x)=x2 B.f(x)=2lgx,g(x)=lgx2 x,g(x)=x2 C.f(x)=x D.f(x)=x,g(x)=-x 2.函数y=4-x+sinx的定义域是( ) A.[0,1] B.[0,1)(1,4] C.[0,+∞) D.[0,4] 3.下列函数中,定义域为(-∞,+∞)的有( ) A.y=x-132 3 B.y=x2 C. y=x3 D.y=x-2 4.函数y=x2-1单调增且有界的区间是( ) A. [-1,1] B. [0,+∞) C. [1,+∞) D. [1,2] 5.设y=f(x)=1+logx+3 2,则y=f-(x)=( ) A.2x+3 B. 2x-1-3 C. 2x+1-3 D. 2x-1+3 6.设f(x)=ax7+bx3+cx-1,其中a,b,c是常数,若f(-2)=2，则f(2)=( A.-4 B.-2 C.-3 D.6 二．填空题 1．f(x)=3-x x+2的定义域是 2．设f(x)的定义域是[0,3]，则f(lnx)的定义域是。 3．设f(2x)=x+1，且f(a)=4，则a= 。 4．设f(x+11 x)=x2+x2，则f(x) 5．y=arcsin1-x 2的反函数是。 6．函数y=cos2πx-sin2πx的周期T。 ) ?π?sinx,x<17．设f(x)=?则f(-)=。 4??0,x≥1 2??1,x≤12-x,x≤1??8．设f(x)=?，g(x)=?，当x>1时，g[f(x)]= 。 x>1x>1???0?29．设f(x)=ax3-bsinx，若f(-3)=3，则f(3)=。 10．设f(x)=2x，g(x)=x2，则f[g(x)]=。 三.求下列极限 x3-1x2-91.lim2 2.lim x→1x-1x→3x-3 3.limx→52x-1-3+2x2-1 4. lim x→0xx-5 x2-3x+2x+2-35.lim 6. lim3x→1x→1x-xx+1-2 7.limx→1x+4-2-x-+x 8. lim2x→0sin3xx-1
高等数学习题集 第一章 函数极限与连续 一.选择题 1．若函数)(x f 的定义域为[0,1]，则函数)(ln x f 的定义域是（ B ）。 A [0,1] B [1,e] C [0,e] D (1,e) 2．设x x f 11)(+=，则)]([x f f =（ A ）。(2002-03电大试题) A.x x ++11 B.x x +1 C.x ++111 D.x +11。 3．设)(x f =e 2x ，则函数)()()(x f x f x F -+=是（ B ）。 A 奇函数； B 偶函数； C 既是奇函数又是偶函数； D 非奇非偶函数。 4．下列说法错误的是（ D ）。 A y=2x 与y=|x|表示同一函数； B x x f 3sin 2 1)(=是有界函数； C x x x f +=cos )(不是周期函数； D 12+=x y 在(－∞,＋∞)内是单调函数。 5．下列函数中非奇非偶的函数是（ D ）。 A ||lg )(x x f =； B 2 )(x x e e x f --=； C x x x f sin )(+=； D ||)(x x x f -=。 6．下列函数中（ A ）是基本初等函数。 A x x f 2=)(； B x x f 2=)(； C 2)(+=x x f ； D x x x f +=2)(。 7．函数（ A ）是初等函数： A x x y arccos 12 -=； B ?????=≠--=.1,0,1,112x x x x y C x x y ln )ln(-=； D +++++=+12421n y 8．“数列{x n }的极限存在”是“数列{x n }有界”的（ A ）。 A 充分但非必要条件； B 必要但非充分条件； C 充分必要条件； D 既非充分亦非必要条件。 9．∞ →x lim 5x 的值是（ D ）。 A +∞； B -∞； C 0； D 不存在。 10．+∞ →x lim e -x 的值是（ A ）。 A 0； B +∞； C 1； D 不存在。 11．A x f x x =-→)(lim 0，A x f x x =+0 →)(lim ，则下列说法中正确的是（ B ）。
函数、极限与连续 复习题 一.填空题: 1. 函数1 1ln +-=x x y 的奇偶性是奇函数. 2. 设1 2)11(-=-x x x f ，则=)(x f 11x -. 3. 函数x e y -=1的复合过程是,1u y e u x ==-. 4. 函数y =sin ,12y u u v x ===+. 5. 设)(x f 的定义域是[0,1] , 则函数y=)(ln x f 的定义域[1,]e 6. =∞→x x x sin lim 0 . 7. =-∞→n n n )11(lim 1e - 8. 5 432lim 42-+-∞→n n n n =0 9. 设43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k =___-3_. 10. 设b ax x x x f ++-+=1 34)(2，0)(lim =∞→x f x ，则=a __-4_，=b __-4. 11. 设0→x 时，b ax 与x x sin tan -为等价无穷小，则=a __ 12__，=b __3__. 12. 函数3 212--= x x y 的间断点有x=-1,x=3 连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞. 二、选择题 1、ln(1) y x =+ A ） A 、（—1，+∞） B 、]1,1(- C 、（—1，1） D 、（1，+∞） 2、当0→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） A 、x 1sin B 、x 1cos C 、x e 1 D 、)1ln(2x +
3、A x f x x =→)(lim 0 （A 为常数），则)(x f 在0x 处（ D ） A 、一定有定义 B 、一定无定义 C 、有定义且A x f =)(0 D 、不一定有定义 4、设???≥+<=0 ,20,)(2x a x x e x f x 当时；当在点0=x 连续，则a 的值等于（D ） A 、0 B 、1 C 、—1 D 、 2 1 5、函数)(x f =32-x ，则x=3是函数)(x f 的（D ） A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、无穷间断点 6、)(x f 在0x 处左、右极限存在是)(x f 在0x 处连续的（ B ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、以上都不是 三.求下列极限: 1. )1(lim 2x x x x -++∞ → 解：)1(lim 2x x x x -++∞→ =lim x lim x = lim x =12 2. 30 tan sin lim x x x x →- 解：30tan sin lim x x x x →-=32 00sin (1cos )sin 11cos lim lim()cos cos x x x x x x x x x x x →→--= =201cos lim x x x →-=2 202lim x x x →=12 3. x x x x ?? ? ??+-∞→11lim 解：x x x x ??? ??+-∞→11lim =11lim 11x x x x →∞??- ? ? ?+??=1 e e -=2e - 4. x x x x x 3sin 2sin lim 0-+→
第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系 式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极 限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a M. 集合的表示:
列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A ={a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A ={a 1, a 2, ? ? ?, a n }, M ={x | x 具有性质P }. 例如M ={(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N ={0, 1, 2, ???, n , ???}. N +={1, 2, ?? ?, n , ???}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={???, -n , ???, -2, -1, 0, 1, 2, ???, n , ???}. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x ∈A , 则必有x ∈B , 则称A 是B 的子集, 记为A ?B (读作A 包含于B )或B ?A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A ?B 且B ?A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B . 若A ?B 且A ≠B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R . 不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 或x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 且x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B ={x |x ∈A 且x ?B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A ?B =B ?A , A ?B =B ?A ; (2)结合律 (A ?B )?C =A ?(B ?C ), (A ?B )?C =A ?(B ?C ); (3)分配律 (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ), (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ); (4)对偶律 (A ?B )C =A C ?B C , (A ?B )C =A C ?B C .
实验2 极限与连续（基础实验） 实验目的 通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用 Mathematica 画散点图, 以及计算极限的方法. 深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形 特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质. 基本命令 1.画散点图的命令ListPlot: ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…{xn,yn}},选项] 或者 ListPlot[{y1,y2,…yn},选项] 前一形式的命令,在坐标平面上绘制点列),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 的散点图;后一形式的命令, 默认自变量i x 依次取正整数,,,2,1n 作出点列为),(,),,2(),,1(21n y n y y 的散点图. 命令ListPlot 的选项主要有两个: (1) PlotJoined->True, 要求用折线将散点连接起来; (2) PlotStyle->PointSize[0.02], 表示散点的大小. 2.求极限的命令Limit: 其基本格式为 Limit[f[x],x->a] 其中f(x)是数列或者函数的表达式, x->a 是自变量的变化趋势。 如果自变量趋向于无穷, 用 x->Infinity. 对于单侧极限, 通过命令Limit 的选项Direction 表示自变量的变化方向. 求右极限, 0+→a x 时, 用Limit[f[x],x->a,Direction->-1]; 求左极限, 0-→a x 时, 用Limit[f[x],x->a,Direction->+1]; 求+∞→x 时的极限, 用Limit[f[x],x->Infinity,Direction->+1];