函数的单调性重难点分析
《函数的单调性》内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学. 这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系. 重点：理解函数单调性的概念明确概念的内涵，用定义证明函数的单调性。 难点：求函数的单调区间，及其证明过程. 这一节课是概念课，重点在于理解函数单调性的概念并用概念解决问题。因而对于概念的深度剖析就非常重要，概念的本质属性以及引入这一概念的作用都将帮助学生理解概念。因而再给出概念前要做好铺垫工作，即根据函数图象观察走势再进行数学的严格刻画。由于该概念是根据函数图象性质而来，因此数形结合的思想方法就显得格外重要。在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。学生在学习过程中应动手操作，积极参与到教学活动中，注意概念的本质属性理解概念的内涵，积极思考善于观察。
数模-零件的参数设计
零件的参数设计 摘要： 本题目对零件的参数这一问题，综合考虑重新设计零件的参数（包括标定值和容差），并与原设计进行比较，得出最优化的数学模型，并对模型进行求解，最后用计算机模拟对模型的最优解进行检验。由题意知粒子分离器的参数y 由零件参数1234567,,,,,,x x x x x x x 的参数决定，参数i x 的容差等级决定了产品的成本，y 偏离0y 的值决定了产品的损失，问题就是寻找零件的最优标定值和最优等级搭配，使得批量生产时的总费用最少。 一、 问题的重述： 一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括 标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的３倍。 进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。 试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。 粒子分离器某参数（记作y ）由7个零件的参数（记作x 1,x 2,...,x 7）决定，经验公式为： 7616 .1242 3 56 .02485.01235136.0162.2142.174x x x x x x x x x x x Y ??? ? ????? ? ????? ??? ??--???? ? ??-????? ???=- y 的目标值（记作0y ）为1.50。当y 偏离0y ±0.1时，产品为次品，质量损失为1,000元；当y 偏离0y ±0.3时，产品为废品，损失为9,000元。 零件参数的标定值有一定的容许范围；容差分为Ａ、Ｂ、Ｃ三个等级，用与标定值的相对值表示，Ａ等为±1%，Ｂ等为±5%，Ｃ等为±10%。7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号／表示无此等级零件）：
1函数的单调性(教师版)
函数的单调性 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 通过已学过的函数模型，特别是二次函数，理解函数的单调性； 2、 掌握单调性的判断方法，并能简单应用； 一、函数单调性的定义 1、图形描述： 对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递减函数。 2、定量描述 对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ， （1）若当1x <2x 时，都有1()f x <)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是增函数； （2）若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是减函数。 3、单调性与单调区间 若函数y =)(x f 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 特别提醒： 1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2 x y =（图1），当[)0,x ∈+∞时是增函数，当(] ,0 x ∈-∞时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的。2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、21,x x 应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。 二、用定义证明函数的单调性： 定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是： 1、取量定大小：即设21,x x 是区间上的任意两个实数，且1x <2x ； 2、作差定符号：即()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形； 3、判断定结论： 即根据定义得出结论。
数学建模竞赛-零件参数设计
零件参数设计 例8.5 (零件参数设计) 一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3 倍。 粒子分离器某参数(记作y )由7个零件的参数(记作7 2 1 ,,,x x x ?)决定, 经验公式为 7 616 .1242 356 .024 85.012 35136.0162.2142.174x x x x x x x x x x x y ??? ? ????? ???????? ? ??--????? ??-???? ??=- 当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大。y 的目标值(记作0 y )为1.50.当 y 偏离1.00 ±y 时, 产品为次品, 质量损失为1000(元); 当y 偏离3 .00 ±y 时,产品为废品,损失为9000(元). 问题是要求对于给定的零件参数标定值和容差，计算产品的损失，从而在此基础上进行零件参数最优化设计。 表8.2给定引例中某设计方案7个零件参数标定值及容差。 容差分为A ﹑B ﹑C 三个等级, 用与标定值的相对值表示, A 等为%1±, B 等为%5±, C 等为%15±。求每件产品的平均损失。
表8.2 零件参数标定值及容差 解：在这个问题中，主要的困难是产品的参数值y是一个随机变 量，而由于y与各零件参数间是一个复杂的函数关系，无法解析的得到y的概率分布。我们采用随机模拟的方法计算。这一方法的思路其实很简单：用计算机模拟工厂生产大量"产品"（如10000件），计算产品的总损失，从而得到每件产品的平均损失。可以假设7个零件参数服从正态分布。根据表8.2及标定值和容差的定义，x1～N(0.1, (0.005/3)2), x 2～N(0.3,0.0052), x 3～N(0.1, (0.005/3)2), x4～N(0.1,0.0052), x5～N(1.5,(0.225/3)2), x6～N(16,(0.8/3)2), x ～N(0.75,(0.0375/3)2), 下面的M脚本eg8_5.m产生1000对零件参数7 随机数，通过随机模拟法求得近似解约f=2900元。 %M文件eg8_5.m clear;mu=[.1 .3 .1 .1 1.5 16 .75]; sigma=[.005/3,.005,.005/3,.005,.225/3,.8/3,.0375/3]; for i=1:7 x(:,i)=normrnd(mu(i),sigma(i),1000,1);
统计学分析方法
统计分析方法总结 分享 胡斌 00:06分享，并说：统计 1.连续性资料 1.1 两组独立样本比较 1.1.1 资料符合正态分布,且两组方差齐性,直接采用t检验。 1.1.2 资料不符合正态分布，（1）可进行数据转换,如对数转换等,使之服从正态分布,然后对转换后的数据采用t检验；（2）采用非参数检验,如Wilcoxon检验。 1.1.3 资料方差不齐，（1）采用Satterthwate 的t’检验；（2）采用非参数检验,如Wilcoxon检验。 1.2 两组配对样本的比较 1.2.1 两组差值服从正态分布，采用配对t检验。 1.2.2 两组差值不服从正态分布，采用wilcoxon的符号配对秩和检验。 1.3 多组完全随机样本比较 1.3.1资料符合正态分布，且各组方差齐性，直接采用完全随机的方差分析。如果检验结果为有统计学意义，则进一步作两两比较，两两比较的方法有LSD检验，Bonferroni法，tukey法，Scheffe法，SNK法等。 1.3.2资料不符合正态分布，或各组方差不齐，则采用非参数检验的Kruscal－Wallis法。如果检验结果为有统计学意义，则进一步作两两比较，一般采用Bonferroni法校正P值，然后用成组的Wilcoxon检验。 1.4 多组随机区组样本比较 1.4.1资料符合正态分布，且各组方差齐性，直接采用随机区组的方差分析。如果检验结果为有统计学意义，则进一步作两两比较，两两比较的方法有LSD检验，Bonferroni法，tukey法，Scheffe法，SNK法等。 1.4.2资料不符合正态分布，或各组方差不齐，则采用非参数检验的Fridman检验法。如果检验结果为有统计学意义，则进一步作两两比较，一般采用Bonferroni 法校正P值，然后用符号配对的Wilcoxon检验。 ****需要注意的问题： （1）一般来说，如果是大样本，比如各组例数大于50，可以不作正态性检验，直接采用t检验或方差分析。因为统计学上有中心极限定理，假定大样本是服从正态分布的。 （2）当进行多组比较时，最容易犯的错误是仅比较其中的两组，而不顾其他组，这样作容易增大犯假阳性错误的概率。正确的做法应该是，先作总的各组间的比较，如果总的来说差别有统计学意义，然后才能作其中任意两组的比较，这些两两比较有特定的统计方法，如上面提到的LSD检验，Bonferroni法，tukey 法，Scheffe法，SNK法等。**绝不能对其中的两组直接采用t检验，这样即使得出结果也未必正确** （3）关于常用的设计方法：多组资料尽管最终分析都是采用方差分析，但不同设计会有差别。常用的设计如完全随即设计，随机区组设计，析因设计，裂区设计，嵌套设计等。 2．分类资料
函数单调性
函数单调性及其应用 1.一元函数单调性及其应用 2.多元函数单调性及其应用 2.1 多元函数单调性的定义 一元函数)(x f y =在某个区间上的单调性，如该区间为),(+∞-∞时，可看成该函数在有向直线x 轴上的单调性；如该区间为[]b a ,或()b a ,时，可以看成该函数在x 轴上的一条有向线段（方向与x 轴正方向相同）上的单调性等等，类似地，可定义二元函数在xoy 面上的一条有向线段，有向直线或射线上的单调性。 定义 设AB 为xoy 面上的一条有向线段，二元函数),(y x f z =在AB 上有定义，对于AB 任意两点21,P P ,设21P P 与AB 同向。 若)()(21P f P f <,则称二元函数),(y x f z =在AB 上单调增加。 若)()(21P f P f >，则称二元函数),(y x f z =在AB 上单调减少。 2.2多元函数单调性的判别法 如果),(y x f u =在点),(y x P 可微,l 的方向余弦是βαcos ,cos ，则),(y x f u =在),(y x P 沿射线l 的方向导数存在，且 βαcos cos y f x f l f ??+??=??。其中l 是),(y x P 出发的一条射线，他的方向向量记作l 由二元函数的中值公式：),(),(0000y x f k y h x f -++ =k h y h x f h k y h x f y x ),(),(0000?+?++?+?+θθθθ 定理 1 设二元函数),(y x f z =在区域I 内连续，有向线段I AB l ?=，且),(y x f z =在),(B A 内每个点处都可微，则在),(B A 内至少存在一点C ，使得 AB l f A f B f C ???=-)()( 其中),(B A 表示有向线段AB 上不包括两个端点的所有点构成的点集。AB 表示AB 的长度，l 是点A 出发的并且经过点B 的一条射线。 定理2 设二元函数),(y x f z =在区域I 内连续，有向线段I AB l ?=，且
已知函数单调性求参数(简单)
已知函数单调性求参数（简单） 一、选择题 1.函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则() A．a＝ B．a＝1 C．a＝2 D．a≤0 2.若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是() A． (－∞，－2] B． (－∞，－1] C． [2，＋∞) D． [1，＋∞) 3.若函数f(x)＝a ln x＋在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是() A． (－∞，－2] B． (－∞，－1] C． [1，＋∞) D． [2，＋∞) 4.已知f(x)＝a ln x＋x2，若对任意两个不等的正实数x 1，x2都有>0成立，则实数a的取值范围是() A． [0，＋∞) B． (0，＋∞) C． (0,1) D． (0,1] 5.已知函数f(x)＝－x3＋2ax在(0,1]上是单调递增函数，则实数a的取值范围是()
A． (－∞，) B． [，＋∞) C． (，＋∞) D． (－，) 6.函数f(x)＝e x－ax－1在R上单调递增，则实数a的取值范围为() A．R B． [0，＋∞) C． (－∞，0] D． [－1,1] 7.已知a，b是正实数，函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在x∈[－1,2]上单调递增，则a＋b的取值范围为() A． (0，] B． [，＋∞) C． (0,1) D． (1，＋∞) 8.已知函数f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最小值是() A．－3 B．－2 C． 2 D． 3 9.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是() A． (－∞，－)∪[，＋∞) B． [－，]
函数单调性方法和各种题型
(一)判断函数单调性的基本方法 Ⅰ、定义法： 定义域判断函数单调性的步骤：取值、作差（或商）变形、定号、判断。例1：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明 Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）： 在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数 例2：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性 Ⅲ、图像法： 说明：⑴单调区间是定义域的子集 ⑵定义x 1、x 2 的任意性 ⑶代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数 自变量与函数相对→单调减函数 例3：y＝|x2＋2x－3| 练习：
(二) 函数单调性的应用 Ⅰ、利用函数单调性求连续函数的值域（最值） 根据增函数减函数的定义我们可得到如下结论： （1）若 f(x)在某定义域[a,b]上是增函数，则当x=a 时, f(x) 有最小值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最大值 f(b)。 （2）若 f(x)在某定义域[a,b]上是减函数，则当x=a 时, f(x) 有最大值f(a)，当 x=b 时, f(x)有最小值 f(b)。 例1：求下列函数的值域 (1)y=x 2-6x+3, x ∈[-1,2] (2)y=-x 2+2x+2, x ∈[-1,4] 练习题： 1.已知函数f(x)在区间[a,c]上单调减小，在区间[c,b]上单调增加,则f(x)在 [a,b]上的最小值是 ( ) 2.数f(x)=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是 ( ) 3、( )有函数13+--=x x y 存在、最大值、最小值都不，最小值、最大值，最小值、最大值，最小值、最大值D C B A 4 -44 -00 4 4、](()()的值域为 时，函数当1435,02+-=∈x x x f x ()()][()()]()][5,5,323205,0f c D f f C f f B f f A 、、、、、????? ? ??????????? ?? 5、求函数y=-x-6+ 的值域 x -1
导数中含参数单调性及取值范围
应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点;利用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题;利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点;将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是高考压轴题. 一． 含参数函数求单调性（求可导函数单调区间的一般步骤和方 法:(1)确定函数定义域;(2)求导数;(3)令导数大于0,解得增区间, 令导数小于0,解得减区间.） 例1（2012西2）已知函数2221 ()1 ax a f x x +-=+，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间． （1a =22()1 x f x x = +22(1)(1)()2 (1)x x f x x +-'=-+ (0)2f '=()y f x =20x y -= 2()(1) ()2 1x a ax f x x +-'=-+ 0a =2 2()1 x f x x '=+．所()f x (0,)+∞(,0)-∞ 0a ≠2 1 ()() ()21x a x a f x a x +-'=-+ ， 0a >()0f x '=1x a =-21 x = ()f x ()f x ' 【 )(x f (,)a -∞-1(,)a +∞1 (,)a a - 0a <()f x ()f x '
% ()f x 1 (,)a -∞1(,)a a --(,)a -+∞ 0a = 0a >)(x f 1(0,)a 1(,)a +∞)(x f (0,)+∞21 ()0f a a => 0x )(x f 2012a x a -=01 x a <0x x >()0f x >0x x <()0f x < )(x f [0,)+∞(0)0f ≤11a -≤≤ 0a >)(x f [0,)+∞a (0,1] 0a <)(x f (0,)a -(,)a -+∞)(x f (0,)+∞()1f a -=- )(x f [0,)+∞(0)0f ≥1a ≥1a ≤- 0a <)(x f [0,)+∞a (,1]-∞- | a (,1](0,1]-∞- 例2 设函数f (x )=ax －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥-1，求f (x )的单调区间. 【()f x (1,)-+∞'1()(1),1 ax f x a x -=≥-+ 10a -≤≤'()0,f x <()f x (1,)-+∞ 0a >'()0,f x =1.x a = '()f x x 1(1,)x a ∈-' ()0,f x <()f x 1(1,)a -
