一、重视教材习题的母题功能
你知道高考题是怎样命制的吗？看完本讲内容，洞晓了高考命题的5大常用手段，你就明白了教材经典题目的重要性．你还会陷入“高考高于天，教材放一边”的备考误区吗？
编写本讲的目的，我们旨在提醒您：一轮复习要“抓纲靠本”，“纲”就是考纲，“本”就是课本．要重拾起被遗忘忽视的课本，重温基础知识，重做典型题目，重视教材“母题”的引领作用，发挥教材母题做一当十的功效．
在此，仅以2014年新课标全国卷两套试题为例进行说明，以佐证教材习题的重要性．
教材这样练
《人教A 版·必修4》P119 B 组第1题第(4)小题．
已知D ，E ，F 分别是△ABC
的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA ＝
b ，AB ＝
c ，则①EF ＝12c －12b ；②BE ＝a ＋1
2
b ；
③CF ＝－12a ＋1
2
b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0中
正确的等式的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
高考这样变
(2014·新课标全国卷Ⅰ)设
D ，
E ，
F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝( )
A ．AD B.1
2AD
C ．BC D.1
2
BC
教材这样练
《人教A 版·选修2－1》P69例4.
斜率为1的直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 高考这样变
(2014·新课标全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )
A.
30
3
B ．6
C ．12
D ．7 3
教材这样练《人教B版·必修5》P30练习A. 写出下面数列{a n}的前5项：
1．a1＝2，a n＝1
2a n－1(n＝2,3,4，…)；
2．a1＝3，a n＝a n－1＋2(n＝2,3,4，…)；
3．a1＝1，a n＝a n－1＋1
a n－1(n＝2,3,4，…)．
高考这样变
(2014·新课标全国
卷Ⅱ)数列{a n}满足a n＋1
＝
1
1－a n
，a8＝2，则a1＝
________.
教材这样练
《人教A版·必修5》P14例5.
如图，一辆汽车在一条水平的公路
上向正西行驶，到A处时测得公路北侧
远处一山顶D在西偏北15°的方向上，
行驶5 km后到达B处，测得此山顶在
西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此
山的高度CD(精确到1 m)．
高考这样变
(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，为
测量山高MN，选择A和另一座山
的山顶C为测量观测点．从A点测
得M点的仰角∠MAN＝60°，C点
的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝
75°；从C点测得∠MCA＝60°，已
知山高BC＝100 m，则山高MN＝
________m.
教材这样练
《人教A版·必修1》P39B 组第3题．
已知函数f(x)是偶函数，而且在(0，＋∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞，0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断．
高考这样变
(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
总之，教材中的例题、习题是经过精心挑选而设计的，它蕴藏着丰富的思想方法和研究
资源．不少试题所涉及的思想方法，都源于教材．高考数学一轮复习中，要做到对教材中的经典题目能够熟练地求解，掌握它的通性通法、答题规范、思路分析及知识内涵．研读教材、汲取营养，充分发挥例题、习题潜在的功能，发挥教材“母本”的作用．
为减少考生翻阅教材、查找典型题目之苦，充分发挥我们编者占有广泛教学资源的优势，我们在人教A版、人教B版、北师大版等教材中优中选优地筛选了一些经典题目，做为课前自检基础知识使用，就是充分发挥教材母题的引领带动作用．
二、重视经典题目的发散思维
本讲内容是上一讲内容的顺承和拓展，其主旨还是让学生在做题的过程中学会多思考和多领悟．如果说上一讲是教给学生“做什么”的问题，那么这一讲是教给学生“怎么做”的问题．在平时的复习备考中，做海量试题必不可少，但绝非上策．应当充分发挥典型试题的带动作用和举一反三的功能，注意培养多题一解、一题多解和一题多变思维能力的养成．多题一解有利于培养学生的求同思维，一题多解有利于培养学生的求异思维，一题多变有利于培养学生思维的灵活性与深刻性．
多题一解和一题多解主要靠学生在平时做题的过程中，发挥主观能动性，多思考，多总结，而一题多解则需要教师多找一些典型题目多拓展，多发散，帮学生举一反三、悟通练透．本书在“一题多变”上主要做了以下两方面的尝试：
(一)经典“题根”的发散
茫茫题海，寻根是岸．木有本，水有源，题有根．在平时的训练中，可将一些经典的题目做为“题根”，在题目发散中，要学会演变题目条件、背景，变换设问，在不断变换的过程中，将此类问题厘清弄透，从一个个小问题中获取大知识，让其“枝繁叶茂”、“生机盎然”，从而彻底打通各知识点间的关节．
示例：利用基本不等式求最值
(二)考查角度的发散
高考中的一些热门考点，虽知年年必考，但学生往往却在这类考点上失分，究其原因，主要是此类考点考查灵活、角度多变．为将这类考点练深练透，有必要对这类考点进行多维探究．备考不留死角，高考不留遗憾！
角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小，
若本题条件变为：已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，
则2a ＋1
b
的最小值为________. 本题的条件变为：已知a ＞0，b
＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则
1
a ＋1
b ＋1
c
的最小值为________. 本题的条件和结论互换，即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1
b ＝4，则a ＋b
的最小值为________.
已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1,则1a ＋1
b
的最
小值为________．
[解析] ∵a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝1, ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2
b a ·a b ＝4,即1a ＋1
b
的最小值为4,当且仅当a ＝b ＝1
2
时等号成立.
[答案] 4
已知各项为正数的
等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝22a 1，则1m ＋4n 的
最小值为________．
本题的条件不变，则???
?1＋1a ???
?1＋1b 的最小值为________.
利用基本不等式求最值的方法及注意点
(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立． (2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．
(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．
(4)利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.
角度三：解函数不等式 ?
角度四：利用单调性求参数的取值范围或值 [类题通法] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱
掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数．
①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．
第一章集合与常用逻辑用语
第一节集__合
对应学生用书P5
基础盘查一元素与集合
(一)循纲忆知
1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．
2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(二)小题查验
1．判断正误
(1)一个集合中可以找到两个相同的元素()
(2)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示的是同一集合()
(3)a在集合A中，可用符号表示为a?A()
(4)零不属于自然数集()
答案：(1)×(2)√(3)×(4)×
2．(人教A版教材练习)选择适当的方法表示下列集合：
(1)由小于8的所有素数组成的集合；
(2)不等式4x－5<3的解集．
答案：(1){2,3,5,7}(2){x|x<2}
基础盘查二集合间的基本关系
(一)循纲忆知
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
2．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)若A＝B，则A?B()
(2)若A B，则A?B且A≠B()
(3)N*N Z()
(4)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集()
答案：(1)√(2)√(3)√(4)×
2．(人教A版教材例题改编)集合{a，b}的所有子集为________________．
答案：{a}，{b}，{a，b}，?
基础盘查三集合的基本运算
(一)循纲忆知
1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
3．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)若A∩B＝A∩C，则B＝C()
(2)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素()
(3)并集定义中的“或”能改为“和”()
(4)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合()
答案：(1)×(2)√(3)×(4)√
2．(人教A版教材习题改编)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(?B)＝________.
U
答案：{2,4}
3．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2 答案：{x|x≤2或x≥10} 对应学生用书P6 考点一 集合的基本概念(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1．元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系： 元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和?. (3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn 图． 2．常见数集及其表示符号 自然数集用N 表示，正整数集用N *或N ＋表示，整数集用Z 表示，有理数集用Q 表示，实数集用R 表示． [提醒] 解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误． [题组练透] 1．(2015·洛阳统考)已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．8 D ．9 解析：选D 集合B 中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个． 2．现有三个实数的集合，既可以表示为? ??? ?? a ， b a ，1，也可以表示为{a 2，a ＋b,0}，则a 2 015 ＋b 2 015＝________. 解析：由已知，得b a ＝0及a ≠0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集 合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 015＋b 2 015＝(－1)2 015＝－1. 答案：－1 3．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去； 当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－3 2或m ＝1(舍去)， 此时当m ＝－32时，m ＋2＝1 2≠3符合题意． 所以m ＝－3 2. 答案：－3 2 [类题通法] 1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性． 2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性． 考点二 集合间的基本关系(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] (1)子集：对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A ?B (或B ?A )； (2)真子集：若集合A ?B ，但存在元素x ∈B ，且x ?A ，则A B (或B A )； (3)性质：??A ；A ?A ；A ?B ，B ?C ?A ?C . (4)集合相等：若A ?B ，且B ?A ，则A ＝B . [提醒] 写集合的子集时不要忘了空集和它本身． [典题例析] 1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ?C ?B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选D 用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数． 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2， ∴A ＝{1,2}． 由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． 2．已知集合A ＝{x |x 2－2 015x ＋2 014＜0}，B ＝{x |x ＜m }，若A ?B ，则实数m 的取值范围是________． 解析：由x 2－2 015x ＋2 014＜0， 解得1＜x ＜2 014，故A ＝{x |1＜x ＜2 014}． 而B ＝{x |x ＜m }，由于A ?B ，如图所示，则m ≥ 2 014. 答案：[2 014，＋∞) [类题通法] (1)已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍． (2)当题目中有条件B ?A 时，不要忽略B ＝?的情况！ [演练冲关] 1．(2015·中原名校联盟一模)设A ＝{1,4,2x }，若B ＝{1，x 2}，若B ?A ，则x ＝________. 解析：由B ?A ，则x 2＝4或x 2＝2x .当x 2＝4时，x ＝±2，但x ＝2时，2x ＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x 2＝2x 时，x ＝0或x ＝2，但x ＝2时，2x ＝4，这与集合元素的互异性相矛盾．综上所述，x ＝－2或x ＝0. 答案：0或－2 2．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ?A ，则实数m 的取值范围是________． 解析：当B ＝?时，有m ＋1≥2m －1， 则m ≤2. 当B ≠?时，若B ?A ，如图． 则???? ? m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1， 解得2＜m ≤4. 综上，m 的取值范围为m ≤4. 答案：(－∞，4] 考点三 集合的基本运算(题点多变型考点——全面发掘) [必备知识] 1．集合的并、交、补运算： 并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}； 交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}； 补集：?U A＝{x|x∈U，且x?A}；U为全集，?U A表示集合A相对于全集U的补集． 2．集合的运算性质 (1)A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B； (2)A∩A＝A，A∩?＝?； (3)A∪A＝A，A∪?＝A； (4)A∩?U A＝?，A∪?U A＝U，?U(?U A)＝A. [提醒]Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． [一题多变] [典型母题] 已知集合A＝{y|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋6，x∈R}，则A∩B ＝. [解析]y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， y＝－x2＋2x＋6＝－(x－1)2＋7≤7， ∴A＝{y|y≥－1}，B＝{y|y≤7}， 故A∩B＝{y|－1≤y≤7}. [答案]{y|－1≤y≤7} [题点发散1]若集合A变为A＝{x|y＝x2－2x，x∈R}，其他条件不变，求A∩B. 解：因A中元素是函数自变量，则A＝R， 而B＝{y|y≤7}，则A∩B＝{y|y≤7}． [题点发散2]若集合A、B中元素都为整数，求A∩B. 解：A∩B?{y|－1≤y≤7}，又因为y∈Z， 故A∩B＝{－1，0,1,2,3,4,5,6,7}． [题点发散3]若集合A、B不变，试求? A∪?R B. R 解：∵A＝{y|y≥－1}，B＝{y|y≤7}， ∴?R A ＝{y |y ＜－1}，?R B ＝{y |y ＞7}， 故?R A ∪?R B ＝{y |y ＜－1或y ＞7}． [题点发散4] 若集合A 、B 变为：A ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x ，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋2x ＋6，x ∈R }，求A ∩B . 解：由????? y ＝x 2 －2x ，y ＝－x 2 ＋2x ＋6 ?x 2－2x －3＝0， 解得x ＝3或x ＝－1. 于是，????? x ＝3，y ＝3或????? x ＝－1，y ＝3， 故A ∩B ＝{(3,3)，(－1,3)}． [类题通法] 解集合运算问题应注意以下三点： (1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键． (2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图． 考点四 集合的新定义问题(重点保分型考点——师生共研) [典题例析] 1．如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A B 为阴 影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A B 为( ) A ．{x |0 B ．{x |1 C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2} D ．{x |0≤x ≤1或x >2} 解析：选D 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1 2.已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a j a i 两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( ) A ．{1,3,4}为“权集” B ．{1,2,3,6}为“权集” C ．“权集”中元素可以有0 D ．“权集”中一定有元素1 解析：选B 由于3×4与4 3均不属于数集{1,3,4}，故A 不正确，由于1×2,1×3,1×6,2×3， 62，63，11，22，33，66都属于数集{1,2,3,6}，故B 正确，由“权集”的定义可知a j a i 需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C ，D 错误，选B. [类题通法] 解决集合创新型问题的方法 (1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． (2)用好集合的性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质． [演练冲关] 1．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝?????? －1，0，12，2，3的所有非空 子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．7 D ．31 解析：选B 具有伙伴关系的元素组是－1；1 2，2， 所以具有伙伴关系的集合有3个： {－1}，? ??? ??12，2，? ?? ? ??－1，12，2. 2．对于任意两个正整数m ，n ，定义运算(用⊕表示运算符号)：当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m ⊕n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊕n ＝m ×n .例如4⊕6＝4＋6＝10,3⊕7＝3＋7＝10,3⊕4＝3×4＝12.在上述定义中，集合M ＝{(a ，b )|a ⊕b ＝12，a ，b ∈N *}的元素有________个． 解析：m ，n 同奇同偶时有11组：(1,11)，(2,10)，…，(11,1)；m ，n 一奇一偶时有4组：(1,12)，(12,1)，(3,4)，(4,3)，所以集合M 的元素共有15个． 答案：15 对应A 本课时跟踪检测(一) 一、选择题 1．(2015·广州测试)已知集合A ＝? ??? ?? x |x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：选C ∵32－x ∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1， 故集合A 中的元素个数为4，故选C. 2．(2014·江西高考)设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9＜0}，B ＝{x |－1＜x ≤5}，则A ∩(?R B )＝( ) A ．(－3,0) B ．(－3，－1) C ．(－3，－1] D ．(－3,3) 解析：选C 由题意知，A ＝{x |x 2－9＜0}＝{x |－3＜x ＜3}，∵B ＝{x |－1＜x ≤5}，∴?R B ＝{x |x ≤－1或x ＞5}． ∴A ∩(?R B )＝{x |－3＜x ＜3}∩{x |x ≤－1或x ＞5}＝{x |－3＜x ≤－1}． 3．已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2}，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ?B D ．B ?A 解析：选B 由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2}，∴A ＝{x |－1≤x ≤1}，∴B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝ {x |0≤x ≤1}，∴B A ，故选B. 4．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则 图中阴影部分表示的集合为( ) A ．[－1,0] B ．(－1,0) C ．(－∞，－1)∪[0,1) D ．(－∞，－1]∪(0,1) 解析：选D 因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2＞0}＝{x |－1＜x ＜1}，则u ＝1－x 2∈(0,1]， 所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}， A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1,0]， 故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)，选D. 5．(2015·西安一模)设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ?(A ∩B )的集合M 的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选C 由题中集合可知，集合A 表示直线x ＋y ＝1上的点，集合B 表示直线x －y ＝3上的点，联立????? x ＋y ＝1， x －y ＝3 可得A ∩B ＝{(2，－1)}，M 为A ∩B 的子集，可知M 可能为{(2， －1)}，?，所以满足M ?(A ∩B )的集合M 的个数是2，故选C. 6．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论： ①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”． 其中，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选C 因为2 014＝402×5＋4，又因为[4]＝{5n ＋4|n ∈Z }，所以2 014∈[4]，故①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故②不正确；因为所有的整数Z 除以5可得的余数为0,1,2,3,4，所以③正确；若a ，b 属于同一‘类’，则有a ＝5n 1＋k ，b ＝5n 2＋k ，所以a －b ＝5(n 1－n 2)∈[0]，反过来，如果a －b ∈[0]，也可以得到a ，b 属于同一“类”，故④正确．故有3个结论正确． 二、填空题 7．已知A ＝{0，m,2}，B ＝{x |x 3－4x ＝0}，若A ＝B ，则m ＝________. 解析：由题知B ＝{0，－2,2}，A ＝{0，m,2}，若A ＝B ，则m ＝－2. 答案：－2 8．(2014·重庆高考)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}，B ＝{1,3,5,7,9}，则(? U A )∩B ＝________. 解析：由题意，得U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，故?U A ＝{4,6,7,9,10}，所以(?U A )∩B ＝{7,9}． 答案：{7,9} 9．(2015·昆明二模)若集合A ＝{x |x 2－9x ＜0，x ∈N *}，B ＝? ??? ??y ?? 4y ∈N *，y ∈N *，则A ∩B 中元素的个数为________． 解析：解不等式x 2－9x ＜0可得0＜x ＜9，所以A ＝{x |0＜x ＜9，x ∈N *}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}， 又4 y∈N *，y∈N*，所以y可以为1,2,4，所以B＝{1,2,4}，所以A∩B＝B，A∩B中元素的个数 为3. 答案：3 10．(2015·南充调研)已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A?B，则实数a－b的取值范围是________． 解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A?B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]． 答案：(－∞，－2] 三、解答题 11．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值． (1)9∈(A∩B)； (2){9}＝A∩B. 解：(1)∵9∈(A∩B)，∴2a－1＝9或a2＝9， ∴a＝5或a＝3或a＝－3. 当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}； 当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，不满足集合元素的互异性； 当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}， 所以a＝5或a＝－3. (2)由(1)可知，当a＝5时，A∩B＝{－4,9}，不合题意， 当a＝－3时，A∩B＝{9}． 所以a＝－3. 12．(2015·福州一模)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}． (1)当m＝－1时，求A∪B； (2)若A?B，求实数m的取值范围； (3)若A∩B＝?，求实数m的取值范围． 解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－2 则A∪B＝{x|－2 (2)由A ?B 知???? ? 1－m ＞2m ，2m ≤1， 1－m ≥3， 解得m ≤－2， 即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝?，得 ①若2m ≥1－m ，即m ≥1 3 时，B ＝?，符合题意； ②若2m ＜1－m ，即m ＜13 时，需????? m ＜13，1－m ≤1或????? m ＜13 ，2m ≥3， 得0≤m ＜13或?，即0≤m ＜1 3 . 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)． 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 对应学生用书P8 基础盘查一 四种命题及其关系 (一)循纲忆知 1．理解命题的概念． 2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． (二)小题查验 1．判断正误 (1)“x 2＋2x －3<0”是命题( ) (2)“sin 45°＝1”是真命题( ) (3)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则綈q ”( ) (4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真() 答案：(1)×(2)×(3)×(4)√ 2．(人教A版教材习题)已知命题：若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根．则其逆否命题为____________________________________． 答案：若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0 基础盘查二充分条件与必要条件 (一)循纲忆知 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． (二)小题查验 1．判断正误 (1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件() (2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立() (3)q不是p的必要条件时，“p?/q”成立() 答案：(1)√(2)√(3)√ 2．(人教A版教材练习)在下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：x2＝3x＋4，q：x＝3x＋4； (2)p：x－3＝0，q：(x－3)(x－4)＝0； (3)p：b2－4ac≥0(a≠0)，q：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根． 答案：(1)必要(2)充分(3)充要 对应学生用书P8 考点一命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1．四种命题及相互关系 2．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． [提醒]当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动． [题组练透] 1．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为() A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题 B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题 C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题 D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题 解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故选C. 2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)． ①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”； ③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a∈M，则b?M”与命题“若b∈M，则a?M”等价． 解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝log a x在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b?M”与命题“若b∈M，则a?M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④. 答案：②④ [类题通法] 1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题． 2．命题真假的判断方法 (1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断． (2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断． 考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)
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