第六章时间序列计量经济学建模简介第一节时间序列计量经济学模型的基本概念
一、时间序列计量经济学的发展趋势
1、上个世纪70年代中期世界复杂的经济格局对计量经济学方法的挑战。
计量经济学模型的主要应用之一就是经济预测，而且早年计量经济学就是通过利用模型的短期预测发展起来的。在上个世纪50——60年代西方国家经济预测中不乏成功的实例。但是，进入20世纪70年代以后，人们对计量经济学模型提出了质疑，表现在1973年和1979年，各种计量经济学模型都无法预测到“石油危机”对经济会造成什么影响（尽管当时能够对石油危机提出预报）。
2、传统计量经济学方法存在的主要问题。
传统计量经济学模型是以模拟历史、从已经发生的经济活动中找出变化规律的主要技术手段。而对于非稳定发展的经济过程和缺乏规范行为理论的经济活动，传统计量经济学模型就显得无能为力。同时，现实经济活动愈来愈复杂多变，对于社会经济的发展、体制的变迁、技术的创新，要用具有一定的计量经济学或动态多元非线性方程组对其加以描述并非易事。因此，人们认为传统计量经济学的弱点是过分依赖先验理论，这种弱点一方面表现为缺乏动态的信息反馈；另一方面是所获得的理论与样本数据间满意的吻合结果往往要凭借建模者的艺术。
3、80年代初提出了与传统计量经济学完全不同的建模方法。
最初由萨甘（Sargan，1964）提出，后经亨德里-安德森（Hendry-Anderson，1977）和戴维森（Davidson，1977）进一步完善的误差修正模型，以及由格兰杰（C.W.J.Granger，1981）提出的协整理论，最终产生了Hendry的“由一般到特殊”的建模方法。
时间序列的类型：
（1）按时间是否连续分为
一是离散型的随机过程或时间序列，二是连续型的随机过程和时间序列。本章主要研究离散时间序列，并用
Y或t X表示。对于连续时间序列，可通过等间
t
隔采样使之转化为离散时间序列后加以研究。
（2）按序列的统计特性分为
一是平稳时间序列。时间序列的统计规律不会随时间的推移而发生变化，即生成变量时间序列的随机过程的特征与时间变化无关。
二是非平稳时间序列。时间序列的统计规律随时间的位移而发生变化，即生成变量时间序列的随机过程的特征与时间变化有关。
二、时间序列的基本特征
1、时间序列的平稳性。
（1）严平稳序列。如果对任意正整数n （n <∞）和时间序数12n t t t <<< ，及任意实数τ，其随机变量1
2
,,,n
t t t X X X 的联合分布有
1
2
1
2
(,,,)(,,,)
n
n
t t t t t t F X X X F X X X τττ+++=
满足上述条件的序列称为严平稳时间序列。
例如，概率论中的独立同分布序列就是严平稳过程。
由于分布函数完整的描述了随机变量的统计特性，所以，这里要求平稳随机过程的所有的统计特性都不随时间的平移而变化，这一要求相当严格，在实际中要验证上述条件十分困难。一般来说，所研究的随机过程，若前后的环境和主要条件都不随时间变化，就可以认为它是平稳随机过程。上述严平稳对于有限维分布难于处理，在许多应用领域中，人们想到仅看随机过程在变动过程中的数字特征是否有变，即只涉及到随机过程的一阶、二阶矩情况。因此，可将上述概念适当修改。以后所指的平稳性为下述意义下的平稳性。
如果一个随机过程m 阶矩以下的矩的取值全部与时间无关，则称该过程为m 阶平稳过程。下面给出最常用的二阶宽平稳时间序列的定义。
（2）宽平稳序列。如果t Y 满足如下性质
2
(),(),
(,)t
t t t
k
k
E Y V a r Y C o v Y Y μσ
γ+===＜∞ 则称t Y 为平稳的，并称此为宽平稳时间序列。
即宽平稳性序列的均值函数、方差函数均为常数，而自协方差函数仅与时间间隔k 有关。
（3）严平稳序列与宽平稳序列的关系。严格说，严平稳序列的分布，随时
间的平移而不变；宽平稳序列的均值与自协方差，随时间的平移而不变。一个严平稳序列{}t Y ，对于每个时刻t 的随机变量t Y ，可以不存在一阶或二阶矩，因此，它也就不一定是宽平稳序列。反之，一个宽平稳序列{}t Y ，它的分布不一定随时间的推移而不变，因此，它也不一定是严平稳序列。当然，在一定条件下，这两种平稳性是可以互相转化的（见王耀东等著，《经济时间序列分析》，上海财经大学出版社，1996年）。
对于经济现象中的时间序列，通常讨论它的宽平稳性质。直观地说，平稳性是指时间序列的统计特征不随时间的推移而变化。如果一个随机时间序列过程的均值和方差，在时间过程上都是常数，并且在任何两时期之间的协方差仅依赖于该两时期间的距离或滞后，而不依赖于计算这个协方差的实际时间，则称它是平稳的。即设t Y 为一时间序列，由此，可以认为一个平稳的时间序列，它的数学期望和方差均与时间t 无关，表明序列将趋于返回它的均值，并以一种相对不变的振幅围绕均值波动；而协方差为一有限数，说明序列只与t Y 在变动过程中的间隔有关，与它的具体位置无关。
简单讲，如果一个时间序列是平稳的，不管在什么时候对它进行测量，它的均值、方差和各种滞后的自协方差都保持不变。
从图形上可明显地看出上述特征。例如，美国的GDP 增量。
2、为什么要进行平稳性检验。
传统的时间序列计量经济学在进行研究时，通常假定经济数据和产生这些数
-2
-1
1
2
2240
260
80
33340
360
80
4DJ P Y
20
40
60
80
100
400
450
500
550
600
650
700
750
800
据的随机过程是稳定的过程，在此基础上对计量经济学模型中的参数作估计和假设检验。
但是，在经济现象中，许多经济变量的时间序列数据并不具有平稳性，或不具有平稳过程的特征。这一点能从图形上直观地看出。例如，美国的国民生产总值（GDP ）、个人可支配收入（PDI ）、个人消费支出（PCE ）等时间序列的数据均为非平稳的（从图形上看，这些时间序列数据都不会由稳定的随机过程生成，原因是它们不具有固定的期望值）。值得注意的是，这些非平稳时间序列经过一阶差分以后，则为平稳的了。
（1）“伪回归现象”。当求两个相互独立的非平稳时间序列的相关系数时，得到的是一个相关系数显著不为零的结论，则称此为虚假相关或伪相关；当用两个相互独立的非平稳时间序列建立回归模型时，得到的是一个具有统计显著性的回归函数，则称此为虚假回归或伪回归。
（2）“伪回归现象”的判断。格兰杰和纽博尔德（Granger C W J and Newbold P ，1974）提出了一个经验判断规则：当R 2＞DW 时，则所估计的回归函数有伪回归之嫌。
定义1，随机过程为一簇随机变量，即{},t Y t T ∈，其中T 表示时间t 的变动范围，对每一个固定的t 而言，t Y 是一普通的随机变量，这些变量的全体就构成一个随机过程。
当(,)T =-∞∞时，随机过程可以表示成{},t Y t -∞<<∞，其中t Y 是时间t 的随机函数，因为在每一个时刻t ，t Y 为一个随机变量，显然这个时间集是个连续集。当{} ,2,1,0±±=t 时，即时刻t 取整数时，随机过程{},t Y t T ∈可写成如下形式{},0,1,2,t Y t =±± ，此类随机过程t Y 是离散时间t 的随机函数，又称它为随机序列，由于t 代表时间，所以此类随机序列也称为时间序列，通常记为
{},0,1,2,t Y t = 。
定义2，若随机过程t Y 的一阶差分过程1t t Y Y --，即
1t t t Y Y Y -?=-
是平稳的，则称t Y 为一单位根过程（单位根过程是非平稳的）。定义2说明了对一个非平稳的序列实现平稳的途径。
下面给出两个典型的随机过程例子
（1）平稳随机过程的例子，白吵声过程。如果{},t Y t T ∈过程满足以下条件：
2
()0,(),;(,)0,(),0.t t t t k E Y Var Y t T C ov Y Y t k T k σ
+==<∞?∈=+∈≠
则称{},t Y t T ∈为一白吵声过程。
（2）非平稳随机过程的例子，随机游走过程。如果{},t Y t T ∈有
1t t t
Y Y ε-=+
其中，t ε为白吵声过程，则称{},t Y t T ∈为随机游走过程。由此看出，对随机游走过程进行一次差分就能得到一个白噪生过程（平稳的随机过程）。
▲事实上，随机游走过程是下面我们称之为1阶自回归AR(1)过程的特例。
1t t t
Y Y ρε-=+
（1）ρ=1时，是一个随机游走过程，是非平稳的。
（2） |ρ|>1时，该随机过程生成的时间序列是发散的，表现为持续上升(ρ>1)或持续下降(ρ<-1)，因此是非平稳的。
（3）只有当-1<ρ<1时，该随机过程才是平稳的。
▲一阶自回归过程AR(1)又是如下P 阶自回归AR(P)过程的特例。
随机游走的统计特性
随机游走过程的均值为零、方差无限大（Y t 具有永久记忆性）。 Y t = Y t -1 + u t = u t + u t -1 + Y t -2 = u t + u t -1 + u t -2 + … E(Y t ) = E(u t + u t -1 + u t -2 + …) = 0,
Var(Y t ) = Var(u t + u t -1 + u t -2 + …) = ∑∞
-t
u 2σ→ ∞
所以随机游走过程是非平稳的随机过程。
注：“随机游走”一词首次出现于1905年自然（Nature ）杂志第72卷Pears o n K. 和 Rayleigh L.的一篇通信中。该信件的题目是“随机游走问题”。文中讨论寻找一个被放在野地中央的醉汉的最佳策略是从投放点开始搜索。
1122t t t p t p t
Y Y Y Y u ρρρ---=++++
该随机过程平稳性条件将在下面介绍。
例如 深圳股票综合指数是近似的随机游走序列，即非平稳的。
定义3，随机过程（随机序列）的单整性。对于随机过程t Y ，如果必须d 次差分之后才能变换成为一个平稳过程，而进行d -1次差分后仍然是一个非平稳过程，则称此过程（序列）具有d 阶单整性，记为t Y ~I (d )。
例如一个非平稳随机过程经过一次差分之后可变为一个平稳过程，则称此过程为一阶单整过程，记为I (1)；如果经过一次差分后仍然不是平稳过程，而第二次差分以后才是一个平稳过程，则称该过程为二阶单整过程，记为I (2)；因此，平稳的单整过程为零，记为I (0)。
1200
1400
1600
1800
2000
2200
50
100
150
200
250
300
-3
-2
-1
1
2
320
40
60
80
100
120
140
160
180
200
white noise
-4
-2
2
4
20406080100120140160180200
DJPY
由白噪声过程产生的时间序列 日元对美元汇率的收益率序列
三、单位根过程
定义4，随机过程{},0,1,2,t Y t = 是一单位根过程，若 1
,1,2,t t t
Y Y u t ρ-=+=
其中，1,()0,cov(,)0,0,1,2,t t t s s E u u u s ρμ-===<= ，这里对t u 的假定，意味t u 是稳定的序列。
单位根过程是最常见的非平稳性过程之一。由于它在现代金融学、宏观经济学的理论和实践中的广泛应用，对单位根过程的研究成为当今计量经济学的主要课题之一，特别是上世纪80年代以来，出现了许多理论上和实践上的重大突破。这就使得研究人员能有效地处理以前不能处理的数据。
例如，研究资本市场的股票价格的变动规律，设t P 为某一股票在某一时刻t 的价格，根据金融学中有效市场的假设，在时刻t+1的股票价格1+t P 可由一单位根过程描述
1111
,1
t t t t t t P P u P P u ρρ++++=+==+
其中，t u 独立同分布，且2()0,()t t E u Var u σ==<∞，对该过程不断作迭代，则
11
11121
2
1121()()(1)t t t t t t t t t t t P P u P u u u u u u V ar P V ar u u u u t σ
++-++++=+=++=++++=++++=+
当t →∞时，t P 的方差趋于无穷大，传统的中心极限定理在此不适用。此例说明变量的非平稳性是单位根过程引起的。
再例如，设回归模型为
t t t Y X u αβ=++
其中，如果解释变量t X 是一单位根过程，这时t Y 也是非平稳的，则未知参数α和
β的最小二乘估计量有非标准分布，传统的中心极限定理已不再适用。这时，如
果仍然建立t Y 对t X 的回归，则得到的将是虚假回归。有一个解决问题的思路，
即对这两个变量求一阶差分
11,
t t t t t t Y Y X X X X --?=-?=-
由于t X 和t Y 是非平稳的，如果经过一阶差分以后t Y ?和t X ?均为平稳的了，这时再作如下的回归，
t t t Y a b X v ?=+?+
其中a 与b 的参数估计将是一致的，并有正态极限分布。从形式上看，这样处理克服了单位根过程的影响，在统计意义上有效。但由于t X 和t Y 作为水平变量具有明确的经济含义，而取一阶差分后t Y ?和t X ?的模型不能表达出水平变量之间所具有的经济意义，也就达不到检验经济理论、进行经济预测的目的。此例表明按照这一思路能克服非平稳，但避免伪回归，建立有明确经济意义的模型是困难的。
第二节 随机时间序列模型（平稳时间序列建模）
这一小节将介绍在平稳条件下，如何识别时间序列模型的类型，时间序列的类型与识别是建立时间序列计量经济模型的重要基础。
一、随机时间序列模型
1、定义。随机时间序列模型指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为
121(,,;,,)t t t t t Y F Y Y u u ---=
建立一个具体的时间序列模型，需解决如下三个问题： ▲模型的具体形式。 ▲时序变量的滞后期。
▲随机扰动项的结构。
例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项t u ，关于t 建立的模型将是一个1阶自回归过程
1t t t
Y Y u ρ-=+
记为AR(1)。
2、随机时间序列分析模型的类型。
ARMA 模型是一类常用的随机时间序列模型，由博克斯（Box ）、詹金斯（Jinkins ）创立（亦称B －J 方法）。有三种基本类型： （1）自回归模型（Auto-Regressive Model ，AR ） （2）移动(滑动)平均模型(Moving Average Model ，MA)
（3）自回归移动（滑动）平均模型（Auto-Regressive Moving Average Model ，ARMA ）
自回归移动平均模型（ARMA ）是随机时间序列分析模型的普遍形式，自回归模型（AR ）和移动平均模型（MA ）是它的特殊情况。时间序列分析的重点内容是对这几类模型的研究。
二、时间序列模型的类型
例如
12
12(1):0.8,(10.8)(2):0.50.3,
(10.50.3)t t t t t
t t t t t t
A R Y Y u L Y u A R Y Y Y u L L Y u ----=-=--=--=
从自回归模型（AR ）的形式看，时间序列数据是依时间顺序观察的, 已知的(1,2,....)t p Y p -=视为信息集，事实正好暗示信息集中也许存在某些有用信息，我们能够利用它解释与预测时间序列t Y 。
自回归模型AR(p)的统计特性——平稳性条件
随机时间序列模型的平稳性，可通过它所生成的随机时间序列的平稳性来判断。如果一个p 阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的，就说该AR(p)模型是平稳的，否则，就说该AR(p)模型是非平稳的。也可以说平稳性是自回归模型的一个重要统计特征。
下面以一阶自回归模型为例说明其平稳性条件。
2
1101
1212
1112
1
2111
2101
2
120
1
1110~0...1()(1**1,A R (1) 1t t t
t t t t t
t t t t i t t t t i
i t i
t t i i i
t Y Y u Y u IN Y Y u u u Y Y u u u u V a r Y V a r u i Y ρσρρρρρρρρσ
ρ
ρρρ---------=--==+==++=++=+++=
==
<∞
-<<∑
∑例子，；（，）
（））随着的增大，变小，方差为有限值（只具有限记忆性）．即平稳的条件是1.
**1ρ=（即有一个单位根），为随机游走过程（非平稳）
AR(1)模型平稳性的条件也可以通过以下讨论来说明：
设一阶自回归过程为
Y t =ρ
1 Y t-1 + u t ，
可写为
(1-ρ
1L) Y t = u t
Y t = (1-ρ 1 L)
-1
u t
在 |ρ
1| < 1
条件下，有 Y t = (1+ρ
1L + (ρ 1 L) 2
+ (ρ 1 L)
3
+…) u t
若保证A R (1)具有平稳性，1
i 0i i
L ρ
∞
=∑必须收敛，即ρ
1
必须满足|ρ1|< 1。这
是容易理
解的，如果|ρ
1| ≥ 1，
1i 0
i
i
L ρ∞
=∑
发散，于是Y t 变成一个非平稳随机过程。
Φ（L ）Y t =（1-ρ1L ）
Y t = u t 平稳的条件|ρ
1|< 1
等价于Φ（L ）=0的根在单位圆
外。
一般地，高阶自回模型AR(p)的平稳性有如下结论：
多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的平稳性。
（1）AR (p )模型平稳的必要条件是
12...1p ρρρ+++<
（2）由于(1,2,....,)i i p ρ=可正可负，AR (p )模型平稳的充分条件是
12...1p ρρρ+++<
2、移动（滑动）平均模型——MA (q )模型。 如果一个线性随机过程可用下式表达
1122
...t t t t q t q Y u u u u θθθ---=++++ 其中，12,,,q θθθ 是q 个参数；t u 为白噪声过程，则上式称为q 阶移动平均过程，记为MA (q ) 。上式用滞后算子表示
2
12(1...)q
t q t Y L L L u θθθ=++++
或
()t t Y L u =Θ
称“移动平均”的原因，因为t Y 是由t u 和t u 滞后项（共q+1个）的加权和构
造而成。“移动”指t 的变化，“平均”指加权和。
MA(q)模型的平稳性。对于移动平均模型MR(q)
1122t t t t q t
q
Y u u u u θθθ
---=++++
其中，t u 是一个白噪声。由定义知，任何一个q 阶移动平均过程都是由q + 1个白噪声变量加权和组成，所以任何一个移动平均过程t Y 都是平稳的。
移动平均过程的统计特征——可逆性条件
在自回归模型里，探讨的是模型（或过程）的平稳性。而任何一个移动平均过程都是平稳的，那么，移动平均过程的适当限制条件是什么？这个条件就是移动平均模型的可逆性。下面以(1)M A 为例说明移动平均模型的可逆性。
例如，设一阶移动平均过程为
11t t t Y u u θ-=+
用滞后算子表示
1(1)t t Y L u θ=+
其具有可逆性的条件是
1()10L L θΘ=+= 的根的绝对值应该大于1，即1
1
1L θ=
>，解出1θ，得11θ<。也就是说上述一
阶移动平均过程具有可逆性的条件是11θ<。为什么？运用级数原理，将滞后算
2
2
2
12
1112
2
1
1
()()()()0
()(1)()(1)()t q
t t q q
t
t q t t t q
t q
q
E Y V a r Y C o v Y Y C o v Y E E Y E μ
μ
μ
θθσ
θθ
θθ
μ
θ
θμ
θ
μ
σ
σ
-----=---==+++=-+++=-
子变换为
12233
1111(1)(1)t t t
u L Y L L L Y θθθθ-=+=-+-+ 由于11θ<，所以，上述表达式中“和函数”与“级数”的对应才成立，而级数（将t Y 乘进括弧里）刚好是以几何衰减为权数的自回归过程，显然，自回归过程的平稳性取决于11θ<。t Y 的数学期望和方差分别为
11112
2
111()()()()0()()()(1)t t t t t t t t u
E Y E u u E u E u V ar Y V ar u V ar u θθθθσ---=+=+==+=+
3、自回归过程与移动平均过程的关系。 （1）一个平稳的()A R p 过程
2
12(1)p
p t t L L L Y u ρρρ----=
可以转换为一个无限阶的移动平均过程
2
1
1
12(1)()p
t p t t Y L L L u L u ρρρ--=----=Φ
并且，对于()A R p 过程只需要考虑平稳性，条件是()0L Φ=的根的绝对值必须大 于1。()A R p 过程不需要考虑可逆性。
（2）一个可逆的()M A q 过程
2
12(1)()q
t q t t Y L L L u L u θθθ=++++=Θ
可以转换为一个无限阶的自回归过程
A R 模型、M R 模型可以相互转换的例子： Y t = 0.6 Y t-1 +
u t 则，(1 - 0.6 L )Y t = u t Y t =L
6.011-u t = (1 + 0.6 L + 0.36 L 2
+ 0.216 L 3
+ … ) u t
= u t + 0.6 u t -1 + 0.36 u t -2 + 0.216 u t -3 + …
上式变换为一个无限阶的移动平均过程。
2
1
1
12(1)()q
q t t t L L L Y L Y u θθθ--++++=Θ=
并且，对()M A q 过程，只需要考虑可逆性，条件是()0L Θ=的根的绝对值必须大于1。()M A q 过程不需要考虑平稳性。
例如，设(1)M A 为
11t t t Y u u θ-=+
逐次消去12,,t t u u -- ，得
1111122
11122
3
1
1
11121311(1)
112233()
(1)
t t t t t t t t t n n n t t t t t n t n t t t t n t n Y u u u Y u u Y u u Y Y Y Y u u Y Y Y Y θθθθθθθθθθππππ------+-----+----=+=+-=+-==+-+++-+=++++++
于是，对于权系数{},1s s π≥，如果111
1()10s s L L πθθ∞
=<∞?
单位圆之外，则(1)M A 过程是可逆的。
4、自回归移动平均模型——ARMA (p , q )模型。
由自回归和移动平均两部分共同构成的随机过程称为自回归移动平均过程，记为ARMA (p , q ), 其中p , q 分别表示自回归和移动平均部分的最大阶数。
ARMA (p , q ) 的一般表达式是
1122
1
1
22
t t t p t p
t t t q t q
Y Y Y Y u u u u ρρρθ
θ
θ-
---
-
-
=++++++++ 用自回归算子()L Φ和移动平均算子()L Θ表示为
2
2
1212(1)(1)()()p
q
p t q t t t
L L L Y L L L u L Y L u ρρρ???----=++++Φ=Θ
ARMA (p , q )过程的平稳性只依赖于自回归部分，即()0L Φ=的根的绝对值必须大于1；而ARMA (p , q )过程的可逆性只依赖于移动平均部分，即()0L Θ=的根的绝对值必须大于1。
在实际现象中常用的是ARMA(1, 1)过程
1111t t t t Y Y u u ρθ---=+
或
11(1)(1)t t L Y L u ρθ-=+
由上述结论知，只有当1111ρθ<<和时，该模型才是平稳的和可逆的。例如，ARMA(1, 1)过程
(10.4)(10.3)t t L Y L u -=+
因为，110.41,0.31ρθ=<=<，所以该过程是平稳的和可逆的。
三、随机时间序列模型的识别
前面，我们通过对各种随机时间序列的介绍，了解了它们的模型形式和统计特征。但仅从模型的函数形式和一般统计特征很难具体建立一个时间序列的模型。如何找出AR （p ）、 MA （q ）、 ARMA （p ，q ）的具体特征，最主要的是确定模型的阶，即确定上述模型的p 、q 、 p 和q ，这就是随机时间序列的识别问题。常用的识别方法有自相关函数和偏自相关函数，当然，准确的识别还必须借助统计检验。
（一）自相关函数（Autocorrelation Function ——ACF ） 1、自协方差。
设随机时间序列为,1,2,3,t Y t = ，为平稳的随机时间序列，即
2
2
(),
1,2,()()1,2,t t t Y
E Y t V ar Y E Y t μμσ
=<∞==-==
相隔k 期的两个随机变量t Y 和t k Y +的协方差，即滞后k 期的自协方差为
[](,)()()k t t k t t k Cov Y Y E Y Y γμμ++==--
k γ随着k 的变动，而成为一自协方差序列
,
0,1,2,,k k K
γ=
显然，当0k =时，有2200(,)()t t t Y C ov Y Y E Y γσ+===。 2、自相关函数。
由自协方差k γ的计算公式可以看出，k γ要受到量纲的影响，它的测量单位与变量的测量单位有关。在实际中，通常要将量纲的影响剔除掉，于是便产生了自相关系数
(,)k C ov Y Y ρ=
对于平稳的随机过程，有
[]
2
2
2
2
2000
()()()()(,)
,0,1
t t k Y t t k t t k k k Y
Y
Y
Y
k V ar Y V ar Y E Y Y C ov Y Y k σμμγρσσσγσγρργ+++==--∴=
=
=
=∴=
== 0当时有
称
,
0,1,2,k k ρ=
为自相关函数（ACF ）。又k k ρρ-=，所以自相关函数关于零对称。实际中只需计算自相关函数的正半部分。
由于k ρ表示总体的自相关函数，往往是未知的，因此，实际上我们是通过
样本计算的，即样本自相关函数，用?k ρ
表示。 3、自回归过程的自相关函数。
下面以(1)AR 过程为例，说明其自相关函数。 例子， 求平稳的(1)AR 过程的自相关函数。设
111,
1t t t Y Y u ρρ-=+<
则自相关函数计算如下
11111111
11
1111210101,(0)
()()(),(0)
,(1),(0)
t k t t k t t k t t k t t k t t k t k k k k k k k
k
k k k k
k Y Y Y Y Y u k E Y Y E Y Y E Y u k k ρργργγγρρρργγρρρρρρρρρρρρ-------------=+>=+>==?=======∴=≥ 且
对于平稳过程，要求11ρ<。所以，当1ρ为正，并且小于1时，自相关函数k ρ呈指数形式衰减至零；当1ρ为负，并且大于-1时，自相关函数k ρ呈正负交错地指数形式衰减至零。由于经济时间序列1ρ一般为正，所以第一种情况常见。总之，无论1ρ在（-1，1）之间怎么变化，(1)AR 过程具有拖尾性特征。这是自回归模型的重要统计特征。
4、移动平均过程的自相关函数。
下面以(1)M A 过程为例，说明其自相关函数。 例子，设可逆的移动平均模型(1)M A 为
11t t t Y u u θ-=+
计算如下
[]()11112
2
2
2
2
111112222111
121
1211
1()(),
2(1)1()()10
k t k t k t t t t t t u
t t t t t t t t u
k E u u u u k E u u u u k E u u u u u u u E u
k γθθγθθθσγθθθθθσ
γ------------=++==++=+==+++==>=01当0,当时，当时，
则，自相关函数为
12
11,0,110,1k k k k k γθργθ?=??=
==?+?
?>?
由此可见，(1)M A 过程的自相关函数k ρ，在1k >时具有截尾性。这是移动平均过程的重要统计特征。
5、(,)ARMA p q 过程的自相关函数。
由于(,)A R M A p q 过程是由自回归部分和移动平均部分构成，而自回归过程和移动平均过程前面已经讨论。下面以(1,1)A R M A 为例，只给出结论。
设(1,1)A R M A 过程为
1111t t t t Y Y u u φθ---=+
则自相关函数从1ρ开始呈指数形式衰减。1ρ的数值取决于1φ和1θ，1ρ的符号取决于11()φθ-，如果10φ>，则指数形式衰减是平滑的，或正负交错；如果10φ<，则自相关函数为正负交替式指数衰减。总之，对于A R M A 模型的自相关函数k ρ具有拖尾性特征。
（二）偏自相关函数（Partial Autocorrelation Function ——PACF ） 1、偏自相关函数的定义。 设自回归模型为
1122t k t k t kk t k t
Y Y Y Y u φφφ---=++++
式中kk φ为最后一个回归系数，若把kk φ看作滞后期k 的函数，则称
,
1,2,kk k φ=
为偏自相关函数（PACF ）。
kk φ具有明确的边际意义，它是在给定12(1),,,t t t k Y Y Y ---- 的条件下，t Y 与t k Y -之间的条件相关系数。因为kk φ恰好表示了t Y 与t k Y -在假定其它中间变量
12(1),,,t t t k Y Y Y ---- 不变的前提下的自相关系数，即
11221(1)t k t k t kk t k kk t k t
Y Y Y Y Y u φφφφ----------=+
所以，偏自相关函数由此得名。
用t j Y -乘自回归模型的两端，再求数学期望，最后用0γ同除两端得下式
1122,
1,2,,j k j k j kk j k j k
ρφρφρφρ---=+++=
其中kj φ表示k 阶自回归模型中第j 个回归系数。由这一表达式可以求出kk φ的估计?kk φ，从而绘制出偏自相关函数的图形。 2、自回归模型的偏自相关函数。
设平稳的自回归模型为()A R p ，当k p ≤时，0kk φ≠；当k p >时，0kk φ=。表明偏自相关函数在滞后期p 以后有截尾特征，因此，可用此特征来识别()A R p 。
例子，设平稳的自回归模型为(1)AR ，当1k =时，0kk φ≠；当1k >时，0kk φ=。表明(1)AR 过程的偏自相关函数特征在1k =处出现峰值，然后截尾。
3、移动平均模型的偏自相关函数。
因为，任何一个可逆的q 阶()M A q 过程都可以转换为一个无限阶的、系数按几何衰减的自回归过程，所以，()M A q 过程的偏自相关函数呈缓慢衰减特征，即
kk φ具有拖尾性特征。
例子，设(1)M A 过程，即
11t t t Y u u θ-=+
则它的偏自相关函数具有指数衰减特征。若10θ>，偏自相关函数呈交替改变符号的指数衰减；若10θ<，偏自相关函数呈负的指数衰减。
4、(,)ARMA p q 过程的偏自相关函数。
(,)ARMA p q 的偏自相关函数与()
M A q 部分的偏自相关函数一致。根据模型
中移动平均分量的阶数q 和参数i θ的不同，偏自相关函数呈指数衰减和正弦衰减混合形式。
（三）总结
归纳起来，模型的识别主要依赖于对自相关图和偏自相关图的分析，在对经济时间序列进行分析之前。
1、可考虑对样本数据取对数，目的是消除数据中可能存在的异方差，但要注意一般样本容量比较大才这样做。
2、通过自相关图判断随机过程是否平稳。如果一个随机过程是平稳的，其特征方程的根都应在单位圆之外。并且，如果()0
Φ=的根接近单位圆，自相关
L
函数将衰减的很慢；如果()0
Φ=的根在单位圆上，对于有限样本，自相关函数
L
将衰减的很慢；对于无限样本，自相关函数将不衰减。所以，在分析自相关图时，发现其衰减很慢，可认为该时间序列是非平稳。如果随机过程是非平稳的，应对其进行差分，使其转变为平稳的。经济时间序列，差分的次数d通常取0，1，2即可。
3、在随机序列平稳的基础上，可识别过程的类型和确定滞后阶数,p q。
表1 时间序列模型的统计特征
但需要注意，利用自相关函数和偏自相关函数判断模型的类型和滞后阶数，特别是滞后阶数，由于受样本影响，使得判断有时候存在偏差，因此，还需精确的检验来作进一步的判断。
第四节平稳性检验
一、平稳性检验的意义
寻求变量之间的协整关系，首先需要对变量进行平稳性检验。如果变量是平稳的，则可按传统计量经济学方法建立模型；如果变量是非平稳的，则需要建立变量之间的协整关系。下面先介绍平稳性检验，然后，介绍变量的协整关系。
课程论文 题目：第三产业产值的影响因素分析 学院财会学院＿ 专业会计专硕 班级会计专硕1501 课程名称计量经济学（课程设计） 学号 学生姓名 60 指导教师赵卫亚 成绩 二○一五年十二月
第三产业产值的影响因素分析 摘要：本文利用计量经济分析方法和1990—2010年的时间序列统计资料，建立了我国第三产业产值影响因素模型。建模过程中，处理了模型中的协整检验、自相关性等问题。本文认为我国第三产业产值主要受GDP和我国城乡居民存款储蓄的影响，因此需要引起足够的重视，正确开展工作，促进第三产业的发展。 关键词：第三产业产值；时间序列分析；GDP；城乡居民存款储蓄 一、引言 第三产业是指除第一二产业以外的其他行业。自从我国进入改革开放以来，我国不仅在积极发展第一产业和第二产业的同时，也在积极扶植第三产业的发展。我国属于发展中国家，仅靠出口农产品或初级工业品很难在国际社会中立有一足之地。进入21世纪，第三产业的发展迫切需要成为促进经济发展的主要动力。这主要是因为第三产业基本以服务业为主，这就使其具有了行业多，范围广等特点，从而能够提供更多的就业机会，相对于其他产业服务业的就业门滥相对来说也较低，能吸纳农村等剩余劳动力，并且第三产业的发展，也能有效地促进第一产业和第二产业的发展，加速推进我国的工业化和现代化进程，提高我国的综合国力。我国的第三产业较其他发达国家仍有很大的差距，所以加快本国第三产业发展迫在眉睫。 第三产业不仅在占国民生产总值比重方面不断提高，其内部的产业结构也在不断地发生着变化。最初我国第三产业的发展主要集中以餐饮等为主的传统服务业上，而随着新型服务业的产生，我国开始侧重向金融保险业、房地产业等方面的发展，其数量和质量的提高使得第三产业在我国经济发展的过程中产生的作用也越来越显著。 因此，研究第三产业产值的影响因素分析具有实际意义。 二、文献综述 江小涓、李辉（2004）建立了一个多元回归模型来分析收入水平、消费结构、城市化以及其他因素对第三产业未来发展的影响，提出第三产业比例随着人均GDP水平增长而增加[1]。郭彩霞（2009）对1978到2008年相关数据进行实证分析，得到要想加快农村现代化就必须要促进第三产业的发展结论[2]。王小宁（2009）认为第三产业固定资产的投资对第三产业产值具有重大的影响[3]。徐群、于德淼、赵春阁在对第三产业发展研究时主要是利用线性回归模型来对我国第三产业的影响因素进行分析，对我国第三产业发展现状的研究和趋势预测就是利用的主成分分析和逐步回归分析方法[4]。
第五章时间序列分析 一、单项选择题 1.构成时间数列的两个基本要素是( C )（2012年1月） A.主词和宾词 B.变量和次数 C.现象所属的时间及其统计指标数值 D.时间和次数 2．某地区历年出生人口数是一个( B )（2011年10月） A．时期数列 B.时点数列 C.分配数列 D.平均数数列 3.某商场销售洗衣机，2008年共销售6000台，年底库存50台，这两个指标是( C ) （2010年10） A.时期指标 B.时点指标 C.前者是时期指标，后者是时点指标 D.前者是时点指标，后者是时期指标 4.累计增长量( A ) （2010年10） A.等于逐期增长量之和 B.等于逐期增长量之积 C.等于逐期增长量之差 D.与逐期增长量没有关系 5.某企业银行存款余额4月初为80万元，5月初为150万元，6月初为210万元，7月初为160万元，则该企业第二季度的平均存款余额为（ C ）（2009年10） 万元万元万元万元 6.下列指标中属于时点指标的是( A ) （2009年10） A.商品库存量 B.商品销售量 C.平均每人销售额 D.商品销售额 7.时间数列中，各项指标数值可以相加的是( A ) （2009年10） A.时期数列 B.相对数时间数列 C.平均数时间数列 D.时点数列 8.时期数列中各项指标数值（ A ）（2009年1月） A.可以相加 B.不可以相加 C.绝大部分可以相加 D.绝大部分不可以相加 10.某校学生人数2005年比2004年增长了8%，2006年比2005年增长了15%，2007年比2006年增长了18%，则2004-2007年学生人数共增长了（ D ）（2008年10月） ％+15％+18％％×15％×18％ C.（108％+115％+118％）-1 ％×115％×118％-1 二、多项选择题 1.将不同时期的发展水平加以平均而得到的平均数称为( ABD )（2012年1月） A.序时平均数 B.动态平均数 C.静态平均数 D.平均发展水平 E.一般平均数2．定基发展速度和环比发展速度的关系是( BD )（2011年10月） A．相邻两个环比发展速度之商等于相应的定基发展速度 B.环比发展速度的连乘积等于定基发展速度
目录 摘要 (1) 第一章绪论 (2) 1.1 时间序列模型的发展及其作用 (2) 1.2 什么是时间序列模型 (2) 1.3 本文研究的主要方法和手段 (2) 1.4 本文主要研究思路及内容安排 (2) 第二章 ARMA模型 (4) 2.1 ARMA模型的基本原理 (4) 2.2 样本自协方差函数、自相关函数和偏相关函数 (4) 2.3 ARMA模型识别方法 (5) 2.4 模型参数估计 (6) 第三章实例分析 (7) 3.1 题目 (7) 3.2 问题分析 (7) 3.3 问题求解 (8) 3.3.1数据的观测 (8) 3.3.2数据处理 (8) 3.3.3求解自相关和偏相关函数 (8) 3.4 模型的识别及求解 (9) 3.5 结论 (11) 参考文献 (12) 附录 (12) 评阅书 (15)
《随机过程》课程设计任务书
摘要 ARMA模型是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（简称AR模型）与滑动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。ARMA模型广泛应用在经济、工程等各个领域得益于其在具体预测方面的优势。在许多方面用该模型所作出的预测比其他传统经济计量方法更加精确。平稳时间序列模型主要有自回归模型(AR)、滑动平均模型(MA)和自回归滑动平均模型(ARMA)等，这些线性模型考虑因素较简单。自回归滑动平均模型(ARMA)计算简单，易于实时更新数据。 本文描述了ARMA模型的原理、自相关函数和偏相关函数的计算过程、模型的识别方法以及ARMA模型的计算过程。并给出一组平稳时间序列的数据，对数据进行分析和处理，求出自相关系数和偏相关，并利用MATLAB软件画出自相关系数和偏相关图形，有图可知它们都是拖尾的，因此可以确定是) ARMA模 p , (q 型。接下来就是确定) ARMA的阶数，本文采用了AIC准则确定模型的阶数， p , (q 在实际问题中，为使线性模型简单起见，通常p与q的数值被取得较小，却需都不为零。确定阶数后，就用我们学过的求解方法解出未知的参数，这样我们就得到了混合模型的表达式。 关键字：) ARMA模型，自相关函数，偏相关函数 p , (q
第九章时间序列计量经济学模型案例 1、1949—2001年中国人口时间序列数据见表8，由该数据（1）画时间序列图和差分图；（2）求中国人口序列的相关图和偏相关图，识别模型形式；（3）估计时间序列模型；（4）样本外预测。 表9.1 中国人口时间序列数据（单位：亿人） 年份人口y t 年份人口y t年份人口y t年份人口y t年份人口y t 1949 5.4167 1960 6.6207 1971 8.5229 1982 10.159 1993 11.8517 1950 5.5196 1961 6.5859 1972 8.7177 1983 10.2764 1994 11.985 1951 5.63 1962 6.7295 1973 8.9211 1984 10.3876 1995 12.1121 1952 5.7482 1963 6.9172 1974 9.0859 1985 10.5851 1996 12.2389 1953 5.8796 1964 7.0499 1975 9.242 1986 10.7507 1997 12.3626 1954 6.0266 1965 7.2538 1976 9.3717 1987 10.93 1998 12.4761 1955 6.1465 1966 7.4542 1977 9.4974 1988 11.1026 1999 12.5786 1956 6.2828 1967 7.6368 1978 9.6259 1989 11.2704 2000 12.6743 1957 6.4653 1968 7.8534 1979 9.7542 1990 11.4333 2001 12.7627 1958 6.5994 1969 8.0671 1980 9.8705 1991 11.5823 1959 6.7207 1970 8.2992 1981 10.0072 1992 11.7171 （1）画时间序列图 y的数据窗口 打开 t 得到中国人口序列图
第五章时间序列的模型识别 前面四章我们讨论了时间序列的平稳性问题、可逆性问题，关于线性平稳时间序列模型，引入了自相关系数和偏自相关系数，由此得到ARMA(p, q)统计特性。从本章开始，我们将运用数据开始进行时间序列的建模工作，其工作流程如下： 图5.1 建立时间序列模型流程图 在ARMA(p,q)的建模过程中，对于阶数(p,q)的确定，是建模中比较重要的步骤，也是比较困难的。需要说明的是，模型的识别和估计过程必然会交叉，所以，我们可以先估计一个比我们希望找到的阶数更高的模型，然后决定哪些方面可能被简化。在这里我们使用估计过程去完成一部分模型识别，但是这样得到的模型识别必然是不精确的，而且在模型识别阶段对于有关问题没有精确的公式可以利用，初步识别可以我们提供有关模型类型的试探性的考虑。 对于线性平稳时间序列模型来说，模型的识别问题就是确定ARMA(p,q)过程的阶数，从而判定模型的具体类别，为我们下一步进行模型的参数估计做准备。所采用的基本方法主要是依据样本的自相关系数（ACF）和偏自相关系数（PACF）初步判定其阶数，如果利用这种方法无法明确判定模型的类别，就需要借助诸如AIC、BIC 等信息准则。我们分别给出几种定阶方法，它们分别是（1）利用时间序列的相关特性，这是识别模型的基本理论依据。如果样本的自相关系数（ACF）在滞后q+1阶时突然截断，即在q处截尾，那么我们可以判定该序列为MA(q)序列。同样的道理，如果样本的偏自相关系数（PACF）在p处截尾，那么我们可以判定该序列为AR(p)序列。如果ACF和PACF 都不截尾，只是按指数衰减为零，则应判定该序列为ARMA(p,q)序列，此时阶次尚需作进一步的判断；（2）利用数理统计方法检验高阶模型新增加的参数是否近似为零，根据模型参数的置信区间是否含零来确定模型阶次，检验模型残差的相关特性等；（3）利用信息准则，确定一个与模型阶数有关
. . 第五讲（续）平稳时间序列的ARMA模型
. . 1 平稳性 有一类描述时间序列的重要随机模型受到了人们的广泛关注，这就是所谓的平稳模型。这类模型假设随机过程在一个不变的均值附近保持平衡。其统计规律不会随着时间的推移发生变化。平稳的定义分为严平稳和宽平稳。 定义1（严平稳） 设{},t x t T ∈是一个随机过程,t x 是在不同的时刻t 的随机变
. . 量，在不同的时刻t 是不同的随机变量，任取n 个值1,,n t t K 和任意的实数h ，则1,,n x x K 分布函数满足关系式 1111(,,;,)(,,;,) n n n n n n F x x t t F x x t h t h =++L L L L 则称{},t x t T ∈为严平稳过程。 在实际中，这几乎是不可能的。由此考虑到是否可以把条件放宽，仅仅要求其数字特征(数学期望和协方差)相等。 定义2（宽平稳） 若随机变量{},t x t T ∈的均值（一阶矩）和协方差（二阶矩）
. . 存在，且满足： （1）任取t T ∈，有()t E x c =； （2）任取t T ∈，t T τ+∈，有 [(())(())]()E X t a X t a R ττ-+-= 协方差是时间间隔的函数。则称{},t x t T ∈ 为宽平稳过程，其中()R τ为协方差函数。 2 各种随机时间序列的表现形式
. . 白噪声过程（white noise，如图1）。属于平稳过程。y t = u t, u t~ IID(0, σ2)
. . -3 -2 -1 1 2 3 140160240260 white noise 图1 白噪声序列（ 2=1） 随机游走过程（random walk，如图11）。属于非平稳过
计量经济学引子：是真回归还是伪回归？问题：●如果直接将非平稳时间序列当作平稳时间序列来进行分析，会造成什么不良后果；●如何判断一个时间序列是否为平稳序列；●当我们在计量经济分析中涉及到非平稳时间序列时，应作如何处理？第一节时间序列基本概念本节基本内容: ●伪回归问题●随机过程的概念●时间序列的平稳性一、伪回归问题传统计量经济学模型的假定条件：序列的平稳性、正态性。所谓“伪回归”，是指变量间本来不存在相依关系，但回归结果却得出存在相依关系的错误结论。 20世纪70年代，Grange、Newbold 研究发现，造成“伪回归”的根本原因在于时序序列变量的非平稳性三、时间序列的平稳性所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。直观上，一个平稳的时间序列可以看作一条围绕其均值上下波动的曲线。从理论上，有两种意义的平稳性，一是严格平稳，另一种是弱平稳。时间序列的非平稳性是指时间序列的统计规律随着时间的位移而发生变化，即生成变量时间序列数据的随机过程的特征随时间而变化。在实际中遇到的时间序列数据很可能是非平稳序列，而平稳性在计量经济建模中又具有重要地位，因此有必要对观测值的时间序列数据进行平稳性检验。第二节 时间序列平稳性的单位根检验本节基本内容: ●单位根检验● Dickey－Fuller检验● Augmented Dickey－Fuller检验一、单位根过程单位根过程结论: 随机游动过程是非平稳的。
因此，检验序列的非平稳性就变为检验特征方程是否有单位根，这就是单位根检验方法的由来。二、Dickey-Fuller检验（DF检验）大多数经济变量呈现出强烈的趋势特征。这些具有趋势特征的经济变量，当发生经济振荡或冲击后，一般会出现两种情形: ●受到振荡或冲击后，经济变量逐渐又回它们的长期趋势轨迹；●这些经济变量没有回到原有轨迹，而呈现出随机游走的状态。若我们研究的经济变量遵从一个非平稳过程，一个变量对其他变量的回归可能会导致伪回归结果。这是研究单位根检验的重要意义所在。 (2) 提出假设检验用统计量为常规t统计量， (3) 计算在原假设成立的条件下t统计量值，查DF检验临界值表得临界值，然后将t统计量值与DF检验临界值比较：若t统计量值小于DF检验临界值，则拒绝原假设，说明序列不存在单位根；若t统计量值大于或等于DF检验临界值，则接受原假设，说明序列存在单位根。Dickey、Fuller研究发现，DF检验的临界值同序列的数据生成过程以及回归模型的类型有关，因此他们针对如下三种方程编制了临界值表，后来Mackinnon把临界值表加以扩充，形成了目前使用广泛的临界值表，在EViews软件中使用的是Mackinnon临界值表。 DF检验存在的问题是，在检验所设定的模型时，假设随机扰动项不存在自相关。但大多数的经济数据序列是不能满足此项假设的，当随机扰动项存在自相关时，直接使用DF检验法会出现偏误，为了保证单位根检验的有效性，人们对DF检验进行拓展，从而形成了扩展的DF检验(Augmented Dickey-Fuller Test)，简称为ADF检验。根据《中国
第六章时间序列分析 重点： 1、增长量分析、发展水平及增长量 2、增长率分析、发展速度及增长速度 3、时间数列影响因素、长期趋势分析方法 难点： 1、增长量与增长速度 2、长期趋势与季节变动分析 第一节时间序列的分析指标 知识点一：时间序列的含义 时间序列是指经济现象按时间顺序排列形成的序列。这种数据称为时间序列数据。 时间序列分析就是根据这样的数列分析经济现象的发展规律，进而预测其未来水平。 时间数列是一种统计数列，它是将反映某一现象的统计指标在不同时间上的数值按时间先后顺序排列所形成的数列。表现了现象在时间上的动态变化，故又称为动态数列。 一个完整的时间数列包含两个基本要素： 一是被研究现象或指标所属的时间； 另一个是该现象或指标在此时间坐标下的指标值。 同一时间数列中，通常要求各指标值的时间单位和时间间隔相等，如无法保证相等，在计算某些指标时就涉及到“权”的概念。 研究时间数列的意义：了解与预测。 [例题·单选题]下列数列中哪一个属于时间数列（）. a.学生按学习成绩分组形成的数列 b.一个月内每天某一固定时点记录的气温按度数高低排列形成的序列 c.工业企业按产值高低形成的数列 d.降水量按时间先后顺序排列形成的数列 答案：d 解析：时间序列是一种统计数列，它是将反映某一现象的统计指标在不同时间上的数值按时间先后顺序排列所形成的数列，表现了现象在时间上的动态变化。 知识点二：增长量分析（水平分析）
一.发展水平 发展水平是指客观现象在一定时期内（或时点上）发展所达到的规模、水平,一般用y t （t=1,2,3，…,n) 。 在绝对数时间数列中，发展水平就是绝对数； 在相对数时间数列中，发展水平就是相对数或平均数。 几个概念：期初水平y 0，期末水平y t ，期间水平(y 1 ,y 2 ,….y n-1 )； 报告期水平(研究时期水平)，基期水平（作为对比基础的水平）。 二.增长量 增长量是报告期发展水平与基期发展水平之差，增长量的指标数值可正可负，它反映的是报告期相对基期增加或减少的绝对数量，用公式表示为： 增长量＝报告期水平－基期水平 根据基期的不同确定方法，增长量可分为逐期增长量和累计增长量。 1.逐期增长量：是报告期水平与前一期水平之差，用公式表示为： △ = y n - y n-1 （i=1,2,…,n） 2.累计增长量：是报告期水平与某一固定时期水平（通常是时间序列最初水平）之差，用公式表示为： △ = y n - y （i=1,2,…,n）（i=1,2,…,n） 二者关系：逐期增长量之和=累计增长量 3.平均增长量 平均增长量是时间序列中的逐期增长量的序时平均数，它表明现象在一定时段内平均每期增加（减少）的数量。 一般用累计增长量除以增长的时期数目计算。 （y n - y ）/n [例题·单选题]某社会经济现象在一定时期内平均每期增长的绝对数量是（）。 a．逐期增长量 b．累计增长量 c．平均增长量 d．增长速度 答案：c 解析：平均每期增长的绝对数量是平均增长量。 知识点三：增长率分析（速度分析） 一.发展速度
时间序列 （一）时间序列及其分类 同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的序列称为时间序列。例如，下表就是我国国内生产总值、人口等在不同时间上得到的观察值排列而成的序列。 由表可以看出，时间序列形式上由现象所属的时间和现象在不同时间上的观察值两部分组成。根据所处的观察时间不同，现象所属的时间可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式。现象的观察值根据表现形式不同有绝对数、相对数和平均数等。因此，从观察值的表现形式上看，时间序列可分为绝对数时间序列、相对数时间序列和平均数时间序列等。 由一系列绝对数按时间顺序排列而成的序列称为绝对数时间序列。它是时间序列中最基本的表现形式，用于反映现象在不同时间上所达到的绝对水平。绝对数时间序列根据观察值所属的时间状况不同，可以分为时期序列和时点序列。例如，表中的国内生产总值序列就是时期序列。时期序列中的观察值反映现象在一段时期内的活动总量，并且各观察值通常可以直接相加，用于反映现象在更长一段时期内的活动总量。表中的年末总人口序列属于时点序列，时点序列中的观察值反映现象在某一瞬间时点上的总量，它是在某一时点上统计得到的，序列中的各观察值通常不能相加。由绝对数时间序列可以派生出相对数和平均数时间序列，它们分别是由一系列相对数和平均数按时间顺序排列而成的。例如，表中的人口自然增长率序列就是相对数时间序列，居民消费水平序列则是平均数时间序列。 时间序列的描述性分析包括水平分析和速度分析两方面的内容。 （二）时间序列的水平分析 1.序时平均数 在时间序列中，我们用i t表示现象所属的时间，i Y表示现象在不同时间上观察值。i Y也称为现象在时间i t上的发展水平，它表示现象在某一时间上所达到的一种数量状态。若观察的时间范围为1t，2t，…，n t，相应的观察值表示为1Y，2Y，…，3Y，其中1Y称为最初发展水平，n Y称为最末发展水平；若对两个观察值进行比较时，把现在的这个时期称为报 告期，用于比较的过去的那个时期称为基期。 序时平均数是现象在不同时间上的观察值的平均数。它可以概括性地描述出现象在一段时期内所达到的一般水平。在证券市场上，对股票价格或股票价格指数的分析中常用到序时
1.1949—2001年中国人口时间序列数据见表8，由该数据（1）画时间序列图；（2）求中国人口序列的相关图和偏相关图，识别模型形式；（3）估计时间序列模型；（4）样本外预测。 表8 中国人口时间序列数据（单位：亿人） 年份人口y t年份人口y t年份人口y t年份人口y t年份人口y t 1949 5.4167 1960 6.6207 1971 8.5229 1982 10.159 1993 11.8517 1950 5.5196 1961 6.5859 1972 8.7177 1983 10.2764 1994 11.985 1951 5.63 1962 6.7295 1973 8.9211 1984 10.3876 1995 12.1121 1952 5.7482 1963 6.9172 1974 9.0859 1985 10.5851 1996 12.2389 1953 5.8796 1964 7.0499 1975 9.242 1986 10.7507 1997 12.3626 1954 6.0266 1965 7.2538 1976 9.3717 1987 10.93 1998 12.4761 1955 6.1465 1966 7.4542 1977 9.4974 1988 11.1026 1999 12.5786 1956 6.2828 1967 7.6368 1978 9.6259 1989 11.2704 2000 12.6743 1957 6.4653 1968 7.8534 1979 9.7542 1990 11.4333 2001 12.7627 1958 6.5994 1969 8.0671 1980 9.8705 1991 11.5823 1959 6.7207 1970 8.2992 1981 10.0072 1992 11.7171 （1）画时间序列图 打开 y的数据窗口 t
第一章平稳时间序列模型及其特征 第一节模型类型及其表示 一、自回归模型（AR） 由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型： X t=φX t-1+εt（2.1.1）常记作AR(1)。其中｛X t｝为零均值（即已中心化处理）平稳序列，φ为X t对X t－1的依赖程度，εt为随机扰动项序列（外部冲击）。 如果X t 与过去时期直到X t-p的取值相关，则需要使用包含X t－ X t-p在内的p阶自回归模型来加以刻画。P阶自回归模型的一1 ，…… 般形式为： X t=φ1 X t－1+φ2 X t－2+…+φp X t－p+εt（2.1.2）为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。设B 为滞后算子，即BX t=X t-1, 则B(B k-1X t)=B k X t=X t-k B(C)=C(C为常数)。利用这些记号，（2.1.2）式可化为： X t=φ1BX t+φ2B2X t+φ3B3X t+……+φp B p X t+εt 从而有： （1-φ1B-φ2B2-……-φp B p）X t=εt 记算子多项式φ（B）＝（1-φ1B-φ2B2-……-φp B P）,则模型可以表
示成 φ（B）X t=εt (2.1.3) 例如，二阶自回归模型X t=0.7X t-1+0.3X t-2+0.3X t-3+εt可写成（1-0.7B-0.3B2）X t=εt 二、滑动平均模型（MA） 有时，序列X t的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况下，X t可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即 X t=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q (2.1.4) 此模型常称为序列X t的滑动平均模型，记为MA(q)，其中q为滑动平均的阶数，θ1，θ2…θq为参滑动平均的权数。相应的序列X t称为滑动平均序列。 使用滞后算子记号，（2.1.4）可写成 X t=（1-θ1B-θ2B2-……- θq B q）q t=θ(B)εt (2.1.5) 三、自回归滑动平均模型 如果序列｛X t｝的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击，这种模型叫做自回归滑动平均模型，其一般结构为： X t=φ1X t-1+φ2X t-2+……+φp X t-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q (2.1.6) 简记为ARMA(p, q)。利用滞后算子，此模型可写为 φ（B）X t=θ(B)εt（2.1.7）
第十章 时间序列计量经济模型 一、判断题 1. 设定的模型的随机扰动项存在自相关时，可以使用DF 检验。（ F ） 2. 误差修正模型可以克服传统计量经济模型忽视伪回归的问题。（ T ） 3. 任意两个单整变量之间都可能存在协整关系。（ F ） 4. 误差修正模型仅反映短期调整行为。（ F ） 5. 随机游走过程是平稳时间序列。（ F ） 二、单项选择题 1．产生虚假回归的原因是（ C ）。 A. 自相关性 B. 异方差性 C. 序列非平稳 D. 随机解释变量 2．对于平稳的时间序列，下列说法不正确的是（ C ）。 A ．序列均值是与时间无关的常数 B ．序列方差是与时间无关的常数 C ．序列的自协方差是与时间间隔和时间均无关的常数 D ．序列的自协方差是只与时间间隔有关、和时间均无关的常数 3．如果t y 是平稳时间序列，则（ C ）。 A ． ()()() <<<--2t 1t t y E y E y E B ．()()() >>>--2t 1t t y E y E y E C ．()()() ===--2t 1t t y E y E y E D ．()()() =-=-=------3t 2t 2t 1t 1t t y y E y y E y y E 4．某一时间序列经一次差分后是平稳时间序列，该时间序列称为（ D ）。 A ．1阶单整 B ．2阶单整 C ．k 阶单整 D ．还需进一步检验 5．当随机误差项存在自相关时，单位根检验采用的是（ B ）。 A ．DF 检验 B ．ADF 检验 C ．EG 检验 D ．DW 检验 7．DF 检验式t 1t t Y Y εγ+=-的原假设H 0为（ D ）。 A ．序列t Y 没有单位根，0=γ B ．序列t Y 没有单位根，1=γ
第八章时间序列分析与预测 【课时】6学时 【本章内容】 § 时间序列的描述性分析 时间序列的含义、时间序列的图形描述、时间序列的速度分析 § 时间序列及其构成分析 时间序列的构成因素、时间序列构成因素的组合模型 § 时间序列趋势变动分析 移动平均法、指数平滑法、模型法 § 时间序列季节变动分析 [ 原始资料平均法、趋势-循环剔除法、季节变动的调整 § 时间序列循环变动分析 循环变动及其测定目的、测定方法 本章小结 【教学目标与要求】 1.掌握时间序列的四种速度分析 2.掌握时间序列的四种构成因素 3.掌握时间序列构成因素的两种常用模型 4.掌握测定长期趋势的移动平均法 5.了解测定长期趋势的指数平滑法 6.； 7.掌握测定长期趋势的线性趋势模型法 8.了解测定长期趋势的非线性趋势模型法 9.掌握分析季节变动的原始资料平均法 10.掌握分析季节变动的循环剔出法 11.掌握测定循环变动的直接法和剩余法 【教学重点与难点】 1.对统计数据进行趋势变动分析，利用移动平均法、指数平滑法、线性模型法求得数 据的长期趋势； 2.对统计数据进行季节变动分析，利用原始资料平均法、趋势－循环剔除法求得数据 的季节变动； 3.对统计数据进行循环变动分析，利用直接法、剩余法求得循环变动。 【导入】 ； 很多社会经济现象总是随着时间的推移不断发展变化，为了探索现象随时间而发展变化的规律，不仅要从静态上分析现象的特征、内部结构以及相互关联的数量关系，而且应着眼于现象随时间演变的过程，从动态上去研究其发展变动的过程和规律。这时需要一些专门研究按照时间顺序观测的序列数据的统计分析方法，这就是统计学中的时间序列分析。 通过介绍一些时间序列分析的例子，让同学们了解时间序列的应用，并激发学生学习本章知识的兴趣。 1.为了表现中国经济的发展状况，把中国经济发展的数据按年度顺序排列起来，
佛山科学技术学院 应用时间序列分析实验报告 实验名称第五章非平稳序列的随机分析 一、上机练习 通过第4章我们学习了非平稳序列的确定性因素分解方法，但随着研究方法的深入和研究领域的拓宽，我们发现确定性因素分解方法不能很充分的提取确定性信息以及无法提供明确有效的方法判断各因素之间确切的作用关系。第5章所介绍的随机性分析方法弥补了确定性因素分解方法的不足，为我们提供了更加丰富、更加精确的时序分析工具。 5.8.1 拟合ARIMA模型 【程序】 data example5_1; input x@@; difx=dif(x); t=_n_; cards; 1.05 -0.84 -1.42 0.20 2.81 6.72 5.40 4.38 5.52 4.46 2.89 -0.43 -4.86 -8.54 -11.54 -1 6.22 -19.41 -21.61 -22.51 -23.51 -24.49 -25.54 -24.06 -23.44 -23.41 -24.17 -21.58 -19.00 -14.14 -12.69 -9.48 -10.29 -9.88 -8.33 -4.67 -2.97 -2.91 -1.86 -1.91 -0.80 ; proc gplot; plot x*t difx*t; symbol v=star c=black i=join; proc arima; identify var=x(1); estimate p=1; estimate p=1 noint; forecast lead=5id=t out=out; proc gplot data=out; plot x*t=1 forecast*t=2 l95*t=3 u95*t=3/overlay; symbol1c=black i=none v=star; symbol2c=red i=join v=none; symbol3c=green I=join v=none;
第十章 时间序列模型（二） 现代时间序列经济计量学的一个重要研究课题是探索经济时间序列的动态结构，研究它们的统计性质，理解产生这些经济数据的数据生成过程（DGP ）的特点和性质，从而能更有效地利用经济数据构造和建立经济计量模型，用以做经济预测，检验各种经济理论的可靠性和可行性，并为各级政府和企业的经济决策提供数量化的建议。 传统的时间序列经济计量学在进行这些研究时，通常假设经济数据和产生这些数据的随机过程是稳定的过程（Stationary Process ），在此基础上对经济计量模型中的参数做估计和假设检验。上一章便是这方面的结果。但是，许多经济指标的时间序列数据并不具有稳定过程的特征。比如，图10.1中我国的M1货币供应量和价格指数的年时间序列数据都不会由稳定的随机过程生成，因为它们显然不具有固定的期望值。 图10.1 货币供应量M1和价格指数P 对于由非稳定过程（Non-stationary Process ）生成的时间序列数据，传统的 数理统计和经济计量学方法显得无能为力（如常规的t 和F 检验失效，引起谬回归等）。这特别是因为作为推断和检验理论基础的中心极限定理，在涉及非平稳变量时，不再适用。在前一章，我们知道对于许多非平稳的时间序列，通过差分可以变化为平稳的，但是，由于水平变量之间往往具有重要的经济意义，以差分变量建立模型，不能对水平变量之间的关系做充分的描述，从而达不到检验经济理论，进行经济预测的目的。近年来，特别是自70年代中期以来，人们逐渐认识道路经济数据特别是宏观经济数据的非平稳性质，并对其作了深入可研究，得到了大量成果，诞生了以非平稳时序为重点处理对象的协整理论，使计量经济学有了突破性发展。 本章简要系统的介绍过去十几年中经济计量学在时间序列领域里的发展。重点是非平稳的单位根过程、协整过程等一些主要理论。这些理论虽然还没有完全揭示非平稳过程的结构特点及其性质，但在80年代初兴起后，已在很大程度上改变了传统的时间序列经济计量学的理论和方法。稳定过程不再是经济计量学研究的唯一对象，非平稳的时间序列也不再是不可涉足的领域，特别是其中的I （1）过程和I （2）过程及协整过程成了研究的主要对象，它们已在经济学和金融学中得到了广泛的应用。 我们从非平稳的单位根过程开始，介绍单位根过程的概念和性质，分析单位根过程的结构形式；第二节是如何判别一个随机过程是否为单位根过程以及何种形式的单位根过程；第三节是对协整过程的讨论，包括协整的概念、意义，协整 15000 20000 25000 30000 35000 40000 1994 19951996199719981999 140 160 180 200 220 94:194:395:195:396:196:397:197:398:198:399:1
第九章 时间序列计量经济学模型的理论与方法 练习题 1、 请描述平稳时间序列的条件。 2、 单整变量的单位根检验为什么从DF 检验发展到ADF 检验？ 3、设,10,sin cos ≤≤+=t t t x t θηθξ其中ηξ，是相互独立的正态分布N(0, 2 σ)随机变 量，θ是实数。试证：{10,≤≤t x t }为平稳过程。 4、 用图形及LB Q 法检验1978-2002年居民消费总额时间序列的平稳性，数据如下： 5、 利用4中数据，用ADF 法对居民消费总额时间序列进行平稳性检验。 6、 利用4中数据，对居民消费总额时间序列进行单整性分析。 7、 根据6中的结论，对居民消费总额的差分平稳时间序列进行模型识别。 8、 用Yule Walker 法和最小二乘法对7中的居民消费总额的差分平稳时间序列进行时间序 列模型估计，并比较估计结果。 9、 有如下AR(2)随机过程： t t t t X X X ε++=--2106.01.0 该过程是否是平稳过程？ 10、求MA(3)模型3213.05.08.01---+-++=t t t t t u u u u y 的自协方差和自相关函数。 11、设动态数据,92.0,82.0,74.0,9.0,7.0,8.0654321======x x x x x x ,78.07=x ,84.0,72.0,86.01098===x x x 求样本均值x ，样本方差0?γ，样本自协方差1?γ、2?γ和样 本自相关函数1?ρ 、2?ρ。 12、判断如下ARMA 过程是否是平稳过程： 12114.01.07.0----+-=t t t t t x x x εε
时间序列分析第五章作业 班级：09数学与应用数学 学号： 姓名： 习题5.7 1、 根据数据，做出它的时序图及一阶差分后图形，再用ARIMA 模型模拟该序列的发展，得出 预测。根据输出的结果，我们知道此为白噪声，为非平稳序列，同时可以得出序列t x 模型 应该用随机游走模型(0，1，0)模型来模拟，模型为：，并可以预测到下一天 的收盘价为296.0898。 各代码： data example5_1; input x@@; difx=dif(x); t=_n_; cards ; 304 303 307 299 296 293 301 293 301 295 284 286 286 287 284 282 278 281 278 277 279 278 270 268 272 273 279 279 280 275 271 277 278 279 283 284 282 283 279 280 280 279 278 283 278 270 275 273 273 272 275 273 273 272 273 272 273 271 272 271 273 277 274 274 272 280 282 292 295 295 294 290 291 288 288 290 293 288 289 291 293 293 290 288 287 289 292 288 288 285 282 286 286 287 284 283 286 282 287 286 287 292 292 294 291 288 289 ; proc gplot ; plot x*t difx*t; symbol v =star c =black i =join; proc arima data =example5_1; identify Var =x(1) nlag =8 minic p = (0:5) q = (0:5); estimate p =0 q =0 noint; forecast lead =1 id =t out =results; run ; proc gplot data =results; plot x*t=1 forecast*t=2 l95*t=3 u95*t=3/overlay ; symbol1 c =black i =none v =star; symbol2 c =red i =join v =none; symbol3 c =green i =join v =none l =32; run ; 时序图：
时间序列的速度分析 一、学习目标： 1.掌握发展速度、增长速度、平均发展速度、平均增长速度指标 2.掌握定基发展速度和环比发展速度之间的关系 二、知识梳理： 1.发展速度的概念 2.发展速度的分类及联系： 3．增长速度的概念 4.增长速度的分类及联系： 5.平均发展速度的概念及计算： 6.平均增长速度的概念及计算： 三、典例解析： 1.时间序列中的速度指标包括（）、（）、（） （）四类。 2.定基发展速度与环比发展速度的关系是：某期的定基发展速度等于相应的各环比发展速度的（），某期的环比发展速度等于该期的定基发展速度（）上期的定基发展速度。 3.平均发展速度也属于（），它是对各期（）求得的（），这种方法称作（）或（）。 4.某企业产品产量年年增加20万吨，则产量环比发展速度（） A.年年下降 B.年年增长 C.年年不变 D.不确定 5.若各环比增长速度为4%，5%，8%，9%，则定基增长速度为（） A. 4%*5%*8%*9% B 4%*5%*8%*9%—1 C.104%*105%*108%*109% D. 104%*105%*108%*109%—1
6.用几何平均法计算平均发展速度时，被开方的数是（ ） A.环比发展速度之和 B.环比发展速度的连乘积 C.报告期发展水平与基期发展水平之比 D.发展总速度 E. 报告期发展水平与基期发展水平之差 试计算1995—2000年 （1） 该企业产量的平均发展水平； （2） 该企业的年平均增长量和平均增长速度。 四、限时训练： 1.增长速度的计算方法有两种，即（ ）和（ ）。 2.绝对增长量除以相应的用%表达的增长速度，叫（ ）。 3.说明现象在较长时期内发展的总速度是（ ） A.环比发展速度 B.平均发展速度 C.定基增长速度 D.各年逐期增长量 4.已知各时期环比发展速度和时期数，便能计算出（ ） A.平均发展速度 B.平均发展水平 C.各期定基发展速度 D.各年逐期增长量 E.累计增长量 要求：(1)计算并填列表中所缺数字。 (2)计算该地区1997—2001年间的平均国民生产总值。 (3)计算1998—2001年间国民生产总值的平均发展速度和平均增长速度。
第一章习题答案 略 第二章习题答案 （1）非平稳 （2） （3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图 （1）非平稳，时序图如下 （2）-（3）样本自相关系数及自相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图
（1）自相关系数为： （2）平稳序列 （3）白噪声序列 ，序列不能视为纯随机序列。LB=，LB统计量对应的分位点为，P值为。显著性水平=0.05 （1）时序图与样本自相关图如下 （2）非平稳 （3）非纯随机
（1）平稳，非纯随机序列（拟合模型参考：ARMA(1,2)） （2）差分序列平稳，非纯随机 第三章习题答案 ()0t E x =,2 1 () 1.9610.7 t Var x ==-,220.70.49ρ==,220φ= 1715φ=,2115 φ= ()0t E x =,10.15 () 1.98(10.15)(10.80.15)(10.80.15) t Var x += =--+++ 10.8 0.7010.15 ρ= =+,210.80.150.41ρρ=-=,3210.80.150.22ρρρ=-= 1110.70φρ==,2220.15φφ==-,330φ= 10c -<<, 1121,1,2 k k k c c k ρρρρ--?=? -??=+≥? 证明: 该序列的特征方程为：32--c 0c λλλ+=，解该特征方程得三个特征根： 11λ= ，2λ= 3λ= 无论c 取什么值，该方程都有一个特征根在单位圆上，所以该序列一定是非平稳序列。证毕。 (1)错 （2）错 （3）对 （4）错 （5） 该模型有两种可能的表达式：11 2 t t t x εε-=-和12t t t x εε-=-。 将123100.50.8t t t t t x x C εεε---=++-+等价表达为 ()23 23223310.82010.510.8(10.50.50.5)t t t B CB x B B CB B B B εε-+-=-=-+++++ 展开等号右边的多项式，整理为