1.1.1变化率问题练习
一、选择题 1．在表达式
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
中，Δx 的值不可能( )
A ．大于0
B ．小于0
C ．等于0
D ．大于0或小于0
[答案] C
[解析] Δx 可正，可负，但不为0，故应选C.
2．函数y ＝f (x )当自变量x 由x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·Δx D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)
[答案] D
[解析] 由定义，函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，故应选D. 3．已知函数f (x )＝－x 2
＋x ，则f (x )从－1到－0.9的平均变化率为( ) A ．3 B ．0.29 C ．2.09 D ．2.9
[答案] D
[解析] f (－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.
f (－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.
∴平均变化率为
f －
－f －
－0.9－－＝
－1.71－－0.1
＝2.9，故应选D.
4．已知函数f (x )＝x 2
＋4上两点A 、B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则直线AB 的斜率为( ) A ．2 B ．2.3 C ．2.09 D ．2.1
[答案] B
[解析] f (1)＝5，f (1.3)＝5.69. ∴k AB ＝
f
－f 1.3－1＝5.69－50.3
＝2.3，故应选B.
5．一运动物体的运动路程S (x )与时间x 的函数关系为S (x )＝－x 2
＋2x ，则S (x )从2到2＋Δx 的平均速度为( )
A ．2－Δx
B ．－2－Δx
C ．2＋Δx
D ．(Δx )2
－2·Δx
[答案] B
[解析] ∵S (2)＝－22
＋2×2＝0，
∴S (2＋Δx )＝－(2＋Δx )2
＋2(2＋Δx )＝－2Δx －(Δx )2
， ∴
S
＋Δx －S 2＋Δx －2
＝－2－Δx ，故应选B.
6．已知函数f (x )＝2x 2
－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则
Δy Δx ＝( )
A ．4
B ．4＋2Δx
C ．4＋2(Δx )2
D ．4x
[答案] B
[解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝2·(Δx )2
＋4·Δx ，所以
Δy Δx ＝2Δx ＋4.
二、填空题
7．已知函数y ＝x 3
－2，当x ＝2时，Δy Δx ＝________________.
[答案] (Δx )2＋6Δx ＋12 [解析] Δy
Δx ＝
＋Δx
3
－2－3
－
Δx
＝
Δx
3
＋Δx 2
＋12Δx
Δx
＝(Δx )2
＋
6Δx ＋12.
8．在x ＝2附近，Δx ＝14时，函数y ＝1
x 的平均变化率为________________．
[答案] －2
9
[解析] Δy Δx ＝12＋Δx －
1
2Δx ＝－14＋2Δx ＝－2
9
.
9．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是________________；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是________________．
[答案] 5 4.1
[解析] 当Δx ＝1时，割线AB 的斜率 k 1＝Δy
Δx
＝
＋Δx
2
－1－22
＋1
Δx
＝
＋2
－2
2
1
＝5.
当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率 k 2＝Δy Δx ＝
＋
2
－1－22
＋1
0.1
＝4.1.
三、解答题
10．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在区间[－3，－1]、[0,5]上函数
f (x )及
g (x )的平均变化率．
[解析] 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为
f －
－f －－1－－
＝
－
＋1]－
－
＋1]
2
＝2.
函数f (x )在[0,5]上的平均变化率为
f
－f 5－0
＝2.
函数g (x )在[－3，－1]上的平均变化率为g －
－g －－1－－
＝－2.
函数g (x )在[0,5]上的平均变化率为
g
－g 5－0
＝－2.
高中数学
一、选择题
11．质点运动规律S (t )＝2t ＋3，则t 从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A ．9 B ．9.6 C ．2 D ．0.2
[答案] C
[解析] S (3)＝9，S (3.3)＝9.6， ∴平均速度v ＝
S
－S 3.3－3
＝
0.6
0.3
＝2，故应选C. 12．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3
、④y ＝1x
中，
平均变化率最大的是( )
A ．④
B ．③
C ．②
D ．①
[答案] B
[解析] Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2
在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3
在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2
＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx ＝－10
13
.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应选B.
13．物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数s ＝s (t )，则物体在时间间隔[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度是( )
A ．v 0
B ．Δt
s t
0＋Δt －s t 0
C.
s t 0＋Δt －s t 0
Δt
D ．
s t
t
[答案] C
[解析] 由平均变化率的概念知C 正确，故应选C.
14．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，
t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为(
)
A ．v 2＝v 3 B ．v 1 C ．v 1 D ．v 2 [答案] C [解析] ∵v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图象易知k OA 15．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx ＝1 2时的平均变化率为________________． [答案] 6－2 [解析] Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝6－2. 16．过曲线f (x )＝2 x 2的图象上两点A (1,2)，B (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线AB ，当Δx ＝1 4 时割线的斜率为________________． [答案] －72 25 [解析] 割线AB 的斜率k ＝＋Δy －2＋Δx －1＝Δy Δx ＝ 2＋Δx 2 －2 Δx ＝ －Δx ＋＋Δx 2 ＝ －7225 . 三、解答题 17．比较y ＝x 3与y ＝x 2 在x ＝2附近平均变化率的大小． [解析] 当自变量x 从x ＝2变化到x ＝2＋Δx 时，y ＝x 3 的平均变化率k 1＝＋Δx 3 －23 Δx ＝(Δx )2 ＋6Δx ＋12， y ＝x 2 的平均变化率k 2＝ ＋Δx 2 －2 2 Δx ＝Δx ＋4， ∵k 1－k 2＝(Δx )2 ＋5Δx ＋8＝(Δx ＋52)2＋74>0， ∴k 1>k 2. ∴在x ＝2附近y ＝x 3 的平均变化率较大． 18．路灯距地面8m ，一个身高为1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 处沿直线匀速离开路灯． (1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯10s 内身影的平均变化率． [解析] (1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m ，由于CD ∥BE ，则AB AC ＝ BE CD ， 即 y y ＋x ＝1.68，所以y ＝f (x )＝14 x . (2)84m/min ＝1.4m/s ，在[0,10]内自变量的增量为 x 2－x 1＝1.4×10－1.4×0＝14， f (x 2)－f (x 1)＝14 ×14－14 ×0＝72 . 所以 f x 2－f x 1 x 2－x 1 ＝7 214＝14. 即人离开路灯10s 内身影的平均变化率为1 4 . 1.1.2导数的概念练习 一、选择题 1．如果质点A 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81 [答案] B [解析] ∵s (t )＝3t 2 ，t 0＝3， ∴Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝3(3＋Δt )2－3·32＝18Δt ＋3(Δt )2 ∴Δs Δt ＝18＋3Δt . ∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (18＋3Δt )＝18，故应选B. 2．已知f (x )＝x 2 －3x ，则f ′(0)＝( ) A ．Δx －3 B ．(Δx )2 －3Δx C ．－3 D ．0 [答案] C [解析] f ′(0)＝lim Δx →0 ＋Δx 2 － ＋Δx －02 ＋3×0 Δx ＝lim Δx →0 Δx 2－3Δx Δx ＝lim Δx →0 (Δx －3)＝－3.故选C. 3．(2014·合肥一六八中高二期中)若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0 f Δx Δx ＝－1，则f ′ (0)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 [答案] B [解析] ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝lim Δx →0 f ＋Δx －f Δx ＝lim Δx →0 f Δx Δx ＝－1， ∴选B. 4．质点M 的运动规律为s ＝4t ＋4t 2 ，则质点M 在t ＝t 0时的速度为( ) A ．4＋4t 0 B ．0 C ．8t 0＋4 D ．4t 0＋4t 2 [答案] C [解析] Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝4(Δt )2 ＋4Δt ＋8t 0Δt ， Δs Δt ＝4Δt ＋4＋8t 0， lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (4Δt ＋4＋8t 0)＝4＋8t 0. 5．已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－1 2，则m 的值等于( ) A ．－4 B ．2 C ．－2 D ．±2 [答案] D [解析] f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx ＝－2 x ， 于是有－2m 2＝－12 ，m 2 ＝4，解得m ＝±2. 6．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2 ＋3t (t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在 4秒末的瞬时速度为( ) A. 123 16 米/秒 B ．125 16米/秒 C ．8米/秒 D ．67 4 米/秒 [答案] B [解析] ∵ Δs Δt ＝＋Δt 2 ＋34＋Δt －16－34 Δt ＝ Δt 2 ＋8Δt ＋ －3Δt ＋Δt Δt ＝Δt ＋8－3 16＋4Δt . ∴lim Δt →0 Δs Δt ＝8－316＝125 16. 二、填空题 7．已知函数f (x )＝x ＋k x ，f ′(1)＝－2，则k ＝________________. [答案] 3 [解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )＋k 1＋Δx －1－k ＝Δx －k Δx 1＋Δx Δy Δx ＝1－k 1＋Δx ∵f ′(1)＝－2，∴lim Δx →0 Δy Δx ＝1－k ＝－2，∴k ＝3. 8．已知y ＝x ＋4，则y ′|x ＝1＝________________. [答案] 5 10 [解析] 由题意知Δy ＝1＋Δx ＋4－1＋4＝5＋Δx －5， ∴ Δy Δx ＝5＋Δx －5Δx . ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 5＋Δx －5 Δx ＝lim Δx →0 Δx Δx 5＋Δx ＋5 ＝5 10 . 9．某物体做匀速运动，其运动方程是s ＝vt ＋b ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________________． [答案] 相等 [解析] v 0＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 s t 0＋Δt －s t 0Δt ＝lim Δt →0 v t 0＋Δt －vt 0 Δt ＝lim Δt →0 v ·Δt Δt ＝v . 三、解答题 10．下面是利用导数的定义求函数f (x )＝x ＋2在x ＝2处的导数的解题过程： 因为Δy ＝ ＋Δx ＋2－2＋2＝4＋Δx －2， Δy Δx ＝4＋Δx －2Δx ， 所以f ′(2)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 4＋Δx －2Δx ＝0. 试分析解题过程是否正确，如不正确请指出错误，并加以纠正． [解析] 解答过程有错误，最后一步不能直接得到0，因为分母为0时，无意义． 正解：因为Δy ＝＋Δx ＋2－2＋2＝4＋Δx －2， Δy Δx ＝4＋Δx －2Δx ＝4＋Δx －4＋Δx ＋Δx 4＋Δx ＋ ＝ 14＋Δx ＋2 . 所以f ′(2)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 14＋Δx ＋2＝14 . 一、选择题 11．(2014·枣阳一中，襄州一中，宜城一中，曾都一中期中联考)在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (m )与起跳后的时间t (s )存在函数关系h (t )＝－4.9t 2 ＋6.5t ＋10，则瞬时速度为0m/s 的时刻是( ) A.6598s B ．6549s C.9865 s D ．4965 s [答案] A [解析] h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，由h ′(t )＝0得t ＝65 98，故选A. 12．设f (x )＝1x ，则lim x →a f x －f a x －a 等于( ) A ．－1a B ．2a C ．－1a 2 D ．1a 2 [答案] C [解析] lim x →a f x －f a x －a ＝lim x →a 1x －1 a x －a ＝－lim x →a 1ax ＝－1a 2 . [点评] 若令x －a ＝Δx ，则当x →a 时，Δx →0， ∴lim x →a f x －f a x －a ＝lim Δx →0 f a ＋Δx －f a Δx ＝lim Δx →0 1a ＋Δx －1 a Δx ＝lim Δx →0 －1a a ＋Δx ＝－1 a 2. 13．(2013·北师大附中期中)已知f ′(x 0)＝a ，则lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0－3Δ x 2Δx 的值为( ) A ．－2a B ．2a C ．a D ．－a [答案] B [解析] ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx ＝a ， ∴lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0－3Δ x 2Δx ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0＋f x 0－f x 0－3Δx 2Δx ＝12lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx ＋32lim Δx →0 f x 0－3Δx －f x －3Δx ＝a 2＋3a 2 ＝2a ，故选B. 14．(2015·长春外国语学校高二期中)已知函数f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ， b )，则lim h →0 f x 0＋h －f x 0－h h ＝( ) A ．f ′(x 0) B ．2f ′(x 0) C ．－2f ′(x 0) D ．0 [答案] B [ 解 析 ] 由 lim h →0 f x 0＋h －f x 0－ h h ＝ lim h →0 f x 0＋h －f x 0＋f x 0－f x 0－h h ＝lim h →0 f x 0＋h －f x 0h ＋lim h →0 f x 0－h －f x 0 －h ＝2f ′(x 0)． 故选B. 二、填空题 15．函数y ＝x ＋1 x 在x ＝1处的导数是________________． [答案] 0 [解析] ∵Δy ＝? ????1＋Δx ＋11＋Δx －? ?? ??1＋11 ＝Δx －1＋1Δx ＋1＝Δx 2 Δx ＋1， ∴ Δy Δx ＝Δx Δx ＋1 .∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 Δx Δx ＋1＝0. 16．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________________． [答案] 28π 3 [解析] ∵Δy ＝43π×23－43π×13 ＝28π3， ∴Δy Δx ＝28π 32－1＝28π 3. 三、解答题 17．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s 2 ，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． [解析] 位移公式为s ＝12 at 2 ， ∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2 ∴ Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 ? ?? ??at 0＋12a Δt ＝at 0 ， 已知a ＝5.0×105 m/s 2 ，t 0＝1.6×10－3 s ， ∴at 0＝800m/s. 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s. 18．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2 . (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度． [解析] (1)当t ＝0时的速度为初速度． 在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， ∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2 ]－(3×0－02 )＝3Δt －(Δt )2 ， Δs Δt ＝3Δt －Δt 2 Δt ＝3－Δt ， lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3. ∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt ]， ∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2 ]－(3×2－22 )＝－Δt －(Δt )2 ， Δs Δt ＝－Δt －Δt 2 Δt ＝－1－Δt ， lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (－1－Δt )＝－1， ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1. (3)当t ∈[0,2]时，Δt ＝2－0＝2. Δs ＝s (2)－s (0)＝(3×2－22 )－(3×0－02 )＝2. v －＝Δs Δt ＝2 2 ＝1. ∴在0到2之间，物体的平均速度为1. 1.1.3导数的几何意义练习 一、选择题 1．(2013～2014·济宁梁山一中期中)已知曲线y ＝2x 3 上一点A (1,2)，则点A 处的切线斜率等于( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 [答案] D [解析] Δy ＝2(1＋Δx )3 －2×13 ＝6(Δx )＋6(Δx )2 ＋(Δx )3 ，lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0[(Δx )2 ＋6Δx ＋6]＝6，故选D. 2．(2013·安阳中学期末)设曲线y ＝ax 2 在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B ．1 2 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a ＋Δx 2－a ×12Δx ＝lim Δx →0 2a Δx ＋a Δx 2 Δx ＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，∴a ＝1. 3．曲线y ＝13x 3－2在点? ????1，－53处切线的倾斜角为( ) A ．1 B ．π 4 C.5 4π D ．－π4 [答案] B [解析] ∵y ′＝li m Δx →0 [1 3 x ＋Δx 3 －2]－13 x 3－Δx ＝li m Δx →0[x 2＋x Δx ＋13(Δx )2]＝x 2， ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴切线的倾斜角为π 4 ，故应选B. 4．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交 [答案] B [解析] 由导数的几何意义知B 正确，故应选B. 5．设f (x )为可导函数且满足lim x →0 f －f －2x 2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1， f (1))处的切线斜率为( ) A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2 [答案] B [解析] lim x →0 f －f －2x 2x ＝lim x →0 f －2x －f －2x ＝lim －2x →0 f [1＋－2x －f －2x ＝f ′(1)＝－1. 6．已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)的值是( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2 [答案] D [解析] ∵(1，f (1))在直线x －2y ＋1＝0上， ∴1－2f (1)＋1＝0，∴f (1)＝1. 又∵f ′(1)＝12，∴f (1)＋2f ′(1)＝1＋2×1 2＝2.故选D. 二、填空题 7．已知f (x )＝x 2 ＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________________. [答案] －2 [解析] 由导函数的定义可得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)， ∴f ′(2)＝4＋3f ′(2)，∴f ′(2)＝－2. 8．曲线y ＝x 3 在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为___________． [答案] 54 [解析] 因为f ′(3)＝li m Δx →0 ＋Δx 3 －3 3 Δx ＝27， 所以在点(3,27)处的切线方程为y －27＝27(x －3)， 即y ＝27x －54. 此切线与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)． 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12 ×2×54＝54. 9．设f (x )＝f ′(1)＋x ，则f (4)＝________________. [答案] 5 2 [ 解 析 ] f ′(1)＝lim Δx →0 f ＋Δx －f Δx ＝ lim Δx →0 f ＋1＋Δx －f ＋ Δx ＝lim Δx →0 1＋Δx －1Δx ＝lim Δx →0 11＋Δx －1＝1 2 ， ∴f (x )＝1 2＋x ， ∴f (4)＝12＋4＝5 2. 三、解答题 10．求曲线y ＝1x －x 上一点P ? ????4，－74处的切线方程． [解析] ∴y ′＝lim Δx →0 ? ?? ??1x ＋Δx －1x － x ＋Δx －x Δx ＝lim Δx →0 －Δx x x ＋Δx － Δx x ＋Δx ＋x Δx ＝lim Δx →0 ? ? ? ??－1x x ＋Δx －1x ＋Δx ＋x ＝－1x 2－12x . ∴y ′|x ＝4＝－116－14＝－5 16 ， ∴曲线在点P ? ????4，－74处的切线方程为： y ＋74＝－516 (x －4)． 即5x ＋16y ＋8＝0. 一、选择题 11．曲线y ＝x 3 ＋x －2在P 点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则切线方程为( ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4 C ．y ＝4x －8 D ．y ＝4x 或y ＝4x －4 [答案] D [解析] y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 3 ＋x ＋Δx －2]－x 3 ＋x － Δx ＝lim Δx →0 ((Δx )2 ＋3x Δx ＋3x 2 ＋1)＝3x 2 ＋1. 由条件知，3x 2 ＋1＝4，∴x ＝±1， 当x ＝1时，切点为(1,0)，切线方程为y ＝4(x －1)， 即y ＝4x －4. 当x ＝－1时，切点为(－1，－4)，切线方程为y ＋4＝4(x ＋1)， 12．(2015·河南省高考适应性练习)已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3 在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b 为( ) A.13 B ．2 3 C ．－2 3 D ．－13 [答案] D [解析] 由导数的定义可得y ′＝3x 2 ， ∴y ＝x 3 在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3， 由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－1 3 . 13．已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A ) C ．f ′(x A )＝f ′(x B ) D ．不能确定 [答案] B [解析] 由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A ) 14．设P 为曲线C ：y ＝x 2 ＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π 4 ]，则点P 横坐标的取值范围为( ) A ．[－1，－1 2] B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．[1 2 ，1] [答案] A [解析] 考查导数的几何意义． 由导数的定义可得y ′＝2x ＋2，且切线倾斜角θ∈[0，π 4]， ∴切线的斜率k 满足0≤k ≤1，即0≤2x ＋2≤1， ∴－1≤x ≤－1 2 . 15．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则lim Δx →0 f ＋Δx －f Δx ＝ ________________. [答案] －2 [解析] 由导数的概念和几何意义知， lim Δx →0 f ＋Δx －f Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－4 2－0 ＝－2. 16．过点(2,0)且与曲线y ＝1 x 相切的直线方程为________________． [答案] x ＋y －2＝0 [解析] 易知(2,0)不在曲线y ＝1x 上，令切点为(x 0，y 0)，则有y 0＝1 x 0 .① 又y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1 x Δx ＝－1 x 2， 所以y ′|x ＝x 0＝－1x 20 ， 即切线方程为y ＝－1x 20(x －2)，而y 0x 0－2＝－1 x 20② 由①②可得x 0＝1，故切线方程为y ＋x －2＝0. 三、解答题 17．已知函数f (x )＝x 3 －3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于点P 的直线方程． [解析] (1)y ′＝li m Δx →0 x ＋Δx 3 －3x ＋Δx －x 3 ＋3x Δx ＝3x 2 －3. 则过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率 k 1＝f ′(1)＝0， ∴所求直线方程为y ＝－2. (2)设切点坐标为(x 0，x 3 0－3x 0)， 则直线l 的斜率k 2＝f ′(x 0)＝3x 2 0－3， ∴直线l 的方程为y －(x 3 0－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0) 又直线l 过点P (1，－2)， ∴－2－(x 3 0－3x 0)＝(3x 2 0－3)(1－x 0)， ∴x 30－3x 0＋2＝(3x 20－3)(x 0－1)，∴(x 0－1)2 (2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12. 故所求直线斜率k ＝3x 2 0－3＝－94 ， 于是：y －(－2)＝－9 4 (x －1)，即9x ＋4y －1＝0. 18．已知直线l 1为曲线y ＝x 2 ＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程； (2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积． [解析] (1)y ′|x ＝1 ＝lim Δx →0 ＋Δx 2 ＋ ＋Δx －2－ 2 ＋1－ Δx ＝3， 所以l 1的方程为：y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3. 设l 2过曲线y ＝x 2 ＋x －2上的点B (b ，b 2 ＋b －2)， y ′|x ＝b ＝lim Δx →0 b ＋Δx 2 ＋b ＋Δx －2－b 2 ＋b － Δx ＝2b ＋1，所以l 2的方程为：y －(b 2 ＋b －2)＝ (2b ＋1)·(x －b )，即y ＝(2b ＋1)x －b 2 －2. 因为l 1⊥l 2，所以3×(2b ＋1)＝－1，所以b ＝－23，所以l 2的方程为：y ＝－13x －22 9 . (2)由? ?? ?? y ＝3x －3， y ＝－1 3x －229 ， 得????? x ＝16，y ＝－5 2， 即l 1与l 2的交点坐标为? ????1 6 ，－52. 又l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，? ?? ??－223，0. 所以所求三角形面积S ＝12×??????－52×? ?????1＋223＝125 12. 1.2.1几个常用函数的导数练习 一、选择题 1．(2014～2015·潍坊市五县期中)双曲线y ＝1x 在点(2，1 2)的切线方程是( ) A.1 4x ＋y ＝0 B ．1 4x －y ＝0 C.1 4x ＋y ＋1＝0 D ．1 4 x ＋y －1＝0 [答案] D [解析] ∵y ＝1x 的导数为y ′＝－1 x 2， ∴曲线y ＝1x 在点(2，12)处的切线斜率k ＝－1 4， ∴切线方程是y －12＝－1 4(x －2)， 化简得，1 4x ＋y －1＝0，故选D. 2．已知f (x )＝x 3 ，则f ′(2)＝( ) A ．0 B ．3x 2 C ．8 D ．12 [答案] D [解析] ∵f ′(x )＝3x 2 ，∴f ′(2)＝3×22 ＝12，故选D. 3．已知f (x )＝x α ，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 [答案] A [解析] 若α＝2，则f (x )＝x 2 ， ∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A. 4．一个物体的运动方程为s (t )＝1－t ＋t 2 ，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( ) A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 [答案] C [解析] v (t )＝s ′(t )＝－1＋2t ， ∴v (3)＝－1＋2×3＝5(米/秒)，故选C. 5．(2014～2015·北京东城区联考)曲线y ＝13 x 3 在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1 B ．－π4 C ．π4 D ．5π4 [答案] C [解析] ∵y ＝13x 3 ，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π， ∴α＝π4 . 6．(2015·天津高二检测)设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f －f －x 2x ＝－1， 则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( ) A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2 [答案] D [解析] 由导数的定义知lim x →0 f －f －x 2x ＝12lim x →0 f －f －x x ＝12lim －x →0 f －x －f －x ＝1 2f ′(1)＝－1. 二、填空题 7．已知①y ＝f (x )，②y ＝g (x )，③y ＝h (x )都是路程y 关于时间x 的函数，且f ′(x )＝1，g ′(x )＝2，h ′(x )＝3，则运动速度最快的是________________(填序号)． [答案] ③ [解析] 由导数的几何意义知，y ＝f (x )的瞬时速度为1，y ＝g (x )的瞬时速度为2，y ＝h (x )的瞬时速度为3，且都是匀速运动，故最快的是③. 8．若曲线y ＝x 3 的某一切线与直线y ＝12x ＋6平行，则切点坐标是________________． [答案] (2,8)或(－2，－8) [解析] 设切点坐标为(x 0，x 3 0)， 因为y ′＝3x 2 ，所以切线的斜率k ＝3x 2 0，又切线与直线y ＝12x ＋6平行，所以3x 2 0＝12，解得x 0＝±2，故切点为(2,8)或(－2，－8)． 9．(2014～2015·枣阳一中、襄州一中、宜城一中、曾都一中高二期中联考)若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________________． [答案] 4 [解析] y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝1 2a (x －a )， 令x ＝0得，y ＝ a 2 ， 令y ＝0得，x ＝－a ， 由题意知12·a 2·a ＝2，∴a ＝4. 三、解答题 10．求抛物线y ＝x 2 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离． [解析] 平移直线x －y －2＝0与抛物线y ＝x 2 相切， 设切点为P (x 0，y 0)， y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，∴x 0＝12，y 0＝14 ， 由点到直线的距离公式，得最短距离 d ＝ ??????12－14－22 ＝ 72 8 . 一、选择题 11．已知物体的运动方程为s ＝t 2 ＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速 度为( ) A.194 B ．174 C ．154 D ．134 [答案] D [解析] ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝13 4 ，故选D. 12．已知曲线y ＝x 3 －1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( ) A.33 B ． 333 C ． 3 D ． 3 93 [答案] D 选修2-2 知识点及习题答案解析 导数及其应用 一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数 () y f x =在 x x =处的导数，记作 0() f x '或 |x x y ='，即 0()f x '=000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义： 曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数 ()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率 k ，即00 ()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时， ()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时 也记作 y ',即 ()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若 ()log x a f x =,则1()ln f x x a '= 8 若 ()ln f x x =,则1()f x x '= 导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()()[]()[()] f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内 2高中数学选修《2-2》复习试题 一、选择题（共8题，每题5分） 1.复数(2)z i i =+在复平面内的对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 一质点做直线运动，由始点经过s t 后的距离为321 6323 s t t t =-+，则速度为0的时刻是 （ ） A ．4s t = B ．8s t = C ．4s t =与8s t = D ．0s t =与4s t = 3. 某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，如果他连续射击5次，则这名射手恰有4次击中目 标的概率是（ ） （A ）40.80.2? （B ）445 C 0.8? （C ）445C 0.80.2?? （ D ）45C 0.80.2?? 4. 已知14a b c =+==则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a>b>c B ．c>a>b C ．c>b>a D ．b>c>a 5. 曲线3 2y x =-+上的任意一点P 处切线的斜率的取值范围是（ ） A ．)+∞ B. )+∞ C. ()+∞ D. [)+∞ 6. 有一段“三段论”推理是这样的： 对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数 3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点. 以上推理中（ ） A ．大前提错误 B ． 小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确 7. .在复平面内, 复数1 + i 与31+i 分别对应向量和, 其中O 为坐标原点, =（ ） A.2 B.2 C. 10 D. 4 8、函数2 ()1 x f x x =-（ ） A ．在(0,2)上单调递减 B ．在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递增 C ．在(0,2)上单调递增 D ．在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递减 二、填空题（共6题，30分） 9. .观察下列式子 2222221311511171,1,1222332344 + <++<+++< , … … , 则可归纳出________________________________ 10. 复数 1 1z i = -的共轭复数是________。 11.由曲线2 y x =与2 x y =所围成的曲边形的面积为________________ 第一章 导数及其应用 变化率与导数 问题中的变化率可用式子 1 212) ()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率 若设12x x x -=?, )()(12x f x f f -=? (这里x ?看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ?代 替 x 2, 同 样 ) ()(12x f x f y f -=?=?)则平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 在前面我们解决的问题： 1、求函数2 )(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。 x x x f x f x y ?+=?-?+=??4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12 -=t V ，求o t t =时的瞬时速度。 t t t t v t t v t V o o o ?+=?-?+=??2) ()(，故斜率为4 二、知识点讲解 上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ?(t ?)无限趋近于0时，t V ??(x V ??)都无限趋近于一个常数。 归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ?无限趋近于0 时， x x f x x f x y o o ?-?+=??)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)('， 函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0' |x x y =，即 综合检测 一、选择题 1.“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”.此推理方法是( ) A.完全归纳推理 B.归纳推理 C.类比推理 D.演绎推理 答案 B 解析 由特殊到一般的推理为归纳推理.故选B. 2.复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A.2＋i B.2－i C.5＋i D.5－i 答案 D 解析 由(z －3)(2－i)＝5得，z －3＝5 2－i ＝2＋i ， ∴z ＝5＋i ，∴z ＝5－i. 3.设f (x )＝10x ＋lg x ，则f ′(1)等于( ) A.10 B.10ln 10＋lg e C.10ln 10＋ln 10 D.11ln 10 答案 B 解析 ∵f ′(x )＝10x ln 10＋ 1 x ln 10 ，∴f ′(1)＝10ln 10＋lg e ，故选B. 4.如图，在复平面内，向量OP →对应的复数是1－i ，若将OP →向左平移1个单位长度后得到O 0P 0→ ，则点P 0对应的复数为( ) A.－i B.1－2i C.－1－i D.1－i 答案 A 解析 ∵O 0P 0→＝OP →，OO 0→ 对应的复数是－1， ∴点P 0对应的复数，即OP 0→ 对应的复数是－1＋(1－i)＝－i. 5.已知n 为正偶数，用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋1 2n ) 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要利用归纳假设再证( ) A.n ＝k ＋1时等式成立 B.n ＝k ＋2时等式成立 C.n ＝2k ＋2时等式成立 D.n ＝2(k ＋2)时等式成立 答案 B 解析 由k ≥2且k 为偶数知选B. 6.函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ，b 的值为( ) A.????? a ＝3b ＝－3或???? ? a ＝－4 b ＝11 B.????? a ＝－4b ＝11 C.? ???? a ＝－1 b ＝5 D.以上都不对 答案 B 解析 ∵f ′(x )＝3x 2 －2ax －b ，∴????? 3－2a －b ＝0，1－a －b ＋a 2 ＝10，解得????? a ＝3，b ＝－3或? ???? a ＝－4， b ＝11.经检验a ＝3，b ＝－3不合题意，应舍去. 7.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是( ) ①z 1，z 2不能比较大小；②虚数不能比较大小；③z 1，z 2是虚数. A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②① 答案 C 解析 ②是大前提，③是小前提，①是结论. 8.设f (x )＝1 3x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A.[－5，＋∞) B.[－∞，－3] C.(－∞，－3]∪[－5，＋∞) D.[－5，5] 答案 C 解析 因f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5，若f (x )在[1,3]上为单调函数且单调递增，则x ∈[1,3]时，x 2＋2ax高中数学选修22全套知识点及练习答案解析
人教版高中数学选修22试题四套带答案整理
高中数学选修22主要内容
高中数学选修2-2综合测试卷
高中数学选修2-2和2-1综合试卷及答案