上海市2013届高考二模卷填空、选择较难题详解(理科)
CM(崇明)
12. 设函数???>≤=)
0(log )
0(2)(2x x x x f x ，函数1)]([-=x f f y 的零点个数为 2 个.
解：令t x f =)(，函数1)(-=t f y 的零点为01=t ，22=t ，由0)(=x f ，得x 1=1；
由2)(=x f ，得x 2=4. 故有2个零点.
13. 已知O 为△ABC 的外心，AB =4，AC =2，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则? 的值等于 5 ．
解：∠BAC 为钝角?O 在∠BAC 内，取AB 、AC 中点D 、E ，
则OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，故AO 在AB 上的投影是AD ，
AO 在AC 上的投影是AE ，
∴?=21(AB +)?=2
1(AB
?+?) =21
(BAO AO AB ∠?cos ||||+CAO AO AC ∠?cos ||||)=21(AD AB ?||+AE AC ?||) =21(212
AB +2
1
2AC )=)416(41+=5. 14. 设函数)(x f 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意x ∈M (M ?D )，有x +l ∈D ，
且)()(x f l x f ≥+，则称)(x f 为M 上的l 高调函数．如果定义域为R 的函数)(x f 是奇函数， 当x ≥0时，22||)(a a x x f --=，且)(x f 为R 上的8高调函数，那么实数a 的取值范围 是]2,2[-.
解：)(x f 为R 上的8高调函数，则应有)()8(x f x f ≥+对一切实数x 恒成立，而)8(+x f 的图像
是由)(x f 的图像向左平移8个单位而得，如图，问题等价于射线AB 不在射线CD 下方，等价
于AB 与x 轴的交点不在CD 与x 2a 2
-8≤-2a 2
? a 2
≤2?22≤≤-a .
17. 学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 个同学进行
调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50)(单位：元)，其中支
出在[30,50)(单位：元)的同学有67人，其频率分布直方图如右图所示，
则n 的值为 ( A )
A.100
B.120
C.130
D.390
解：位于10～20、20～30的小矩形的面积分别为
S 1=0.01×10=0.1，S 2=0.023×10=0.23，∴位于10～20、20～30的数据的频率分别为0.1、0.23，于是得位于10～30的前3组数的频率之和为0.1+0.23=0.33，由此可得位于30～50数据的频率之和为1-0.33=0.67，∵支出在[30,50)的同学有67人，即位于30～50的频数为67，根据频率计算公式，可得67.067=n ?n =100，选A .
18. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为
c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2分，则12
+的最小值为
( C )
A.32
B. 28
C. 16
D. 14 解：均值E ξ=2，即3a +2b +0c =2?13=+b a ，∴12+=(12
+)(a b
a b 2133)+++=+≥210+ A
B C
D
E
M 10 20 30 40 50
=
16，当且仅当
a b 2=
=1，即a =1，b =1时，上式成立等号，故12
+的最小值为16
，选C. CY 、JD(长宁、嘉定)
12. 设定义域为R 的函数???=≠=-)1(1)1()(|1|1
x x x f x ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的
实数解321,,x x x ，则2
32221x x x ++= 5 . 解：由题意，结合图像知方程0)()(2=++c x bf x f 应是0]1)([2=-x f
即1)(=x f ，其实数解为0、1，2，故2
32221x x x ++=5.
13. 函数1sin )1(22)(+++=x x
x x f 的最大值和最小值分别为M 、m ，则M +m = 2 ．
解：1
sin 21
sin 2)1(22
21)(+++++++==
x x x x x
x x x f ?1
sin 221)(++=
-x x x x f 为奇函数，0]1)([]1)([min max =-+-x f x f
?01)]([1)]([min max =-+-x f x f ? M +m =2. 14. 设S n 为数列{a n }的前n 项和，若不等式212
2
2ma a n
S n n
≥+
对任意等差数列{a n }及任意正整数n 都
成立，则实数m 的最大值为 1/5 . 解：212
2
2ma a n
S n
n
≥+
?212
22
)(1ma a n a a n ≥++?212112
425ma a a a a n n ≥++(1)，(1)式对任意正整数n
都成立，01=a 时显然成立，01≠a 时，(1)式化为m a a
a a n n 412)(51
1
2≥++(2)，令
t a a n
=1
，则
(2)式化为5t 2+2t +1≥4m ，由题意，f (t )= 5t 2+2t +1≥4m 对任意的实数t 恒成立，等价于f (t )min ≥4m ，
而f (t )=5(t +51)2+54，当t =51时，有f (t )min =54，∴54≥4m ? m ≤5
1. 17. 过点P (1,1)作直线与双曲线12
22
=-
y x 交于A 、B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的
直线 （ D ） A. 存在一条，且方程为2x -y -1=0 B. 存在无数条 C. 存在两条，方程为2x ±(y +1)=0 D. 不存在
解：设A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，则?????=-=-1
122222122
21y y x x ?0))((2))((21212121=--+-+y y y y x x x x ， 又???=+=+2
22121y y x x ，代入上式，得0)(22)(22121=---y y x x ?22
121
=--x x y y ，即k AB =2， ∴AB ：y =2x -1，代入双曲线方程，得12
)12(2
2
=--x x ?022
32=+-x x ，△<0，此方程无解，故选D.
18. 已知a >0且a ≠1，函数)(log )(2b x x x f a ++=在区间(-∞, +∞)上既是奇函数又是增函数，则
（ A ）
解：)(x f 为奇函数，且)0(f 存在，则0)0(=f ?0log =b a ?b =1，当x >0时，真数
1)(2++=x x x u 递增，而已知1对数)(x f 递增，∴底数a >1，∴02log )3(>=a g ，排除选
项B 、D ，又0log )(2
121
<=a g ，排除选项C ，故选A.
FX （奉贤)
12. 设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{n S }都是等差数列，且公差相等(都为d )，
则a 1+d = 3/4 .
解：由题意，可设c dn S n +=?2222c dcn n d S n ++=，又n a n d na S d d n n n )(2
1222
)
1(1-+=+
=-, ∴??
???=-==02212c a dc d d d ??????===0001a d c (2与2正MB 项数列不合，舍去)，或
???
==210d c ，∴4
3
1=+d a .
13.
椭圆)0(12
222
>>=+
b a b
y a x
上的任意一点M (除短轴端点除外短轴两个端点B 1、B 2的连线交x 轴于点N 和K ， 则|ON |+|OK |的最小值是 .
解：法一(非计算法)：当M 趋近于B 1或B 2时，|ON |+|OK |轴端点处时|ON |+|OK |有最小值为a +a =2a （瞬时秒开！）.
法二(计算法)：设M (x 0,y 0)(x 0≠0)，又B 1(0,-b )，∴0
01x b y MB k +=，∴直线MB 1：y =
0x b y +x -b ，
令y =0，得x N =
b
y bx +00,同理，x K =
b
y bx --00,而x N ?x K =
02
202
02>--b y x b ，即x N 与x K 同号，
∴|ON |+|OK |=|x N +x K |=|
b
y bx +00-b
y bx -00|=|
2
200
22b y x b --|，M 在椭圆上，∴12
2
22
0=+
b y a x ?2022022
x b y a
b -=，代上式，得|ON |+|OK |=|
2
022
22x x b a
b --|=||202
x a ，当|x 0|=a 时，|ON |+|OK |有最小值为2a .
14. 如图放置的等腰直角三角形ABC 薄片(∠ACB =90°，AC ＝2)
沿x 轴滚动，设顶点A (x , y )的轨迹方程是y ＝f (x )，当∈x [0,224+]时 y ＝f (x )=?????+∈--∈--]
224,2[,)4(8]2,0[,)2(42
2x x x x .
解：如图，当0≤x ≤2时，A 点轨迹是以C (2,0)为圆心，2
(x -2)2+y 2=4，此时f (x )=2
)2(4--x ，x ∈[0,2]；
当2≤x ≤224+时，A 点轨迹是以B 1(4,0)为圆心，22为半径 的圆弧：(x -4)2+y 2=8，此时f (x )= 2
)4(8--x ，x ∈[2,4+22].
17. 数列{a n }前n 项和为S n ，已知a 1=5
1，且对任意正整数m 、n ，都有a m+n =a m ?a n ，若S n (A)41 (B)43 (C)3 4 (D)4 解：令m =1，则a n +1=a 1a n =5 1 a n ?{a n }是公比与首项都是5 1的等比数列?S n = 4 )(11] )(1[5 11 5 151n n ---= ，对任 意正整数n ，S n <41，∴41≤a ，即a 的最小值为4 1. 18. 直线x =2与双曲线C ：1242 =-y x 的渐近线交于A 、B 两点，设P 为双曲线C 上的任意一点， 若b a +=(a 、b ∈R ，O 为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是 （ B ） (A)22 2 ≥+b a (B)2122≥+b a (C)22 2 ≤+b a (D)2 1 2 2≤+b a 解：设P (x 0, y 0)，x =2代入渐近线0242 =-y x ?1±=y ，故不妨设A (2,1)、B (2,-1)，由 OB b OA a OP +=，得(x 0, y 0)=(2a ,a )+(2b ,-b )=(2a +2b , a -b )?x 0=2a +2b ，y 0=a -b ，P 在双曲线上，则 120 4 2 0=-y x ，∴ 1)(24 )(42 =--+b a b a ?4ab =1?a 2+b 2≥2ab =2 1，选B . HK(虹口) 13. 设)2(log 1+=+n a n n )(*∈N n ，称k a a a a 321为整数的k 为“希望数”，则在(1, 2013)内所 有“希望数”的个数为 9 ． 解：k a a a a 321=)2(log )2(log 4log 3log 2132+=+???+k k k ，令k a a a a 321=m (m ∈Z )，则 m k =+)2(l o g 2?m k 22=+?22-=m k ，由题意，1 <2013?3 2<2015 ?m =2，3，…，10，共有9个数. 14. 已知函数a ax x a x a x x f 2222)1(22)(-++--+= 的定义域是使得解析式有意义的x 的集合，如果对于定义 域内的任意实数x ，函数值均为正，则实数a 的取值范围是 -7 解：令22)1()(2 +--+=a x a x x g ，a ax x x h 22)(2 -+=，0)(>x f ，等价于)(x g 与)(x h 同 号，则有下列两种情况： (1)如图①，)(x g 恒正，)(x h 恒非负， 即???≤? 160)22(4)1(2 2 a a a a ?? ? ?≤≤-<<-0161 7a a ?-7 (2)如图②，)(x g 与)(x h 有两个相同的零点，即))(()(21x x x x x g --=,))((2)(21x x x x x h --=, 此时)(x g 与)(x h 的对应系数成比例，故a a a a 2221 21-+--= =?a =2. 由(1)、(2)得-7 若2 2 π πα≤≤-，πβ≤≤0，R m ∈，如果有0sin 3=++m αα， 0cos )(32 =++-m ββπ，则)cos(βα+值为 （ B ） A . -1 B. 0 C. 1 D. 1 解：由两等式，得)sin()(sin 2 323ββααππ-+-=+.考虑函数x x x f sin )(3+=，则)(x f 是奇函数，且在],[22ππ-上是增函数，现已知α、2π-β∈],[22ππ-且)()(2βαπ-=f f ， ∴α=2π-β?α+β=2 π?)cos(βα+=0，选B . 18. 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱上．．到异面直线AB 、CC 1的距离相等的点的个数为（ C ） A . 2 B.3 C.4 D.5 解：设正方体棱长为a ，则①棱BC 的中点E 到AB 、CC 1的距离相等都为2 a ； ②棱A 1D 1的中点F 到AB 、CC 1的距离相等都为 2 5a ；③棱A 1B 1的端点B 离相等都为a ，④棱AD 的端点D 到AB 、CC 1的距离相等都为a .故共有4HP(黄浦) 图① =h (x ) 图② A 1 12. 已知x +x 2+x 3+…+x n =a 0+a 1(x -3)+a 2(x -3)2 + a 3(x -3)3+…+ a n (x -3)n (n ∈N *)且A n = a 0+a 1+a 2+…+ a n , 则=∞ →n n A n 4lim 4/3 . 解：在已知式中，令x =4，得4+42+43+ (4) = a 0+a 1+a 2+…+ a n = A n ，∴A n = )14(3 41 4) 14(4-=--n n ， 34 41344)]1([lim lim =-=∞ →∞ →n n n n A n . 13. 一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品. 用户先对产品进行随机抽检以决定 是否接受. 抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品(抽检后不放回)，只要检验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接受这箱产品，按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是 27/10 ． 解：以ξ表示该用户抽检次数，则ξ =1,2,3，相应的概率：p (ξ=1)=101，p (ξ=2)=91109?=101 ， p (ξ=3)=)(878 198109+??=10 8，故数学期望是1×101+2×101+3×108=1027. 14. 已知x x f 14)(-=，若存在区间[a , b ]?(3 1,+∞)，使得{y |y =f (x ), x ∈[a , b ]}=[ma , mb ]，则实数m 的取值范围是 (3,4) ． 解：x x f 14)(-=在区间[a , b ]?(3 1,+∞)上单调递增，故要使其值域为[ma , mb ]，必须且只须? ??==mb b f ma a f )()(? a 、 b 是方程f (x )=mx 的两个不等实根.由 f (x )=mx ?mx =-14(x >1) ?m =214x -，令t x =1，由x >31?0 +4在0 得出m 的取值范围. 画出g (t )图像如右，由图知m ∈(3,4). 12 1=不是正整数，故①错，排除C 、D ； 对于②，由“存在n ∈N *，使得a n <)(2 1成立”可推出“a >0”，故②对，排除A ，故选B . 18. 如果函数y =|x |-2的图像与曲线C ：x 2+λy 2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值 范围是 ( A ) A.[-1,1) B.{-1,0} C.(-∞,-1]∪[0,1) D.[-1,0]∪(1,+∞) 解：法1：取λ=±4，画图易知两曲线有4个不同交点，故排除C 、D ；取∵λ=2 1，画图可知两曲线恰有两不同的公共点，故排除B ，果断选A. 法2：曲线都关于y 轴对称，故问题化为两曲线在y 轴右边恰有一个交点.当x >0时，以y =x -2 代入x 2+λy 2=4中，得x 2+λ(x -2)2=4?(1+λ) x 2 -4λx +4(λ-1)=0，此方程在(0,+∞)在有且仅一一个正根，则：①若λ=-1，方程为一次方程：4x -8=0?x =2>0，符合；②若λ≠-1，则方程为二次方程，此时，△=16λ2-16(λ+1)(λ-1)=16>0，故应有一正一负两根(其中负根舍去)，∴ 0)1(4<-λ?-1<λ<1. 综上，选A .[附注：用数形结合反而分类繁复] JA 、YP 、QP 、BS(静安、杨浦、青浦、宝山) 12. 各项为正数的无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若1lim 1 =+∞ →n n S S n ， 则其公比q 的取值 范围是 (0,1] . 解：若q =1，则S n =na 1，S n +1=(n +1)a 1，a 1>0，∴1 1+= +n n S S n n ，符合1lim 1 =+∞→n n S S n ； 若q ≠1，则S n = q q a n --1)1(1，S n +1= q q a n --+1) 1(1 1，a 1>0，∴n n n n q q q S S ?--=+111 ，由1lim 1 =+∞→n n S S n ，可知0 综上，得0 13. 已知两个不相等的平面向量α、β (0≠α)满足2||=β|，且α与αβ-的夹角为120°， 则|α|的最大值是 34 . 解：如图，∠OAB =180?-120?=60?，令∠ABO =θ，由正弦定理，得 ? = 60sin ||sin | |OB OA θ ?|OA |= 2 32 sin θ=3 34sin θ，当θ=90?时，|OA |max = 3 34. 14. 给出30行30列的数表A ：??????? ?? ? ? ?107421618315011721634272013183272115 91502015105 11713951 ，其特点是每行每列都构成等差数 列，记数表主对角线上的数1,10,21,34,…,1074按顺序构成数列{b n }，存在正整数s 、t (1 使b 1, b s , b t 成等差数列，试写出一组(s ,t )的值 (17, 25) . 解：b 2-b 1=9, b 3-b 2=11, b 4-b 3=13,…, b n -b n -1=2n +5，以上各式相加，得b n -b 1=)1(2529-++n n =(n -1) (n +7)? b n =(n -1) (n +7) +1，由题意，1, (s -1)(s +7)+1, (t -1)(t +7)+1成等差数列， ∴2(s -1)(s +7)=(t -1)(t +7)，取???-=++=-177)1(2t s t s ??? ?==2517 t s . 17. 若直线ax +by =2经过点M (cos α, sin α)，则 ( B ) A.a 2+b 2≤4 B. a 2+b 2≥4 C.42211≤+b a D. 422≥+b a 解：点M 的轨迹是单位圆x 2 +y 2 =1，问题化为直线ax +by =2与此圆的公共点，故圆心到直线的距 离d ≤r =1，即1222≤+b a ? a 2+ b 2≥4，选B . 18. 已知集合M ={(x ,y )|y =f (x )}，若对于任意(x 1,y 1)∈M ，存在(x 2,y 2)∈M ，使得x 1 x 2+ y 1 y 2=0成立， 则称集合M 是“Ω集合”. 给出下列4个集合： ①M ={(x ,y )|y =x 1} ②M ={(x ,y )|y =e x -2} ③M ={(x ,y )|y =cos x } ④M ={(x ,y )|y =ln x } 其中所有“Ω集合”的序号是 ( A ) A. ②③ B.③④ C.①②④ D.①③④ 解：对于①，x 1 x 2+ y 1 y 2=0? x 1 x 2+2 1 11 x x ?=0?( x 1 x 2)2=-1?对于任意x 1≠0，此关于x 2的方程无解 故①不是“Ω集合”，排除C 、D ； 对于②，如图，当A (x 1, y 1)在曲线y =e x -2上运动时， 总有曲线y =e x -2上的点B (x 2, y 2)，使∠AOB 为直角，特别地，若A 则B (0,-1)，故②是“Ω集合”， 排除B ，选A. 注：④不是“Ω集合”的理由：取A (1,0)为曲线y =ln x 上的点， 若要使∠AOB 为直角，则点B 必须在y 轴上，但曲线y =ln x 与y 轴无交点，故不存在曲线y =ln x 上的点，使∠AOB 为直角. MH(闵行) 12.公差为d ，各项均为正整数的等差数列{a n }中，若a 1=1，a n =73，，则n +d 的最小值等于 18 解：a n -a 1=(n -1)d =72，(n -1)∈N *，d >0，a n ∈N *，∴d ∈N *，且由(n -1)d 为定值及基本不等式，可知当(n -1)与d 接近相等时，(n -1)+d 取最小值，故n -1=8，d =9，或? n -1=9 d =8，(n -1)+d 取最小值17，即n +d 取最小值18. 13. 已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，AC =6，BC =7，AB =8，则BC AO ?= x <-1或x >3 . 解：取AB 中点D ，则由O 为△ABC 的外心知OD ⊥AB ， ∴AB AO ?=OAB ∠??cos ||||=)cos |(|||OAB ∠? =||||AD AB ?=||||2 1AB AB ?=2 2 1||AB =2 21||AB =32， 同理，AC AO ?=22 1||AC =18， ∴BC AO ?=)(AB AC AO -?=AB AO AC AO ?-?=18-32=-14. 14．设f (x )是定义在R 上的函数，若f (0)=8 1，且对任意的x ∈R ，满足f (x +2)-f (x )≤3x ， f (x +4)-f (x )≥10?3x ，则f (2014)= 2012 ． 解：f (x +2)-f (x )≤3x ①?f (x )-f (x +2)≥-3x ②，又f (x +4)-f (x )≥10?3x ③， ③+②? f (x +4)- f (x +2)≥9?3x =3x +2，以x 代x +2,得f (x +2)-f (x ) ≥3x ④， 由①、④，得f (x +2)-f (x )=3x ， ∴f (2014)= [f (2014)-f (2012)]+[f (2012)-f (2010)]+…+[f (4)-f (2)]+[f (2)-f (0)]+ f (0) =81+30+32+…+32010+32012=8 1+19191007 --=832014 . 17. 设函数f (x )=|sin x |+cos2x ,x ∈[-2π,2 π]，则函数f (x )的最小值是 ( B ) (A)-1 (B)0 (C)2 1 (D)89 解：①当x ∈[-2π,0)时，f (x )=-sin x +cos2x =-2sin 2x -sin x +1=-2(sin x +4 1)2+89，此时sin x ∈[-1,0)，当sin x =-1时，f (x )min =0；②当x ∈[0,2π]时，f (x )= sin x +cos2x =-2sin 2x +sin x +1=-2(sin x -4 1)2+89 ，此时sin x ∈[0,1]，当sin x =1时，f (x )min =0.由①②知：函数f (x )的最小值是0. 18. 给出下列四个命题： ①如果复数z 满足|z +i |+|z -i |=2，则复数z 在复平面的对应点的轨迹是椭圆． ②设f (x )是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，|f (x )|=|f (-x )|恒成立，则f (x )是R 上的奇函数或偶函数． ③已知曲线C ： 116 9 22=- y x 和两定点E (-5, 0)、F (5, 0)，若P (x , y )是C 上的动点，则 6||||<-PF PE ． ④设定义在R 上的两个函数f (x )、g (x )都有最小值，且对任意的x ∈R ，命题“f (x )>0或g (x )>0”正确，则f (x )的最小值为正数或g (x )的最小值为正数． 上述命题中错误的个数是 ( D ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解：①错，因为满足条件的点的轨迹是线段；②错，如?? ?-<--≥=1 ,11 ,1)(x x x f ；③错，方法1：取 曲线C 上的点P (3,0)，则有6|28|||||=-=-PF PE A 方法2：曲线C 方程可化为 14||3||=-y x ，图形是如右的 四条射线，相应射线与双曲线116 92 2 =-y x 的渐近线平行， 故四条射线位于双曲线116 922 =- y x 含焦点E (-5,0)、F (5,0)的一侧，如图， 有||||||||||PF ME PM PF PE -+=- =|)||||(||)||(|||||||||||||||PF MF PM MF ME PF MF MF ME PM PF PE -++-=-+-+=- =2a +|)||||(|PF MF PM -+=6+ ||||(|PF MF PM -+④错，如取f (x )=|x +2|-1，g (x )=|x -2|-1，如图， 任作直线x=t 有一点位于x 轴上方，即条件“f (x )>0或g (x )>0但两个函数的最小值均为-1<0. PD(浦东) 12. 某人从标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张.约定如下：如果出现两个偶数或两个奇数，就将两数相加的和记为ξ；如果出现一奇一偶，则将它们的差的绝对值记为ξ，则随机变量ξ的数学期望为 8/3 . 解：出现两个奇数1、3时，ξ=4，p (4=ξ)=61124 =C ；出现两个偶数2、4时，ξ=6，p (6=ξ)=61 124 =C ； 出现一奇一偶有四种：1、2，3、4，2、3和1、4，分别是ξ=1, p (1=ξ)=2 1 3 24 =C ，ξ=3, p (3=ξ)=6 1， ∴E ξ=1×21+3×61+4×61+6×61=3 8. 13. 如果M 是函数)(x f y =图像上的点，N 是函数)(x g y =图像上的点，且N M ,两点之间的 距离MN 能取到最小值d ，那么将d 称为函数)(x f y =与)(x g y =之间的距离.按这个定 义，函数x x f =)(和34)(2-+-=x x x g 解：x x f = )(表示抛物线上半支y 2=x (y ≥0)，)(=x g 表示圆心 在C (2,0)，半径为1的上半圆，∴d=|MC |min -1，令M (t 2, t )(t ≥0)为抛物线上任意一点，则|MC |2=(t 2-2)2+t 2=t 4-3t 2+4=(t 2-23)2+4-49，当t =2 6时，|MC |min = 2 7，∴d= 2 7-1. 14. 数列}{n a 满足)(1 2 41*+-+∈= N n a n n a a n ． ①存在1a 可以生成的数列}{n a 是常数数列； ②“数列}{n a 中存在某一项65 49=k a ”是“数列}{n a 为有穷数列”的充要条件； ③若}{n a 为单调递增数列，则1a 的取值范围是)2,1()1,(?--∞； ④只要k k k k a 232311--+≠ ，其中* ∈N k ，则n n a ∞ →lim 一定存在； 其中正确命题的序号为 ①④ . 解：对于①，}{n a 是常数数列，则)(11* +∈==N n a a a n n ，即 n a a a n n =+-124，亦即11 2 411a a a =+- ?12 1124a a a +=-?02312 1=+-a a ?11=a ，或21=a ，故①正确； 对于②，“数列}{n a 中存在某一项65 49 = k a ”?1911 1241 24165 49 65 49== = +-?+-+k k a a k a ， 5 11241 2 4219 11191111== = +-?+-+++k k a a k a -1，11241 2 435 15 122-== =+-?+-+++k k a a k a ，计算中止，故“数列}{n a 为有穷 数列”，即条件充分；“数列}{n a 为有穷数列”，若取11-=a ，此数列就只有一项-1，从而“数列}{n a 中存在某一项65 49 = k a ”不成立，故条件是充分非必要，②错； 对于③，取21-=a ，则102)2(42==--a ，23821043a a <==-?，故}{n a 不是递增数列，③错；对于④，特征方程为1 2 4+-= x x x ?特征根为x 1=1，x 2=2. 1?若a 1=1，则a n =1?1lim =∞ →n n a ；2?若a 1=2，则a n =2?2lim =∞ →n n a ；3?若a 1≠1且a 1≠2， 设 2 12111----? =++n n n n a a a a k ? 1 211 12 4---?=++-n n n a n n a n a a k ?21)1(2)1(3----?=n n n n a a a a k ?k =23，∴21 23211 1----?=++n n n n a a a a ， ?1311 )(11---?=n a a n n ,令m a =-111，则131 )(--?=n a m n n ?1+12321 )(--?=n a m n ? 1) (12 32 1 -?=--n a m n ?1)(11 32--= -n m n a ?1)(1)(21)(1 12 31231 2 32------= + =n n n m m m n a ，若}{n a 是有穷数 列，则存在k ∈N *，便a k =-1，即 11)(1)(212 3123-=----k k m m ?01)(1)(21313=-+---k k m m ?2)(3123=-k m ?213)(=-k m ?k m )(3 2=，即k a a )(3221 11=--?k k k k a 232311 --+=, 现已知k k k k a 232311 --+≠ ，故}{n a 是无穷数列，此时，2lim lim 1 )(1)(21 2312 3==--∞→∞ →--n n m m n n n a . 由1?、2?、3?知，④正确. 17. 已知以4为周期的函数 (](] ?????∈--∈-=3,1,cos 1,1,1)(22x x x m x f x π，其中0>m .若方程3 )(x x f =恰 有5个实数解，则m 的取值范围为 ( B ) (A)),( 3 83 15 (B) )7,( 315 (C) 解：如图，方程3 )(x x f = 恰有5直线y=3x 与半椭圆C 1：y=m 2)4(1--x 有两个交点，而与半椭圆C 2：y=m 2 )8(1--x 由?????--==2 3) 4(1x m y y x ? 2229)4(2 --=x m m x ?0158)(22229 1=+-+m x m x m ，令△>0，得015)(46422914>?+-m m m ?9 15 2>m (m >0)? 3 15>m ①； 由?????--==23) 8(1x m y y x ?2229)8(2--=x m m x ?06316)(222291=+-+m x m x m ，令△<0， 得063)(4256229 14 ?? ?∈--∈-=3,1,cos 1,1|),|1()(2x x x m x f x π其中0>m ，若方程3 )(x x f =恰有5个实数解，则m 的取值范围为 ( C ) (A)),(4∞+ (B) ),[4∞+ (C) ,(84[84解：如图，方程3 )(x x f = 恰有5个实数解充要条件是： 直线y=3 x 与三角波C 1：y =m (1-|x -4|)有两个交点， 而与三角波C 2：y =m (1-|x -8|)无交点，即 84< 18．从集合{ }2013,,4,3,2,1 中任取3个元素组成一个集合A ，记A 中所有元素之和被3除余数为i 的概率为)20(≤≤i P i ，则210,,P P P 的大小关系为 ( B ) (A) 210P P P == (B) 210P P P => (C) 210P P P =< (D) 210P P P >> 32π 4 1的取值范围是 [0,2π/3] . 解：y =sin 2x +2cos x =-cos 2x +2cos x +1=-(cos x -1)2+2， x =32π -时，cos x =21-，此时y =41-=y min ，cos x =1时，y max ∴α的值既要使cos x 取到1，又要使cos x 不小于21-，于是 如图可知：0≤α≤ 3 2π . 17. 若R a ∈，则“关于x 的方程012=++ax x 无实根”是“i a a z )1()12(-+-=(其中i 表 示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的 ( B ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件 解：“关于x 的方程012=++ax x 无实根”?△=42 -a <0?-2 “i a a z )1()12(-+-=在复平面上对应的点位于第四象限”?12 1< 2 |||| a =2||（a 为常数）.下列结论中，（ C ） A .当10< C .当1>a 时，满足条件的点P 有无数个. D .当a 为任意正实数时，满足条件的点P 是有限个解：如图建立平面直角坐标系，则A(0, 2 3 )，B(-21,0)，C(2 1,0)，设P(x,y)，则 a=221221232222)()()(||||||y x y x y x +-++++- +=++ P 1 )(333332 6 32 452 2 +-+=+-+=y x y y x ?1)(332632 -=-+a y x ，当1>a 时，此方程表示一个圆，此时，满足题意的点P 有无数个，选C. XH 、SJ 、JS(徐汇、松江、金山) 12. 如图，O 为直线A 0A 2013外一点，若A 0, A 1, A 2, A 3, A 4, A 5,…, A 2013中 任意相邻两点的距离相等，设b OA a OA ==20130,，用a 、b 表示 2013 210OA OA OA ++++ ，其结果为)(1007 +. 解：方法1：易知100A A k OA OA k +=，k =0，1， (2013) ∴10220142013020132102014A A OA OA OA OA OA ?+=++++ =2013020131 2 2014201302014A A OA ?+? =)(1007)(10072014+=-+. 方法2：20122013201310020121A A OA A A OA OA OA +++=+20130OA OA +=(∵020********=+A A A A )，同理，2013020112OA OA OA OA +=+，2013020103OA OA OA OA +=+，…， 2013 010071006OA OA OA OA +=+，∴)(1007)(1007201302013210b a OA OA OA OA OA OA +=+=++++ . 13. 设函数||)(x x x f =，将)(x f 向左平移)0(>a a 个单位得到函数)(x g ，将)(x f 向上平移 )0(>a a 个单位得到函数)(x h ,若)(x g 的图像恒在)(x h 的图像的上方，则正数a 的取值范围 为 a >2 . 解：如图，由于)(x f 与)(x g 的图像相同，故只要考虑x ≥-a 时，)(x f 恒在)(x h 的图像的上方即可.此时2)()(a x x g +=，a x x h +-=2)( 令)()(x h x g >，得a x a x +->+22)(?0222 2>-++a a ax x ， 令m (x )=a x a a ax x a a -++=-++222222 )(222，m (x )>0对任意 x ≥-a 都成立，等价于m (x )min >0，而m (x )min =m (2 a -)=a a -22 ， ∴a a -22 >0，又a >0，∴a >2. 17. 气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22(0 C)”.现有甲、 乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ① 甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②：5个数据的中位数为27，总体均值为24； ③ 丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8； 则肯定进入夏季的地区有 （ C ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 解：对于甲地，易知5个数据均不低于22，∴甲入夏；对于乙地，总体均值为24，故5个数据总 和为120，去除中位数27的3倍，另二个数之和最多为39，于是，这二个数中必有一个小于22，∴乙没入夏；对于丙地，设另四个数据为a 、b 、c 、d ，则(a-26)2+(b-26)2+(c-26)2+(d-26)2 +(32-26)2=10.8?5=54?(a-26)2+(b-26)2+(c-26)2+(d-26)2=18①,这里a 、b 、c 、d 都为正整数，若其中有一个小于22，即这个数至多为21，不妨设a ≤21，则(a-26)2≥25②，②与①抵触，故a 、b 、c 、d 中没有一个小于22，从而丙入夏.综上，有2个地区进入夏季，选C. 18. 如图所示，向量的模是向量AB 的模的t 倍，AB 与的夹角为θ,向量AB 经过一次),(θt 变换得到向量BC .在直角坐标平面内，设起始)0,4(1=OA ，向量1OA 经过1-n 次),(3 221π变换得到的向量为,(1>∈*-n N n A A n n 其中)(,,21*++∈N i A A A i i i 为逆时针排列，记i A 坐标为))(,(*∈N i b a i i 题中不正确．．． 的是 （ D ） A.32=b B.)(0313* +∈=-N k b b k k C.)(01313*-+∈=-N k a a k k D.)(0)()(8134*+++∈=-+-N k a a a a k k k k A 0 A 1 A 2 A 2013 g 解：如图，a 1=4，b 1=0，a 2=4-1=3，b 2=3， a 3=a 2-21=2 5，b 3= b 2-2 3= 2 3， a 4=a 3+2 1=3，b 4=b 3=2 3 ，a 5=a 4-81=8 23，于是， 8(a 5- a 4)+ (a 2- a 1)=-1+(-1)≠0， 即当k =1时，D 中的等式就不成立，∴必错的应是D. ZB(闸北) 7. 设)(x f y =为R 上的奇函数，)(x g y =为R 上的偶函数，且)1()(+=x f x g ，2)0(=g ．则 =)(x f 2sin 2x π． （只需写出一个满足条件的函数解析式即可） 解：由)1()(+=x f x g 是偶函数，可知)(x f y =图像有对称轴x =1，又)(x f y =图像有对称中心(0,0)，∴)()()2(x f x f x f -=-=+?)()2(]2)2[(x f x f x f =+-=++?周期T =4， 又2)1()0(==f g ，可取2sin 2)(x x f π=. 8. 某商场在节日期间举行促销活动，规定： （1）若所购商品标价不超过200元，则不给予优惠； （2）若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分给予9折优惠； （3）若所购商品标价超过500元，其500元内（含500元）的部分按第（2）条给予优惠，超 过500元的部分给予8折优惠． 某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标价为 2000元 . 解：由于购买一件家用电器共节省330元，∴商品标价必超过200元，若不超过500元，则超过 200元的部分不大于300元，其优惠额不大于270元<330元，不合，故商品标价应超过500元，设为(500+x )元，按规定（3），有(500-200)?0.1+ x ?0.2=330?x =1500，∴商品标价为2000元. 9. 设()x a x -=,，()2,x =，[ )2,1∈x ，且OB OA ⊥，则函数1log )(1 -=x x f a a 的最 大值为 )1(log 1-a a . 解：⊥?()0)2,(,=?-x x a x ?0222 =+-a x x ?1)1(222 2 +--=+-=x x x a ， ∵[ )2,1∈x ，∴120≤ 0≤≥≥x a x ，∴011>-x a ， ∴)1(log )(1-=x x f a a ，令1)(1-=x x g a ，则)(x g 在[ )2,1∈x 时为增函数，而2 1