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第17章 函数及其图象全章教案-

第17章  函数及其图象全章教案-
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第17章函数及其图象教案

17.1变量与函数(1)

知识技能目标

1.掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念;

2.了解表示函数关系的三种方法:解析法、列表法、图象法,并会用解析法表示数量关系.

过程性目标

1.通过实际问题,引导学生直观感知,领悟函数基本概念的意义;

2.引导学生联系代数式和方程的相关知识,继续探索数量关系,增强数学建模意识,列出函数关系式.

教学过程

一、创设情境

在学习与生活中,经常要研究一些数量关系,先看下面的问题.

问题1 如图是某地一天内的气温变化图.

看图回答:

(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少?任意给出这天中的某一时刻,说出这一时刻的气温.

(2)这一天中,最高气温是多少?最低气温是多少?

(3)这一天中,什么时段的气温在逐渐升高?什么时段的气温在逐渐降低?

解 (1)这天的6时、10时和14时的气温分别为-1℃、2℃、5℃;

(2)这一天中,最高气温是5℃.最低气温是-4℃;

(3)这一天中,3时~14时的气温在逐渐升高.0时~3时和14时~24时的气温在逐渐降低.

从图中我们可以看到,随着时间t(时)的变化,相应地气温T(℃)也随之变化.那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢?

二、探究归纳

问题2 银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率,下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率:

观察上表,说说随着存期x 的增长,相应的年利率y 是如何变化的.

解 随着存期x 的增长,相应的年利率y 也随着增长.

问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值:

观察上表回答:

(1)波长l 和频率f 数值之间有什么关系?

(2)波长l 越大,频率f 就________.

解 (1) l 与 f 的乘积是一个定值,即

lf =300 000, 或者说 l 300000 f . (2)波长l 越大,频率f 就 越小 .

问题4 圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r 表示圆的半径,S 表示圆的面积则S 与r 之间满足下列关系:S =_________.

利用这个关系式,试求出半径为1 cm 、1.5 cm 、2 cm 、2.6 cm 、3.2 cm 时圆的面积,并将结果填入下表:

由此可以看出,圆的半径越大,它的面积就_________.

解 S =πr 2.

圆的半径越大,它的面积就越大.

在上面的问题中,我们研究了一些数量关系,它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量,特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题1中,刻画气温变化规律的量是时间t 和气温T ,气温T 随着时间t 的变化而变化,它们都会取不同的数值.像这样在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量(variable).

上面各个问题中,都出现了两个变量,它们互相依赖,密切相关.一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量,例如x 和y ,对于x 的每一个值,y 都有惟一的值与之对应,我们就说x 是自变量(independent variable),y 是因变量(dependent variable),此时也称y 是x 的函数(function).表示函数关系的方法通常有三种:

(1)解析法,如问题3中的l 300000

f ,问题4中的S =π r 2,这些表达式称为函数的关

系式.

(2)列表法,如问题2中的利率表,问题3中的波长与频率关系表.

(3)图象法,如问题1中的气温曲线.

问题的研究过程中,还有一种量,它的取值始终保持不变,我们称之为常量(constant),如问题3中的300 000,问题4中的π等.

三、实践应用

例1 下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.

(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?

(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?

(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量?

解 (1)平均身高是146.1cm ;

(2)约从14岁开始身高增加特别迅速;

(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系,其中年龄是自变量,平均身高是因变量.

例2 写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量:

(1)圆的周长C 与半径r 的关系式;

(2)火车以60千米/时的速度行驶,它驶过的路程s (千米)和所用时间t (时)的关系式;

(3)n 边形的内角和S 与边数n 的关系式.

解 (1)C =2π r ,2π是常量,r 、C 是变量;

(2)s =60t ,60是常量,t 、s 是变量;

(3)S =(n -2)×180,2、180是常量,n 、S 是变量.

四、交流反思

1.函数概念包含:

(1)两个变量;

(2)两个变量之间的对应关系.

2.在某个变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量;数值始终保持不变的量,叫做常

量.例如x和y,对于x的每一个值,y都有惟一的值与之对应,我们就说x是自变量,y是因变量.

3.函数关系三种表示方法:

(1)解析法;

(2)列表法;

(3)图象法.

五、检测反馈

1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子.

2.分别指出下列各关系式中的变量与常量:

(1)三角形的一边长5cm,它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是

h

S

2

5

(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α,则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β=90-α;

(3)若某种报纸的单价为a元,x表示购买这种报纸的份数,则购买报纸的总价y(元)与x间的关系是:y=ax.

3.写出下列函数关系式,并指出式中的自变量与因变量:

(1)每个同学购一本代数教科书,书的单价是2元,求总金额Y(元)与学生数n(个)的关系;

(2)计划购买50元的乒乓球,求所能购买的总数n(个)与单价a(元)的关系.

4.填写如图所示的乘法表,然后把所有填有24的格子涂黑.若用x表示涂黑的格子横向的乘数,y表示纵向的乘数,试写出y关于x的函数关系式.

17.1变量与函数(2)

知识技能目标

1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围,以及实际背景对自变量取值的限制;

2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.

过程性目标

1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中,增强数学建模意识;

2.联系求代数式的值的知识,探索求函数值的方法.

教学过程

一、创设情境

问题1 填写如图所示的加法表,然后把所有填有10的格子涂黑,看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示,纵向的加数用y表示,试写出y与x的函数关系式.

解如图能发现涂黑的格子成一条直线.

函数关系式:y=10-x.

问题2 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式.

解 y与x的函数关系式:y=180-2x.

问题3 如图,等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm,AC与MN在同一直线上,开始时A点与M点重合,让△ABC向右运动,最后A点与N点重合.试写出重叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式.

解 y与x的函数关系式:

2

2

1

x

y

二、探究归纳

思考 (1)在上面问题中所出现的各个函数中,自变量的取值有限制吗?如果有,写出它的取值范围.

(2)在上面问题1中,当涂黑的格子横向的加数为3时,纵向的加数是多少?当纵向的加数为6时,横向的加数是多少?

分析 问题1,观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围.

问题2,因为三角形内角和是180°,所以等腰三角形的底角的度数x 不可能大于或等于90°.

问题3,开始时A 点与M 点重合,MA 长度为0cm ,随着△ABC 不断向右运动过程中,MA 长度逐渐增长,最后A 点与N 点重合时,MA 长度达到10cm .

解 (1)问题1,自变量x 的取值范围是:1≤x ≤9;

问题2,自变量x 的取值范围是:0<x <90;

问题3,自变量x 的取值范围是:0≤x ≤10.

(2)当涂黑的格子横向的加数为3时,纵向的加数是7;当纵向的加数为6时,横向的加数是4. 上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如:

s =60t , S =πR 2.

在用解析式表示函数时,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.在确定函数中自变量的取值范围时,如果遇到实际问题,不必须使实际问题有意义.例如,函数解析式S =πR 2中自变量R 的取值范围是全体实数,如果式子表示圆面积S 与圆半径R 的关系,那么自变量R 的取值范围就应该是R >0.

对于函数 y =x(30-x),当自变量x =5时,对应的函数y 的值是

y =5×(30-5)=5×25=125.

125叫做这个函数当x =5时的函数值.

三、实践应用

例1 求下列函数中自变量x 的取值范围:(1) y =3x -1; (2) y =2x 2+7;(3)21

+=x y ; (4)2-=x y .

分析 用数学式子表示的函数,一般来说,自变量只能取使式子有意义的值.例如,在(1),

(2)中,x 取任意实数,3x -1与2x 2+7都有意义;而在(3)中,x =-2时,21

+x 没有意义;在(4)中,x <2时,2-x 没有意义.

解 (1)x 取值范围是任意实数;

(2)x 取值范围是任意实数;

(3)x 的取值范围是x ≠-2;

(4)x 的取值范围是x ≥2.

归纳 四个小题代表三类题型.(1),(2)题给出的是只含有一个自变量的整式;(3)题给出

的是分母中只含有一个自变量的式子;(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式.

例2 分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围:

(1)某市民用电费标准为每度0.50元,求电费y(元)关于用电度数x 的函数关系式;

(2)已知等腰三角形的面积为20cm 2,设它的底边长为x(cm),求底边上的高y(cm)关于x 的函数关系式;

(3)在一个半径为10 cm 的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆,得到一个圆环.设圆环的面积为S(cm 2),求S 关于r 的函数关系式.

解 (1) y =0.50x ,x 可取任意正数; (2)x y 40

=,x 可取任意正数;

(3)S =100π-πr 2,r 的取值范围是0<r <10.

例3 在上面的问题(3)中,当MA =1 cm 时,重叠部分的面积是多少?

解 设重叠部分面积为y cm 2,MA 长为x cm , y 与x 之间的函数关系式为

2

21x y =

当x =1时,211212=?=y

所以当MA =1 cm 时,重叠部分的面积是21

cm 2.

例4 求下列函数当x = 2时的函数值:

(1)y = 2x-5 ; (2)y =-3x 2 ; (3)12-=x y ; (4)x y -=2.

分析 函数值就是y 的值,因此求函数值就是求代数式的值.

解 (1)当x = 2时,y = 2×2-5 =-1;

(2)当x = 2时,y =-3×22 =-12;

(3)当x = 2时,y =122

-= 2;

(4)当x = 2时,y =22-= 0.

四、交流反思

1.求函数自变量取值范围的两个依据:

(1)要使函数的解析式有意义.

①函数的解析式是整式时,自变量可取全体实数;

②函数的解析式分母中含有字母时,自变量的取值应使分母≠0;

③函数的解析式是二次根式时,自变量的取值应使被开方数≥0.

(2)对于反映实际问题的函数关系,应使实际问题有意义.

2.求函数值的方法:把所给出的自变量的值代入函数解析式中,即可求出相应的函数值.

五、检测反馈

1.分别写出下列各问题中的函数关系式,并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围:

(1)一个正方形的边长为3 cm ,它的各边长减少x cm 后,得到的新正方形周长为y cm .求y 和x 间的关系式;

(2)寄一封重量在20克以内的市内平信,需邮资0.60元,求寄n 封这样的信所需邮资y (元)与n 间的函数关系式;

(3)矩形的周长为12 cm ,求它的面积S(cm 2)与它的一边长x(cm)间的关系式,并求出当一边长为2 cm 时这个矩形的面积.

2.求下列函数中自变量x 的取值范围:

(1)y =-2x -5x 2; (3) y =x(x +3); (3)36+=x x

y ; (4)12-=x y .

3.一架雪橇沿一斜坡滑下,它在时间t (秒)滑下的距离s (米)由下式给出:s =10t +2t 2.假如滑到坡底的时间为8秒,试问坡长为多少?

4.当x =2及x =-3时,分别求出下列函数的函数值:

(1) y =(x+1)(x -2);(2)y =2x 2-3x +2; (3)

12-+=x x y .

17.2.1平面直角坐标系

知识技能目标

1.掌握平面直角坐标系的有关概念;

2.能正确画出直角坐标系,以及根据点的坐标找出它的位置、由点的位置确定它的坐标;

3.初步理解直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义.

过程性目标

1.联系数轴知识、统计图知识,经历探索平面直角坐标系的概念的过程;

2.通过学生积极动手画图,达到熟练的程度,并充分感受直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义.

教学过程

一、创设情境

如图是一条数轴,数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上每个点都对应一个实数,这个实数叫做这个点在数轴上的坐标.例如,点A在数轴上的坐标是4,点B在数轴上的坐标是-2.5.知道一个点的坐标,这个点的位置就确定了.

我们学过利用数轴研究一些数量关系的问题,在实际生活中.还会遇到利用平面图形研究数量关系的问题.

二、探究归纳

问题1 例如你去过电影院吗?还记得在电影院是怎么找座位的吗?

解因为电影票上都标有“×排×座”的字样,所以找座位时,先找到第几排,再找到这一排的第几座就可以了.也就是说,电影院里的座位完全可以由两个数确定下来.

问题2 在教室里,怎样确定一个同学的座位?

解例如,××同学在第3行第4排.这样教室里座位也可以用一对实数表示.

问题3 要在一块矩形ABCD(AB=40mm,AD=25mm)的铁板上钻一个直径为10mm的圆孔,要求:

(1)孔的圆周上的点与AB边的最短距离为5mm,

(2)孔的圆周上的点与AD边的最短距离为15mm.

试问:钻孔时,钻头的中心放在铁板的什么位置?

分析圆O的中心应是钻头中心的位置.因为⊙O直径为10mm,所以半径为5 mm,所以圆

心O到AD边距离为20mm,圆心O到AB边距离为10mm.由此可见,确定一个点(圆心O)的位置要有两个数(20和10).

在数学中,我们可以用一对有序实数来确定平面上点的位置.为此,在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴(如图),

这就建立了平面直角坐标系(rightangled coordinates

system).通常把其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴,

取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为

正方向;两数轴的交点O叫做坐标原点.

在平面直角坐标系中,任意一点都可以用一对有序实

数来表示.例如,图中的点P,从点P分别向x轴和y轴

作垂线,垂足分别为M和N.这时,点M在x轴上对应的

数为3,称为点P的横坐标(abscissa);点N在y轴上对

应的数为2,称为点P的纵坐标(ordinate).依次写出点

P的横坐标和纵坐标,得到一对有序实数(3,2),称为点P的坐标(coordinates).这时点P 可记作P(3,2).在直角坐标系中,两条坐标轴把平面分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域,分别称为第一、二、三、四象限.坐标轴上的点不属于任何一个象限.

三、实践应用

例1 在上图中分别描出坐标是(2,3)、(-2,3)、(3,

-2)的点Q、S、R,Q(2,3)与P(3,2)是同一点吗?S(-

2,3)与R(3,-2)是同一点吗?

Q(2,3)与P(3,2)不是同一点;

S(-2,3)与R(3,-2)不是同一点.

例2 写出图中的点A、B、C、D、E、F的坐标.观察你所写出的这些点的坐标,回答:(1)在四个象限内的点的坐标各有什么特征?

(2)两条坐标轴上的点的坐标各有什么特征?

解 A(-1,2)、B (2,1)、C (2,-1)、D (-1,-1)、E (0,3)、F (-2,0).

(1)在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数;

在第二象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是正数;

在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数;

在第四象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是负数;

(2)x轴上点的纵坐标等于零;

y轴上点的横坐标等于零.

说明从上面的例1、例2可以发现直角坐标系上每一个点的位置都能用一对有序实数表示,反之,任何一对有序实数在直角坐标系上都有唯一的一个点和它对应.也就是说直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的.

例3 在直角坐标系中描出点A(2,-3),分别找出它关于x轴、y轴及原点的对称点,并写出这些点的坐标.观察上述写出的各点的坐标,回答:

(1)关于x轴对称的两点的坐标之间有什么关系?

(2)关于y轴对称的两点的坐标之间有什么关系?

(3)关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系?

(1)关于x轴对称的两点:横坐标相同,纵坐标绝对值相等,符号相反;

(2)关于y 轴对称的两点:横坐标绝对值相等,符号相反,纵坐标相同;

(3)关于原点对称的两点:横坐标绝对值相等,符号相反,纵坐标也绝对值相等,符号相反.

例4 在直角坐标平面内,(1)第一、三象限角平分线上点的坐标有什么特点?(2)第二、四象限角平分线上点的坐标有什么特点?

分析 如图,P 为第一、三象限角平分线上位于第一象限内任一点,作PM ⊥x 轴于M ,在Rt △PMO 中,∠1=∠2=45°,所以|OM |=|MP |,则P 点的横坐标,纵坐标绝对值相等,又因为P 点位于第一象限内,OM 为正值,MP 也为正值,所以P

点横坐标与纵坐标相同.同样若P 点位于第三象限内,则OM

为负值,MP 也为负值,所以P 点横坐标与纵坐标也相同.若P

点为第二、四象限角平分线上任一点,则OM 与MP 一正一负,

所以P 点横坐标与纵坐标互为相反数.

解 (1)第一、三象限角平分线上点:横坐标与纵坐标相同;

(2)第二、四象限角平分线上点:横坐标与纵坐标互为相反

数.

四、交流反思

1.平面直角坐标系的有关概念及画法;

2.在直角坐标系中,根据坐标找出点;由点求出坐标的方法;

3.在四个象限内的点的坐标特征;两条坐标轴上的点的坐标特征;第一、三象限角平分线上点的坐标特征;第二、四象限角平分线上点的坐标特征;

4.分别关于x 轴、y 轴及原点的对称的两点坐标之间的关系.

五、检测反馈

1.判断下列说法是否正确:

(1)(2,3)和(3,2)表示同一点;

(2)点(-4,1)与点(4,-1)关于原点对称;

(3)坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0;

(4)第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数.

2.在直角坐标系中描出下列各点,顺次用线段将这些点连起来,并将最后一点与第一点连起来,看看得到的是一个什么图形?

),),(,),(,),(,(),,),(,),(,),(,),(,),(,(),,),(,),(),(, (0 211 211 2133 2113 2

126 216 18 06 16 213 2

123 2111 ,2131 21),0 ,21(-------

3.指出下列各点所在的象限或坐标轴:

A(-3,-5),B(6,-7),C(0,-6),D(-3,5),E(4,0).

4.填空:

(1)点P(5,-3)关于x轴对称点的坐标是;

(2)点P(3,-5)关于y轴对称点的坐标是;

(3)点P(-2,-4)关于原点对称点的坐标是.

5.如图是一个围棋棋盘,我们可以用类似于直角坐标系的方法表示各个棋子的位置.例如,图中右下角的一个棋子可以表示为(12,十三).请至少说出图中四个棋子的“位置”.

17.2.2函数的图象

知识技能目标

1.掌握用描点法画出一些简单函数的图象;

2.理解解析法和图象法表示函数关系的相互转换.

过程性目标

1.结合实际问题,经历探索用图象表示函数的过程;

2.通过学生自己动手,体会用描点法画函数的图象的步骤.

教学过程

一、创设情境

问题1 在前面,我们曾经从如图所示的气温曲线上获得许多信息,回答了一些问题.现在让我们来回顾一下.

二、探究归纳

先考虑一个简单的问题:你是如何从图上找到各个时刻的气温的?

分析图中,有一个直角坐标系,它的横轴是t轴,表示时间;它的纵轴是T轴,表示气温.这一气温曲线实质上给出了某日的气温T (℃)与时间t(时)的函数关系.例如,上午10时的气温是2℃,表现在气温曲线上,就是可以找到这样的对应点,它的坐标是(10,2).实质上也就是说,当t=10时,对应的函数值T=2.气温曲线上每一个点的坐标(t,T),表示时间为t时的气温是T.

问题2 如图,这是2004年3月23日上证指数走势图,你是如何从图上找到各个时刻的上证指数的?

分析图中,有一个直角坐标系,它的横轴表示时间;它的纵轴表示上证指数.这一指数曲线实质上给出了3月23日的指数与时间的函数关系.例如,下午14:30时的指数是1746.26,表现在指数曲线上,就是可以找到这样的对应点,它的坐标是(14:30, 1746.26).实质上也就是说,当时间是14:30时,对应的函数值是1746.26.

上面气温曲线和指数走势图是用图象表示函数的两个实际例子.

一般来说,函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成的图形.图象上每一点的坐标(x,y)代表了函数的一对对应值,它的横坐标x表示自变量的某一个值,纵坐标y表示与它对应的函数值.

三、实践应用

例1 画出函数y=x+1的图象.

分析要画出一个函数的图象,关键是要画出图象上的一些点,为此,首先要取一些自变量的值,并求出对应的函数值.解取自变量x的一些值,例如x=-3,-2,-1,0,1,2,

3 …,计算出对应的函数值.为表达方便,可列表如下:

由这一系列的对应值,可以得到一系列的有序实数对:

…,(-3,-2),(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),…在直角坐标系中,描出这些有序实数对(坐标)的对应点,如图所示.

通常,用光滑曲线依次把这些点连起来,便可得到这个函数的图象,如图所示.

这里画函数图象的方法,可以概括为列表、描点、连线三步,通常称为描点法.

例2 画出函数

x

y

2

1

2的图象.

分析用描点法画函数图象的步骤:分为列表、描点、连线三步.解列表:

描点:

用光滑曲线连线:

四、交流反思

由函数解析式画函数图象,一般按下列步骤进行:

1.列表:列表给出自变量与函数的一些对应值;

2.描点:以表中对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点;

3.连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用光滑的曲线连结起来.

描出的点越多,图象越精确.有时不能把所有的点都描出,就用光滑的曲线连结画出的点,从而得到函数的近似的图象.

五、检测反馈

1.在所给的直角坐标系中画出函数x y 21=的图象(先填写下表,再描点、连线).

2.画出函数

x y 6-=的图象(先填写下表,再描点、然后用光滑曲线顺次连结各点).

3.(1)画出函数y =2x -1的图象(在-2与2之间,每隔0.5取一个x 值,列表;并在直角坐标系中描点画图).

(2)判断下列各有序实数对是不是函数y =2x -1的自变量x 与函数y 的一对对应值,如果是,检验一下具有相应坐标的点是否在你所画的函数图象上:

(-2.5,-4),(0.25,-0.5),(1,3),(2.5,4).

4.(1)画出函数231+-=x y 的图象(在-4与4之间,每隔1取一个x 值,列表;并在直

角坐标系中描点画图).

(2)判断下列各有序实数对是不是函数231+-=x y 的自变量x 与函数y 的一对对应值,如

果是,检验一下具有相应坐标的点是否在你所画的函数图象上:

)312,2(-,)212,23(-,(-1,3),)211,23(.

5.画出下列函数的图象:

(1)y =4x -1; (2)y =4x +1.

17.2.2函数的图象(2)

知识技能目标

1.使学生掌握用描点法画实际问题的函数图象;

2.使学生能从图形中分析变量的相互关系,寻找对应的现实情境,预测变化趋势等问题.

过程性目标;

通过观察实际问题的函数图象,使学生感受到解析法和图象法表示函数关系的相互转换这一数形结合的思想.

教学过程

一、创设情境

问题王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼,主要活动是爬山.有一天,小强让爷爷先上,然后追赶爷爷.图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离(米)与爬山所用时间(分)的关系(从小强开始爬山时计时).

问图中有一个直角坐标系,它的横轴(x轴)和纵轴(y轴)各表示什么?

答横轴(x轴)表示两人爬山所用时间,纵轴(y轴)表示两人离开山脚的距离.

问如图,线段上有一点P,则P的坐标是多少?表示的实际意义是什么?

答 P的坐标是(3,90).表示小强爬山3分后,离开山脚的距离90米.

我们能否从图象中看出其它信息呢?

二、探究归纳

看上面问题的图,回答下列问题:

(1)小强让爷爷先上多少米?

(2)山顶离山脚的距离有多少米?谁先爬上山顶?

分析 (1)小强让爷爷先跑的路程,应该看表示爷爷的这条线段.由于从小强开始爬山时计时的,因此这时爷爷爬山所用时间是0,而x轴表示爬山所用时间,得x=0.可在线段上找到这一点A(如图).A点对应的函数值y=60.

(2) y 轴表示离开山脚的距离,山顶离山脚的距离指的是离开山脚的最大距离,也就是函数值y 取最大值.可分别在这两条线段上找到这两点B 、C (如图),过B 、C 两点分别向x 轴、y 轴作垂线,可发现交y 轴于同一点Q (因为两人爬的是同一座山), Q 点的数值就是山顶离山脚的距离,分别交x 轴于M 、N ,M 、N 点的数值分别是小强和爷爷爬上山顶所用的时间,比较两值的大小就可判断出谁先爬上山顶.

解 (1)小强让爷爷先上60米;

(2)山顶离山脚的距离有300米,小强先爬上山顶.

归纳 在观察实际问题的图象时,先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标意义.如图中的点P(3,90),这一点表示小强爬山3分后,离开山脚的距离90米.再从图形中分析两变量的相互关系,寻找对应的现实情境.如图中的两条线段都可以看出随着自变量x 的逐渐增大,函数值y 也随着逐渐增大,再联系现实情境爬山所用时间越长,离开山脚的距离越大,当x 达到最大值时,也就是到达山顶.

三、实践应用

例1 王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习,在某处按函数关系式x x y 58512+-=击球,球正好进洞.其中,y(m)是球的飞行高度,x(m)是球飞出的水平距离.

(1)试画出高尔夫球飞行的路线;

(2)从图象上看,高尔夫球的最大飞行高度是多少?球的起点与洞之间的距离是多少?

分析 (1)高尔夫球飞行的路线,也就是函数x x y 58512+-=的图象,用描点法画出图象.在

列表时要注意自变量x 的取值范围,因为x 是球飞出的水平距离,所以x 不能取负数.在建立直角坐标系时,横轴(x 轴)表示球飞出的水平距离,纵轴(y 轴)表示球的飞行高度.

(2)高尔夫球的最大飞行高度就是图象上函数值y 取最大值的点,如图点P ,点P 的纵坐标就是高尔夫球的最大飞行高度;球的起点与球进洞点是球飞出的水平距离最小值的点和最大值的点,如图点O 和点A ,点O 和点A 横坐标差的绝对值就是球的起点与洞之间的距离.

解 (1)列表如下:

在直角坐标系中,描点、连线,便可得到这个函数的大致图象.

(2)高尔夫球的最大飞行高度是3.2 m,球的起点与洞之间的距离是8 m.

例2 小明从家里出发,外出散步,到一个公共阅报栏前看了一会报后,继续散步了一段时间,然后回家.下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s(米)与散步所用时间t (分)之间的函数关系.请你由图具体说明小明散步的情况.

分析从图中可发现函数图象分成四段,因此说明小明散步的情况应分成四个阶段.

线段OA:O点的坐标是(0,0),因此O点表示小明这时从家里出发,然后随着x值的增大,y值也逐渐增大(散步所用时间越长,离家的距离越大),最后到达A点,A点的坐标是(3,250),说明小明走了约3分钟到达离家250米处的一个阅报栏.

线段AB:观察这一段图象可发现x值在增大而y值保持不变(小明这段时间离家的距离没有改变),B点横坐标是8,说明小明在阅报栏前看了5分钟报.

线段BC:观察这一段图象可发现随着x值的增大,y值又逐渐增大,最后到达C点,C

点的坐标是(10,450),说明小明看了5分钟报后,又向前走了2分钟,到达离家450米处.线段CD:观察这一段图象可发现随着x值的增大,而y值逐渐减小(10分钟后散步所用时间越长,离家的距离越小),说明小明在返回,最后到达D点,D点的纵坐标是0,表示小明已到家.这一段图象说明从离家250米处返回到家小明走了6分钟.

解小明先走了约3分钟,到达离家250米处的一个阅报栏前看了5分钟报,又向前走了2分钟,到达离家450米处返回,走了6分钟到家.

中考复习教案 第三章 函数及其图象(共3课时)

第9课时 函数概念、一次函数 复习教学目标 1、能根据具体问题中的数量关系和变化规律了解函数、一次函数的意义。能说出函数的三种表示方法、一次函数的基本性质,知道函数图象的画法。 2、能画简单的一次函数图象,并根据已知条件确定一次函数的表达式。 3、能运用类比思想比较函数、一次函数和正比例函数的异同点,初步体会数形结合思想,并能运用数形结合的方法解决有关实际问题,并尝试用函数的方法描述有关实际问题,对变量的变化规律进行初步预测。 复习教学过程设计 1、【唤醒】 一、填空 (1)写出下列函数中自变量x 的取值范围。21+=x y ,2+=x y , 2 1+=x y 。 (2)已知1-y 与x 成正比例,且2-=x 时,4=y ,那么y 与x 之间的函数关系式为_________________。 (3)直线121+-=x y 与x 轴的交点坐标为(_______),与y 轴的交点坐标为(_______)。(4)根据下列一次函数y=kx+b(k ≠0)的草图回答出各图中k 、b 的符号: 二、选择 (1)下列函数中,表示一次函数的是 ( ) A 、232+=x y B 、)0(2≠-=k x k y C 、5 32--=x y D 、123-=x x y

(2)已知一次函数y=kx+b,y 随着x 的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是( ) 2、【尝试】 例1、已知一次函数的图象经过点)6,1(-A 、)2,1(B ,(1)求函数解析式;(2)画出函数图象;(3)函数的图象经过那些象限?(4)当x 增大时,y 的值如何? 解略(答案:42+-=x y ,图略,图象经过一、二、四象限,y 随x 增大而减小) 例2、已知一次函数)3()2(n x m y --+= (1)当m 、n 取何值时,y 随x 的增大而增大? (2)当m 、n 取何值时,直线与y 轴的交点在y 轴的下半轴? (3)当m 、n 取何值时,直线经过一、二、四象限? 分析:(1)一次函数)0(≠+=k b kx y 的性质:当0>k 时,y 随x 的增大而增大;(2)直线)0(≠+=k b kx y 与y 轴的交点坐标为),0(b ;(3)当0b 一次函数的图象经过 一、二、四象限。 解略(答案:(1)2->m ,n 为一切实数;(2)32<-≠n m 且;(3)32>-2.5h 甲走在乙的后面; 7)如果乙的自行车不出故障,则乙出发后经过1h 与甲相遇,相遇后离乙的出发点15km ;在0h1h 范围内甲走在乙的后面;并在图中标出其相遇点。(相遇点为A)

(整理)基本初等函数教案.

第二章 基本初等函数指数和指数函数 考点回顾: 1.幂的有关概念 (1)正整数指数幂 )(*∈????=N n a a a a a n n 个 (2)零指数幂 )0(10 ≠=a a (3)负整数指数幂 ()10,n n a a n N a -* = ≠∈ (4) 正分数指数幂 ) 0,,,1m n a a m n N n *=>∈>; (5) 负分数指数幂 ) 10,,,1m n m n a a m n N n a -* = = >∈> (6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质 ()() 10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()() 20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()() 30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ 3.根式的内容 (1)根式的定义:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中() *∈>N n n ,1,n a 叫做根式, n 叫做根指数,a 叫被开方数。 (2)根式的性质: ①当n 是奇数,则a a n n =;当n 是偶数,则 ???<-≥==00a a a a a a n n ②负数没有偶次方根, ③零的任何次方根都是零 课堂练习: 1.下列四类函数中,具有性质“对任意的x >0,y >0,函数f (x )满足f (x +y )=f (x )f (y )”的是( ) A .幂函数 B .对数函数

C .指数函数 D .余弦函数 2. (2010·山东理,4)设f (x )为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=2x +2x +b (b 为常数),则f (-1)=( ) A .3 B .1 C .-1 D .-3 3. (2010·重庆南开中学)已知f (x )=a x ,g (x )=b x ,当f (x 1)=g (x 2)=3时,x 1>x 2,则a 与b 的大小关系不可能成立..... 的是( ) A .b >a >1 B .a >1>b >0 C .01>a >0 4. (2010·辽宁,10)设2a =5b =m ,且1a +1b =2,则m =( ) B .10 C .20 D .100 5.(2010·深圳市调研)已知所有的点A n (n ,a n )(n ∈N * )都在函数y =a x (a >0,a ≠1)的图象上,则a 3+a 7与2a 5的大小关系是( ) A .a 3+a 7>2a 5 B .a 3+a 7<2a 5 C .a 3+a 7=2a 5 D .a 3+a 7与2a 5的大小关系与a 的值有关 6. (2010·青岛市质检)过原点的直线与函数y =2x 的图象交于A ,B 两点,过B 作y 轴的垂线交函数y =4x 的图象于点C ,若直线AC 平行于y 轴,则点A 的坐标是( ) A .(1,2) B .(2,4) C .(1 2,2) D .(0,1) 7. (2010·北京东城区)定义在 R 上的函数f (x )满足f (x )= ????? 21-x x ≤0 f x -1-f x -2 x >0 ,则f (-1)=______,f (33)=________. 8.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ∈(0,1)时,f (x )=2x 4x +1. (1)求f (x )在(-1,1)上的解析式; (2)证明:f (x )在(0,1)上是减函数. 9.已知关于x 的方程9x -2×3x +(3k -1)=0有两个实数根,求实数k 的取值范围.

基本初等函数 示范教案

第二章 基本初等函数(Ⅰ) 本章教材分析 教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题. 本章总的教学目标是:了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=a x 的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特别点),通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用;通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=log a x 的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点);知道指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数(a >0,a≠1),初步了解反函数的概念和f -1(x)的意义;通过实例了解幂函数的概念,结合五种具体函数y=x,y=x 2,y=x 3,y=x -1,y=x 2 1的图象,了解它们的变化情况. 本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质,要在理解定义的基础上,通过几个特殊函数图象的观察,归纳得出一般图象及性质,这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点. 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容作了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想.建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展.教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生的学习负担.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读. 本章教学时间约需14课时,具体分配如下(仅供参考) 2.1.1 指数与指数幂的运算 整体设计 教学分析 我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n 次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.

高中数学教案——基本初等函数(Ⅰ)

第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2对数函数 2.2.1 对数与对数运算 练习(64) 1.把下列指数式写成对数式: (1)328=;(2)5232=;(3)1 122-=;(4)131273-=. 1.解:(1)2log 83=;(2)2log 325=;(3)2 1log 12=-;(4)271log 33 =-. 2.把下列对数式写成指数式: (1)3log 92=;(2)5log 1253=;(3)2 1log 24=-;(4)31log 481 =-. 2.解:(1)239=; (2)35125=; (3)2124-=; (4)41381-=. 3.求下列各式的值: (1)5log 25;(2)2 1log 16 ;(3)lg1000;(4)lg 0.001. 3.解:(1)5log 252=;(2)21log 416=-;(3)lg10003=;(4)lg0.0013=-. 4.求下列各式的值: (1)15log 15; (2)0.4log 1; (3)9log 81; (4) 2.5log 6.25; (5)7log 343; (6)3log 243. 4.解:(1)15log 151=; (2)0.4log 10=; (3)9log 812=; (4) 2.5log 6.252=;(5)7log 3433=; (6)3log 2435=. 练习(68) 1.用lg x ,lg y ,lg z 表示下列各式:

(1)lg()xyz ;(2)2lg xy z ;(3)3;(4). 1.解:(1)lg()lg lg lg xyz x y z =++; (2)2 2lg lg()lg lg 2lg lg xy xy z x y z z =-=+-; (3)331lg()lg 3lg lg 2xy x y z =-=+-; (4)221lg lg()lg 2lg lg 2 y z x y z y z ==--. 2. 求下列各式的值: (1)23log (279)?;(2)2lg100;(3)lg 0.00001;(4)2.解:(1)22333log (279)log 27log 9347?=+=+=; (2)24lg100lg104==; (3)5lg 0.00001lg105-==-; (4)12 1ln ln 2e ==. 3. 求下列各式的值: (1)22log 6log 3-; (2)lg5lg 2+; (3)551log 3log 3 +; (4)33log 5log 15-. 3.解:(1)22226log 6log 3log log 213 -===; (2)lg5lg 2lg101+==; (3)55 51log 3log log 103 +==; (4)3331log 5log 15log 13-==-. 4.利用对数的换底公式化简下列各式: (1)log log a c c a ?; (2)2345log 3log 4log 5log 2???;

八年级数学下册第17章函数及其图象17.2函数的图象2.函数的图象练习华东师大版

2.函数的图象 1.小明做了一个数学实验:将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内,看作一个容器.然后,小明对准玻璃杯口匀速注水,如图所示,在注水过程中,杯底始终紧贴鱼缸底部.则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是( D ) 2.均匀地向一个容器注水,最后把容器注满,在注水过程中,水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为折线),这个容器的形状可以是( D ) 3.一支蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧掉5厘米,则下列4幅图象中能大致刻画出这支蜡烛点燃后剩下的长度h(厘米)与点燃时间t之间的函数关系的是( C ) 4.(2018渑池模拟)星期天晚饭后,小红从家里出去散步,如图是描述她散步过程中离家的距离s(米)与散步所用时间t(分)之间的函数关系,根据图象信息,则描述符合小红散步情景的是( B ) (A)从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会儿报就回家了 (B)从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会儿报,继续向前走了一段,然后回家了 (C)从家出发,一直散步,然后回家了 (D)从家出发,散了一会儿步,就找同学去,18分钟后才开始返回 5.如图,l1反映了某公司的销售收入与销售量的关系,l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系,当该公司赢利(收入大于成本)时,销售量x的取值范围是4

第三章基本初等函数(1)导学案(人教B版)

3.1.1实数指数幂及其运算 【学习要点】1根式、分数指数幂的概念. 2分数指数的运算性质. 【学习要求】1理解根式和分数指数幂的概念及它们的运算性质.了解实数指数幂的意义。 2 会进行简单的运算。 【复习引入】 1 、相同因数相乘 个 n a aaa ???记作n a ,读作 ,a 叫做幂的 , n 叫做幂的 。其中n 是正整数。 2、 正整数指数幂的性质:(1) (2) (3) (3) 【概念探究】阅读教材85页到88页例1,完成下列各题。 1、 指数概念的扩充:n a 中的n 可以扩展为整数。整数指数幂的性质为:(1) (2) (3) 。 2 、0a = ,n a -= 3、零指数幂和负整数指数幂都要求 。 4、 如果存在实数x ,使得(,1,)n x a a R n n N +=∈>∈,则x 叫作 。求a 的n 次方根,叫作把a 开n 次方,称作 。 5、规定正分数指数幂的定义是:(1) (2) 。 规定负分数指数幂的定义是: 。 规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂和0次幂 。规定了分数指数幂以后,指数的概念也就从整数指数扩展到了 指数。 6 、有理指数幂的运算性质有:(1) (2) (3) 。 完成教材89页1题 【例题解析】 例题1计算下列各式,并把结果化为只含正整数指数的形式(式子中的,0a b ≠) (1) 3221 2 3 (3) 9a b a b a b ------= (2)343 20 ()()[ ]()() a b a b a b a b --+--+(0,0)a b a b +≠-≠ 例题2化简下列各式 (1 2(2 3)102 0.5 2 3 1(2)2 (2 ) (0.01) 5 4 - -+?- 小结:化简,注意体会指数的运算性质。 例3: 化简:3 3 2 b a a b b a 练习:(1 【补充练习】 1、 化简,注意体会指数的运算性质: (1)2 2 2 5 2 4 3 2 ()()()a b a b a b --÷ (2)34 0.1 0.01 -- 3、 求值,注意体会分数指数幂与根式的转换: (1) 2 1.53(0.027)-; (2 ; (3 完成教材89页2题

人教版第17章《勾股定理》单元测试(含答案)

第十七章 勾股定理单元测试 (题数: 20 道 测试时间: 45 分钟 总分: 100 分) 班级: _______ 姓名: ________ 得分: ________ 、单选题(每小题 3分,共 24 分) 1.在△ ABC 中, AB= 2 ,BC= 5,AC= 3,则( ) A. ∠ A=90 B. ∠ B=90 C. ∠ C=90 D. ∠ A=∠B 5.如图,所有的四边形是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形边长为 13cm ,则图中所有的正方形的面积之和为( ) A. 169 cm 2 B. 196 cm 2 C. 338cm 2 D. 507 cm 2 6.如图,一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 A 点沿纸箱表面爬到 B 点,那么它所爬行的 最短路线的长是( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 2 7 .在直角三角形中,有两边分别为 3 和 4 ,则第三边是( ) A. 1 B. 5 C. 7 D. 5 或 7 8.如图,正方形 ABCD 的边长为 2,其面积标记为 S 1,以 CD 为斜边作等腰直角三角形,以 该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为 S 2, ? ,按照此规律继续 下去,则 S 9 的值为( ) 2.如图,在 Rt △ABC 中,∠ B = 90°, BC =15, AC =17,以 AB 为直径作半圆,则此半圆的 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.已知 VABC 中, A 1 B 1 C ,则它的三条边之比为( 23 A. 1:1: 2 C. 1: 2: 3 D. 1:4:1

最新职业技校文化课数学教案:基本初等函数数学

文化课数学教案:基本初等函数 一.教学目标 1.知识与技能 (1)理解指数与对数,指数函数与对数函数的联系. (2)能更加熟练地解决与指数函数,对数函数有关的问题. 2.过程与方法 通过提问,分析点评,让学生更能熟悉指数函数,对数函数的性质. 3.情感、态度、价值观 (1)提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认识结构. (2)培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力. 二.重点、难点 重点:指数函数与对数函数的性质。 难点:灵活运用函数性质解决有关问题。 三、学法与教具 1、学法:讲授法、讨论法。 2、教具:投影仪。 四、教学设想 1、回顾本章的知识结构

2、指数与对数 指数式与对数式的互化 幂值 真数 b a = N log a N = b

底数 指数←→对数值 提问:在对数式中,a ,N ,b 的取值范围是什么? 例1:已知54log 27=a ,54b =3,用108,log 81a b 表示的值 解法1:由54b =3得54log 3=b ∴108log 81=5454log 81log 108=54545454log 27log 3log 212log 272a b a b a +++==+-- 解法2:由54log 275427a ==得 设108log 81,10881x x ==则 所以21(5427)327x -?=? 即:2(5454)5454a x b a -?=? 所以25454,2x ax a b x ax a b -+=-=+即 因此得:2a b x a +=- (1)法1是通过指数化成对数,再由对数的运算性质和换底公式计算结果. 法2是通过对数化成指数,再由指数的运算性质计算出结果,但法2运算的技巧性较大。 2.指数函数与对数函数 问题1:函数log x x a y a y ==与中,a与x 分别必须满足什么条件.

八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理教案(新版)新人教版

勾股定理(1) 知识与技能:掌握勾股定理和他的简单的应用,理解定理的一般探究方法。 过程与方法:在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动,让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程,发展数与形结合的数学思 想。 情感态度与价值观:在数学活动中发现探索意识和合作交流的良好学习习惯。 教学重点:经历探索和验证勾股定理的过程,会利用两边求直角三角形的另一边的长。 教学难点:拼图法验证勾股定理,会利用两边求直角形另一边的长。 教具准备:方格纸、4个全等的三角形,小黑板等。 教与学互动设计: 一、创设情境导入新课 引导学生观察课本第64页的地面图形,说说你发现了什么? 提问:①图中有些什么形状? ②三个正方形之间有什么关系? ③通过②的结论你能有什么猜想?说说看。 二、实验操作探求新知 1.数格子 (1)要求学生在准备好的方格纸中作一个任意的等腰直角三角形,分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。 (2)要求学生在方格纸中作一个任意的直角三角形,分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。 (3)要求学生在方格纸中作一个任意的非直角三角形,分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。 讨论、得出结论:在一个直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.证明猜想。 要求用四个全等到的直角三角形拼成一个以斜边为边长的正方形,推理得出 a2+b2=c2

10c 20cm 3.得出结论 定理:经过证明被确认的命题叫做定理。 勾股定理:在一个直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。 三、应用迁移 例1.求下图中的字母A ,B 所代表的正方形的面积。 例2.一个文具盒的尺如 图,一根长30cm 的细 木棒能否放进这个文具 盒,为什么? 练习:填空 (1)在Rt ?ABC 中,∠C=90°,a=5,b=12,则c = (2) 在Rt ?ABC 中,∠B=90°,a=3,b=4, 则c = (3) 在等腰Rt ?ABC 中,AC=BC ,∠C=90°,AC :BC :AB= (4)在Rt ?ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BC :AC :AB= 探究2.

基本初等函数复习教案一对一

教师: 高一学生: 上课时间 2013年月日阶段: 基础(√)提高()强化()课时计划共次课第次课教学课题: 基本初等函数 教学目标: 1.了解几种特殊的基本初等函数 2.应用函数的性质解题 教学重难点:重点:基本初等函数基础知识点的熟练掌握难点:基本初等函数的实际应用 教学过程1. 2. 3. 4. 课后作业 教学反思【励志故事】 相信自己可以 伟大的梦想让成就随之成长,渺小的希望让你永落人群之后,相信自己,就必然会做到;一切都由意识掌控。如果自认高人一等,就一定出类拔萃,即使第一枚奖章还未颁发,你已获得难得的自信,你已懂得随梦想起飞。生命的战争并不总青睐于所谓的强者;或早或晚,赢得胜利的人,是相信是自己可以的人。

家长建议 家长签名: 附件:教案正文 核心内容: 知识点一:指数与对数的运算 1、n 次方根* ∈>N n n ,1有如下恒等式: () a a n n =;? ??=为偶数为奇数 n a n a a n n ,, 2、规定正数的分数指数幂:n m n m a a =;n m n m n m a a a 1 1= =- ()1,,,0>∈>* n N n m a 且 例1、求下列各式的值: (1)()() * ∈>-N n n n n 且,13π; (2) ()2 y x - 例2、化简:(1))3()6)(2(6 56131212132b a b a b a -÷-; (2))0,0()(3 421 4132 23>>?b a a b b a ab b a ; 3、对数与指数间的互化关系:当10≠>a a ,且时,N a b N b b =?=log 4、负数与零没有对数;1log ,01log ==a a a 5、对数的运算法则: (1)()N M N M a a a log log log +=?, (2)N M N M a a a log log log -=, (3)M n M a n a log log =, (4)M m n M a n a m log log = (5)a N N b b a log log log = , (6)a b b a log 1 log =

八年级数学下册第17章函数及其图象17.5实践与探索练习华东师大版.doc

17.5实践与探索 1.直线y=2x+l与直线y=-x+6的交点A到坐标原点0的距离是(D ) (A)(B)3 (C)5 (D) 2.(易错题)如图,直线y=kx+b交坐标轴于A(-3, 0),B(0, 5)两点,则不等式-kx-b<0的解集为 (A ) (A)x>-3 (B)x<-3 (C)x>3 (D)x<3 3.直线y=ax+b经过直线y=5x-60与x轴的交点A,则方程ax+b=0的解是(C ) (A)x=5 (B)x=10 (C)x=12 (D)x=20 4.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时,在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函 数的图象如图所示,他解的这个方程组是(D ) (A) (B) (C) (D) 5.如图,直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P(3, 5),则关于x的不等式x+b〉kx+6的解集是— x〉3 . 6.如图,过点Q(0, 3. 5)的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点P,能表示这个 一次函数图象的方程是3x+2y-7=0 . 7.为增强学生体质,某中学在体育课中加强了学生的长跑训练?在一次女子800米耐力测试中,小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑,同时到达终点;所跑的路程s (米)与所用 的时间t (秒)之间的函数图象如图所示,则她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒. 8.如图,直线y=kx和y=ax+4交于A(l, k),则不等式kx-6〈ax+4〈kx的解集为l〈x〈. 9.“五一”期间,小明一家乘坐高铁前往某市旅游,计划第二天租用新能源汽车自驾出游. 根据以上信息,解答下列问题: (1)设租车时间为x小时,租用甲公司的车所需费用为yi元,租用乙公司的车所需费用为y2 元, 分别求出yi, y?关于x的函数表达式; (2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算. 解:⑴设yi=kix+80. 因为直线yi=k1X+80经过点(1, 95), 所以95=ki+80. 所以ki=15,所以yi=15x+80.

电子教案:人教A版高中数学必修1第二章 基本初等函数(1)2.1 指数函数教案

4.2.1 指数函数及其图像与性质 【教学目标】 1.知识与技能目标: 使学生理解指数函数的定义、图象及性质,培养学生正确使用几何画板工具。 2.过程与方法目标: 在实验活动过程中引领学生主动探索指数函数性质,启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动,培养学生的思维能力,体会学习数学规律的方法。 3.情感态度与价值观: 让学生感受数学问题探索的乐趣,体验成功的喜悦,体会辨证的思维及数学图形的和谐美。 【教学重、难点】 教学重点:理解指数函数的定义、图象及性质。 教学难点:指数函数性质的归纳与运用。 【教学方法】 我校汽修专业的学生数学基础比较薄弱,学生对数学普遍不感兴趣。本节课概念性比较强,而且突出数学图形的运用,这恰是学生学习的弱项,但是思想比较活跃的他们对新事物具有强烈的好奇心,动手能力、观察能力比较强。因此本节课主要采用数学实验教学活动的方法,通过结合计算机软件工具,让学生在实验活动过程中来去体验、感悟知识,让学习成为一种愉悦的主动认知过程,切实做到将数学课堂还给学生。 【教学过程】 1.流程 (1)教学流程: (2)学生认知流程: 2.教学过程设计

三、深入探究、引导发现 (2)动眼观察,产生猜想:展示学生制作的6个函数图像(图1,分开独立的6个图像;图2,将它们放在同一坐标系下),让他们观察这6个指数函数图像有何共同的特征: 图1 图2 思考:能将他们分分类吗?这个图象特征与底数a 是否存在关系? 引导学生大胆猜测:指数函数的图象按底数分成两 类。 教师:让学生自由发挥,说说他们观察到的有共性的图像特征。 学生:容易发现: ①都过点(0,1); ②图像都在x 轴上方; ③有的图像呈上升趋势;有 的图像呈下降趋势。 教师:引导学生去观察图像呈上升或下降这一图像特征与它们的底数存在的关系。 学生:发现呈上升趋势的3个图象,底数都大于1;呈下降趋势的3个图象,底数都大于0小于1;从而对“指数函数图像形按底数分成两类”形成初步的认识。 教师:引导学生一起观察发现:底数大于1的三个函数,虽然它们的弯曲程度不同,但是都呈上升的趋势;底数大于0小于1的三个函数也类似,形成“指数函数的图象按底数分成两类,即底数大于1的指数函数图像呈上升趋势,底数大于0且小于1的指数函数图像呈下降的趋势”这一猜想。 学生很容易观察它们呈上升或下降的整体特征,从而对指数函数图像的分类形成初步的认识。。 让学生自己去动手操作、观察发现,并引导他们对所发现的知识进行归纳、分类,目的在于让学生成为数学课堂的主人,同时努力达到“使学习过程成为学生愉悦的主动认知过程”这一目标。 -1 -6 -4-24 ()3 x y = 1 -1 -6-4-2 0.35 x y =1 -1 -6-4-2 0.7x y =1 -1 -6 -4 -22.3 x y = 1 -1-6 -4 -2 1 4 x y =-1 -6-4-2 1 3 ()5 x y =

第十七章勾股定理复习教案

第十七章 勾股定理 教学目标: 1.会用勾股定理解决简单问题。 2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。 教学重点:回顾并思考勾股定理及逆定理 教学难点:勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。 教学过程: 一、出示目标 1.会用勾股定理解决简单问题。 2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。 二、知识结构图 三、知识点回顾 1.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有:(1)已知直角三角形的两边求第三边 (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 (4)勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度,求第三边的长.这里一定要注意找准斜边、直角边;二要熟悉公式的变形: 22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=.

勾股定理的探索与验证,一般采用“构造法”.通过构造几何图形,并计算图形面积得出一个等式,从而得出或验证勾股定理. 2.如何判定一个三角形是直角三角形 (1) 先确定最大边(如c ) (2) 验证2c 与22b a +是否具有相等关系 (3) 若2c =22b a +,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形;若 2c ≠22b a +, 则△ABC 不是直角三角形。 3、三角形的三边分别为a 、b 、c ,其中c 为最大边,若2 22c b a =+,则三角形是直角三角形;若222c b a >+,则三角形是锐角三角形;若2 <+c b a 22,则三 角形是钝角三角形.所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边 4、勾股数 满足22b a +=2c 的三个正整数,称为勾股数 如(1)3,4,5; (2)5,12,13; (3)6,8,10;(4)8,15,17 (5)7,24,25 (6)9, 40, 41 四、典型例题分析 例1:如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ,那么这个三角形的周长和面积分别是多少? 分析: 这里知道了直角三角形的两条边的长度,应用勾股定理可求出第三条边的长度,再求周长.但题中未指明已知的两条边是_________还是_______,因此要分两种情况讨论. 例2: 如图19—11是一只圆柱形的封闭易拉罐,它的底面半径为4cm ,高为15cm ,问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?

高一数学基本初等函数教案

核心内容: 知识点一:指数与对数的运算 1、n 次方根*∈>N n n ,1有如下恒等式: ()a a n n =; ? ? ?=为偶数为奇数 n a n a a n n ,, 2、规定正数的分数指数幂:n m n m a a =;n m n m n m a a a 1 1= = -() 1,,,0>∈>* n N n m a 且 例1、求下列各式的值: (1)()()*∈>-N n n n n 且,13π; (2) ()2y x - 例2、化简:(1))3()6)(2(6 56 13 12 12 13 2b a b a b a -÷-; (2))0,0()(3 421 4132 23>>?b a a b b a ab b a ; 3、对数与指数间的互化关系:当10≠>a a ,且时,N a b N b b =?=log 4、负数与零没有对数;1log ,01log ==a a a 5、对数的运算法则: (1)()N M N M a a a log log log +=?, (2)N M N M a a a log log log -=, (3)M n M a n a log log =, (4)M m n M a n a m log log = (5)a N N b b a log log log = , (6)a b b a log 1 log = 其中1,0≠>a a 且,0>M ,0>N ,R n ∈., 例3、将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)128 1 27= -; (2)273=a ; (3)1.0101=-; (4)532log 2 1-=; (5)3001.0lg -=; (6)606.4100ln =.

第17章 函数及其图象知识点清单

写在前面 从2018年正月十三开始,直到今天,第十七章的部分内容终于呈现在了大家面前.虽是部分内容,但却耗费了我大量的心血,希望你们倍加珍惜,好好利用,细心钻研,以期学好函数. 本书力求体现以下特点: 一、聚焦知识核心,概括重点和难点.注重知识的形成过程,在探究活动中得出结论.要求学生知其然,还要知其所以然. 二、选题精炼,题型新颖.题型多样,覆盖面广. 三、能力提高训练,启迪思维. 四、思想指导方法,本书注重数学思想的培养,同时提高你们的逻辑思维和逻辑推理能力. 在编写本书的过程中,虽力求完美,但由于时间仓促,还是难免出现纰漏.这里要特别感谢我们十班的吴梦、贾环宇两位数学课代表,以及娄琳同学,他们及时发现了书中存在的不足和错误之处,帮助我提高了本书的质量,使得部分内容得以改进. 最后,祝我亲爱的同学们发挥自身能力,积极面对各种挑战,成就自己的梦想! 2018.3.9

第17章 函数及其图象的学习及知识点清单 一.本章介绍 【本章重点】函数的概念,一次函数和反比例函数的概念、图象和性质. 【本章难点】函数的概念,运用函数的图象和性质解决生活、生产中的一些实际问题. 【本章考点】一次函数与反比例函数的相关知识是常考内容,尤其是以解答题形式考查用待定系数法求函数的关系式,同时,一次函数与反比例函数也常与其他知识相结合,以压轴题的形式呈现,难度较高. 【学法指导】 1. 学习本章内容要善于利用数形结合思想,通过平面直角坐标系这座桥梁,寻找点与坐标之间的关系,理解满足表达式的点与函数图象的关系. 2. 会用待定系数法求一次函数和反比例函数的表达式,并用其解决一些实际问题. 3. 通过探究和实践,深刻理解一次函数与反比例函数的性质. 4. 加强前后知识之间的联系,体会函数的统领作用. 5. 在解决一些实际问题时,建立一次函数模型,会利用一次函数的性质得出解决问题的最佳方案或方法. 【知识点清单】 一、变量与常量 在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量;取值始终保持不变的量,叫做常量. 注意: (1)变量与常量是对“在某一变化过程中”而言的,因而是相对的.同一个量在某一变化过程中是常量,而在另一变化过程中可能是变量,所以变量和常量是由问题的条件决定的.例如,在vt s 中,若v 确定,则t s ,是变量;若t 确定,则v s ,是变量. (2)离开具体的变化过程,讨论一个量是变量还是常量是不可以的,也是毫无意义

第十七章《勾股定理》教材分析及教学建议

第十七章《勾股定理》教材分析及教学建议 本章主要内容是勾股定理及其逆定理。首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明,从而得到勾股定理,然后运用勾股定理解决问题。在此基础上,引入勾股定理的逆定理,并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。 本章教学时间约需8课时,具体安排如下: 18.1 勾股定理 4 课时 18.2 勾股定理的逆定理 3课时 数学活动 小结 1课时一、教科书内容和课程学习目标 本章知识结构框图: 直角三角形是一种特殊的三角形,它有许多重要的性质,如两个锐角互余,30°的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股定理,也是直角三角形的性质,而且是一条非常重要的性质。

勾股定理是几何中几个最重要的定理之一,它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系,它可以解决许多直角三角形中的计算问题,是解直角三角形的主要依据之一,在生产生活实际中用途很大。它不仅在数学中,而且在其他自然科学中也被广泛地应用。 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种“语言”的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义,发现勾股定理,尤其在2000多年前,是非常了不起的成就。 在第一节中,教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系,发现两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的正方形的面积,从而发现勾股定理。 勾股定理的证明方法很多,教科书正文中介绍的是一种面积证法。其中的依据是图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变。在教科书中,图-3(1)中的图形经过割补拼接后得到图-3(3)中的图形。由此就证明了勾股定理。通过推理证实命题1的正确性后,教科书顺势指出什么是定理。 由勾股定理可知,已知两条直角边的长a,b,就可以求出斜边c的长。由勾股定理可得或,由此可知,已知斜边与一条直角边的长,就可以求出另一条直角边的长。也就是说,在直角三角形中,已知两条边的长,就可以求出第三条边的长。教科书相应安排了三个探究栏目,让学生运用勾股定理解决问题。 在第二节中,教科书让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形,可以发现画出的三角形是直角三角形。从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。这个猜想可以利用全等三角形证明,得到勾股定理的逆定理。 勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法。教科书安排了两个例题,让学生学会运用这种方法。这种方法与前面学过的一些判定方法不同,它通过代数运算“算”出来。实际上利用计算证明几何问题学生已经见过,计算在几何里也是很重要的。从

人教版高中数学必修一《基本初等函数》章末复习学案

数学·必修1(人教版) 本章概述 学习内容 1.指数函数 (1)通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的14 C 的衰减,药物在人体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景. (2)理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. (3)理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点. (4)在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型. 2.对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质,能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用. (2)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点. (3)了解指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)与对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)互为反函数. 3.幂函数 通过实例,了解幂函数的概念;结合函数y =x α? ?? ??α=1,2,3,12,-1的图象,了解 它们的变化情况. 4.学习指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数要注意的问题 (1)指数幂的学习,应在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上,结合具体实例,理解有理指数幂及其运算性质,了解实数指数幂的意义及其运算性质,体会“用有理数逼近 基本初等函数(Ⅰ)

无理数”的思想,可以利用计算器或计算机进行实际操作,感受“逼近”过程. (2)关于反函数,可通过比较同底的指数函数和对数函数,了解指数函数y=a x(a>0, 且a≠1)和对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)互为反函数. (3)学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数,应结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过程和方法,体会函数在数学和其他学科中的重要性,初步运用函数思想理 解和处理现实生活和社会中的简单问题. 知识结构 2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算(一) ?基础达标 1.化简下列各式:

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