高三校际教学质量联合检测考试
理科数学
2017.11
本试卷共5页,满分150分。
考生注意:
1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第I 卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U=R ,集合02x A x x ??
=?-??
,{}2x B x =2<,则
图中阴影部分表示的集合为
A .{}1x x ≥
B .{}12x x ≤<
C .{}1x x 0<≤
D .{}
1x x ≤
2.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB
同方向的单位向量为
A .3455?? ???,-
B .4355?? ???,-
C .3455??- ???,
D .4355??- ???
,
3.若02
x π
<<
1sin x <
”是“1
sin x x
<”的 A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充要条件
D .既非充分又非必要条件
4.已知函数()2ln 1x f x a x ??
=+ ?+??
是奇函数,则实数a 的值为 A .1
B .1-
C .1或1-
D .0
5.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题P 是“甲降落在指定范围”,命题q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围内”可表示为 A .()()p q ?∨?
B .()p q ∨?
C .()()p q ?∧?
D .p q ∧
6.设变量,x y 满足约束条件342y x
x y x ≥??
+≤??≥-?
,则3z x y =-的最大值为
A.4
B.6
C.8
D.10
7.已知曲线1215:sin ,:cos 2
6C y x C y x π??
==-
???
,则下列说法正确的是 A .把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移3
π
个单位长度,得到曲线2C
B .把1
C 上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移23
π
个单位长度,得到曲线2C C.把曲线1C 向右平移3
π个单位长度,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的1
2,纵坐标不变,
得到曲线2C
D .把曲线1C 向右平移6
π个单位长度,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的1
2,纵坐标不变,
得到曲线2C
8.两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位如图所示,则下列座位号码符合要求的应当是
A .48,49
B .62,63
C .75,76
D .84,85
9.函数()21cos 1x
f x x e ??
=-
?+??
(其中e 为自然对数的底数)图象的大致形状是
10.已知数列{}n a 的首项12017a =,其前项和n S 满足21101n n S S n a -+=-=,则 A .4036-
B .3935
C .4033
D .4036
11.已知点O 为ABC ?内一点,且230,,,OA OB OC AOB AOC BOC ++=???
则的面积之比等于
A.9:4:1
B.1:4:9
C.3:2:1
D.1:2:3
12.已知函数()()()()()()()2
1120,,,n n
f x x x x f x f x f x f
f x n N *
+=+>==∈,
()[]512f x 则在,上的最大值是
A .10
21-
B .32
21-
C .10
31-
D .32
31-
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。共20分。
13.函数()
2
2log 32y x x =-+的递减区间是___________.
14.设()[](]()20
,0,1,
1,1,,e x x f x f x dx x e x
?∈?
==?∈???则___________(其中e 为自然对数的底数)
. 15.设集合{}1231,2,3,4,5,6,,,,k M S S S S =???,都是M 的含有两个元素的子集,且满足:对任意的
{}{}{}()
1=,,,,,1,2,3,,i i j j j S a b S a b i j i j k =≠∈???,都有
m i n ,
m i n j j i i i i j j a b a b b a b a ??????
≠????????
??
({}min ,x y 表示两个数,x y 中的较小者),则k 的最大值是____________.
16.已知关于x 的不等式
()
2
221
29
10
x e a x ax a -+-+≤
(其中e 为自然对数的底数)有解,则实数a 的取值集合为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分10分)
已知定义域为R 的函数()22x x b
f x a
-+=+是奇函数.
(I)求,a b 的值;
(1I)当[]1,3x ∈时,()
()2
210f kx f x +->恒成立,求实数k 的取值范围.
18.(本小题满分12分)
已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,且满足24n n S a n -=-. (I)证明{}2n S n -+为等比数列; (II)设数列{}n S 的前n 项和为n T ,求n T .
19.(本小题满分12分)
如图,在ABC ?中,已知点D 在BC 边上,
且
0,sin AD AC BAC ?=∠=
AB BD ==
(I)求AD 的长; (Ⅱ)求cos C .
20.(本小题满分12分) 已知向量()11,,2,cos 2sin sin a b x x x ??=-=
???
. (I)若0,
2x π??
∈ ???,试判断a b 与能否平行; (Ⅱ)若0,3x π??
∈ ???
,求函数()f x a b =?的最小值.
21.(本小题满分12分)
某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,经过市场调查和测算,2017年化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足31x t -+与成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件.已知每年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其平均每件生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和。则当年生产的化妆品正好能销完.
(I)将该企业2017年的利润y(万元)表示为t(万元)的函数;
(Ⅱ)该企业2017年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大. (利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用)
22.(本小题满分12分)
已知函数()()()()()2
1
,,2
x h x e r x x f x h x r x ===-
(其中e 为自然对数的底数). (I)讨论函数()f x 的单调性;
(Ⅱ)当0x ≥时,不等式()2
1ax x h x ++≤恒成立,求实数a 的最大值.
(III)已知点()1,0M ,曲线()y f x =在点()()
()000,11x f x x -≤≤处的切线l 与直线1x =交于点N ,求MON ?(O 为坐标原点)的面积最小时0x 的值,并求出面积的最小值.
绝密★启用前试卷类型:A
理科数学参考答案
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
BAABA,CBDBB, CD
1、【答案】B
【解析】因为,所以阴影部分表示的集合为
,故选B.
2、解析,则与其同方向的单位向量.故选A.
3.【解析】答案A,由已知得此时是的必要不充分条件。
4.【解析】答案B,由题意知恒成立,可解得.
5、【答案】A,解析:依据题意得:“甲没有降落在指定范围”,:“乙没有降落在指定范围”,因此“至少一位学员没有降落在指定范围”可以表示为,故选A。
6、解析:答案C,作出可行域,先求出,故最大值为8.
或如图所示:结合的图像为正“V”形,即可得答案.
7、【答案】B,【解析】
对于,
,
对于,,
对于,
, 对于,,
或直接由.故选B.
8、解析:选D,由已知图形中座位的排序规律可知,被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗,由于两旅客希望座位连在一起,且有一个靠窗,分析选项中的4组座位号知,A、B两组座位号都不靠窗,C中两个座位没有连在一起,只有D符合条件.
9、解析:答案B.易知函数为奇函数,且函数在上,故选B.
10、解析:答案B.由①
②
由②-①得,
,
又,,
数列为从第二项起,公比为-1的等比数列,
,
11、解析:答案C, 延长到,使,延长到,使,连接,取的中点,则,三点共线且为的重心,则
,在中,为的中点,,在中,为边近端的三等分点,,在中,连接,为的中点,,在中,为边近端的三等分点,
,,面积之比为
.
12、解析:D,在上是增函数,所以,令
,则,,可得,同理可得
,,,因此在上
的最大值是.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.答案;14.答案;15、答案11;16、答案.
13、解析:因为定义域为,所以函数的递减区间是
.
14、解析:
==.
15、解析:含有2个元素的子集有15个,但是,,;,
;,三组中都只能取一个,故有11个.
16、解析:由已知,,
,
即上的动点与上的点的距离小于等于,
设函数切线的切点为,所以=,所以,
所以切点为,两曲线动点之间的最小距离为到直线的距离,
,所以不存在小于的两点,
当时,为过切点的垂线与直线交点的横坐标,垂线方程为,解得
.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17、解:(1)因为在定义域为的奇函数,所以,
即. ………………………………………… 1分
又由,即,………………………2分
检验知,当函数为奇函数. (3)
分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,故函数在上为减函数,
又因为是奇函数,从而不等式:,
等价于,即………………6分
因为减函数,由上式可得.
即对一切有:恒成立,……………………8分
设,令,
则有,,
,即k的取值范围为.…………………………12分
18、解:(1)当时,;时原式转化为:
,即,所以,
所以为首项为,公比为的等比数列. ………………6分(Ⅱ)由(1)知:,所以.
于是,
………………12分
19、解:(Ⅰ)由得,
,
在中,由余弦定理知,
即,解得或,显然,
故
. (6)
分
(Ⅱ)由得,在中,由正弦定理知
即,故,
,
. …………………………12分
20、解析:(Ⅰ)若与平行,则有,因为,,所以得,这与相矛盾,故与不能平行.…………………………6分
(Ⅱ)由于,又因为,
所以,于是,当,即
时取等号.故函数的最小值等于.………………12分
21、解析:(Ⅰ)由题意设:,将,代入得,
当年生产(万件)时,年生产成本=固定费用+年生产费用为;;
当销售(万件)时,年销售收入=;
由题意,生产万件化妆品正好销完,所以,年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
,
或者
. ………………………6分
(Ⅱ)方法一:(万元),
当且仅当即t=7时,,所以,当促销费用定在7万元时,企业的年利润最大。
方法二:,当t<7时,,y递增,t>7时,,y递减,故t =7时,
所以,当促销费用定在7万元时,企业的年利润最大。……………12分
22、解析:(Ⅰ)依题意,,,令,故,
令,解得。故在上单调递减,在上单调递增。故
,故,即,故函数在R上单调递增。…………………………4分
(Ⅱ)法一:令则,令,
(i)当时,在,,所以在上为增函数,
,所以,所以在上为增函数,
适合题意.
(ii)当时,和变化如下表,
所以函数在上为减函数,.
所以函数在上为减函数,,不适合题意.
综上,. …………………………8分法二:不等式恒成立,得:
当时,,故时符合要求,故只需研究时的范围即可
当时
(灵活变形,对数的导数一般比指数导数简单)
令,
则,,
(i)当,即时,和变化如下表:
故,不符合,
(ii)当,即时,当时,恒成立,
在为单调递增函数,,符合题意,
综上可得:,的最大值为
. …………………………8分
(Ⅲ)依题意,切线l的斜率为由此得切线l的方程为
令x=1,得,
所以,
设
令,得或的变化情况如下表:
所以在上单调递减,在上单调递增。所以,
即时,的面积有最小值1. …………………………12分