一致收敛判别方法的探讨
摘要
一致收敛理论是数学分析的一个重要的研究分支.一致收敛概念及判定的掌握是学习数学分析的重点和难点,而且一致收敛在泛函分析、偏微分方程等学科中也有广泛而深入的应用.
本文首先简单阐述函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的概念,然后从函数列、函数项级数及含参量反常积分三方面着手,分别列出常用的判别一致收敛的方法,并由常用的方法推出一些定理.本文在判别函数列一致收敛的方法探索中,由函数列的两边夹判别法推得一种比式判别法；并利用L条件,给出函数列一致L条件的定义,研究满足一致L条件的函数列的一致收敛性；研究在函数列可微条件下,它的导函数列在一致有界时,函数列的一致收敛性.在判别函数项级数一致收敛的方法探索中,给出函数项级数一致L条件的定义,研究满足一致L条件的函数项级数的一致收敛性.在文献[2]中一些未给出证明的定理,在本文中也将给出简单的证明.
关键词:函数列；函数项级数；含参量反常积分；一致收敛
Investigate on the Criterion of Uniform Convergence
Mathematics and Applied Mathematics 2006-2 Jiang Su-ping
Supervisor Liang Zhi-qing
Abstract
Uniform Convergence theory is an important research branch of mathematical analysis. The understanding and judging of this conception are the key as well as difficult point of mathematical analysis. Further more, Uniform Convergence has been widely used in the subjects of Functional Analysis and Partial Differential Equations.
This article will first briefly explain the Function Column, Series of Functions and Parameter Improper concept of uniform convergence. Then, out from three aspects, namely the function, the function parameters of the Series and the infinite integration with parameter, it will list some methods commonly used in the identification of Uniform Convergence from which some theorem will be deduced. In the research of the methods of identifying Uniform Convergence, another kind of identifying method called Ratio method is deduced through between discriminant method. Besides, taking advantage of L condition, this paper will define Uniform L condition and discusses Convergence under L condition. Besides, it will discusse the Uniform Convergence of function when its derived functions are uniformly bounded under micro-conditions. In the research of the methods of identifying Uniform Convergence of Series, this paper will give the definition of L condition of Uniform Convergence of Series and discusses Uniform Convergence of Series under L condition. Theorems that has not been proved in document 2 will also be briefly proved in this paper.
Key words: function column; series of functions;infinite integration with parameter;
uniform convergence
目录
0 前言 (1)
1预备知识 (2)
2 一致收敛的判别方法 (6)
2.1函数列一致收敛的判别方法 (6)
2.1.1常用方法 (6)
2.1.2两边夹判别法 (10)
2.1.3单调判别法 (11)
2.1.4 一致L条件判别法 (13)
2.1.5导数判别法 (14)
2.1.6点列判别法 (15)
2.2函数项级数一致收敛的判别方法 (16)
2.2.1常用方法 (16)
2.2.2两边夹判别法 (20)
2.2.3比较判别法 (21)
2.2.4单调判别法 (22)
2.2.5一致L条件判别法 (23)
2.2.6导数判别法 (24)
2.2.7点列判别法 (26)
2.3含参量反常积分一致收敛的判别方法 (27)
2.3.1常用方法 (27)
2.3.2两边夹判别法 (29)
2.3.3比较判别法 (29)
2.3.4单调判别法 (31)
2.3.5点列判别法 (31)
结束语 (31)
致谢 (31)
参考文献 (32)
0 前言
一致收敛的理论是数学分析的重要组成部分之一,也是学好后继课程,如泛函分析、偏微分方程等的必备基础.一致收敛是数学分析教学中的难点之一,尤其是涉及到函数列、函数项级数与含参量反常积分的一致收敛性问题.数学分析中的积分运算与其它运算的可交换性,我们就需要探讨它们的一致收敛性来作为保证.
目前,已有许多文献对一致收敛进行了研究.如在文献[1]中编者介绍了函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的概念,并介绍了判别函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的充要条件；文献[2]对一致收敛分别从定义、充要条件、一般性质、运算法则、判别方法等方面做了讨论；文献[3]给出了判别函数列一致收敛性的一种方法,这种方法与Dini定理的区别在于:Dini定理是数列单调,而作者所给的是函数单调.文献[4]介绍了函数项级数中的Dini定理.文献[5]则是对函数项级数的导数所需满足怎样的条件才能使级数一致收敛进行探讨,从而得到了函数项级数一致收敛的导数判别法.
虽然已有诸多文献对一致收敛进行了研究,但多数只是就某单一方面进行研究.本文试图从函数列、函数项级数以及含参量反常积分一致收敛的判别方法进行探索.在文献[2]中未给出证明的定理,本文也将给出简单的证明.
本文可分为两大部分,第一部分简单阐述函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的概念,同时给出函数列一致L条件及函数项级数一致L条件.第二部分是本文的主要内容,从函数列、函数项级数以及含参量反常积分三方面着手,分别列出常用的判别一致收敛的方法,并由常用的方法推出一些定理.本文在判别函数列一致收敛的方法探索中,由函数列的两边夹判别法推得一种比式判别法；探讨函数列分别在函数列单调及函数单调条件下的一致收敛性；利用L条件,给出函数列一致L条件的定义,研究满足一致L条件的函数列的一致收敛性；研究在函数列可微条件下,它的导函数列在一致有界时,函数列的一致收敛性；把函数列所在点集归结为点列来探讨函数列的一致收敛性.而在判别函数项级数一致收敛的方法探索中,先介绍两边夹判别法,然后介绍比较判别法,对魏尔斯特拉斯M判别法的条件进行改变得到一种新的比较判别法；探讨在级数的和函数单调条件下,推出函数项级数的Dini；利用L条件,给出函数项级数一致L条件的定
1
2
义,研究满足一致L 条件的函数项级数的一致收敛性；探讨在函数列{()n u x }可微条件下,当1
()n n u x ∞
='∑在[,]a b 上一致收敛时,函数项级数1
()n n u x ∞
=∑的一致收敛性；把函数项级数所
在点集归结为点列来探讨函数项级数的一致收敛性.在判别含参量反常积分一致收敛的方法探索中,先介绍两边夹判别法及比较判别法,然后探讨在积分单调的条件下,积分的一致收敛性，之后把含参量反常积分所在点集归结到点列来探讨含参量反常积分的一致收敛性.
1 预备知识
在这个部分我们将介绍本文所需要用到的概念及引理.首先我们介绍函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的概念,并给出函数列、函数项级数的一致L 条件的定义.
定义1[]1 设
1f ,2f ,…,n f … ① 是一列定义在同一数集E 上的函数,称为定义在E 上的函数列.①也可以简单地写作:
｛n f ｝或n f , 1,2,n =….
定义2[]1 设函数列｛n f ｝与函数f 定义在同一数集D 上,若对任给的正数ε,总存在某一正整数N ,使得n N >时,对一切x D ∈,都有
)()(x f x f n -<ε,
则称函数列｛n f ｝在D 上一致收敛于f .
定义3[]1 设{)(x u n }是定义在数集E 上的一个函数列,表达式
E x x u x u x u n ∈?++?++，)()()(21 ② 称为定义在E 上的函数项级数,简记为∑∞
=1
)(n n x u 或∑)(x u n .称
)(x S n =∑=n
k k x u 1
)(, E
x ∈,1,2,n =….
3
为函数项级数②的部分和函数列.
设函数项级数∑)(x u n 在D 上的和函数为)(x S ,称
)
(x R n =)(x S —)(x S n
为函数项级数∑)(x u n 的余项.
定义4[]1 设{)(x S n }是函数项级数∑)(x u n 的部分和函数列.若{)(x S n }在数集D 上一致收敛于函数)(x S ,则称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S ,或称
∑)(x u
n
在D 上一致收敛.
定义5[]1 设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y a x b c y =≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[,]x a b ∈,反常积分
dy y x f c
),(+∞
? ③ 都收敛,则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数,当记这个函数为)(x I 时,则有
)(x I =dy
y x f c
),(+∞
?,[,]x a b ∈
称③式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分,或简称含参量反常积分.
定义6[]1 若含参量反常积分③与函数)(x I 对任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得当M N >时,对一切[,]x a b ∈,都有
)(),(x I dy y x f M
c
-?ε<
即
dy y x f M ),(+∞
?ε
<,
则称含参量反常积分③在[,]a b 上一致收敛于)(x I ,或简单地说含参量积分③在[,]a b 上一致收敛.
定义7(函数列的一致L 条件) 若存在常数0L >,使得对于任意两点1x ,2x I ∈,?
n ∈N +
,都有
1212()()n n f x f x L x x -≤-.
4
则称函数()n f x 在区间I 上满足一致L 条件.
定义8(函数项级数的一致L 条件) 若存在常数0L >,使得对于任意两点
12,x x I
∈,n N +?∈,都有
1212()()()
n
n
n
n
u
x u
x L x x -
≤-∑∑.
则称函数n u ∑在区间I 上满足一致L 条件. 1.2 引理
为了本文的需要,在这部分将把文献中的一些定理作为引理罗列出来.
引理1[]1(函数列一致收敛的柯西准则) 函数列｛n f ｝在数集D 上一致收敛的充要条件是:对任给正数ε,总存在正数N ,使得当,n m N >时,对一切x D ∈,都有
)()(x f x f m n -ε<
引理2[]1(函数列确界准则) 函数列｛n f ｝在区间D 上一致收敛于f 的充要条件是:
)
()(sup lim x f x f n D
x n -∈∞→=0
引理3[]1(函数项级数一致收敛的柯西准则) 函数项级数∑)(x u n 在数集D 上一致收敛的充要条件为:对任给的正数ε,总存在某正整数N ,使得当n N >时,对一切x D ∈和一切正整数p ,都有
)()(x S x S n p n -+ε
<
或
)(u )()(21x x u x u p n n n ++++?++ε
<
引理4[]1(函数项级数余项准则) 函数项级数∑)(x u n 在数集D 上一致收敛于)(x S 的充要条件是
)
(sup lim x R n D
x n ∈∞→=)()(sup lim x S x S n D
x n -∈∞→=0.
引理5[1](阿贝耳判别法) 设
5
(1)()n u x ∑在I 上一致收敛；
(2)对于每一个x I ∈,{()n v x }是单调的；
(3){()n v x }在I 上一致有界,即对一切x I ∈和正整数n ,存在正数M ,使得
()n v x M ≤,
则级数()()n n u x v x ∑在I 上一致收敛.
引理6[1](狄利克雷判别法) 设 (1)()n u x ∑的部分和函数列
1
()()n
n k
k U x u
x ==
∑ (1,2,)n =…
在I 上一致有界；
(2)对于每一个x I ∈,{()n v x }是单调的；
(3) 在I 上()n v x 一致收敛于0 (n →∞), 则级数()()n n u x v x ∑在I 上一致收敛.
引理7[]
1(含参量反常积分一致收敛的柯西准则) 含参量反常积分③在[,]a b 上一致收敛的充要条件是:对任给正数ε,总存在某一实数M c >,使得当1A ,2A M >时,对一切
[,]x a b ∈,都有
dy
y x f A
A ),(21?＜ε.
引理8[]
1 含参量反常积分③在[,]a b 上一致收敛的充要条件是:对任一趋于+∞的递增数列}{n A （其中1A =c ）,函数项级数
∑∞
=+?
1
),(1n A A dy
y x f n n
=∑∞
=1
)(n n x u
在[,]a b 上一致收敛.
引理9[1](狄利克雷判别法) 设 (1)对一切实数N c >,含参量正常积分
6
(,)N
c f x y dy
?
对参量x 在[,]a b 上一致有界,即存在正数M ,对一切N c >及一切x ∈[,]a b ,都有
(,)N
c f x y dy M
?≤；
(2)对每一个x ∈[,]a b ,函数(,)g x y 关于y 是单调递减且当y →+∞时,对参量
x ,(,)g x y 一致地收敛于0,
则含参量反常积分
(,)(,)c
f x y
g x y dy
+∞
?
在[,]a b 上一致收敛.
定理10[1](阿贝耳判别法) 设
(1)(,)c
f x y dy +∞
?在[,]a b 上一致收敛； (2)对每一个x ∈[,]a b ,函数(,)g x y 为y 的单调函数,且对参量x ,(,)g x y 在[,]a b 上一致有界,
则含参量反常积分
(,)(,)c
f x y
g x y dy
+∞
?
在[,]a b 上一致收敛.
2 一致收敛的判别方法
在这部分,将分别对判别函数列、函数项级数及含参量反常积分一致收敛的方法进行探讨.
2.1函数列一致收敛的判别方法
下面从常用方法、两边夹判别法、单调判别法、一致L 条件判别法、导数判别法、点列判别法这几方面来介绍函数列一致收敛的判别方法. 2.1.1 常用方法
判别函数列一致收敛的常用方法有：定义判别法,柯西准则判别法,上确界法.下面
7
举例来说明.
例1
确定函数列()n f x =在R 上的一致收敛性.
解 x R ?∈,有极限函数
()lim
n f x x →∞
==
,
()()n f x f x x
-=
2
1
21
1n n
≤＝1n ε<（取1[]N ε
=）, 所以,0ε?>（1ε<）,?1
[]N ε
=N ∈,n N ?>,x R ∈,有
x ε<.
故｛
R 上一致收敛.
例2 确定函数列{()sin }n x
f x n
=在区间(,)-∞+∞的一致收敛性.
解 ? 0ε=5
1＞0,对?n +∈N ,?0n ＞n 及0p =0n ,令0x =
2
n π
,有
)
()(000x S x S n p n -+=0
2
2
sin sin 2n n n n π
π
-=2
sin
4
sin
π
π
-=1－
2
2＞１－
5
4＝5
1
＝0ε
故函数列{()sin }n x
f x n
=在(,)-∞+∞非一致收敛.
例3 确定函数列2
()n n x
n f x x e
-=,1,2,n =…，在区间[0,]D =+∞的一致收敛性.
解 对任意x ∈∞[0,+],有极限函数
2
()lim 0n
n x
x f x x e
-→∞
==,
lim sup ()()
n n x D
f x f x →∞∈-＝2
lim sup n n x n x D
x e -→∞∈lim x
n e -→∞
≤＝0, 所以{()n f x }＝{2
n n x x e -}在∞[0,+]上一致收敛.
由上面三种常用方法,我们可以得到下面的定理:
定理1[2] 设{()}n f x 在点集X 上一致收敛于()f x ,则其任子函数列{()}k
n f x 均在区间
8
X 上一致收敛于()f x .
定理2 设{()}n f x 在点集X 上一致收敛于()f x ,则{()}n f x 在点集X 上一致收敛于
()f x .
证 若()n f x 一致收敛于f ,则任意0ε>,存在()N N ε∈,当()n N ε>时,任意x X ∈,恒有()()n f x f x -ε<.
因为()()()()n n f x f x f x f x -≤-,所以
()()()()
n n f x f x f x f x -<-＝()()n f x f x -ε<,
于是,定义在X 上的函数列{()}n f x ,存在函数()f x ,满足：任意0ε>,存在
()N N
ε∈,当()n N ε>时,任意x X ∈,恒有
()()n f x f x -<ε
,
即{()}n f x 在点集X 上一致收敛于()f x .
定理3 设{()}n f x 与{()}n g x 在点集X 上分别一致收敛于()f x 与()g x ,则
{()()}n n f x g x ±在X
上一致收敛于()()f x g x ±.
证 由题设知,0ε?>,1()N N ε?∈,当1()n N ε>时,?x X ∈,有
()()n f x f x -2
ε
<,?同一0ε>,2()N N ε?∈,当2()n N ε>时,?x X ∈,有()()n g x g x -2
ε
<
.
于是,关于{()()}n n f x g x +,0ε?>,取12()max{(),()}N N N εεε=N ∈,当()n N ε>时,?x X ∈,恒有
{()()}{()()}n n f x g x f x g x +-+
＝{()()}{()()}n n f x f x g x g x -+-
<()()()()n n f x f x g x g x -+-
2
2
ε
ε
ε
<
+
=.
9
所以,{()()}n n f x g x +在X 上一致收敛于()()f x g x +. 类似可证,{()()}n n f x g x -在X 上一致收敛于()()f x g x -.
推论 若设{()}n f x 与{()}n g x 在点集X 上分别一致收敛于()f x 与()g x ,则
{()()}n n af x bg x ±在X
上一致收敛于()()af x bg x ±(,a b 为常数).
定理4 设{()}n f x 在点集X 上一致收敛于()f x ,又()g x 在X 有界,则{()()}n f x g x 在
X
上一致收敛于()()f x g x .
证 由定义,若{()}n f x 在点集X 上一致收敛,0ε?>,N N +?∈,,n m N ?>,x X ?∈,有
()()n f x f x ε-<.又对()g x ,0M ?>,x X ?∈,有()g x M <.于是,有
()()()()()()()n n f x g x f x g x g x f x f x M ε-=-<,
从而{()()}n f x g x 在X 上一致收敛于()()f x g x .
推论1 设{()}n f x 在区间[,]a b 上一致收敛于()f x ,又()g x 在[,]a b 上单调且连续,则
{()()}n f x g x 在[,]a b 上一致收敛于()()f x g x .
推论2 设{()}n f x 在区间[,]a b 上一致收敛于0,又()g x 在[,]a b 上单调且连续,则
{()()}n f x g x 在[,]a b 上一致收敛于0.
定理5[2] 设{()}n f x 在点集X 上一致收敛于()f x ,且存在0α>,使对任意x X ∈,都有
()f x α≥
成立,则{
1()
n f x }在X 上一致收敛于
1()
f x ,且
1()
f x 在X 上有界.
定理5'
[2]
设{()}n f x 与{()}n g x 在点集X 上分别一致收敛于()f x 与()g x ,且()
f x 在X 上有界,又存在0α>,使对任意x X ∈,都有
()g x α
≥
成立,则{
()()
n n f x g x }在X 上一致收敛于
()()
f x
g x ,且
()()
f x
g x 在X 上有界.
10
定理6[2] 设{()}n f x 在点集X 上一致收敛于0,且存在自然数N ,当n N >和x X ∈时,恒有
()0n f x ≠
成立,则1{
}()
n f x 在X 上一致发散于∞；
反之,若{()}n f x 在X 上一致发散于∞,则1{
}()
n f x 在X 上一致收敛于0.
2.1.2 两边夹判别法
下面介绍两边夹判别法.
引理11[2] 设存在自然数N ,当n N >和x X ∈时,恒有
()()()
n n n f x g x h x ≤≤
成立,{()}n f x 与{()}n h x 均在点集X 上一致收敛于()g x ,则{()n g x }也在X 上一致收敛于
()g x .
由引理11我们可以得到一种比式判别法.
定理7 设存在自然数N ,当n N >和x X ∈时,恒有
()()1()
()
n n n n f x g x h x h x ≤≤；且()n h x 0
>
成立,{
()()
n n f x h x }点集X 上一致收敛于1,则{()}n h x 与{()n g x }也在X 上同时一致收敛或同
时不一致收敛.
证 对任意0ε>,由于{
()()
n n f x h x }点集X 上一致收敛于1,故存在自然数0N N >,当
0n N >和x X
∈时,恒有
()11()
n n f x h x εε-<
<+
111εε-<<+
再由已知,当n N >和x X ∈时,恒有
11
()()1()
()
n n n n f x g x h x h x ≤
≤
成立.
于是,当0n N >和x X ∈时,恒有
()11()
n n g x h x εε-<
<+
成立.
依定义,｛
()()
n n g x h x ｝在X 上一致收敛于1.
当()n h x 0>时,(1)()()(1)()n n n h x g x h x εε-<<+,取ε1<,易知{()}n h x 与{()n g x }也在
X
上同时一致收敛或同时不一致收敛.
2.1.3单调判别法
下面讨论在函数列单调的条件下,加上若干条件,可推出Dini 定理.
定理8（Dini 定理） 函数列{)(x f n }在[,]a b 上单调收敛于连续)(x f ,每个)(x f n 在
[,]a b 上连续,则{)(x f n }在[,]a b 上一致收敛.
例4 证明在区间[0,1]上,函数列｛n n
x
)1(+｝一致收敛于x e ,并由此得出函数列
｛
n
n x
n x e )
1(1
+
+｝一致收敛.
证 因为)(x f n ＝n n
x
)1(+在[0,1]上单调增加并趋向于x e ,而x e 在[0,1]上连续,由
Dini 定理,｛n n
x
)1(+｝一致收敛于x e .
又∞
→n lim )(x f n ＝∞
→n lim
n
n x
n x e )
1(1
+
+＝)(x f ＝
x
e
+11，
而 )()(x f x f n -＝
)
1]()1([)
1(1x
n
n x
x
n x
x
e n
x e n
x e e ++
++
--+
12
≤1)1(-++-n x
n
x
e n
x
e
≤n
n
x
e )1(+-＋11
-n e →0 ()n →∞.
故｛
n
n x
n x e )
1(1
+
+｝在[0,1]上一致收敛.
下面讨论在函数)(x f n 单调条件下,加上若干条件,可推出判别函数列一致收敛的另一种方法.
定理9[3] 设函数列{)(x f n }满足
(1))(x f n 收敛于连续函数)(x f ；(2)对于任意n N ∈,)(x f n 为[,]a b 上的单调函数 则)(x f n 在[,]a b 上一致收敛)(x f .
证 由)(x f n 收敛于)(x f ,且)(x f 为[,]a b 上的连续函数,则)(x f 在[,]a b 上一致连续,在[,]a b 上任取1m -个点,a ＝=<
m 个小区间i ?＝［i i x x ,1-］且)(x f 在i ?上的振幅小于
2
ε
由)(x f n 收敛于)(x f ,则对任意），，，m i x i ?=,2,10(对于任意0ε>,存在i N ,取N ＝},
,,max{10m N N N ，?当n N >时,有)()(i i n x f x f -<
2
ε
.（对于任意),1,0m i ，?=
又由)(x f n 为[,]a b 上单调函数,则有
)()(x f x f n -≤i i n i n x x f x f x f x f ?∈---)},()(,)()(max{1
当n N >时,对于任意[,]x a b ∈,存在i ?,使得x ∈i ?,有
)()(x f x f i n -≤)()()()(x f x f x f x f i i i n -+-<
2
ε
＋
2
ε
＝ε.
同理)()(1x f x f i n --<ε,
故)()(x f x f n -<ε对任意[,]x a b ∈都成立.故)(x f n 在[,]a b 上一致收敛于)(x f . 例5 试讨论函数序列
)(x f n ＝???
?
??-11n x n 在区间[1,]a 上的一致收敛性.
13
解 当1x a ≤≤时,∞
→n lim
)(x f n ＝∞→n lim ???
? ??-11n x n ＝∞→n lim x e n x
n ln }1)
1{(ln =-
而x ln 在[,]a b 上连续,因为对于任意n N ∈,)(x f n 在[1,]a 上为单调函数. 由定理9可得)(x f n 在[1,]a 上的一致收敛.
由例题我们可以看出用定理9来判别一致收敛性十分简便.
定理9与Dini 定理的区别在于:定理9是函数单调,Dini 定理是数列单调. 2.1.4 一致L 条件判别法
下面试对函数列}{n f 满足一致L 条件的情况下进行探讨,可推得一致L 条件判别法.
定理10 设函数}{n f 在[,]a b 上收敛,}{n f 在[,]a b 上满足一致L 条件,则}{n f 在[,]a b 上一致收敛.
证 (i) 假定)(x f n →)(x f ,()n →∞,[,]x a b ∈.
对任意0ε>,存在0(,)N x N ε+∈,当,n m >0(,)N x ε时,就有
00()()3
n m f x f x ε
-<
又因为}{n f 在[,]a b 上满足一致L 条件,即存在常数0L >,使得对于任意两点
12,[,]x x a b ∈,都有
1212()()f x f x L x x -≤-.
存在0()x δ＝
3L
ε
,当0<0x x -<0()x δ时,对一切n N +∈,
0()()n n f x f x -≤L 0x x - 3L ε ＝ 3 ε ,(ε在x 与0x 之间) 当,n m >0(,)N x ε及0<0x x -<0()x δ时,就有 ()()n m f x f x -≤0()()n n f x f x -+00()()n m f x f x -+0()()m m f x f x -＜ 3 ε + 3 ε + 3 ε =ε. （ii ）由于开区间列{((),())|[,]}x x x x x a b δδ-+∈构成闭区间[,]a b 的一个(无限)开覆盖,由有限覆盖定理推得,存在有限个开区间 14 1111((),())x x x x δδ-+,2222((),())x x x x δδ-+,…,((),()) k k k k x x x x δδ-+ 覆盖整个闭区间[,]a b ,取N =12max{(,),(,),(,)}k N x N x N x εεε…， 则对上述的ε0>,对任意正整数,n m N >,及任意[,]x a b ∈. 设x ∈(((),()i i i i x x x x δδ-+),1i k ≤≤. 则有0 依函数列一致收敛的柯西准则,推得)(x f n 一致收敛于)(x f ,()n →∞，[,]x a b ∈. 2.1.5 导数判别法 下面研究在函数列可微条件下,它的导函数列在一致有界时,函数列的一致收敛性. 定理11 设可微函数}{n f 在[,]a b 上收敛,{' n f }在[,]a b 上一致有界,则}{n f 在[,]a b 上一致收敛. 证 由假设存在正数M ,对任一自然数n ,当[,]x a b ∈时,有 ()n f x '≤M , 因此对任意0ε>,在[,]a b 上取(1)m -个点. 011m m a x x x x b -=<<<<=…. 使它们把[,]a b 分割成m 个(有限)小区间1[,]i i i x x -?=且14i i i x x x M ε -?=-< (i =1,2, …,m ).因}{n f 在[,]a b 上收敛,所以对i ?上任意一点i x ,0i N ?>,当i n N >时,对任意自然数P ,有()()()2 n i n p i i f x f x x ε +-≤ ∈?,对函数()()n n p f x f x +-应用微分中值定理知：任 意i x ∈?,存在位于x 与i x 之间的ξ使得 ()()()() n n p n i n p i f x f x f x f x ++--+ =()()n n p i f f x x ξξ+''--24M M ε 于是, ()() n n p f x f x +- ≤()()()() n n p n i n p i f x f x f x f x ++--++()()n i n p i f x f x +- 15 2 2 ε ε ε < + =. 取1max{,,}m N N N =…,则当n N >时,对一切[,]x a b ∈,有()()n n p f x f x ε+-<,故 }{n f 在[,]a b 上一致收敛. 例6 确定函数列{()sin }n x f x n =在区间[,]l l -的一致收敛性. 解 因为)(x f n →)(x f ＝0(n →∞),x ∈[,]l l -. n f '=(sin )x n '=1cos x n n 存在1 l ,对任意x ∈[,]l l -,都有 n f ' = 1cos x n n ≤1 l ,n =1,2,3…, 所以{n f '}在[,]l l -一致有界. 因此)(x f n 一致收敛于)(x f ,(n →∞),x ∈[,]l l -. 可见对于一些函数列用导数判别法也是很简便的,因此当n f '易求时可考虑用此方法来判定函数列{)(x f n }是否一致收敛. 2.1.6点列判别法 下面把{)(x f n }点集X 归结到点列来探讨函数列的一致收敛性. 定理12 {)(x f n }在点集X 上一致收敛于)(x f 的充分必要条件是对任意点列{n x }? X 都有 lim ()()0n n n n f x f x →∞ -=. 证 必要性,因为{)(x f n }在点集X 上一致收敛于)(x f ,所以 ()()sup ()()0n n n n n n x X f x f x f x f x ∈-=-→ ()n →∞. 于是对任意点列{n x }?X 都有 ()()()()0n n n n n n f x f x f x f x -≤-→() n →∞. 充分性,用反证法,假设{)(x f n }在点集X 上不一致收敛于)(x f ,则00ε?>,N ?,? 16 n N >,及x X ∈,使得 0()()n f x f x ε-≥. 于是,取1N =,11n ?>与1 n x X ∈,使1 1 1 0()()n n n f x f x ε-≥； 取2N =,21n n ?>与2 n x X ∈,使222 0()()n n n f x f x ε-≥； …… 取N k =,1k k n n -?>与k n x X ∈,使0()()k k k n n n f x f x ε-≥； ……. 这样就得到一点列{}k n x X ?,使 lim ()()0n n n n f x f x →∞ -≠, 与已知条件相矛盾. 2.2函数项级数一致收敛的判别方法 下面从常用方法、两边夹判别法、比较判别法、单调判别法、一致L 条件判别法、导数判别法、点列判别法这几方面来介绍函数项级数一致收敛的判别方法. 2.2.1常用方法 判别函数项级数一致收敛的常用方法有定义判别法,柯西准则判别法,余项准则,阿贝耳判别法,狄利克雷判别法.下面举例说明. 例7 证明函数项级数220 (ln )n n x x ∞ =∑在区间(0,1]上一致收敛. 证 22 (ln ) n n x x ∞ =∑的部分和为 22 1 22 2 1(ln ),(0,1)()(ln )10,1;n n k n k x x S x x x x x -=?-∈?= =-??=? ∑ 2 2 1(ln ),(0,1)()10,1;x S x x x ?∈? =-??=? 要证()n S x 在(0,1]上一致收敛于()S x ,只要证明
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