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中考数学压轴题:探究角度问题

中考数学压轴题:探究角度问题
中考数学压轴题:探究角度问题

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??探究角度问题

1.如图,抛物线经过原点O(0,0),与x轴交于点A(3,0),与直线l交于点B(2,-2).

(1)求抛物线的解析式;

第1题图

(2)点C是x轴正半轴上一动点,过点C作y轴的平行线交直线l于点E,交抛物线于点F,当EF=OE时,请求出点C的坐标;

(3)点D为抛物线的顶点,连接OD,在抛物线上是否存在点P,使得∠BOD=∠AOP?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

解:(1)由题意可设抛物线的解析式为y=ax2+bx,将A(3,0),B(2,-2)代入y=ax2

?9a+3b=0?a=1

+bx中,得?,解得?,

?4a+2b=-2?b=-3

∴抛物线的解析式为y=x2-3x;

(2)方法一:设直线l的解析式为y=kx,

将B(2,-2)代入y=kx中,得-2=2k,

解得k=-1,

∴直线l的解析式为y=-x,

设点C的坐标为(n,0),则点E的坐标为(n,-n),点F的坐标为(n,n2-3n).

①当点C在点A的左侧时,如解图①所示,E F=-n-(n2-3n)=-n2+2n,OE=n2+(-n)2=2n,

—1—

∵EF=OE,

∴-n2+2n=2n,

解得n1=0(C,E,F三点均与原点重合,舍去),n2=2-2,

∴点C的坐标为(2-2,0);

②当点C在点A的右侧时,如解图②所示,EF=n2-3n-(-n)=n2-2n,OE=n2+(-n)2=2n,

∵EF=OE,

∴n2-2n=2n,

解得n1=0(C,E,F均与原点重合,舍去),n2=2+2,

∴点C的坐标为(2+2,0);

方法二:设直线l的解析式为y=kx,将点B(2,-2)代入y=kx中,得-2=2k,解得k=-1,

∴直线l的解析式为y=-x,

∴∠AOB=45°,

∵CF∥y轴,

∴△OCE为等腰直角三角形,

∴OE=2CE,

∵EF=OE,

∴EF=2CE.

设点C的坐标为(m,0),则点E的坐标为(m,

-m),点F的坐标为(m,m2-3m),

当点C在点A左侧时,如解图①所示,EF=-m-(m2-3m)=-m2+2m,CE=m,由EF=2CE得-m2+2m=2m,

解得m1=0(C,E,F点均与原点重合,舍去),m2=2-2,

∴C点的坐标为(2-2,0);

—2—

(3)存在点P使得∠BOD=∠AOP,点P的坐标为(,-)或(,).

第1题解图①

当点C在A点右侧时,如解图②所示,EF=m2-3m-(-m)=m2-2m,CE=m,由EF=2CE得m2-2m=2m,

解得m3=0(C,E,F三点均与原点重合,舍去),m4=2+2,

∴C点的坐标为(2+2,0).

综上所述,当EF=OE时,点C的坐标为(2-2,0)或(2+2,0);

第1题解图②

14141616

525525 2.如图,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.

第2题图

(1)求抛物线解析式;

—3—

解:(1)抛物线的解析式为y=-x2+x+1;

(2)由B(3,0),C(0,1)可得直线BC解析式为y=-x+1,如解图①,过点P作直线

设P(x,-x2+x+1),易得D(x,-x+1),

∴PD=-x2+x,

(2)在直线BC上方的抛物线上求一点△P,使PBC面积为1;

(3)在x轴下方且在抛物线对称轴上,是否存在一点Q,使∠BQC=∠BAC?若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.

12

33

1

3

PD⊥x轴交直线BC于点D.连接PC,PB,

第2题解图①

121

333

1

3

113

∴△S PBC=△S PDC+S

△PDB

=2PD(x B-x C)=-2x2+2x,

13

又∵△S PBC=1,∴-2x2+2x=1,∴x2-3x+2=0,

4

解得x2=1,x2=2,∴P1(1,3),P2(2,1);

(3)存在,

理由如下:如解图,∵A(-1,0),C(0,1),

∴OC=OA=1,∴∠BAC=45°,

∵∠BAC=∠BQC,∴∠BQC=45°,

∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点.

设△ABC外接圆心为M,

—4—

∵线段AC的垂直平分线为直线y=-x,线段AB的垂直平分线为直线x=1,∴点M为直线y=-x与直线x=1的交点,即M(1,-1).

∴∠BMC=2∠BQC=90°,

又∵MQ=MB=5,∴y Q=-(1+5)=-1-5,

∵点Q在直线x=1上,

=1,∴Q(1,-1-5).

∴x

Q

第2题解图②

—5—

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