时域离散信号和系统的频域分析
信号与系统的分析方法有两种：时域分析方法和频域分
析方法。
在连续时间信号与系统中，信号一般用连续变量时间t 的函数表示，系统用微分方程描述，其频域分析方法是拉普拉斯变换和傅立叶变换。在时域离散信号与系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，系统则用差分方程描述，频域分析方法是Z变换和序列傅立叶变换法。
Z变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉斯变换在
连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方程
转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。因此，对求解
离散时间系统而言，Z变换是一个极重要的数学工具。
2．2 序列的傅立叶变换（离散时间傅立叶变换）
一、序列傅立叶变换：
正变换：DTFT[x(n)]=（2.2.1）
反变换：DTFT-1
式（2.2.1）级数收敛条件为
||=(2.2.2)
上式称为x(n)绝对可和。这也是DTFT存在的充分必要条件。当遇到一些绝对不可和的序列，例如周期序列，其DTFT
可用冲激函数的形式表示出来。
二、序列傅立叶变换的基本性质：
1、DTFT的周期性
，是频率ω的周期函数，周期为2π。
∵= 。
问题1：设x(n)=R N(n)，求x(n)的DTFT。
==
==
设N为4，画出幅度与相位曲线。
2、线性
设=DTFT[x1(n)]，=DTFT[x2(n)]，则：DTFT[a x1(n)+b x2(n)]
= = a+b
3、序列的移位和频移
设= DTFT[x(n)]，
则：DTFT[x(n-n0)] =
=
DTFT[x(n)] =
= =
4、DTFT的对称性
共轭对称序列的定义：设序列满足下式
则称为共轭对称序列。
共轭对称序列的性质：
共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数
证明：=+j（实部加虚部）
∵
∴+j=-j
∴=（偶函数）
∴=－（奇函数）
一般情况下，共轭对称序列用表示：
共轭反对称序列的定义：设序列满足下式
则称为共轭反对称序列。
共轭反对称序列的性质：
共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数
证明：=+j（实部加虚部）
∵
∴+j=+j
∴=（奇函数）
∴=（偶函数）
一般情况下，用来表示
一个序列可用共轭对称序列与共轭反对称序列之和表示。即：
x(n)= + (2.2.16)
问题1：=？
=+
=－
∴= －(2.2.17)
=(+)
=(－)
对于频域函数，也可分解成共轭对称分量和共轭反对称分量之和：
式中，是共轭对称分量，是共轭反对称分量，它们满足：
=，=
且：
：共轭对称分量，它的实部是偶函数，虚部是奇函数；
：共轭反对称分量，它的实部是奇函数，虚部是偶函数。
下面研究DTFT的对称性，按下面两部分进行分析a）将序列x(n)分成实部与虚部，即：
=+j（、都是实数序列）
则：
式中：=DTFT[]=，
=DTFT[j]=j。
结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对应于中的
，虚部和j一起对应于中的。
b）将序列分成共轭对称部分和共轭反对称部分
，x(n)= +
∵=(+)
=(－)
将上面两式分别进行DTFT，得到：
DTFT[]=(+)=Re[]=
DTFT[]=()=jIm[]=j
∴=+j
x(n)= +
结论：序列的共轭对称部分对应于的实部，
而序列的共轭反对称部分对应于的虚部加
j。
应用：利用DTFT的对称性讨论当h(n)是实序列时，其DTFT 的特性。
∵h(n)是实序列，所以它所对应的DTFT：
=，具有共轭对称性，的实部偶对称，虚部奇对称。
5、时域卷积定理
设y(n)=x(n)*h(n)
则：=×=(2.2.32)
证明：y(n)= x(n)*h(n)=
=DTFT[y(n)]
= =
=
=
=
6、频域卷积定理
设y(n) = x(n) h(n)
则=*=
=
证明：==
=
=
=
=*
7、Parseval(帕斯维尔)（帕塞瓦尔）定理
=(2.2.34)证明：
==
=
=
=
2．5 Z变换的定义与收敛域
一、Z变换的定义
若序列为x(n)，则幂级数
（2.5.1）
称为序列x(n)的Z变换，也称为双边Z变换。式中z为复变量，它所在的复平面称为z平面。亦可将x(n)的Z变换表示为
ZT[x(n)] = X(z)
二、Z变换的收敛域
我们知道，是一幂级数，只有收敛时Z变换才有意义。X(z)收敛的条件是：
(2.5.3)
X(z)能够收敛的z取值集合称为X(z)的收敛域。
一般收敛域用环状域表示。即：
∴Z变换的公式
（2.5.1）
常见的Z变换是一个有理函数，表示为：
分子多项式的根是的零点，分母多项式的根是
的极点。在极点处Z变换不存在。因此收敛域中没有极点，
收敛域总是用极点限定其边界。
1、有限长序列Z变换的收敛域
有限长序列是指在有限区间n1≤n≤n2之间序列具有非零的有限值，在此区间外，序列值皆为零。有限长序列Z变换
为，所以收敛域为
0<|z|<∞。
如n1≥0，收敛域为0<|z|≤∞。
如n2≤0，收敛域为0≤|z|<∞。
2、右边序列Z变换的收敛域
右边序列是指在n≥n1时，x(n)有值，在n＜n1时，x(n)=0。其Z变换为
此式右端第一项为有限长序列的Z变换，它的收敛域为0≤
|z|<∞，而第二项是z的负幂级数，它的收敛域为。综合此两项，只有两项都收敛时级数才收敛。所以右边序列
Z变换的收敛域为。
因果序列是最重要的一种右边序列，即n1=0的右边序列。收敛域为（也可以写成），所以，|z|=∞处Z变换收敛是因果序列的特征。
3、左边序列Z变换的收敛域
左边序列是指在n≤n2时，x(n)有值，n＞n2时，x(n)=0。其
Z变换为
此式第二项是有限长序列的Z变换，收敛域为0<|z|≤∞，第一项是正幂级数，收敛域为0≤|z| 4、双边序列Z变换的收敛域 这类序列是指n为任意值时x(n)皆有值的序列。 双边序列的收敛域为 问题1：求序列x(n)= R N(n)的Z变换及收敛域，并画出收敛域。 解：X(z)==。因为这是有限长序列，所以收敛域为0<|z|≤∞。 思考：R N(n)的DTFT存在吗？ 问题2：x(n)=a n u(n)，求其Z变换及收敛域，并画出收敛域。 解：这是右边序列，且是因果序列，其Z变换为 X(z)=。收敛域为 （或写成） 思考：a n u(n)的DTFT存在吗？ 问题3：x(n)=-a n u(-n-1)，求其Z变换及收敛域，并画出收敛域。 解：这是一个左边序列。其Z变换为 ， 收敛域为0≤|z|<|a|（或写成|z|<|a|）。 思考：-a n u(-n-1)的DTFT存在吗？ 结论：当Z变换的收敛域中包含单位圆时，用Z变换可求出DTFT。 =（2.5.4） 上式称为单位圆上的Z变换就是离散时间傅立叶变换。 回顾：观察零极点。 结论：零点可以在复平面的任意处，但极点在收敛域的边缘或收敛域的外面。 2.5.3 Z反变换 已知序列的Z变换及其收敛域，求序列称为Z反变换。表示为x(n)=ZT-1[X(z)] 其中，c是X(z)收敛域中一条逆时针的闭合曲线。 求Z反变换的方法通常有三种：围线积分法（留数法）、部分分式展开法和长除法。 一、围线积分法（留数法） 直接计算围线积分比较麻烦，一般都采用留数定理来求解。按留数定理，若函数F(z)=X(z)z n-1在围线c上连续，在c以内有K个极点z k，则有 （2.5.6） 设z r是X(z)z n-1的单极点，则根据留数定理： 如果z k是L阶极点，则根据留数定理， （2.5.8） (2.5.8)表明，对于L阶极点，需要求L-1次导数，这是比较麻烦的。如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点时，可根据留数辅助定理改求c外所有极点之和，使问题简单化。 若函数F(z)=X(z)z n-1在围线c上连续，在c以内有K个极点z k，而在c以外有M个极点z m，（K，M为有限值）。 现在c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，根据留数辅助定理改求c外所有极点之和。得： （2.5.9） （2.5.9）应用条件是X(z)z n-1在z=∞有两阶或二阶以上零点，即要分母多项式z的阶次比分子多项式z的阶次高二阶或二阶以上。 问题1：已知X(z)=z2/[(4-z)(z-1/4)]，1/4<|z|<4， 求Z反变换。 解：，c为X(z)的收敛域 内的闭合围线，画出收敛域及c。 X(z)z n-1=。现在来看极 点在围线c内部及外部的分布情况及极点阶数。 当时，函数在围线c内只有z=1/4处一个一阶极点， =， 当时，函数在围线外部只有一个一阶极点z=4，而在围线的内部则有z=1/4处一阶极点及z=0处一（n+1）阶极点，所以采用围线外部的极点较方便。 =， ∴ 问题2：已知X(z)=z2/[(4-z)(z-1/4)]，|z|>4， 求Z反变换。 解：，c为X(z)的收敛域 内的闭合围线。 X(z)z n-1=。现在来看在围c内部及外部的分布情况及极点阶数。 当时， 函数在围线c内z=1/4处有一个一阶极点，z=4处有一个一阶极点， + =， 当n=-1时，x(n)=0，∴x(n)= ， 当时，函数在围线外部没有一个极点，所以采用围线外部的极点较方便。由于围线外部没有一个极点，∴x(n)=0。 ∴x(n)= （）u(n) 二、部分分式展开法 对于大多数单极点的序列，常常用这种部分分式展开法求Z 反变换。 X(z)=B(z)/A(z)= X1(z)+ X2(z)+…+ X K(z)，则 = ZT-1[X (z)]+ ZT-1 [ X2(z)]+…+ ZT-1 [X K(z)] ZT-1[X1(z)]、ZT-1 [ X2(z)]、…ZT-1 [X K(z)]可从Z变换表中直接查表得出 问题1：设X(z)=z2/[(z-2)(z-0.5)]，|z|>2， 求Z反变换。 解：X(z) =z2/[(z-2)(z-0.5)] A1=，A2= ∴， ∵收敛域为|z|>2，∴x(n)= 三、幂级数展开法 因为的Z变换定义为z-1的幂级数，即 所以只要在给定得收敛域内，把X(z)展成幂级数，则级数的系数就是序列。 当X(z)的收敛域为|z|>Rx-时，则必为因果序列，此时 应将X(z)展成z的负幂级数，为此，X(z)的分子分母应按z的降幂排列； 当X(z)的收敛域为|z| 的分子分母应按z的升幂排列； 问题1：已知，|z|>3 解：因为收敛域|z|>3，所以这是因果序列，因此，X(z)分子分母按z的降幂排列。 进行长除 2.5.4 Z变换的基本性质和定理 一、线性 线性就是要满足比例性和可加性。若 X(z) = ZT [x(n) ]， Y(z) = ZT [y(n) ]， 则ZT [ax(n)+by(n)]=a X(z)+b Y(z)， ，。 二、序列的移位 若X(z) = ZT [x(n) ]， 则有ZT [x(n-m) ] =z-m X(z)， 三、乘以指数序列 若X(z) = ZT [x(n) ]， 则ZT [a n x(n) ]=X()， 四、序列乘以n 若X(z) = ZT [x(n) ]， 则ZT [n x(n) ]=－z， 五、复序列取共扼 一个复序列x(n)的共扼序列为x*(n) 若ZT [x(n) ] =X(z) ， 则ZT [x*(n) ] =X*(z*) ， 六、翻转序列 若ZT [x(n) ] =X(z) ， 则ZT [x(－n) ] =X() ， 七、（因果序列）初值定理 对于因果序列x(n)，即x(n)=0，n<0，ZT[x(n) ] =X(z)有 八、（因果序列）终值定理 设x(n)为因果序列，且X(z) = ZT [x(n) ]的极点处于单位圆|z|=1以内（单位圆上最多在z=1处可有一阶极点），则 九、序列的卷积和（时域卷积和定理） 设y(n)为x(n)与h(n)的卷积和 y(n)= x(n) h(n)= X(z) = ZT [x(n) ]， H(z) = ZT [h(n) ]， 则Y(z) = ZT [y(n) ]= X(z) H(z)， 十、序列相乘（z域卷积定理） 若y(n)= x(n)·h(n)，且 X(z) = ZT [x(n) ]， H(z) = ZT [h(n) ]， 则Y(z) = ZT [y(n) ]= ZT [x(n)·h(n)] =， 其中c是v平面上，与H(v)的公共收敛域内环绕原点的一条反时针旋转的单封闭围线。 v平面收敛域为 或Y(z) = ZT [y(n) ]= ZT [x(n)·h(n)] =， 其中c是v平面上，与X(v)的公共收敛域内环绕原点的一条反时针旋转的单封闭围线。 v平面收敛域为 十一、帕斯维尔(Parseval)定理 若X(z) = ZT [x(n) ]， H(z) = ZT [h(n) ]， 且 则 v平面上，c所在的收敛域为 证明：Y(z) = ZT [x(n)·h*(n)] = =， 因为，所以z=1在收敛域中。令z=1代入上式， = v平面上，c所在的收敛域为 如果X(z)，H(z)在单位圆上都收敛，则c可取为单位圆，即，则 如果h(n)=x(n)，则进一步有。 2.5.5 利用Z变换解差分方程 在第一章中介绍了差分方程的递推解法，下面介绍Z变换解法。这种方法将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单设N阶线性常系数差分方程为 (2.5.30) 一、求及 对(2.5.30)求双边Z变换： = =/=，h(n)= ZT-1[] =，y(n)= ZT-1[] 2.6 离散系统的系统函数，系统的频率响应 信号和系统的频率特性一般用序列的傅立叶变换和Z变换进行分析。 一、传输函数与系统函数 设系统初始状态为零，输出端对输入为单位抽样序列 (n)的响应，称为系统的单位抽样响应h(n)。对h(n)进行傅立叶变 换得到：=，一般称为为系统的传输函数，它表征系统的频率特性。 将h(n)进行Z变换，得到，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。 如已知系统的N阶线性常系数差分方程，进行双边Z变换，得到系统函数的一般表示式： 如果的收敛域包含单位圆|z|=1则，与的关 系：=。即单位圆上的系统函数就是系统的传输函数 二、用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 因果（可实现）系统其单位脉冲响应h(n)一定满足：当n<0时，h(n)=0，那么其系统函数的收敛域一定包含∞点。 系统稳定要求，对照ZT定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆。 所以系统因果且稳定，收敛域包含∞点和单位圆，那么收敛域表示为：r<|z|≤∞，0 问题1：一个因果系统的系统函数为=，其中a为实数，问：a在哪些范围内才能使系统稳定？ 解：因为系统因果，所以收敛域为|a|<|z|≤∞，为使系统稳定，必须要求收敛域包含单位圆，即要求|a|<1。 三、利用系统的零极点分布分析系统的频率特性 = 将上式因式分解，得到： =A 式中，是的零点，是其极点。A参数影响传输函数的幅度大小，影响系统特性的是零点和极点的分布。下面采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。 =A 设系统稳定，将z=代入，得： =A 在z平面上，-用一根由零点指向单位圆上点B 的向量表示。同样-用由极点指向点B的向量 表示，如图2.6.2。 将向量用极坐标表示：=，=，得到： =A= = |A|(2.6.8) =（N=M）(2.6.9) 当频率ω从零变化到2π时，这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，按照(2.6.8)和(2.6.9)分别估算出系统的幅度特性和相位特性。 按照(2.6.8)知道零极点的分布后，可以很容易地确定零极点位置对系统特性的影响。当B点转到极点附近时，
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