习题一 （A 类）
1. 求下列各排列的逆序数.
(1) 341782659； (2) 987654321；
(3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2.
【解】
(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;
(3) τ(n (n 1)…3〃2〃1)= 0+1+2 +…+(n 1)=
(1)
2
n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1).
2. 求出j ，k 使9级排列24j157k98为偶排列。
解：由排列为9级排列，所以j,k 只能为3、6.由2排首位，逆序为0,4的逆序数为0，1的逆序数为3，7的逆序数为0，9的为0，8的为1.由0+0+3+0+1=4，为偶数.若j=3,k=6，则j 的逆序为1，5的逆序数为0，k 的为1,符合题意；若j=6,k=3,则j 的逆序为0，5的逆序数为1，k 的为4，不符合题意. 所以j=3、k=6.
3. 写出4阶行列式中含有因子2234a a 的项。 解：D 4=1234()
11223344(1)
j j j j j j j j a a a a τ- 由题意有：232,
4.j j ==
故1234141243
243241
j j j j j j ?==?
? D 4中含的2234a a 项为：(1243)(3241)1122344313223441(1)(1)a a a a a a a a ττ-+-
即为：1122344313223441a a a a a a a a -+
4. 在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？ （1）233142561465a a a a a a ；
解：233142561465142331425665a a a a a a a a a a a a = 因为(431265)6τ=，(431265)
6(1)(1)1τ-=-=
所以该项带正号。
（2）324314516625a a a a a a
解：324314516625142532435166a a a a a a a a a a a a = 因为(452316)8τ=，(452316)8(1)(1)1τ-=-= 所以该项带正号。
5. 用定义计算下列各行列式.
(1)
0200001030000004； (2)12
30
0020
3045
00
1
. （3）01000
0200
001000
n n
-
【解】(1) D =(1)
τ(2314)
4!=24; (2) D =12.
（3）由题意知：12231,,112
10
n n
n ij a a a n a n a -=??=???
?=-??=?=?? 其余
所以
12()112233(2341)1223341,11
1(1)(1)(1)
123(1)(231)1
(1)!
n j j j n j j j njn
n n n n n n D a a a a a a a a a n n n n n τττ---=-=-=-?????-?=-=-?
6. 计算下列各行列式.
(1)
21
41
3121
1232
5062
-----； (2) ab
ac ae bd cd de bf
cf ef
-------； (3)100110011001a b c d ---； (4)
123
42341341241
23
.
【解】(1) 12
50623121
012325062
r r D
+---=--; (2) 111
4111111
D abcdef abcdef --==------;
2
10110
111(3)(1)111011001011;b c D a a b cd c c d d d d
abcd ab ad cd --?--?=+-=+++--????=++++
32122113314214
41210
2341023410234
1034101130113
(4)160.104120222004410
1
2301110004
r r c c r r c c r r r r c c r r D -+-+-++---=
===-------
7. 证明下列各式.
(1) 2
2322()1
1
1
a a
b b a
a b b a b +=-；
(2)
2222222222222
2
2
2
(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++；
(3) 2
3
2
2
322
32
111()111a a a a b
b ab b
c ca b b c c c c =++ (4) 20000()000
n n a b a b D ad bc c d c
d
=
=-
；
(5)
1
211
111111111
1
1n
n
i i i i n
a a a a a ==++??=+ ???+∑∏
. 【证明】(1)
13
23
2
23()()()2()2001
()()()()()2()21
c c c c a b a b b a b b a b a b b a b a b b a b a b b
a b a b a b a b --+--=--+--+=
=-=-=--左端右端.
(2) 32
21
3142
41
222
2-2-2
232
2
21
446921262144692126
0214469212621
4469
2126
c c c c c c c c c c a a a a a a b b b b b b c c c c c c
d d d d d d ---++++++++====++++++++左端右端. (3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:
23232
3
23
11()()()()()()()(*)11x x x a a a f x x a x b x c a b a c b c b b b
c
c c =
=------
从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f (x )的x 的系数为
2
22
1()()()()(),11a a ab bc ac a b a c b c ab bc ac b b c c ++---=++
但对（*）式右端行列式按第一行展开知x 的系数为两者应相等，故
2
3112
32
3
1(1),11a a b b c c +- (4) 对D 2n 按第一行展开，得
22(1)2(1)2(1)00000
00
(),
n n n n a b a
b
a b
a b
D a
b
c d
c d
c d c d d
c a
d D bc D ad bc D ---=-=?-?=-
据此递推下去，可得
222(1)2(2)
112()()()()()()n n n n n n
D ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ad bc ad bc ----=-=-==-=--=- 2().n n D ad bc ∴
=-
(5) 对行列式的阶数n 用数学归纳法.
当n =2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n 1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n 时结论也成立.
按D n 的最后一列，把D n 拆成两个n 阶行列式相加：
11221
12111110111
11110111111101
1
1
1
1
1
1
.
n n n
n n n a a a a D a a a a a a D ---++++=
++=+
但由归纳假设
11121111,n n n i i D a a a a ---=??
+= ???
∑
从而有
11211211121111
111111.
n n n n n i i n n n
n n i i i i i i D a a a a a a a a a a a a a a a ---=-===??
+=+ ?
??
?
???++== ? ?????∑∑∑∏
8. 计算下列n 阶行列式.
(1) 11
11
11n x x D x
=
(2) 1222
2222
2232222n D n
=
；
(3)000
000
000000n x y x y D x y
y x
= . (4)210001
21000
12000
00210
0012
n D =
.
【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x +(n 1),得
1111
1
[(1)]
,1
1n x D x n x
=+-
将第一行乘（1）后分别加到其余各行，得
1111110
[(1)](1)(1).001
n n x D x n x n x x --=+-=+---
(2) 21
311
1222210000101001002010002
n r r n r r r r D n ---=
-
按第二行展开222201002(2)!.0020
0002
n n =---
(3) 行列式按第一列展开后，得
1(1)(1)(1)10000000000
000(1)000
000000000(1)(1).
n n n n n n n n x y y x y x y D x y x y x y y x x y
x x y y x y +-+-+=+-=?+?-?=+-
(4) 21000200000100012100
121001210001200012000120000021000210002100012
00012
00012
n D =
=
+
122n n D D --=-.
即有 112211n n n n D D D D D D ----=-==-= 由 ()()()112211n n n n D D D D D D n ----+-++-=- 得 11,121n n D D n D n n -=-=-+=+. 9. 计算n 阶行列式.
1
2121
2
111n n n n
a a a a a a D a a a ++=
+
【解】各列都加到第一列，再从第一列提出1
1n
i
i a
=+
∑，得
232
32312
3
1
1111
1,1
1n n n
n i n i n
a a a a a a D a a a a a a a =+??=++ ???
+∑
将第一行乘（1）后加到其余各行，得
2
311
10
10011.0
0100
1
n n
n
n i i i i a a a D a a ==??=+=+ ???
∑∑
10. 计算n 阶行列式（其中0,1,2,,i a i n ≠= ）.
111
1123
222211
22
332222
1122
331
11
112
3n n n n n
n n n n n n
n n n n n n n n n n n n
a a a a a
b a b a b a b D a b a b a b a b b b b b ----------------=
.
【解】行列式的各列提取因子1
(1,2,,)n j a j n -= ,然后应用范德蒙行列式.
3121
232
2
2
2
3121
121231
1
113121231
1211111()().
n n n n n n n n n n n n n j i n n j i n i
j b b b b a a a a b b b b D a a a a a a a b b b b a a a a b b a a a a a ------≤<≤????????= ? ? ? ????????????????? ? ?
? ???
??
??
??
??
-= ???∏
11. 已知4阶行列式D 中第3列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次为8，7，2，10，求行列式D 的值。
解：D=
11
1214212224
31323441
42
44
1201
a a a a a a a a a a a a -，132333438,7,2,10M M M M ==== 4
333
1
1323334313132323333343434567(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)8(1)27(1)02(1)1108141032.
i i i i D a M a M a M a M a M +=++++=-=-+-+-+-=-?-?+-??+-??+-??=---=-∑ 12. 用克拉默法则解方程组.
（1）1212450,37 2.x x x x +=??-=? （2）12312
1
32,
21,4.x x x x x x x -+=??
+=??-=? (3) 1231234
1234234 5,2 1, 2 2, 23 3.x x x x x x x x x x x x x x ++=??+-+=??+-+=??++=?
(4) 12123234345
4556 1, 56 0,
56 0, 560,
5 1.x x x x x x x x x x x x x +=??++=??++=??++=?+=??
【解】（1）因为1212
450
372x x x x +=??-=?
D =
45
4337
=--；D 1=
05
1027
=--；D 2=
40
832
= 所以1212108,.43
43
D D x x D D =
==
=- （2）因为12312
1
32
214x x x x x x x -+=??
+=??-=? D =[1(1)]2,3
11
11111
2003151
1012
r i i +-=--=
-=--- D 1=21
1
01
12
1
201201361
4
1611
-===-----
D 2=12
1121
11
11
0011422
141022
--=--==---
D 3=112
11
21
2
103171
040
1
2--=-= 所以
3121231347
,,.5
5
5
D D D x x x D D D =
===-=
=- (3)方程组的系数行列式为
11101110
13113121110131
180;12105212110121
12301401230123
D -------=
=
===≠----- 1234511015101111211118;
36;
2211121131
2
3
03231150
11
1
52111211136;
18.
122112120133
01
2
3
D D D D --=
==
=---=
==
=--
故原方程组有惟一解，为
312412341,2,2, 1.D D D D
x x x x D D D D
=
=======- 1234512345(4)665,1507,1145,703,395,212.15072293779212,,,,.66513335133665
D D D D D D x x x x x ===-==-=∴=
=-==-=
13. λ满足什么条件时，线性方程组1231231
2321,
2,4553
x x x x x x x x x λλ+-=??
-+=??+-=?有唯一解？
解：D =[32(1)]
2
1
21
111
04
554
5
c λλ
λλ
λ
---=--
=1
(1)
(1)(54)4
5
λλλλ--=-?+
要使方程组有唯一解，必须D 0≠，于是：(1)(54)0λλ-?+≠ 解得：1241,5
λλ≠≠-
当λ不等于1，4
5
-
时，方程组有唯一解。 14. λ和μ为何值时，齐次方程组
1231231
230,0,20
x x x x x x x x x λμμ++=??
++=??++=? 有非零解?
【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式
1
1
0,11121
λ
μμ= 即
(1)0.μλ-=
故0μ=或1λ=时，方程组有非零解.
15. 求三次多项式230123()f x a a x a x a x =+++，使得
(1)0,(1)4,(2)3,(3)16.f f f f -====
【解】根据题意，得
0123012301230123(1)0;(1)4;(2)2483;(3)392716.
f a a a a f a a a a f a a a a f a a a a -=-+-==+++==+++==+++=
这是关于四个未知数0123,,,a a a a 的一个线性方程组，由于
012348,336,0,240,96.D D D D D ====-=
故得01237,0,5,2a a a a ===-= 于是所求的多项式为
23()752f x x x =-+
（B 类）
1. 已知n 阶行列式D 的每一列元素之和均为零，则D = 。
解： 令 D =
1112111211
1222212[1(1)]21222212222,3,,121
2
n n n n n nn
r i n n i n
n n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +=+++++++++=
=
212221
20
000n n n nn
a a a a a a =
2.D
3. 写出行列式D 4=512312123122x x x x x x 的展开式中包含3x 和4
x 的项。
解：令D 4=512312123122x x x x x x =
111213142122
2324313233344142
43
44
a a a a a a a a a a a a a a a a =
12341234
()11223344(1)j j j j j j j j j j j j a a a a τ-∑
比较可得：只有当12341234j j j j =时，才能出现4
x 项，当12342134,4231j j j j =时，为3
x 项，故4D 中含4
x 项为：4
10x +
含3
x 项为：(2134)(4231)31221334414223341(1)(1)5a a a a a a a a x ττ-+-=-。
4. 已知4阶行列式D 4=
1
2343
344
15671122
，试求41424344A A A A +++，其中4(1,2,3,4)j A j =为行列式D 4的第4行第j 列的元素的代数余子式。
解：因为D 4=
12343
34415671
12
2
所以4142434412343
34415671
111A A A A +++=
[1(1)]412,3,41123
123
3011
(1)0111
456
456
1000
c i i +-+===- [41(4)]
5511123
11
(1)011(1)(1)36
036
r +-+=
-=------(6(3)) 3.=----=
5. 解方程12222121211111
1
0.n n n
n n
n a a a a a a x a a a =
解：因D =12
1211111112121212(1)(1)1111111
110111
10111n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a x a a a x a a a ------+?+---=---
=122
111121
11111(1)
111n n n n n n n n
a a a x a a a +---?-------
+
12222121111212111111111
n n n n n n n
n
n
n n n
a a a a a a a a a a a a ---?---------
故由D =0可得：
1
(1)n x +=-1222212111121212111121111111111
11111111n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n
a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---?---?---------------
因为
121211
1
11
1
1
2
1
2
1
11111111111
n n n n n n n n n
n
a a a a a a a
a a a
a a ---------=---
=1()n i j j i n
V a a ≤<≤=
-∏
所以(1)
x =-1222212121111111
()
n n n
n
n
n i j j i n
a a a a a a a a a a a ≤<≤-------∏
6. 求出使一平面上三个点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件. 【解】设平面上的直线方程为
ax +by +c =0 (a ,b 不同时为0)
按题设有
11223
30,0,0,
ax by c ax by c ax by c ++=??
++=??++=? 则以a ,b ,c 为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为
11223
31101
x y x y x y = 上式即为三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件.
习题 二 （A 类）
1. 1. 设A =121221211234??????????，B =432121210101??
??--????--??
， （1） 计算3A -B ，2A +3B ；
（2） 若X 满足A +X =B ，求X ；
（3） 若Y 满足（2A -Y ）+2（B -Y ）=0，求Y .
解：（1）3A -B =3636636333912??????????-432121210101????--????--??=1315828237913-??????????
。
2A +3B =242442422468??????????+1296363630303????--????--??=14138725252165????--??????
。 （2）因A +X =B ，则X =B -A ，即
X =432121210101????--????--??-121221211234???????
???=311140401335-????--????----??。 （3）因为（2A -Y ）+2（B -Y ）=0，所以3Y =2A +2B ，即
Y =23（A +B ）=23（432121210101????--?
???--??+121221211234??????????）=55332020231133??
?????????
=1010
22334
40033222
23
3??
???
??????
???????
。
2. 计算下列矩阵的乘积.
（1）[]11321023????
-??-??????=； （2）
500103120213????
????-????????????
； （3） []32123410????
????????
； （4）
()11
121311
2
321
22
23231
32
333a a a x x x x a a a x a a a x ????
????????????????
； （5） 1112132122
2331
32
33100011001a a a a a a a a a ????????????????????
； （6） 1
2101031010101210
02100230
00
30003????????-?
???????
-????
-????
. 【解】
(1) 32103210;6420963
0-??
??--?
???
-?
?-??
(2)531??
??-????-??
; (3) (10);
(4) 33
222111222333
12211213311323322311
()()()ij i
j
i j a x a x a x a a x x a a x x a a x x a x x
==++++++++=
∑∑
(5)111212132122222331
32
3233a a a a a a a a a a a a +????+????+??
; (6) 1
2520
1240
0430009????-?
???
-??
-??
. 3. 设111111111????=-????-??A ，121131214????=-??????
B ， 求(1)2-AB A ;(2) -AB BA ；(3) 22()()-=-A+B A B A B 吗?
【解】(1) 2422;400024????-=??????AB A (2) 440;531311??
??-=--????--??
AB BA
(3) 由于AB ≠BA ,故(A +B )(A B )≠A 2B 2.
4. 举例说明下列命题是错误的.
(1) 若2
=A O ， 则=A O ； (2) 若2=A A ， 则=A O 或=A E ；
(3) 若AX =AY ，≠A O ， 则X =Y . 【解】
(1) 以三阶矩阵为例，取2001,000000??
??==??????0A A ,但A ≠0
(2) 令110000001-??
??=??????A ,则A 2
=A ,但A ≠0且A ≠E
(3) 令11021,=,0111210110??????
??????=≠=????????????-??????
A Y X 0
则AX =AY ,但X ≠Y .
5. 计算：
（1）3
010001000??????????
；（2）cos sin sin cos k
θθθθ????-??（k 为正整数）； （3）1
01k
λ??
???
?
（k 为正整数）.
解：（1）3
010001000??????????=010001000?????
?????010001000??????????010001000??????????=001000000??????????010001000??
???????? =33000000000???
??=??????O 。 （2）令D k =cos sin sin cos k
θθθ
θ??
?
?-??
（k 为正整数），则当k =2时，
D 2=cos sin sin cos θ
θθθ???
?-??cos sin sin cos θ
θθθ????-??=cos 22sin cos 2sin cos cos 2θ
θθθθθ??
??-??
=cos 2sin 2sin 2cos 2θ
θθθ??
?
?-??
； 设D m =cos sin sin cos m m m m θ
θθ
θ??
?
?-??成立，则
D m +1=cos sin sin cos m m m m θθθ
θ???
?-??
cos sin sin cos θ
θθθ??
??-?
?
=cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos sin sin m m m m m m m m θθθθθθθθθθθθ
θθθθ-+??
?
?---??
=cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)m m m m θθθ
θ++??
?
?-++??
.
故有：D k =cos sin sin cos k
θ
θθθ???
?-??=cos sin sin cos k k k k θ
θθ
θ??
??-??
.
(3) 令D k =1
01k
λ
??
?
???
（k 为正整数），则 当k =2时，有：
D 2=101λ???
???101λ??????=1021λ?????
?；
假设D m =1
01m
λ
???
???=101m λ??
????
成立，则 D m +1=101m λ???
???101λ??????=1
0(1)1m λ????
+??
；
故有101k
λ
???
???=101k λ
??
????
。
6. 设a
b c d b
a d c c d a
b d
c b a ????--?
???
--??
--??
A =，求|A |. 解：由已知条件，A 的伴随矩阵为
22222222()()a b c d b
a d c a
b
c
d a b c d c d a b d
c b a *????--?
?-+++=-+++??
--??
--??
A =A 又因为*
A A =A E ，所以有