初二数学经典题型练习
1.已知:如图, P 是正方形ABCD内点,∠ PAD=∠ PDA= 150.求证:△ PBC是正三角形.
证明如下。
首先, PA=PD,∠ PAD=∠ PDA=(180° - 150°)÷ 2=15°,∠ PAB=90° - 15°=75°。
A D 在正方形 ABCD之外以 AD为底边作正三角形ADQ,连接 PQ,则P
∠P DQ=60°+15°=75°,同样∠ PAQ=75°,又 AQ=DQ,,PA=PD,所以△ PAQ≌△ PDQ,
那么∠ PQA=∠PQD=60°÷ 2=30°,在△PQA中,
B C ∠A PQ=180° - 30° - 75°=75°=∠ PAQ=∠ PAB,于是 PQ=AQ=AB,
显然△ PAQ≌△ PAB,得∠ PBA=∠PQA=30°,
PB=PQ=AB=BC,∠ PBC=90° - 30°=60°,所以△PBC是正三角形。
2.已知:如图,在四边形 ABCD中, AD= BC,M、N 分别是 AB、CD的中点, AD、 BC的延长线交 MN于 E、
F.求证:∠ DEN=∠ F.F
E
证明 : 连接 AC,并取 AC的中点 G,连接 GF,GM.
又点 N为 CD的中点 , 则 GN=AD/2;GN∥ AD,∠GNM=∠ DEM;(1)同理 :GM=BC/2;GM∥ BC,∠ GMN=∠ CFN;(2)
又AD=BC,则 :GN=GM,∠ GNM=∠ GMN故. : ∠ DEM=∠ CFN.
N C
D
A B
M
3、如图,分别以△ABC的 AC和 BC为一边,在△ ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点 P 是 EF
的中点.求证:点P 到边 AB的距离等于AB的一半.
证明:分别过E、 C、 F 作直线 AB 的垂线,垂足分别为M、 O、 N,
在梯形 MEFN中, WE平行 NF
因为 P为 EF 中点, PQ平行于两底
所以 PQ为梯形 MEFN中位线,
D
所以 PQ=( ME+ NF) /2G
C
又因为,角 0CB+角 OBC=90°=角 NBF+角 CBO E
所以角 OCB=角 NBF
P F 而角 C0B=角 Rt=角 BNF
AQB
CB=BF
所以△ OCB全等于△ NBF
△MEA全等于△OAC(同理)
所以 EM= AO, 0B= NF
所以 PQ=AB/2.
4、设 P 是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠ PDA.求证:∠ PAB=∠ PCB.
过点 P作 DA的平行线,过点 A 作 DP的平行线,两者相交于点E;连接 BE
因为 DP2a3a个圆柱形容器的容积为V 立方米,开始用一根小水管向容器内注水,水面高度达到容器高D
A A D
度一半后,改用一根口径为小水管2倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间P t 分。求两
P
根水管各自注水的速度。
解:设小水管进水速度为x,则大水管进水速度为4x。B C 由题意得:
v v t B C
2x 8x
解之得: x 5v 8t
经检验得:
5v
x是原方程解。
8t5v
,大口径水管速度为5v 。
∴小口径水管速度为
8t2t
7.如图 11,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M- 1
),且
P -1
,- 2)为双曲(- 2,(
线上的一点, Q为坐标平面上一动点, PA垂直于 x 轴, QB垂直于 y 轴,垂足分别是A、B.
( 1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;
( 2)当点Q在直线MO上运动时,直线MO上是否存在这样的点Q,使得△ OBQ与△ OAP面积相等如果
存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由;
( 3)如图 12,当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时,作以
OP 、OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ ,求平
行四边形 OPCQ 周长的最小值.
y
y
Q
B Q
B
A
O
AO
x
x
M
M
C
P
P
图
图
1 解:( 1)设正比例函数解析式为
y kx ,将点 ( 2 , 1 )坐标代入得
M
k = ,所以正比例函数解
1 x
2
析式为 y =
2
同样可得,反比例函数解析式为
y =
2
x
(2)当点
Q 在直线 上运动时,
DO
1
设点 Q 的坐标为 Q (m , m) ,
2
于是 S △ OBQ = 1
OB? BQ
1创1
m
m = 1
m 2 ,
2
2
2
4
1
= 1 ,
而
S △OAP = (- 1)? ( 2)
2
所以有, 1
m 2 = 1 ,解得 m
2
4
所以点 Q 的坐标为 Q 1(2 ,1) 和 Q 2 (- 2,- 1)
(3)因为四边形
是平行四边形,所以 = , = ,
OPCQ
OP CQ OQ PC
而点 P ( 1 , 2 )是定点,所以 OP 的长也是定长,所以要求平行四边形
OPCQ 周长的最小值就
只
需求
的最小值.
OQ
因为点 Q 在第一象限中双曲线上,所以可设点
Q 的坐标为
2
Q( n , ) ,
n
由勾股定理可得 OQ 2 = n 2
+ 42 = (n - 2)2
+ 4 ,
2
2 n n
所以当 ( n - )2 = 0 即 n - = 0 时, OQ 2
有最小值 4,
n n
又因为 OQ 为正值,所以 OQ 与 OQ 2 同时取得最小值,
所以 OQ有最小值2.
由勾股定理得OP= 5 ,所以平行四边形OPCQ周长的最小值是
8.如图, P是边长为1的正方形 ABCD对角线 AC上一动点( P 与 A、 C不重合),点 E 在射线 BC上,且
PE=PB.
(1)求证:①PE=PD;②PE⊥PD;
(2)设AP=x, △PBE的面积为y.
①求出 y 关于 x 的函数关系式,并写出x 的取值范围;
②当 x 取何值时, y 取得最大值,并求出这个最大值.
解:( 1)证法一:
① ∵四边形 ABCD是正方形, AC为对角线,
∴BC=DC,∠ BCP=∠ DCP=45°.
∵PC=PC,
∴ △ PBC≌△ PDC(SAS).
A D
∴PB= PD,∠PBC=∠ PDC.
又∵=,P PB PE1
H
∴ PE=PD.
B
2 CE
②( i )当点E在线段BC上( E与B、C不重合 ) 时,
∵PB=PE,
∴ ∠ PBE=∠ PEB,
∴ ∠ PEB=∠ PDC,
∴ ∠ PEB+∠ PEC=∠ PDC+∠ PEC=180°,
∴ ∠ DPE=360°-(∠ BCD+∠ PDC+∠ PEC)=90°,
∴ PE⊥ PD.)
( ii )当点E与点C重合时,点P 恰好在 AC中点处,此时,PE⊥ PD.( iii)当点E在BC的延长线上时,如图.
∵ ∠ PEC =∠ PDC ,∠ 1=∠2,
∴ ∠ DPE =∠ DCE =90°,
∴⊥ .
PE PD
综合( i )( ii )( iii ) , PE ⊥ PD .
( 2)① 过点
P 作 ⊥ ,垂足为 ,则 = .
PF BC F BF FE
∵ AP =x , AC = 2 ,
∴ PC = 2 - x , PF =FC =
2
( 2 x) 1
2
x .
2
2
BF =FE =1- FC =1-( 1
2 x )=
2
x .
2 2
∴△ PBE =· =
2
( 1
2 x )1
x 2
2 x .
S
BF
PF
x
2 2
2
2
即 y
1 x
2 2 x (0
<x < 2 ).
2 2
② y
1 x
2 2 x 1
( x
2 )2 1 .
2
2
2
2 4
∵ a
1
< 0,
2
∴ 当 x
2 时, y 最大值 1 .
2
4
A D
P
B F E C
( 1)证法二:① 过点 P 作 GF ∥ AB ,分别交 AD 、 BC 于 G 、
F . 如图所示 . ∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ 四边形 ABFG 和四边形 GFCD 都是矩形,
A
G
D
△ AGP 和△ PFC 都是等腰直角三角形 .
3
2
P
∴ GD=FCFP , GP=AGBF ,∠ PGD =∠ PFE =90° .
1
又∵ PB =PE ,
B
F E
C
∴ BF =FE , ∴ GP =FE ,
∴ △ EFP ≌△ PGD ( SAS ) .
∴ PE =PD .
② ∴ ∠ 1=∠ 2.
∴ ∠ 1+∠ 3=∠ 2+∠ 3=90° .
∴ ∠ DPE =90° .
∴ PE ⊥ PD .
( 2)①∵ AP =x ,
∴ BF =PG =
2
x , PF =1-
2
x .
2
2
∴△ PBE =· = 2
x ( 1 2 x )
1 x
2 2 x .
S
BF
PF
2
2 2
2
即 y
1 x
2 2 x
(0
<x < 2 ).
2 2
② y
1 x
2 2 x 1
( x
2 )2 1 .
2
2
2
2 4
∵ a
1
< 0,
2
∴ 当 x
2
时, y 最大值
1 .
2
4
9、如图,直线 y=k 1x+b 与反比例函数 y=k2x 的图象交于 A ( 1, 6), B (a , 3)两点.
( 1)求 k 1、 k 2 的值.
( 2)直接写出 k1x+b-k2x > 0 时 x 的取值范围;
( 3)如图,等腰梯形 OBCD 中, BC ∥OD ,OB=CD ,OD 边在 x 轴上,过点 C 作 CE ⊥ OD 于点 E ,CE 和反比例函数的图象交于点 P ,当梯形 OBCD 的面积为 12 时,请判断 PC 和 PE 的大小关系,并说明理由.
10、如图 12,已知直线
1
x 与双曲线 y
k
y(k 0) 交于A,B两点,且点 A 的横坐标为 4 .2x
( 1)求k的值;
( 2)若双曲线y k
(k 0) 上一点C的纵坐标为8,求△AOC的面积;x
( 3)过原点O的另一条直线l交双曲线y k
(k0) 于 P, Q 两点(P点在第一象限),若由点x
A, B, P, Q 为顶点组成的四边形面积为24 ,求点 P 的坐标.
y
A
O x
B
图 12
初二数学总复习 第十六章 分式(分式方程部分) 一、本单元 知识结构图: 二、例题与习题: 1.解方程: (1) 233x x =- (2)1222x x x +=-- (3)263111x x -=-- (4)01 2 142=---x x 2.2008年初我国南方发生雪灾,某地电线被雪压断,供电局的维修队要到30千米远的郊区进行抢修。维修工骑摩托车先走,15分钟后,抢修车装载所需材料出发,结果两车同时到达抢修点。已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍,求两种车的速度。 4.某人往返于A 、B 两地,去时先步行2千米,再乘汽车行10千米,回来时骑自行车,来回所用时间恰好相等.已知汽车每小时比这人步行多走16千米,步行又比骑车每小时少走8千米. 若来回完全乘汽车能节约多少时间?
第十七章 反比例函数 一、本章知识结构图: 二、例题与习题: 1.下面的函数是反比例函数的是 ( ) A . 13+=x y B .x x y 22 += C . 2x y = D .x y 2= 5.某物体对地面的压力为定值,物体对地面的压强p (Pa )与受力面积S (m 2)之间的函数关系如图所示,这一函数表达式为p = . 6.点(231) P m -,在反比例函数1 y x =的图象上,则m = . 7.点(3,-4)在反比例函数k y x = 的图象上,则下列各点中,在此图象上的是( ) A.(3,4) B. (-2,-6) C.(-2,6) D.(-3,-4) 12.对于反比例函数x k y 2 =(0≠k ),下列说法不正确...的是( ) A. 它的图象分布在第一、三象限 B. 点(k ,k )在它的图象上 C. 它的图象是中心对称图形 D. 每个象限,y 随x 的增大而增大 14.已知反比例函数y = x 2 k -的图象位于第一、第三象限,则k 的取值围是( ). ( 第 15 题 ) 2
初二数学试题 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题:本题共14小题,在每小题所给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来.每小题4分,共56分,错选、不选或选出的答案超过一个,均记0分. 1、下列说法中正确的是( ) A. x 的次数是0 B. y 1是单项式 C. 2 1 是单项式 D. a 5 的系数是5 2、下列说法中,不正确的是 ( ) A.单项式中的数字因数叫这个单项式的系数 B.单独一个数或字母也是单项式 C.一个单项式中,所有字母的指数的和叫这个单项式的次数 D.多项式中含字母的单项式的次数即为多项式的次数 3、下列四个图形中,每个小正方形都标上了颜色. 若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样,那么不可能是这一个正方体的展开图的是( ) A . B . C .
4、只含有z y x ,,的三次多项式中,不可能含有的项是 ( ) A.32x B.xyz 5 C.37y - D.yz x 24 1 5、与方程12x x -=的解相同的方程是( ) A 、212x x -=+ B 、21x x =+ C 、21x x =- D 、1 2 x x += 6、把方程112 3 x x --=去分母后,正确的是( ) A 、32(1)1x x --= B 、32(1)6x x --= C 、3226x x --= D 、3226x x +-= 7、某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服,一件赚25%,一件赔25%,在这次交易中,该商人( ) A 、赚16元 B 、赔16元 C 、不赚不赔 D 、无法确定 8、已知线段长3.现延长到点C ,使3.取线段的中点D , 线段的长为( ) A 、4.5 B 、6 C 、7 D 、7.5. 9、在下列单项式中,不是同类项的是( ) A . 2 12 y 和2 B .-3和0 C .2和2 c D .和-8 10、若都是4次多项式, 则多项式的次数为( ) A.一定是4 B.不超过4. C.不低于4. D.一定是8. 11、方程042=-+a x 的解是2-=x ,则a 等于( )
八 年 级 数 学 试 题 姓名: 一、选择题:本大题共12 个小题.每小题4分;共48分. 1.下列方程中是二元一次方程的是 ( ) A. 32=+ y x B. 2 23y x =+ C. 022=-y x D.31-=+y x 2.和数轴上的点一一对应的数是……………………… ( ) A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数 3. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是………………………… ( ) A. 6,8,10 B. 9,12,15 C. 1,2,3 D. 7,24,25 4.如图,所示是直线y kx b =+的图象,那么有( ) A .k >0,b >0 B .k >0,b <0 C .k <0,b <0 D .k <0,b >0 5.多边形的每个外角都是36°,则它的边数是( ). A .15 B .13 C .10 D .7 y 6.抽查初三年级8名学生一周做数学作业用的时间分别为(单位:小时)5,4,6,7,6,6,7,8.这组数据中,中位数为 ( ) A.6 B.6.5 C.7 D.7.5 7.如图所示,△ABC 沿射线AC 的方向平移5厘米后成为△A 'B 'C ' ,则BB ' 的长度是( ) A.10cm B.2.5cm C.5cm D.不能确定 8. 菱形的对角线的长分别为6和8,则它的周长为 ( ) A.5 B.10 C.20 D.40 9.一次函数y kx k =+,不论k 取何非零实数,函数图象一定会过点 ( ) A .(1,1-) B .(-1,0) C .(1,0) D .(1-,1) 10.如图,AOB △中, 30B =o ∠.将AOB △绕点O 顺时针旋转52o 得到A OB ''△,边A B ''与边OB 交于点C (A '不在OB 上),则A CO '∠的度数为( ) A .22o B .52o C .60o D .82o 11.甲、乙两名学生运动的一次函数图象如图所示,图中s 和t 分 别表示与出发地的距离和时间,根据图象可知,快者的速度比慢 者的速度每秒快( ) A .2.5米 B .1.5米 C .2米 D .1米 12.如图,四边形ABCD 是正方形,BF ∥AC ,四边形AEFC 是菱形, 则∠ACF 与∠F 的度 数比是 ( )A .3 B.4 C.5 D.不是整数 A A ' B C O B ' 64 t/秒 12 s/米 O 8
初二数学经典难题 一、解答题(共10小题,满分100分) 1.(10分)已知:如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=15°.求证:△PBC是正三角形.(初二) 2.(10分)已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F. 求证:∠DEN=∠F. 》 3.(10分)如图,分别以△ABC的边AC、BC为一边,在△ABC外作正方形ACDE和CBFG,点P是EF的中点,求证:点P到AB的距离是AB的一半. 4.(10分)设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA. 求证:∠PAB=∠PCB. 5.(10分)P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.
; 6.(10分)一个圆柱形容器的容积为V立方米,开始用一根小水管向容器内注水,水面高度达到容器高度一半后,改用一根口径为小水管2倍的大水管注水.向容器中注满水的全过程共用时间t分.求两根水管各自注水的速度. 7.(10分)(2009?郴州)如图1,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(﹣2,﹣1),且P(﹣1,﹣2)为双曲线上的一点,Q为坐标平面上一动点,PA垂直于x轴,QB垂直于y轴,垂足分别是A、B. (1)写出正比例函数和反比例函数的关系式; (2)当点Q在直线MO上运动时,直线MO上是否存在这样的点Q,使得△OBQ与△OAP面积相等如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由; (3)如图2,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ,求平行四边形 OPCQ周长的最小值. 8.(10分)(2008?海南)如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在线段BC上,且PE=PB. (1)求证:①PE=PD;②PE⊥PD; (2)设AP=x,△PBE的面积为y. 、 ①求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围; ②当x取何值时,y取得最大值,并求出这个最大值.
八年级数学北师大(下)期末测试题(B) 河北饶阳县第二中学郭杏好053900 一、填空题(每题3分,共30分) 2.若-2x+10的值不小于-5,则x的取值范围是_____________. 3.在数据-1,0,4,5,8中插入一数据x,使得该数据组中位数为3,则x=_______.4.如图1,在△ABC中,D、E分别在AC、AB上,且AD∶AB=AE∶AC=1∶2,BC =5,则DE=_______. 图1 9.如图2,在△ABC中,AD是BC边上的中线,BE是AC边上的中线,BE交AD于F,那么AF∶FD=_______. 图2 10.如图3,∠A=40°,∠B=30°,∠BDC=101°,则∠C=_______.
图3 二、选择题(每题3分,共24分) 11.下列说法中错误的是() A.2x<-8的解集是x<-4 B.x<5的正整数解有无数个 C.x+7<3的解集是x<-4 D.x>3的正整数解有无限个 A.1 B.-3 C.2 D.-2 13.下列各式中不成立的是() A.=-B.=x+y C.=D.= 14.两个相似多边形面积之比为1∶2,其周长差为6,则两个多边形的周长分别为() A.6和12 B.6-6和6 C.2和8 D.6+6和6+12 15.下面的判断正确的是() A.若|a|+|b|=|a|-|b|则b=0 B.若a2=b2,则a3=b3 C.如果小华不能赶上7点40分的火车,那么她也不能赶上8点钟的火车 D.如果两个三角形面积不等,那么两个三角形的底边也不等 16.在所给出的三角形三角关系中,能判定是直角三角形的是() A.∠A=∠B=∠C B.∠A+∠B=∠C C.∠A=∠B=30°D.∠A=∠B=∠C A.-B.C.-1 D.1 18.如果a、b、c是△ABC的三条边,则下列不等式中正确的是() A.a2-b2-c2-2ab>0 B.a2-b2-c2-2bc<0
八年级数学经典练习题附答案(因式分解) 因式分解练习题 一、填空题: 2.(a-3)(3-2a)=_______(3-a)(3-2a); 12.若m2-3m+2=(m+a)(m+b),则a=______,b=______; 15.当m=______时,x2+2(m-3)x+25是完全平方式. 二、选择题: 1.下列各式的因式分解结果中,正确的是( ) A.a2b+7ab-b=b(a2+7a) B.3x2y-3xy-6y=3y(x-2)(x+1) C.8xyz-6x2y2=2xyz(4-3xy) D.-2a2+4ab-6ac=-2a(a+2b-3c) 2.多项式m(n-2)-m2(2-n)分解因式等于( ) A.(n-2)(m+m2) B.(n-2)(m-m2) C.m(n-2)(m+1) D.m(n-2)(m-1) 3.在下列等式中,属于因式分解的是( ) A.a(x-y)+b(m+n)=ax+bm-ay+bn B.a2-2ab+b2+1=(a-b)2+1 C.-4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.x2-7x-8=x(x-7)-8 4.下列各式中,能用平方差公式分解因式的是( ) A.a2+b2 B.-a2+b2 C.-a2-b2 D.-(-a2)+b2
5.若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式,那么m的值是( ) A.-12 B.±24 C.12 D.±12 6.把多项式a n+4-a n+1分解得( ) A.a n(a4-a) B.a n-1(a3-1) C.a n+1(a-1)(a2-a+1) D.a n+1(a-1)(a2+a+1) 7.若a2+a=-1,则a4+2a3-3a2-4a+3的值为( ) A.8 B.7 C.10 D.12 8.已知x2+y2+2x-6y+10=0,那么x,y的值分别为( ) A.x=1,y=3 B.x=1,y=-3 C.x=-1,y=3 D.x=1,y=-3 9.把(m2+3m)4-8(m2+3m)2+16分解因式得( ) A.(m+1)4(m+2)2 B.(m-1)2(m-2)2(m2+3m-2) C.(m+4)2(m-1)2 D.(m+1)2(m+2)2(m2+3m-2)2 10.把x2-7x-60分解因式,得( ) A.(x-10)(x+6) B.(x+5)(x-12) C.(x+3)(x-20) D.(x-5)(x+12) 11.把3x2-2xy-8y2分解因式,得( ) A.(3x+4)(x-2) B.(3x-4)(x+2) C.(3x+4y)(x-2y) D.(3x-4y)(x+2y) 12.把a2+8ab-33b2分解因式,得( ) A.(a+11)(a-3) B.(a-11b)(a-3b) C.(a+11b)(a-3b) D.(a-11b)(a+3b) 13.把x4-3x2+2分解因式,得( ) A.(x2-2)(x2-1) B.(x2-2)(x+1)(x-1) C.(x2+2)(x2+1) D.(x2+2)(x+1)(x-1) 14.多项式x2-ax-bx+ab可分解因式为( ) A.-(x+a)(x+b) B.(x-a)(x+b) C.(x-a)(x-b) D.(x+a)(x+b) 15.一个关于x的二次三项式,其x2项的系数是1,常数项是-12,且能分解因式,这样的二次三项式是( ) A.x2-11x-12或x2+11x-12 B.x2-x-12或x2+x-12 C.x2-4x-12或x2+4x-12 D.以上都可以
初二(下册)数学题精选 分式: 一:如果abc=1,求证11++a ab +11++b bc +1 1 ++c ac =1 解: 二:已知a 1+b 1= )(29b a +,则a b +b a 等于多少? 解: 三:一个圆柱形容器的容积为V 立方米,开始用一根小水管向容器内注水,水面高度达到容器高度一半后,改用一根口径为小水管2倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t 分。求两根水管各自注水的速度。 解: 四:联系实际编拟一道关于分式方程228 8+=x x 的应用题。要求表述完整,条件充分并写出解答过程。 解略 五:已知M =222y x xy -、N =2 22 2y x y x -+,用“+”或“-”连结M 、N,有三种不同的 形式,M+N 、M-N 、N-M ,请你任取其中一种进行计算,并简求值,其中x :y=5:2。
解: 反比例函数: 一:一张边长为16cm正方形的纸片,剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示.小矩形的长x(cm)与宽y(cm)之间的函数关系如图2所示: (1)求y与x之间的函数关系式; (2)“E”图案的面积是多少? (3)如果小矩形的长是6≤x≤12cm,求小矩形宽的范围.
二:是一个反比例函数图象的一部分,点(110)A ,,(101)B ,是它的两个端点. (1)求此函数的解析式,并写出自变量x 的取值范围; (2)请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例. 三:如图,⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切,圆心A 和圆心B 都在反比例 函数1 y x 的图象上,则图中阴影部分的面积等于 . 四:如图11,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M (-2,1),且P (1,-2)为双曲线上的一点,Q 为坐标平面上一动点,PA 垂直于 x 轴,QB 垂直于y 轴,垂足分别是A 、B . (1)写出正比例函数和反比例函数的关系式; (2)当点Q 在直线MO 上运动时,直线MO 上是否存在这样的点Q ,使得△ OBQ 与△OAP 面积相等?如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说 明理由;
A P C D B F 初二数学经典几何题型 1.已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD =∠PDA =150 .求证:△PBC 是正三角形. 证明如下。 首先,PA=PD ,∠PAD=∠PDA=(180°-150°)÷2=15°,∠PAB=90°-15°=75°。 在正方形ABCD 之外以AD 为底边作正三角形ADQ , 连接PQ , 则 ∠PDQ=60°+15°=75°,同样∠PAQ=75°,又AQ=DQ,,PA=PD ,所以△PAQ ≌△PDQ , 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°,在△PQA 中, ∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB ,于是PQ=AQ=AB , 显然△PAQ ≌△PAB ,得∠PBA=∠PQA=30°, PB=PQ=AB=BC ,∠PBC=90°-30°=60°,所以△PBC 是正三角形。 2.已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长线交MN 于E 、 F .求证:∠DEN =∠F . 证明:连接AC,并取AC 的中点G,连接GF,GM. 又点N 为CD 的中点,则GN=AD/2;GN ∥AD,∠GNM=∠DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM ∥BC,∠GMN=∠CFN;(2) 又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN. 3、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ,点P 是EF 的中点.求证:点P 到边AB 的距离等于AB 的一半. 证明:分别过E 、C 、F 作直线AB 的垂线,垂足分别为M 、O 、N , 在梯形MEFN 中,WE 平行NF 因为P 为EF 中点,PQ 平行于两底 所以PQ 为梯形MEFN 中位线, 所以PQ =(ME +NF )/2 又因为,角0CB +角OBC =90°=角NBF +角CBO 所以角OCB=角NBF 而角C0B =角Rt =角BNF CB=BF 所以△OCB 全等于△NBF △MEA 全等于△OAC (同理) 所以EM =AO ,0B =NF 所以PQ=AB/2. 4、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA =∠PDA .求证:∠PAB =∠PCB . 过点P 作DA 的平行线,过点A 作DP 的平行线,两者相交于点E ;连接 BE
【常考题】初二数学上期末试题及答案 一、选择题 1.已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm,则下列长度的线段能作为第三边的是( ) A .13cm B .6cm C .5cm D .4m 2.如果a c b d =成立,那么下列各式一定成立的是( ) A .a d c b = B .ac c bd b = C .11a c b d ++= D .22a b c d b d ++= 3.下列因式分解正确的是( ) A .()2211x x +=+ B .()2 2211x x x +-=- C .()()22x 22x 1x 1=-+- D .()2212x x x x -+=-+ 4.下列计算正确的是( ) A .2236a a b b ??= ??? B .1a b a b b a -=-- C .112a b a b +=+ D .1x y x y --=-+ 5.下列运算正确的是( ) A .a 2+2a =3a 3 B .(﹣2a 3)2=4a 5 C .(a+2)(a ﹣1)=a 2+a ﹣2 D .(a+b)2=a 2+b 2 6.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,分别以点A 和B 为圆心,以相同的长(大于12 AB )为半径作弧,两弧相交于点M 和N ,作直线MN 交AB 于点D ,交BC 于点E ,连接CD ,下列结论错误的是( ) A .AD=BD B .BD=CD C .∠A=∠BE D D .∠ECD=∠EDC 7.如图,AE ⊥AB 且AE =AB ,BC ⊥CD 且BC =CD ,请按图中所标注的数据,计算图中实线所围成的面积S 是( ) A .50 B .62 C .65 D .68 8.如图,在Rt ABC ?中,90BAC ∠=?,AB AC =,点D 为BC 的中点,点E 、F 分别在AB 、AC 上,且90EDF ∠=?,下列结论:①DEF ?是等腰直角三角形;②AE CF =;③BDE ADF ??≌;④BE CF EF +=.其中正确的是( )
D C B A 、 B 、 C 、 D 、 数学部分 一、选择题(每小题有且只有一个答案正确,每小题4分,共40分) 1、如图,两直线a ∥b ,与∠1相等的角的个数为(C ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、不等式组x>3 x<4??? 的解集是( A ) A 、3
第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1.转化思想 转化是一种重要的数学思想方法,应用非常广泛,运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题,把生疏的问题转化为熟悉问题,本章很多地方都体现了转化思想,如,分式除法、分式乘法;分式加减运算的基本思想:异分母的分式加减法、同分母的分式加减法;解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程,从而得到分式方程的解等. 2.建模思想 本章常用的数学方法有:分解因式、通分、约分、去分母等,在运用数学知识解决实际问题时,首先要构建一个简单的数学模型,通过数学模型去解决实际问题,经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程,体会分式方程的模型思想,对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义. 3.类比法 本章突出了类比的方法,从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则,从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧,无一不体现了类比思想的重要性,分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程. 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?= ,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m -n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 (一)、分式定义及有关题型 题型一:考查分式的定义(一)分式的概念: 形如 A B (A 、B 是整式,且B 中含有字母,B ≠0)的式子,叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中:y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π,是分式的有: . 题型二:考查分式有意义的条件:在分式中,分母的值不能是零.如果分母的值是零,则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时,下列分式有意义 (1) 44+-x x (2)232+x x (3)122-x (4)3||6--x x (5)x x 11- 题型三:考查分式的值为0的条件: 1、分母中字母的取值不能使分母值为零,否则分式无意义 2、当分子为零且分母不为零时,分式值为零。 【例3】当x 取何值时,下列分式的值为0. (1)31+-x x (2)4 2||2--x x
,AE⊥于EBD交BCAB=AC、如图,1Rt△ABC中,∠BAC=90°,,D是AC的中点,CDE ADB=∠连接ED,求证;∠ D ,P是三角形内一点,PA=3,PB=4ABC,PC=5.求∠2APB度数、。正三角形△ 3、P是等边三角形ABC内一点,∠APC、∠APB、∠BPC之比为5、6、7,以PA,PB,PC为边的三角形三个内角的大小。 求证:AE=CF.的中点,AB为D点AC=BC,,°ACB=90中,∠ABC已知:在三角形、4.DF? ⊥DE
,FAB于且延长线上一点,AD=1/2AC,DE交E5、△ABC中,是BC的中点,D是CA 。求证:DF=EF 6、如图,△ABC和△ADE都是等边三角形,点D在BC边上,AB边上有一点F,且BF=DC, 连接EF、EB. (1)求证:△ABE≌△ACD;(2)求证:四边形EFCD是平行四边形. 答案:1、解:过C作CG⊥AC交AE延长线于G 互余)EAB都与∠GAC(∠DBA=,所以∠F于BD⊥AE∵. °DAB=∠GCA=90又∵AB=CA,∠)≌△GCA(角边角∴△DAB∴∠ADB=∠CGA,AD=CG 又∵AD=DC,所以CD=CG 又∵∠GCE=∠DCE=45°,CE=CE ∴△GCE≌△DCE(边角边) ∴∠CGA=∠CDE ∴∠ADB=∠CDE 2、解:以PA为一边,向外作正三角形APQ,连接BQ,可知 PQ=PA=3,∠APQ=60°, 由于AB=AC,PA=QA,∠CAP+∠PAB=60°=∠PAB+∠BAQ,即:∠CAP=∠BAQ 所以△CAP≌△BAQ 可得:CP=BQ=5, 在△BPQ中,PQ=3,PB=4,BQ=5,由勾股定理,知△BPQ是直角三角形。所以 ∠BPQ=90° 所以∠APB=∠APQ+∠BPQ=60°+90°=150°。 3、解:在AP的一侧以AP长为边作等边△APD,使D位于△ABC外AC边一侧, 易证△ABP≌△ACD(SAS) 因此,CD=PB,PD=PA,△APD就是以AP、BP、CP为边的三角形 设∠APB=5x,∠BPC=6x,∠APC=7x, 由周角为360°,得∠APB+∠BPC+∠APC=18x=360°∴x=20°,
初中数学典型例题100道(二) 选择填空题150道 一.选择题: 7,如图,直线,点A1坐标为(1,0),过点A1作x的垂线交直线于点B1,以原点O为圆心,OB1长为半径画弧交x轴于点A2;再过点A2x的垂线交直线于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画弧交x轴于点A3,…,按此做法进行下去,点A5的坐标为(,). 8,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2.若将此直角三角形的一条直角边BC或AC与x轴重 合,使点A或点B刚好在反比例函数(x>0)的图象上时,设△ABC在第一象限部分的面积分别记做S1、S2(如图1、图2所示)D是斜边与y轴的交点,通过计算比较S1、S2的大小. 9,若不论k为何值,直线y=k(x﹣1)﹣与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点,求a、b、c 的值。 10,如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分,对称轴是直线x=1. ①b2>4ac; ②4a﹣2b+c<0; ③不等式ax2+bx+c>0的解集是x≥3.5; ④若(﹣2,y1),(5,y2)是抛物线上的两点,则y1<y2. 上述4个判断中,正确的是()
A.①② B.①④ C.①③④D.②③④ 二,解答题 4,如图,在平面直角坐标系中,将直线y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后恰好经过B(﹣3,0)及y轴上的C点.若抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),且经过点C,其对称轴与直线BC交于点E,与x轴交于点F. (1)求直线BC及抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,若∠APD=∠ACB,求点P的坐标; (3)在抛物线上是否存在点M,使得直线CM把四边形EFOC分成面积相等的两部分?若存在,请求出直线CM的解析式;若不存在,请说明理由. 5,如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C(0,2),交x轴于点A、B (A点在B点左侧),顶点为D. (1)求抛物线的解析式及点A、B的坐标; (2)将△ABC沿直线BC对折,点A的对称点为A′,试求A′的坐标; (3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使∠BPC=∠BAC?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
F 八年级数学几何经典题【含答案】 1、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长 线交MN 于E 、F . 求证:∠DEN =∠F . 2、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG , 点P 是EF 的中点. 求证:点P 到边AB 的距离等于AB 的一半. 3、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,AE =AC ,AE 与CD 相交于F . 求证:CE =CF . . 4、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,且CE =CA ,直线EC 交DA 延长线于F . 求证:AE =AF . B
5、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点,PF ⊥AP ,CF 平分∠DCE . 求证:PA =PF . 6、平行四边形ABCD 中,设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE =CF .求证:∠DPA =∠DPC . 7如图,△ABC 中,∠C 为直角,∠A=30°,分别以AB 、AC 为边在△ABC 的外侧作正△ABE 与正△ACD ,DE 与AB 交于F 。 求证:EF=FD 。 8如图,正方形ABCD 中,E 、F 分别为AB 、BC 的中点,EC 和DF 相交于G ,连接AG ,求证:AG=AD 。 9、已知在三角形ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上的一点,且BE=AC,延长BE 交AC 与F,求证AF=EF D F E P C B A F P D E C B A
八年级下数学期末检测试卷 莫旗肯河中心校:高玉梅 亲爱的同学,这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获,我们一直投给你信任的目光。请认真审题,看清要求,仔细答题,祝你成功! (本试卷满分120分时间90分钟) 题号一二三四五总分得分 一、精心选一选:(本题共5小题,每小题3分,共15 分.在每题所给出的四个选项中,只有一项 是符合题意的.请把你认为正确的答案的字母代号填写在题目后面的括号内.) 1、反比例函数y=2 x 的图象位于(). A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 2、以下列各组线段作为三角形的三边,其中能够组成直角三角形的是(). A.6,7,8 B.5,6,7 C.4,5,6 D.5,12,13 3、某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验,班平均分和方差 分别为 甲 x=82分, 乙 x=82分,甲2S=245,乙2S=190,那么成绩较为整齐的是(). A、甲班 B、乙班 C、两班一样整齐 D、无法确定 4、下列说法中,正确的是(). A.等腰梯形的对角线互相垂直且相等 B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.两条对角线相等的四边形是矩形; D.正方形的对角线互相垂直且相等5、下列各式中,正确的是(). A、 2 6 2 3 2 2a b a b = ?? ? ? ? ?- B、b a b a + += 1 1 C、b a b a a b - - = - -2 2 D、b a b a b a + + + = 2 2 二、细心填一填(本题共5小题,每小题4分,共20分. 请把结果直接填在题中的横线上.只要你理解正确,仔细运算, 积极思考,相信你一定能行!) 6、平行四边形ABCD中,∠A+∠C=120°,则∠B=______° 7、科学家发现一种病毒的直径为0.000043米,用科学记数法表示为_________________米. 8、若函数 x k y=的图象过点(3,-7),那么这个反比例函数值y随x的增大而 . 9、养鸡专业户王大伯2006年养了2000只鸡,上市前,他随机抽取了10只鸡,称 得重量统计如下表: 根据表中数据可估计这批鸡的总重量为______________kg. 10、如右图,正方形ABCD边长为8,点M在DC上,且DM = 2,N是AC上一动点, 则DN + MN的最小值为 . 评卷人得分 评卷人得分 1 / 5
A P C D B 初二数学经典题型练习 1.已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD =∠PDA =150 .求证:△PBC 是正三角形. 证明如下。 首先,PA=PD ,∠PAD=∠PDA=(180°-150°)÷2=15°,∠PAB=90°-15°=75°。 在正方形ABCD 之外以AD 为底边作正三角形ADQ , 连接PQ , 则 ∠PDQ=60°+15°=75°,同样∠PAQ=75°,又AQ=DQ,,PA=PD ,所以△PAQ ≌△PDQ , 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°,在△PQA 中, ∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB ,于是PQ=AQ=AB , 显然△PAQ ≌△PAB ,得∠PBA=∠PQA=30°, PB=PQ=AB=BC ,∠PBC=90°-30°=60°,所以△PBC 是正三角形。 2.已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长线交MN 于E 、 F .求证:∠DEN =∠F . 证明:连接AC,并取AC 的中点G,连接GF,GM. 又点N 为CD 的中点,则GN=AD/2;GN ∥AD,∠GNM=∠DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM ∥BC,∠GMN=∠CFN;(2) 又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN. 3、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ,点P 是EF 的中点.求证:点P 到边AB 的距离等于AB 的一半. 证明:分别过E 、C 、F 作直线AB 的垂线,垂足分别为M 、O 、N , 在梯形MEFN 中,WE 平行NF 因为P 为EF 中点,PQ 平行于两底
一、填空题(每题2分,共计20分) ⑴用恰当的不等号表示下列关系: ①x的3倍与8的和比y的2倍小:; ②老师的年龄a不小于你的年龄b: . ⑵不等式3(x+1)≥5x—3的正整数解是 ⑶当a 时,不等式(a—1)x>1的解集是x< . ⑷已知x=3是方程—2=x—1的解,那么不等式(2— )x<的解集是 ⑸已知函数y=2x—3,当x 时,y≥0;当x 时,y<5. X+8<4x-1 ⑹若不等式组的解集是x>3,则m的取值范围是 x>m x-a≥0 ⑺已知关于x的不等式组的整数解共有5个,则a的取值范围是 3-2x>-1 2x-a<1 ⑻若不等式组的解集为—1<x<1,那么(a—1)(b—1)的值等于 x-2b>3 ⑼小明用100元钱购得笔记本和钢笔共30件,已知每本笔记本2元,每只钢笔5元.那么小明最多能买只钢笔. 亚洲锦标赛国内重大比赛 金牌10 29 银牌 1 21 铜牌0 10 ⑽20XX年某省体育事业成绩显著,据统计,在有关大赛中获得奖牌数如右表所示(单位:枚)如果只获得1枚奖牌的选手有57人,那么荣获3枚奖牌的选手最多有人. 二、选择题(每题4分,共计40分) ⑾已知“①x+y=1;②x>y;③x+2y;④x2—y≥1;⑤x<0”属于不等式的有个. A.2; B. 3; C.4; D. 5. ⑿如果m
初二数学(上)经典综合大题集锦 1.已知:如图,平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为A(4,0),B(0,-4),P为y轴上B点下方一点,PB=m(m>0),以AP为边作等腰直角三角形APM,其中PM=PA,点M落在第四象限。 (1)求直线AB的解析式; (2)用m的代数式表示点M的坐标; (3)若直线MB与x轴交于点Q,判断点Q的坐标是否随m的变化而变化,写出你的结论并说明理由。
2.如图,已知A (a ,b ),AB ⊥y 轴于B ,且满足a-2 +(b -2)2=0, (1)求A 点坐标; (2)分别以AB ,AO 为边作等边三角形△ABC 和△AOD ,试判定线段AC 和DC 的数量关系和位置关系 (3)过A 作AE ⊥x 轴于E ,F ,G 分别为线段OE ,AE 上的两个动点,满足∠FBG=450,试探究OF+AG FG 的值是否发生变化?如果不变,请说明理由并求其值,如果变化,请说明 理由
3.如图甲,在△ABC 中,∠ACB 为锐角.点D 为射线BC 上一动点,连接AD , 以A 为直角顶点且在直线AD 的右侧作等腰Rt △ADF . (1)如果AB =AC ,∠BAC =90o. ①当点D 在线段BC 上时(与点B 不重合),如图乙,线段CF 、BD 之间的位置关系为 ,数量关系为 . ②当点D 在线段BC 的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成 立,为什么? (2)如果AB ≠AC ,∠BAC ≠90o,点D 在线段BC 上运动. 试探究:当△ABC 的角满足一个什么条件时,CF ⊥BC (点C 、F 重合除外)?直接写出这个条件(不需说明理由),并画出相应图形(画图不写作法). B C A D F 甲 B D C A F 乙 A B C D F 丙
八年级数学经典练习题附答案 ( 因式分解 ) 因式分解练习题 一、填空题: 2.(a -3)(3 -2a)=_______(3 - a)(3 - 2a) ; 12.若 m 2-3m + 2=(m + a)(m + b) ,则 a=______, b=______; 15.当 m=______时, x 2+2(m -3)x + 25 是完全平方式. 二、选择题: 1.下列各式的因式分解结果中,正确的是 ( ) A .a 2b + 7ab -b =b(a 2+ 7a) B .3x 2y -3xy -6y=3y(x -2)(x +1) C .8xyz -6x 2y 2= 2xyz(4 -3xy) D .- 2a 2+4ab - 6ac =- 2a(a +2b - 3c) 2.多项式 m(n -2) - m 2(2 -n) 分解因式等于 ( ) A .(n -2)(m +m 2) B . (n -2)(m -m 2) C .m(n -2)(m +1) D . m(n - 2)(m - 1) 3.在下列等式中,属于因式分解的是 ( ) A .a(x - y) +b(m + n) =ax + bm -ay +bn B . a -2ab +b +1=(a -b) 2 +1 2 2 C .- 4a +9b =( -2a + 3b)(2a +3b) D .x - 7x -8=x(x - 7) -8 2 2 2 4.下列各式中,能用平方差公式分解因式的是 ( ) A .a 2+b 2 B .- a 2+ b 2 C .- a 2-b 2 D .- ( - a 2) + b 2
第十一章全等三角形 一、全等形 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 二、全等三角形 注意:(1)两个三角形全等,互相重合的顶点叫做对应点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。 (2)“能够完全重合”是指在一定的叠放下,能够完全重合。 △ABC与△A′B′C′全等记作△ABC≌△A′B′C′,“≌”读作“全等于”。 注意:(1)两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应的位置上,这样对应的两个字母为端点的线段是对应边;对应的三个字母表示的角是对应角(若用一个字母表示一个角亦是如此)。 (2)对应角夹的边是对应边,对应边的夹角是对应角。 (3)对应边、对应角是对两个三角形而言的,指两条边、两个角的关系,而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系,对边是与角相对的边,对角是与边相对的角。 全等三角形的对应边相等,对应角相等。 (1)三边对应相等的两个三角形全等,简写成“边边边”和“SSS”。 (2)两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”和“SAS”。 (3)两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“角边角”和“ASA”。 (4)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”和“AAS”。 (5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”和“HL”。 注意:SSA、AAA不能识别两个三角形全等,识别两个三角形全等时,必须有边的参与,如果有两边和一角对应相等时,角必须是两边的夹角。 找夹角——SAS (1)已知两边都是直角三角形——HL 找另一边——SSS 找边的对角——AAS (2)已知一边一角找夹角的另一边——SAS 找夹边的另一角——ASA (3)已知两角找夹边——ASA 找其他任意一边——AAS 一个图形与另一个图形的形状一样,大小相等,只是位置不同,我们称这个图形是另一个图形的全等变换,三种基本全等变换:(1)旋转;(2)翻折;(3)平移。 三、角平分线的性质定理及逆定理 1、性质定理:角平分线上的点到角的两边距离相等。 注意:(1)定理作用:a.证明线段相等;b.为证明三角形全等准备条件。 (2)点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度。 2、逆定理:在角的内部,到角的两边距离相等的点在角平分线上。 3、三角形的内心 利用角的平分线的性质定理可以导出:三角形的三个内角的角平分线交于一点,此点叫做三角形的内心,它到三边的距离相等。