2010年10月
“第一款真正的任意多物理场直接耦合分析软件”
COMSOL Multiphysics V4.x操作手册丛书网格剖分用户指南
中仿科技公司(CnTech Co., Ltd.)
2010年10月
前言
COMSOL Multiphysics是一款大型的高级数值仿真软件，由瑞典的COMSOL公司开发，广泛应用于各个领域的科学研究以及工程计算，被当今世界科学家誉为“第一款真正的任意多物理场直接耦合分析软件”，适用于模拟科学和工程领域的各种物理过程。作为一款大型的高级数值仿真软件，COMSOL Multiphysics以有限元法为基础，通过求解偏微分方程（单场）或偏微分方程组（多场）来实现真实物理现象的仿真。COMSOL Multiphysics以高效的计算性能和杰出的多场直接耦合分析能力实现了任意多物理场的高度精确的数值仿真，在全球领先的数值仿真领域里广泛应用于声学、生物科学、化学反应、电磁学、流体动力学、燃料电池、地球科学、热传导、微系统、微波工程、光学、光子学、多孔介质、量子力学、射频、半导体、结构力学、传动现象、波的传播等领域得到了广泛的应用。
在全球各著名高校，COMSOL Multiphysics已经成为讲授有限元方法以及多物理场耦合分析的标准工具；在全球500强企业中，COMSOL Multiphysics被视作提升核心竞争力，增强创新能力，加速研发的重要工具。COMSOL Multiphysics多次被NASA技术杂志选为“本年度最佳上榜产品”，NASA技术杂志主编点评到，“当选为NASA科学家所选出的年度最佳CAE产品的优胜者，表明COMSOL Multiphysics是对工程领域最有价值和意义的产品”。
COMSOL Multiphysics 提供大量预定义的物理应用模式，涵盖声学、化工、流体流动、热传导、结构力学、电磁分析等多种物理场，模型中的材料属性、源项、以及边界条件等都可以是常数、任意变量的函数、逻辑表达式、或者直接是一个代表实测数据的插值函数等。同时，用户也可以自主选择需要的物理场并定义他们之间的相互关系。用户也可以输入自己的偏微分方程（PDEs），并指定它与其它方程或物理之间的关系。
本指南作为COMSOL Multiphysics V4.x操作手册丛书之一，详细介绍了在V4.x版本中，各种网格剖分技巧及使用方法。COMSOL Multiphysics可以创建自由网格、映射网格、扫掠网格、边界层网格等。利用这些网格剖分工具和方法，可以生成三角形和四边形（2D），四面体、六面体、棱柱、棱锥（金字塔）等网格单元，并且可以很方便的从四边形转换成三角形（2D），六面体、棱柱、棱锥转换成四面体（3D），同时还支持自适应网格、网格可视化、装配体的网格剖分等功能。
印刷约定
本书中的印刷约定遵循COMSOL Multiphysics的用户指南中的约定。
其中粗体字表明该段文字确实会出现在COMSOL Multiphysics的程序界面中，例如模型创建器是用户刚打开COMSOL Multiphysics时出现的窗口的标题，选项>选择列表是其中一个菜单项等。
目录
前言 (i)
印刷约定 (ii)
目录 (iii)
第一章网格序列.................................................................................................................................... - 1 -
1.1.新增网格序列............................................................................................................................ - 1 -
1.2.操作网格序列............................................................................................................................ - 1 -第二章网格工具栏................................................................................................................................ - 4 -
2.1.几何实体层数............................................................................................................................ - 4 -
2.2.求解域网格剖分工具................................................................................................................. - 4 -
2.3.边界网格剖分工具..................................................................................................................... - 5 -
2.4.边网格剖分工具 ........................................................................................................................ - 5 -
2.5.其余工具.................................................................................................................................... - 5 -
2.6.几何测量.................................................................................................................................... - 5 -第三章网格特征.................................................................................................................................... - 6 -
3.1.网格操作特征............................................................................................................................ - 7 -
3.2.网格属性特征.......................................................................................................................... - 16 -
3.3.网格剖分案例.......................................................................................................................... - 22 -第四章更多网格技巧.......................................................................................................................... - 24 -
4.1.网格绘图.................................................................................................................................. - 24 -
4.2.网格数统计.............................................................................................................................. - 26 -
4.3.装配体网格剖分 ...................................................................................................................... - 27 -
4.4.自适应网格细化 ...................................................................................................................... - 29 -第五章关于COMSOL与中仿科技..................................................................................................... - 31 -关于COMSOL .................................................................................................................................... - 31 -关于中仿科技 ..................................................................................................................................... - 31 -
第一章网格序列
所谓网格序列，意指通过用户设定的一系列网格剖分指令，最终生成一个用户需求的网格文件，其中用户可以指定网格的类型、尺寸、分布、剖分步骤等。在同一个模型文件中，用户可以指定多个网格序列，生成不同的网格，并在进行计算时选择不同的网格序列有针对性地进行求解器的设定和优化等。
本章说明在COMSOL Multiphysics V4.x中，如何对网格序列进行各种相关的操作。
1.1. 新增网格序列
当在模型树上添加一个新模型时，在网格1节点上默认会添加一个网格序列。通过右键单击模型节点，可以新增更多的网格序列。当模型包含不止一个网格序列时，他们被放置在一个网格节点下。因此要增加新的网格序列，也可以右键单击网格节点，在出现的菜单中点击网格添加新的网格序列。
图 1 两种新增网格序列的方法
1.2. 操作网格序列
在COMSOL Multiphysics中，用户既可以使用缺省的自动剖分方式，一键生成所需的网格文件，也可以采用由点到边、再到面、再到体，或从中间各级几何结构层次到体等多种网格剖分方法。因此，在一个网格序列中，用户可以指定多种网格类型，并在不同的网格类型中分别设定相对应的尺寸大小和分布形式，从而轻松自由地生成各种形式的网格文件。
1.2.1.新增网格类型
可通过以下两种方法新增网格类型：
1. 右键单击模型树的网格节点，在出现的菜单中，添加所需的网格类型。
2. 在网格工具栏中，通过点击快捷方式，添加所需的网格类型。
下图中列出了两种新增方法所对应的典型示意图，其中在右键菜单中，有可供选择的对应于当前几何层次的缺省网格类型，在更多操作子菜单中，则列出了对应于较低的几何层次的网格类型。尺寸、比例、分布，则是不同的网格类型中可以进行设定的参数，将分别在本指南后面加以详解。统计用于计算当前网格文件的数量、大小、自由度、质量等各种结果，导入则用于导入其他网格文件（包括NASTRAN文件格式），清除序列用于清空当前的网格序列，删除用于删除选定的网格类型，重命名则用于重新命名选定的网格类型的名称。
图 2 新增网格类型或特征
1.2.2.编辑和创建网格
在模型树中选择网格类型或特征，在设定窗口修改参数，修改后在对应的网格节点前会出现图标（），表示该特征需要重新创建，使得修改生效。
有以下两种创建方法。
1.在设定窗口单击创建选中的按钮（）或者右键单击对应节点选择创建选中的功能，该方法会创建选定节点以上的所有网格剖分节点特征。
2.在设定窗口单击创建所有的按钮（）或者右键单击网格节点选择创建所有的功能，该方法会创建网格节点中的所有特征。
图形界面窗口显示了网格剖分后的结果，最后创建的网格特征会成为当前网格节点，并且在当前网格节点图标前有一个绿色的四边形方框，如果该方框是灰色的，表示已经对当前网格节点进行了编辑，需要重新创建。
1.2.3.错误和警告
当创建网格节点出现问题时，如果在对应的网格操作中可避免错误，则创建过程将继续，否则停止。并将在对应的网格剖分操作下显示警告或错误提示信息。例如，当创建自由三角形、自由四边形或自由四面体网格时，如果遇到不能剖分某些边界或域，则保留不能剖分区域，转而剖分剩余的，并在对应的网格特征节点下出现黄色图标的警告信息，通过查看警告信息设定窗口可查看出错原因。当不能剖分指定的边界或域时，则直接报错，并给出红色的错误信息，在错误设定窗口可查看错误的原因。
图3警告窗口（左）和错误窗口（右）
1.2.4.删除和禁用网格特征
需要删除网格特征时，右键单击对应的网格节点，选择删除功能即可；禁用网格特征时，右键单击对应的网格节点，选择禁用功能即可，其对应的图标会变成灰色，如果需要激活的话，右键单击选择启用即可。两种操作都将会影响最终的网格文件。
其中禁用功能仅仅用于暂时取消该网格操作，而删除则是永久性地取消操作。
1.2.5.导出网格文件
如果需要导出网格剖分后的结果，右键单击网格节点，选择导出至文件功能，在弹出的窗口中选择保存的路径与文件类型，然后保存。缺省保存的文件格式是：mphbin，即COMSOL的二进制格式的文件。另一种格式是mphtxt，是COMSOL的文本格式的文件。
第二章网格工具栏
COMSOL Multiphysics V4.x版本，大量地采用了右键菜单的表现形式，通过在右键菜单中选择需要的选项，实现各种建模功能。但是这样也带来了较为复杂的操作过程。为此，COMSOL还提供简单快捷的工具栏供用户使用。除了可以通过右键单击创建网格序列并编辑修改外，也可以通过网格工具栏进行网格操作。3D网格序列包含下图的工具栏。
图 4 3D网格剖分工具栏
2.1. 几何实体层数
图5几何实体层数选择
使用选择几何实体层数按钮（），供选择的实体层数有：求解域、边界、边、点，从而可以实现对求解域、边界、边、点的操作。当选择了不同的实体层次后，网格工具栏会有各种对应的表现形式。
2.2. 求解域网格剖分工具
图 6 自由四面体（左）和扫掠（右）网格剖分工具栏
使用自由四面体网格剖分工具（），对选定的求解域剖分非结构化四面体网格，当选择一个指定的网格剖分水平时（例如：较细化），软件自动会在网格节点下添加一个“自由剖分四面体网格”节点，然后在该节点下再添加一个“尺寸”节点，并指定单元尺寸为“较细化”。
使用扫掠网格剖分工具（），操作及实现方法同上述自由剖分四面体网格操作步骤。
2.3. 边界网格剖分工具
图 7边界网格剖分工具
边界网格剖分工具包括：自由三角形网格剖分（），自由四边形网格剖分（），映射网格剖分（），复制面（），其剖分方法同自由四面体网格剖分。 2.4. 边网格剖分工具
图 8边网格剖分工具 边网格剖分工具（）对边进行网格操作，操作步骤同自由四面体网格剖分。
2.5. 其余工具
图 9边界层（左）和转换（右）工具栏
其余工具包括两类：边界层网格（）、转换功能（）。边界层网格剖分在目标边界处于激活的状态下，可对目标边界剖分边界层网格，并在网格节点下添加边界层网格节点。转换功能可以对求解域网格或者边界网格进行转换，并在网格节点下添加转换节点。
2.6. 几何测量 几何测量功能（）可测量体积、面积、长度等，其结果显示在消息窗口下，使用该功能还可以测量端点坐标、两端点距离、实体数目等。
第三章网格特征
COMSOL Multiphysics中的网格剖分过程由网格序列来定义，网格序列包括操作特征和属性特征等。其中，操作特征指的是网格类型、复制网格、细化网格、或转换网格等，而属性特征则是指网格类型所对应的尺寸、分布和比例等。
因此，当创建一个网格时，首先需要定义的是操作特征，用来创建或修改对应几何的网格剖分。然后在操作特征下通常需要增加局部属性特征，可通过右键单击添加局部属性特征，选择的局部属性特征就会出现在操作特征节点下的对应子节点上，而局部属性特征节点会自动覆盖全局属性节点，尤其是当选择同样的目标时。
注意：后续增加的特征中选择的对象的设定，将会自动覆盖前面的定义。
图10网格特征
下述表格列出了网格操作特征与描述：
表1 网格操作特征
下述表格列出了网格属性特征。
表2 网格属性特征
3.1. 网格操作特征
3.1.1.自由四面体网格
右键单击3D网格节点，选择自由剖分四面体网格，可增加自由四面体网格节点，通过右键单击自由剖分四面体网格节点，添加尺寸和分布子节点来控制单元数目，其设定窗口如下：
图11自由剖分四面体网格设定
在域标签下，几何实体层数有如下选项：
保留：对保留的、没有进行网格剖分的域指定非结构化四面体网格剖分。
整个几何：对整个几何进行非结构化四面体网格剖分。
域：在指定域上剖分四面体网格。在选中此项后出现的选择列表中，手动为在绘图窗口手动选择求解域；或所有域，选择所有求解域。
缩放几何：如果x、y、z方向的缩放比例不等于1时，在剖分网格前，软件首先根据缩放因子对几何尺寸进行虚拟缩放，然后再剖分网格，完成后再根据缩放因子反向映射到实际的几何模型中。当几何模型比较薄或者几何尺寸比例差别较大，可能会导致网格剖分失败时，可采用缩放几何功能。
例如，下图为对一个薄板（简化为2D）进行网格剖分时的设定，其中上部的图为比例因子均为1，下部的图为Y方向比例因子为10。
图12薄板的网格
3.1.2.扫掠网格
扫掠网格剖分在3D域上从源面至目标面创建层次化的网格，可定义直线或圆弧扫掠路径，可采用多个相邻的面作为源面（只能有一个目标面）。如果源面在扫掠之前没有剖分网格，软件自动会在扫掠之前创建四边形（或三角形）网格。如果源面为三角形单元，则扫掠后为三棱柱网格；如果源面为四边形单元，则扫掠后为六面体网格。可添加尺寸和分布子节点来控制单元数目，见后面的属性特征说明。
3D几何模型必须满足如下条件才能创建扫掠网格：
1、每个子域被同一个外壳限制，也就是说子域中一定不能包含孔，除非源面和目标面同时包含。
2、一个子域只能有一个目标面。如果扫掠路径是直线或圆形，几个相连的面作为目标面也是允许的。
3、在域拓扑结构中，子域的源面和目标面分布必须相互对应。
4、在域扫掠方向上的截面必须保持拓扑不变性。
图13扫掠网格特征
在域选择菜单下，几何实体层数有如下选项：
保留：对保留的、没有进行网格剖分的域指定非结构化四面体网格剖分。
整个几何：对整个几何进行非结构化四面体网格剖分。
域：在指定域上剖分四面体网格，在选择列表上，选择手动时，在绘图窗口手动选择求解域，也可选择所有域，选择所有求解域。
其它参数的详细描述如下：
源面：指定扫掠网格剖分的源面。
目标面：指定扫掠网格剖分的目标面。
扫掠方法包括如下参数：
面网格剖分方法：指定用于自动创建扫掠网格的源面采用四边形（缺省）网格剖分，或者三角形网格剖分。
扫掠路径计算：用于指定扫掠路径的形状，沿直线扫掠表示在对应的源点和目标点之间，所有的内部网格点都在直线上；沿圆弧扫掠表示在对应的源点和目标点之间，所有的内部网格点都在圆弧上；用插值扫掠表示内部网格点的位置由广义插值程序决定；而默认为自动选项，表明软件自动判断扫掠路径。
目标网格生成：从源变形到目标表示目标网格由源网格通过变形方法得到的；使用刚性变换表示目标网格是由源网格通过刚性变换得到的；确定合适的方法（缺省），表示软件自动选择合适的方法创建目标端网格。
3.1.3.边界层网格
边界层网格是指定边界附近沿着法向进行密集的网格剖分，然后在远离区域进行正常的网格剖分操作。这种网格剖分方法常用于在边界附近存在解的急剧变化的模型中，例如，在流体流动中，沿着无滑动边界上剖分边界层网格可提高相关的网格解析度，提高收敛性。在2D几何模型中，沿着指定的边界剖分指定层数的四边形网格；在3D几何模型中，剖分指定层数的棱柱或六面体网格（由对应的边界上是三角形还是四边形网格确定）。
右键单击选择2D或者3D网格节点，然后选择边界层（），边界层设定窗口如下图：
图14边界层网格设定
在域标签下，几何实体层数有如下选项：
选择整个几何，在整个几何上剖分边界层网格。
选择域，在指定域上剖分边界层网格，在选择列表上，选择手动时，在绘图窗口手动选择求解域，也
可选择所有域，选择所有求解域。
在高级设定中，可设定在相邻边（2D）或相邻边界（3D）在邻接点或边进行网格的分裂时的最小分裂角，以及分裂时每个网格的最大分裂角。即当网格之间的交角超过或等于指定角度时，剖分得到新的网格；以及剖分得到的新网格的角度不得超过指定最大角度。
当添加边界层操作特征后，软件自动在边界层下添加一个子节点：边界层属性，在这里可设定边界层属性特征。当需要更多的边界层属性子节点时，通过右键单击边界层添加，需要注意的是相邻的边界需要设定相等的边界层数，关于边界层属性的更多介绍请参考边界层属性特征。
3.1.
4.自由剖分三角形网格
自由剖分三角形在3D的边界或者2D域上创建非结构化三角形网格，可通过从内置的9级尺寸分布（缺省为正常），或添加尺寸和分布子节点来控制单元数目。
图15 自由剖分三角形网格设定
在边界标签下，几何实体层数有如下选项：
保留：对保留的、没有进行网格剖分的边界指定非结构化三角形网格剖分。
整个几何：对整个几何进行非结构化三角形网格剖分。
边界：在指定边界上剖分三角形网格，在选择列表上，选择手动时，在绘图窗口手动选择边界，也可选择所有边界。
缩放几何：如果x、y、z方向的缩放比例不等于1时，在剖分网格前，软件首先根据缩放因子对几何尺寸进行虚拟缩放，然后再剖分网格，完成后再根据缩放因子反向映射到实际的几何模型中。当几何模型比较薄或者几何尺寸比例差别较大，可能会导致网格剖分失败时，可采用缩放几何功能。
在高级设定中，三角形网格剖分方法有三种：
Delaunay：采用Delaunay算法创建网格。
前沿：采用前沿算法创建网格。
自动：缺省选项为自动，即自动判断最合适的方法创建网格。
3.1.5.自由剖分四边形网格
自由剖分四边形网格在3D的边界或者2D域上创建非结构化四边形网格，添加尺寸和分布子节点来控制单元数目。其参数设定可参考自由剖分三角形网格。
图16 自由剖分四边形网格设定
3.1.6.映射网格剖分
映射网格剖分在3D的边界或者2D域上创建结构化四边形网格，添加尺寸和分布子节点来控制单元数目。其参数设定可参考自由剖分三角形网格。
图17 映射网格设定
使用映射技术，几何必须很规则，通常需要满足下面的条件：
1、每个子域必须至少有四段边界。
2、每个子域必须只能有一组相连的边界限制，也就是中间不能存在其他模型或小孔。
3、子域必须包含单独的顶点或单独的边界。
4、每个子域的形状不能和矩形相差太大。
有些不满足要求的几何模型，修改后可以满足要求。例如，下面的几何模型不满足第2个条件，对象1中存在其他模型和孔，但是添加一些内部边界，将整个几何结构分割成多个规整结构的集合，就可以分别创建映射网格。
图18 映射网格剖分案例
3.1.7.边
边特征在3D边、2D边界、1D域上创建边网格剖分，添加尺寸和分布子节点来控制单元数目。其参数设定可参考自由剖分三角形网格。
图19 边网格剖分设定窗口
在网格节点下，右键单击更多操作>边，添加边网格剖分特征。
3.1.8.复制网格
复制网格功能包括3D求解域上的复制边界网格和2D求解域上的复制边网格功能。可将一个或多个源面（或源边）复制到一个或多个目标面（或目标边），复制网格只能在两个相似的面（或边）之间进行。通过右键单击网格节点，在更多操作选项中，选择复制面或复制边功能。
图20 复制网格设定
3.1.9.转换
对于通过自由四边形网格剖分、映射等生成的四边形网格、扫掠等方法生成棱柱网格等规则网格，可以通过转换的方法，转换成三角形、四面体或金字塔形网格，可参考网格绘图章节的案例。有时候，当用
户进行手动网格剖分时，首先在某些区域产生了这种规则的网格，然后在相邻区域需要进行自由三角形或四面体剖分时，软件会提示错误信息。在这种情况下，需要先将这种网格转换成三角形或四面体后进行后续的网格剖分。
还可以在3D模型下，利用转换功能将由四面体、棱锥（金字塔）、棱柱、六面体单元构成的混合网格转换成纯粹的四面体网格；在2D域上或3D的面上，利用转换功能将四边形网格转换成纯粹的三角形网格，
图21 转换前后网格剖分对比
可在网格节点下，选择更多操作>转换，添加转换功能。
图22 网格转换设定窗口
在转换的设定窗口，首先需要定义的是几何实体层数，有整个几何、域、边界可供选择，其选择方法可参考自由剖分四面体网格。在单元拆分方法选择框中，插入对角边（默认选项）表示将每个四边形单元分割成2个三角形单元，每个六面体单元分割成5个四面体单元；插入中心点表示将每个四边形单元分割成4个三角形单元，每个六面体单元分割成28个四面体单元。两种单元拆分方法都会将每个棱柱单元拆分成3个四面体单元。
3.1.10.细化
使用细化特征通过采用分离单元的方法对网格细化，在2D或者3D网格节点下，选择更多操作>细化添加细化特征。其后果是每一次细化，将由一个边单元分解成两个边单元，其余层次的依此类推。
需要注意的是细化特征仅对最简单的单元起作用，简单单元包括：1D线段单元、2D三角形单元、3D 四面体单元。如果要细化其他形式的单元，需要采用转换功能将其他单元转换成最简单的单元。
图23 细化设定窗口
在几何实体层数中可选择整个几何、域。在细化选项下，可设定细化方法与细化次数。常规细化方法将每个2D单元分割成4个相同形状的三角形单元，将每个3D单元分割成8个相同形状的四面体单元。分离最长的细化方法平分每个单元的最长边，2D几何模型默认采用常规细化方法，3D几何模型默认采用分离最长的细化方法，而对于1D，只能采用常规细化方法，即将每个单元分成2个单元。
在细化方框内的单元标签下，勾选指定边框，输入边框的左下角和右上角坐标，可实现局部细化。3.1.11.参考
使用参考特征可参考模型中其余网格序列的剖分方法，在参考节点下可设置比例属性，剖分更细或更粗的网格。在网格节点下，右键选择更多操作>参考添加参考特征。此功能类似于复制网格的功能，可用于从某个已剖分好的区域，向相似的其他区域进行等比例缩放网格。
图24 参考特征展开前（左图）和展开后（右图）
有限元网格划分的基本原则 划分网格是建立有限元模型的一个重要环节，它要求考虑的问题较多，需要的工作量较大，所划分的网格形式对计算精度和计算规模将产生直接影响。为建立正确、合理的有限元模型，这里介绍划分网格时应考虑的一些基本原则。 1网格数量 网格数量的多少将影响计算结果的精度和计算规模的大小。一般来讲，网格数量增加，计算精度会有所提高，但同时计算规模也会增加，所以在确定网格数量时应权衡两个因数综合考虑。 图1中的曲线1表示结构中的位移随网格数量收敛的一般曲线，曲线2代表计算时间随网格数量的变化。可以看出，网格较少时增加网格数量可以使计算精度明显提高，而计算时间不会有大的增加。当网格数量增加到一定程度后，再继续增加网格时精度提高甚微，而计算时间却有大幅度增加。所以应注意增加网格的经济性。实际应用时可以比较两种网格划分的计算结果，如果两次计算结果相差较大，可以继续增加网格，相反则停止计算。 图1位移精度和计算时间随网格数量的变化 在决定网格数量时应考虑分析数据的类型。在静力分析时，如果仅仅是计算结构的变形，网格数量可以少一些。如果需要计算应力，则在精度要求相同的情况下应取相对较多的网格。同样在响应计算中，计算应力响应所取的网格数应比计算位移响应多。在计算结构固有动力特性时，若仅仅是计算少数低阶模态，可以选择较少的网格，如果计算的模态阶次较高，则应选择较多的网格。在热分析中，结构内部的温度梯度不大，不需要大量的内部单元，这时可划分较少的网格。 2网格疏密 网格疏密是指在结构不同部位采用大小不同的网格，这是为了适应计算数据的分布特点。在计算数据变化梯度较大的部位(如应力集中处)，为了较好地反映数据变化规律，需要采用比较密集的网格。而在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模型规模，则应划分相对稀疏的网格。这样，整个结构便表现出疏密不同的网格划分形式。 图2是中心带圆孔方板的四分之一模型，其网格反映了疏密不同的划分原则。小圆孔附近存在应力集中，采用了比较密的网格。板的四周应力梯度较小，网格分得较稀。其中图b中网格疏密相差更大，它比图a中的网格少48个，但计算出的孔缘最大应力相差1%，而计算时间却减小了36%。由此可见，采用疏密不同的网格划分，既可以保持相当的计算精度，又可使网格数量减小。因此，网格数量应增加到结构的关键部位，在次要部位增加网格是不必要的，也是不经济的。
有限元分析中的二维Delaunay三角网格剖分 摘要 本文从有限元分析出发，引出三角网格剖分的概念。随后着重介绍了二维平面点集的Delaunay三角剖分。给出了一些重要的Delaunay三角形的定理和性质，也体现出了Delaunay三角剖分的优点。接着重点分析了构造二维Delaunay三角形的空洞算法，并用程序完成了它。最后又分析了算法中的不足，并给出论文改进的方法。 关键词：Delaunay三角形，V oronoi图，网格剖分 III
1 第一章绪论 1.1网格剖分的背景 有限元分析是数学的一个分支。其思想是将复杂的问题简单化，然后进行处理。处理办法是将整个研究对象分成一些有限的单元，然后对每个小单元做相应的处理，最后整合起来去逼近原来的整个对象。所以我们可以看到，有限元分析中将单元剖分的越小，得到的近似值就会越逼近真实值。但是往往我们需要处理的对象很复杂，需要的计算量也很大，人工很难完成。在早起年代，这个问题也阻止了有限元分析的发展。 近年来，随着计算机的发展，带动了一些需要大量计算的科学领域的发展。有限元分析就是其中一种，因为当计算机取代人力之后，其快速的计算能力作用愈发凸显，人们只需要控制相应的算法即可。作为最常用的处理手段，被大大的发展了之后，有限元分析也被应用于诸多方面。早期的有限元分析主要应用与航空航天和地质、地球物理方面，现在越来越多的在工程分析计算和计算流体力学中看见。 图 1.1 图 1.2
常见的有限元分析可以分为六大步骤：问题及求解域的定义、求解域的网格剖分、确定状态变量及控制方法、单元推导、总装求解和结果解释。上述步骤又可被分为三大阶段：前置处理、计算求解和后置处理。而在前置处理中网格剖分作为最重要又最复杂的一个步骤，其处理结果制约着有限元的最后逼近结果。 网格剖分有很多形式：二维的主要剖分形状有三角形、四边形，三维的有四面体、六面体。在有限元分析中网格剖分有如下要求： 1、节点合法性。指每个单元的节点最多只能是其他单元的节点或边界点，而不能是内点。 2、单元相容性。指每个单元必须在求解域的内部。 3、良好的单元形状。指每个单元尽量最好是正的，比如二维是正多边形，三维是正多面体。 4、自适应性。是指在剖分域中曲率大或其他参数变化较大的地方剖分越密，单元越小，越平滑或其他参数变化不大的地方单元可以稍微稀疏。这样，既可以提高计算收敛速度，又可以提高逼近精度。 网格剖分的对象越是复杂，剖分的要求越高。对于复杂三维实体，现在还没有成熟的算法。 1.2 网格剖分的发展 网格剖分是几何模型和数值计算之间的桥梁。1974年网格剖分首次被Thompson等人用椭圆方程方法构造出来。之后Steger等人又提出了用双曲型方程来构造出网格。在20世纪90年代，非结构网格和自适应笛卡尔网格等技术相继被提出，大大推动了CFD的发展。 直到如今，网格技术已产生好多方法，非结构网格、结构网格以及自适应网格等，其中最为常用的是非结构网格技术和结构网格技术。 结构网格是指正交的排列规则的网格。它的特点是相邻的节点不需要遍历寻找就可以被计算出来。生成结构网格的方法主要有：贴体坐标法和块结构化网格。 非结构网格和结构网格对应，是指内部节点没有毗邻单元。其主要的方法有阵面、Delaunay三角剖分、四叉树和八叉树法。 本文主要针对于二维平面上的Delaunay三角剖分。 2
由方格网来计算土方量是根据实地测定的地面点坐标（X，Y，Z）和设计高程，通过生成方格网来计算每一个方格内的填挖方量，最后累计得到指定范围内填方和挖方的土方量，并绘出填挖方分界线。 系统首先将方格的四个角上的高程相加（如果角上没有高程点，通过周围高程点内插得出其高程），取平均值与设计高程相减。然后通过指定的方格边长得到每个方格的面积，再用长方体的体积计算公式得到填挖方量。方格网法简便直观，易于操作，因此这一方法在实际工作中应用非常广泛。 用方格网法算土方量，设计面可以是平面，也可以是斜面，还可以是三角网，如图8-38所示。 图8-38 方格网土方计算对话框 1、设计面是平面时的操作步骤： ● 用复合线画出所要计算土方的区域，一定要闭合，但是尽量不要拟合。因为拟合过的曲线在进行土方计算时会用折线迭代，影响计算结果的精度。 ● 选择“工程应用\方格网法土方计算”命令。 ● 命令行提示：“选择计算区域边界线”；选择土方计算区域的边界线（闭合复合线）。● 屏幕上将弹出如图8-38方格网土方计算对话框，在对话框中选择所需的坐标文件；在“设计面”栏选择“平面”，并输入目标高程；在“方格宽度”栏，输入方格网的宽度，这是每个方格的边长，默认值为20米。由原理可知，方格的宽度越小，计算精度越高。但如果给的值太小，超过了野外采集的点的密度也是没有实际意义的。 ● 点击“确定”，命令行提示： 最小高程=XX.XXX ,最大高程=XX.XXX 总填方=XXXX.X立方米, 总挖方=XXX.X立方米 同时图上绘出所分析的方格网，填挖方的分界线(绿色折线)，并给出每个方格的填挖方，每行的挖方和每列的填方。结果如图8-39所示。 图8-39 方格网法土方计算成果图
“第一款真正的任意多物理场直接耦合分析软件” COMSOL Multiphysics V4.x操作手册丛书网格剖分用户指南 中仿科技公司(CnTech Co., Ltd.) 2010年10月
前言 COMSOL Multiphysics是一款大型的高级数值仿真软件，由瑞典的COMSOL公司开发，广泛应用于各个领域的科学研究以及工程计算，被当今世界科学家誉为“第一款真正的任意多物理场直接耦合分析软件”，适用于模拟科学和工程领域的各种物理过程。作为一款大型的高级数值仿真软件，COMSOL Multiphysics以有限元法为基础，通过求解偏微分方程（单场）或偏微分方程组（多场）来实现真实物理现象的仿真。COMSOL Multiphysics以高效的计算性能和杰出的多场直接耦合分析能力实现了任意多物理场的高度精确的数值仿真，在全球领先的数值仿真领域里广泛应用于声学、生物科学、化学反应、电磁学、流体动力学、燃料电池、地球科学、热传导、微系统、微波工程、光学、光子学、多孔介质、量子力学、射频、半导体、结构力学、传动现象、波的传播等领域得到了广泛的应用。 在全球各著名高校，COMSOL Multiphysics已经成为讲授有限元方法以及多物理场耦合分析的标准工具；在全球500强企业中，COMSOL Multiphysics被视作提升核心竞争力，增强创新能力，加速研发的重要工具。COMSOL Multiphysics多次被NASA技术杂志选为“本年度最佳上榜产品”，NASA技术杂志主编点评到，“当选为NASA科学家所选出的年度最佳CAE产品的优胜者，表明COMSOL Multiphysics是对工程领域最有价值和意义的产品”。 COMSOL Multiphysics 提供大量预定义的物理应用模式，涵盖声学、化工、流体流动、热传导、结构力学、电磁分析等多种物理场，模型中的材料属性、源项、以及边界条件等都可以是常数、任意变量的函数、逻辑表达式、或者直接是一个代表实测数据的插值函数等。同时，用户也可以自主选择需要的物理场并定义他们之间的相互关系。用户也可以输入自己的偏微分方程（PDEs），并指定它与其它方程或物理之间的关系。 本指南作为COMSOL Multiphysics V4.x操作手册丛书之一，详细介绍了在V4.x版本中，各种网格剖分技巧及使用方法。COMSOL Multiphysics可以创建自由网格、映射网格、扫掠网格、边界层网格等。利用这些网格剖分工具和方法，可以生成三角形和四边形（2D），四面体、六面体、棱柱、棱锥（金字塔）等网格单元，并且可以很方便的从四边形转换成三角形（2D），六面体、棱柱、棱锥转换成四面体（3D），同时还支持自适应网格、网格可视化、装配体的网格剖分等功能。
有限元网格技巧 1. 引言 有限元法是求解复杂工程问题的一种近似数值解法，现已广泛应用到力学、热学、电磁学等各个学科，主要分析工作环境下物体的线性和非线性静动态特性等性能。 有限元法求解问题的基本过程主要包括：分析对象的离散化?有限元求解?计算结果的处理三部分。 曾经有人做过统计：三个阶段所用的时间分别占总时间的40%~50%、5%及50%~55%。也就是说，当利用有限元分析对象时，主要时间是用于对象的离散及结果的处理。如果采用人工方法离散对象和处理计算结果，势必费力、费时且极易出错，尤其当分析模型复杂时，采用人工方法甚至很难进行，这将严重影响高级有限元分析程序的推广和使用。因此，开展自动离散对象及结果的计算机可视化显示的研究是一项重要而紧迫的任务。 可喜的是，随着计算机及计算技术的飞速发展，出现了开发对象的自动离散及有限元分析结果的计算机可视化显示的热潮，使有限元分析的“瓶颈”现象得以逐步解决，对象的离散从手工到半自动到全自动，从简单对象的单维单一网格到复杂对象的多维多种网格单元，从单材料到多种材料，从单纯的离散到自适应离散，从对象的性能校核到自动自适应动态设计/分析，这些重大发展使有限元分析摆脱了仅为性能校核工具的原始阶段，计算结果的计算机可视化显示从简单的应力、位移和温度等场的静动态显示、彩色调色显示一跃成为对受载对象可能出现缺陷(裂纹等)的位置、形状、大小及其可能波及区域的显示等，这种从抽象数据到计算机形象化显示的飞跃是现在甚至将来计算机集成设计/分析的重要组成部分。 2. 有限元分析对网格剖分的要求 有限元网格生成就是将工作环境下的物体离散成简单单元的过程，常用的简单单元包括：一维杆元及集中质量元、二维三角形、四边形元和三维四面体元、五面体元和六面体元。他们的边界形状主要有直线型、曲线型和曲面型。对于边界为曲线(面)型的单元，有限元分析要求各边或面上有若干点，这样，既可保证单元的形状，同时，又可提高求解精度、准确性及加快收敛速度。不同维数的同一物体可以剖分为由多种单元混合而成的网格。网格剖分应满足以下要求：合法性。一个单元的结点不能落入其他单元内部，在单元边界上的结点均应作为单元的结点，不可丢弃。相容性。单元必须落在待分区域内部，不能落入外部，且单元并集等于待分区域。逼近精确性。待分区域的顶点(包括特殊点)必须是单元的结点，待分区域的边界(包括特殊边及面)被单元边界所逼近。良好的单元形状。单元最佳形状是正多边形或正多面体。良好的剖分过渡性。单元之间过渡应相对平稳，否则，将影响计算结果的准确性甚至使有限元计算无法计算下去。网格剖分的自适应性。在几何尖角处、应力温度等变化大处网格应密，其他部位应较稀疏，这样可保证计算解精确可靠。 3. 现有有限元网格剖分方法 K. Ho-Le 对网格生成算法进行了系统分类，该分类方法可沿用至今，它们是拓扑分解法、结点连元法、网格模板法、映射法和几何分解法五种。目前，主要是上述方法的混合使用及现代技术的综合应用。
网格划分的几种基本处理方法 贴体坐标法： 贴体坐标是利用曲线坐标，并使其坐标线与燃烧室外形或复杂计算区域边界重合，这样所有边界点能够用网格点来表示，不需要任何插值。一旦贴体坐标生成通过变换，偏微分方程求解可以不在任意形状的物理平面上，而在矩形或矩形的组合（空间问题求解域为长方体或它们的组合）转换平面上进行。这样计算与燃烧室外形无关，也与在物理平面上网格间隔无关。 而是把边界条件复杂的问题转换成一个边界条件简单的问题；这样不仅可避免因燃烧室外形与坐标网格线不一致带来计算误差，而且还可节省计算时间和内存，使流场计算较准确，同时方便求解，较好地解决了复杂形状流动区域的计算，在工程上比较广泛应用。 区域法： 虽然贴体坐标系可以使坐标线与燃烧室外形相重合，从而解决复杂流动区域计算问题。但有时实际流场是一个复杂的多通道区域，很难用一种网格来模拟，生成单域贴体网格，即使生成了也不能保证网格质量，影响流场数值求解的效果。因此，目前常采用区域法或分区网格，其基本思想是，根据外形特点把复杂的物理域或复杂拓扑结构的网格，分成若干个区域，分别对每个子区域生成拓扑结构简单的网格。由这些子区域组合而成的网格，或结构块网格。对区域进行分区时，若相邻两个子域分离边界是协调对接，称为对接网格；若相邻两子域有相互重叠部分，则此分区网格称为重叠网格。根据实际数值模拟计算的需要，把整个区域（燃烧室）分成几个不同的子区域，并分别生成网格。这样不仅可提高计算精度，而且还可节省计算机内存，提高收敛精度。但是计算时，必须考虑各区域连接边界处耦合以及变量信息及时、准确地传递问题。处理各个区域连接有多种方法，其中一个办法是在求解各变量时各区域可以单独求解若干次而对压力校正方程．设压力校正值在最初迭代时为零，为了保证流量连续各个区域应同时求解，然后对各个速度和压力进行校正。或者采用在两个区域交界处有一个重叠区，两个区域都对重叠区进行计算，重叠区一边区域内的值，要供重叠区另一边区域求解时用。或通过在重叠内建立两个区域坐标对应关系，实现数据在重叠区内及时传递。如果两个区采用网格疏密分布不相同，要求重叠区二边流量相等。区域法能合理解决网格生成问题，已被大量用来计算复杂形状区域流动。 区域分解法： 对于复杂几何形状的实际燃烧装置，为了保证数值求解流场质量，目前常采用区域分解法。该法基本要点是：根据燃烧室形状特点和流场计算需要，把计算区域分成一个主区域和若干个子区域，对各个区域（块）分别建立网格，并对各个区域分别进行数值求解。区域分解原则是尽量使每个子区域边界简便以便于网格建立，各个子区域大小也尽可能相同，使计算负载平衡有利于平行计算。各区域的网格间距数学模型以及计算方法都可以不同，通常在变量变化梯度大的区域，可以布置较细网格，并采用高阶紊流模型和描述复杂反应的紊流燃烧模型，以便更合理模拟实际流场。对于变量变化不太大区域，可采用较疏的网格和较简单的数学模型，这样可节省计算时间。各子区域的解在相邻子区域边界处通过耦合条件来实现光滑，相邻子区域连接重叠网格或对接网格来实现，在各子区域交界处通过插值法提供各子域求解变量的信息传递，满足各子域流场计算要求通量和动量守恒条件以便实现在交界面处各子域流场解的匹配和耦合，从而取得全流场解。 非结构网格法： 上述各方法所生成的网格均属于结构化网格，其共同特点是网格中各节点排列有序，每个节点与邻点之间关系是固定的，在计算区域内网格线和平面保持连续。特别是其中分区结构网格生成方法已积累了较多经验，计算技术也较成熟，目前被广泛用来构造复杂外形区域
网格剖分之人头——ICEM 先来看看头像的原始几何模型吧，原始文件是影像扫描技术成型的自由曲面蒙皮模型，当然先要把曲面转换成实体格式（这一步对专业的网格平台不是必需），还好，手头先进的三维CAD 程序正好发挥用途，一个简单的操作，便完成了曲面向实体的转变，很显然，这是一个对称体，为了减少工作量，当然，对称化的处理是必须的（见图1、2），对不住了，我只有残忍地把这家伙一劈为二了。 图1 整体头像 图2 对称头像 好了，完成了基本头像几何的边界，接下来的工作应该是几何拓补规划，把脑筋转起来，OK，很快就发现了，整体头像的几何拓补非常简单，几乎就是一个方块+圆柱+切削圆球的组合体（图3、4），麻烦的制造者在于这家伙脑袋上长了眼睛和一个嘴巴，嘴巴是一个洞穴，眼睛也是一个洞穴，显然，最终拓补构造的时候，这个地方可能得多挖两锄头，至少得搞两个坑出来，把多余的“赘肉”给割掉（鼻子很简单，不过就是广阔的平原上冒出一个小山丘，而且和立脸颊面部连接非常光滑，没有凹凸拐点，因此，应该不影响咱们的网格分布构造）。OK，到目前为止，美容手术之前的准备工作已经结束，可以躺到手术床上了。 图3 整体拓补 图4 面部拓补
上了手术台（导入ICEM）,当然首先要做的工作便是一系列“宽衣解带”工作，ICEM里面这个过程称之为几何清理和修复，当然，这一切过程都基本上是自动化的，也有需要手工清理的时候，那种情况的前提是“相貌”长得实在太丑（几何模型太“烂”），不手工打底，实在没有办法。这个头像的几何模型还可以，基本上没有什么多余操作，自动清理就是了，这个过程实在没有啰嗦的必要，大多数网格程序都差不多。接下来，先回顾一下几种典型的几何拓补关系的分块方法（图5），彻底理解了这些分块思路，这个模型就简单了，图6为分块组合方式（几乎是高质量结构化六面体网格的必须方式）——从左到右，依次为圆球挖孔、1/8圆球+1/4圆柱、1/4圆球+1/2圆柱、圆柱、圆球、1/2圆柱+方体，当然，圆球也可异化为椭球体，方体可以异化为梯形体、楔形体、1/8圆球体可以异化为三棱锥体，这些异化体的几何拓补以及分块组合方式是完全相同的，因此图5的几何组合元素具有相当的普适性。图6、7是对应的分块拓补和网格，值得一提的是，最后的网格质量是相当地高。 图5 典型的几何拓补组合形式
奇像记忆法基本原理 奇像记忆法基本原理远古时代，人们就已发现有关记忆的许多规律了。三千多年前的古埃及文献《阿德·海莱谬》有过记载：“我们每天所见到的琐碎的、司空见惯的小事，一般情况下是记不住的，而听到或见到的那些稀奇的、意外的、惊人等的异乎导常的事情，却能长期记忆。这真是神奇的现象!” 现代心理学、神经学揭示：人的大脑各构成的皮层及左右脑是各有分工的，右脑主管空间的、色彩等形象的思维，当碰到与常规不同的信号刺激，细胞异常兴奋，从而留下深刻的记忆痕迹，因此奇特夸张、生动强烈的图像容易产生强烈的记忆印象;而左脑擅长记忆逻辑性强的顺序关联事物。奇像顺序超级记忆法，正是根据现代科学研究成果，充分发挥和结合左右脑的优势，并经过长期实践证明效果令人惊奇的记忆方法。 奇像记忆原理：就是把平凡的、枯燥的事物转化成奇特夸张、生动强烈、顺序关联的图像进行记忆的方法。核心在于联想出奇特的的画面，尽可能地使之新颖独特、荒诞离奇、鲜明生动、超脱现实、违背逻辑，从而留下深刻的印象。 奇象记忆法的四个特征1，清晰性 就是要使奇象的形象尽量清晰、真切，千万不要似是而非、似有非有、朦朦胧胧。刚开始练习时，不要图快，否则不清晰，欲速则不达。
例如，想像飞机的奇象时，我们光想着天空中飞着一架飞机还不够，应该进一步想，天空中飞着一架银灰色的飞机，飞机的银灰色甚至刺痛你的眼睛; 想像树的奇象时，光想着路边有一棵树还不够，你可以想像一棵挂满着果实的大树就在你眼前，那一颗颗金黄色的果子真让你垂涎三尺。 2，运动性 就是要使物体动起来，使其行动有趣。 “体温计”与其静静地放着，不如让它敲击器物，发出声音，而且竟然不会碰碎。 “白云”忽儿像羊群，忽儿像棉花，悠悠地在天上飘动。 事物的平常状态与运动状态的区别是非常显著的，请看下面几组例子： 课桌上有一本书(平常)——课桌上的书向你的头上飞来(运动); 松树边站着一只老虎(平常)——松树边有一只老虎在荡秋千(运动); 3，夸张性 为了使奇象在头脑里形成强烈的深刻的刺激，留下难以忘怀的印象，呈现奇象时就要有意使代表现实形象的奇象，比现实生活中的形象夸大和加深，给大脑带来强烈的刺激。 例如，体温计可以比真的体温计大许多倍，长许多倍，它可以自己飞到患者腋下去测量;苍蝇的个头比真的苍蝇大得多。 请看下面几组例子：
仅作探讨，欢迎拍砖！ 曾经看到师兄一篇大作，将ANSYS和ANSOFT做过南慕容北乔峰的类比，真是崇拜得五体投地，一塌糊涂，屁滚尿流，接二连三，不三不四。个人比较欣赏乔峰大侠，遂，改投ANSOFT门下。想当年ANSYS的APDL用得忒熟无比，想想就此放弃，于心不忍，于是重操APDL。近日，在论坛上看到有人对MAXWELL的网格剖分大发牢骚，甚至还恶言相向，GG我实在看不下去了，于是有此文。 就从网格剖分谈开去。 开篇之前，对比下面两幅图。 图1ANSYS映射网格剖分（APDL如下） /clear /filname,joe_yan,1 /prep7 et,1,solid117 block,0,10,0,10,0,10 mshkey,1 mshape,0,3D aesize,all,1 vmesh,all save 图2ANSOFT MAXWELL网格剖分（自适应剖分）
对比图1、2明眼人一看就知道显然是图1的网格划分优良。于是乎，俗人皆言：“MAXWELL 网格剖分垃圾~~！！” 掌嘴！！我要说。 先声明，本人不是MAXWELL的死忠！个人更偏向于ANSYS的APDL，一看到那黑乎乎一块的经典界面，我就澎湃。即便如此，本人还是坚持MAXWELL的网格剖分很强大。 MAXWELL有两种网格剖分形式，其一，如上图2所示的自适应剖分；其二，手动剖分。其中手动剖分又分为二，其一，选择剖分；其二，内部剖分。其中，选择剖分又分为二，其一，基于长度；其二，基于表层深度。为何一个网格剖分要纠结如斯？我要说，因为MAXWELL 人性化。比如说，为何手动剖分又要分为表层剖分和内部剖分，因为，表层剖分主要是针对集肤效应而言，大家都知道，集肤效应主要集中在导磁体表面，可是如何做到从内到外将网格剖分从疏到密的剖分呢？我们可以采用MAXWELL提供的表层剖分功能。 至此有人又要叫嚣了：“诶，你看，明明ANSYS网格剖分要比ANSOFT网格剖分来的均匀而细致。” 我要说，对！！ 爸特！！！ 针对不同分析，网格也呈现出不一样的规律性。比如说，对于结构分析，那么我们当然希望网格剖分能够均匀，这样计算应力才会准确。而对于流体力学来说，我们则希望网格剖分随着流体的流动方向呈现出渐变变化。而对于电磁场来说，我们则希望，在气隙部分能够划分得密一些，而对于其他对磁场影响不大的环节我们希望网格划分的疏一些，这样，就可以充分利用PC的硬件资源。毕竟，升级电脑花的米不是小数目。 好，如何对MAXWELL进行网格设置？像图2所示那样进行自适应剖分就可以了吗？ 答曰：“你是天才，自适应剖分就可以了。” 如果就此搁笔，我想是个人都会拿砖拍我。好吧。后半句是：“如果你想更完美一些，可以利用MAXWELL的手动剖分功能。不过有利也有弊，手动剖分很大程度上依赖于经验。你懂的~~~” 以下表述将主要借助贴图和文字的形式，换句话说，以下内容将会是图文并茂！ 问题1：MAXWELL在哪里进行手动剖分？ 答：project manager--->mesh operations如下图3 图3
一、基本有限元网格概念 1.单元概述 几何体划分网格之前需要确定单元类型。 单元类型的选择应该根据分析类型、 形状特征、 计算数据特点、精度要求和计算的硬件条件等因素综合考虑。 为适应特殊的分析对象和边界 条件，一些问题需要采用多种单元进行组合建模。 2?单元分类 选择单元首先需要明确单元的类型，在结构中主要有以下一些单元类型： 平面应力单元、 平面应变单元、轴对称实体单元、空间实体单元、板 单元、壳单元、轴对称壳单元、杆单 元、梁单元、弹簧单元、间隙单元、质量单元、摩擦单元、刚体单元和约束单元等。根据不 同的分类方法，上述单元可以分成以 下不同的形式。 3. 按照维度进行单元分类 根据单元的维数特征，单元可以分为一维单元、二维单元和三维单元。 一维单元的网格为一条直线或者曲线。 直线表示由两个节点确定的线性单元。 曲线代表 由两个以上的节点确定的高次单元， 或者由具有确定形状的线性单元。 杆单元、梁单元和轴 对称壳单元属于一维单元，如图 1?图 3所示。 二维单元的网格是一个平面或者曲面，它没有厚度方向的尺寸。这类单元包括平面单元、 轴对称实体单元、板单元、壳单元和复合材料壳单元等，如图 4所示。二 维单元的形状通 常具有三角形和四边形两种， 在使用自动网格剖分时， 这类单元要求的几何形状是表面模型 图1捋果詰柯与一维杆单无犠型（直豉） &2桁舉第构石一隼杆早死撲型（曲线） B3毀姑构与一纯梁单元除世（直疑和呦疚〕
或者实体模型的边界面。采用薄壳单元通常具有相当好的计算效率。
洞丨伍金哉钩和潯壳社电 三维单元的网格具有空间三个方向的尺寸，其形状具有四面体、五面体和六面体，这类单元 包括空间实体单元和厚壳单元，如图5所示。在自动网格划分时，它要求的是几何模型是实 体模型（厚壳单元是曲面也可以）。 图5三址乙勺久和父侬草无 4. 按照插值函数进行单元分类 根据单元插值函数多项式的最高阶数多少，单元可以分为线性单元、二次单元、三次 单元和更高次的单元。 线性单元具有线性形式的插值函数，其网格通常只具有角节点而无边节点，网格边界为直线或者平面。这类单元的优点是节点数量少，在精度要求不高或者结果数据梯度不太大 的情况下，采用线性单元可以得到较小的模型规模。但是由于单元位移函数是线性的，单元 着应力突变，如图6所示。 S6錢41吕节点点单无fu节庖实体羊元
第四章光束传播法基础 第一节数值计算方法 1．电磁场数值计算 它是一种基于麦克斯韦方程组，建立逼近实际工程电磁场问题的连续型的数学模型，（合理的假设）然后采用相应的数值计算方法，经离散化处理，(合适的方法，使离散化的模型既能反映连续型模型的特性，又便于计算机分析)把连续型数学模型转化为等价的离散型数学模型，计算出待求离散数学模型的离散解(数值解)，从而获得相应结果的一种方法。 2.数值方法分类: 时域分析、频域分析。 时域分析：模拟光在波导中的传播过程 频域分析：求解波导模式 时域分析逼真：把原来因为速度太快、结构太小、不可见的现象模拟出来，能够直观地展示。求解：波导连接、耦合、非线性特性、波导模式。 频域分析：光场分布、给定具体结构波导的模式的有效折射率(色散、偏振)、损耗(材料吸收、结构本身导致)等。 问题: 频域结果能否推得时域信息? 反之? 3．常用数值方法简介 (1)有限差分法(频域有限差分法) （20世纪50年代出现）利用划分网格的方法将定解区域离散化为网格离散节点的集合，然后基于差分原理，以各离散点上函数的差商来近似替代该点上的偏导数，这样待求的偏微分方程定解问题可转化为一组相应的差分方程的问题。根据差分方程组，解出各离散点上的待求函数值，即为所求定解问题的离散解，再应用插值方法便可从离散解得到定解问题在整个场域上的近似解。
原理:偏导→差分 方法特点：原理简单、通用性好；对复杂结构，计算量大(矩阵运算)。(频域分析) 适用范围：计算光波导的模式求解。 现状：适用于较简单结构的分析。但有限差分(偏导→差分)法广泛应用于数值方法中 (2) 有限元法 20世纪40年代提出,其在电磁问题方面的应用有约40多年历史。 以变分原理为基础，把所要求解的微分方程转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题。常见方法为把要分析的区域划分为很多三角形(每个三角形成为一个基元)，每个基元内的场用多项式来表达，然后加入不同基元间场的连续条件，就可得到整个横截面的场分布。 特点：较复杂---需要前处理(三角化，剖分)；后处理：（场分布，伪解剔除）（通用性强，精度高）根据该方法对于各种各样的电磁计算问题具有较强的适应能力性，所形成的代数方程矩阵求解容易、收敛性好。 主要缺点： 对于形状和分布复杂的三维问题，由于其变量多和剖分要求细，往往因计算机内存而受到限制。程序设计复杂、计算量较大。 适用范围：求解光波导的模式（有效折射率、色散、双折射、传输损耗等）。 现状：功能最强大的数值方法之一。特别是上世纪90年代出现的矢量有限元方法，完全解决了有限元方法出现的伪解问题，大大降低了有限元法的后处理过程。 有限元光束传播法。 (3)时域有限差分法 时域有限差分法是近年来开始流行的一种数值模拟方法，它通过将麦克斯韦方程在时间空间上离散化的方法实现对电磁波传播的模拟。它能够得到电磁波传输的瞬态（即时域）信息，通过傅里叶变换即可得到相应的频域信息。
有限元网格剖分方法概述 在采用有限元法进行结构分析时，首先必须对结构进行离散，形成有限元网格，并给出与此网格相应的各种信息，如单元信息、节点坐标、材料信息、约束信息和荷载信息等等，是一项十分复杂、艰巨的工作。如果采用人工方法离散对象和处理计算结果，势必费力、费时且极易出错，尤其当分析模型复杂时，采用人工方法甚至很难进行，这将严重影响高级有限元分析程序的推广和使用。因此，开展自动离散对象及结果的计算机可视化显示的研究是一项重要而紧迫的任务。 有限元网格生成技术发展到现在, 已经出现了大量的不同实现方法，列举如下： 映射法 映射法是一种半自动网格生成方法，根据映射函数的不同，主要可分为超限映射和等参映射。因前一种映射在几何逼近精度上比后一种高，故被广泛采用。映射法的基本思想是：在简单区域内采用某种映射函数构造简单区域的边界点和内点，并按某种规则连接结点构成网格单元。也就是根据形体边界的参数方程，利用映射函数，把参数空间内单元正方形或单元三角形(对于三维问题是单元立方体或单元四面体)的网格映射到欧氏空间，从而生成实际的网格。这种方法的主要步骤是，首先人为地把分析域分成一个个简单可映射的子域，每个子域为三角形或四边形，然后根据网格密度的需要，定义每个子域边界上的节点数，再根据这些信息，利用映射函数划分网格。 这种网格控制机理有以下几个缺点： （1）它不是完全面向几何特征的，很难完成自动化，尤其是对于3D区域。 （2）它是通过低维点来生成高维单元。例如，在2D问题中，先定义映射边界上的点数，然后形成平面单元。这对于单元的定位，尤其是对于远离映射边界的单元的定位，是十分困难的，使得对局部的控制能力下降。 （3）各映射块之间的网格密度相互影响程度很大。也就是说，改变某一映射块的网格密度，其它各映射块的网格都要做相应的调整。 其优点是：由于概念明确，方法简单，单元性能较好，对规则均一的区域，适用性很强，因此得到了较大的发展，并在一些商用软件如ANSYS等得到应用。 2 。拓扑分解法 拓扑分解法较其它方法发展较晚, 它首先是由Wordenwaber提出来的。该方法假设最后网格顶点全部由目标边界顶点组成, 那么可以用一种三角化算法将目标用尽量少的三角形完全分割覆盖。这些三角形主要是由目标的拓扑结构决定, 这样目标的复杂拓扑结构被分解成简单的三角形拓扑结构。该方法生成的网格一般相当粗糙, 必须与其它方法相结合, 通过网格加密等过程, 才能生成合适的网格。该方法后来被发展为普遍使用的目标初始三角化算法, 用来实现从实体表述到初始三角化表述的自动化转换。 单一的拓扑分解法因只依赖于几何体的拓扑结构使网格剖分不理想，有时甚至很差。 3．连接节点法 这类方法一般包括二步：区域内布点及其三角化。早期的方法通常是先在区域内布点, 然后再将它们联成三角形或四面体, 在三角化过程中, 对所生成的单元形状难于控制。随着Delaunay三角化(简称为DT ) 方法的出现, 该类方法已成为目前三大最流行的全自动网格生成方法之一。 DT法的基本原理：任意给定N个平面点Pi(i=1,2,…,N)构成的点集为S，称满足下列条件的点集Vi为Voronoi多边形。其中，Vi满足下列条件： Vi ={ X：|X- Pi|(|X- Pj|,X(R2,i(j,j=1,2,…,N }Vi为凸多边形，称{ Vi}mi=1为Dirichlet Tesselation
1) 网格区间的确定: 就是指你的网格的最高价和最低价, 确定个总网格很容易的: 高点就是大概６０００点时候的历 史最高价, 最低点的参考有几个:a.大盘跌到１５００点你手的股票是多少钱？ b.既然是好股票，跌到１－２倍净资产（具体看行业,净资产收益率）左右，你买了就是白捡了金子．c. 比这两天的最低价再跌去：４０－５０％．．．．上面这三种情况是最坏的了吧？这三种情况下的价格（三种方法计算的差不多）就算做网格的最低点吧．总网格的最低最高还是很容易的吧？如果你想做很长期的打算，或者一点风险也不想有，可以简单的用总网格来操作就行．．．．现在有了点问题：用总网格两点小遗憾：最好最坏的情况你都考虑到了，有得就必有失：市场总是离你的最高点差的远，你手里的大部分筹码就没参与交易少赚很多．同样：如果市场离你留的最低点也差的远，你就浪费了很多资金．．．所以：拿起剪刀吧，上下各剪去一块，以提高操作效率．．．上面：看今年５月上半月(3780点)你手里的股票的最高价．那个左右估计未来半年到一年不会超过的．把那个价格多点算最高价格吧，如果你对后市看好，就稍留多点，但是：剪掉一大块肯定是要做的．下面：把你预留的比这两天的最低价格跌４０－５０％＜改成：比这两天最低价：跌：20-30%.....做完了这些:你的网格从最高到最低少了一半了吧？举例：某基金重仓的白马股代码Ａ：６０００点的时候最高是：35.00..... 五月上半月最高是: 20.. 这两天最低点是: 12.00, 每股净资产
是; 8.00.,这个例子算是很有代表性的吧?.... 总网格就是:８．００－３５．００....实际操作空间我建议使用： １０．００－２２．００........ ２）怎么画网格：就是把你确定的操作区间画分成几十格．．两个原则：a: ...510050等ＥＴＦ每两格之间的间隔：2.5%,, 银行等权重股: 3%左右, 一般绩优股: 4%左右, 活跃的中小盘股: 5%左右... b: 网格的数目:最少不少与15格,最多不要超过30格. 20格左右是最好的....画网格的时候注意上面两原则的平衡.....还有: 均分的话:上下的百分比会有点不同,用最简单的办法就好.上面的间隔大点,下面小点就是....,就以上面的股票A为例吧:..区间１０.００－２２．００(他是一般绩优股): 画20格: 总空间是: ２２－１０＝１２．００，每格就是：１２／２０＝０．６为了照顾上下的利润百分比: １０－１４之间：每两格间隔：就用：０．５吧；１４－１８之间：０．６；１８－２２之间：就：０．７吧．．．．最后：网格密度可能不是很整齐的３％，或者４％．，也可以这样：你想按标准的：4%.最后画了21格.....都没问题....越简单越好.......
一、基本有限元网格概念 1．单元概述?几何体划分网格之前需要确定单元类型.单元类型的选择应该根据分析类型、形状特征、计算数据特点、精度要求和计算的硬件条件等因素综合考虑。为适应特殊的分析对象和边界条件,一些问题需要采用多种单元进行组合建模。? 2.单元分类选择单元首先需要明确单元的类型，在结构有限元分析中主要有以下一些单元类型：平面应力单元、平面应变单元、轴对称实体单元、空间实体单元、板单元、壳单元、轴对称壳单元、杆单元、梁单元、弹簧单元、间隙单元、质量单元、摩擦单元、刚体单元和约束单元等。根据不同的分类方法,上述单元可以分成以下不同的形式。?3。按照维度进行单元分类 根据单元的维数特征，单元可以分为一维单元、二维单元和三维单元。?一维单元的网格为一条直线或者曲线。直线表示由两个节点确定的线性单元。曲线代表由两个以上的节点确定的高次单元,或者由具有确定形状的线性单元。杆单元、梁单元和轴对称壳单元属于一维单元,如图1~图3所示。 ?二维单元的网 格是一个平面或者曲面，它没有厚度方向的尺寸.这类单元包括平面单元、轴对称实体单元、板单元、壳单元和复合材料壳单元等,如图4所示。二维单元的形状通常具有三角形和四边形两种，在使用自动网格剖分时,这类单元要求的几何形状是表面模型或者实体模型的边界面。采用薄壳单元通常具有相当好的计算效率。
??三维单元的网格具有空间三个方向的尺寸，其形状具有四面体、五面体和六面体,这类单元包括空间实体单元和厚壳单元，如图5所示．在自动网格划分时，它要求的是几何模型是实体模型(厚壳单元是曲面也可以）。 ? 4.按照插值函数进行单元分类 根据单元插值函数多项式的最高阶数多少，单元可以分为线性单元、二次单元、三次单元和更高次的单元。 线性单元具有线性形式的插值函数,其网格通常只具有角节点而无边节点，网格边界为直线或者平面.这类单元的优点是节点数量少，在精度要求不高或者结果数据梯度不太大的情况下，采用线性单元可以得到较小的模型规模.但是由于单元位移函数是线性的，单元内的位移呈线性变化,而应力是常数,因此会造成单元间的应力不连续,单元边界上存在着应力突变，如图6所示。
六面体网格剖分算法的研究现状? 李丹金灿刘晓平 合肥工业大学计算机与信息学院可视化与协同计算（VCC）研究室，安徽合肥 230009 摘 要：总结了有限元六面体网格生成方法的研究进展。首先，指出了六面体网格不同于其他网格的优点。其次对当前的主要研究热点——全六面体网格生成进行了阐述。最后简要地探讨了该领域的发展趋势。 关键词：有限元面体网格格生成 Present Situation of Research on Finite Element All-hex Mesh Generation Methods Li Dan Jin Can Liu Xiao-ping VCC Division, School of Computer and Information, Hefei University of Technology, Hefei, 230009, China Abstract: This paper presents the advances of research in all-hex mesh generation for finite element computation. Firstly, the advantages of all-hex mesh different from other meshes are presented. Secondly, the main research fields-all-hex mesh generation are discussed in detail. Finally, the trends of this field are presented briefly. Keywords: Finite Element; all-hex mesh; mesh generation 1 前言 有限元分析是结合工业建模、计算机技术和数值计算而产生的新兴学科。有限元分析的基本过程可以分为三个阶段：有限元模型的建立(工业建模，即前处理)、有限元分析（数值计算）、结果处理和评价(即后处理)。根据专家统计，有限元分析各个阶段所占用的时间分别为：40％~45％的时间用于模型的建立，50％~55％的时间用于结果处理和评定，而 *基金资助：国家自然科学基金(60673028). 作者简介：李丹(1987-), 女, 安徽合肥, 汉族, 硕士研究生, 研究方向为计算机辅助设计; 金灿(1982-), 男, 安徽合肥, 汉族, 博士生, 研究方向为计算机辅助设计; 刘晓平(1964), 男, 山东济南, 汉族, 教授, 博导, 研究方向为建模、仿真与协同计算.
网格和单元的基本概念 前记：首先说明，和一般的有限元或者计算力学的教材不一样，本人也不打算去抄袭别人的著作，下面的连载是一个阶段的学习或者专业感悟集大成，可以说深入浅出，也可以说浅薄之极——如果你认为浅薄，很好，说明我理解透了，也祝贺你理解透了！好了，废话少说，书归正传。 无论是CSD（计算结构力学）、CTD（计算热力学）还是CFD（计算流体动力学）——我们统一称之为工程物理数值计算技术。支撑这个体系的4大要素就是：材料本构、网格、边界和荷载（荷载问题可以理解为数学物理方程的初值问题），当然，如果把求解技术也看作一个要素，则也可以称之为5大要素。网格是一门复杂的边缘学科，是几何拓补学和力学的杂交问题，也是支撑数值计算的前提保证。本番连载不做任何网格理论的探讨（网格理论是纯粹的数学理论），仅限于尽量简单化的应用技术揭秘。 网格出现的思想源于离散化求解思想，离散化把连续求解域离散为若干有限的子区域，分别求解各个子区域的物理变量，各个子区域相邻连续与协调，从而达到整个变量场的协调与连续。离散网格仅仅是物理量的一个“表征符号”，网格是有形的，但被离散对象既可以是有形的（各类固体），也可以是无形的（热传导、气体），最关键的核心在于网格背后隐藏的数学物理列式，因此，简单点说，看得见的网格离散是形式，而看不见的物理量离散才是本质核心。 对计算结构力学问题，网格剖分主要包含几个内容：杆系单元剖分（梁、杆、索、弹簧等）、二维板壳剖分（曲面或者平面单元）、三维实体剖分（非结构化全六面体网格、四面体网格、金字塔网格、结构化六面体网格、混合网格等），计算热力学和计算流体动力学的网格绝大部分是三维问题。对于CAE工程师而言，任何复杂问题域最终均直接表现为网格的堆砌，工程师的任务等同于上帝造人的过程，网格是一个机体，承载着灵魂（材料本构、网格、边界和荷载），求解技术则是一个思维过程。 网格基本要素是由最基本的节点（node）、单元线（edge）、单元面（face）、单元体（body）构成，实质上，线、面、体只不过是为了让网格看起来更加直观，在分析求解过程中，线、面、体本质上并没有起多大的作用，数值离散的落脚点在节点（node）上，所有的物理变量均转化为节点变量实现连续和传递。在所有的CAE环境下，网格的基本要素均可以直接构成，但对于复杂问题而言，这是一个在操作上很难实现的事情，因此，基于几何要素的网格划分技术成为现代网格剖分应用的支点，和网格基本要素完全相同，对应的几何要素分别称之为点（point）、线（curve）、面（surface）和实体（solid）。 数值离散求解器是不能识别几何元素的，要对其添加“饲料”，工程师必须对几何元素进行“精加工”，因此，从这个意义上来说，网格剖分的本质就是把几何要素转换为若干离散的元素组，这些元素组堆砌成形态上近似逼近原有几何域的简单网格集合体。因此，这里说明了一个网格“加工”质量的基本判别标准——和几何元素的拟合逼近程度，理论上，越逼近几何元素的网格质量越好，当然，几何逼近只是一个基本的判别标准，网格质量判别有一系列复杂的标准，后文详细阐述。 本篇将专门解释几个基本概念：点网格；一维线网格；二维三角形面网格、二维四边形面网格；三维四面体网格（tetrahedra）、三维金字塔单元（pyramid）、五面体单元（prism）、三维六面体单元（hexahedra）；结构化网格（structural grid）、非结构化网格（nonstructural grid）、混合网格（blend grid）。需要专门说明的是，网