1杨辉三角概述
1.1 杨辉三角的产生
唐代以来一些数学著作的失传，大概是五代十国分裂战乱所造成的文化后果。到了宋代，雕版印数的发达特别是活字印刷的发明，则给数学著作的保存与流传带来了福音。事实上，整个宋元时期（公元960—1368），重新统一了的中国封建社会发生了一系列有利于数学发展的变化。商业的繁荣、手工业的兴盛以及由此引起的技术进步（四大发明中有三项——指南针、火药和活字印刷是在宋代完成并获得广泛应用），给数学的发展带来新的活力。这一时期涌现的优秀数学家中最卓越的代表，如通常称“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李治、朱世杰等，在世界数学史上占有光辉的地位；而这一时期印刷出版、记载着中国古典数学最高成就的宋元算书，也是世界文化的重要遗产。
北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，他的主要贡献是创造了'贾宪三角'和增乘开方法，增乘开方法即求高次幂的正根法。南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1261年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”（如下图）。在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。
杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。
同时，这也是多项式(a+b)n打开括号后的各个项的二次项系数的规律。因此，杨辉三角第x层第y项直接就是（y nCr x）。我们也不难得到，第x层的所有项的总和为2x-1 (即(a+b)x中a,b都为1的时候) 。上述(a nCr b) 指组合数。
而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是要找规律。
简单的说，就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）的平方=x的平方+2xy+y的平方，这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了。
这就是杨辉三角，也叫贾宪三角，在外国被称为帕斯卡三角。
杨辉三角于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。如图，在贾宪三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式（在此就不做说明了）依次下去。
杨辉三角里面数字排列的规则里面数字排列的规则如下：
1 1 1 1
2 1 1
3 3 1 1
4 6 4 1 1
5 10 10 5 1 1
6 15 20 15 6 1 ………………………………………
第 n 行 1，11-n C ，21-n C ，…，11--r n C ，r n C 1-，…，2
1--n n C ，1 第n +1行 1，1n C ，2n C ， … ，r n C ， … ，1-n n C ，1
………………………………………………… 1.2杨辉三角的构成
如图1，在一块倾斜的木板上钉上一些正六角形的小木块，在它们中间留下一些通道，从上部的漏斗直通到下部的长方框子。 把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层六角板上面，以后，落到第二层中间一个六角板的左边或右边的两个竖直通道里去。
再以后，它又会落到下一层的三个竖直通道之一里面去。 这里，如果要弹子落到最左边的通道里，那末它一定要是从上一层的左边通道里落下来的才行（1个可能情形）；同样，如果要它落在最右边的通道里，它也非要从上一层的右边通道里落下来不可（1个
可能情形）；至于要它落在中间的通道里，那就无论它是从上一层的左边或右边落下来的都成（2个可能情形）。
这样一来，弹子落在第三层（有几个竖直通道就算第几层）的通道里，按左、中、右的次序，分别有1，2，1个可能情形。 不难看出，在再下面的一层（第四层），左、右两个通道都只有1个可能情形（因为只有当弹子是从第三层的左边或右边落下来时才有可能）；而中间的两个通道，由于它们可以接受从上一层的中间和一边（靠左的一个可以接受左边，靠右的一个可以接受右边）掉下来的弹子，所以它们所有的可能情形应该分别是第三层的中间和一边（左边或右边）的可能情形相加，即是3个可能情形。 因此第四层的通道按从左到右的次序，分别有1，3，3，1个可能情形。
照同样的理由类推下去，我们很容易发现一个事实，就是任何一层的左右两边的通道只有一个可能情形，而其他任何一个通道的可能情形，等于它左右肩上两个通道的可能情形相加， 这正是杨辉三角组成的规则。 于是我们知道，第n +1层通道从左到右，
分别有1，1n C ，2n C ， … ，r n C ， … ，1-n n C ，1个可能情形。
我们还可以这样来看上面的结论：如果在倾斜板上做了n +1层通道；从顶上漏斗里
放下1+1
21-+++n n n n C ??C ?C +1颗弹子，让它们自由地落下，掉在下面的n +1个长方框里。
那末分配在各个框子中的弹子的正常数目（按照可能情形来计算），正好是杨辉三角的第n+1行。注意，这是指“可能性”而不是绝对如此。这种现象称为概率现象。 1.3杨辉三角的性质
这个三角形的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数都等于它肩上的两个数相加。 例如2=1+1，3=1+2，4=1+3，6=3+3，…。 其实杨辉三角正就是按照这个规则作成的。
在一般的情形，因为
,
)!
(!!)]([)!(!)!1()!1(!)!
1()!()!1()!1(111?C ?
r n r n ??r n r r n r n ?r n r n r n r n C C r n r
n r n =-=
-+--=---+
---=
+--- 这说明了，上图中的任一数r n C 等于它肩上的两数11--r n C 和r
n C 1-的和。 为了方便起见，我们把本来没有意义的记号0
n C 和n n C 1-令它们分别等于1和0，这样
就可以把刚才得到的结果写成关系式：
,),,2,1(,111??n ?????r ??
C C C r n r n r n ==+---
而称它为杨辉恒等式， 这是杨辉三角最基本的性质。
杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质。 （1）对称性：橫行与首末两端“等距离”的两个数字相等。这一性质可直接由公式
r n n r n C C -=得到。
（2）增减性：前半部分递增，后半部分递减。
（3）最大值：当n 是偶数时，中间一项2n
n
C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n
C
-，
12n n
C
+ 取得最大值。
（4）各行数字的和满足：0122n r n n n n n n C C C C C =++++++ 。
此外，有这个由这些拓展而来的性质还有很多。
（1）杨辉三角的2k -1(k 为整数)的各个数字除去1外都是质数的积。
（2）杨辉三角中若第P 行除去1外，P 整除其余所有的数，则行数P 是质数。 （3）杨辉三角中第M 条斜（从右上到左下）上前N 个数字的和，等于第M+1条斜线上的第N 个数。
（4）根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第M 条斜线（从左上到右下）上前N 个数字的和等于第M+1条斜线上第N 个数。 1.4 对杨辉三角运用规律的总结
加法乘法两原理，贯穿始终的法则。 与序无关是组合，要求有序是排列。 两个公式两性质，两种思想和方法。 归纳出排列组合，应用问题须转化。 排列组合在一起，先选后排是常理。 特殊元素和位置，首先注意多考虑。 不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。 排列组合恒等式，定义证明建模试。 关于二项式定理，中国杨辉三角形。 两条性质两公式，函数赋值变换式。
2杨辉三角的应用
2.1 杨辉三角在数的乘方中的应用 2.1.1 另觅数的平方新算法
我们已知两个数相乘的传统算法，但对于数的平方的计算，受完全平方公式的启发，可以得到一种更简便的方法，下面将通过几个具体例题来详细阐述这种方法。
首先我们来看看完全平方公式：
a2=a2
(a+b)2=a2+b2+2ab
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2bc+2ab+2ac
(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2cd+2bc+2ab+2bd+2ac+2ad
…
下面我们来看一些例子：
例1计算52。
解：52=25 （这根据乘法口诀表就可以得到）
例2计算122 ，892 。
解：我们可以把122和892看成(10+2)2和(80+9)2，由上面的完全平方公式可知：122=(10+2)2=102+22+2×10×2=100+4+2×20 =104+40
892=(80+9)2=802+92+2×80×9=6400+81+2×720 =6481+1440
用竖式计算为:
0 1 0 4
+ 0 4
1 4 4
其中第一行的“0 1”和“0 4”分别是十位数和个位数的平方，各占两个位置，其结果不够两位的就在“十位”位置上放上“0”，再把它们并排排列；第二行的“0 4”为十位数与个位数相乘的2倍，占两个位置，其结果不够两位的就在“十位”位置上放上“0”。再把它们按上面竖式相加就得到了122=144。
同样我们也可以用同样的竖式得出892。
6 4 8 1
+ 1 4 4
7 9 2 1
其中第一行的“64”和“81”分别是十位数和个位数的平方，各占两个位置，再把它们并排排列；第二行的“144”是十位数与个位数乘积的2倍，再按上面的竖式把它们加起来就得出892=7921。
例3 计算7892。
解：同样我们也可以把7892看成（700+80+9)2, 由上面的完全平方公式可知：
(700+80+9)2=7002+802+92+2×80×9+2×700×80+2×700×9
=490000+6400+81+1440+112000+12600=496481+113440+12600
用竖式计算为：
4 9 6 4 8 1
1 1 3 4 4
+ 1 2 6
6 2 2 5 2 1
其中第一行中的数字分别是百位数，十位数和个位数的平方，各占两个位置，再把它们并排排列；第二行中的“44”是个位数与十位数的乘积的2倍的结果后两位数字，占两个位置。把百位上的“1”进到前面去，所以第二行的“113”等于“2×7×8+1”即百位数和十位数的乘积的2倍再加上进到的“1”，把它们并排排列；第三行中的“126”为百位数与个位数乘积的2倍。按上面竖式相加即可得到(789)2=622521。
例4 计算67892。
解：我们同样可以把67892看成(6000+700+80+9)2,由上面的完全平方公式
展开得：
(6000+700+80+9)2
=60002+7002+802+92+2×80×9+2×700×80+2×6000×700+2×700×9+2×6000×80+2×6000×9
=36000000+490000+6400+81+1440+112000+8400000+12600+960000+108000
=36496481+8513440+972600+108000
用竖式计算为：
3 6
4 9 6 4 8 1
8 5 1 3 4 4
9 7 2 6
+ 1 0 8
4 6 0 9 0
5 2 1
其中第一行是每位数的平方，占两个位置，再把它们并排排列；第二行的数字是相邻的两位数相乘的2倍，即“44”是个位数与十位数乘积的2倍的结果的后两位数字，占两个位置，把百位上的“1”进到前面去，“13”是百位数与十位数的乘积的2倍再加上进到的“1”所得的结果的后两位数字，占两个位置，再把百位上的“1”进到前面去，“85”是千位数与百位数的乘积的2倍再加上进到的“1”，再把它们并排排列；第三行的数字隔一个数的两数相乘的2倍，“26”是个位数与百位数的乘积的2倍所得结果后两位数字，占两个位置，把百位上的“1”进到前面去，“97”是千位数与十位数的乘积的2倍再加上进到的“1” ，再把它们并排排列；第四行的数字是隔两个数的两数相乘的2倍。这样按上面竖式相加即可得到67892=46090521。
以此类推，我们可以用同样的方法计算五位数、六位数、七位数、…的平方。
这样我们可以总结出一套计算n位数的平方的新方法，就是把n位数的每个数字的平方并排排列放在第一行，各占两个位置，把不够两位的在“十位”的位置上用“0”补上；
把相邻的两个数乘积的2倍并排放在第二行，各占两个位置，把不够两位的在“十位”的位置上用“0”补上，把多于两位的保留数值的后两位数字，也只能占两个位置，把百位上的数字“1”进到前面去；把隔一个数的两数的乘积的2倍放在第三行，各占两个位置（方法同上）；把隔两个数的两数的乘积的2倍放在第四行，各占两个位置（方法同上）；…… 。这样我们就可以用这种方法计算多位数的平方，而且当n越大时应用这种方法计算起来较传统方法就越快。
2.1.2 杨辉三角在计算两位数的n次方中的应用
虽然我们可以用传统的方法计算两位数的n次方，但是随着次数的增大计算起来就不是那么简单了，下面试着运用杨辉三角的一些知识介绍一种较简洁的新方法。
为了较简便地阐述这个问题，首先我们来看看杨辉三角：
1
1 1 ---------------(a+b)1=a+b
1 2 1 ---------------(a+b)2=a2+2ab+b2
1 3 3 1 ---------------(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
1 4 6 4 1 ---------------(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
…… ……
下面我们一起来看一下两位数的n次方的一些例子。
例1 计算121。
解：由杨辉三角得：
121=(10+2)1=10+2=12 （我们一眼能看出结果）
例2 计算122，892。（计算方法上面己经阐述清楚了）
例3 计算123，893。
解：由杨辉三角得：
123=(10+2)3=103+23+3×10×22+3×102×2=1000+8+120+600
=1008+120+600
893=(80+9)3=803+93+3×80×92+3×802×9=512000+729+19440+172800
=512729+19440+172800
用竖式计算为：
0 0 1 0 0 8
1 2
+ 6
1 7
2 8
其中第一行的“001”和“008”分别是十位数的立方和个位数的立方，各占三个位置，不够三位的用“0”在“百位”和“十位”上补上，再把它们并排排列；第二行是十位数与个位数的平方的乘积的3倍；第三行是十位数的平方与个位数的乘积的3倍，再把它们按上
面竖式相加即可得到123的结果。
同样的可以用竖式计算893为：
5 1 2 7 2 9
1 9 4 4
+ 1 7 2 8
7 0 4 9 6 9
其中第一行的“512”和“729”分别是十位数的立方和个位数的立方列，各占三个位置，再把它们并排排列；第二行是十位数与个位数的平方的乘积的3倍；第三行是十位数的平方与个位数的乘积的3倍，再按上面竖式相加即可得到893的结果。
这样我们也可以总结出计算两位数的立方的方法：把个位数和十位数的立方并排排列放在第一行，各占三个位置，不够三位的用“0”在“百位”或“十位”或“百位”和“十位”上补上；把十位数与个位数的平方的乘积的3倍放在第二行；把十位数的平方与个位数的乘积的3倍放在第三行。再用竖式把它们相加即可得到结果。
而当n=4、5、6…时，我们应如何计算呢？当然再也不需要杨辉三角了，因为当n≥4时我们都可以把它们转化为数的平方或数的平方与数的立方的乘积。例如
347=342×2+3=342×2×343=[(34)2]2×343。
2.2 杨辉三角在数的开方中的应用
宋代以前，大概已有人尝试将《九章算术》中的开方术推广到三次以上情形。但目前有明确记载保留下来的最早的高次开方法是贾宪创造的“增乘开方法”。
贾宪是北宋人，约公元1050年完成一部叫《皇帝九章算术细草》的著作，原书丢失，但其主要内容被南宋数学家杨辉著《详解九章算术》（1261）摘录，因能传世。根据杨辉的摘录，贾宪的高次开方法是以一张成为“开发作法本源”
的图为基础。开方作法本源图（采自《永乐大典》）现称“贾宪三角”或“杨辉三角”，它实
x+n(n=0,1,2…,6) 展开的各项系数。贾宪将左右斜线上的际上是一张二次系数表，即()a
数字1分别称为“积数”和“隅算”，将这两行斜线数字中藏的数字称为“廉”，开几次方，就用相应行的廉；第三行为“二”是开平方的廉；第四行“二、三”是开三次方的廉；第五行“四、六、四”是开四次方的廉，等等。“积”、“隅”、“廉”都是沿用中国古代开方术语。
为了理解贾宪的增乘开方法，我们首先来看一看他是怎样获得“开发作法本源”图中的各廉数的。他在“增乘方求廉法草”中给出的求贾宪三角第七行各数的方法相当于如下程序：
1 1+5=6 第一位（上廉）
1 1+4=5 5+10=15 第二位（二廉）
1 1+3=4 4+6=10 10+10=20 第三位（三廉）
1 1+2=3 3+3=6 6+4=10 5+5=15 第四位（四廉）
1 1+1=
2 2+1=
3 3+1=
4 4+1=
5 5+1=
6 第五位（下廉）
1 1 1 1 1 1 隅算
就是说将隅算1 自下而上增入前位，直到首位为止，就得第一位数字（上廉）；求其它各位数字，自下而上重复刚才的程序，每次低一位为止。这是一种随乘随加的过程，所以叫“增乘法”。贾宪发现，这种增乘法不仅可以用来求“开发作法本源”图中的各廉，而且可以被推广用来直接开方，这就是增乘开方法。下面用杨辉《详解九章算术》中记载的一道例题来说明这种方法。
例1 计算x4=1 336 336的正根。
解：
①令x=10x1,方程变换为：
104x14=1 336 336
②议得首商为3。
③令x1=3+x2,设方程变换为：
a0x24+a1x23+a2x22+a3x2=a4
、a、a、a有下列增乘程序来确定：
其中系数a
即得到减根变换后的方程为：
104x24+12×104x23+54×104x22+108×104x2=526 336
④令x2=10-1x3，方程变换为：
X34+120x33+5400x32+108 000x3=526 336
⑤议得次商（第二次商）为4。
⑥令x3=4+x4，重复以上增乘程序：
由于常数项a4（实）恰好被减尽，整个计算到此为止，我们得到原开方式的精确根x=34。若常数项仍不为零，还可以继续重复增乘程序来求小数后的各位数字。
贾宪增乘开方法，是一个非常有效的和高度机械化的算法，可适用于开任意高次方。这种随乘随加、能反复迭代计算减根变换方程各项系数的方法，与现代通用的“霍纳算法”(1819)已基本一致。而与此方法相联系的“贾宪三角”，在西方文献中则称“帕斯卡三角”(1654)。
2.3 杨辉三角在日常生活中的有趣应用
杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。杨辉三角形所蕴含的数字排列规律，让我们在感受数学美的同时，也体会到它的趣味性和实用性。下面就通过两个实例与读者共享。
例1随着经济的快速发展，越来越多的人加入炒股大军。股票的涨停问题也成为人们的重要谈资。有一天，同事谈到股票涨停时，提出一个问题：要经过几次涨停，股资才能翻一倍？大家知道，股票涨停一次，股资增加了原来的百分之十。构建一个模型：设原来股资为a元，一次涨停后，股资变成a+10%a=(1+0.1)a=1.1a；二次涨停后，股资变成 1.1a+10%×1.1a=1.12a；
如此递推，当n(n∈Z+)次涨停后，股资变成1.1n a元。要经过几次涨停，股资才能翻一倍呢？可以建立以下不等式：1.1n a＞2a，即1.1n＞2。那么，最小正整数n是多少？简单推算：1.11=1.1，1.12=1.21，1.13=1.331，……手边没有计算器，再算下去就有一点复杂了。但观察结果的数字，惊奇的发现前三个的结果与杨辉三角相对应（如图1）。
1 1
1 2 1
1 3 3 1
………………………
（图1）
是否1.14=1.4641呢？结果与计算相同。但当n=5时，出现了两位数的情形，怎么解决？能不能像加法运算一样进位加一变成 1.61051呢？经过验算猜想与答案完全一致。这样求最小正整数n的运算就可以通过观察得到。当n=8时，1.18＞2。也就是经过8次涨停后，股资翻倍。
例 2 在游戏场所经常可以看到这样的弹球游戏：一个小球向下跌落，碰到第一层阻挡物后等可能的向两侧跌落。碰到第二层阻挡物再等可能的向两侧的第三层跌落。如
此下去，小球一直跌到容器底层，根据具体区域获得相应奖品。可以发现，在两端区域的奖品价值远远高于中间区域，怎样解释这一现象呢？下图是一个竖直平面内的弹球游戏。
（图2）
图中的竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相通，若竖直线段有一条的为第一层，有两层的为第二层……以此类推，现求有一颗小球从第一层的通道向下运动跌落到第n+1层第m 个通道里的概率。通过观察可以发现，小球落入第1层第1个通道有1种可能，落入第2个通道也有1种可能。小球落入第2层第1个通道有1种可能，落入第2个通道有2种可能，落入第3个通道有1种可能。落入第3层第1个通道有1种可能，落入第2个通道有3种可能，落入第3个通道有3种可能，落入第4个通道有1种可能……各个通道上的数字如图2所示。
通过观察，各个通道上的数字与杨辉三角形完全一致，由此可以得出第n+1层所有
可能有0122n r n
n n n n n C C C C C =++++++ 种。因此小球从第一层的通道向下运动跌落到
第n+1层第m 个通道里的概率为21n
m n C --。
这样就很清楚的观察到越靠近中间区域小球落入的可能性越大，而两端落入小球的可能性最小。
通过杨辉三角的几个有趣应用，我们可以发现，数学的思维时刻影响着我们的生活。正如浙江师范大学教授张维忠在《文化视野中的数学与数学教育》所说：数学作为一种文化，其文化价值在于它是打开科学大门的钥匙，是科学的语言，是思维的工具，是一种思想方法，更是一种理性的精神。
参考文献
[1] 琚国起.杨辉三角与棋盘形街道走法[J].数学通讯,2007年3期,2007.6.
[2] 李俨,杜石然.中国数学简史[M].北京:科学出版社,1981.08.
[3] 李文林.数学史概论[M].北京:高等教育出版社,2002.8.第二版.
[4] 钱宝琮.中国数学史[M].北京:科学出版社,1981.1.14.
[5] 杨辉.详解九章算法[M].北京:中华书局出版社,1985.第一版.
[6] 章水云.课例:游戏中的数学[J].中学数学教学参考,2006年17期,2006.9.
[7] 卢开澄,卢华明.组合数学[M].计算机科学组合丛书.清华大学出版社，2002.7.第3版.
[8] Singmaster, David, "Repeated Binomial Coefficients and Fibonacci numbers", Fibonacci Quarterly, volume 13, number 4, pages 296—298, 1975.
杨辉三角的规律以及定理 李博洋 摘要杨辉三角中的一些规律 关键词杨辉三角幂二项式 引言 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他所着的《详解九章算法》一书 中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现 在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。我们则来对“杨辉三角”的 规律进行探讨和研究。 内容 1二项式定理与杨辉三角 与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即。 杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。 由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为：121 则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数 为：1331但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。 展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为： 14641似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列： 1(110) 11(111) 121(112) 1331(113)
14641(114) 15101051(115) 1615201561(116) 因此可得出二项式定理的公式为： (a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n 因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把带进了。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。 2杨辉三角的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1(1) 11(1+1=2) 121(1+2+1=4) 1331(1+3+3+1=8) 14641(1+4+6+4+1=16) 15101051(1+5+10+10+5+1=32) 1615201561(1+6+15+20+15+6+1=64) …… 相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂 3杨辉三角中斜行和水平行之间的关系 (1) 1(2)n=1 11(3)n=2 121(4)n=3 1331(5)n=4
杨辉三角形规律 每行数字两边对称每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。 第n行的数字个数为n个。 第n行数字和为2^(n－1)。（2的（n-1）次方） 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个帕斯卡三角形。 将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第2n个斐波那契数。将第2n行第2个数，跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数之和是第2n-1个斐波那契数。 第n行的第1个数为1，第二个数为1×(n-1)，第三个数为1×(n-1)×（n-2）/2，第四个数为1×(n-1)×（n-2）/2×（n-3）/3…依此类推。 两个未知数和的n次方运算后的各项系数依次为杨辉三角的第(n+1)行
杨辉三角在弹球游戏中的应用 如图1的弹球游戏，小球向容器内跌落，碰到第一层挡物后向两侧跌落碰到第二层阻挡物，再向两侧跌落第三层阻挡物，如此一直下跌最终小球落入底层。根据具体地区获的相应的奖品（。 图1 我们来分析一下为什么小球落到不同区域奖品会有如此大的差别？A 区的奖品价值高于D 区，说明小球落入A 区的可能性要比落入D 区的可能性小，转化为数学问题就是小球落入A 区和D 区的概率。小球要落入D 区的情况有两种，有概率知识得： D 1 D 2 就是说，小球落入D 区的概率是等于它肩上两区域概率之和的 2 1，据此小球落入各区的概率为可以按以上方法类推，如下： 2121 1 8381 3213232323232 1 64646641564206415646641 A B C D E F G 图2
杨辉三角考题赏析 “杨辉三角”是我国古代数学的瑰宝．利用杨辉三角不仅讨论了二项展开式的一些性质，杨辉三角本身还包含着许多有趣的规律和性质．正因为如此，以“杨辉三角”为背景的试题在近年的高考或各地模拟题中频频出现，有力地考查了同学们对数据的整理、分析、概括、处理能力和创新思维能力．现采撷几例，与同学们共赏析． 例1 （2004年上海春季高考卷）如图１，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_____行中从左到右第14与第15个数的比为2:3． 解析：由图1我们能发现，第1行中的数是0111C C ，；第2行中的数是 012222C C C ，，；第3行中的数是01233333C C C C ，，，； ；则第n 行中的数是 012n n n n n C C C C ，，，，设第 n 行中从左到右第14与第15个数的比为2:3，则 13142:3n n C C =·，解得34n =． 点评：本题是关于“杨辉三角”的一道高考题．杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系，与排列、组合和概率的关系非常密切．因此，理解和掌握杨辉三角的一些性质，对发现某些数学规律是很有帮 助的． 例2 （2006届全国100所名校示范卷）如图2所示，在杨辉三角中，斜线 AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10， ，记 这个数列的前n 项的和为()S n ，则(16)S 等于（ ）．
A ．144 B ．146 C ．164 D ．461 解析：由图2知，数列中的首项是22C ，第2项是12C ，第3项是23C ，第4项 是13C ，，第15项是29C ，第16项是1 9C ． 因此得121 21211 1223399239(16)()S C C C C C C C C C =++++++=+++2 22239()C C C ++++ 21 123 2223 33923391010()()1164C C C C C C C C C =+++-++++==+-=．故选Ｃ． 点评：本题是杨辉三角与数列结合的一道考题．将数列的各项还原为各二项展开式的二项式系数，并依次应用杨辉三角中数的规律Ｃrn+1＝Ｃr-1n+Ｃrn （即组合数性质2），从而求得数列的和． 例3 （2004年江苏高考模拟卷）观察下列数表，问此表最后一个数是 什么，并说明理由． 解析：因为第一行有100个数，以后每一行都比前一行少一个数，因此共有100行． 通过观察可以得到： 第1行首尾两项之和为101； 第2行首尾两项之和为1012?； 第3行首尾两项之和为21012?， 第4行首尾两项之和为31012?，…… 第99行首尾两项之和为981012?． 因为从第2行开始每一个数字是它肩上两个数字之和，所以最后一个数字即第100行的数字是它肩上第99行首尾两个数字之和即为981012?． 点评：本题是一道以“杨辉三角”为背景的一道考题．通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．
杨辉三角在日常生活中的有趣应用 [摘要]中国古代数学史曾经有代写论 文自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。杨辉三角是中国古代数学家贾宪在公元11世纪发现，并被南宋 数学家杨辉在他的书中所引述，才使我们今天得以了解贾宪在数学上的重大贡献。 [关键词]杨辉三角趣味性日常生活 杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。杨辉三角形所蕴含的数字排列规律，让我们在感受数学美的同时，也体会到它的趣味性和实用性。下面就通过三个实例与读者共享。 例1.随着经济的快速发展，越来越多的人加入炒股大军。股票的涨停问题也成为人们的重要谈资。有一天，同事谈到股票涨停时，提出一个问题：要经过几次涨停，股资才能翻一倍？大家知道，股票涨停一次，股资增加了原来的百分之十。构建一个模型：
设原来股资为a元，一次涨停后，股资变成 a+10%a=(1+)a=；二次涨停后，股资变成 ； 如此递推，当次涨停后，股资变成元。要经过几次涨停，股资才能翻一倍呢？可以建立以下不等式：＞2a，即＞2。那么，最小正整数 n是多少？ 简单推算：，，，……手边 没有计算器，再算下去就有一点复杂了。但观察结果的数字，惊奇的发现前三个的结果与杨辉三角相对应。如图1 是否呢？结果与计算相同。但当 n=5时，出现了两位数的情形，怎么解决？ 能不能像加法运算一样进位加一变成呢？ 经过验算猜想与答案完全一致。这样求最小正整数n的运算就可以通过观察得到。当 n=8时，＞2。也就是经过8次涨停后， 股资翻倍。 例2.在游戏场所经常可以看到这样的 弹球游戏：一个小球向下跌落，碰到第一层阻挡物后等可能的向两侧跌落。碰到第二层阻挡物再等可能的向两侧的第三层跌落。如
精心整理 杨辉三角的规律以及定理 二项式定理与杨辉三角1与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。 2的展开式来探讨。杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)222此代数式的系数为：121 由上式得出：(a+b)+2ab+b＝由此可发现，此代数式的系+3+b+3ab(a+b 的展开式是什么呢？答案为(a+b的展开式。为133但似乎没有什么规律，所以让我们再来看b2+4a展开式为由此又可发现，代数式的系数为+4+b+6464似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1 ) 1(1)11(112) 121(113) 1331(114) 14641(115) 15101051(116) 1615201561(11）1,4,6,4,1,（,1,2,1）（1,3,3,1）1,杨辉三角形的系数分别为：（1,1）,（：所以（）,1,7,21,35,35,21,7,1） （1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,17642547765233 (a+b)=ab+7ab+21a+bb+35a+7abb+35a。b+21a n的次数依次上b-n，n-n 等于a的次数依次下降、n-1、2...n由上式可以看出，(a+b) (2) 方。系数是杨辉三角里的系数。、、升，01 杨辉三角的幂的关系2 精心整理．
精心整理 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1(1) 11(1+1=2) 121(1+2+1=4) 1331(1+3+3+1=8) 14641(1+4+6+4+1=16) 15101051(1+5+10+10+5+1=32) 1615201561(1+6+15+20+15+6+1=64) … 相加得到的数136…刚好，6，…次幂，即杨辉三角行个数之和等n-次 杨辉三角中斜行和水平行之间的关 (1) 1(2)n=1 11(3)n=2 121(4)n=3 1331(5)n=4 14641(6)n=5 15101051n=6 1615201561 把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6
杨辉三角 教学设计思想： 这节课是高三数学（选修II ）的研究性课题，是在高二学过的“二项式定理”的基础上，进一步探讨和研究杨辉三角的性质，实质上就是二项展开式的二项式系数即组合数的性质。 （1）让学生在教师设计的问题情境中，自己根据已经学过的知识去发现问题→提出问题→解决问题，即观察、猜想、归纳杨辉三角横行、竖向、斜向的数字各数之间的大小关系、组合关系及各数字之间的联系等规律。 （2）在学生自主探究知识的发生发展过程中从中体会到数学世界的神奇和有趣，激发他们对数学的热爱之情。培养他们的交流与协作的能力。 （3）通过向他们介绍杨辉三角的有关历史，让他们了解中国古代数学的伟大成就，增强他们的民族自豪感。 教学 目标： 1 使学生了解杨辉及杨辉三角的有关历史，掌握杨辉三角的基本性质，并能认识到中国古代的数学的辉煌成就。 2 让学生在老师的启发下自己去探讨杨辉三角中行、列的数字的特点， 发现杨辉三角的有关的性质，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。 3通过讨论，培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。在交流中培养学生的协作能力，形成探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神，为进一步学习作好准备。 教学过程： 一 引入 今天我们在高二学过的杨辉三角的基础上，进一步探索杨辉三角数字中横 向、竖向、斜向…中蕴含的有趣的数量关系。（幻灯片：出示杨辉三角的前3行，余下的让学生补充完整） 二 杨辉简介 杨辉，中国南宋时期杰出的数学家 和数学教育家。在13世纪中叶活动于 苏杭一带，其著作甚多。其中《详解九章算术》 中的“开方作法本源图”,曾被称为“杨辉三角”， 杨辉指明次系贾宪(约11世纪)所用. 三 探讨杨辉三角的性质 ? ??++++++=++++++=+++++=++++=+++=++=+=+6 43223245665 432234554 3223443 22332 221061520156)(510105)(464)(33)(2)()(1)(b ab b a b a b a b a a b a b ab b a b a b a a b a b ab b a b a a b a b ab b a a b a b ab a b a b a b a b a
/* Name: 杨辉三角算法集锦 Copyright: 始发于goal00001111的专栏；允许自由转载，但必须注明作者和出处Author: goal00001111 Date: 27-11-08 19:04 Description: 分别使用了二维数组，一维数组，队列，二项式公式，组合公式推论和递归方法等9种算法 算法思路详见代码注释——注释很详细，呵呵 */ #include
cout << endl; Fun_6(row); cout << endl; Fun_7(row); cout << endl; Fun_8(row); cout << endl; Fun_9(row); system("pause"); return 0; } //输出n个空格 void PrintBlank(int n) { for (int i=0; i 杨辉三角在二项是中的应用 一、课题：二项式系数的性质（1） 二、教学目标：1．理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2．初步了解用赋值法是解决二项式系数问题； 3．能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力。 三、教学重点、难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用。 四、教学过程： （一）复习： 1．二项式定理，二项展开式的通项及二项式系数． （二）新课讲解： 1．二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，如下表所示： 1()a b +……………………1 1 2()a b +…………………1 2 1 3()a b +………………1 3 3 1 4()a b +……………1 4 6 4 1 5()a b +…………1 5 10 10 5 1 6()a b +………1 6 15 20 15 6 1 ……………………………… 上表叫二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和（为什么？） 这个表早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就已经出现，这个表叫杨辉三角。利用这一性质，可根据相应于n 的各项二项式系数写出相应于1n +的各项二项式系数。 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时， 其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =?， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112 n k n k k -++>?<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值； 当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n n C +取得最大值． （3）各二项式系数和： ∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=++ +++，令1x =， 则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++． 3．例题分析： 例1 在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。 证明：在展开式01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中， 令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n n n n n n C C C C C -=-+-+ +-， 即02130()()n n n n C C C C =++ -++， ∴0213n n n n C C C C ++=++， 研究性课题：杨辉三角 ●教学目标 (一)教学知识点 1.理解杨辉三角的性质 2.掌握有关杨辉三角的基本性质1 1 1C C C ,C C +++-=+=r n r n r n r n n r n . (二)能力训练要求 会应用杨辉三角的基本性质证明杨辉三角新的性质. (三)德育渗透目标 1.培养学生观察问题、分析问题、概括与归纳问题的能力.解决问题能力，让学生在探索过程体验数学活动，数学发现的成功的愉悦. 2.培养学生实际动手操作实践创新的能力，培养学生的创新精神，探索精神和应用能力，鼓励学生大胆猜想，相信科学. ●教学重点 杨辉三角新的性质的探索和发现是教学的重点.杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系，研究和探索杨辉三角的一些性质，对于发现某些数学规律是大有裨益的.对于培养学生的创新思维能力也是不无帮助的. ●教学难点 杨辉三角新的性质的探索和发现是本节课教学难点。 ●教学方法 由于杨辉三角中的许多有趣的数量关系不是轻易发现的，而简单的告诉和求证又显得十分枯燥无味，学生的发现、探索精神和能力的培养受到了一定的限制，所以学生主动探索，发现和证明(失败时总结经验，另寻他路，重新启动，走向成功)的全程的尝试是最为主要的，这样不是被动的接受，而是主动的建构，学生的认知结构得到了较好的发展和培养，他们不仅学会了知识而且还学会了如何面对困难、克服困难，走向成功的高峰的非智力因素的调节作用，要求同学们不仅是个体参与，而且是集体参与，智力参与. ●教具准备 实物投影仪(多媒体课件) ●教学过程 Ⅰ.课题导入 上节课我们学习了杨辉三角中的有关性质，杨辉三角是我国古代数学的研究成果之一，它的发现远早于法国数学家帕斯卡，它和勾股定理，圆周率的计算等其他中国古代数学成就，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能。今天我们继续探索研究杨辉三角的有关性质. Ⅱ.讲授新课 一般的杨辉三角如下表. 1杨辉三角概述 1.1 杨辉三角的产生 唐代以来一些数学著作的失传，大概是五代十国分裂战乱所造成的文化后果。到了宋代，雕版印数的发达特别是活字印刷的发明，则给数学著作的保存与流传带来了福音。事实上，整个宋元时期（公元960—1368），重新统一了的中国封建社会发生了一系列有利于数学发展的变化。商业的繁荣、手工业的兴盛以及由此引起的技术进步（四大发明中有三项——指南针、火药和活字印刷是在宋代完成并获得广泛应用），给数学的发展带来新的活力。这一时期涌现的优秀数学家中最卓越的代表，如通常称“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李治、朱世杰等，在世界数学史上占有光辉的地位；而这一时期印刷出版、记载着中国古典数学最高成就的宋元算书，也是世界文化的重要遗产。 北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，他的主要贡献是创造了'贾宪三角'和增乘开方法，增乘开方法即求高次幂的正根法。南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1261年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”（如下图）。在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。 杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。 同时，这也是多项式(a+b)n打开括号后的各个项的二次项系数的规律。因此，杨辉三角第x层第y项直接就是（y nCr x）。我们也不难得到，第x层的所有项的总和为2x-1 (即(a+b)x中a,b都为1的时候) 。上述(a nCr b) 指组合数。 而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是要找规律。 简单的说，就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）的平方=x的平方+2xy+y的平方，这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了。 这就是杨辉三角，也叫贾宪三角，在外国被称为帕斯卡三角。 杨辉三角于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。如图，在贾宪三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式（在此就不做说明了）依次下去。 杨辉三角里面数字排列的规则里面数字排列的规则如下： 杨辉三角在日常生活中的有趣应用(一) 摘要]中国古代数学史曾经有代写论文自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。杨辉三角是中国古代数学家贾宪在公元11世纪发现，并被南宋数学家杨辉在他的书中所引述，才使我们今天得以了解贾宪在数学上的重大贡献。 关键词]杨辉三角趣味性日常生活 杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。杨辉三角形所蕴含的数字排列规律，让我们在感受数学美的同时，也体会到它的趣味性和实用性。下面就通过三个实例与读者共享。 例1.随着经济的快速发展，越来越多的人加入炒股大军。股票的涨停问题也成为人们的重要谈资。有一天，同事谈到股票涨停时，提出一个问题：要经过几次涨停，股资才能翻一倍？大家知道，股票涨停一次，股资增加了原来的百分之十。构建一个模型：设原来股资为a 元，一次涨停后，股资变成a+10%a=(1+0.1)a=1.1a；二次涨停后，股资变成 ； 如此递推，当n(n∈次涨停后，股资变成元。要经过几次涨停，股资才能翻一倍呢？可以建立以下不等式：＞2a，即1＞2。那么，最小正整数n是多少？简单推算：，，，……手边没有计算器，再算下去就有一点复杂了。但观察结果的数字，惊奇的发现前三个的结果与杨辉三角相对应。如图1 是否呢？结果与计算相同。但当n=5时，出现了两位数的情形，怎么解决？能不能像加法运算一样进位加一变成1.61051呢？经过验算猜想与答案完全一致。这样求最小正整数n的运算就可以通过观察得到。当n=8时，＞2。也就是经过8次涨停后，股资翻倍。 例2.在游戏场所经常可以看到这样的弹球游戏：一个小球向下跌落，碰到第一层阻挡物后等可能的向两侧跌落。碰到第二层阻挡物再等可能的向两侧的第三层跌落。如此下去，小球一直跌到容器底层，根据具体区域获得相应奖品。可以发现，在两端区域的奖品价值远远高于中间区域，怎样解释这一现象呢？下图是一个竖直平面内的弹球游戏，图中的竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相通，若竖直线段有一条的为第一层，有两层的为第二层……以此类推，现求有一颗小球从第一层的通道向下运动跌落到第n+1层第m个通道里的概率。通过观察可以发现，小球落入第1层第1个通道有1种可能，落入第2个通道也有1种可能。小球落入第2层第1个通道有1种可能，落入第2个通道有2种可能，落入第3个通道有1种可能。落入第3层第1个通道有1种可能，落入第2个通道有3种可能，落入第3个通道有3种可能，落入第4个通道有1种可能……各个通道上的数字如图2所示： 浅谈杨辉三角的奥秘及应用 摘要文中阐述了杨辉三角中蕴涵的一些优美的规律及利用杨辉三角在以其为背景的一些现实生活问题中的应用来培养解决问题的思维能力。 关键词杨辉三角，最短路径，错位，幂 0 引言 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果。随着素质教育的提倡，新课程标准的颁布，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系，那如何解决这些以“杨辉三角”为背景的问题呢？这就需要我们对杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律进行探讨和研究。 1 杨辉三角与数字11的幂的关系 我们知道初中时老师要求我们背11的幂，11的1次幂、2次幂、3次幂还好背，后面就难起来了。后来我受到一位老师的启发，并且查看了这方面有关资料，发现杨辉三角与11的n次幂的关系非常密切。 假设y=11n 当n=0时： y=1； 当n=1时： y=11； 当n=2时：y=121； 当n=3时：y=1331； 当n=4时：y=14641； 以上是当n≤4时与扬辉三角的前5行多一致，接下来我们再来看一下当n≥5时的情况，如下： 当n=5时： 1 4 6 4 1 ? 1 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 当n=6时： 1 5 10 10 5 1 ? 1 1 1 5 10 10 5 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… 由上可知：11的n 次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等（证 明还有待证明）即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图 形。如下图： 1 (110 ) 1 1 (111 ) 1 2 1 (112) 1 3 3 1 (113) 1 4 6 4 1 (114) 1 5 10 10 5 1 (115) 1 6 15 20 15 6 1 (116) …… 其实这个关系我们早就学习过了，只是用另一种方式表达而已。我们知道初中时老师教 我们记11的幂时，有一句口诀：头尾不变(即为1)，左右相加放中间。其实是错位相加，而 扬辉三角中头尾为1，中间的数是其肩上的两数之和，也是错位相加得到的。 2 杨辉三角与2的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1 ( 1 ) 1 1 ( 1+1= 2 ) 1 2 1 (1+2+1=4 ) 1 3 3 1 (1+3+3+1=8 ) 1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 ) 1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3 2 ) 1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 ) …… 我们知道相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5， 6，…次幂，即杨辉三角第n 行中n 个数之和等于2的n-1次幂。 刚好与高中时学的杨辉三角的性质相符合，归纳如下： 1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n 行就是二项式n b a )(+展开式的系数列 }{R N C 。 2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”，即 r n n r n c C -=。 杨辉三角的规律以及定理 1 二项式定理与杨辉三角 与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。 杨辉三角我们首先从一个二次多项式 (a+b) 2 的展开式来探讨。 由上式得出： (a+b) 2＝ a 2+2ab+b 2 此代数式的系数为： 1 2 1 则 (a+b) 3 的展开式是什么呢？答案为： a 3+3a 2b+3a b 2+b 3 由此可发现， 此代数式的系数为： 1 3 3 1 但 似乎没有什么规律，所以让我们再来看看 (a+b) 4 的展开式。 展开式为： a 4 +4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4 由此又可发现，代数式的系数为： 1 4641 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列： 1 (11 ) 1 1 (11 1 ) 1 2 1 (11 2 ) 1 3 3 1 (11 3 ) 1 4 6 4 1 (11 4 ) 1 5 10 10 5 1 (11 5 ) 1 6 15 20 15 6 1 (11 6) 杨辉三角形的系数分别为： 1,（1,1 ）,（1,2,1 ）,（ 1,3,3,1 ）,（ 1,4,6,4,1 ）（ 1,5,10,10,5,1 ）,（ 1,6,15,20,15,6,1 ）, （ 1,7,21,35,35,21,7,1）所以： (a+b) 7=a 7+7a 6 b+21a 5b 2+35a 4b 3+35a 3b 4+21a 2b 5+7ab 6+b 7。 由上式可以看出， (a+b) n 等于 a 的次数依次下降 n 、n-1 、n- 2?n -n ，b 的次数依次上升， 0、1、2?n 次方。系数是 杨辉三角里的系数。 2 杨辉三角的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1 ( 1 ) 1 1 ( 1+1=2 ) 1 2 1 (1+2+1=4 ) 1 3 3 1 (1+3+3+1=8 ) 1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 ) 1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3 2 ) 1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 ) ?? 相加得到的数是 1， 2， 4， 8， 16， 32， 64，?刚好是 2 的 0， 1，2， 3， 4， 5， 6，? n 次幂，即杨辉三角第 n 行中 n 个数之和等于 2 的 n-1 次幂 3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系 杨辉三角的规律以及定理 1二项式定理与杨辉三角 杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。 由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为： 1 2 1 则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。 展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为： 1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列： 1 (110) 1 1 (111) 1 2 1 (112) 1 3 3 1 (113) 1 4 6 4 1 (114) 1 5 10 10 5 1 (115) 1 6 15 20 15 6 1 (116) 杨辉三角形的系数分别为：1,（1,1）,（1,2,1）,（1,3,3,1）,（1,4,6,4,1）（1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,1）,（1,7,21,35,35,21,7,1）所以：(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7。 由上式可以看出，(a+b)n等于a的次数依次下降n、n-1、n-2…n-n，b的次数依次上升，0、1、2…n次方。系数是杨辉三角里的系数。 2杨辉三角的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1 ( 1 ) 1 1 ( 1+1= 2 ) 1 2 1 (1+2+1=4 ) 1 3 3 1 (1+3+3+1=8 ) 1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 ) 1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3 2 ) 1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 ) …… 相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…n次幂，即杨辉三角第n 行中n个数之和等于2的n-1次幂 3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系 杨辉三角的规律以及定理 1 二项式定理与杨辉三角 与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。 杨辉三角我们首先从一个二次多项式 (a+b) 2 的展开式来探讨。 由上式得出： (a+b) 2 2+2ab+b 2 ＝a 此代数式的系数为： 1 2 1 则(a+b) 3 3+3a 2b+3ab 2+b 3 的展开式是什么呢？答案为： a 由此可发现， 此代数式的系数为： 1 3 3 1 但 4 似乎没有什么规律，所以让我们再来看看 (a+b) 的展开式。 展开式为： a 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4 由此又可发现，代数式的系数为： 1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列： 1 (11 0) 1 1 (11 1) 1 2 1 (11 2) 1 3 3 1 (11 3) 1 4 6 4 1 (11 4) 1 5 10 10 5 1 (11 5 ) 1 6 15 20 15 6 1 (11 6) 杨辉三角形的系数分别为： 1,（1,1 ）,（1,2,1 ）,（1,3,3,1 ）,（1,4,6,4,1 ）（1,5,10,10,5,1 ）,（1,6,15,20,15,6,1 ）, （1,7,21,35,35,21,7,1 ）所以： (a+b) 7=a 7+7a 6 b+21a 5b 2+35a 4b 3+35a 3b 4+21a 2b 5+7ab 6+b 7。 由上式可以看出， (a+b) n 等于 a 的次数依次下降 n 、n-1 、n- 2? n -n ，b 的次数依次上升， 0、1、2? n 次方。系数是 杨辉三角里的系数。 2 杨辉三角的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1 ( 1 ) 1 1 ( 1+1= 2 ) 1 2 1 (1+2+1=4 ) 1 3 3 1 (1+3+3+1=8 ) 1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 ) 1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3 2 ) 1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 ) ? ? 相加得到的数是 1，2， 4，8，16，32， 64，? 刚好是 2 的 0，1，2，3，4，5， 6，? n 次幂，即杨辉三角第n 行中 n 个数之和等于 2 的 n-1 次幂 3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系 《杨辉三角应用》教案 小明生活的城市规划得非常规则，街区都是矩形，他的家和学校相隔了好几个街道。 有一天，小明在回家的路上正在为走哪条路发愁。忽然，他想起这段时间数学课正在学“排列组合”这一章，“我何不用刚学到的知识来计算一下我回家可有多少条路供选择？”于是，他边走边思考这个问题，他发现这个问题还真不简单，需要静下心来好好想一想。 同学们，你们会算吗？ 小明这样想：“我肯定不会走回头路的，所以我只能向右和向上走，一共应该向右走5条街道，向上走5条街道。” 小明想起老师经常告诉他：“在遇到困难的时候，要学会将问题转化！”。于是，小明用a表示横向的一条街道，用b表示纵向的一条街道，那么“abbaaabba”就表示如图的一条路线。这样，小明就可以用a,b的字符串来表示每一条路线了，而路线的条数就等于a,b的字符串个数。 问题就转化成为求“5个a和5个b组成多少个不同的字符串？”。这一问题的解答就很简单了：将10个位置种选出5个位置用来放置a，有C 10 5 种方法；余下的位置自然就用来放置。所以，一共有C 10 5=252个不同的字符串。 小明终于明白了，从家到学校竟然有252条路可以供选择，怪不得平时很少走重复的路线。 小明对自己的解法很是得意！他一到学校，就把这个题目告诉了好朋友小刚，却不告诉 小刚答案，他想考考小刚。 小刚也是一个爱思考的同学，但是一时还真没做上来。不过，小刚没有气馁，他觉得这个问题中由于街道太多，导致问题比较复杂，所以他决定将问题简化，先做几个数学实验，然后从中找规律，最后才解决这个问题。 小刚先假设小明家和学校只相隔一个街区，图中顶点处的数字“1”表示从这个顶点到达小明家只有一条路线。 小刚再假设小明家和学校只相隔四个街区，图中顶点处的数字表示从这个顶点到达学校的路线条数。 这时小刚发现了规律：若顶点位于最上面或最左面，则它到H的路线只有1条；若顶点位于其他位置，则它到H的路线条数等于它上面和左面的顶点到H的路线条数之和！小刚根据这个规律一口气将所有顶点的路线条数都写了出来，发现从学校S到家H的路线正好是252条。 小明对小刚的解法不得不佩服，同时对小刚得到的这个图形很是感兴趣，不由得多研究了一下，突然他叫了起来：“杨辉三角！” 杨辉三角的规律以及推 导公式 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 杨辉三角的规律以及定理 李博洋 摘要杨辉三角中的一些规律 关键词杨辉三角幂二项式 引言 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他所着的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。我们则来对“杨辉三角”的规律进行探讨和研究。 内容 1二项式定理与杨辉三角 杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。 由上式得出： (a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为： 1 2 1 则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。 展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为： 1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列： 1 (110) 1 1 (111) 1 2 1 (112) 1 3 3 1 (113) 1 4 6 4 1 (114) 1 5 10 10 5 1 (115) 1 6 15 20 15 6 1 (116) 因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n- 1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n 因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。 2杨辉三角的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1 ( 1 ) 数学家杨辉 杨辉，中国南宋末年杰出的数学家和数学教育家。在13世纪中叶活动于苏杭 一带，其著作甚多。 他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除算法》二卷（1275年）、《续古摘奇算法》二卷（1275年）。 其中在《详解九章算法》一书中载有二项（a+b）n展开系数的数字三角形，被称为“杨辉三角”，它的发现比国外同类发现至少早3O0年。 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。 他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的"纵横图"及有关的构造方法，同时"垛积术"是杨辉继沈括"隙积术"后，关于高阶等差级数的研究。杨辉在"纂类"中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类。 他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的"习算纲目"是中国数学教育史上的重要文献。 ================================================================= 杨辉介绍 杨辉，字谦光，中国南宋（1127～1279）末年钱塘（今杭州市）人。其生卒年月及生平事迹均无从详考。据有关著述中的字句推测，杨辉大约于13世纪中叶至末叶生活在现今浙江杭州一带，曾当过地方官，到过苏州、台州等地。是当时有名的数学家和数学教育家，他每到一处都会有人慕名前来请教数学问题。 杨辉一生编写的数学书很多，但散佚也很严重。据史料记载，他至少有以下书，曾在国内或国外刊行： 《详解九章算法》12卷（1261）杨辉三角在二项式中的应用
杨辉三角
杨辉三角应用
杨辉三角在日常生活中的有趣应用(一)
浅谈杨辉三角的奥秘及应用
杨辉三角的规律以与推导公式-杨辉三角规律
杨辉三角的规律以及推导公式
杨辉三角的规律以及推导公式-杨辉三角规律
冀教版七年级数学下册 杨辉三角应用教案
杨辉三角的规律以及推导公式定稿版
杨辉与杨辉三角
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