应用题
20．（本小题满分8分） 北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？
（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售
价至少是多少元？（利润率100%=?利润
成本
）
22．（本小题满分10分）
某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y （元）与销售月份x （月）满足关系
式3
368
y x =-
+，而其每千克成本2y （元）与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示． （1）试确定b c 、的值；
（2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式；
（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？
y 2
21．(本题满分10分)星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完． (1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？
(2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？
20.（9分）某项工程，甲工程队单独完成任务需要40天．若 乙队先做30天后，甲、乙两队一起合做20天就恰好完成任务． 请问： （1）（5分）乙队单独做需要多少天才能完成任务？ （2）（4分）现将该工程分成两部分，甲队做其中一部分工程用了x 天，乙队做另一部分
工程用了y 天．若x 、y 都是正整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到 70天，那么两队实际各做了多少天？ 3、（2009年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。 （1）请建立销售价格y （元）与周次x 之间的函数关系；
（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z （元）与周次x 之间的关系为
12)8(8
1
2+--=x z ， 1≤ x ≤11，且x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每
件获得利润最大？并求最大利润为多少？ 5、（2009年滨州）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
几何题
20．(本题满分8分)如图，在□ABCD 中，∠BAD 为钝角，且AE ⊥BC ，A F ⊥CD ． (1)求证：A 、E 、C 、F 四点共圆；
(2)设线段BD 与(1)中的圆交于M 、N ．求证：BM =ND ．
23．(本题满分10分)如图，半径为
O 内有互相垂直的两条弦AB 、CD 相交于P 点． (1)求证：P A ·PB =PC ·PD ；
(2)设BC 的中点为F ，连结FP 并延长交AD 于E ，求证：EF ⊥AD ： (3)若AB =8，CD =6，求OP 的长．
18.（8分）如图8，大楼AD 的高为10m ，远处有一塔BC ． 某人在楼底A 处测得塔顶B 点处的仰角为60°，爬到楼顶 D 点处测得塔顶B 点的仰角为30°．求塔BC 的高度．
解：
第23题图 第20题图
N
M F E
B
D
A
C
22．已知：如图，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点M ． (1)若AD=CB ，求证：△ADM≌△CBM．
(2)若AB=CD ，△ADM 与△CBM 是否全等?为什么
?
21．（本题10分）如图，已知AB 是O ⊙的直径，过点作弦BC 的平行线，交过点的切线AP 于点，连结AC ．
（1）求证：ABC POA △∽△； （2）若2OB =，72
OP =，求BC 的长．
21．（本小题满分8分）
已知：如图，在ABCD
中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △． （1）求证：BE DG =；
（2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．
A D G C
B F E 第21题图
二次函数结合图像题
(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x 轴交于A (m －2，0)，B (m ＋2，0)两点，记抛物线顶点为C ，且AC ⊥BC ．
(1)若m 为常数，求抛物线的解析式；
(2)若m 为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？ (3)设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BOD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
21．（9分）如图10，已知：△ABC 是边长为4的等边三角形，BC 在 x 轴上，点D 为BC 的中点，点A 在第一象限内，AB 与y 轴正半轴 相交于点E ，点B 的坐标是（－1，0），P 点是AC 上的动点（P 点与
A 、C 两点不重合）． (1) （2分）写出点A 、点E 的坐标．
(2) （2分）若抛物线
bx x y ++-
=2
7
36过A 、E 两点，求抛物线的解析式．
(3) （5分）连结PB 、PD ．设l 为△PBD 的周长,当l 取最小值时, 求点P 的坐标及l 的
最小值，并判断此时点P 是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由．
第25题图
22.（9分）如图11，AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一个动点（点E 与点A 、B 都不重合），点C 是BE 延长线上的一点，且CD ⊥AB, 垂足 为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合. （1）（5分）求证：△AHD ∽△CBD ； 证明：
（2）（4分）连结HO ．若CD ＝AB ＝2，求HD+HO 的值．
（2009年重庆市江津区）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q
第26题图
A
B
C
答案 应用题
20．（本小题满分8分） 解：（1）设商场第一次购进x 套运动服，由题意得：
6800032000
102x x
-=， ········································································································· 3分 解这个方程，得200x =．
经检验，200x =是所列方程的根． 22200200600x x +=?+=．
所以商场两次共购进这种运动服600套． ············································································ 5分 （2）设每套运动服的售价为y 元，由题意得：
6003200068000
20%3200068000
y --+≥，
解这个不等式，得200y ≥，
所以每套运动服的售价至少是200元． ················································································ 8分 22．（本小题满分10分） 解：（1）由题意：
22125338
124448b c b c ?=?++???
?=?++??
解得7181292
b c ?
=-????=?? ························································································································ 4分
（2）12y y y =- 23115136298882x x x ??
=-
+--+ ???
21316822x x =-
++； ································································································ 6分 （3）2131
6822y x x =-++
2111
(1236)46822
x x =--+++
2
1(6)118
x =--+ ∵1
08
a =-
<， ∴抛物线开口向下．
在对称轴6x =左侧y 随x 的增大而增大．
由题意5x <，所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大． ···································· 9分 最大利润2
11
(46)11108
2
=--+=（元）． ········································································ 10分
21．解：(1)设买可乐、奶茶分别为x 、y 杯，根据题意得
2x ＋3y ＝20(且x 、y 均为自然数) …………………………………………………………2分
∴x ＝2032
y -≥0 解得y ≤
203 ∴y ＝0，1，2，3，4，5，6．代入2x ＋3y ＝20 并检验得 10,0;x y =??=?7,2;x y =??=?4,4;x y =??=?1,
6.x y =??
=?……………………………………………………………6分 所以有四种购买方式，每种方式可乐和奶茶的杯数分别为：(亦可直接列举法求得)
10，0；7，2；4，4；1，6．………………………………………………………………7分 (2)根据题意：每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，即y ≥2且x ＋y ≥8
由(1)可知，有二种购买方式．……………………………………………………………10分
20.（1）解:设乙队单独做需要x 天就能完成任务
依题意得:
1)1
401(2030=++x
x ……（3分） 解得x =100
经检验x =100为所列方程的解
答：乙队单独做需要100天就能完成任务. ……（5分） (2) 依题意得
∵ 110040=+y x ∴1002
5
+-=x y ……（7分）
∵,70 ∴7010025 <+-x 12>x 又∵,15 ∵x 、y 都是正整数, ∴ x 65,14==y 为方程的解. 答：甲队实际做了14天，乙队实际做了65天. ……（9分） 【答案】（1）202(1)21830 x x y +-=+?=??(16)(11)()x x x x ≤<≤≤为整数) (6为整数 （2）设利润为w 2 22211202(1)(8)1214(16)881130(8)12(8)18(611) 88(y z x x x x x w y z x x x x ?-=+-+--=+≤ ?=? ?-=+--=-+≤≤??? 为整数 为整数) 21148w x =+ 当5x =时，1 17(8w =最大元) 21(8)188w x =-+ 当11x =时，1191811888w =?+=+最大1 19()8 =元 综上知：在第11周进货并售出后，所获利润最大且为每件1 198 元. 1）y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x) (300+20x)=-6000100202 ++x x ,0≤x ≤20； （2）y=-206135)5.2(2 +-x ,∴当x==2.5元,每星期的利润最大，最大利润是6135元； 几何题 20．解：∵AE ⊥BC ，A F ⊥CD ，∴∠AEC ＝∠AFC ＝90°． ∴∠AEC ＋∠AFC ＝180°．∴A 、E 、C 、F 四点共圆；…………………………………4分 (2)由(1)可知，圆的直径是AC ，设AC 、BD 相交于点O ， ∵ABCD 是平行四边形，∴O 为圆心． ∴OM ＝ON ．∴BM ＝DN ．…………………………………………………………………8分 23．(1)∵∠A 、∠C 所对的圆弧相同，∴∠A ＝∠C ． ∴Rt △APD ∽Rt △CPB ，∴ AP PD CP PB =，∴P A ·PB ＝PC ·PD ；………………………3分 (2)∵F 为BC 的中点，△BPC 为Rt △，∴FP ＝FC ，∴∠C ＝∠CPF ． 又∠C ＝∠A ，∠DPE ＝∠CPF ，∴∠A ＝∠DPE ．∵∠A ＋∠D ＝90°， ∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．………………………………………………………7分(3)作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，同垂径定理： ∴OM2＝2－42＝4，ON2＝2－32＝11 又易证四边形MONP是矩形， ∴OP7分答案略 22．(1)证明：在△ADM与△CBM中， ∵∠DMA=∠BMC， ∠DAM=∠BCM， AD=CB． ∴△ADM≌△CBM(AAS)． (2)解：△ADM≌△CBM ∵AB=CD， ∴弧ADB=弧CBD， ∴弧AD=弧CB ∴．AD=CB 与(1)同理可得△ADM≌△CBM． 二次函数 25．解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)2－4a．…………2分∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4， ∴C(m，－2)代入得a＝1 2 ．∴解析式为：y＝ 1 2 (x－m)2－2．…………………………5分 (亦可求C点，设顶点式) (2)∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可 以使抛物线y＝1 2 (x－m)2－2顶点在坐标原点．………………………………………7分 (3)由(1)得D(0，1 2 m2－2)，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形． ∵△BOD为直角三角形，∴只能OD＝OB．……………………………………………9分 ∴1 2 m2－2＝|m＋2|，当m＋2＞0时，解得m＝4或m＝－2(舍)． 当m＋2＜0时，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)； 当m＋2＝0时，即m＝－2时，B、O、D三点重合(不合题意，舍) 综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形．……………………………12分 21．解： （1）点E坐标是（0，3），点A的坐标是（1，23）．……（2分） (2 ) ∵抛物线c bx x y ++- =2 7 36过E （0，3） ，A （1，23）两点， 得:??? ??=++-=327 363 c b c ∴ ?? ? ??==37133b c 抛物线的解析式是: 37 3 137362++- =x x y ． ………（4分） (3) 过D 点作DF ⊥AC ，垂足为F 点，并延长DF 至G 点，使得DF=FG ， 则D 点关于AC 的对称点为G 点． 连结CG ，则CD=CG ， ∠DCA=∠ACG ． 再连结BG 交AC 于Q 点，连结DQ ，则DQ=QG ． 当点P 运动到与Q 点重合，即B 、P(Q)、G 三点共线时， 依“两点之间，线段最短”．这时△PBD 的周长有最小值． ……（5分） 又过G 点作GH ⊥x 轴，垂足为H 点． ∵△ABC 是等边三角形， BC=4 ∴∠DCA=∠ACG=∠HCG =60? ， ∵GH= CG ?sin60? =32 3 2=? ，CH= CG 2 1 =1． ∴OH=OC+CH=3+1=4． 即G 点的坐标(4,3)． ∴BH=OB+OH=1+4=5 在Rt △GBH 中，BG=72)3(5222 2 =+=+GH BH △PBD 周长l = BD+BP+DP = BD+BQ+DQ = BD+BG = 272+ ……（6分） 设线段AC 的解析式b kx y +=,A 点的坐标(1,32)，C 点的坐标( 3,0 )得 ?? ?=+=+3203b k b k ???=-=3 33b k 线段AC 的解析式：333+-=x y 同理可得线段BG 的解析式：5 353+= x y AC 与BG 的交点是方程组?????+=+-=5 353333x y x y 的解，得??? ??? ? ==33237y x 则此时P 点的坐标是（ 3 3 2, 37） ……（7分） 此时P 点的坐标在上述（2）小题所求的抛物线37 3 137362++- =x x y 上． ……（8分） 理由如下： 把332,37== y x 代入37 3 137362++-=x x y 中，左边=右边 故此时P 点的坐标在上述（2）小题所求的抛物线37 3 137362++- =x x y 上． ……（9分） 22．证明(1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB=90°，即AE ⊥BC ． ∴∠BAE+∠ABE=90°. …………（1分） 又∵CD ⊥AB ， ∴∠BCD+∠CBD=90°．………………（2分） 而∠ABE=∠CBD ， ∴∠BAE=∠BCD ． ……………（3分） 又∠ADH=∠CDB ， ……………（4分） ∴△AHD ∽△CBD ． ……………（5分） (2)∵O 点是圆心,CD=AB=2,设OD=x ， ∴AO=1,AD=1+x ，BD=1－x ． ∵ △AHD ∽△CBD ， ∴ CD AD BD HD =， ………………………（6分） ∴2 11x x HD +=-， ∴)1(2 12 x HD -=． …………………（7分） 下面分两种情况讨论： ∴① 当HD 、HO 重合时，x =0,2 1= =HD HO ． 满足HD+HO=1； ………………（8分） ∴②当HD 、HO 不重合时， 在Rt △HDO 中，由勾股定理得: )1(21)1(2122 2222x x x HD OD HO +=?? ? ???-+=+=, 也满足HD+HO=1. ∴综上所述:HD+HO 的值总是1. …………（9分） 班级 姓名 学号 成绩 一、精心选一选 1．下列运算正确的是（ ） Ａ．()11a a --=-- Ｂ．( ) 2 3624a a -= Ｃ．()2 22a b a b -=- Ｄ．3 2 5 2a a a += 2．如图，由几个小正方体组成的立体图形的左视图是（ ） 3．下列事件中确定事件是（ ） Ａ．掷一枚均匀的硬币，正面朝上 Ｂ．买一注福利彩票一定会中奖 Ｃ．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球 Ｄ．掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的均匀正方体骰子，骰子停止转动后奇数点朝上 4．如图，AB CD ∥，下列结论中正确的是（ ） Ａ．123180++=o ∠ ∠∠ Ｂ．123360++=o ∠ ∠∠ Ｃ．1322+=∠∠∠ Ｄ．132+=∠ ∠∠ 5．已知24221 x y k x y k +=??+=+?，且10x y -<-<，则k 的取值范围为（ ） Ａ．112 k -<<- Ｂ．102 k << Ｃ．01k << Ｄ． 1 12 k << 6．顺次连接矩形各边中点所得的四边形（ ） Ａ．是轴对称图形而不是中心对称图形 Ｂ．是中心对称图形而不是轴对称图形 Ｃ．既是轴对称图形又是中心对称图形 Ｄ．没有对称性 7．已知点()3A a -，，()1B b -，，()3C c ，都在反比例函数4 y x = 的图象上，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） Ａ．a b c >> Ｂ．c b a >> Ｃ．b c a >> Ｄ．c a b >> 8．某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率为x ，则下面列出的方程中正确的是（ ） Ａ．2 1185580x = Ｂ．()2 11851580x -= Ｃ．( )2 11851580x -= Ｄ．()2 58011185x += 9．如图，P 是Rt ABC △斜边AB 上任意一点（A ，B 两点除外），过P 点作一直线，使截得的三角形与Rt ABC △相似，这样的直线可以作（ ） Ａ．1条 Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．4Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． A B D C 3 2 1 第4题图 P 第9题图 初一上册 有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的初步认识。 （1）有理数：是初中数学的基础内容，中考试题中分值约为3-6分，多以选择题，填空题，计算题的形式出现，难易度属于简单。 考察内容：复数以及混合运算（期中、期末必考计算）数轴、相反数、绝对值和倒数（选择、填空）。 （2）整式的加减：中考试题中分值约为4分，题型以选择和填空题为主，难易度属于易。 考察内容： ①整式的概念和简单的运算，主要是同类项的概念和化简求值 ②完全平方公式，平方差公式的几何意义 ③利用提公因式发和公式法分解因式。 （3）一元一次方程：是初一学习重点内容，主要学习内容有（归纳、总结、延伸）应用题思维、步骤、文字题，根据已知条件求未知。中考分值约为1-3分，题型主要以选择和填空题为主，极少出现简答题，难易度为易。 考察内容： ①方程及方程解的概念 ②根据题意列一元一次方程 ③解一元一次方程。题型：追击、相遇、时间速度路程的关系、打折销售、利润公式。 （4）几何：角和线段，为下册学三角形打基础 初一下册 相交线和平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式和不等式组和数据库的收集整理与描述。 （1）相交线和平行线：相交线和平行线是历年中考中常见的考点。通常以填空，选择题形式出现。分值为3-4分，难易度为易。 考察内容： ①平行线的性质（公理） ②平行线的判别方法 ③构造平行线，利用平行线的性质解决问题。 （2）平面直角坐标系：中考试题中分值约为3-4分，题型以选择，填空为主，难易度属于易。 考察主要内容： ①考察平面直角坐标系内点的坐标特征 ②函数自变量的取值范围和球函数的值 ③考察结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。 （3）二元一次方程组：中考分值约为3-6分，题型主要以选择，解答为主，难易度为中。 考察内容：①方程组的解法，解方程组②根据题意列二元一次方程组解经济问题。 （4）不等式和不等式组：中考试题中分值约为3-8分，选择，填空，解答题为主。 主要考察内容： ①一元一次不等式（组）的解法，不等式（组）解集的数轴表示，不等式（组）的整数解等，题型以选择，填空为主。 ②列不等式（组）解决经济问题，调配问题等，主要以解答题为主。 ③留意不等式（组）和函数图像的结合问题。 专题9《费马点》 破解策略 费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离． 若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点． 1.若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点 如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点证明： 如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝∠CAP，并且使得AP ＝AP，连结PP 则△APC≌△APC，PC＝PC 因为∠BAC≥120° 所以∠PAP＝∠CAC≤60 所以在等腰△PAP中，AP≥PP 所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC 所以点A为△ABC的费马点 2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点． 如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点 证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC 将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC 所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO 所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D 则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小 此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O 如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC ＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心 初中数学难题集锦 1．（本小题满分10分） 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，已知∠D ＝30°. ⑴求∠A 的度数； ⑵若点F 在⊙O 上，CF ⊥ 2．（本小题满分10分） 已知抛物线2y ax bx =+(a ≠0)的顶点在直线112 y x =--上，且过点A (4，0)． ⑴求这个抛物线的解析式； ⑵设抛物线的顶点为P ，是否在抛物线上存在一点B ，使四边形OPAB 为梯形？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由. ⑶设点C (1，－3)，请在抛物线的对称轴确定一点D ，使A D C D -的值最大，请直接写出点D 的坐标. 3．（本小题满分12分） 已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB =40cm ，AD =BC =20cm ，∠ABC =120°．点P 从点B 出发以1cm/s 的速度沿着射线BC 运动，点Q 从点C 出发以2cm/s 的速度沿着线段CD 运动，当点Q 运动到点D 时，所有运动都停止. 设运动时间为t 秒． ⑴如图1，当点P 在线段BC 上且△CPQ ∽△DAQ 时，求t 的值； ⑵在运动过程中，设△APQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； 图1Q P D C B A A B 备用图A B C D 3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 交x 轴于A 、B 两点，直线FA⊥x 轴于点A ，点D 在FA 上，且DO 平行⊙O 的弦MB ，连DM 并延长交x 轴于点C. （1）判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）设点D 的坐标为（-2，4），试求MC 的长及直线DC 的解析式. 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－3 2x 2+b x +c ，经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5． （1）求b 、c 的值； （2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形； （3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由． 5．如图，直角坐标系中，已知两点(00)(20)O A ，， ，，点B 在第一象限且OAB △为正三角形，OAB △的外接圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 的圆的切线交x 轴于点D ． （1）求B C ，两点的坐标； （2）求直线CD 的函数解析式； （3）设E F ，分别是线段AB AD ，上的两个动点，且EF 平分四边形ABCD 的周长． 试探究：AEF △的最大面积？ 2020中考数学压轴题100题精选 （附答案解析） 【001 】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+（a ≠0）经过点 (2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结 BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S 与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C 成 为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接 图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； 如图 8，在Rt ABC中，CAB 90，AC 3 ， AB 4 ，点 P 是边 AB 上任意一点，过点 P 作PQ AB 交BC于点E，截取 PQ AP ，联结 AQ ，线段 AQ 交BC于点D，设 AP x ，DQ y ．【2013徐汇】 （1）求y关于x的函数解析式及定义域；（ 4 分） （2）如图 9，联结CQ，当CDQ和ADB相似时，求x的值；（ 5 分） （3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边 AB 上时，求 AP 的长．（ 5 分） C Q D E A P B （图 8） C Q D E A （图 9） P B C A B （备用图） 【2013 奉贤】如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点 C作 AB的垂线交⊙ O于点 D，联结 OD，过点 B 作 OD的平行线交⊙ O于点 E、交射 线CD于点 F． （1）若 ⌒ ED BE⌒ ，求∠ F 的度数； （2）设CO x, EF y,写出y 与x之间的函数解析式，并写出定义域； （3）设点 C 关于直线 OD 的对称点为 P ，若△ PBE 为等腰三角形，求 OC 的长． 第 25 题 【 2013 长宁】△ ABC 和△ DEF 的顶点 A 与 D 重合，已知∠ B = 90 . ，∠ BAC = 30 . ， BC=6，∠ FDE = 90 ， DF=DE=4. （1）如图①， EF 与边 、 分别交于点 ，且 . 设 DF a ，在射线 上取 AC AB G 、H FG=EH DF 一点 P ，记： DP xa ，联结 CP. 设△ DPC 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写 出定义域； （2）在（ 1）的条件下，求当 x 为何值时 PC // AB ； （ 3）如图②，先将△ DEF 绕点 D 逆时针旋转，使点 E 恰好落在 AC 边上，在保持 DE 边与 AC 边完 全重合的条件下， 使△ DEF 沿着 AC 方向移动 . 当△ DEF 移动到什么位置时， 以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 图① 图② 【 2013 嘉定】已知 AP 是半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O 上的一个动点 （不与点 A 、P 重合），联结 AC ，以直线 AC 为对称轴翻折 AO ，将点 O 的对称点记为 O 1 ，射线 AO 1 交半圆 O 于 点 B ，联结 OC . （1）如图 8，求证： AB ∥ OC ； （2）如图 9，当点 B 与点 O 1 重合时，求证： AB CB ； 经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F 与A2E 并延长相交于Q 点， 连接EB2并延长交C2Q 于H 点，连接FB2并延长交A2Q 于G 点， 由A2E= A1B1= B1C1= FB2 ，EB2= AB= BC=FC1 ，又∠GFQ+∠Q=900和 ∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ 又∠B2FC2=∠A2EB2 ， 可得△B2FC2≌△A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ， 又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 , 从而可得∠A2B2 C2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等， 从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。 A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 求∠DEN ，不是吧，这求不出来的吧，是不是求证：∠DEN ＝∠MFC ． 连接AC,取AC 中点G,连接MG,NG ∵N,G 是CD,AC 的中点 ∴GN ‖AD,GN=0.5DA ∴∠GNM=∠DEN 同理,∠NMG=∠MFC,MG=0.5BC ∵AD=BC ∴MG=NG ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN ＝∠MFC 经典难题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： B 一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，四边形ABCD 中，∠BCD =∠D =90°，E 是边AB 的中点.已知AD =1，AB =2. （1）设BC =x ，CD =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （2）当∠B =70°时，求∠AEC 的度数； （3）当△ACE 为直角三角形时，求边BC 的长. 【答案】（1）()223 03y x x x =-++<<；（2）∠AEC =105°；（3）边BC 的长为 2117 +. 【解析】 试题分析：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ，得到四边形ADCH 为矩形．在△BAH 中，由勾股定理即可得出结论． （2）取CD 中点T ，连接TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，∠AET =∠B =70°． 又AD =AE =1，得到∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，即可得到结论． （3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 解△ABH 即可得到结论． ②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，由相似三角形对应边成比例即可得到结论． 试题解析：解：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ．由∠D =∠BCD =90°，得四边形ADCH 为矩形． 在△BAH 中，AB =2，∠BHA =90°，AH =y ，HB =1x -，∴2 2221y x =+-， 则()223 03y x x x = -++<< （2）取CD 中点T ，联结TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，∴∠AET =∠B =70°． 又AD =AE =1，∴∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，∴∠AEC =70°＋35°=105°． （3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 则在△ABH 中，∠B =60°，∠AHB =90°，AB =2，得BH =1，于是BC =2． ②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，又2224AC BC AB x = -- 16．如图，已知点A (1，1)、B (3，2)，且P 为x 轴上一动点，则△ABP 的周长的最小值为 ． 17．如图是由几个相同小正方体搭成的几何体的主视图与左视图，则该几何体最少由 个 小正方体搭成． 18．在四边形ABCD 中，已知△ABC 是等边三角形，∠ADC ＝30o，AD ＝3，BD ＝5，则边 CD 的长为 ． 23．(7分)如图，制作一种产品的同时，需将原材料加热，设该材料温度为y oC ，从加热开 始计算的时间为x min ．据了解，该材料在加热过程 中温度y 与时间x 成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为15oC ，加热5min 达到60oC 并停止加热；停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y 与时间x 成反比例函数关系． (1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y 与x 的函数关系，并写出x 的取值范围； (2)根据工艺要求，在材料温度不低于30oC 的这段 时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间是多少？ 图象顶点的纵坐标不大于－ b 2 ． °，则∠A 的度、110° 、4π 的面积分别为D 、3.5 小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上左视图 主视图 G F E D C B A 第9题图 的数如下： 时刻 12:00 13:00 14:30 碑上的数 是一个两位数，数字之和为6 十位与个位数字与12:00时所看到的正好颠倒了 比12:00时看到的两位数中间多了个0 则12:00时看到的两位数是： A 、24 B 、 42 C 、51 D 、15 15.形状大小一样、背面相同的四张卡片，其中三张卡片正面分别标有数字“2”“3”“4”，小明和小亮各抽一张，前一个人随机抽一张记下数字后放回，混合均匀，后一个人再随 机抽一张记下数字算一次，如果两人抽一次的数字之和是8的概率为3 16 ，则第四张卡片 正面标的数字是 ； 16.2002年在北京召开的世界数学大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的“赵爽弦图”． 若这四个全等的直角三角形有一个角为30°， 顶点1B 、2B 、3B 、…、B 和1C 、2C 、 3C 、…、n C 分别在直线=y -12 x 和 x 轴上，则第n 个阴影正方形的面积为 ． 12、将一根24㎝的筷子，置于底面直径为15㎝，高8㎝的圆柱形水杯中，如右图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h ㎝，则h A 、h ≤17㎝ B 、h ≥8㎝ C. 15㎝≤h ≤16㎝ 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150 ． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B F 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600 ，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 中考数学题型汇总 1.中点 ①中线：D 为BC 中点，AD 为BC 边上的中线 ( ) 有全等 平行线中有中点，容易是斜边的一半直角三角形的斜边中线，可得使得到延长.6.5BD AD 2c b .4CDE ABD DE AD E AD .3S S .2CD BD .12 22 2 ACD ABD +=+???===?? 1.例．如图，在菱形ABCD 中，tan ∠ABC=，P 为AB 上 一点，以PB 为边向外作菱形PMNB ，连结DM ，取DM 中点E ，连结AE ，PE ，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 2. 角平分线 ②角平分线：AE 平分∠BAC 有等腰三角形 平行线间有角平分线易作全等三角形有相同角有公共边极易.5.4 .3.2BAE .1CE BE AC AB DF DE CAE ==∠=∠ 3.高线 ③垂线：AF ⊥BC 角形 多个直角，易有相似三充分利用求高线可用等面积法即.4Rt .3.290AFC BC AF .1? ?=∠⊥ ②直角三角形：AD 为中线AE 为垂线 ? ????=?==+?=?== ==?=∠+∠?Rt AE BC AB AC S BC CD ABC ，构造充分利用特殊角；勾股定理：等面积法：： 斜边中线为斜边的一半两角互余：,60,45305.BC CE AC BC BE AB BC AB AC .42 1 21.321 BD AD .290C B .122222 4.函数坐标公式公式1：两点求斜率k 2 12 1x x y y k AB --= 1 13531203 3 30360145-=?-=?= ?=?=?k x k x k x k x k x 时，轴正方向夹角为⑤与时，轴正方向夹角为④与时，轴正方向夹角为③与时，轴正方向夹角为②与时，轴正方向夹角为①与 公式2：两点之间距离 221221)()(AB y y x x -+-= 应用：弦长公式 公式3：中点公式 ) 2,3(ABC )2 ,2( AB 3 213212 121y y y x x x y y x x ++++=?++=重心中点 应用：求中点坐标 公式4：两直线平行与垂直 1//21212 121-=??⊥=?k k l l k k l l ②① 应用：①平行与垂直②直角三角形 专题19《中点模型》 破解策略 1．倍长中线 在△ABC中．M为BC边的中点． 图1 图2 （1）如图1，连结AM并延长至点F，使得ME＝AM．连结CE．则△ABM≌△ECM． （2）如图2，点D在AB边上，连结DM并延长至点E．使得MF＝DM．连结CE，则△BDM ≌△CEM， 遇到线段的中点问题，常借助倍长中线的方法还原中心对称图形，利用“8”字形全等将题中条件集中，达到解题的目的，这种方法是最常用的也是最重要的方法． 2．构造中位线 在△ABC中．D为AB边的中点， 图1 图2 （1）如图1，取AC边的中点E，连结DE．则DE∥BC，且DF＝1 2 B C． （2）如图2．延长BC至点F．使得CF＝B C．连结CD，AF．则DC∥AF，且DC＝1 2 AE． 三角形的中位线从位置关系和数量关系两方面将将图形中分散的线段关系集中起来．通常需要再找一个中点来构造中位线，或者倍长某线段构造中位线， 3．等腰三角形“三线合一” 如图，在△ABC中，若AB＝A C．通常取底边BC的中点D．则AD⊥BC，且AD平分∠BA C．事实上，在△ABC中：①AB＝AC；②AD平分∠BAC；③BD＝CD，④AD⊥B C． 对于以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出另两条结论，即“知二得二”．4.直角三角形斜边中线 如图，在△ABC看，∠ABC＝900，取AC的中点D，连结BD，则有BD＝AD＝CD＝1 2 AC． 反过来，在△ABC中，点D在AC边上，若BD＝AD＝CD＝1 2 AC，则有∠ABC＝900 例题讲解 例1 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连结AG 、BG 、CG 且∠AGD ＝∠BGC ，若AD 、BC 所在直线互相垂直，求AD EF 的值 解 由题意可得△AGB 和△DGC 为共顶点等顶角的两个等腰三角形， 所以△AGD ≌△BGC ，△AGD ∽△EGF ． 方法一：如图1，连结CE 并延长到H ，使EH ＝EC ，连EH 、AH ，则 AH ∥BC ，AH ＝BC ，而AD ＝BC ，AD ⊥BC 所以AD ＝AH ，AD ⊥AH ，连结DH ，则△ADH 为等腰直角三角形，又因为E 、F 分别为CH 、CD 的中点，所以=12 AD AD EF DH = 方法二：如图2，连结BD 并取中点H ，连结EH ，FH ．则EH ＝ 12AD ，且EH ∥AD ，FH ＝12BC ， 而AD ＝BC ，AD ⊥BC ，所以△EHF 为等腰直角三角形，所以2=AD EH EF EF = 例2 如图，在△ABC 中，BC ＝22，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于E ，F 、G 分别是BC 、DE 的中点，若ED ＝10，求FG 的长． 解：连结EF 、DF ，由题意可得EF 、DF 分别为RT △BEC ，RT △BDC 斜边的中线，所以DF ＝EF ＝ 12 BC ＝11，而G 为DE 的中点，所以DG ＝EG ＝5，FG ⊥DE ，所以RT △FGD 中，FG ＝ 例3 已知：在RT △ACB 和RT △AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝900 ，若P 是BF 的中点，连结PC 、PE （1）如图1，若点E 、F 分别落在边AB 、AC 上，请直接写出此时PC 与PE 的数量关系． （2）如图2，把图1中的△AEF 绕着点A 顺时针旋转，当点E 落在边CA 的延长线上时，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 解（1）易得PC ＝PE ＝12 BF ，即PC 与PE 相等． （2）结论成立．理由如下： 解析数学中考史上十大难题 原题：25.已知△ABC，分别以AB、BC、CA为边向外作等边△ABD、等边△BCE、等边△ACF。 （1）如图1，当△ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论； （2）如图2，当△ABC中只有∠ACB=60°时，请你证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与 S△ACF的和。 题目简要分析：这道题目之所以才位例第10为完全是因为第一问太简单了。对于第二问在我们平时教学过程中很少遇见面积等的问题，尤其是面对这种面积和等的问题，不仅缺少一些直接的定理去支持这些结论，且缺少一些必要的手段和方法去证明，平时练习也相对少一些，故本题第二问得分率很低。关于第二问本文提供3种解法，仅供参考。 解法一： 解题思路：观察AF∥BC，在△ABC中利用平行四边形构造一个三角形面积等于S△ACF，证明余下部分面积等于S△BCE即可（很容易能观察出△DAM≌△BAC≌△EMC，剩余部分DBEM是平行四边形，对角线平分面积） 解：（1）AB=CE,AC=BE,AF=BE，S△ABC=S△ABD等等 （2）过A作AM∥FC交BC于M，连结DM、EM。 ∵∠ACB=60°，∠CAF=60°， ∴∠ACB=∠CAF ∴AF∥MC ∴四边形AMCF是平行四边形. 又∵FA=FC， ∴四边形AMCF是菱形. ∴AC=CM=AM，且∠MAC=60°，且S△MAC= S△ACF 在△BAC与△EMC中， CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE, ∴△BAC≌△EMC. ∴AB=ME 又∵AB=DB ∴DB=ME 又∵∠DAM=∠DAB+∠BAM， ∠BAC=∠CAM+∠BAM且∠DAB=∠CAM=60° ∴∠DAM=∠BAC， 在△DAM与△BAC中， AD=AB, ∠DAM=∠BAC,AM=AC ∴△DAM≌△BAC ∴DM=BC 又∵BC=BE ∴DM=BE ∴四边形DBEM是平行四边形 ∴S△BDM= S△BEM 由上所述∴△DAM≌△EMC ∴S△DAM= S△EMC ∴S△BDM+ S△DAM+ S△MAC= S△BEM+ S△EMC+ S△ACF 即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF 如对你有帮助，请购买下载打赏，谢谢！ 20．（本小题满分8分） 北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率100%=?利润成本 ） 22．（本小题满分10分） 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y （元）与销售月份x （月）满足关系式3368 y x =-+，而其每千克成本2y （元）与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示． （1）试确定b c 、的值； （2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式； （3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？ 21．(本题满分10分)星期天，小明和七名同学共8 乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完． (1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？ (2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？ 20.（9分）某项工程，甲工程队单独完成任务需要40天．若乙队先做30天后，甲、乙两队一起合做20请问： （1）（5分）乙队单独做需要多少天才能完成任务？ （2）（4分）现将该工程分成两部分，甲队做其中一部分工程用了x 天，乙队做另一部分 工程用了y 天．若x 、y 都是正整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到 70天，那么两队实际各做了多少天？ 3、（2009年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。 （1）请建立销售价格y （元）与周次x 之间的函数关系； （2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z （元）与周次x 之间的关系为12)8(8 12+--=x z ， 1≤ x ≤11，且x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？ 5、（2009年滨州）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围； （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 20．(本题满分8分)如图，在□ABCD 中，∠BAD 为钝角，且AE ⊥BC ，A F ⊥CD ． (1)求证：A 、E 、C 、F 四点共圆； (2)设线段BD 与(1)中的圆交于M 、N ．求证：BM =ND ． 第20题图 N M F E B D A C y 2 专题18《弦图模型》 破解策略 1．内弦图 如图，在正方形ABCD中，BF⊥CG，CG⊥DH，DH⊥AE，AE⊥BF，则△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．证明因为∠ABC＝∠BFC＝90° 所以∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB－90°． 所以∠ABE＝∠FC B． 又因为AB＝B C．所以△ABE≌△BCF， 同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． D C 2．外弦圈 如图，在正方形ABCD中，点M，N，P，Q在正方形ABCD边上，且 四边形MUPQ为正方形，则△QBM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ． 证明因为∠B＝∠QMN＝∠C＝90°， 所以∠BQM＋∠QMB＝∠QMB＋∠NMC＝90°， 所以∠BQM＝∠NM C． 又因为QM＝MN，所以△QBM≌△MCN． 同理可得△QHM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ． N Q D A 3．括展 （1）如图，在Rt△ABH中．∠ABH＝90°，BE⊥AH于点E．所以 △A BE≌△BHE≌△AH B． （2）如图，在Rt △QBM和Rt△BLK中，QB＝BL，QM⊥BK，所以 △QBM≌△BLK． 证明因为∠BLK＝90°，QM⊥BK， 所以∠KBL＋∠QMB＝∠KBI十∠K＝90° 所以∠QMB＝∠K， 又因为QB＝BL． 所以△QBM≌△BLK． 例题讲解 例1四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连结CE，以CE 为边，作正方形CEFG（点D，F在直线CE的同侧），连结BF．当点E在线段AD上时，AE ＝1，求BF的长． G 解如图，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H， 延长FH交BC的延长线于点K． 因为四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， 根据“弦图模型”可得△ECD≌△FEH，所以FH＝ED＝AD－AE＝3，EH＝CD＝4．因为CDHK为矩形，所以HK＝CD＝4，CK＝DH＝EH－ED＝1． 所以FK＝FH十HK＝7，BK＝BC＋CK＝． 5． 所以BF 应用题 20．（本小题满分8分） 北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售 价至少是多少元？（利润率100%=?利润 成本 ） 22．（本小题满分10分） 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y （元）与销售月份x （月）满足关系 式3 368 y x =- +，而其每千克成本2y （元）与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示． （1）试确定b c 、的值； （2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式； （3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？ y 2 21．(本题满分10分)星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完． (1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？ (2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？ 20.（9分）某项工程，甲工程队单独完成任务需要40天．若 乙队先做30天后，甲、乙两队一起合做20天就恰好完成任务． 请问： （1）（5分）乙队单独做需要多少天才能完成任务？ （2）（4分）现将该工程分成两部分，甲队做其中一部分工程用了x 天，乙队做另一部分 工程用了y 天．若x 、y 都是正整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到 70天，那么两队实际各做了多少天？ 3、（2009年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。 （1）请建立销售价格y （元）与周次x 之间的函数关系； （2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z （元）与周次x 之间的关系为 12)8(8 1 2+--=x z ， 1≤ x ≤11，且x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每 件获得利润最大？并求最大利润为多少？ 5、（2009年滨州）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围； （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 初中数学初试试讲题目 1、如图，已知ABC △ ⑴ 请你在BC 边上分别取两点D 、E （BC 的中点除外），连结AD 、AE ，写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； ⑵ 请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB AC AD AE +>+． C B A ⑴ D E C B A 2、在ABC △中，AB AC >，D ，E 分别为AB ，AC 上两点且BD CE =． 求证：DE BC <． 3、如图，在等腰ABC △中，AB AC =，ABC α∠=，在四边形BDEC 中， DB DE =，2BDE α∠=，M 为CE 的中点，连接AM ，DM ． ⑴ 在图中画出DEM △关于点M 成中心对称的图形； ⑵ 求证：AM DM ⊥； ⑶ 当α=___________时，AM DM =． E D C B A M E D C B A 4、如图，E 是矩形ABCD 外任意一点，已知18EAF S =△，50BCDF S =四边形， 8EDC S =△，求EDF S △的值 5、已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sinB =2 1 ，∠CAD =30°。 （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若OD ⊥AB ，BC =5，求AD 的长。 6、如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠ BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F 。请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 F E D C B A A D B C O O P A M N E B C D F A C E F B D 图① 图② 图③ 中考数学好题难题集锦 一、分式： 1、如果abc=1，求证++=1． 2、已知+=，则+等于多少？ 3、一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度． 4、已知M=、N=，用“+”或“﹣”连接M、N，有三种不同的形式，M+N、M ﹣N、N﹣M，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x：y=5：2． 二、反比例函数： 5、一张边长为16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示．小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）“E”图案的面积是多少？ （3）如果小矩形的长是6≤x≤12cm，求小矩形宽的范围． 6、如图是一个反比例函数图象的一部分，点A（1，10），B（10，1）是它的端点． （1）求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例． 7、如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于_________． 8、如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP 面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．历年全国中考数学试题及答案
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