姓名： 学号： 班级： 《高等数学》第七章作业
60 第七章 空 间 解 析 几 何
第 一 节 作 业
一、选择题（单选）：
1. 点M(2,-3,1)关于xoy 平面的对称点是：
（A ）（-2,3,1）； （B ）（-2,-3,-1）； （C ）（2,-3,-1）； （D ）（-2,-3,1） 答：（ ） 2. 点M(4,-3,5)到x 轴距离为：
（A ）.54)(;54)(;5)3()(;
5)3(42222222
22+++-+-+D C B
答：（ ） 二、在yoz 面上求与A （3,1,2）,B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点。
第 二 节 作 业
设.32,,.2,v u c b a c b a v c b a u -+-=++=表示试用
第 三 节 作 业
一、选择题（单选）： 已知两点:),0,3,1()2,2,2(2121的三个方向余弦为则和M M M M
.2
2
,21,21)
(.2
2
,21,21)
(;
2
2
,21,21)(;2
2,21,21)(-------
D C B A 答：（ ） 二、试解下列各题：
1. 一向量的终点为B （2，-1，7），它在x 轴，y 轴，z 轴上的投影依次为4，-4，4，求这向量的起点A 的坐标。
姓名： 学号： 班级： 《高等数学》第七章作业
61 {}.
6,7,6.3.
34.45,42,353.2的单位向量求平行于向量轴上的分向量上的投影及在轴
在求向量设-=-+=-+=-+=++=a y x p n m a k j i p k j i n k j i m
第 四 节 作 业
一、选择题（单选）：
)()
()()(:
.1D C B A b a
上的投影为在向量 答：（ ）
.
//)(;)(;
)(;//)(:
0,.2的必要但不充分条件的充要条件的充要条件的充要条件是则为非零向量与设b a D b a C b a B b a A b a b a
=⊥=? 答：（ ）
.
6321)(;
14321)(;14321)(;6321)(:
,321,,.3222222=++=++=++=++++====D C B A c b a s c b a 的长度为则两两垂直向量
答：（ ）
二、试解下列各题：
{}{}.
,),3,1,3()1,3,3(),2,1,1(.4.
,,4,1,2,2,5,3.3.
,5,4,3,,2,85,3
),(.13221321321321求与和已知的关系与求轴垂直与设求向量的数量积分别为
与三向量设设M M M M M M M z b a b a x k j a k i a j i a k x j x i x x b a -+=-=+=+=+=++=-+===μλμλπ
.
,3,3.7.
)()()(,2,3,32.6.
,0,,.5的面积求已知和求已知求为单位向量且满足已知OAB k j k i c b a c b b a j i c k j i b k j i a a c c b b a c b a c b a ?+=+=??+?+-=+-=+-=?+?+?=++
第 五 节 作 业
选择题（单选）：
1. 在xoy 面上的曲线4x 2-9y 2=36绕x 轴旋转一周，所得曲面方程为：
（A ）4(x 2+z 2)-9y 2=36; (B) 4(x 2+z 2)-9(y 2+z 2)=36 （C ）4X 2-9(y 2+z 2)=36; (D) 4x 2-9y 2=36.
答：（ ）
2. 方程y 2+z 2-4x+8=0表示：
（A ）单叶双曲面； （B ）双叶双曲面； （C ）锥面； （D ）旋转抛物面。 答：（ ）
第 六 节 作 业
试解下列各题：
.
19.4.03215
416.3.9
.2.0
16
2.12222
222222
222
22面上的投影的方程的交线在与平面求球面面的投影柱面方程关于求曲线化为参数方程将曲线的一般方程的柱面方程轴且通过曲线求母线平行于xoy z x z y x xoy z x z y x x
y z y x z y x z y x y =+=++??
???=+-=-+
??
?==++?????=-+=++
第 七 节 作 业
一、填空题：
1. 平面A 1x+B 1y+C 1z+D 1=0与平面A 2x+B 2y+C 2Z+D 2=0互相平行的充要条件是 。
2. 使平面x+ky-2z=9与平面2x-3y+z=0成
4
π
角的k 值为 。 3. 平行于平面5x-14y+2z+36=0且与此平面距离为3的平面方程为 。 4. 过点（5，-7，4）且在三坐标轴上截距相等的平面方程为 。 二、试解下列各题：
1. 一平面过点（1，0，-1）且与{}{}0,1,11,1,2-==b a
和平行，求此平面的方程。
2. 求平行于x 轴且经过点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程。
3. 求经过两点（3，-2，9），（-6，0，4）且与平面2x-y+4z-8=0垂直的平面方程。
4. 求点（1，2，1）到平面x+27+2z-10=0的距离。
5. 求平面2x-2y+z+5=0与yoz 面的夹角余弦。
第 八 节 作 业
一、填空题：
1. 点（1，2，3）到直线
2
3341--=--=z y x 的距离为 。 2. 过点（2，-3，4）且与平面3x-y+2z=4垂直的直线方程为 。
3. 点燃，3，1）在直线x=t-7,y=2t-2,z=3t-2上的投影为 。
4. 经过点（3，4，-4），方向角为
3
2,4,3π
ππ的直线方程为 。
5. 点（-1，2，0）在平面x=2y-z+1=0上的投影为 。 二、试解下列各题：
1. 求过点（0，2，4）且与平面x+2z=1和y-3z=2平行的直线方程。
2. 求直线??
?=---=+-0
9230
42z y x z y x 在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程。
.3
1221)2,1,3(.5.
05231
2
121)3,1,2(.4.07344
2
2152.3的平面方程且通过直线
求过点直线方程的相交又平行于平面且与直线求过点的平面方程且垂直于平面求过直线
-=+=--=++-+=-=--=+-+-=+=-z
y x z y x z y x z y x z y x
6. 求从点（0，-1，1）到直线?
?
?=-+=+0721
z x z y 的垂线方程和长度。
第 九 节 作 业
求曲线3
222==-+z x z y 在xoy 面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线。
第 七 章 综 合 作 业
一、填空题（每小题5分，共25分）：
{}{
}.
2
3
54)2,1,3(.5.
20.4.
,3,3.3.1,2,24,3,4.2.
326.1的平面方程为
且通过直线过点的标准方程为
直线已知上的投影为
在向量向量的单位向量是
平行于向量z y x y x z y x k j k i b a k j i a =+=--???=+-=-+=
+=+==-=-+=
二、选择题（单选）（每小题5分，共20分）：
.
5)(;
2)(;21)(;1)(||,4
),(,21.1D C B A b a b a +=
+===
则π
答：（ ） 2. 平面3x-3y-6=0的位置是：
（A ）平行xoy 平面； B ）平行Z 轴，但不通过z 轴；（C ）垂直于z 轴；（D ）通过z 轴。 答：（ ）
.
)(;//)(;)(;)(:
028363:7272:.32121212121为异面直线与相交不垂直与的关系是与直线L L D L L C L L B L L A z y x z y x L z y x z y x L ⊥?
??=--=-+???=++-=-+ 答：（ ） 4. 直线
:32243
7423的关系是与平面=--=-+=+z y x z
y x （A ）平行但直线在平面上； （B ）直线在平面上； （C ）垂直相交；（D ）相交但不垂直。
答：（ ）
三、试解下列各题（每小题12分，共48分）：
.64,3
3864.2.,0352,2
51
34.1的平面方程且平行于直线求通过直线
求此平面方程且垂直于平面一平面通过直线+==-=+=--=-+-??
?=-+=+-z y x z
y x z y x z y x z y x
3. 求过点（-1，0，4），且平行于平面2
1333,01043:z
y x yz x =-=+=--并与直线π 相交的直线方程。
.
,4501284,0405.4求其方程角成且与平面的交线和一平面通过平面?=+--=+-=++z y x z x z y x
四、设).7(||||||:,0,0分试证b a +≤+≠≠
《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。
7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。
同济大学第六版高等数学上下册课后习题 答案8-6
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 习题8-6 1. 求曲线x =t -sin t , y =1-cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (-π处的切线及法平面方程. 解 x '(t )=1-cos t , y '(t )=sin t , 2 cos 2)(t t z ='. 因为点)22 ,1 ,12 (-π所对应的参数为2 π=t , 故在点)22 ,1 ,12 (-π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T . 因此在点)22 ,1 ,12 (-π处, 切线方程为 2 2211121-=-=-+z y x π, 法平面方程为 0)22(2)1(1)12(1=-+-?++-?z y x π, 即42 2+=++πz y x . 2. 求曲线t t x +=1, t t y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程. 解 2 )1(1)(t t x +=', 21)(t t y -=', z '(t )=2t . 在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,4 1(-=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,2 1(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 2 1124 121-=--=-z y x , 即8142121-=--=-z y x ; 法平面方程为 0)1(2)2()2 1(41=-+---z y x , 即2x -8y +16z -1=0. 3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m -x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程. 解 设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m -x 的两边对x 求导, 得 m dx dy y 22=, 12-=dx dz z , 所以y m dx dy =, z dx dz 21-=. 曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(0 0z y m -=T , 所求的切线方程为 0000211z z z y m y y x x --=-=-, 法平面方程为 0)(21)()(00 000=---+-z z z y y y m x x . 4. 求曲线???=-+-=-++0 453203222z y x x z y x 在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程. 解 设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,
福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念
高等数学（同济大学教材第五版）复习提纲 第一章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限 第二章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算 第三章微分中值定理与导数的应用：熟练掌握本章的实际应用，研究函数的性态，证明相关不等式 第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分方法，尤其要用凑微分以及一些需用一定技巧的函数类型 第五章定积分：正确理解概念，会多种积分方法，有变限函数参与的各种运算 第六章定积分的应用：掌握定积分的实际应用 第七章空间解析几何和向量代数：熟练掌握本章的实际应用 高等数学（1）期末复习要求 第一章函数、极限与连续函数概念
理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。 2．函数的性质 知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的方法。 3．初等函数 了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。 4．建立函数关系 会列简单应用问题的函数关系式。 5．极限：数列极限、函数极限 知道数列极限、函数极限的概念。 6．极限四则运算 掌握用极限的四则运算法则求极限. 7．无穷小量与无穷大量 了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量的性质。 8．两个重要极限 了解两个重要极限，会用两个重要极限求函数极限。 9．函数的连续性 了解函数连续性的定义、函数间断点
的概念； 会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型； 知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质 （最大值、最小值定理和介值定理）。 第二章导数与微分 1．导数概念：导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。 理解导数概念； 了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；知道可导与连续的关系，会求高阶导数概念。 2．导数运算 熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。 掌握隐函数的求一阶导及二阶导。 会求参数表示的函数的一阶导及二阶导 会用对数求导法：解决幂指函数的求
第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) (是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以 [a,b]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A) (. 一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U) (. 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). §6. 2 定积分在几何上的应用
习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 6 1]2132[)(102310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3)
解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3 32|)313()32(31323 12=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 221x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 88282)218(22 0220220220221--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 3 4238cos 16402+=-=?ππ tdt .
346)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1=与直线y =x 及x =2; 解: 所求的面积为 ?-=-=2 02ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解
高等数学(同济大学第五版)第六章_定积分的应用习题 6 2 1, 求图 6 21 中各画斜线部分的面积: (1) 解画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[0～ 1], 所求的面积为 3 1 1]2 1( ) [ , 122 , A x x dx x x ,00， .3 2 6 (2) 解法一画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[0～ 1], 所求的面积为 1 0 ( ) ( )| 11, , ， ,A e e dx ex e ～0 xx 解法二画斜线部分在 y 轴上的投影区间为[1～ e], 所求的面积为 e e ( 1) 1ln ln |, , , ，，A ydy y y dy e e ,e ,111 (3)
解画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[ 3～ 1], 所求的面积为 1 32[(3 ) 2 ]3 2, ， , A x x dx , 3 (4) 解画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[ 1～ 3], 所求的面积为 3 32)|1(2 3 ) ( 3 31321 2, ， , ，，A x x dx x x x , , 3 3 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) y , 1 x2 与x2，y2,8(两部分都要计算),
2 解: 2 2 2 2 2 2 2 82 8) 2 812 ( 8 , , ，0000 2 21 ， , ，， x dxx dx x dxx x dxA 2 3 8 216 cos40 2 , ，, ， tdt ,4 3 3 42) 612 , S ,(22 ,A 3 (2) y , 1 与直线 y,x 及 x,2, x 解: 所求的面积为 2 3 ，,A , 0 ln 2)1( , dxxx 2 (3) y,ex～ y,e x与直线x,1, 解:
高等数学上册复习要点 一、函数与极限 （一）函数 1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、函数的连续性与间断点； 函数在连续 第一类：左右极限均存在. 间断点可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二）极限 1、定义 1）数列极限 2）函数极限 左极限：右极限：
2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1） 2） 2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量 1）定义：若则称为无穷小量；若则称为无穷大量. 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小 1 ; 2 （无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则； 3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限： a)b) 5）无穷小代换：（） a) b)
c)（） d)（） e) 二、导数与微分 （一）导数 1、定义： 左导数： 右导数： 函数在点可导 2、几何意义：为曲线在点处的切线的斜率. 3、可导与连续的关系： 4、求导的方法 1）导数定义； 2）基本公式； 3）四则运算； 4）复合函数求导（链式法则）； 5）隐函数求导数； 6）参数方程求导； 7）对数求导法. 5、高阶导数
1）定义： 2）公式： （二）微分 1）定义：，其中与无关. 2）可微与可导的关系：可微可导，且 三、微分中值定理与导数的应用 （一）中值定理 1、罗尔定理：若函数满足： 1）；2）；3）； 则. 2、拉格朗日中值定理＊：若函数满足： 1）；2）； 则. 3、柯西中值定理：若函数满足： 1）；2）；3） 则 （二）洛必达法则
第三篇 常微分方程 第六章 常微分方程 函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中有重要意义．但是在许多问题中，常常不能直接找出这种函数关系，但却能根据问题所处的环境，建立起这些变量和它们的导数（或微分）之间的方程，这样的方程称为微分方程． 在本章中，主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用的常微分方程的解法． 第一节 微分方程的概念 下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念． 1．1 引例 引例1 一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点),(y x P 处的切线斜率为x 2，求这条曲线方程． 解 设所求曲线方程为()y f x =，且曲线上任意一点的坐标为),(y x ．根据题意以及导数的几何意义得 x dx dy 2=. 两边同时积分得 2y x c =+ （c 为任意常数）． 又因为曲线通过（1，2）点，把1x =，2y =代入上式，得1=c ．故所求曲线方程为 21y x =+． 引例2 将温度为C ο100的物体放入温度为C ο0的介质中冷却，依照冷却定律，冷却的速度与温度T 成正比，求物体的温度T 与时间t 之间的函数关系． 解 依照冷却定律，冷却方程为 kt dt dT -= （k 为比例常数）， 所求函数关系满足0t =，100T =． 以上我们仅以几何、物理上引出关于变量之间微分方程的关系． 下面我们介绍有关微分方程基本概念． 1.2 微分方程的基本概念
定义1 含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程．在微分方程中，若未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．若未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程． 例如 下列微分方程中， （1） 13=-'x y ； （2）sin 0dy y xdx +=； （3）21 ()20y y x '''+ += （4）22221u u x y ??+=??； （5）cos 3dy y x dx +=． 都是微分方程，其中（1）、（2）、（3）、（5）是常微分方程，（4）是偏微分方程． 本课程只讨论常微分方程． 定义2 微分方程中含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶． 在上例中，（1）、（2）、（5）是一阶常微分方程，（3）是二阶常微分方程． 一般地，n 阶微分方程记为： 0) , , , ,()(='n y y y x F ． 定义3 若将()y f x =代入微分方程中使之恒成立，则称()y f x =是微分方程的解（也称显式解）；若将0),(=y x ?代入微分方程中使之恒成立，则称关系式0),(=y x ?是微分方程的隐式解． 定义4 微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解． 引例1中，积分后得到C x y +=2为微分方程的通解，由于通解中含有任意常数，所以它不能完全确定地反映客观事物的规律性，必须确定这些常数，为此，要根据实际问题，提出确定通解中的常数的条件． 设微分方程中未知函数)(x y y =，如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件是 00 y y x x ==；如果微分方程是二阶的确定任意常数的条件是00 y y x x ==，10 y y x x ='=，上述 这些条件叫做初始条件． 定义 5 求解微分方程),(y x f y ='满足初始条件00 y y x x ==的特解问题称为一阶微分 方程的初值问题．记作 ?????=='=00 ) ,(y y y x f y x x ． 例1 验证at c at c x sin cos 21+=是微分方程 02=+''x a x 的解．
高等数学第六章测试题 一、填空题 1、如果当点),(y x P 以不同方式趋向于定点),(000y x P 时，函数),(y x f 趋于不同常 数，则函数),(y x f 在),(000y x P 处的极限 。 如果当点),(y x P 沿不同直线趋向于定点),(000y x P 时，函数),(y x f 趋于同一 常数a ，则函数),(y x f 在),(000y x P 处的极限为 。 2、函数在一点处连续，是在该点可微的 条件，又是在该点可偏导的 条件。（填写“充分、必要，不充分、不必要”等。不唯一） 3、对函数),(y x f ，yx xy f f =的充分条件是 。 4、处在)0,0()0,0(),(, 0)0,0(),(,),(2 2?????≠≠+=y x y x y x xy y x f 。 处在)0,0()0,0(),(,0)0,0(),(,),(22?? ???≠≠+=y x y x y x xy y x g 。 （填：是否连续，是否可偏导，是否可微。例如：连续，不可偏导，不可微） 二、计算与证明 5、函数),,(z y x f u =由方程0222=-++x y z u 确定，其中y y y xy z -+=ln 2， （1）求x u ??（不允许将z 代入方程） （2）本题中x f x u ????与有何区别？ 6、证明曲线? ??=++=-012302y x z x 在)1,2,1(-的法平面平行于直线???=--=--002179z y x z y x 7、已知曲面S ：0),,(=+++x z z y y x F ，且,7)4,5,3(,6)4,5,3(21='='F F 8)4,5,3(3='F 。求曲面S 在点)3,2,1(处切平面的点法式方程。 8、求函数2333),(2232+--+=y x y y x y x f 的极值与极值点。 9、圆柱面222a y x =+被平面0=++z y x 所截得椭圆，求椭圆的长、短半轴。 10、求函数xy e y x f -=),(在区域14:22≤+y x D 上的最值及最值点。
高等数学（同济大学教材第五版）复习提 纲 第一章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限 第二章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算 第三章微分中值定理与导数的应用：熟练掌握本章的实际应用，研究函数的性态，证明相关不等式 第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分方法，尤其要用凑微分以及一些需用一定技巧的函数类型 第五章定积分：正确理解概念，会多种积分方法，有变限函数参与的各种运算 第六章定积分的应用：掌握定积分的实际应用 第七章空间解析几何和向量代数：熟练掌握本章的实际应用 高等数学（1）期末复习要求
第一章函数、极限与连续函数概念 理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。 2．函数的性质 知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的方法。 3．初等函数 了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。 4．建立函数关系 会列简单应用问题的函数关系式。 5．极限：数列极限、函数极限知道数列极限、函数极限的概念。 6．极限四则运算 掌握用极限的四则运算法则求极限. 7．无穷小量与无穷大量 了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量的性质。 8．两个重要极限 了解两个重要极限，会用两个重要极
限求函数极限。 9．函数的连续性 了解函数连续性的定义、函数间断点的概念； 会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型； 知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质 （最大值、最小值定理和介值定理）。 第二章导数与微分 1．导数概念：导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。 理解导数概念； 了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；知道可导与连续的关系，会求高阶导数概念。 2．导数运算 熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。
周次日期节次 授课内容 §6.1 定积分的元素法 §6.2 定积分在几何学上的应用 授课学时2学时/每班 教学目的元素法的基本思想；计算平面图形的面积 教学重点计算平面图形的面积 教学难点元素法的基本思想 教具和 媒体使用 黑板+粉笔 教学方法讲授法、类比法、练习法、讨论法、启发式等 教学过程§6.1 定积分的元素法 在实用上，为了简便起见，省略下标，在小区间[,] x x dx +上， 取左端点x为ξ，以() f x为高，d x为底的小矩形的面积()d f x x作为小规则图形的面积，()d f x x叫做面积元素，记为=()d dA f x x.于是， () lim()d=d b a A f x x f x x =∑? 这个方法通常称为微元分析法，简称元素法（微元法） §6.2定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 一般地，根据元素法，由曲线() y f x =，() y g x =(()() ≥ f x g x)以及直线 ,() x a x b a b ==＜所围成的曲边梯形的面积()()d b a A f x g x x =- ?? ?? ? 思考题设2 y x =，[0 , 1] x∈，问t取何值时， 图中阴影部分的面积 1 S与 2 S之和最大？何时最小？
第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 设函数()y f x =在区间[],a b 上连续，且()0f x ≥，求以曲线()y f x =为曲边，以[],a b 为底的曲边梯形面积． 分割：将区间[],a b 分成任意n 个子区间[]1,(1,2,,)i i x x i n -=???， 将所求量（曲边梯形面积A ）分为部分量（小曲边梯形面积i A ?)之和 近似代替：在每个子区间[]1,(1,2,,)i i x x i n -=???上任取一点i ξ， 以()i f ξ和i x ?为边长的小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积i A ?，即 ()i i i A f x ξ?≈? 求和：曲边梯形的面积A 的近似值（各小矩形面积之和）为1 ()n i i i A f x ξ=≈ ?∑ 取极限：令{}12max ,,,n x x x λ=??????，对和式取极限后得所求量的精确值（曲边梯形面积）0 1 lim ()n i i i A f x λξ==?∑→ 以上四个步骤中，主要的是第二步，小规则图形的面积 在实用上，为了简便起见，省略下标，在小区间[,]x x dx +上， 取左端点x 为ξ，以 ()f x 为高，d x 为底的小矩形的面积()d f x x 作为小规则图形的面积， ()d f x x 叫做面积元素，记为=()d dA f x x .于是， ()lim ()d =d b a A f x x f x x =∑? 这个方法通常称为微元分析法，简称元素法（微元法）
第八早疋积 第一、二 分的应用节作业 一、填空题： 曲线xy=1,y=x,x=2所围成图形的面积是：。 二、选择题（单选）: 1.曲线y=-lnx,y轴与直线y=lna,y=Inb(b>a>0)所围成图形的面积是： /八\ 1 1 (A) 1 1 (B)a b；(C)b a1；(D) a b. 答：（） 2.曲线r 3 (0 2 ）所围成图形的面积是: 3 (A) 4n ;3 (B) 12n ; (C) 6n3；3 (D) 3n o 答：（） 三、试解下列各题： 1.求由下列曲线所围成图形的面积: ⑴y x2与直线y x及y 2x. lnx，xy °，x 2及 x 2. ⑶ r 2(2 cos ). (4) r 3a,r 2acos .
2. 当a 为何值时，抛物线 y=x 2与三直线x=a,x=a+1,y=0所围成图形的面积最小。 第三节作业 一、填空题： 1. 由曲线y=f(x)(f(x)>0) 和直线x=a,x=b(a
习题12-9 1. 求下列各微分方程的通解: (1)2y ''+y '-y =2e x ; 解 微分方程的特征方程为 2r 2+r -1=0, 其根为211= r , r 2=-1, 故对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y -+=2211. 因为f (x )=2e x , λ=1不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y *=Ae x , 代入原方程得 2Ae x +Ae x -Ae x =2e x , 解得A =1, 从而y *=e x . 因此, 原方程的通解为 x x x e e C e C y ++=-2211. (2)y ''+a 2y =e x ; 解 微分方程的特征方程为 r 2+a 2=0, 其根为r =±ai , 故对应的齐次方程的通解为 Y =C 1cos ax +C 2sin ax . 因为f (x )=e x , λ=1不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y *=Ae x , 代入原方程得 Ae x +a 2Ae x =e x , 解得2 11a A +=, 从而21*a e y x +=. 因此, 原方程的通解为 2 211sin cos a e ax C ax C y x +++=. (3)2y ''+5y '=5x 2-2x -1; 解 微分方程的特征方程为 2r 2+5r =0,
其根为r 1=0, 252-=r , 故对应的齐次方程的通解为 x e C C Y 2521-+=. 因为f (x )=5x 2-2x -1, λ=0是特征方程的单根, 故原方程的特解设为 y *=x (Ax 2+Bx +C ), 代入原方程并整理得 15Ax 2+(12A +10B )x +(4B +5C )=5x 2-2x -1, 比较系数得31=A , 53-=B , 257=C , 从而x x x y 25 75331*23+-=. 因此, 原方程的通解为 x x x e C C y x 2575 33123521+-++=-. (4)y ''+3y '+2y =3xe -x ; 解 微分方程的特征方程为 r 2+3r +2=0, 其根为r 1=-1, r 2=-2, 故对应的齐次方程的通解为 Y =C 1e -x +C 2e -2x . 因为f (x )=3xe -x , λ=-1是特征方程的单根, 故原方程的特解设为 y *=x (Ax +B )e -x , 代入原方程并整理得 2Ax +(2A +B )=3x , 比较系数得23=A , B =-3, 从而)32 3(*2x x e y x -=-. 因此, 原方程的通解为 )323 (2221x x e e C e C y x x x -++=---. (5)y ''-2y '+5y =e x sin2x ; 解 微分方程的特征方程为 r 2-2r +5=0, 其根为r 1, 2=1±2i , 故对应的齐次方程的通解为 Y =e x (C 1cos2x +C 2sin2x ). 因为f (x )=e x sin2x , λ+i ω=1+2i 是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y *=xe x (A cos2x +B sin2x ), 代入原方程得
高等数学(同济大学教材第五版)复习 高等数学（同济大学教材第五版）复习提纲 第一章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限 第二章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算 第三章微分中值定理与导数的应用：熟练掌握本章的实际应用，研究函数的性态，证明相关不等式 第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分方法，尤其要用凑微分以及一些需用一定技巧的函数类型 第五章定积分：正确理解概念，会多种积分方法，有变限函数参与的各种运算 第六章定积分的应用：掌握定积分的实际应用 第七章空间解析几何和向量代数：熟练掌握本章的实际应用 高等数学（1）期末复习要求 第一章函数、极限与连续 函数概念 理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。 2．函数的性质 知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的方法。 3．初等函数 了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基 本初等函数的主要性质和图形。 4．建立函数关系
会列简单应用问题的函数关系式。 5．极限：数列极限、函数极限 知道数列极限、函数极限的概念。 6．极限四则运算 掌握用极限的四则运算法则求极限. 7．无穷小量与无穷大量 了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量的性质。 8．两个重要极限 了解两个重要极限，会用两个重要极限求函数极限。 9．函数的连续性 了解函数连续性的定义、函数间断点的概念；会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型； 知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质 （最大值、最小值定理和介值定理）。 第二章导数与微分 1．导数概念：导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。 理解导数概念； 了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；知道可导与连续的关系，会求高阶导数概念。 2．导数运算 熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。 掌握隐函数的求一阶导及二阶导。
高等数学教案§6 定积分的应用 第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立 体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6 1定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积 设 y f (x) 0 (x [a b])如果说积分 b A a f ( x)dx 是以 [a b]为底的曲边梯形的面积则积分上限函数 x A( x)a f (t) dt 就是以 [a x]为底的曲边梯形的面积而微分dA(x) f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面 积的近似值 A f (x)dx f (x)dx 称为曲边梯形的面积元素 以 [a b]为底的曲边梯形的面积 A 就是以面积元素f( x)dx 为被积表达式以 [ a b] 为积分区间的定积分 b A a f ( x) dx 一般情况下为求某一量U先将此量分布在某一区间[a b] 上分布在[a x] 上的量用函数U (x)表示再求这一量的元素dU(x)设dU(x) u(x)dx然后以u( x)dx为被积表达式以[a b] 为积分区间求定积分即得 b U a f ( x)dx 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法 )
内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室