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高等数学_李伟版_课后习题答案第一章

习题1—1（A ）

1．判断下列论述是否正确？并说明理由：

（1）有理数集是实数集的子集，但不能说实数集是实数集的子集，因为一个集合的子集所含的元素一定比该集合所含的元素“少”； (2) 由于函数()y f x =的图像与其反函数1

()x f y -=的图像是同一条曲线，因此这两个函

数实际是同一个函数；

(3) 若将函数(),()y f t t g x ==复合为复合函数(()),y f g x =函数()t g x =的值域必须为函数()y f t =的定义域；

(4) 函数()y f x =在点集I 上有界的充分必要条件是它在I 上有最大值与最小值； (5) 过函数()y f x =定义域内的任意一点做x 轴的垂线，该垂线与函数的图形必交于且只

交于一点； (6) 函数x

y 1

是其定义域内无界函数．答：（1）不正确．集合本身也是其子集．

（2）不正确．如x y ln =与y

x e =是不同的函数，前者是指数函数，后者是对数函数．（3）不正确．如x t t y -==1ln ，，复合为)1ln(x y -=，函数x t -=1的值域为全体

实数，而函数t y ln =的定义域为全体正实数．

（4）不正确．)(x f 在I 上有最大值与最小值是)(x f 在I 上有界的充分条件，不是必要

条件，如x y =在)10(，

内有界，但是没有最大值与最小值．（5）正确．函数定义决定的．（6）正确．事实上，0>?M ，取D M x ∈+=

0，M M x y >+=1)(0． 2．若集合}01{,}2{≠->=≤=x x x B x x A ，，用区间表示集合B A B A B A \、、．解：由2≤x ，或0,1≠->x x ，得+∞<≤-x 2，所以),2[+∞-=B A ；

由??

?≠->≤,

0,1,2x x x 得01<<-x 或20≤

-=B A ；由2≤x ，及01=-≤x x ，，得12-≤≤-x 或0=x ，所以}0{]1,2[\ --=B A ．

3．若函数1)(2

-=x x f ，求)()()1()1()1(x f x x f x

f x f f -?+-，，，．解：,21)1()1(,011)1(222x x x x f f +=-+=+=-=

),0(11)1()1(2

2≠-=-=x x

x x x f x x x x x x x f x x f ?+?=---?+=-?+2)()1(1)()()(2

．

4．设函数???≤≤<=-.

104,

e 4

sin )(1x x x x f x

求)8()()0()4(f f f f ，，，π-．

解：因为4-在104≤≤x 范围内，所以5)

4(1e e

)4(==---f ；

因为0在4

1e e

)8(--==f ．

5．若函数)(x f 的定义域为)1,1(-，求函数)1()()1(x

f x f x f ，，+的定义域．

解：由11<+x ，得)1(+x f 的定义域为)02(，

-；由11<<

-x ，有10<≤x ；得)(x f 的定义域为)10[，

；由1/1x 得)/1(x f 的定义域为)1()1(∞+--∞，，． 6．下列各题中，各对函数是否为同一函数？为什么？（1）x x f =)(与2)(x x g =

；

（2）x x f ln 2)(=与2

ln )(x x g =；

（3）1

)(2--=x x x f 与1)(+=x x g ；

（4）221)(x x x f ++=与x x g +=1)(．答：（1）是，x x ≡2（),(+∞-∞∈x ）．

（2）不是，前者定义域为0>x ，后者定义域为0≠x ．（3）不是，前者定义域为1≠x ，后者定义域为全体实数．

（4）不是，前者在1-

7．若所涉及的函数都在),(l l -内有定义，证明

（1）两个偶函数之和是偶函数，两个奇函数之和是奇函数；

（2）两个偶（奇）函数之积是偶函数，一个偶函数与一个奇函数之积是奇函数．

证明：设)()(1x f x f 、分别是定义在),(l l -的偶函数；

)()(1x g x g 、分别是定义在),(l l -的奇函数．

（1）设)()()(1x f x f x F +=；)()()(1x g x g x G +=，

)()()()()()(11x F x f x f x f x f x F =+=-+-=-，所以)(x F 是偶函数； )()()()()()(11x G x g x g x g x g x G -=--=-+-=-，所以)(x G 是奇函数．

（2）设)()()()()()(1x g x f x x f x f x ==ψ?，，

)()()()()()(11x x f x f x f x f x ??==--=-，所以)(x ?是偶函数；

)()]()[()()()(x x g x f x g x f x ψψ-=-=--=-，所以)(x ψ是奇函数． 8．判断下列函数的奇偶性：

（1）x x

x x x f sin cos 1)(2

++=

；（2）)31sin()(2x x f -=；（3）)e e (21)(x x x f --=

；（4）x

x f -+=11ln

)(．答：（1）奇函数，由奇偶函数的四则运算性质．

（2）偶函数，由复合函数运算性质，若)(x g 是偶函数，则)]([x g f 是偶函数．（3）奇函数，若)(x f 在),(l l -有定义，则)()(x f x f -+一定是偶函数，)()(x f x f --一定是奇函数，本题属于后者．（4）奇函数，x

x f -+=11ln

)(的定义域为)11(，

-，且)1ln()1ln()(x x x f --+=． 9．证明函数)1lg()(2x x x f ++=是),(+∞-∞内的奇函数．证明：因为x

x x x x x x f ++=-+=-++-=-2

11lg

)1lg())(1lg()(

)()1lg(2x f x x -=++-=，

所以)1lg()(2x x x f ++=是),(+∞-∞内的奇函数．

10．在下列函数中哪些是周期函数？如果是周期函数，指出其最小正周期：（1）x y πsin =；（2）)21tan(x y -=；（3）x y 2

sin =；（4）x x y 2sin +=．答：（1）是，若)(x f 得最小正周期是l ，则)(ax f )0(≠a 得最小正周期是

a l ，22==π

T ．（2）是，同上，)2

(2tan )21tan(x x y -=-=，2

=T ．

（3）是，)2cos 1(21sin 2

x x y -=

=，ππ==2

2T ．（4）不是，一个周期函数与一个非周期函数的和（差）一定是非周期函数． 11．求下列函数的反函数：（1）13-=x y ；（2）)1ln(1x y -+=；

（3）)0(≠-++=

bc ad d

cx b

ax y ；（4）)4

(2sin 21π

≤

+=x x y ．

解：先反解)(y x x =的表达式，再将变量x 与y 互换．

（1）由13-=

x y ，得)0()1(312≥+=y y x ，反函数为)0()1(3

2≥+=x x y ．

（2）由)1ln(1x y -+=，得)(e

+∞<<-∞-=-y x y

反函数为)(e 11

+∞<<-∞-=-x y x ．

（3）由d cx b ax y ++=

，有b ax y d cx +=+)(，得)(c

y a cy dy b x ≠--= 反函数为)(c

x a cx dx b y ≠--=

．

（4）由x y 2sin 21+=，得21arcsin

21-=

y x ，因为4

≤x ，所以31≤≤-y ，反函数为)31(2

arcsin 21≤≤--=

x x y ． 12．在下列各题中，写出由所给函数复合而得的复合函数：

（1）x u u y cos 3

==，；（2）x u y u

sin e ==，；

（3）x u u y cos 1+==，；（4）x v v u u y ===，，2sin ．

解：（1）将x u cos =代入到3u y =中，得复合函数x y 3

cos =．

（2）将x u sin =代入到u y e =中，得复合函数x

y sin e =．

（3）将x u cos 1+=代入到u y =中，得复合函数x y cos 1+=．

（4）将x v =

代入到v u 2=中，得x u 2=，将x u 2=再代入到u y sin =中，

得复合函数x y 2sin =．

13．将下列复合函数分解为基本初等函数或基本初等函数的四则运算：（1）)12ln(-=x y ；；（2）x

y 1cos

=；

（3）1e 1-+=x y ；（4）x

y sin 1sin 1arctan

+-=．

解：（1）12,ln -==x u u y ．（2）x

v v u u y 1,cos ,2

==．

（3）1,e 1,-=+==x v u u y v ．（4）x v v

u u y sin ,11,arctan =+-=

=． 14．某厂生产的产品1000吨，定价为130元/t ．当出售量不超过700吨时，按原定价出售；

超过700吨的部分按原价的九折出售，试将销售收入表示成销售量的函数．解：设Q 是销售量，R 是销售收入，当7000≤≤Q 时，Q R 130=；

当1000700≤

?≤<+≤≤=.

100070091001177000130Q Q Q Q R ，，，

15．某种品牌的电视机每台售价为1500元时，每月可销售2000台，每台售价为1300元时，

每月可多销售400台．试求该电视机的线性需求函数．解：设Q 是销售量，P 是每台售价，由题意，有aP b Q -=，

将1500=P 时，2000=Q ；1300=P 时，2400=Q 代入，得50002==b a 、，所以，P Q 25000-=． 16．证明下列各等式：

；；y x y x y x y x y x y x sh ch ch sh )(sh sh ch ch sh )(sh -=-+=+ y x y x y x y x y x y x sh sh ch ch )(ch sh sh ch ch )(ch -=-+=+；；

x x x x x x x x 222

2sh ch ch2ch sh 2sh21

sh ch +===-；

；

证明：下面有代表性地证明部分等式（其余等式证明方法类似）：

)e e )(e e (41

)e e )(e e (41sh ch ch sh y y x x y y x x y x y x -----+++-=

=-=--+)e e (2

y x y x )(sh y x +． 1)e e (2

1)c h (0)c h (sh sh ch ch sh ch 002

2=+==-=-=--x x x x x x x x ．

x x x x x x x x x ch sh 2sh ch ch sh )sh(sh2=+=+=． 17．将下列用直角坐标表示的曲线方程用极坐标表示：

（1）022

=-+y y x ；（2）22x y ax ++=

解：（1）将θρcos =x ，θρsin =y 代入到022

2=-+y y x 中，有0sin 22

=-θρρ，

化简得：θρsin 2=（πθ<≤0）．

（2）将θρcos =x ，θρsin =y 代入到2

x y ax ++=

ρθρρa a =+cos 2，化简得：)cos 1(θρ-=a （πθ20<≤）．

18．将下列用极坐标表示的曲线方程用直角坐标表示：（3）θρcos =；（4）6

θ=．

解：（1）将ρ

θx

c os 代入到θρcos =中，有x =2

ρ，而22y x +=

ρ，所以θρcos =

在直角坐标系下的方程为x y x =+2

．（2）将x y arctan

=θ代入到6πθ=中，有x y

arctan 6=π，即3

16tan ==πx y ，

所以6

θ=

在直角坐标系下的方程为3

x y =

（0≥x ）．

习题1—1（B ）

1．某铁路客运公司规定：普通旅客随身携带的行李重量不超过20kg 时免费；50kg 内超出

20kg 的部分按0.20元/kg 收费，50kg 以上超重部分加倍收费．试写出客运公司关于普通旅客随身携带的行李重量的收费函数．解：设P 是收取费用，W 是携带行李重量；

当200≤≤W 时，0=P ；当5020≤W 时，144.0)50(4.0302.0-=-+?=W W P ；所以，

??>-≤<-≤≤=.50144.0502042.02000W W W W W P ，，，，，

2．设x x x f 2)1(2

-=+，求)1()(-x f x f ，．

解：由3)1(4)1(2)1(2

++-+=-=+x x x x x f ，得34)(2

+-=x x x f ；

863)1(4)1()1(22+-=+---=-x x x x x f ．

3．求函数??

?≥+<+=0

1e ,0),1(2)(2x x x x f x

的反函数．

解：当0

x （2

；当0≥x 时，有1e

2+=x

y ，得)1ln(2

y x （2≥y ）

，所以反函数为： ?????≥-<-=.2)1ln(2

212x x x x

y ，，，

4．若函数)(x f 的定义域为]1,0[，求函数)0()()()(sin >-++a a x f a x f x f ，的定义域．

解：由1sin 0≤≤x ，得)(sin x f 的定义域},)12(2{Z k k x k x D ∈+≤≤=ππ；

由???≤-≤≤+≤,10,10a x a x 有?

??+≤≤-≤≤-,1,1a x a a x a

当21

1{=D ；

当21

>a 时，不等式组?

??+≤≤-≤≤-,1,1a x a a x a 无解，此时)()(a x f a x f -++的定义域为

Φ=D （空集）

． 5．若)(x f 是在),(+∞-∞内有定义的函数，证明)()(x f x f -+是偶函数；)()(x f x f -- 是奇函数．

证明：设)()()(x f x f x F -+=，)()()(x f x f x G --=

则)()()()(x F x f x f x F =+-=-，所以)()(x f x f -+是偶函数；

)()]()([)()()(x G x f x f x f x f x G =---=--=-，所以)()(x f x f --是奇函数．

6．举例说明周期函数的和（差、积、商）不一定是周期函数．

答：如x x g x x f πsin )(,sin )(==，则)()()(x g x f x F +=不是周期函数． 7．设映射f ：Y X →，且X B X A ??,，证明

（1）)()()(B f A f B A f = （2）)()()(B f A f B A f ?．证明：（1）)(B A f y ∈?，有B A x ∈，使得)(x f y =，

若A x ∈，则)(A f y ∈；若B x ∈，则)(B f y ∈，于是)()(B f A f y ∈，因此)()()(B f A f B A f ?．

反之，)()(B f A f y ∈?，有X x ∈，使得)(x f y =，

若)(A f y ∈?，则A x ∈；若)(B f y ∈?，则B x ∈，于是B A x ∈，从而

)(B A f y ∈，因此)()()(B A f B f A f ?．

所以，)()()(B f A f B A f =．

（2）)(B A f y ∈?，有B A x ∈，使得)(x f y =，从而)(A f y ∈且)(B f y ∈，于

是)()(B f A f y ∈，所以)()()(B f A f B A f ?

习题1—2（A ）

1．判断下列论述是否正确？并说明理由：

（1）若lim n n a a →∞

=，那么对于1ε=，必存在正整数,N 当N n >时，ε<-a a n 成立；

（2）数列{}n a 有界是lim n n a →∞

存在的必要条件，lim n n a →∞

存在是数列{}n a 有界的充分条件；

（3）数列}{},{n n b a 都收敛，并且分别收敛于b a ,，如果n n a b >，则有a b >；

（4）若数列{}n a 收敛，并且lim 0n n a →∞

<，那么对任意的n ,都有0n a <；

（5）0sin lim 0sin lim 1

lim sin 1lim

=?=?=∞

→∞→∞→∞→n n n n n n n n n ；（6）若数列{}n a 的奇子列与偶子列都收敛，那么数列{}n a 必定收敛．

答：（1）正确．数列极限的“N -ε”定义，若lim n n a a →∞

=，则对于任意的正数ε，必存在

正整数N ，当N n >时，ε<-a a n 成立，当然对1ε=也成立．（2）正确．本节定理2.2（有界性）．

（3）不正确．如n b n a n n 21

，，恒有n n a b >，但是它们的极限0==b a ．（4）不正确．如n

a n -=100，01lim <-=∞→n n a ，但是}{n a 的前100项不小于零．

（5）不正确．因为n n sin lim ∞

∈?N N 1，当1N n >时，恒有ε<-a a n 2成立；

由a a n n =-∞

→12lim ，则+

∈?N N 2，当2N n >时，恒有ε<--a a n 12成立，

取}122max {21-=N N N ，

，当N n >时，恒有ε<-a a n 成立，所以数列{}n a 必定收敛．

2．下列数列中，哪些收敛？哪些发散？对收敛数列，通过观察它们的变化趋势写出其极限：

n )1(-=．答：（1）当n 向着无穷大变化时，2

)1(n

x n

n -=无限接近于零，所以收敛于0．（2）当n 向着无穷大变化时，n x n 1

=无限接近于1，所以收敛于1．（3）当n 向着无穷大变化时，n

n +-=1)1(发散．（6）当n 向着无穷大变化时，n x n

n )1(-=向着无穷大（不是确定的值）变化，所以

；（2）211lim(3)n n n →∞-+；（3）)232)(13(lim n n n +-∞→；（4）221lim n

n +++∞→ ．解：（1）11lim()2

n n n →∞+021

lim 1lim =+=∞→∞→n n n n ．

（2）211lim(3)n n n

→∞-+31

lim 1lim 3lim 2=+-=∞→∞→∞→n n n n n ．

（3）)232)(13(lim n n n +-∞→623)23

2(lim )13(lim =?=--=∞→∞→n n n n ．

（4）=+=+=+++∞→∞→∞→)11(lim 212)1(lim 21lim 2

2n n n n n n n n n 21

)01(21=

+． 4．若数列}{n a 收敛于a ，证明a a n n =∞

→lim ，举例说明反之不成立．

证明：0>?ε，由a a n n =∞

→lim ，则+

∈?N N ，当N n >时，恒有ε<-a a n 成立，而

≤-a a n a a n -，于是ε<-a a n ，所以a a n n =∞

→lim ．

反之不成立，如n n a )1(-=，有1lim =∞

→n n a ，而n

n a )1(-=却发散．

习题1—2（B ）

1．如果在银行的初期存款为0A ，固定年利率为,r 每年分m 次计算复利率（利息不被取出，且利息也被计息），每个复利周期末在帐户中追加一个固定数量b 的钱数（或从账户取出，如果0)b <．设第n 个复利周期后你的存款额为n A ．（1）写出第1n +个复利周期后的存款总额1n A +与n A 的递推关系；（2）证明：数列{}n A 的通项公式为

0(1)().n n r mb mb A A m r r

+- 对于固定的正数0A ，,r b 和正整数m ，{}n A 是否收敛？解：（1）b A m r

b A m r A A n n n n ++=++

=+)1(1．（2）b m r

b A m r b b A m r m r b A m r A n n n n )1()1(])1)[(1()1(2221++++=++++=++=---

b m r b m r b A m r n n 120)1()1()1()1(-+++++++++= r

mb r mb A m r m r b m r A m r n n n -++=+-+-++

=)()1()/1(1])1(1[)1(00 当n 趋向于无穷大时，n A 向着无穷大变化，所以数列}{n A 发散．

n n ；（3）)1()1)(1)(1(lim 24

1[(lim =+-=+-++-+-+-=∞→∞

→n n n n n ．

（2）原式2)2

1(lim 22/112/11lim

=-=--=∞→∞→n n n n ．（3）原式x x x

x x x x x n n

n n --=-++++-=+∞→∞→11lim 1)1()1)(1)(1)(1(lim

242 x

．（4）原式10/1110/11lim 109)10

9109109(lim 2=--=

+++=∞→∞→n

n n n ． 3．若数列}{n x 有界，且0lim =∞

→n n y ，证明0lim =∞

→n n n y x ．

证明：由数列}{n x 有界，则0>?M ，恒有M x n ≤．

0>?ε，由0lim =∞

→n n y ，则+∈?N N ，当N n >时，

恒有M y y n n /0ε<=-成立，于是ε<=-n n n n y x y x 0恒成立，所以

（1）在函数极限的“εδ-”定义中，要求00x x δ<-<，因此这说明函数在0x 点是没有定义的；

（2）函数在0x x →时的左右极限都存在是该函数在0x x →收敛的充分必要条件；（3）0

lim ()x x f x →存在是()f x 在0x 的某去心邻域内有界的充分条件；

（4）如果在0x 的某去心邻域内()0f x >，并且0

lim ()x x f x →存在，那么必有0

lim ()0;x x f x →>

（5）若0

lim ()0x x f x A →=>，那么必存在0x 的一个去心邻域，在该邻域内()0f x >；

（6）设0x x n ≠（，，21=n ），0l i m x x n n =∞

→，

并且lim ()n n f x →∞

不存在，那么0

lim ()x x f x →一定不存在．

答：（1）不正确．要求“00x x δ<-<”中的00>-x x 表明极限)(lim 0

x f x x →是否存在与函

数在0x x =的状况无关，并不说明函数)(x f 在0x 点无定义．

（2）不正确．左、右极限都存在且相等是极限存在的充分必要条件．（3）正确．本节定理3.2（局部有界性）．

（5）正确．本节定理3.3（局部保号性）的推论．

（6）正确．若0

lim ()x x f x →存在，记为A ，根据本节定理3.5，得l i m ()n n f x →∞A =，与l i m ()n

n f x →∞

不存在矛盾．

2．画出符号函数1,0,

()sgn 0,0,1,0x f x x x x -

===??>?

的图形，并根据图形写出下列各题的结果：

（1）1

lim ()x f x →；（2）1lim ()x f x →-；（3）0

lim ()x f x →-1)1(lim 1

→不存在．证明：由1)1(lim lim 0

-=-=--

→→x x x x ，11lim lim 00==++→→x x x x ，于是极限x x

12)(x ax x x x f 求a 的值，使得)(lim 1

-=f f ，得4=a ． 5．求下列数列极限：

（1）12lim 21+++→x x x x ；（2）232

lim 222+---→x x x x x ；

（3）h x h x h 220)(lim -+→；（4）)1

35(lim 2x

x x -+∞→；

（5）12lim

++→x x x ；（6）)12cos(lim 1

-+-→x x x ；（10）)0(lim

>--→a a

x a

x ；

（11）)e 1)(1sin 2(lim x

21x x x x 2． (2) 3121

211lim 232lim 22

22=-+=-+=+---→→x x x x x x x x ． (3) =+=-+→→)2(lim )(lim

20h x h

x h x h h x 2． (4) =-+=-+

∞→∞→∞→∞

→221

lim 3lim 5lim )135(lim x x x

x x x x x 5．

(5) =+=++→→)1(lim 12lim

x x x x x 2．

(6) 由1)12(lim 1

-=+-→x x 及1cos )1cos(cos lim 1

=-=-→u u ，得=+-→)12cos(lim 1

x x 1cos ．

(7) 由01lim =∞→x x 及10cos cos lim 0==→u u ，得11

cos lim =∞→x

x ． (8) =-+=-+=-+→→→111lim )11(lim 11lim

000

x x x x x x x x x 2

． (9) =++=-+-→→)32(lim 3

21lim

x x x x x 32．

(10) =

+=--→→a x a x a x a x a

→)e 1(lim )1sin 2(lim )e 1)(1sin 2(lim x

1x x x x x x x x x x x x x 2

3． 6．分别画图说明函数在一点0x 处左右极限的几何意义．

答：A x f x x =-→)(lim 0

的几何意义是：0>?ε，0>?δ，

当)(00x x x ，δ-∈时，函数)(x f y =的图像落在直线ε-=A y ，ε+=A y 夹成的带形区域内；

A x f x x =+→)(lim 0

的几何意义是：0>?ε，0>?δ，当)(00δ+∈x x x ，时，函数

)(x f y =的图像落在直线ε-=A y ，ε+=A y 夹成的带形区域内．

习题1—3（B ）

1．（1）在爱因斯坦相对论中，物体的质量随速度的增加而增加．速度为v 的物体的质量是

m =

，

其中0m 为静止质量，c 为光速，大约为000300km/s ．问当v c -

→时会发生什么事情？这

又说明什么含义？

（2）同样在相对论中，观察者看到的物体如火箭的长度是依赖于物体相对于观察者的行进速度．设静止时观察者量得火箭的长度为0L ，那么速度为v 时火箭的长度将为

L L =

这个方程就是洛伦兹短缩方程．问当速度v 增加时会出现什么结果？当v c -

即当物体运动速度趋向于光速时，其质量趋向于无穷大．

（2）由函数20)/(1c v L L -=是v 的单调减少函数，于是随着速度的增加，观察者看

到火箭的长度在缩减；又0)/(1lim lim 2

≠+=+→a b ax b ax x x ；（2）11

lim

=+∞→x x

x ．

证明：（1）0>?ε，要使ε<-=+-+00)()(x x a b ax b ax ，只要a x x /0ε<-．

于是，0>?ε，取a /εδ=，当ε<-<00x x 时，恒有

ε<+-+)()(0b ax b ax

成立，所以)0()(lim 00

≠+=+→a b ax b ax x x ．

（2）0>?ε，要使

ε<+=-+1

111x x x ，由于∞→x ，不妨设1>x ，于是 1111-≤+x x ，只要ε<-11x 即可，也就是ε

lim 1--→m n x x x （n m ,是正整数）；（2）x

x n

x 11lim 0-+→ （n 是正整数）；

（3）1lim 21--+++→x n x x x n x （n 是正整数）；（4）)sin(sin sin lim a x a

x a x --→．

解：（1）=++++++++=------→→11lim 11lim 212111x x x x x x x x m m n n x m

n x m

．（2）=+++++++=-+--→→11)1()1(1lim 11lim

1lim 11lim 1lim 121121--++--+--=--+++→→→→x x x x x x x n x x x n x x x n x

)1(lim )1(lim 1211

++++++++=--→→x x x x n n x x

+++=n 212

)

1(+n n ．（4）令t a x =-则，

)sin(sin sin lim

a x a x a x --→)sin sin sin cos (cos lim sin sin )sin(lim 00t

a t a t a a t t t -+=-+=→→

]sin )cos 1(sin [cos lim 0

t t a a t --

=→=+-=→)cos 1sin sin (cos lim 0t

a a t a cos ．

4．若极限)(lim 0

x f x →存在，且11)(1lim

=+-+→x x x xf x ，求)(lim 0

x f x →．

解：由2

1)(1lim

x x x xf x +-+→存在，得0]1)(1[lim 0

=-+→x xf x ，即1)(1lim 0

+++=+-+→→→→x f x x f x xf x x x xf x x x xf x x x x ，

得 2)(lim 0

=→x f x ．

5．证明：若lim ()x f x →+∞

及lim ()x f x →-∞

都存在，并且都等于A ，那么lim ()x f x →∞

也必存在，并且

也等于A ．证明：0>?ε，

由lim ()x f x →+∞

A =，则存在01>X ，当1X x >时，恒有ε<-A x f )(成立；

由lim ()x f x →-∞

A =，则存在02>X ，当2X x -<时，恒有ε<-A x f )(成立．

取}m ax {21X X X ，=，当X x >时，既有1X x >也有2X x -<，

于是当X x >时，恒有ε<-A x f )(成立，所以lim ()x f x →∞

也必存在，并且也等于A ．

习题1—4（A ）

1．判断下列论述是否正确？并说明理由：

（1）利用夹逼准则求数列}{n y 的极限需要两个条件：

① 从第N 项之后，恒有;n n n x y z ≤≤ ② lim n n x →∞

与lim n n z →∞

都存在；

（2）单调有界是数列收敛的充分必要条件；

（3）利用准则2证明一个数列收敛时，如果该数列单调递增，只需证明它有上界；如果该数列单调递减，只需证明它有下界.

答：（1）不正确．少条件n n x ∞

→lim 与n n z ∞

→lim 相等．

（2）不正确．单调有界只是数列收敛的充分条件，而不是必要条件，如数列n

x n

n )1(-=

收敛于零，但是它不单调．

（3）正确．单调递增数列自然有下界1x ；单调递减数列自然有上界1x ． 2．求下列极限：

（3）x x x x sin 2cos 1lim

n x 2tan 2lim ∞→；（6）x x x arcsin lim 0→．

解：（1）==→→x x

x x x x 33tan lim 33tan lim 003．

（2）=??=?=→→112)2tan 244sin (lim 22tan 4sin lim 00x

x x x x x x 2．

（3）===-→→→x

x x x x x x x x x sin lim 2sin sin 2lim sin 2cos 1lim

02002．（4）令

t x

，则=+=+→∞→t t t x x t x sin )

1(lim 1sin )1(lim 01．（5）当0≠x 时，==∞→∞→n n n n n

n x x x x 2

2/tan(lim 2tan 2lim x ，当0=x 时，x x n

n ==∞→02tan

2lim ；于是对任何x ，均有x x n n n =∞→2tan 2lim ．

（6）令t x =arcsin ，则==→→t

x x x x sin lim arcsin lim 001．

3．求下列极限：

（1）x

x x

)211(lim +∞→；（2）2)21(lim x

1[(lim )211(lim x x x x x

x e ．

（2）=-∞→2)21(lim x

x x 12})]2(1{[lim --∞→-+x

1(1[lim lim x x x x x x

22n n n n n n ++++++∞

n n n n y n ++++++= ，取22n n n x n +=，221n n z n +=，则 n n n z y x ≤≤，且1lim lim ==∞

→∞

→n n n n z x ，所以n n y ∞

则n n n z y x ≤≤，且1lim lim ==∞

→∞

→n n n n z x ，所以n n y ∞

→lim 存在，且极限值为1．

习题1—4（B ）

1．将本金A （元）存入银行，一个计息期内利率为r ．如果一个计息期分为n 个小期计息，每个小期利率为

，当n 趋向无穷时称为连续复利．如果按连续复利计算，求一个计息期末时的本利和．

解：n 个小期末的本利之和为A n

r A n

n )1(+

=，当n 趋向无穷时一个计息期末时的本利和为=+=+=∞→∞→∞→r r n

n n n n n n

r A A n r A ])1[(lim )1(lim lim r

A e ． 2．求下列极限：（1）a

x a x a x --→sin sin lim

(lim +∞→；（4）2)11(lim 22x x x x -+∞→．

解：（1）=-+-=--→→2

/)(]

2/)cos[(]2/)sin[(lim sin sin lim

a x a x a x a x a x a x a x a cos ．

（2）=++?--=--+→→]231

)1tan(1[lim )1tan(23lim

1{[(lim )11(lim 22=?=-+

?-+=-+-∞→∞→x x x x x x x x ．或2

12222e e e )

/11()/11(lim )11(lim 22

2==-+=-+-∞→∞→x x x x x x x x x ．

x a x ，求常数a ．解：由8e ])/1[(lim ])/21[(lim )/1/21(lim )2(lim 322==-+=-+=-+--

x x x x x x a x a x a x a a x a x ，得2ln =a ． 4．设数列2222++++= n x （共n 个根号）

，证明n n x ∞

→lim 存在，并求之．证明：12222222-=+++≥++++=

n n x x ，所以，n x 单调增加．

用数学归纳法证明2≤n x ：当1=n 时，221≤=x ；设当1-=k n 时成立，即21≤-k x ；

当k n =时，22221=+≤+=

-k k x x ．于是，

对任何正整数n 都有2≤n x ．所以，数列}{n x 单调增加有上界，得n n x ∞

→lim 存在．

设a x n n =∞

→lim ，对递推公式122-+=n n x x 两边同时取极限有a a +=22

，解得3=a

（由极限的唯一性及保号性，2-=a 应舍去），所以2lim =∞

→n n x ．

5．若数列}{n x 满足10<

12n n n x x x -=+，证明n n x ∞

→lim 存在，并求之．

证明：由10<

1，这表明数

列}{n x 单调增加，于是n n x ∞

→lim 存在．

设a x n n =∞

→lim ，对递推公式212n n n x x x -=+两边同时取极限，有2

2a a a -=，解得

1=a （由极限的唯一性及保号性，并注意到}{n x 单调增加，0=a 应舍去）

=+（ ,2,1=n ），证明极限n n x ∞→lim 存在，并求之.

证明：显然32≤≤n x ，即数列}{n x 有界．又1

11111211-++--++-=-=

-n n n n n n n n x x x

x x x x x ，上式表明n n x x -+2与11-+-n n x x 符号相反，或者n n x x -+2与2--n n x x 符号相相同，对奇下标子列}{12-n x ，1212-+-n n x x 的符号与52

251213=-=-x x 相同，是单增序列；对偶下标子列}{2n x ，n n x x 22

2-+的符号与12

25122924-=-=-x x 相同，是单减序列，

于是子列}{12-n x 与}{22+n x 极限都存在，对子列}{2n x ，设a x n n =→

2lim ．

高等数学求极限的常用方法附例题和详解

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f

微积分课后题答案第九章习题详解

第9章习题9-1 1．判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑．解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质

知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2．判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑．解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??

高等数学课后习题答案第六章 (1)

习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由25y x =得10y x '=代入方程得故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：证：方程22 x xy y C -+=两端对x 求导：得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y ''= + (*) 得 (1)y y x y '=-. (*)式两端对x 再求导得将,y y '''代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解. 4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：解：当0x =时，y = 5.故C =-25 故所求曲线为：22 25y x -= 解： 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时，y =0故有1 0C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e x y x =. 5. 求下列各微分方程的通解： (1)ln 0xy y y '-=;

高等数学下册典型例题精选集合.doc

法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂，T() 丿解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<

而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂〉?T O 〉?T O兀十〉于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿法2利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小的性质。因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以

郑州大学高等数学下课后习题答案解析

习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】（1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ；（2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ；（3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ；（4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】（一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??==

（三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为

高等数学课后习题及解答

高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解向量 a 的单位向量为，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中

高数典型例题解析

第一章函数及其图形例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设

解：在令t=cosx-1，得又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有。 5：例 f(2)没有定义。注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有。因此，所给函数是有界的，即应选择B。例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定

中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解

高等数学一第6章课后习题详解课后习题全解习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<<

∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π，（或D 表达为Y-型：???<<<

∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<<

高等数学上复旦第三版课后习题答案

283 高等数学上（修订版）（复旦出版社）习题六无穷数级答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ；解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ；解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++??

284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ；

关于高等数学课后习题答案

习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?

(3) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?

2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?

(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?

高等数学课后习题与解答

高等数学课后习题及解答 1. 设 u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用 a ，b ， c 表示 2u -3v . 解 2u -3v =2（ a -b +2c ） -3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图 8-1 ，设四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M ，已知 AM = MC ， DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即 AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形 ABCD 是平行四边形. 3. 把△ ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与点 A 连接.试以 AB =c, BC =a 表向量证如图 8-2 ，根据题意知 1 D 1 A , 1 D 2 A , D 3 A , D A . 4 1 D 3 D 4 BD 1 1 a, 5 a, D 1D 2 a, 5 5 1 D 2D 3 a, 5 故 D 1 A =- （ AB BD 1 ）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解向量 a 的单位向量为，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6） = 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其中 a 6 2 7 2 ( 6) 2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

高等数学试题库

高等数学试题库第二章导数和微分一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数

微积分课后题答案习题详解

微积分课后题答案习题详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

第二章习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =，所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=，所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=，

大学《高等数学A》课后复习题及解析答案

高等数学课后习题答案第六章

习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 6 1 ]2132[)(1022310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为

3 32 ]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2;

解: 所求的面积为 ?-=-=2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解:

关于高等数学经典方法与典型例题归纳

2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22 +- ++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限【说明】 (1)常见等价无穷小有：

高等数学下-复旦大学出版-习题十答案详解

习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中：（1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值：（1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ;

解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积），由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：