?公元前1700年的古巴比伦人有关于一、二次方程的解法。
?为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围，
第二章 线性方程组的数值解法 在科技、工程技术、社会经济等各个领域中很多问题常常归结到求解线性方程组。例如电学中的网络问题，样条函数问题，构造求解微分方程的差分格式和工程力学中用有限元方法解连续介质力学问题，以及经济学中求解投入产出模型等都导致求解线性方程组。 n 阶线性方程组的一般形式为 ?? ???? ?=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a L K K K K L L 22112 222212********* （1.1） 其矩阵形式为 b Ax = （1.2） 其中 ????? ???????=??? ?????????=? ? ????? ?????= n n nn n n n n b b b b x x x x a a a a a a a a a A M M L K K K K L L 2121212222111211 ),,2,1,(n j i a ij L =，),,2,1(n i b i L =均为实数，i b 不全为0，且A 为非奇异。 关于线性方程组的数值解法一般分为两类： 1．直接法 就是不考虑计算机过程中的舍入误差时，经有限次的四则运算得到方程组准确解的方法。 而实际中由于计算机字长的限制，舍入误差的存在和影响，这种算法也只能求得线性方程组的近似解。本章将阐述这类算法中最基本的消去法及其某些变形。这些方法主要用于求解低阶稠密系数矩阵方程组。 2．迭代法 从某个解的近似值出发，通过构造一个无穷序列，用某种极限过程去逐步逼近线性方程组的精确解的方法。本章主要介绍迭代法与迭代法。迭代法是解大型稀疏矩阵（矩阵阶数高而且零元素较多）的线性方程组的重要方法。 §1 高斯)(Gauss 消去法 1.1 Gauss 消去法 Gauss 消去法是将线性方程组化成等价的三角形方程组求解。首先举例说明Gauss
非线性方程数值解法及其应用 摘要:数值计算方法主要研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和算法。 本文主要介绍非线性方程的数值解法以及它在各个领域的应用。是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求。我将从二分法、Steffensen 加速收敛法、Newton 迭代法、弦截法来分析非线性方程的解法及应用。 关键字：非线性方程;二分法；Steffensen 加速收敛法；代数Newton 法；弦截法 一、前言 随着科技技术的飞速发展，科学计算越来越显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。因此经常需要求非线性方程 f(x) = O 的根。方程f(x) = O 的根叫做函数f(x)的零点。由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a ，b]上连续，且f(a)·f(b) 线性方程组的数值解法 实验 题目 用Gauss消元法和Seidel迭代法求线性方程组的解。 实验目的 通过本次实验了解Gauss消元法和Seidel迭代法的基本原理，掌握其算法,学会用Matlab编程进行计算，并能用这些方法解决实际问题。 Gauss 顺序消元法的基本原理算法： （1）输入：,. A b （2）对1,2,,1 k n =???-做 1）if0 kk a=then输出算法失败信息，停机； 2）对1,, i k n =+???做 1/; ik ik ik kk a l a a ←= 2; i i ik k b b l b =- 3对1,, j k n =+???做; ij ij ik kj a a l a =- （3）if0 nn a=then输出算法失败信息，并停机else做 1）/; n n n nn b x b a ←= 2）对1,,2,1 i n =-???做 1 ()/; n i i i ij j ii j i b x b a x a =+ ←=-∑ （4）输出方程组的解.X 流程图见附页 Seidel 迭代法的基本原理算法： （1）输入：,; A b （2）输入：初始解向量 ;x （3）对1,2,, i n =???做 1） 1 ()/; n i i ij j ii j j i y b a x a = ≠ =-∑ 2）; i i i e y x =- 3）; i i x y = （4）if 1 {||} max i i n eε ≤≤ 线性方程组的解法 1 引言 在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解。在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解形如Ax= b的大型线性方程组。而如插值公式，拟合公式等的建立，微分方程差分格式的构造等，均可归结为求解线性方程组的问题．在工程技术的科学计算中，线性方程组的求解也是最基本的工作之一．因此，线性方程组的解法一直是科学和工程计算中研究最为普遍的问题，它在数值分析中占有极其重要的地位。20世纪50年代至70年代，由于电子计算机的发展，人们开始考虑和研究在计算机上用迭代法求线性方程组Ax =b的近似解，用某种极限过程去逐渐逼近精确解，并发展了许多非常有效的迭代方法，迭代法具有需要计算机存储单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。例如Jacobi方法、Gauss—Seidel 方法、SOR方法、SSOR 方法，这几种迭代方法是最常用的一阶线性定常迭代法。 2 主要算法 20世纪50年代至70年代，人们开始考虑和研究用迭代法求解线性方程组。 Ax = b (1) 的近似解，发展了许多有效的方法，其中有Jacobi方法、Gauss—Seidel方法，SOR方法、SSOR方法，这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法，即若系数矩阵A的一个分裂：A =M-N ；M 为可逆矩阵，线性方程组(1)化为： (M－N)X =b； →M X = NX + b； →X= M -1NX+ M-1b 得到迭代方法的一般公式： X（k+1）=HX（k）+d （2） 其中：H =MN-1，d=M-1b，对任意初始向量X（0） 一阶定常迭代法收敛的充分必要条件是: 迭代矩H的谱半径小于1，即ρ(H) < 1；又因为对于任何矩阵范数恒有ρ(H)≤‖H‖，故又可得到收敛的一个充分条件为：‖H‖< 1。 2.1 Jacobi迭代法 若D为A的对角素构成的对角矩阵，且对角线元素全不为零。系数矩阵A的一个分解：A = 线性方程组的解法及其应用 The solution of linear equation and its application 专业：测控技术与仪器 班级： 2010-1班 作者：刘颖 学号： 20100310110105 摘要 线性方程组是线性代数的一个重要组成部分，也在现实生产生活中有着广泛的运用，在电子工程、软件开发、人员管理、交通运输等领域都起着重要的作用。在一些学科领域的研究中，线性方程组也有着不可撼动的辅助性作用，在实验和调查后期利用线性方程组对大量的数据进行处理是很方便简捷的选择。本文主要围绕如何解线性方程组来进行讲解，对于不同类型的线性方程组的不同方法，并简述线性方程组的一些实际应用。 关键词： 齐次线性方程组，非齐次线性方程组，克莱姆法则，消元法，矩阵，矩阵的秩，特解，通解。 Abstract Linear equations linear algebra is one of the important component parts, and in real life has extensive production use，and it plays an important role in electronic engineering, software development, personnel management, transportation, etc. In some discipline study, it also has the reigns of linear equations of the auxiliary function.In experiment and survey using the linear equations of the late on the data processing is very convenient simple choice. This article, focusing on how to solve linear equations to explain, for different types of linear equations of different methods, and briefly introduces some of the practical application of linear equations. Keywords: Homogeneous linear equations, Non homogeneous linear equation,Clem’s law,Elimination method,Matrix,Rank of matrix,Special solution,General solution. 非线性方程组数值解法 n个变量n个方程(n >1)的方程组表示为 (1) 式中?i(x1,x2,…,x n)是定义在n维欧氏空间R n的开域D上的实函数。若?i中至少有一个非 线性函数，则称(1)为非线性方程组。在R n中记?＝ 则(1)简写为?(尣)=0。若存在尣*∈D，使?(尣*)＝0，则称尣*为非线性方程组的解。方程组(1)可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。根据不同思想构造收敛于解尣*的迭代序列{尣k}(k=0，1，…)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法，其中最著名的是牛顿法。 牛顿法及其变形牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序： (2) 式中 是?(尣k)的雅可比矩阵,尣0是方程(1)的解尣*的初始近似。 这个程序至少具有2阶收敛速度。由尣k算到尣k+的步骤为:①由尣k算出?(尣k)及 ;②用直接法求线性方程组的解Δ尣k；③求 。 由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和n2个分量偏导数值，并求解一次n阶线性方程组。 为了评价非线性方程组不同迭代法的优劣，通常用效率作为衡量标准,其中P 为迭代法的收敛阶,W为每迭代步计算函数值?i及偏导数值的总个数（每迭代步中求一次逆的工作量相同,均不算在W内）。效率e越大表示此迭代法花费代价越小,根据效率定 义，牛顿法(2)的效率为。 牛顿法有很多变形,如当奇异或严重病态时，可引进阻尼因子λk，得到阻尼牛顿法，即 好久没来论坛，刚刚发现以前的帖子现在那么火很欣慰，谢谢大家支持！ 今天趁着不想做其他事情，把线性方程组的数值解法总结下，有不足的地方希望大神指教！数学建模中也会用到线性方程组的解法，你会发现上10个的方程手动解得话把你累个半死，而且不一定有结果，直接用matlab的函数，可以，关键是你不理解用着你安心吗？你怎么知道解得对不对？ 我打算开个长久帖子，直到讲完为止！这是第一讲，如有纰漏请多多直接，大家一起交流！线性方程组解法有两大类：直接法和迭代法 直接法是解精确解，这里主要讲一下Gauss消去法，目前求解中小型线性方程组（阶数不超过1000），它是常用的方法，一般用于系数矩阵稠密，而有没有特殊结构的线性方程组。 首先，有三角形方程组的解法引入Gauss消去法，下三角方程组用前代法求解， 这个很简单，就是通过第一个解第二个，然后一直这样直到解出最后一个未知数，代码如下：前代法： function [b]= qiandai_method(L,b) n=size(L,1); %n 矩阵L的行数 for j=1:n-1 %前代法求解结果存放在b中 b(j)=b(j)/L(j,j); b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j); end b(n)=b(n)/L(n,n); 上三角方程组用回代法，和前面一样就是从下面开始解x，代码： 后代法： function [y]=houdai_method(U,y) n=size(U,1); %n 矩阵L的行数 for j=n:-1:2 %后代法求解结果存放在y中 y(j)=y(j)/U(j,j); y(1:j-1)=y(1:j-1)-y(j)*U(1:j-1,j); end y(1)=y(1)/U(1,1); Gauss消去的前提就是这两个算法： 具体思想是把任何一个线性方程组的系数矩阵A，分解为一个上三角和一个下三角的乘积，即A=LU，其中L为下三角，U为上三角。 那么具体怎么做呢？ 有高斯变换，什么是高斯变换？由于时间有限我不可能去输入公式，所以我用最平白的话把它描述出来。 你先想一下怎么把一个矩阵的某一列的从第j个分量后全部变0？ 高斯变换就是通过每次一个矩阵Li把A的第i列对角线元素以下的都变为0，最后把这么多Li一次左乘起来就是一个矩阵L’=L(n-1)L(n-2)…L2L1，而L’A=U, 那么L=L’的转置，这样就得到了A得分解。 我们要求Ax=b A=LU 目录 摘要................................................................................... I Abstract. ............................................................................. II 第一章绪论............................................................................ I 1.1引言 (1) 1.2线性方程组解的求解方法的研究现状 (1) 1.3本文对线性方程组解法的研究结构 (1) 第二章线性方程组理论基础 (2) 2.1 线性方程组概念 (2) 2.2 线性方程组的解的情况分析 (2) 2.3 齐次线性方程组解的结构 (4) 2.4非齐次线性方程组解的结构 (4) 第三章线性方程组的数值解 (5) 3.1 迭代法 (5) 3.1.1 Jacobi方法 (6) 3.2.2 高斯-赛德尔方法 (8) 第四章全文总结和展望 (10) 4.1 全文总结 (10) 4.2 未来展望 (10) 参考文献 (11) 致谢................................................................. 错误！未定义书签。 线性方程组的求解方法 学生：指导教师： 摘要：本文在对线性方程组解的结构的研究背景与意义分析的基础上，对线性方程组的求解方法的研究现状进行了介绍，之后针对线性方程组展开了研究，包括线性方程组的概念、线性方程组的求解方法以及线性方程组的作用等，在对线性方程组有了全面的认识后，基于线性方程组解的结构展开了研究，包括线性方程组解的基本定理，齐次和非齐次线性方程组解的结构形式，以及齐次和非齐次线性方程组解的结构，我们用迭代法中最常用的Jacobi方法中的相似上三角矩阵定理和迭代法中的收敛性讨论线性方程组的数值解法，并用高斯-赛德尔方法进行验证。得到线性方程组的数值解的一般方法。最后，对全文进行了总结和展望。 关键词：线性方程组;数值解；迭代法；Jacobi方法；高斯-赛德尔方法 第2章线性方程组的直接解法 2.1实验目的 理解线性方程组计算机解法中的直接解法的求解过程和特点，学习科学计算的方法和简单的编程技术。 2.2概念与结论 1. n阶线性方程组 如果未知量的个数为 n ,而且关于这些未知量x1,x2, …,x n的幂次都是一次的(线性的)那末, n 个方程 a11x1+a12x2+ … +a1n x n=b1 ┆┆┆ (1) a n1x1+a n2x2+ … +a nn x n= b n 构成一个含n个未知量的线性方程组,称为n阶线性方程组。其中,系数a11,…,a1n,a21, …,a2n, …,a n1, …,a nn 和b1, …,b n都是给定的常数。 方程组(1)也常用矩阵的形式表示,写为 Ax=b 其中,A是由系数按次序排列构成的一个n阶矩阵,称为方程组的系数矩阵,x和b都是n维向量,b称为方程组的右端向量。 2. n阶线性方程组的解 使方程组(1)中每一个方程都成立的一组数x1*,x2*, …,x n*称为式(1)的解,把它记为向量的形式,称为解向量. 3.一些特殊的线性方程组 1) 上三角方程组 2) 三对角方程组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - n n nn n n n n n n n n b b b x x x a a a a a a a a a a a a 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 23 22 1 1 1 13 12 11 4.矩阵的Doolittle 分解 5.Doolittle 分解的紧凑格式 6．矩阵的Crout 分解 ????????? ? ??=?????????? ???????????? ? ?--n n n n n n d d d x x x b a c b c b a c b a c b 21 2111333 22211???? ?? ? ? ???????? ??=??????? ??nn n n n n nn n n n n u u u u u u l l l a a a a a a a a a 222 11211 2 1 21 2 1 2222111211111 ???? ?? ? ? ???????? ??=??????? ??11 1 21122 1 2221 11 2 1 2222111211 n n nn n n nn n n n n u u u l l l l l l a a a a a a a a a ????? ?? ? ??nn n n n n n n u l l l u u l l u u u l u u u u 3 2 1 333323122322211131211 第三章线性方程组地数值解法 范数 (1> 常用范数 ① 向量 1- 范数: ② 向量 2- 范数: ③ 向量∞- 范数: ④ 向量 p- 范数: 向量1- 范数,向量2- 范数,向量∞- 范数实际上为任意 p- 范数地特例. (2> 矩阵范数 设,则 (1>,A地行范数 (2>,A地列范数 (3>,A地 2- 范数,也称谱范数 (4>, F- 范数 其中指矩阵地最大特征值 (3>谱半径(用于判断迭代法地收敛值> 设为矩阵A地特征值,则 称为A地谱半径 谱半径小于任何半径,若,则 (4>设A为非奇异矩阵,称 为A地条件数 矩阵地条件数与范数选取有关,通常有 显然当A对称时 直接法 Gauss消去法 ①Gauss顺序消去法 对线性方程组Ax=b,设,按顺序消元法,写出增广矩阵(A┆b>第一步,写出,将2～n行中地变为0 第k步,写出,将k+1～n行中地变为0 具体步骤可参照下面地例题 例5:用Gauss消去法解方程组 解: Guass列主元消去法 消去过程与Guass消元法基本相同,不同地是每一步消元时,都要将所选到地绝对值最大元素作为主元. 具体分析参见习题详解1 ②矩阵三角(LU>分解法 基本思想:将Ax=b化为LUx=b,令Ux=y 可得Ly=b,Ux=y,相当于先求出y,再求出x 其中,L,U分别为下三角矩阵和上三角矩阵 若L为单位下三角矩阵,则称为Doolittle分解。若U为单位上三角矩阵,则称为Crout分解. ③矩阵Doolittle分解法 计算公式 具体解题见习题详解2 注意计算顺序,先行再列,用简图表示为 虚线上地元素为对角元,划为行元. ④ 分解法 计算公式 线性方程组的几种解法 线性方程组形式如下： 常记为矩阵形式 其中 一、高斯消元法 高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x 向量。现举例说明如下： （一）消元过程 第一步：将(1)/3使x 1的系数化为1 得 再将(2)、(3)式中x 1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1) 得 )1(32)2( (03) 4 32=+x x )1(321)1(......23132=++ x x x 由(3)-4×(1)(1) 得 第二步：将(2)(1) 除以2/3，使x 2系数化为1，得 再将(3)(1) 式中x 2系数化为零，即 由(3)(1) -(-14/3)*(2)(2) ，得 第三步：将(3)(2) 除以18/3，使x 3系数化为1，得 经消元后，得到如下三角代数方程组： （二）回代过程 由(3)(3) 得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2) 得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1) 得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T （三）、用矩阵演示进行消元过程 第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式 第二步：然后对矩阵进行初等行变换 初等行变换包含如下操作 （1） 将某行同乘或同除一个非零实数 ) 3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63) 18-=x ) 2(32) 2(......02=+x x ) 1(32)3( (63) 10 314-=-- x x （2）将某行加入到另一行 （3）将任意两行互换 第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形式如下： 示例： （四）高斯消元的公式 综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为 1．消元 （1）令 a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n） b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n） （2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行 l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n） a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n） b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n） 2．回代 若a nn(n) ≠0 x n = b n(n) / a nn(n) x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n ) （五）高斯消元法的条件 消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。 注意A的顺序主子式D i（i=1,2,…,n）,在消元的过程中不变，这是因为消元所作的变换是“将某行的若干倍加到另一行”。若高斯消元法的过程进行了k-1步(a ii(i) ≠0,i 重庆大学 学生实验报告实验课程名称计算方法 开课实验室DS1421 学院年级专业 学生姓名学号 开课时间至学年第学期 1．实验目的 （1）高斯列主元消去法求解线性方程组的过程 （2）熟悉用迭代法求解线性方程组的过程 （3）设计出相应的算法，编制相应的函数子程序 2．实验内容 分别用高斯列主元消去法 ,Jacobi 迭代法,Gauss--Saidel 迭代法,超松弛迭代法求解线性方程组 ????? ???????-=????????????????????????------725101391444321131243301024321x x x x 3.实验过程 解：（1）高斯列主元消去法 编制高斯列主元消去法的M 文件程序如下： %高斯列主元消元法求解线性方程组Ax=b %A 为输入矩阵系数,b 为方程组右端系数 %方程组的解保存在x 变量中 format long;%设置为长格式显示,显示15位小数 A=[2,10,0,-3;-3,-4,-12,13;1,2,3,-4;4,14,9,-13] b=[10,5,-2,7]' [m,n]=size(A); %先检查系数正确性 if m~=n error('矩阵A 的行数和列数必须相同'); return; end if m~=size(b) error('b 的大小必须和A 的行数或A 的列数相同'); return; end %再检查方程是否存在唯一解 if rank(A)~=rank([A,b]) error('A 矩阵的秩和增广矩阵的秩不相同,方程不存在唯一解'); return; end c=n+1; A(:,c)=b; %(增广) for k=1:n-1 数值分析讲义 第三章线性方程组的解法 §3.0 引言 §3.1 雅可比(Jacobi)迭代法 §3.2 高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法 §3.3 超松驰迭代法§3.7 三角分解法 §3.4 迭代法的收敛性§3.8 追赶法 §3.5 高斯消去法§3.9 其它应用 §3.6 高斯主元素消去法§3.10 误差分析 §3 作业讲评3 §3.11 总结 §3.0 引言 重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和科学计算中具有特殊的地位和作用.如弹性力学、电路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商业经济中的各种问题. 分类：线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法. (a) 直接法：对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解.最基本的直接法是Gauss消去法，重要的直接法全都受到Gauss消去法的启发.计算代价高. (b) 迭代法：基于一定的递推格式，产生逼近方程组精确解的近似序列.收敛性是其为迭代法的前提，此外，存在收敛速度与误差估计问题.简单实用,诱人. §3.1 雅可比Jacobi 迭代法 (AX =b ) 1 基本思想: 与解f (x )=0 的不动点迭代相类似,将AX =b 改写为X =BX +f 的形式,建立雅可比方法的迭代格式：X k +1=BX (k )+f ,其中，B 称为迭代矩阵.其计算精度可控,特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparse matrices)的方程组. 2 问题: (a) 如何建立迭代格式？ (b) 向量序列{X k }是否收敛以及收敛条件? 3 例题分析: 考虑解方程组??? ??=+--=-+-=--2.453.82102 .72103 21321321x x x x x x x x x (1) 其准确解为X *={1, 1.2, 1.3}. 建立与式(1)相等价的形式： ??? ??++=++=++=84.02.01.083.02.01.072 .02.01.02 13312321x x x x x x x x x (2) 据此建立迭代公式： ?????++=++=++=+++84 .02.01.083.02.01.072.02.01.0)(2)(1)1(3 )(3 )(1)1(23)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (3) 取迭代初值0) 0(3 )0(2)0(1===x x x ,迭代结果如下表. JocabiMethodP31.cpp 非线性方程的数值解法 《计算方法》 期末论文 论文题目非线性方程的数值解法 学院 专业 班级 姓名 学号 指导教师 日期 目录 摘要 第1 章绪论 1.1 问题的提出和研究目的和意义 1.2 国内外相关研究综述 1.3 论文的结构与研究方法 第2 章非线性方程的数值解法 2.1 二分法 2.2 迭代法 2.3 迭代法的局部收敛性及收敛的阶 2.4 牛顿迭代法 2.5 牛顿法的改进 2.6 插值 摘要 数值计算方法，是一种研究解决数学问题的数值近似解方法，它的计算对象是那些。 在理论上有解而又无法用手工计算的数学问题。在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。例如 在地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报和汉字设计中都有计算方法的踪影。本文讨论了非线 性方程的数值解法：非线性方程的二分法、迭代法原理、牛顿迭代法，迭代法的收敛性条件及适合非线性方程的插值法等等。 第1 章绪论 可以证明插值多项式L (x) n 存在并唯一。拉格朗日插值多项式的算法 step1.输入 插值节点控制数n 插值点序列 i i x , y i=0,1,…,n 要计算的函数点x。step2. FOR i =0,1,…,n i 制拉格朗日基函数序列问题的提出和研究目的和意义非线性方程的问题在工程实践中有很多用途 研究其数值解法是当前一个研究方向。目前已有相当一部分算法在广泛使用于工程实践中。非线性方程组和无约束最优化的数值解法 一直是数值优化领域中热门的研究课题。本文对传统的方法进行改进和提出新的算法 该算法不仅有重要的论价值，而且有很高的实用价值。例如在天体力学中，有如下Kepler 开普勒方程 x-t- sin x=0,0< <1,其中t 表示时间 x 表示弧度，行星运动的轨道x 是t 的函数。也就是说，对每个时刻i t 上述方程有唯一解i x ，运动轨道位置。 国内外相关研究综述随着科学技术的高速发展和计算机的广泛应用 求解形如F(x)=0 的非线性方程组问题越来越多的被提出来了 其中F 是的连续可微函数。例如非线性有限元问题、非线性断裂问题、弹塑性问题、电路问题、电子系统计算以及经济与非线性规划问题等都可转化为非线性方程组的求解问题。只要包含有未知函数及其导函数的非线性项的微分方程，无论是用差分方法或有限元方法，离散化 线性方程组的数值解法及其应用 一、问题描述 现实中的问题大多数是连续的，例如工程中求解结构受力后的变形，空气动力学中计算机翼周围的流场，气象预报中计算大气的流动。这些现象大多是用若干个微分方程描述。用数值方法求解微分方程（组），不论是差分方法还是有限元方法，通常都是通过对微分方程（连续的问题，未知数的维数是无限的）进行离散，得到线性方程组（离散问题，因为未知数的维数是有限的）。因此线性方程组的求解在科学与工程中的应用非常广泛。 经典的求解线性方程组的方法一般分为两类：直接法和迭代法。 二、基本要求 1）掌握用MATLAB软件求线性方程初值问题数值解的方法； 2）通过实例学习用线性方程组模型解决简化的实际问题； 3）了解用高斯赛德尔列主元消去法和雅可比迭代法解线性方程组。 三、测试数据 1） 直接法：A=[0.002 52.88;4.573 -7.290]; b=[52.90;38.44]; 2） 迭代法：A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5]; b=[7.2;8.3;4.2]; 四、算法程序及结果 1） function[RA,RB,n,x]=liezy1(A,b) B=[A b];n=length(b);RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0, disp('因为RA~=RB,所以此方程组无解.') return if RA==RB if RA==n disp('因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.') x=zeros(n,1);C=zeros(1,n+1); for p=1:n-1 [Y,j]=max(abs(B(p:n,p)));C=B(p,:); B(p,:)=B(j+p-1,:);B(j+p-1,:)=C; for k=p+1:n m=B(k,p)/B(p,p); B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1); end end b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);x(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1 x(q)=(b(q)- sum(A(q,q+1:n)*x(q+1:n)))/A(q,q); end else disp('因为RA=RB 求线性方程组的方法 摘要：线性方程组是线性代数的一个重要组成部分，也在现实生活中有着广泛的运用，在电子工程、软件开发、人员管理、交通运输等领域都起着重要作用。在一些学科领域的研究中，线性方程组也有着不可撼动的辅助性作用，在实验和调查后期利用线性方程组对大量的数据处理是很方便简洁的选择。本文主要围绕如何解线性方程组来进行讲解，对于不同类型的线性方程组的不同方法，并简述线性方程组的一些实际应用。 关键词：齐次线性方程组，非齐次线性方程组，克莱姆法则，消元法，矩阵，矩阵的秩，特解，通解。 英文题目 The solution of linear equation Linear equations linear algebra is one of the important component parts, and in real life has extensive production use，and it plays an important role in electronic engineering, software development, personnel management, transportation, etc. In some discipline study, it also has the reigns of linear equations of the auxiliary function.In experiment and survey using the linear equations of the late on the data processing is very convenient simple choice. 三元线性方程组的几何解法 任春丽，王金金 (西安电子科技人学理学院数学系，陕西酋安710071 ) 线性方程组是线性代数中重要的内容，其解的结构在线性代数课程中已通过向量及矩阵理论讨论的非常清楚，但在教材中很少提及几何意义.由于三元线性方程表示空间屮的平而，因此，通过平面图形Z间的位置关系求解线性方程组，不仅形象、直观，而且为从三维空间抽象的代数问题推广到n维空间更定了基础°文献[2] 丿IJ矩阵 的秩判别了空间屮平面、直线之间的位證关系；相反的，本文利用空间中平而、肓线之间的位宜关系讨论了三元线性方程组解的情况，并举例说明。 1.两个方程的三元线性方程组 设方程组(I)： [仲+恥+C"。-街俩个平面) A2X +B2y + C2z = D2—兀2 讨论：令e=4，d，G，o)(心1,2), %=Q,B,C)(i = l,2) ⑴若wa，即牛鲁咱唔‘则 眄与龙2重合，方程组(I)有无穷多解； (2)若n.//n2i a^a29即4 =邑』』, 1 2 1 2 码场C? D2则眄与?平行但不重合，方程组(I )无解； (3)若讥叫，则陌与幻相交，方程纨I)有无穷多解，其解为相交直线上的所有点。 例1求解下列线性方程组 3兀 + 6y — 3z = 8 fx + 2y-z = 7 (1){ : (2){ ?一兀一 2y + z = 3 [-2x + y + z = 4 解⑴因为—7^-,所以两个平 -1-213 血平行但不重合，故方程组无解； (2)因为阿x〃2 =(1，2,T)x(一2,1,1) = (3丄5) H 0, 所以两个平面相交于H线L,故方程组有无穷多 解。又点(1,4,2)在L上，故直线L的参数方程x = 1 + 3f, 为：」= 4+r,即是方程组的通解。 z = 2 + 5/. 2.三个方程的三元线性方程组 设方程组(II)： A}x + + Gz = °―兀、 < A2x + B2y + C2z = D2—兀2(三个平面) A.x + B,y^C.z = D. 一心 讨论:令q=Q，d，G，q)(i = l,2,3), n,=(4.,B/,C/)(i = l,2,3)o (1)若= 1,2,3)中至少有两个平行，则至 少有两个平面重合，其解的讨论同第1 H； (2)若? (/ = 1,2,3)屮至少有两个平行，但相应的乞?加勺(心力，则至少冇两个平面平行但 不重合，方程组(II)无解； (3)若?加? (心/),则三个平面两两相交， 方程组(II)可能有解，也可能无解。进一步：求 x = x Q + mt, ! IW与兀2的交线L的参数式方程:\y = y o+ntf z = 5 + pt. 如果厶〃龙3，但点(兀O，y°，Zo)不在龙3上，则 线性代数方程组的数值解法 【实验目的】 1. 学会用MATLAB 软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析； 2. 通过实例学习用线性代数方程组解决简化的实际问题。 【实验内容】 【题目1】 通过求解线性方程组11b x A = 和22b x A =，理解条件数的意义和方程组的性态对解 的影响。其中1A 是n 阶范德蒙矩阵，即 1A =???? ? ? ?????? ??------1121 1 112 111 2 00111n n n n n n x x x x x x x x x ，k x k 1.01+=，1, (1) 0-=n k 2A 是n 阶希尔伯特矩阵，1b ，2b 分别是1A ，2A 的行和。 （1）编程构造1A （2A 可直接用命令产生）和1b ，2b ；你能预先知道方程组1 1b x A =和22b x A = 的解吗？令n=5，用左除命令求解（用预先知道的解可检验程序） 。 （2）令n=5,7,9,…，计算1A ，2A 的条件数。为观察它们是否病态，做以下试验：1b ，2b 不变，1A 和2A 的元素),(1n n A ，),(2n n A 分别加扰动ε后求解；1A 和2A 不变，1b ，2b 的 分量)(1n b ，)(2n b 分别加扰动ε求解。分析A 和b 的微小扰动对解的影响。ε取1010-，810-，610-。 （3）经扰动得到的解记做x ~，计算误差 x x x ~-，与用条件数估计的误差相比较。 1.1构造1A ，2A 和1b ，2b 首先令n=5，构造出1A ，2A 和1b ，2b 。首先运行以下程序，输出1A 。 线性方程组解法综述 Prepared on 22 November 2020 线性方程组解法的研究综述 摘要：这篇论文在说明了线性方程组的应用目的的基础上，提出了线性方程组求解的研究现状，并列举了常用的求解方法，同时说明了它们的应用条件，剖析了各种方法的不足之处。 关键词高斯消元迭代病态方程组 一、问题提出 在自然科学和工程实际应用中，有许多问题的求解最终都转化为线性方程组的求解问题。例如,电学中的网络问题，曲线拟合中常用的最小二乘法、样条函数插值、解非线性方程组、求解偏微分方程的差分法、有限元法和边界元法以及目前工程实践中普遍存在的反演问题等。特别是在图像恢复、模型参数估计、解卷积、带限信号外推、地震勘探等众多领域，都需要求解线性方程组。 由于线性方程组问题在理论上的重要性和在工程实际应用中的大量存在，多年来人们在这方面做了广泛深入的研究和探讨，并取得了许多有价值的成果.由于模型误差、测量误差、计算误差等各种误差的存在，常常使得线性方程组中的系数矩阵和非齐次项信息具有某种程度的近似性(即扰动性)，这种近似性显然会使得线性方程组的求解不容易得到真实的理论解。此时，不同的求解方法由于运算机理不一样，求解过程中误差积累程度就不一样，因此必然会使得不同的求解方法得到的解具有不同的逼近真解的误差程度，尤其对具有病态性的方程组而言，由于病态线性方程组的条件数很大，数据误差以及计算过程中引入的舍入误差往往会使线性方程组的解不稳定，即不管原始数据的误差多么小，都可能造成解的很大变化，使线性方程组的解严重失真。因此，许多现有的方 法都是无效的，病态线性方程组的求解变得相当困难。求解线性方程组的最常用的方法主要有直接法和迭代法两大类，其中直接法中最常用的方法是高斯消元法。但是，该方法求解病态线性方程组时不能得到合理的解，误差很大。 二、研究现状 目前关于线性方程组的数值解法一般有两大类。一类是直接方法，另一类是迭代方法。直接方法最基本的是高斯消元法及其变形，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，近十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展。迭代法就是用某种迭代过程去逐步逼近线性方程组的精确解，迭代法具有需要计算机的存储单元较少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点，但存在收敛性及收敛速度问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的重要方法。当前对迭代算法的研究已经较为成熟，但如何使之适合新体系模型，以获得更好的性能加速一直是应用和体系设计者关心的问题。 三、常用方法比较 1.直接方法 直接方法是指假设计算过程中不产生舍入误差，经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法。事实上，由于舍入误差的存在，用直接法一般也只能求得方程组的近似解。直接方法中主要有三种方法：克拉默法则、高斯消元法、LU 分解法。 （1）克拉默法则 设有线性方程组（ n 个未知数 n 个方程）线性方程组的数值解法实验
线性方程组的解法
线性方程组的解法及其应用
非线性方程组数值解法
线性方程组数值解法总结
浅析线性方程组的解法
线性方程组的直接解法
线性方程组的数值解法
线性方程组的几种求解方法
计算方法实验报告-线性方程组的数值解法
数值分析讲义——线性方程组的解法
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线性方程组的数值解法及其应用
线性方程组的理论和解法
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