2016年福州市普通高中毕业班综合质量检测
理科数学能力测试
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分 考生注意：
1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘
贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、已知全集为R ，集合{1,1,2,4}M =-,2{|23}N x x x =->，则()M N =R e （A ）{1,1,2}-
（B ）{1,2}
（C ）{4}
（D ）{}12x x
-剟
2、复数z 满足(1i)|1i |z -=+，则复数z 的共轭复数在复平面内的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
3、函数()sin()f x A x ?=+（0A >）在π
3
x =处取得最小值，则
（A ）π()3f x +是奇函数 （B ）π
()3f x +是偶函数
（C ）π()3f x -是奇函数 （D ）π
()3
f x -是偶函数
4、在ABC ?中，5AB AC ?= ,4BA BC ?=
，则AB = （A ）9 （B ）3 （C ）2 （D ）1
5、已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X （单位：mm ）对工期延误天数Y 的影响及相应的概率P 如下表所示：
在降水量X 至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为 （A ）0.1 （B ）0.3 （C ）0.42 （D ）0.5
6、若,x y 满足约束条件10,20,220,x x y x y +??
-+??++?
………且目标函数z ax y =-取得最大值的点有无数个，则z 的最小
降水量X 100
X < 100200X <… 20030X <… 300X …
工期延误天数Y 0 5 15 30 概率P
0.4
0.2
0.1
0.3
值等于 （A ）2- （B ）3
2
-
（C ）1
2
-
（D ）
12
7、执行右面的程序框图，若输入n 值为4，则输出的结果为 （A ）8 （B ）21 （C ）34
（D ）55
8、5
12x x ?
?++ ??
?的展开式中，2x 的系数为
（A ）45 （B ）60
（C ）90
（D ）120
9、正项等比数列{}n a 满足11a =,2635a a a a +=128，则下列结论正确的是 （A ）n ?∈*N ，12n n n a a a ++…
（B ）n ?∈*N ，212n n n a a a +++= （C ）n ?∈*N ，1n n S a +<
（D ）n ?∈*N ，312n n n n a a a a ++++=+
10、双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ，P 是E 左支上一点，112PF F F =，
直线2PF 与圆222x y a +=相切，则E 的离心率为 （A ）
54
（B
（C ）53
（D
11、一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 （A ）2 （B
（C
（D ）3
12、设m ∈R ，函数222()()(e 2)x f x x m m =-+-．若存在0x 使得
01
()5
f x …
成立，则m = （A ）15
（B ）
25
（C ）35
（D ）
45
俯视图
（1）A （2）D （3）B （4）B （5）D （6）C （7）C （8）D （9）C （10）C （11）A （12）B 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
13、知函数1,02,
()1,20.x x f x x -
14、所有棱长均为2的正四棱锥的外接球的表面积等于 ．
15、抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点M ，过焦点F 作倾斜角为60?的直线与C 交于,A B 两点，则tan AMB ∠= ．
16、数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知12a =,1(1)2n n n S S n ++-=，则100S =________．
（13）1
2
- （14）8π （15） （16）198
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）
ABC ?的内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan 21tan A c
B b
+=
． （Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若BC 边上的中线AM =AH =ABC ?的面积．
（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）因为tan 21tan A c B b +=，所以sin cos 2sin 1sin cos sin A B C
B A B
+=
， ······················· 2分 即sin()2sin sin cos sin A B C B A B
+=
， 因为sin()sin 0A B C +=≠，sin 0B ≠，
所以1
cos 2
A =， ················································································ 4分
又因为(0,π)A ∈，所以π
3A =． ···························································· 5分
（Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2
AM AB AC =+
，
即2221(2)4
AM AB AC AB AC =++? ，
所以2232c b bc ++=，① ····································································· 7分
由11
sin 22S AH BC AB AC A =?=??，
=，即2bc a =，② ···························································· 9分 又根据余弦定理，有222a b c bc =+-，③ ··············································· 10分
联立①②③，得2()3222
bc
bc =-，
解得8bc =．
所以△ABC
的面积1
sin 2
S bc A == ··············································· 12分
18、（本小题满分12分）
为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以
上为优分
(含80分
)．
科成绩与性别有关”？
（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率．
)
)()()(()
(2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
．
（18）本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分． 分 假设0H ：该学科成绩与性别无关，
2
K 的观测值22
()50(991121) 3.125()()()()20302030
n ad bc k a b c d a c b d -?-?===++++???，
因为3.125 2.706>，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关． ·············································································································· 6分
（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率
20
0.450
f =
=视作概率． ·
············································································· 7分 设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X ，则X 服从二项分布(3,0.4)B ， ······························································································· 9分 所求概率223
333(2)(3)0.40.60.40.352P P X P X C C ==+==??+?=． ····································································································· 12分
19、（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是梯形，且//AB CD ,AB ⊥平面PAD ，E 是PB 中点，
1
2
CD PD AD AB ===． （Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAB ；
（Ⅱ）若CE =，4AB =，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小．
（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．
（Ⅰ）证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如图所示． 因为PD AD =，所以DF AP ⊥． ·························································· 1分 因为AB ⊥平面PAD ，DF ?平面PAD ， 所以AB DF ⊥．
又因为AP AB A = ， 所以DF ⊥平面PAB ． ······································································· 3分 因为点E 是PB 中点，
所以//EF AB ，且2AB
EF =． ······························································ 4分
又因为//AB CD ，且2
AB
CD =，
所以//EF CD ，且EF CD =， 所以四边形EFDC 为平行四边形，
所以//CE DF ，所以CE ⊥平面PAB ． ·················································· 6分 （Ⅱ）解：设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ， 因为AB ⊥平面PAD ，AD ?平面PAD ， 所以AB AD ⊥，所以OG AD ⊥． ·························································· 7分
因为EC =
DF = 又因为4AB =，所以2AD =，
所以22,AP AF === 所以APD ?为正三角形，所以PO AD ⊥， 因为AB ⊥平面PAD ，PO ?平面PAD ， 所以AB PO ⊥．
又因为AD AB A = ，所以PO ⊥平面ABCD ． ········································ 8分
故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP
的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．
P ，(1,2,0),(1,0,0)C D --
，1(,2E ，
E D
C B A P
设平面PDC 的法向量(,,)x y z =n ，
则0,0,PD PC ??=???=??n n
所以0,
20,x x y ?-=??-+=?? 取1z =，则(=n ， ···········································
····················· 10分 设EC 与平面PDC 所成的角为α，
则1
sin |cos ,||2EC α=<>==n ， ···················································· 11分 因为π
[0,]2
α∈，所以π6α=，
所以EC 与平面PDC 所成角的大小为π
6
． ·············································· 12分
20、（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 的坐标分别为()()2,0,2,0-．直线,AP BP 相交于点P ，且它
们的斜率之积是1
4
-．记点P 的轨迹为Γ． （Ⅰ）求Γ的方程；
（Ⅱ）已知直线,AP BP 分别交直线:4l x =于点,M N ，轨迹Γ在点P 处的切线与线段MN 交于点Q ，
求MQ NQ
的值．
（20）本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）设点P 坐标为(),x y ，则
直线AP 的斜率2AP y
k x =+（2x ≠-）； 直线BP 的斜率2
BP y
k x =-（2x ≠）． ···························································· 2分
由已知有1
224
y y x x ?=-+-（2x ≠±）
， ························································· 3分 化简得点P 的轨迹Γ的方程为2
214
x y +=（2x ≠±）． ······································· 4分
（注：没写2x ≠或2x ≠-扣1分）
（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则22
0014
x y +=． ·············································· 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M y
y x =+； ·
····· 6分 直线BP 的方程为()0022y y x x =
--，令4x =，得点N 纵坐标为0022
N y
y x =-； ·
······· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，
由()0022
,44,y k x x y x y ?=-+?+=?
得()
()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分 由0?=，得()()()22
22000064161410k y kx k y kx ??--+--=??
，
整理得222
20000214y kx y k x k -+=+．
将()2
222
00
001,414x y x y =-=-代入上式并整理得2
00202x y k ??+= ???，解得00
4x k y =-， ··· 9分 所以切线方程为()0000
4x
y y x x y -=--．
令4x =得，点Q 纵坐标为()()22
000000
000000
441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-
===．
··········································································································· 10分
设MQ QN =
λ，所以()Q M N Q y y y y -=-λ， 所以
00000000162122x y y x y x x y ??
---=- ?+-??
λ． ·
······················································· 11分 所以()()()()()()
2
2
000000000012621222x x y y x x y x y x -+----=+-λ
． 将22
00
14x y =-代入上式，002+(2+)22
x x
-=-λ，
解得1=λ，即1MQ
NQ
=． ··········································································· 12分
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则22
0014
x y +=． ·············································· 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062
M y
y x =+； ·
····· 6分 直线BP 的方程为()0022y y x x =
--，令4x =，得点N 纵坐标为0022
N y
y x =-； ·
······· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，
由()0022
,44,y k x x y x y ?=-+?+=?
得()
()()2
220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分 由0?=，得()()()22
22000064161410k y kx k y kx ??--+--=??
，
整理得222
20000214y kx y k x k -+=+．
将()2
222
00
001,414x y x y =-=-代入上式并整理得2
00202x y k ??+= ??
?，解得004x k y =-， ··· 9分 所以切线方程为()0000
4x
y y x x y -=--．
令4x =得，点Q 纵坐标为()()22
000000
000000
441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-
===．
··········································································································· 10分
所以()()0000000
22
00000
8181621222244M N Q x y x y y y x y y y x x x y y ---+=
+====+---， ············ 11分 所以Q 为线段MN 的中点，即
1MQ NQ
=． ······················································· 12分
21、（本小题满分12分）
已知a ∈R ，函数1()e x f x ax -=-的图象与x 轴相切． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当1x >时，()(1)ln f x m x x >-，求实数m 的取值范围．
（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分． 解：（Ⅰ）()1e x f x a -'=-，设切点为0(,0)x ， ·················································· 1分
依题意，00()0,()0,f x f x =??'=?即001
01e 0,
e 0,x x ax a --?-=??-=??
解得01,1,x a =??=?
························································································ 3分
所以()1e 1x f x -'=-．
当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．
故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞． ························ 5分 （Ⅱ）令()()(1)ln g x f x m x x =--，0x >．
则11
()e (ln )1x x g x m x x
--'=-+-，
令()()h x g x '=，则1211
()e ()x h x m x x
-'=-+， ·············································· 6分
（ⅰ）若1
2
m …，
因为当1x >时，1e 1x ->，211
()1m x x
+<，所以()0h x '>，
所以()h x 即()g x '在(1,)+∞上单调递增．
又因为(1)0g '=，所以当1x >时，()0g x '>， 从而()g x 在[1,)+∞上单调递增，
而(1)0g =，所以()0g x >，即()(1)ln f x m x x >-成立． ······························ 9分
（ⅱ）若1
2
m >，
可得1211
()e ()x h x m x x
-'=-+在(0,)+∞上单调递增．
因为(1)120h m '=-<，2
11
(1ln(2))2{
}01ln(2)[1ln(2)]h m m m m m '+=-+>++， 所以存在1(1,1ln(2))x m ∈+，使得1()0h x '=，
且当1(1,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在1(1,)x 上单调递减，
又因为(1)0g '=，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x '<，
从而()g x 在1(1,)x 上单调递减，
而(1)0g =，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x <，即()(1)ln f x m x x >-不成立．
纵上所述，k 的取值范围是1
(,]2-∞． ······················································ 12分
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，ABC ?内接于圆O ，D 是 BAC 的中点，∠BAC 的平分线分别交BC 和圆O 于点E ,F ．
（Ⅰ）求证：BF 是ABE ?外接圆的切线；
（Ⅱ）若3AB =,2AC =，求22DB DA -的值．
（22）选修41-：几何证明选讲
本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．
解：（Ⅰ）设ABE ?外接圆的圆心为O '，连结BO '并延长交圆O '于G 点，连结GE ， 则90BEG ∠=?，BAE BGE ∠=∠．
因为AF 平分∠BAC ，所以 =BF FC ，所以FBE BAE ∠=∠， ······················· 2分
所以18090FBG FBE EBG BGE EBG BEG ∠=∠+∠=∠+∠=?-∠=?， 所以O B BF '⊥，所以BF 是ABE ?外接圆的切线． ····································· 5分
（Ⅱ）连接DF ，则DF BC ⊥，所以DF 是圆O 的直径，
因为222BD BF DF +=，222DA AF DF +=， 所以2222
BD DA AF BF -=-． ··························································
因为AF 平分∠BAC ，所以ABF ?∽AEC ?,
所以AB AF AE AC
=，所以()AB AC AE AF AF EF AF ?=?=-?, 因为FBE BAE ∠=∠，所以FBE ?∽FAB ?，从而2BF FE FA =?，
所以22AB AC AF BF ?=-，
所以226BD DA AB AC -=?=． ····························································· 10分 23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,
2sin x y αα=+??=?（α为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴
为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．
（Ⅰ）写出1C 的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线222:14x C y +=经伸缩变换1
,
2x x y y
?'=???'=?后得到曲线3C ，
射线π3θ=（0ρ>）分别与1C 和3C 交于A ,B 两点，求||AB ．
（23）选修44-；坐标系与参数方程
本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．
F
解：（Ⅰ）将22cos ,
2sin x y αα
=+??=?消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=，
即221:40C x y x +-=， ··············································································· 2分 将cos ,sin x y ρθρθ=??=?
代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， ································· 4分
所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ······························································ 5分
（Ⅱ）将2,
x x y y '=??'
=?代入2C 得221x y ''+=，
所以3C 的方程为221x y +=． ······································································· 7分 3C 的极坐标方程为1ρ=，所以||1OB =．
又π
||4cos 23
OA ==，
所以||||||1AB OA OB =-=． ········································································ 10分 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式|3|21x x +<+的解集为{|}x x m >． （Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）设关于x 的方程1
||||x t x m t
-++=（0t ≠）有解，求实数t 的值．
（24）选修45-：不等式选讲
本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解：（Ⅰ）由|3|21x x +<+得， 3,(3)21,x x x -??-+<+? (3)
321,x x x >-??
+<+? ································································· 2分 解得2x >． 依题意2m =． ·························································································· 5分
（Ⅱ）因为()1111x t x x t x t t t t t t ?
?-++--+=+=+ ???…，
当且仅当()10x t x t ?
?-+ ??
?…时取等号， ···························································· 7分
因为关于x 的方程1
||||2x t x t
-++=（0t ≠）有实数根，
所以1
2t t
+…． ······················································································· 8分
另一方面，1
2t t
+…， 所以1
2t t
+
=， ························································································ 9分 所以1t =或1t =-． ·················································································· 10分