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复数讲义(绝对经典)

复数

一、复数的概念

1．虚数单位i:

（1）它的平方等于1-，即21i =-；

（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i 与－1的关系:

i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ．（4）i 的周期性：

41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =．

2．数系的扩充：复数(0)i i(0)

i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =??

+=??+≠??

+≠??

实数纯虚数虚数非纯虚数 3．复数的定义：

形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4．复数的代数形式:

通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5．复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：

对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数0

6．复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘

7．两个复数相等的定义：

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，，

c ，

d ∈R ，那么i i a b c d +=+?a c =，b d =

二、复数的几何意义

1．复平面、实轴、虚轴：

复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．

2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00，

，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数．

除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3．

这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．

三、复数的四则运算

1．复数1z 与2z 的和的定义：

12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++

2．复数1z 与2z 的差的定义：

12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+-

3．复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+

4．复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++ 5．乘法运算规则：

设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6．乘法运算律：

（1）()()123123z z z z z z = （2）123123()()z z z z z z ??=?? （3）()1231213z z z z z z z +=+ 7．复数除法定义：

满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数x yi +(x 、y ∈R )叫复数a bi +除以复数c di +的商，记为：

()()a bi c di +÷+或者

a bi

c di

8．除法运算规则：

设复数i a b + (a 、b ∈R )，除以i c d + (c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )，即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+

由复数相等定义可知cx dy a dx cy b -=??+=?，解这个方程组，得2222ac bd x c d bc ad y c d +?=??+?

-?=?+?

，于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222

ac bd bc ad

i c d c d +-=

+++

②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将

a b c d ++的分母有理化得：原式22i (i)(i)[i (i)]()i

i (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+?-+-=

++-+ 222222

()()i i ac bd bc ad ac bd bc ad

c d c d c d

++-+-=

=++++． ∴(()(i)i a b c d +÷+=

2222

i ac bd bc ad

c d c d

+-+++ 点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -

，它们之积为1是有理数，而()()22c di c di c d +-=+是正实数．所以可以分母实数化．把这种方法叫做分母实数化法． 9．共轭复数：

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．

1．复数的概念

【例1】已知2(1a i bi i i -??

=-+ ?+??

为虚数单位）

，那么实数a ，b 的值分别为（） A ．2，5 B ．-3，1 C ．-1．1 D ．2，3

【答案】D

【例2】计算：0!1!2!100!i +i +i ++i = （i 表示虚数单位）

【答案】952i +

【解析】 ∵4i 1=，而4|!k （4k ≥），故0!1!2!100!i +i +i ++i i i (1)(1)197952i =++-+-+?=+

【例3】设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（）

A ．z 的对应点Z 在第一象限

B ．z 的对应点Z 在第四象限

C ．z 不是纯虚数

D ．z 是虚数

【答案】D

【解析】

2222(1)10t t t -+=-+≠．

【例4】在下列命题中，正确命题的个数为（）

①两个复数不能比较大小；

②若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±； ③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；

④若a b ，是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ⑤z ∈R 的一个充要条件是z z =． ⑥1z =的充要条件是1

z z =． A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B

【解析】复数为实数时，可以比较大小，①错；1x =-时， 22(1)(32)0x x x i -+++=，②错；z 为实数时，

也有z z +∈R ，③错；0a b ==时， ()()0a b a b i -++=，④错；⑤⑥正确．

2．复数的几何意义【例5】复数2i

12i

m z -=

+（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）

例题精讲

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】A 【解析】由已知2(2)(12)1

[(4)2(1)]12(12)(12)5

m i m i i z m m i i i i ---=

==--+++-在复平面对应点如果在第一象限，则40

10m m ->??

，而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．

【例6】若3

5ππ4

4θ??∈ ???，，复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】B

【解析】结合正、余弦函数的图象知，当3

5ππ4

4θ??∈ ???，时，cos sin 0sin cos 0θθθθ+<->，．

【例7】如果复数z 满足i i 2z z ++-=，那么i 1z ++的最小值是（）

A ．1

B C ．2 D

【答案】A

【解析】设复数z 在复平面的对应点为Z ，因为i i 2z z ++-=，

所以点Z 的集合是y 轴上以1(01)Z ，、2(01)Z -，为端点的线段．

i 1z ++表示线段12Z Z 上的点到点(11)--，的距离．此距离的最小值为点2(01)Z -，到点(11)

--，的距离，其距离为1．

【例8】满足1z =及13

z z +

=-的复数z 的集合是（）

A ．1122????-+

-??????， B ．1111i i 2222??+-????，

C ．???????

D ．1122????

+??????

，【答案】D

【解析】复数z 表示的点在单位圆与直线12x =

上（1322z z +=-表示z 到点102??- ???，

与点302??

???

，的距离相等，故轨迹为直线1

x =

），故选D ．

【例9】已知复数(2)i()x y x y -+∈R ，y

的最大值为_______．

【解析】

2i x y -+=∵ 22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，

表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率．

如图，由平面几何知识，易知

【例10】复数z 满足条件：21i z z +=-，那么z 对应的点的轨迹是（）

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

【答案】A

【解析】 A ；设i z x y =+，则有(21)2i (1)i x y x y ++=+-，2222(21)(2)(1)x y x y ?++=+-，

化简得：2

215

339

x y ?

???+

++= ? ??

???，故为圆．【点评】①0z z -的几何意义为点z 到点0z 的距离；

②0(0)z z r r -=>中z 所对应的点为以复数0z 所对应的点为圆心，半径为r 的圆上的点．

【例11】复数1z ，2z 满足120z z ≠，1212z z z z +=-，证明：2

122

0z z <．

【解析】设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由1212z z z z +=-知，以1OZ ，2OZ 为邻边的平

行四边形为矩形，12OZ OZ ∴⊥，故可设12

(0)z ki k k z =∈≠R ，，所以2

222122i 0z k k z ==-<．

也可设12i i z a b z c d =+=+，，则由向量()a b ，与向量()c d ，垂直知0ac bd +=， 122222i ()()i i 0i z a b ac bd bc ad bc ad z c d c d c d +++--===≠+++，故2

2112220z z z z ??

=< ???

．

【例12】已知复数1z ，2z

满足11z =

，21z =，且124z z -=，求1

z z 与12z z +的值．

【答案】；4．【解析】设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z

，由于2221)1)4+=，

故2

1212z z z z +=-，

故以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥

，则12z z ==；12124z z z z +=-=．

【例13】已知12z z ，∈C ，121z z ==

，12z z +=12z z -．

【解析】设复数12z z ，，12z z +在复平面上对应的点为123Z Z Z ，

，，由121z z ==知，以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形是菱形，记O 所对应的顶点为P ，

由12z z += 1120PZ O ∠=?（可由余弦定理得到），故1260Z OZ ∠=?，从而121z z -=．

【例14】已知复数z

满足(2(23i)4z z -+-=，求d z =的最大值与最小值．

【答案】max d =

，min 1d = 【解析】设i z x y =+，则()x y ，满足方程2

(2)14

y x -+=．

d = 又13x ≤≤，故当10x y ==，时，min 1d =

；当83x y ==，

时，有max d =．

3．复数的四则运算

【例15】已知m ∈R ，若6(i)64i m m +=-，则m 等于（）

A ．2-

． C

． D ．4

【答案】B

【解析】

66366(i)(2i)8i 64i 8m m m m m m +==-=-?=?=

【例16】计

12．

【答案】511- 【解析】原

式12121269100

21511(i)

=-+=--．

【例17】已知复数1cos i z θ=-，2sin i z θ=+，则12z z ?的最大值为（）

A ．

D ．3

【答案】A

【解析】 12(cos i)(sin i)(cos sin 1)(cos sin )i z z θθθθθθ?=-+=++

=，

故当sin21

θ=±时，

z z?

．

【例18】对任意一个非零复数z，定义集合{|}

M w w z n

==∈N

，．

（１）设z是方程

+=的一个根，试用列举法表示集合

M．若在

M中任取两个数，求其和为零的概率P；

（2）若集合

M中只有3个元素，试写出满足条件的一个z值，并说明理由．

【答案】（1）

；（2

）

z=--．

【解析】（1）∵z是方程210

x+=的根，

∴i

z=或i

z=-，不论i

z=或i

z=-，234

{i i i i}{i1i1}

M==--

，，，，，，，

于是

P==．

（2）

取

z=-

，则2

z=-及31

z=．

于是23

{}

M z z z

=，，

或取

z=-．（说明：只需写出一个正确答案）．

【例19】解关于x的方程256(2)i0

x x x

-++-=．

【答案】

3i2

x x

=-=

，．

【解析】错解：由复数相等的定义得

223

560

x x

?==

-+=

??=

-=?

或

．

分析：“i i

a b c d a c

+=+?=，且b d

=成立”的前提条件是a b c d∈R

，，，，但本题并未告诉x是否为实数．

法一：原方程变形为2(5i)62i0

x x

--+-=，22

(5i)4(62i)2i(1i)

?=---=-=-．

由一元二次方程求根公式得

(5i)(1i)

-+-

==-，

(5i)(1i)

---

==．

∴原方程的解为

x=-，

x=．

法二：设i()

x a b a b

=+∈R

，，则有2

(i)5(i)6(2)i0

a b a b a bi

+-++++-=，

(56)(252)i0

a b a b ab b a

?---++-+-=

22560

2520

a b a b

ab b a

?---+=

-+-=

①

②

，

由②得：

，代入①中解得：

或

，

故方程的根为123i 2x x =-=，．

【例20】已

知21z x =+，22()i z x a =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范

围．

【答案】112a ?

?∈- ??

?，．

【解析】

12z z >∵，42221()x x x a ++>+∴， 22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．

当120a -=，即1

a =

时，不等式恒成立；当120a -≠时，2

1201

124(12)(1)0a a a a ->??-<

．综上，112a ?

?∈- ??

?，．

【例21】关于x 的方程2(2)i 10x a i x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围．【答案】1a =±

【解析】误：∵方程有实根，22(2)4(1)450a i ai a ∴?=---=-≥．

解得a

a ≤．析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况，而该方程中2i a -与1i a -并非实数．

正：设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定义，得

000

210

0x ax x a ?++=??

+=??，解得1a =±．

【例22】设方程220x x k -+=的根分别为α，β

，且αβ-=k 的值．【答案】1k =-或3k =．

【解析】若α，β为实数，则440k ?=-≥

且2

222()()444k αβαβαβαβ-=-=+-=-=，

解得1k =-．

若α，β为虚数，则440k ?=-<且α，β共轭，

222()()444k αβαβαβαβ-=--=-++=-+=，解得3k =．

综上，1k =-或3k =．

【例23】用数学归纳法证明：(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，

．

并证明1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-，从而(cos isin )cos()isin()n n n θθθθ-+=-．

【解析】 1n =时，结论显然成立；

若对n k =时，有结论成立，即(cos isin )cos()isin()k k k θθθθ+=+，则对1n k =+，1(cos isin )(cos isin )(cos isin )k k θθθθθθ++=++ 由归纳假设知，上式(cos isin )[cos()isin()]k k θθθθ=++ (cos cos sin sin )i[cos sin()sin cos ]k k k k θθθθθθθθ=-++ cos[(1)]isin[(1)]k k θθ=+++，

从而知对1n k =+，命题成立．

综上知，对任意n +∈N ，有(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，

．易直接推导知：

(cos isin )(cos isin )(cos()isin())(cos isin )cos0isin01θθθθθθθθ-+=-+-+=+=

故有1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-．

(cos isin )(cos isin )(cos()isin())n n n θθθθθθ-+=-=-+-

cos()isin()cos()isin()n n n n θθθθ=-+-=-．

【例24】若cos isin αα+是方程121210n n n n n x a x a x a x a ---+++

++=（12n a a a ∈R ，，，）的解，

求证：12sin sin 2sin 0n a a a n ααα++

+=．

【解析】将解代入原方程得：

11(cos isin )(cos isin )0n n n a a αααα-++++

+=，

将此式两边同除以(cos isin )n αα+，则有： 12121(cos isin )(cos isin )(cos isin )0n n a a a αααααα---+++++

++=，

即121(cos isin )(cos2isin 2)(cos isin )0n a a a n n αααααα+-+-++-=，

1212(1cos cos2cos )i(sin sin 2sin )0n n a a a n a a a n αααααα+++

+-++

+=，

由复数相等的定义得12sin sin 2sin 0n a a a n ααα++

+=．

【例25】设x 、y 为实数，且5

11213x y i i i

---，则x y +=________．【答案】4 【解析】由

511213x y i i i +=

---知，5

(1)(12)(13)2510

x y i i i +++=+，即(525)(5415)0x y x y i +-++-=，

故525054150x y x y +-=??+-=?，解得15x y =-??=?

，故4x y +=．

【例26】已知

z -是纯虚数，求z 在复平面内对应点的轨迹．【答案】以102??

???，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)，和点(10)，．

【解析】法一：

设i z x y =+（x y ∈R ，）

，则222

i (1)i

11i (1)z x y x x y y z x y x y +-+-==--+-+是纯虚数，故220(0)x y x y +-=≠，

即z 的对应点的轨迹是以102?? ???，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)，和点(10)，．

法二：

∵

z z -是纯虚数，∴011z z z z ??+= ?--??（0z ≠且1z ≠） ∴

011

z z z z +=--，∴(1)(1)0z z z z -+-=，得到2

2z z z =+，设z x yi =+（x y ∈R ，）

，则22x y x +=（0y ≠） ∴z 的对应点的轨迹以102??

???

，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)，和点(10)，．

【例27】设复数z 满足2z =，求24z z -+的最值．

【解析】由题意，2

4z z z =?=，则224(1)z z z z zz z z z -+=-+=-+．

设i(2222)z a b a b =+--≤≤，≤≤，则242i 1i 221z z a b a b a -+=+-+-=-．

∴当1

a =

时，2min 40z z -+=，此时12z =；

当2a =-时，2min

10z z -+=，此时2z =-．

【例28】若()23i f z z z =+-，()63i f z i +=-，试求()f z -．【答案】64i --

【解析】 ∵()23i f z z z =+-，

∴(i)2(i)(i)3i 22i i 3i f z z z z z +=+++-=++--22i.z z =+- 又知(i)63i f z +=-，∴ 22i 63i z z +-=-

设i z a b =+（a b ∈R ，）

，则i z a b =-，∴ 2(i)(i)6i a b a b -++=-，即3i 6i a b -=-，

由复数相等定义得36

1a b =??-=-?

，解得21a b ==，．∴2i z =+．

故()(2i)2(2i)(2i)3i 64i f z f -=--=--+-+-=--．

【点评】复数的共轭与模长的相关运算性质：

①设i z x y =+（x y ∈R ，）的共轭复数为z ，则2z z x +=；2i z z y -=； ②z 为实数2

220z z z z z ?=?>?=； ③z 为纯虚数200(0)z z z z ?

④对任意复数有z z =；1212z z z z ±=±；1212z z z z =?，特别地有22()z z =；1122z z z z ??= ???；2

z z z =?．

⑤z z =，2

z z zz ==．1212z z z z ?=?，

z z z z =，121222z z z z z z -±+≤≤．以上性质都可以通过复数的代数形式的具体计算进行证明．

【例29】已知虚数ω为1的一个立方根，即满足31ω=，且ω对应的点在第二象限，证明2ωω=，并求

23111

ωωω++与

11ω

++的值．【答案】0

；12-+

【解析】法一：

321(1)(1)0x x x x -=-++=，解得：1x =

或12x =-±．

由题意知12ω=-，证明与计算略；

法二：

由题意知31ω=，故有22(1)(1)010ωωωωω-++=?++=．

又实系数方程虚根成对出现，故210x x ++=的两根为ωω，

．由韦达定理有1ωω=3

ωωωωω

?===．

222331

10ωωωωωωωω

++++==++=．

22111121ωωωωωωω

++-====-++-+．

【点评】利用12ω=-的性质：3313221()n n n n ωωωωω++===∈Z ，

，，210ωω++=可以快速计算一些ω相关的复数的幂的问题．

【例30】若232012320n n a a a a a ωωωω++++

（012212n n a a a a ω+∈∈=-N R ，，，，，，）

，求证：036147258a a a a a a a a a +++

=+++=+++

【解析】

23201232n n a a a a a ωωωω+++++

3647258036147258()()()a a a a a a a a a ωωωωωωωω=+++++++++++

2036147258()()()0a a a a a a a a a ωω=+++

++++++++

设036147258A a a a B a a a C a a a =+++=+++=+++

，，，

则有20A B C ωω++=

，即11022A B C ????

+-++-= ? ? ? ?????

，

202)0A B C

B C --?=??

?-=，解得A B C ==，即036147258a a a a a a a a a +++=+++=+++

．

【例31】设z 是虚数，1

w z z

是实数，且12w -<<．（1）求z 的值及z 的实部的取值范围；（2）设11z

u z

+，求证：u 为纯虚数；（3）求2w u -的最小值．

【答案】（1）1z =；z 的实部的取值范围是112??

- ???

，；（3）1．【解析】（1）设i z a b =+，a b ∈R ，，0b ≠

则22221i i i a b w a b a b a b a b a b ?

???=++

=++- ? ?+++????

，因为w 是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．

于是2w a =，122w a -<=<，1

12a -<<，

所以z 的实部的取值范围是112??

- ???

，．（2）222211i 12i i 11i (1)1

z a b a b b b

u z a b a b a ------=

===-++++++．因为112a ??

∈- ???

，，0b ≠，所以u 为纯虚数．（3）222

2211222221(1)(1)11b a a w u a a a a a a a a ---=+=+=-=-+++++12(1)31a a ?

?=++-??+??

．

因为112a ??

∈- ???

，，所以10a +>，

故223431w u -?=-=≥．当1

a a +=

+，即0a =时，2w u -取得最小值1．

【例32】对任意一个非零复数z ，定义集合21{|}n z M w w z n -==∈N ，

．（1）设σ

是方程1

x x

=的一个根，试用列举法表示集合M σ；（2）设复数z M ω∈，求证：z M M ω?．

【答案】（1

）i)i)i)i)M σ??

=+--+-?????

，，；（2）略【解析】（1）∵σ

是方程1

x x

=的根，

∴1i)σ=

或2i)σ-，

当1i)σ=+时，∵21i σ=，221

1111()i n n n σσσσ-==． ∴11111i 1i 1M σσσσσ??--=????，，

，i)i)i)i)2222??

=+---+-?????

，，，，

当2i)σ=

-时，∵2

i σ=-，

∴2i)i)i)i)M σ??=+--+-?????，，．

∴i)i)i)i)M σ??=+--+-?????

，，；（2）∵z M ω∈，∴存在m ∈N ，使得21m z ω-=．

于是对任意n ∈N ，21(21)(21)n m n z ω---=．

由于(21)(21)m n --是正奇数，21n z M ω-∈，∴z M M ω?．

【例33】已知复数01i(0)z m m =->，i z x y =+和i w x y ''=+，其中x y x y ''，，，均为实数，i 为虚数单位，

且对于任意复数z ，有0w z z =?，2w z =．

（1）试求m 的值，并分别写出x '和y '用x y ，表示的关系式；

（2）将()x y ，作为点P 的坐标，()x y ''，作为点Q 的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点

的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ．当点P 在直线1y x =+上移动

时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；

（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求

出所有这些直线；若不存在，则说明理由．

【答案】（1

）x x y y

?'=??'-??；（2

）(22y x =--；

（3）

这样的直线存在，其方程为y x

或y = 【解析】（1）由题设，002w z z z z z =?==，∴02z =，

于是由214m +=，且0m >

，得m ，

因此由(i))i x y i x y x y ''++=+-

，得关系式x x y y ?'=??'=-??．

（2）设点()P x y ，在直线1y x =+上，则其经变换后的点()Q x y ''，

满足(11)1

x x y x ?'=+??

'=-??，消去x

，得(22y x ''=-，故点Q

的轨迹方程为(22y x =-．（3）假设存在这样的直线，

∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，∴所求直线可设为(0)y kx b k =+≠．

∵该直线上的任一点()P x y ，

，其经变换后得到的点()Q x y +-仍在该直线上，

()y k x b -=++

，即1)(y k x b -+=-+，

当0b ≠

时，方程组1)1

k k ?-+=??=??无解，故这样的直线不存在．

当0b =

220k +=

，解得k

或k =．

故这样的直线存在，其方程为y x

或y =．

【习题1】已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（）

A ．()15，

B ．()13，

．(1

【答案】C

课后检测

【解析】

z =02a <<，

∴1z <<

【习题2】设A B ，为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复

平面的（）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】B

【解析】 sin sin cos cos cos()tan cot 0sin cos sin cos A B A B A B B A A B A B -+-==->，cos()

cot tan 0sin cos A B B A B A

+-=<．

【习题3】

4等于（）

．1+

．1-+ C

．1

．1-

【解析】原式4

516(1i)1(2i)2

21211(2)22ωω+=

=-?===-+??

---+ ? ? ?

?????

，选B ．

【习题4】已知复数12z z ，满足121z z ==

，且12z z -=

，求证：12z z +=．

【解析】设复数12z z ，在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，

由条件知1212z z -==，以1OZ ，2OZ 为

邻边的平行四边形为正方形，而12z z +

在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以12z z +=．

【习题5】设复数1z ，2z 满足12120z z A z A z ?+?+?=

，其中A =，求12z A z A +?+的值．【答案】5

【解析】 121212z A z A z A z A z A z A +?+=+?+=+?+

121212()()z A z A z z A z A z A A =++=?+?+?+?，

把12120z z A z A z ?+?+?=代入上式，得2

125z A z A A A A +?+=?==．

复数讲义绝对经典

复数一、复数的概念 1．虚数单位 i: （1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ．（4）i 的周期性： 41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =． 2．数系的扩充：复数(0)i i(0) i(0)i(0) a b a b b a a b b a b a =?? +=??+≠??+≠?? 实数纯虚数虚数非纯虚数 3．复数的定义：形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4．复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5．复数与实数、虚数、纯虚数与0的关系：对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当 0a b ==时，z 就是实数0

6．复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，， c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+?a c =，b d = 二、复数的几何意义 1．复平面、实轴、虚轴：复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00，，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3．复数z a bi =+←???→一一对应复平面内的点()Z a b ，这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算 1．复数1z 与2z 的和的定义：