6、已知0>a 且1a ≠，关于x 的不等式
1x
a >的解集是{}0x x >，解关于x 的不等式1log ()0a x x
-<的解集。 解： 关于x 的不等式
1x
a >的解集是{}0x x >，∴1a >，
1
01111log ()012x x
a x x
x x x ->-
??
或
112x +<<
∴
原不等式的解集是11(1,(1,22-+- 。
三、证明题
2、设0a b +>,n 为偶数,证明 11
n n n n b a
a b
--+≥11
a b
+ 证： 1
1
n n n n b a
a b
--+11
11()()
()n n n n n a b a b a b ab ------= .
①当0,0a b >>时, ()0n
ab >,
(n n a b -11)()n n a b ---≥0 , ∴11
()()
()n n n n n
a b a b
ab ----≥0 ,故11
n n n n
b a
a b --+≥11a b + ;
②当
,a b 有一个负值时,不妨设0,0a b ><,且0a b +>,即
||a b > .
∵
n 为偶数时,∴(n
n
a
b
-1
1
)()
n n a
b
---≥0 ,且()0n
ab >
∴1
1
()()
()
n
n
n n n a b a b
ab ----≥0 ,故1
1
n n n n b a
a b
--+≥
11
a b
+ . 综合①②可知,原不等式成立
注：必须要考虑到已知条件0a b +>，分类讨论，否则不能直接得出
(n n a b -1
1
)()n n a
b
---≥0
3
、求证：
+
≥
证：设向量(,4),(4,6)p a q a ==-
,由 ||||||p q p q +≥+ ,得
+||||p q =+
||p q ≥+
|(,4)(4,6)||(4,10)|a a =+-===
注意：当p ∥q
时，即8a =-，)48(，
-=p ，)6,12(-=，p 、方向相同，取等号。
当利用公式
|
|||||q p q p -≥+证明时，会得
：
+||||p q =+
|||(,4)(4,6)||(4,2)|p q a a ≥-=--=-== 的错
误结论，因为这里取等号
的条件是p
∥q ，且、方向相反，根据题设条件，p ∥q 时，方
向相同，故取不到等号，
计算的结果也使不等式范围缩小了。
4、求证：n
n 1
2131211222-<++++ （2≥n ）
证一：n
n n n n 1
11)1(112--=-< （2≥n ）
n
n n n 1
2111)3121()2111(1131211222-=--++-+-+<++++∴
∴原不等式成立，证毕。
证二：当2=n 时，原不等式为：2
1
22112-<+，显然成立；
假设当
n
取
k
-1时，原不等式成立，即
11
2)1(1312112
22--<-++++k k 成立，则
22
22222)1(1211121)1(131211k k k k k k k k -+--=+--<+-++++
k k k k k k k k k k 12)1(112)1(1)1()1(2222-<---=-----=，即n 取k 时原
不等式也成立。
综上，对于任意n （2≥n ）原不等式成立，证毕。 注意：此类证明方法称为数学归纳法 5、设
()213
f x x x =-+，实数
a
满足
1
x a -<，求证：
()()()21f x f a a -<+
证
：
|)(||1313||)()(|2
2
2
2
a x a x a a x x a f x f ---=-+-+-=-
=|12)(||1||)1)((|-+-=-+<-+-a a x a x a x a x ①当0>-a x ，)1|(|2|2||12)(||)()(|
+<<-+-=-a a a a x a f x f
②当0=-a x ，)1|(|2|12||12)(||)()(|+<-<-+-=-a a a a x a f x f
③当0<-a x ，
)1|(|2||)|1(2||12)(||)()(|+<-+-<-+-<-a a x a a a x a f x f 综合①②③式情况，原不等式成立。证毕
2019年高考数学二轮复习试题：专题六 第4讲 用数学归纳法证明数列问题(带解析)
第4讲用数学归纳法证明数列问题 选题明细表 知识点·方法巩固提高A 巩固提高B 数学归纳法的理解1,2,5 1 数学归纳法的第一步3,7 2,7 3,4,5,6,8, 数学归纳法的第二步4,6,10,12 9,12 类比归纳8,9,11 10,11 数学归纳法的应用13,14,15 13,14,15 巩固提高A 一、选择题 1.如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立,若P(n)对n=2也成立,则下列结论正确的是( B ) (A)P(n)对所有正整数n都成立 (B)P(n)对所有正偶数n都成立 (C)P(n)对所有正奇数n都成立 (D)P(n)对所有正整数n都成立 解析:由题意n=k时成立,则n=k+2时也成立,又n=2时成立,则P(n)对所有正偶数都成立.故选B. 2.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≤k2成立时,总可推出f(k+1)≤(k+1)2成立.”那么,下列命题总成立的是( D )
(A)若f(2)≤4成立,则当k≥1时,均有f(k)≤k2成立 (B)若f(4)≤16成立,则当k≤4时,均有f(k)≤k2成立 (C)若f(6)>36成立,则当k≥7时,均有f(k)>k2成立 (D)若f(7)=50成立,则当k≤7时,均有f(k)>k2成立 解析:若f(2)≤4成立,依题意则应有当k≥2时,均有f(k)≤k2成立,故A不成立; 若f(4)≤16成立,依题意则应有当k≥4时,均有f(k)≤k2成立,故B不成立; 因命题“当f(k)≤k2成立时,总可推出f(k+1)≤(k+1)2成立”?“当f(k+1)>(k+1)2成立时,总可推出f(k)>k2成立”;因而若f(6)>36成立,则当k≤6时,均有f(k)>k2成立 ,故C也不成立; 对于D,事实上f(7)=50>49,依题意知当k≤7时,均有f(k)>k2成立,故D成立. 3.若f(n)=1+++…+(n∈N*),则f(1)为( C ) (A)1 (B) (C)1++++(D)非以上答案 解析:注意f(n)的项的构成规律,各项分子都是1,分母是从1到6n-1的正整数, 故f(1)=1++++.故选C. 4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N*),从k到k+1时,左端需增乘的代数式为( B ) (A)2k+1 (B)2(2k+1) (C)(D) 解析:n=k时左边为(k+1)(k+2)…(k+k),n=k+1时左边为(k+2)(k+3)…(k+k+2),
数列极限数学归纳法综合能力训练
1 mn 4(m n) mn 2(m n) 【综合能力训练】 一、选择题 1?数列｛a n ｝是等比数列，下列结论中正确的是（ ） A. a n ? a n+1 >0 B. a n ? a n+1 ? a n+2>0 C. a n ? a n+2 >0 D. a n ? a n+2 ? a n+4>0 2.在等比数列｛a n ｝中，a 1=sec 0 （ B 为锐角），且前n 项和S n 满足lim S n = ，那么B 的 n a 1 取值范围是（ ） A. （0, ） B. （0, ） C. （0, ） D. （0, 2 3 6 4 3.已知数列｛a n ｝中，a n =p^ （n € N ），则数列｛a n ｝的最大项是（ ） n 156 A.第12项 B.第13项 C.第 项或13 . D.不存在 4.三个数成等差数列，如果将最小数乘 2，最大数加上 7,所得三数之积为 1000,且成 等比数列，则原等差数列的公差一定是（ ) A.8 B.8 或—15 C. ± 8 D. ± 15 112 1 2 3 1 2 9 1 5.已知数列｛a n ｝： , + , + +-, + + …+ ” , ... 那么数列｛ 2 3 3 4 4 4 10 10 10 a n ?a n 1 的所有项的和为（ ) A.2 B.4 C.3 D.5 n 1 | n n 1 . n 6.已知a 、b € —?a -> lim n ，贝V a 的取值范围是（ ） n a n a A. a>1 B. — 11 D.a>1 或一1O ,且 |a 10|<|an|, S n 为其前 n 项之和, 则（） A. S 1,S 2,…， S 10都小于零，S 11, S 12, …都大于零 B. S 1,S 2,…， S 5都小于零，S 6, S 7,… 都大于零 C. S 1,S 2,…， S 19都小于零，S 20, S 21 , …都大于零 D. S 1,S 2,…， S 20都小于零，S 21 , S 22 , …都大于零 9.将自然数1, 2, 3,…，n ,…按第k 组含k 个数的规则分组： (1), (2, 3), (4, 5, 6）,…，那么1996所在的组是（ ） A.第62组 B.第63组 C.第64组 D.第65组 10.在等差数列中，前 n 项的和为S n ,若 S m =2n,S n =2m,(m 、 n € N 且m ^ n ）,则公差d 的 值为（ ）
(易错题精选)初中数学方程与不等式之不等式与不等式组知识点
（易错题精选）初中数学方程与不等式之不等式与不等式组知识点 一、选择题 1．关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则不等式组的解集是（ ） A ．1x >- B ．3x ≤ C ．13x -≤≤ D ．13x -<≤ 【答案】D 【解析】 【分析】 数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】 由数轴知，此不等式组的解集为-1＜x≤3， 故选D ． 【点睛】 考查解一元一次不等式组，不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解 集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 2．不等式组30240x x -≥??+>? 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：30240x x -≥??+>? ①②， 解不等式①得，x ≤3 解不等式②得，x ＞﹣2
在数轴上表示为： . 故选D ． 【点睛】 本题考查在数轴上表示不等式组的解集． 3．若关于x ，y 的方程组3,25x y m x y m -=+?? +=?的解满足x ＞y ＞0，则m 的取值范围是( )． A ．m ＞2 B ．m ＞－3 C ．－3＜m ＜2 D ．m ＜3或m ＞2 【答案】A 【解析】 【分析】 先解方程组用含m 的代数式表示出x 、y 的值，再根据x ＞y ＞0列不等式组求解即可. 【详解】 解325x y m x y m -=+??+=?，得 212 x m y m =+??=-?. ∵x ＞y ＞0， ∴21220m m m +>-??->? ， 解之得 m ＞2. 故选A. 【点睛】 本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，用含m 的代数式表示出x 、y 的值是解答本题的关键. 4．若某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米，若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x 分钟，则列出的不等式为（ ） A ．21090(18)2100x x +-≥ B ．90210(18)2100x x +-≤ C ．21090(18) 2.1x x +-≤ D ．21090(18) 2.1x x +-> 【答案】A 【解析】 设至少要跑x 分钟，根据“18分钟走的路程≥2100米”可得不等式：210x+90（18–x ）≥2100，故选A ．
高中数学归纳法大全数列不等式精华版
§数学归纳法 1．数学归纳法的概念及基本步骤 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：n＝n0 时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 2．归纳推理与数学归纳法的关系 数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时， 需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1. 2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在 由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题 形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法． 3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数 有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须 依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确． 4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．
5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确． 6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n 都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题． 证明：12＋122＋123＋…＋12 n －1＋12n ＝1－1 2n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝1 2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋1 2k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－1 2k ＋1＝右边． 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立． 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－ 1 2n
数列数学归纳法测试题
数列 数学归纳法测试题 班级 姓名 得分 . 一、选择题： 1、等差数列{n a }中，a 3＋a 7－a 10=8，a 11－a 4=4，则S 13=…………………………………………( ) (A )168 (B ) 156 (C )78 (D ) 152 2、数列{n a }、{n b }都是等差数列，a 1=25，b 1=75，a 100＋b 100=100，则{n a ＋n b }的前100项和为( ) (A )0 (B )100 (C )10000 (D )102400 3、等差数列5，244,3,77 ，第n 项到第n ＋6项的和为T ，则|T|最小时，n=…………………( ) (A )6 (B )5 (C ）4 （D ）3 4、等差数列{n a }满足123101a a a a ++++ =0，则有……………………………………………( ) (A )11010a a +> （B ）21000a a +< （C ）3990a a += （D ）5151a = 5、一个首项为正数的等差数列中，S 3=S 11，则当S n 最大知，n=……………………………………（ ） (A )5 (B ) 6 (C )7 (D ) 8 6、{n a }为等比数列，{n b }是等差数列，b 1=0，n c =n a ＋n b ，如果数列{n c }是1，1，2，…，则{n c }的前10项和为……………………………………………………………………………………（ ） (A ) 978 (B ) 557 (C ) 467 (D )以上都不对 7、若相异三数(),(),()a b c b c a c a b ---组成公比为q 的等比数列，则…………………………（ ） (A )210q q ++= (B ) 210q q -+= (C ) 210q q +-= (D ) 210q q --= 8、{n a }的前n 项和为S n =232n n -，当n ≥2时，有…………………………………………………（ ） (A )n S >n na >1na (B ) n S 45a a (D ) 36a a ≥45a a 10、一个等比数列前n 项和为21n -，则它的前n 项的各项平方和为……………………………（ ） (A )2(21)n - (B ) 122(21)n - (C )41n - (D )1(41)3 n - 11、据市场调查，预测某种商品从2004年初开始的几个月内累计需求量n S （万件）近似满足n S =2(215)90 n n n --，则本年度内需求量超过1.5万件的月份是……………………………（ ）
【最新北师大版】数学八下易错题(含答案)
八年级下册易错题 第一章 三角形的证明 1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（D ） A ．7㎝ B ．9㎝ C ．12㎝或者9㎝ D ．12㎝ 考查知识点：三角形的基本知识及等腰三角形边的关系：任意两边之和大于第三边，等腰三角形两腰相等， 因此只能是：5cm ，5cm,2cm. 2.一个等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（D ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．40°或70° 考查知识点：三角形的内角和及等腰三角形两底角相等：①当40°是顶角时，底角就是70°；②40°就是一个底角. 3.已知△ABC 的三边长分别是6cm 、8cm 、10cm ，则最长边上的高是（D ） A.2.4cm B.3cm C.4cm D. 4.8cm 提示：设最长边上的高为h,由题意可得△ABC 是直角三角形，利用面积相等求，即 h .10.2 1 8.6.21 解得h=4.8 4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300 ，腰长为6，则其底边上的高是3或33. 解：①三角形是钝角三角形时，如图1，∵∠ABD=30° ∴AD= 21AB=2 1 36=3， ∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠ACB= 21∠BAD=2 1 (90°-30°)=30°， ∴∠ABD=∠ABC ， ∴底边上的高AE=AD=3； ②三角形是锐角三角形时，如图2，∵∠ABD=30° ∴∠A=90°-30°=60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴底边上的高为 2 3 36=33 综上所述，底边上的高是3或33 5.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（B ）的交点. A.三个内角平分线 B.三边垂直平分线 C.三条中线 D.三条高 考查的知识点：三角形三边垂直平分线的交点到到三角形三个顶点的距离相等【归纳为：点到点距离相等，为垂直平分线上的点】还有一个：三角形三个内角平分线的交点到三角形三
数列、极限、数学归纳法 归纳、猜想、证明 教案
数列、极限、数学归纳法·归纳、猜想、证明·教案 张毅 教学目标 1．对数学归纳法的认识不断深化． 2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法． 3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系．教学重点和难点 用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明． 教学过程设计 （一）复习引入 师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法．请问：它适用于哪些问题的证明？ 生：与连续自然数n有关的命题． 师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？ 生：共有两个步骤： （1）证明当n取第一个值n0时结论正确； （2）假设当n=k（k∈N，且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确． 师：这两个步骤的作用是什么？ 生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程． 师：这实质上是在说明这个证明具有递推性．第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据．递推是数学归纳法的核心．用数学归纳法证题时应注意什么？ 生：两个步骤缺一不可．证第（2）步时，必须用归纳假设．即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立．师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题． 今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题．请看例1． （二）归纳、猜想、证明 1．问题的提出 a3，a4，由此推测计算an的公式，然后用数学归纳法证明这个公式． 师：这个题目看起来庞大，其实它包括了计算、推测、证明三部分，我们可以先一部分、一部分地处理．（学生很快活跃起来，计算工作迅速完成，请一位同学口述他的计算过程，教师板演到黑板上） 师：正确．怎么推测an的计算公式呢？可以相互讨论一下．
专题06 数列与数学归纳法(原卷版)
1 专题6.数列与数学归纳法 数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显，小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等变难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．关于数学归纳法的考查，主要与数列、不等式相结合. 预测2021年将保持稳定，主观题将与不等式、函数、数学归纳法等相结合 . 1．（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0， 11a d ≤．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．． 成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6 B ．2b 4=b 2+b 6 C ．2428a a a = D ．2428b b b = 2．（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +??????就是二阶等差数列，数列(1)2n n +?????? (N )n *∈ 的前3项和是________． 3．（2020·浙江省高考真题）已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，111112 1,,()n n n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-= ?∈*N ． （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d +++<+．*()n N ∈ 4．（2020·天津高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列， ()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；
易错题集 一元一次不等式组
第1章《一元一次不等式和一元一次不等式组》易错题集（04）：1.6一元一次不等式组
第1章《一元一次不等式和一元一次不等式组》易错题集（04）：1.6 一元一次不等式组 选择题 1．已知实数a满足不等式组则化简下列式子的结果是（）A．3﹣2a B．2a﹣3 C．1 D．﹣1 2．（2009?荆门）若不等式组有解，则a的取值范围是（） A．a＞﹣1 B．a≥﹣1 C．a≤1 D．a＜1 3．（2009?恩施州）如果一元一次不等式组的解集为x＞3．则a的取值范围是（） A．a＞3 B．a≥3 C．a≤3 D．a＜3 4．（2006?梧州）若不等式组无解，则a的取值范围是（） A．a＜2 B．a=2 C．a＞2 D．a≥2 5．（2004?日照）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（） A．a≤﹣1 B．a≥2 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1，或a＞2 6．（2002?聊城）不等式组无解，则a的取值范围是（） A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1 7．如果不等式组无解，那么m的取值范围是（） A．m＞8 B．m≥8 C．m＜8 D．m≤8 8．若不等式组有解，则m的取值范围是（） A．m＜2 B．m≥2 C．m＜1 D．1≤m＜2
9．若不等式组无解，那么a的取值范围是（） A．a＞6 B．a≥6 C．a＜6 D．a≤6 10．若不等式组有解，则k的取值范围是（） A．k＜2 B．k≥2 C．k＜1 D．1≤k＜2 11．如果关于x的不等式组无解，那么不等式组的解集（） A．b﹣3＜x＜3﹣a B．3﹣b＜x＜3﹣a C．3﹣a＜x＜3﹣b D．无解 12．不等式组的解集是3＜x＜a+2，则a的取值范围是（） A．a＞1 B．a≤3 C．a＜1或a＞3 D．1＜a≤3 13．（2003?泰安）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣＜a≤﹣ B．﹣≤a＜﹣C．﹣≤a≤﹣D．﹣＜a＜﹣ 14．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（） A．B．C．D． 15．小明要制作一个长方形的相片框架，这个框架的长为25cm，面积不小于500cm2，则宽的长度xcm应满足的不等式组为（） A．B．C．D． 填空题 16．（2009?孝感）关于x的不等式组的解集是x＞﹣1，则m=_________． 17．（2006?贺州）已知不等式组无解，则a的取值范围是_________． 18．（2003?重庆）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是_________．
高考一轮复习之数列与数学归纳法
43 / 1843 / 18 第三章 数列及数学归纳法 知识结构 高考能力要求 1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． 2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式及前n 项和的公式，并能解决简单的实际问题． 3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n 项和公式，并能解决简单的实际问题． 4、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 高考热点分析 纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式的应用是必考内容，数列及函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点． 从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的 “知三求二”问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用． 高考复习建议 数列部分的复习分三个方面：① 重视函数及数列的联系，重视方程思想在数列中的应用．② 掌握等差数列、等比数列的基础知识以及可化为等差、等比数列的简单问题，同时要重视等差、等比数列性质的灵活运用．③ 要设计一些新颖题目，尤其是通过探索性题目，挖掘学生的潜能，培养学生的创新意识和创新精神，数列综合能力题涉及的问题背景新颖，解法灵活，解这类题时，要引导学生科学合理地思维，全面灵活地运用数学思想方法． 数列部分重点是等差、等比数列，而二者在内容上是完全平行的，因此，复习时应将它们对比起来复习；由于数列方面的题目的解法的灵活性和多样性，建议在复习这部分内容时，要启发学生从多角度思考问题，提倡一题多解，培养学生思维的广阔性，养成良好的思维品质． 3．1 数列的概念 知识要点 1．数列的概念 数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N *或其子集{1，2，3，……n }的函数f (n )．数列的一般形式为a 1，a 2，…，a n …，简记为{a n }，其中a n 是数列{a n }的第 项． 2．数列的通项公式 一个数列{a n }的 及 之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f (n )来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．在数列{a n }中，前n 项和S n 及通项a n 的关系为： = n a ?? ? ??≥==21n n a n 4．求数列的通项公式的其它方法 ⑴ 公式法：等差数列及等比数列采用首项及公差(公比)确定的方法． ⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明． ⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式．
江苏省无锡市七年级下册一元一次不等式(组)易错题汇总
一元一次不等式的易错点巩固 【解一元一次不等式】 ①注意x 前系数的符号； ②分式化整时，注意常数项不要漏乘 1. 2. 3. 【不等式与方程的综合】 解法：①用字母表示出x 的值；②根据题目要求列出不等式 注意：①整体法的使用；②非正数、非负数的意义 4. K 满足 时，方程3 322+-=--x k x x 的解是正数。 5. 6. 【一元一次不等式组】 ①同大取大，同小取小，大大小小 ②注意端点取等号的判断 7. 8. 9.
【一元一次不等式（组）解个数的判断】 数形结合分析，先判断范围，再定等号，注意数轴的应用 【不等式解集的关系分析】 先分别求解两个不等式的解集，再根据题意判断两个解集范围的大小，最后建立不等式 16. 若不等式2x ＜4的解都能使关于x 的一次不等式（a-1）x ＜a ＋5成立，则a 的取值范围 20. 若不等式组???--10＜ ＞a x a x 的解集中任何一个x 的值均在2≤x ≤5的范围内，则a 的取值范
22. 解一元一次不等式组： （1）x －3≥453-x （2）()?????-+≤+-13 21012x x x x ＞ 【解不等式应用】 23. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答： 例题：解一元二次不等式x 2－9＞0. 解：∵x 2－9＝（x ＋3）（x －3）
∴（x ＋3）（x －3）＞0 ∴（1）???-+0303＞＞x x ；（2）? ??-+0303＜＜x x 解不等式组（1）得x ＞3；解不等式组（2）得x ＜﹣3. ∴一元二次不等式x 2－9＞0的解集为x ＞3或x ＜﹣3. 问题：求不等式0321 5＜-+x x 的解集。
数列与数学归纳法专项训练(含答案)(新)
数列与数学归纳法专项训练 1.如图，曲线2 (0)y x y =≥上的点i P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形△OP 1Q 1，△Q 1P 2Q 2，…△Q n-1P n Q n …设正三角形1n n n Q P Q -的边长为n a ,n ∈N ﹡(记0Q 为O ),(),0n n Q S .（1）求1a 的值; （2）求数列{n a }的通项公式n a 。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2. 设{}{},n n a b 都是各项为正数的数列，对任意的正整数n ，都有2 1,,n n n a b a +成等差数列， 2211,,n n n b a b ++成等比数列． （1）试问{}n b 是否成等差数列？为什么？ （2）如果111,2a b ==，求数列1n a ?? ???? 的前n 项和n S ． 3. 已知等差数列｛n a ｝中，2a ＝8，6S ＝66. （Ⅰ）求数列｛n a ｝的通项公式； （Ⅱ）设n n a n b )1(2+=，n n b b b T +++= 21，求证：n T ≥1 6 .
4. 已知数列{n a }中5 3 1=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{n b ，满足11-= n n a b （+∈N n ） （1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）记++=21b b S n …n b +，求 )1(lim -∞→n b n n ． 5. (Ⅰ (Ⅱ (Ⅲn 项的 6. （1（2 7. 已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意* ∈N n ，都有 n n pa p S p -=?-)1(（p 为大于1的常数），并记 n n n n n n n S a C a C a C n f ??++?+?+=21)(2211 .
高中奥数_函数 不等式 数列 极限 数学归纳法
函数 不等式 数列 极限 数学归纳法 一 能力培养 1,归纳-猜想-证明 2,转化能力 3,运算能力 4,反思能力 二 问题探讨 问题1数列{n a }满足112 a =,212n n a a a n a ++???+=,(n N *∈). (I)求{n a }的通项公式; (II)求1100n n a -的最小值; (III)设函数()f n 是 1100n n a -与n 的最大者,求()f n 的最小值. 问题2已知定义在R 上的函数()f x 和数列{n a }满足下列条件: 1a a =,1()n n a f a -= (n =2,3,4,???),21a a ≠, 1()()n n f a f a --=1()n n k a a --(n =2,3,4,???),其中a 为常数,k 为非零常数. (I)令1n n n b a a +=-(n N * ∈),证明数列{}n b 是等比数列; (II)求数列{n a }的通项公式; (III)当1k <时,求lim n n a →∞. 问题3已知两点M (1,0)-,N (1,0),且点P 使MP MN ?,PM PN ?,NM NP ?成公差小 于零的等差数列. (I)点P 的轨迹是什么曲线? (II)若点P 坐标为00(,)x y ,记θ为PM 与PN 的夹角,求tan θ.
三 习题探讨 选择题 1数列{}n a 的通项公式2n a n kn =+,若此数列满足1n n a a +<(n N *∈),则k 的取值范围是 A,2k >- B,2k ≥- C,3k ≥- D,3k >- 2等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n n a b = A, 23 B,2131n n -- C,2131 n n ++ D,2134n n -+ 3已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是 A, B, C, D, 4在等差数列{}n a 中,1125 a = ,第10项开始比1大,记21lim ()n n n a S t n →∞+=,则t 的取值范围是 A,475t > B,837525t <≤ C,437550t << D,437550t <≤ 5设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,C 33(,)x y 是椭圆22 221x y a b +=(0a b >>)上三个点,F 为焦点, 若,,AF BF CF 成等差数列,则有 A,2132x x x =+ B,2132y y y =+ C,213 211x x x =+ D,2213x x x =? 6在ABC ?中,tan A 是以4-为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以 13为 第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是 A,钝角三角形 B,锐角三角形 C,等腰直角三角形 D,以上都不对 填空 7等差数列{}n a 前n (6n >)项和324n S =,且前6项和为36,后6项和为180,则n = . 8223323232323236666n n n n S ++++=+++???+,则lim n n S →∞= . 9在等比数列{}n a 中,121lim()15 n n a a a →∞++???+=,则1a 的取值范围是 . 10一个数列{}n a ,当n 为奇数时,51n a n =+;当n 为偶数时,22n n a =.则这个数列的前 2m 项之和2m S = . 11等差数列{}n a 中,n S 是它的前n 项和且67S S <,78S S >,则①此数列的公差0d <,
不等式及不等式组易错题带答案
不等式易错题 一．填空题（共23小题） 1．（2012?谷城县校级模拟）若不等式组恰有两个整数解．则实数a的取值范围是． 2．（2009?凉山州）若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2009=． 3．（2012春?金坛市期中）如果不等式a≤x≤3有且仅有3个整数解，那么a的范围 是． 4．不等式x＜a的非负整数解有3个，则a的取值范围是． 5．（2012秋?白下区校级月考）不等式a≤x≤3只有6个整数解，则a的范围是． 6．若关于x的不等式1﹣|x|＞ax的解集中有无穷多个整数，则a的取值范围是． 7．（2014春?吉州区校级期中）已知不等式3x+a≤9有三个非负整数解，则a的取值范围是． 8．（2013?黄石模拟）若不等式的整数解有3个，则m的取值范围是． 9．（2011秋?常熟市期中）若不等式组有4个整数解，则a的取值范围是． 10．（2012春?成华区期中）若关于x的不等式组有5个整数解，则m的取值范围是． 11．若有5个整数x使得不等式1+a≤x＜2成立，则a的取值范围是．
12．（2013?青羊区校级模拟）已知关于x的不等式组的整数解有3个，则m的取值范围是． 13．（2012春?大邑县校级期中）若不等式组有4个整数解，则m的取值范围是． 14．若不等式组无解，则m的取值范围是． 15．（2009春?吴江市期末）若关于x的不等式2m一1＜x＜m+l无解，则m的取值范围是． 16．（2010春?昌宁县校级期末）若不等式组无解，则m的取值范围是．17．（2011?潍城区模拟）不等式组无解，则m的取值范围是．18．（2011春?化州市期中）不等式组无解，则a的取值范围是．19．（2009春?天长市期末）不等式ax＞b的解集是x＜，则a的取值范围是． 20．（2011春?连云港校级期中）若不等式（2a﹣3）x＜2a﹣3的解集为x＞1，则a的取值范围是． 21．（2009春?雅安校级期中）已知关于x的不等式mx＜5m的解集是x＞5，则m的取值范围是． 22．（2009春?榕江县校级期末）不等式组的解集为x＞2，则a的取值范围 是． 23．（2014春?金坛市校级月考）不等式mx﹣2＜3x+4的解集是x＞，则m的取值范围 是 ．
(浙江专版)2019版高考数学大一轮复习第七章数列与数学归纳法第2节等差数列及其前n项和学案理
第2节 等差数列及其前n 项和 最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系． 知 识 梳 理 1．等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N * ，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)． (2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2 ． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ． 通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N * )． (2)等差数列的前n 项和公式 S n ＝n （a 1＋a n ）2 ＝na 1＋n （n －1）2 d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项)． 3．等差数列的有关性质 已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和． (1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N * )，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当 d ＝0时，{a n }是常数列． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N * )是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． 4．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2 n 2＋? ?? ??a 1－d 2n .
数列的极限数学归纳法
数列的极限、数学归纳法 一、知识要点 （一） 数列的极限 1.定义：对于无穷数列{a n }，若存在一个常数A ，无论预选指定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A|<ε恒成立，则称常数A 为数列{a n }的极限，记作 A a n n =∞ →lim . 2.运算法则：若lim n n a →∞ 、lim n n b →∞ 存在，则有 lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞ →∞ →∞ ±=±；lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞ →∞ →∞ ?=? )0lim (lim lim lim ≠=∞→∞ →∞→∞→n n n n n n n n n b b a b a 3.两种基本类型的极限：<1> S=?? ? ??-=>=<=∞ →)11() 1(1) 1(0lim a a a a a n n 或不存在 <2>设()f n 、()g n 分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为p a 、 p b 且)(0)(N n n g ∈≠,则??? ????>=<=∞→)()() (0)()(lim q p q p b a q p n g n f q p n 不存在 4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：1 1a S q = - （|q|<1） 无穷数列{a n }的所有项和：lim n n S S →∞ = （当lim n n S →∞ 存在时） （二）数学归纳法 数学归纳法是证明与自然数n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为： ①验证命题对于第一个自然数0n n = 成立。 ②假设命题对n=k(k ≥0n )时成立,证明n=k+1时命题也成立. 则由①②,对于一切n ≥ 0n 的自然数,命题都成立。 二、例题（数学的极限）
高考数学复习数列与数学归纳法 汇编
数列与数学归纳法 一、填空题 （杨浦区2013文理）1. 计算：=+∞→1 33lim n n n ．1 1. 计算：= 3 . 4、已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则n a a a +++Λ21 = 221-+n (2014年1月青浦)各项为实数的等比数列中7191,8a a =-=-，则13a = (2014年1月青浦)已知lim(1)1n n q →∞ -=，则实数q 的取值范围是 11q -<< ． 221lim 2n n n n →∞+=-____1 2 _______. 已知数列{}n a 中，11a =，* 13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___32n -________. 5．已知为等差数列，其前项和为．若，35a =，64n S =，则n = 8 ． 10、数列()*241N n a a n n ∈+-=+，如果{}n a 是一个等差数列，则=1a 3 6. 如果()那么共有28项. 4．已知数列}{n a 的前n 项和2 n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．15 8．若等差数列的首项为2，公差为，其前项和满足：对于任意的， 都有 是非零常数．则 ．4 8．若公差为的等差数列的项数为奇数，，的奇数项的和是175，偶数项 的和是150，则 ．4 10．函数x a y =（0>a ,1≠a ）的图像经过点?? ? ??41, 2P ，则=+++∞→)(lim 2n n a a a Λ______ 1 11．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且55S a =，则=2014S ________0 210lim 323x n n →∞++{}n a n n S 11a =()1111112312 n f n n n =+ +++++++L L *n N ∈()()1f k f k +-{}n a )0(≠d d n n S * ∈N n n n S S 2=d d {}n a 11=a {}n a =d
数列、极限、数学归纳法()
第二章数列、极限、数学归纳法（2） 等比数列 【例题精选】: 例1：“b 2 = ac ”是a , b , c 成等比数列的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分又不必要条件 分析：由a , b , c 成等比数列?b ac 2=；b ac 2=若a , b , c 中有等于零者，a , b , c 不成等比数列，故选（B ） 说明：只有当a , b , c 均不为零时， b ac 2=? a , b , c 成等比数列。 例2：已知数列{}a n 的前n 次和S k k n n =+3(为常数），那么下述结论正确的 是 A ．k 为任意实数时，{}a n 是等比数列 B ．k = －1时，{}a n 是等比数列 C ．k = 0时，{}a n 是等比数列 D ．{}a n 不可能是等比数列 分析：给出 s k k n n =+3(为常数），可由s n 求出通项a n 来进行判断： n a s k n a s s k k n n n n n n ===+≥=-=+-+=?---13123323211111 时，时，() ()() 当n a ==?=1223210时，由（）式 当a k k 121321=+==-时代入（）式得得, {}∴=-=?∈-当时，数列k a n N a n n n 1231()是等比数列，故选（B ）。 小结：解好本题要准确掌握数列的前n 项和S n 与通项a n 关系式 a n =s n s s n n n 1 112=-≥?? ?- 例3：在等比数列{}a n 中，已知a a a a a 132492040+=-+=,,求 解：设等比数列的公比为q ，依题意：() ()a a q a q a q 112 1 13 201402+=-+=????? ()()()()()12112 214 421024 19188÷=-∴=-=-∴==--=-得 代入得q q a a a q 例4：（1）在等比数列6，…，1458，…，13122，…中，1458是第n 项， 13122
