大学物理学
（上册） 电子教案 编者：周群益 电话：0731-******* 电话
第一篇 第 篇 力学
主要内容 要内容
第1章 质点运动学
第2章 质点力学的运动定律 守恒定律
第3章 狭义相对论
第1章 质点运动学
主要内容
1.1 参照系、坐标系和质点 1 2 质点运动的描述 1.2 1.3 切向加速度和法向加速度 1.4 几种典型的质点运动 1.5 相对运动
本章导引
运动 机械运动 力学
运动是物质存在的形式,也是物质的固有属性, 宇宙中的 切物质都处在永恒不息的运动之中. 宇宙中的一切物质都处在永恒不息的运动之中 物质的运动是多种多样的,最简单和最基本的运 动就是机械运动,也就是物体位置发生变化的运动. 力学是研究机械运动的学科.
最简单的理想化的物体是质点,物体可以看作是 质点力学 由大量质点组成的,质点力学是整个力学的基础. 质点力学以质点运动学为先导,质点运动学主要 质点运动学 讨论质点机械运动(质点位置随时间变化)的描述. 运动是相对一定的参照系而言的 运动是相对 定的参照系而言的,将参照系抽象 坐标系 成坐标系,就能具体描述物体的位置,速度和加速度. 当质点作平面运动时,可将加 平面运动 速度分解为切向和法向加速度. 圆周运动是一种典型的平面运动,可用 圆周运动 角位移,角速度和角加速度等概念描述. 相对运动 相对运动的实质就是运动的合成或叠加.
注意:
(1)质点的运动状态由位置与速度这两个物理量决定. (2)速度的概念是本章的核心概念,而 运动方程是描述机械运动的基本方程. (3)学会并习惯从概念与定义出发分析物理问题,切忌想当然. (4)掌握由运动方程求速度和加速度的方法(微分)以及由 速度和加速度并根据初始条件求运动方程的方法(积分) ). (5)理解圆周运动用角量描述的原因,掌握有关角量 的计算方法.理解角量描述和线量描述之间的关系. (6)理解相对运动.
1.1 参照系、坐标系和质点
1.什么是参照系?
在描述物体的机械运动中,被选作参考的物体称为参照系. 在运动学中,参照 例如,在研究地 又例如,一个星际火箭刚发 个星际火箭刚发 系可以任意选择,通 面上物体的运动 射时,把地面选为参照系,当 常根据问题的性质 时,通常选择地 火箭进入绕太阳运行的轨 和研究的方便而定. 球作为参照系. 道时,就选太阳作为参照系. 同一物体的运动,由于参照系的选择不同,对物 体运动的描述也不同,这叫做运动描述的相对性. 例如,在匀速前进的车厢中自由下落 的物体,相对于车厢物体做直线运动; v v 相对于地面,物体做抛物线运动. y 因此,在描述物体的机械运动时要指明参照系. 为了定量描述物 最常用的坐标系是直角坐 体的位置和运动,需 标系,根据需要还可选用极 x O 要在参照系上建立 坐标系,球坐标系或柱坐标 固定的坐标系. 系等,其原则是便于计算. z
2.什么是质点?
不计大小只有质量的几何点称为质点. 注意:实际物体都有一定的大小和形状 实际物体都有 定的大小和形状,质点是一种 质点是 种 理想模型,是对实际物体的一种科学抽象和简化.
3 什么物体可以当作质点? 3.
(1)相对很小的物体可视为质点. 例如,地球半径为6370km,在研究地 球自转时不能将它当作质点. 但是地球半径只有公转半径的5万分之 一,如果把公转轨道比成运动场,那么地 球还没有一粒绿豆大,所以在研究地球 绕太阳公转时可将地球视为质点. (2)当物体作平移运动时,物体上各点的 运动情况都有相同,可将物体简化成质点. 注意:整个物体可以看作是由很多质点组成 的,分析质点的运动就能了解整个物体的运动.
1.2 位移、速度和加速度
1 什么是位置矢量? 1.
从坐标原点引向质点位置的有向线 段称为质点位置矢量,简称位矢.位矢用 粗体字r表示,在书写时要带箭头 r . 在直角坐标系中,位矢为 r=xi+yj+zk (1.1) r = xi +yj +zk 写法是
y P(x,y,z x y z) j
k O i
γ α
β
r x
z 其大小为 r = x2 + y 2 + z 2 其方向由方向余弦决定(矢量的 cosα = x ,cos β = y ,cos γ = z r r r 分量与该矢量之间夹角的余弦) 2 2 2 cos α + cos β + cos γ =1 它们之间的关系为 当质点运动时,位矢r是时间t的函数,即r=r(t) (1.2) 在直角坐标系中为 r=x(t)i+y(t)j+z(t)k (1.3) (1 3) 或 x=x(t),y=y(t),z=z(t) (1.4) 这就是质点的运动方程.
运动质点在空间所经过的路径称为轨 道,从(1.4)中消去t之后就是轨道方程.
注意:运动方程表示位矢r与时间t之间的关 系,轨道方程表示是位置坐标x,y,z之间的关系. 例如,已知某质点 x = 3sin π t , y = 3cos π t , z = 0 6 6 的运动方程为 从前两中消去t得轨道方程x2+y + 2=9,z=0.
说明质点在 xOy平面内 作圆周运动.
y
2.什么是位移?
当质点沿着曲线运动时,在t时刻位于P1点,位矢 P1 为r(t);在t+Δt时刻位于P2点,位矢为r(t+Δt),在Δt时 Δs 间内质点位矢的变化为:Δr=r(t+Δt)-r(t). Δr P2 r ( t ) Δr 称为位移,用从P1引到P2的有向线 r(t+Δt) x 段表示.位移是矢量,其大小是P1到P2 z O 的直线距离,其方向由P1指向P2. 注意:位移不同于路程.路程是标量,表示质点经过的路径 的长度Δs;位移是矢量,其大小|Δr| |表示割线P1P2的长度. 一般说来,在同一时间间隔Δt内,位移的大小|Δr|与路程Δs并 不相等,但是当Δt →0时,位移的大小趋近于路程: |Δr|→Δs. 位置矢量和位移在量值上都表示长度,其国际单位为米(m).
写成: 在时间间隔Δt内质点的位移为Δr,Δr与 Δr Δr v = v = (1.5) (1 5) Δt的比叫做质点在这一段时间的平均速度: Δt Δt 平均速度是矢量,其大小为|Δr /Δt|,其方向是Δr的方向. 平均速度反映了质点在 t时间间隔内运动的快慢和方向. 平均速度反映了质点在Δ 平均速度不能精细 但是,所取的时间越 y P1 地描述质点在这段时 短,平均速度就越能 v 间的运动快慢和方向. 精细地反映实际情况. Δr P2 当Δt→0时,平均速度 Δr dr r (t ) v = li lim = (1 (1.6) 6) r(t+Δt) 的极限就是瞬时速度: Δt →0 Δt dt x O 可见:瞬时速度是位矢对时间的导数. z 它反映了质点在t时刻运动的快慢和方向. 速度的大小为 (1.7) 在Δt趋于零时P2点趋于P1点,Δr的方 向趋于P1点的切线方向,所以,质点的速 Δr dr dr v = v = lim = = Δt →0 Δt 度方向沿着曲线切线的质点前进的方向. dt dt 在实际测量中,只要所取的时间足够短,平均速度大小和瞬时速度 的大小就相差很小,在误差允许的范围内,就可以用前者代替后者.
3.什么是平均速度和瞬时速度?
4.什么是平均速率和瞬时速率?
设在时间间隔 t内质点走 设在时间间隔Δ 内质点走过的路程为 的路程为 Δs,则Δs/Δt称为Δt时间内的平均速率. 可见:瞬时速率等于路程对时间的变化率. 瞬时速率为 Δs ds = lim Δt →0 Δt dt
注意:速度是矢量,速率是标量;位移的大小|Δr|一般不等于路程 Δs,所以平均速度的大小一般不等于平均速率. y P1 但是,当Δt→0时, Δr Δs ds v = = = v lim lim Δs |Δr|和Δs相同,所以: Δt →0 Δt Δt →0 Δt dt Δr P2 r(t) 可见:瞬时速度的大小和瞬时速率相同. r(t+Δt) (1.8) x 它们都反映了质点运动的快慢. z O r d d x d y d z 在直角坐标系 v = = i + j + k (1.9) 中瞬时速度为: dt dt dt dt dx dy dz 速度的国际单位 沿三个坐标轴 vx = , vy = , vz = -1(m·s-1). 是米 · 秒 分量分别为: dt dt dt
vy vx vz 瞬时速度 2 2 2 方向由方向 cosα = ,cos β = ,cos γ = v = v + v + v x y z 的大小为: 余弦表示: v v v
5.什么是加速度?
质点在t时刻和t+Δt时刻的速度分别为v(t)和 v (t + Δt ) ? v (t ) = a v(t+Δt),在这段时间内的平均加速度定义为: Δt Δ v 平均加速度是矢量,其方向沿着Δv的方向,它反映 = (1.10) Δt 了质点在Δt时间间隔内速度变化的快慢和方向. v(t) 质点在某一时刻t的瞬时加速度(简称加速度) v(t+Δt) Δv y 定义为时间趋于零时平均加速度的极限值: P1 v(t) 2 Δv dv d r 可见:加速度等于速度对 a = lim = = 2 Δt →0 Δt P2 dt dt 时间的导数,或者等于位 r(t) r(t+Δt) 矢对时间的二阶导数 . (1.11) v(t+Δt) 加速度也是矢量,其方向是当Δt趋 O x z 于零时速度增量Δv的极限方向. 不管速度大小发生变化,还是方向发生变化,质点都具有加速度. 在直角坐标系中,加速度用分量表示为: a=axi+ayj+azk 加速度的 dvy d 2 y dvx d 2 x dvz d 2 z = 2 , ay = = 2 , az = = 2 (1.12) 国际单位 其中 ax = dt dt dt dt dt dt 是米·秒-2
2 2 加速度大小为 a = ax + ay + az2 ,方向由方向余弦决定. (m·s-2).
例1.1 一质点的运动方程为x=4t2,y=2t+3.其中x和y 的单位是米(m),t的单位是秒(s).试求:(1)运动轨迹;(2) 第1秒内的位移;(3)t=0和t=1两时刻的速度和加速度.
解:(1)质点的运动方程是以t为参数的方程. y 将y=2t+3变形为 t=(y-3)/2, Δr 2 2 代入方程x=4t 得 x=(y-3) . r1 3 质点的轨迹是开口向右的抛物线(部分). (2)质点运动的矢量方程为:r=4t2i+(2t+3)j. r0 当t=0时,r0=3j;当t=1时,r1=4i+5j.
O 9
x
所以质点在第1秒内的位移为 Δr=r1-r0=4 4i+2j. dr dx dy (3)质点运动的速度为: v = = i + j = 8ti + 2 j dt dt dt dvy dv dvx = i+ j = 8i 加速度为: a = dt dt dt 当t=0 0时,v=2 2j,a=8 8i; 由于加速度是常矢量,所以 质点做匀变速曲线运动. 当t=1时,v=8i+2j,a=8i.
例1.2 湖中有一小船,在离水面高为h的岸边,有人 用绳子通过滑轮拉船靠岸.当人以v0的速度收绳时, 试求船的速度和加速度的大小各为多少?
解:如图所示.由几何关系得 r2=x2+h2 y dr dx 对时间t求导得 2r = 2 x dt dt x O 由于r和x随时间减少,所以收绳的速度 r 为v0=-dr/dt,船的速度为v=-dx/dt,即 h r dr r dx (x2 + h2 )1/ 2 v=? =? = v0 = v0 x x dt x x dt 可见:船的速度大于拉绳的速度,而且船越靠近岸边,船的速度越大. 船的加速度为 dv d r xdr / dt ? rdx / dt a = = ( v0 ) = v0 2 dt dt x x 2 可见:越靠近岸边, ?v0 x + rv ? x + r 2 / x 2 h2v0 = v0 = v0 = 3 2 2 船的加速度越大. x x x
1.3 切向加速度和法向加速度
1 什么是自然坐标? 1.
质点在一个平面内运动时,将轨迹作为一维坐标的 轴线所建立的坐标称为平面自然坐标,简称自然坐标. s>0 在轨迹曲线上任选一点P作为坐标原 y s τB 点,并任意选定轨道的某一走向为正方 B nB 向,质点在轨迹上的位置可以用从P算 Δs nA τA 起的弧长s表示,s称为弧坐标,可正可负. A 当质点沿轨道运动时,s是时间的函数 s<0 P O s=s(t) (1.13) x 这就是自然坐标系中的质点运动方程. 设t时刻质点运动到A点,取一单位 另取一单位矢量沿曲线法 矢量沿轨道的切线并指向弧坐标的 线且指向曲线的凹侧,称为 正方向,称为切向单位矢量,用τ表示; 法向单位矢量,用n表示. 因为速度总是沿着轨道的 v = vτ = ds τ dt 切线方向,所以速度可表示为: 注意:τ与n不是恒矢量,其方向随着质点的运动而变化.
2.怎么计算匀速圆周运动的加速度?
设质点作匀速圆周运动,速度大小为v,圆的半径为R. 在时刻t,质点经过A点,速度为vA,其方向沿圆周在A点的切向; 在t+Δt时刻,质点经过B点,速度为vB,其方向沿圆周在B点的切向. 将vB平移,作矢量三角形,Δv就是速度的增量. 质点从A点运动到B点不改变速度的大小, 当Δt→0时,Δv的大小 只改变了速度的方向,改变的角度是Δθ; 与Δθ成正比,所以Δv Δv 表示速度方向的变化. = lim a 质点在A点的加速度为: Δt →0 Δt Δs B vB 当Δt→0时,Δv的极限方向就是 vA Δv 垂直于vA指向圆心的方向,因此a Δ θ A vB 称为向心加速度,其大小为: Δv v Δθ dθ ds d θ R Δθ a = lim = lim =v =v Δ t → 0 Δt Δ t → 0 Δt dt dt ds O 2 v 其中,dθ/dt是切线方向的时间变化率, a= ds/dθ=R是圆的半径,由于ds/dt=v所以: R 这就是匀速圆周运动的向心加速度大小 的公式,向心加速度的方向总是指向圆心.
3.什么是切向加速度?
设在时刻t,质点经过 在t+Δt时刻,质点经过B点,速度为 A点,速度为vA=v,方向 vB=v+Δv,方向沿轨道在B点的切向. 沿轨道在A点的切向; 取有向线段ab和ac分别表示v和v+Δv,bc就 表示Δv,它同时包含速度大小和方向的变化. vA=v vB=v+Δv B(t+Δt) 在ac上取一点d,使ad=ab=v. A(t) Δs 因此,bd=Δv1是速度方向变化的矢量, b dc=Δv2是速度大小变化的矢量. Δv 可得Δv=Δv1+Δv2. v Δv1 Δθ Δv2 c 加速 a = lim Δv = lim Δv1 + lim Δv2 a Δt →0 Δt Δt →0 Δt Δt →0 Δt v+Δv d Δv 度为: Δv2 当Δt→0时,有向线段dc的极限方向就 , 令 aτ = lim Δt →0 Δt 是v的方向,所以aτ称为切向加速度. 速度大小的增量为Δv=vB-vA=Δv2, 可见:切向加速度 Δv2 Δv dv 因此切向加速 的大小等于速率 aτ = lim = lim = 度的大小为: 的时间变化率. Δt→0 Δ t Δt→0 Δt dt
4.什么是法向加速度?
在加 a = lim Δv = lim Δv1 + lim Δv2 Δt →0 Δt Δt →0 Δt Δt →0 Δt 速度中: 再 令
Δv1 an = lim Δt →0 Δt
vA=v A(t) vB=v+Δv Δs B(t+Δt)
b Δv v Δv1 Δθ Δv2 c a v+Δv d Δv
当Δt→0时,有向线段bd的极限方向 就是垂直于v指向轨道凹侧的方向, 所以an称为法向加速度,其大小为:
Δv1 vΔθ dθ ds dθ v2 an = lim = lim =v =v = Δt →0 Δt Δt→0 Δt dt dt ds ρ
Δθ是相邻切线间的夹角,dθ/dt是切线方向的时间变化率, dθ/ds是曲率1/ρ,ds /dθ=ρ为轨道在该点的曲率半径.
5.总加速度是多少?
dv dv 当质点做平面曲线运 aτ = aττ = τ 其大小为 aτ = dt 动时,切向加速度为: dt 2 v2 v 法向加速度为 an = an n = n 其大小为 an = ρ ρ 质点的加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和: 2 aτ v dv + n A(t) a=aτ+an=aττ+ann (1.15) = τ θ ρ dt 2 (1 16a) (1.16a) 加速度大小为: a = aτ2 + an an 加速度与切向加 θ = arctan an (1.16b) 速度的夹角为: aτ a=dv/ /dt 讨论:(1)直线可以当作曲率半径为无穷 大的曲线,当质点在作直线运动时,法向加 速度大小an=0,只有切向加速度:a=dv/dt. Ra
(1.14a) (1 14b) (1.14b)
a
x v
(2)当质点作匀速圆周运动时,切向加 速度大小aτ=0,曲率半径就是圆的半径, 只有法向加速度即向心加速度:a=v2/R.
例1.3 列车自O点进入圆弧轨道,其半径为R=500m.t=0 时列车在O点,之后其运动规律为s=30t-t3(长度以m为单 位,时间以s为单位).试求t=1s时刻的速度和加速度. 解:沿轨道建立平面自然坐标系,以O R 点为原点,运动方向为弧坐标正方向. a a
ds 设t=1s时质点运动 v = = 30 ? 3t 2 到P点,其速度为 dt
O -a τ nα P τ
n
s v
2 2 2 dv 切向加 v (30 ? 3 t ) 法向加 aτ = = ?6t a = = n 速度为 dt 速度为 R R 当t=1s时, v=27m·s-1, aτ=-6m·s-2, an=1.46m·s-2.
2 2 -2 a = a + a = 6.17m ? s . 加速度大小为 τ n
an 加速度与切向加 α = arctan = 166°21′ 速度的夹角为 aτ
由 由于切向加速度与速度方向相反 向加速度与速度方向相反,所以列车作减速运动.