浅谈正项级数收敛性的几种判定方法
摘要
级数理论是数学分析的重要组成部分，而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，正项级数的收敛性更是级数理论的核心问题。正项级数收敛性的判别方法很多，但是用起来需要有一定的技巧。本论文从四个方面（1）、比较原则；（2）、达朗贝尔判别法，或称为比式判别法；（3）、柯西判别法，或称为根式判别法；（4）、积分判别法归纳了正项级数收敛性。
关键词：正项级数、收敛、判别法、判断
引言
关于正项级数收敛性的问题，本文首先分析题目的要求，然后再来选择最合适的判别方法来判断正项级数的收敛性。下面用（1）比较原则，（2）比式判别法，（3）根式判别法，（4）积分判别法四种判别方法对正项级数的收敛性进行判别。
（1）比较原则
比较原则是一种常用的极限形式，也是一种常用的判别正项级数收敛性的方法。根据比较原则，可以利用已知收敛或者发散级数作为比较对象来判别其他级数的敛散性。
比较原则：设∑n u 和∑n v 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n >N 都
有
n u ≤n v
（i ）若级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； （ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。 推论 设
++++n u u u 21 ， （1） ++++n v v v 21 （）
是两个正项级数，若
l v u n
n n =∞
→lim
， （3）
则
（ⅰ）当+∞< 例1、 考察∑ +-1 12 n n 的收敛性。 解 由于当2≥n 时，有 n n n n -≤ +-2 2 11 1= 2 ) 1(1) 1(1-= -n n n 因为正项级数∑ ∞ =-2 2 ) 1(1n n 收敛，通过比较原则可得级数∑ +-1 1 2 n n 也收敛。 以上例题，用比较原则判断该正项级数，结果是收敛的。现在继续用比较原则来判断一个正项级数的发散性。 例2、 判定正项级数∑ ∞ =+1 ) 1(1n n n 的敛散性。 解： 因为 ) 1(1+n n 1 1+> n 而级数∑ ∞ =+1 1 1n n =+ + + 4 13 12 1… 1 1 +n +…是去掉首项的调和级数，因而是发散的，根 据比较收敛法知所给级数发散。 例3、判定正项级数∑n 1sin = ++++n 1sin 2 1sin 1sin 的敛散性。 解：正项级数∑n 1sin = ++++n 1sin 2 1sin 1sin 是发散的，因为111sin lim =∞ →n n n 的 根据推论以及调和级数∑n 1发散，所以级数∑n 1sin 也发散。 比较判别法是一种有用的判别法，在使用时必须先要对所考虑的级数的敛散性 有一个大致的估计，然后找一个敛散性已知的合适级数与之相比较。但就绝大多数情况而言，这两个步骤具有相当的难度，甚至根本无法做到。看来，理想的判别方法还是应 该着眼于对级数自身元素的分析，下面我们介绍几种这样的判别法。 （2）达朗贝尔判别法，或称为比式判别法 比式判别法也是一种常用的判别正项级数收敛性的方法。通过正项级数的后项与前项的比值来判断收敛性。比式判别法适合1+n u 与n u 有公因式且n n n u u 1lim +∞ → 存在或等于无穷 大的情形。 设∑n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及常数)10(< 若对一切0N n >，成立不等式 q u u n n ≤+1 则级数∑n u 收敛。 （ii ） 若对一切0N n >，成立不等式 11≥+n n u u 则级数∑n u 发散。 推论 （比式判别法的极限形式）设∑n u 为正项级数，且 q u u n n n =+∞ →1lim ， 则 （ⅰ）当1 （ⅱ）当1>q 或+∞=q 时，级数∑n u 发散； （注）当1=q 时，级数∑n u 可能收敛，也可能发散。如：∑n 1，∑ 2 1n 。 例1、判定级数 1001001002 3 1 2 3 22 2 2 n n + + ++ + 的敛散性 。 解 由于 于是有 100100 1 100 1 )1(2122 )1(n n n n u u n n n n += ? +=++12 1)1(21lim lim 1001<=+=∞ →+∞ →n n u u n n n n 由比式收敛法知，所给级数收敛。 例2、 用比式判别法判断正项级数∑ -! ) 12(3.1n n L 的敛散性。 解：因为) 12(3.1!. )! 1()12(3.1lim lim 1-++=∞ →+∞ →n L n n n L u u n n n n =121 12lim >=++∞ →n n n 根据推论，正项级数∑-! ) 12(3.1n n L 发散。 例3、判定正项级数∑n n n n !.3的敛散性。 解 因为! .3. ) 1()! 1.(3lim lim 1 1 1n n n n u u n n n n n n n n ++∞ →+∞ →++= =n n n ) 11(3lim + ∞ ← =13>e 根据推论，正项级数∑n n n n !.3发散。 （3）柯西判别法，或称根式判别法 柯西判别法也是一种判断正项级数敛散性的方法，较之于达朗贝尔判别法，它用起来更有效。柯西判别法适合n u 中含有表达式的n 次幂，且ρ =∞ →n n n u lim 或等于∞+的情形。 设∑∞ =1 n n a 是正项级数 （i ） 如果存在自然数N 和一个常数r ∈(0,1 )使得 n n a 那么级数∑∞ =1 n n a 收敛 （ii ） 如对无穷多个n 有 n n a ≥1 那么级数∑∞ =1 n n a 发散。 推论 （根式判别法的极限形式）设∑n u 为正项级数，且 l u n n n =∞ →lim ， 则 （ⅰ）当1 （ⅱ）当1>l （可为∞+）时，级数∑n u 发散； 注: 当1=q 时，级数∑n u 可能收敛，也可能发散。如：∑n 1，∑ 2 1n . 例1、判断正项级数∑∞ =+1 ) 1 2( n n n n 的敛散性。 解：因为 2 11 2lim lim =+=∞ →∞ →n n u n n n n 根据推论，级数 ∑∞ =+1 ) 1 2( n n n n 收敛 例2、 判定正项级数b a b a a n a a b n n n n ≠>∞→∞→∑,0,,)),(()( 的敛散性。 解：因为 )(∞→→ = n a b a b u n n n