Student’s Name: Student’s ID No.: College Name: The study of Equivalence Relations Abstract According to some relative definitions and properties, to proof that if B can be obtained from A by performing elementary row operations on A, ~ is an equivalence relation, and to find the properties that are shared by all the elements in the same equivalence class. To proof that if B is can be obtained from A by performing elementary operations, Matrix S A ∈ is said to be equivalent to matrix S B ∈, and ~A B means that matrix S A ∈ is similar to S B ∈, if let S be the set of m m ? real matrices. Introduction The equivalence relations are used in the matrix theory in a very wide field. An equivalence relation on a set S divides S into equivalence classes. Equivalence classes are pair-wise disjoint subsets of S . a ~ b if and only if a and b are in the same equivalence class.This paper will introduce some definitions and properties of equivalence relations and proof some discussions. Main Results Answers of Q1 (a) The process of the proof is as following,obviously IA=A,therefore ~ is reflexive;we know B can be obtained from A by performing elementary row operations on A,we assume P is a matrix which denote a series of elementary row operations on A.Then ,we have PA=B,(A~B),and P is inverse,obviously we have A=P -1B,(B~A).So ~ is symmetric.We have another matrix Q which denote a series of elementary row operations on B,and the result is C,so we have QB=C.And we can obtain QB=Q(PA)=QPA=C,so A~C.Therefore,~ is transitive. Hence, ~ is an equivalence relation on S . (b) The properties that are shared by all the elements in the same equivalence class are as followings: firstly,the rank is the same;secondly,the relation of column is not changed;thirdly,two random matrices are row equivalent;fourthly,all of the matrices
南京航空航天大学2012级硕士研究生
二、(20分)设三阶矩阵，，. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形； A (2) 利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页
三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解； A (2) 求广义逆矩阵； +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页
Solution Key to Some Exercises in Chapter 3 #5. Determine the kernel and range of each of the following linear transformations on 2P (a) (())'()p x xp x σ= (b) (())()'()p x p x p x σ=- (c) (())(0)(1)p x p x p σ=+ Solution (a) Let ()p x ax b =+. (())p x ax σ=. (())0p x σ= if and only if 0ax = if and only if 0a =. Thus, ker(){|}b b R σ=∈ The range of σis 2()P σ={|}ax a R ∈ (b) Let ()p x ax b =+. (())p x ax b a σ=+-. (())0p x σ= if and only if 0ax b a +-= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P ax b a a b R +-∈= (c) Let ()p x ax b =+. (())p x bx a b σ=++. (())0p x σ= if and only if 0bx a b ++= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P bx a b a b R ++∈= 备注: 映射的核以及映射的像都是集合,应该以集合的记号来表达或者用文字来叙述. #7. Let be the linear mapping that maps 2P into 2R defined by 10()(())(0)p x dx p x p σ?? ?= ??? ? Find a matrix A such that ()x A ασαββ??+= ??? . Solution 1(1)1σ??= ??? 1/2()0x σ?? = ??? 11/211/2()101 0x ασαβαββ????????+=+= ? ? ??????????? Hence, 11/210A ??= ??? #10. Let σ be the transformation on 3P defined by (())'()"()p x xp x p x σ=+ a) Find the matrix A representing σ with respect to 2[1,,]x x b) Find the matrix B representing σ with respect to 2[1,,1]x x + c) Find the matrix S such that 1B S AS -= d) If 2012()(1)p x a a x a x =+++, calculate (())n p x σ. Solution (a) (1)0σ=
1) 一组基为q = .维数为3. 3) 南京航空航天大学双语矩阵论期中考试参考答案(有些答案可能有问题) Q1 1解矩阵A 的特征多项式为 A-2 3 -4 4I-A| =-4 2+6 -8 =A 2(/l-4) -6 7 A-8 所以矩阵A 的特征值为4 =0(二重)和/^=4. 人?2 3 由于(4-2,3)=1,所以D| (人)二1.又 彳 人+6=“2+4人=?(人) 4-2 3 、=7人+4=代(人)故(们3),代3))=1 ?其余的二阶子式(还有7个)都包含因子4, -6 7 所以 D? 3)=1 .最后 det (A (/L))=42(人.4),所以 D 3(A)=/l 2 (2-4). 因此矩阵A 的不变因子为d, (2) = d 2(2) = l, d 3 (2) = r (2-4). 矩阵A 的初等因子为人2, 2-4. 2解矩阵B 与矩阵C 是相似的.矩阵B 和矩阵C 的行列式因子相同且分别为9 3)=1 , D 2(/i)=A 2-/l-2 .根据定理：两矩阵相似的充分必要条件是他们有相同的行列式因子. 所以矩阵B 与矩阵c 相似. Q2 2)设k 是数域p 中任意数，a, 0, /是v 中任意元素.明显满足下而四项. (") = (",a) ； (a+月,/) = (",/) + (”,刃；(ka,/3) = k(a,/3) ； (a,a)>0, 当且仅当Q = 0时(a,a) = ().所以(。,/?)是线性空间V 上的内积. 利 用Gram-Schmidt 正交化方法，可以依次求出 ,p 2 =%-(％'5)与= 层=%-(％,弟与一(％,弓)役=
第二章习题及参考解答 注：第27题(2)(3)错(可将“证明”改为证明或否定)，第28题可不布置。第50题（含）以后属于附加内容，没有参考解答。 1.证明子空间判别法:设U是线性空间V的一个非空子集.则U是子空间??对任 意λ∈F,α,β∈U,有α+β∈U与λα∈U. 证明：必要性是显然的，下证充分性。设U关于加法“+”与数乘均封闭。则U中加法“+”的结合律与交换律以及数乘与“+”的分配律、1α=α均自动成立，因为U?V.由 于U关于数乘封闭，而0=0α∈U,?α=?1α∈U,因此U是子空间。 2.证明子空间的下述性质。(1)传递性:即若U是V的子空间,W是U的子空间,则W 也是V的子空间; (2)任意多个(可以无限)子空间的交集仍是子空间,且是含于这些子空间的最大子空间; 特别,两个子空间U与W的交U∩W仍是子空间. 证明：（1）由子空间判别法立即可得。 （2）由子空间判别法可知任意多个(可以无限)子空间的交集仍是子空间,且若某个子空 间含于所有这些子空间，则该子空间必然含于这些子空间的交。 3.(1)设V是线性空间,U与W是V的两个子空间.证明： dim(U+W)=(dim U+dim W)?dim(U∩W). (2)设V是有限维线性空间.证明并解释下面的维数公式: dim V=max{m|0=V0?V1?···?V m?1?V m=V,V i是V i+1的真子空间} 证明：（1）设dim U=s,dim W=t,dim(U∩W)=r.任取U∩W的一组基α1,α2,···,αr.由于U∩W是U与W的公共子空间,故U∩W的基是U与W的线性无关的向量组,因此 可以扩充成U或W的基.设 α1,α2,···,αr,βr+1,βr+2,···,βs(0.0.1) 与 α1,α2,···,αr,γr+1,γr+2,···,γt(0.0.2) 分别是U与W的基.我们证明 α1,α2,···,αr,βr+1,βr+2,···,βs,γr+1,γr+2,···,γt(0.0.3) 是U+W的一组基.为此需要证明该向量组线性无关,且U+W的任何向量均可由这些向量 线性表示. 设 k1α1+k2α2+···+k rαr+b r+1βr+1+···+b sβs+c r+1γr+1+···+c tγt=0.(0.0.4) 12
第一章 1 线性空间概念（封闭性） 2线性空间的基与维数 (教材P3例6) 3坐标概念、及求解（教材P3例8） 4 坐标在不同基下的过渡矩阵及坐标变换 5 子空间、列空间、和空间概念，维数定理以及求法（例1）；直和， 直和补空间 6 内积空间概念，标准正交基及标准正交化过程 7 线性变换概念、线性变换的矩阵（概念：教材P22定义1.13，性 质：教材P22定理1.13），计算、过渡矩阵以及不同基下的矩阵（例2, 3） 8 不变子空间，正交变换，酉交变化 例1 设112{,}W L αα=，212{,}W L ββ=，其中T )0121(1=α， T )1111(1-=α，T )1012(1-=β，T )7311(1-=β，求12W W +与 12W W ?的维数，并求出12W W ? 解 [][][]2121212121,,,,ββααββααL L L W W =++=+ ()????? ????????→??? ????????---==71 1022-203-5-30 121 -17110 30111112 121 1,,,2121行变换 ββααA B =???? ?????????????????000 310040101-0 0100 00 31007110121 -1
得r(A)=r(B)=3,dim(W 1+W 2)=3. 又因为dim W 1=2, dim W 2=2,由维数定理 dim (W 1 W 2)= dim W 1+ dim W 2-dim （W 1+W 2）=4-3=1 设,,4433221121ββααααx x x x W W +=+=∈ 化为齐次线性方程组0),,,(142121=--?X ββαα.即0711******* 121211=???? ? ?????------X 解得 ()(){}. 4,3,2,5,4,3,2,54,,3,4,21214321T T k W W k k k k x k x k x k x -==-=+-==-==-=αααα 即 例2 设3R 上线性变换T 为 ,)2())((3132321213T T x x x x x x x x x x T +-++= 求T 在基 T T T ) 111(,)110(,)101(321-===ααα 下的矩阵B. 解 在自然基321,,e e e 下，线性变换T 的坐标关系式为： , 10111012123213132321???? ??????????? ?-=????????+-++=x x x x x x x x x x Y 根据由变换的坐标式 Y=AX 得T 在自然基下矩阵 , 101110121??? ? ????-
第二章 内积空间 一、基本要求 1、掌握欧氏空间和酉空间的定义与性质，掌握Hermite 矩阵的定义，理解欧氏(酉)空间中度量的概念． 2、掌握线性无关组的Schmidt 正交化与对角化方法，理解标准正交基的性质． 3、理解Hermite 二次型的定义． 4、掌握在一组基下的度量矩阵的概念，标准正交基下度量矩阵的性质及两组标准正交基下的度量矩阵的关系． 5、了解欧氏子空间的定义． 6、掌握正交矩阵与酉矩阵的定义与性质，理解正交(酉)变换与正交(酉)矩阵的关系． 7、掌握对称矩阵与Hermite 矩阵的定义与性质，理解对称(Hermite)变换与对称(Hermite)矩阵的关系． 8、掌握矩阵可对角化的条件，会求一个正交(酉)矩阵把实对称(Hermite)矩阵化为对角形矩阵，会求一组标准正交基使线性变换在该基下对应的矩阵是对角形矩阵． 二、基本内容 1、内积空间 设数域F 上的线性空间)(F V n ，若)(F V n 中任意两个向量βα,都有一个确定的数与之对应，记为),(βα，且满足下列三个条件 (1) 对称性：),(),(αββα=，其中),(αβ表示对数),(αβ取共轭； (2) 线性性：),(),(),(22112211βαβαβααk k k k +=+； (3) 正定性：0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα， 则称),(βα为向量α与β的内积．当R F =时，称)(R V n 为 欧氏空间；当C F =时，称)(C V n 为酉空间． 注意：在n R 中，),(),(βαβαk k =；在n C 中，),(),(βαβαk k =． 通常的几个内积： (1) n R 中，αββαβαT T n i i i y x ===∑=1),(
矩阵论知识点 第一章：矩阵的相似变换 1. 特征值，特征向量 特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量 2. 相似对角化 充要条件：（1）（2）（3）（4） 3. Jordan标准形 计算：求相似矩阵P及Jordan标准形 求Jordan标准形的方法： 特征向量法，初等变换法，初等因子法 4. Hamilton-Cayley定理 应用：待定系数法求解矩阵函数值 计算：最小多项式 5. 向量的内积 6. 酉相似下的标准形 特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵。
第二章：范数理论 1. 向量的范数 计算：1，2，∞范数 2. 矩阵的范数 计算：1，2，∞，∞m , F 范数，谱半径 3. 谱半径、条件数 第三章：矩阵分析 1. 矩阵序列 2. 矩阵级数 特别的：矩阵幂级数 计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和 3. 矩阵函数 计算：矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值 4. 矩阵的微分和积分 计算：函数矩阵，数量函数对向量的导数 如，dt dA(t),dt dA(t),?? ???==)()(X R AX X X X X f T T T αα等 5. 应用 计算：求解一阶常系数线性微分方程组
1. 矩阵的三角分解 计算：Crout 分解，Doolittle 分解，Choleskey 分解 2. 矩阵的QR 分解 计算：Householder 矩阵，Givens 矩阵， 矩阵的QR 分解或者把向量化为与1e 同方向 3. 矩阵的满秩分解 计算：满秩分解，奇异值分解 4. 矩阵的奇异值分解 第五章：特征值的估计与表示 1. 特征值界的估计 计算：模的上界，实部、虚部的上界 2. 特征值的包含区域 计算：Gerschgorin 定理隔离矩阵的特征值 3. Hermite 矩阵特征值的表示 计算：矩阵的Rayleigh 商的极值 4. 广义特征值问题 计算：BX AX λ=转化为一般特征值问题
《矩阵论》教学大纲 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
《矩阵论》课程教学大纲 一、课程性质与目标 （一）课程性质 《矩阵论》是数学专业的选修课，是学习经典数学的基础，又是一门最具有实用价值的数学理论。它不仅是数学的一个重要的分支，而且业已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。 （二）课程目标 通过本课程的学习，使学生掌握矩阵论的基本概念，基本理论和基本运算，全面了解若干特殊矩阵的标准形及其基本性质，了解近代矩阵论中十分活跃的若干分支，为今后在应用数学，计算数学专业的进一步学习和研究打下扎实的基础。 二、课程内容与教学 （一）课程内容 1、课程内容选编的基本原则 把握理论、技能相结合的基本原则。 2、课程基本内容 本课程主要介绍了线性空间、线性映射、酉空间、欧氏空间、若当标准型、矩阵的分解、矩阵的分析、矩阵函数和广义逆矩阵等基本内容。 （二）课程教学 通过本课程中基本概念和基本定理的阐述和论证，培养高年级本科生的抽象思维与逻辑推理能力，提高高年级本科生的数学素养。 三、课程实施与评价 （一）学时、学分 本课程总学时为54学时。学生修完本课程全部内容，成绩合格，可获3学分。（二）教学基本条件 1、教师 教师应具有良好的师德和较高的专业素质与教学水平，一般应具备讲师以上职称或本专业硕士以上学位。 2、教学设备 配置与教学内容相关的图书、期刊、音像资料等。 （三）课程评价 1、对学生能力的评价 逻辑推理能力，包括逻辑思维的合理性和严密性。 2、采取教师评价为主的评价方法。 3、课程学习成绩由期末考试成绩（70%）和平时成绩（30%）构成。课程结束时评出成绩，成绩评定可分为优、良、中、及格和不及格五个等级，也可采用百分制。 四、课程基本要求 第一章线性空间和线性变换 基本内容：线性空间线性变换 基本要求： （1）理解线性空间有关内容。
Solution Key to Some Exercises in Chapter 3 #5. Determine the kernel and range of each of the following linear transformations on 2P (a) (())'()p x xp x σ= (b) (())()'()p x p x p x σ=- (c) (())(0)(1)p x p x p σ=+ Solution (a) Let ()p x ax b =+. (())p x ax σ=. (())0p x σ= if and only if 0ax = if and only if 0a =. Thus, ker(){|}b b R σ=∈ The range of σis 2()P σ={|}ax a R ∈ (b) Let ()p x ax b =+. (())p x ax b a σ=+-. (())0p x σ= if and only if 0ax b a +-= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P ax b a a b R +-∈= (c) Let ()p x ax b =+. (())p x bx a b σ=++. (())0p x σ= if and only if 0bx a b ++= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P bx a b a b R ++∈= 备注: 映射的核以及映射的像都是集合,应该以集合的记号来表达或者用文字来叙述. #7. Let be the linear mapping that maps 2P into 2R defined by 10 ()(())(0)p x dx p x p σ?? ?= ??? ? Find a matrix A such that ()x A ασαββ?? += ??? . Solution 1(1)1σ?? = ??? 1/2()0x σ?? = ??? 11/211/2()1010x ασαβαββ???? ???? +=+= ? ? ??????????? Hence, 11/21 0A ?? = ??? #10. Let σ be the transformation on 3P defined by (())'()"()p x xp x p x σ=+ a) Find the matrix A representing σ with respect to 2[1,,]x x b) Find the matrix B representing σ with respect to 2[1,,1]x x + c) Find the matrix S such that 1B S AS -= d) If 2012()(1)p x a a x a x =+++, calculate (())n p x σ. Solution (a) (1)0σ= ()x x σ=
南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题 2007 ~ 2008学年《矩阵论》 课程考试A 卷 一、（20分）设矩阵 ?? ??? ??-----=111322211 A ， （1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值； （2）求A 的行列式因子、不变因子和初等因子； （3）求A 的最小多项式，并计算I A A 236 -+； （4）写出A 的Jordan 标准形。 二、（20分）设2 2?R 是实数域R 上全体22?实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。 （1）求2 2?R 的维数，并写出其一组基； （2）设W 是全体22?实对称矩阵的集合， 证明：W 是2 2?R 的子空间，并写出W 的维数和一组基； （3）在W 中定义内积W B A BA tr B A ∈=,),(),(其中，求出W 的一组标准正交基； （4）给出22?R 上的线性变换T ： 22,)(?∈?+=R A A A A T T 写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核)(T Ker 和值域)(T R 。 三、（20分） （1）设 ? ??? ??-=121312A ，求1A ，2A ，∞A ，F A ； （2）设n n ij C a A ?∈=)(，令 ij j i a n A ,*max ?=， 证明： *是 n n C ?上的矩阵范数并说明具有相容性； （3）证明：*2*1 A A A n ≤≤。 四、（20分）已知矩阵 ?????? ? ??-=10010001111 1A ，向量 ??? ??? ? ??=2112b ， （1）求矩阵A 的QR 分解；
§4.数字矩阵的Jordan标准形 一、数字矩阵的Jordan标准形 二、数字方阵的有理标准形 1
2 一、数字矩阵的Jordan标准形 一个n阶的正规矩阵 ，可以 经过酉变换（相似变换）化成一个对角矩阵（标准形） ,H H n n A AA A A ×=()1 2 ,,,. n diag λλλ? 问题: 一般地n阶数字矩阵 相似于什么 样的（最简）形式? n n A ×
3 例1 将3 23 11()125A λλλλλλλ???+?? =?????+??写成数字阵为系 数的 的多项式. 解: 10000111()1001010012000015A λλλλ????????? ????????=++?+???????????????????????? 多项式矩阵与数字矩阵的关系：每一个m ×n 的多项式矩阵都可以化成一个数字矩阵为系数的多项式。
4 一般地，设)()()ij m n A a λλ× =,)()ij i j s a λ=,max deg ， 其中A 为m n 数字阵,且这种表示法唯一. 此时称 )A λ是 次多项式矩阵,记作 )deg[]A s λ=. 则 ()1 011s s s s A A A A A λλλλ??=++++?当s =时,)A λ是数阵. 当 det A ≠时,称 )A λ是正则多项式矩阵. 当 )A λ，)B λ中有一个是正则多项式时, )()()()()deg deg deg A B A B λλλλ=, 即 0A B ≠。 若 )A O λ=,则不定义次数.
5 1. 存在唯一的n 阶多项式矩阵)n n P λ×,及唯一的数字矩阵n n R ，使)()()B E A P R λλλ=?+ 引理 对任意的n 阶多项式矩阵)n n B λ× 和数阵n n A , 2. 存在唯一的n 阶多项式矩阵 )n n Q λ×及数字矩阵n n S 使 )()()B Q E A S λλλ=?+ 证明:设 =B m λ (m ≠0)，且 011()m m m m B B B B B λλλλ? ?=++++? 其中 m B B ?,,为阶数阵,且 0≠B . (若 =m ,则取 )0P λ=, ()==R B B λ即可.)
Solution Key (chapter 1) #2. Take S , 2=. But 2S ?. If 2S ∈, then there are rational numbers a and b , such that 2=0a ≠ and 0b ≠.) This will lead to 22 423 2a b ab --= The right hand is a rational number and the left hand side is an irrational number. This is impossible. Thus, S is not closed under multiplication. Hence, S is not a field. #13. (a) Denote the set by S . Take 2()p x x x S =+∈, 2()q x x x S =-+∈. Then ()()2p x q x x S +=?. S is not closed under addition. Hence, S is not a subspace. (Or: The set S does not contain the zero polynomial, hence, is not a subspace.) (b) Denote the set by S . Take 3()1p x x S =+∈, 3()1p x x S =-+∈. Then ()()2p x q x S +=?. S is not closed under addition. Hence, S is not a subspace. (Or: The set S does not contain the zero polynomial, hence, is not a subspace.) (d) Denote the set by S . Take ()1p x x S =+∈, ()1p x x S =-+∈, ()()2p x q x S +=?. S is not closed under addition. Hence, S is not a subspace. #15. (c) Denote the set by S . Take ()p x x S =∈. But ()p x x S -=-?. Thus, the set S is not closed under scalar multiplication. Hence, S is not a subspace. (e) Denote the set by S . Take ()1p x x S =-∈ ()1q x x S =+∈. But ()()2p x q x x S +=?. S is not closed under addition. Hence, S is not a subspace. #17. Since 12{,,,}u v v v i s span ∈ for each i , all combinations of 12,,,u u u r are also in 12{,,,}v v v s span . Thus, 12{,,,}u u u r span is a subspace of 12{,,,}v v v s span . Therefore, 12dim({,,,})u u u r span ≤ 12dim({,,,})v v v s span . #25. (a) Let 12(,,,)b b b n B = . Then 12(,,,)b b b n AB A A A = . If AB O =, then b 0i A = for 1,2,,i n = . ()b i N A ∈ for 1,2,,i n = . All lineawr combinations of 12,,,b b b n are also in ()N A . Thus, ()()R B N A ?. ()R B is a subspace of ()N A .
第一章：矩阵的相似变换 1.特征值，特征向量 特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量 2.相似对角化 充要条件：（1）（2）（3）（4） 3.Jordan标准形 计算：求相似矩阵P及Jordan标准形 求Jordan标准形方法：特征向量法、初等变换法、初等因子法4.Hamilton-Cayley定理 应用：特定系数法求解矩阵函数值 计算：最小多项式 5.向量的内积 6.酉相似下的标准型 特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵 第二章：范数理论 1.向量的范数 计算：1,2，∞范数 2.矩阵的范数 计算：1,2，∞，m∞，F范数，谱半径 3.谱半径、条件数
第三章：矩阵分析 1.矩阵序列 2.矩阵级数 特别的：矩阵幂级数 计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和3.矩阵函数 计算：矩阵函数值，eAt，Jordan矩阵的函数值 4.矩阵的微分和积分 计算：函数矩阵的导数，数量函数对向量的导数 αT X=X Tα 如， dt )t( d A，f(X)= X T AX 等 R(X) 5.应用 计算：求一阶常数线性微分方程组 第四章：矩阵分解 1.矩阵的三角分解 计算：Crout分解，Doolittle分解，Choleskey分解2.矩阵的QR分解 计算：Householder矩阵，Givens矩阵 矩阵的QR分解或者向量化为与e1同方向 3.矩阵的满秩分解 计算：满秩分解
4.矩阵的奇异值分解 计算奇异值分解 第五章：特征值的估计与表示1.特征值界的估计 计算：模的上界，实部、虚部的上界 2.特征值的包含区域 计算：Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值 3.Hermite矩阵特征值的表示 计算：矩阵的Rayleigh商在某个空间上的极值 4.广义特征值问题 计算：AX=λBX 转化为一般特征值问题 第六章：广义逆矩阵 1.广义逆矩阵的概念 2.{1}逆及其应用 计算：A(1) 判别矩阵方程AXB=D，Ax=b解的情况 3.Moore-Penrose逆A+ 计算：利用A+判别方程组Ax=b解的情况， 并求极小范数解或极小范数最小二乘解 第七章：矩阵的直积 1.矩阵的直积 计算：A B的特征值，行列式，迹，秩
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Let 3P (the vector space of real polynomials of degree less than 3) defined by (())'()''()p x xp x p x σ=+. (1) Find the matrix A representing σ with respect to the ordered basis [21,,x x ] for 3P . (2) Find a basis for 3P such that with respect to this basis, the matrix B representing σ is diagonal. (3) Find the kernel （核） and range （值域）of this transformation. Solution: (1) 221022x x x x σσσ===+（）（）（） 002010002A ?? ? = ? ? ?? ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (2) 101010001T ?? ? = ? ??? (The column vectors of T are the eigenvectors of A) The corresponding eigenvectors in 3P are 1000010002T AT -?? ? = ? ??? (T diagonalizes A ) 22[1,,1][1,,]x x x x T += . With respect to this new basis 2 [1,,1]x x +, the representing matrix of σis diagonal. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (3) The kernel is the subspace consisting of all constant polynomials. The range is the subspace spanned by the vectors 2,1x x + -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
分解非负矩阵及其应 摘要 矩阵分解是实现大规模数据处理与分析的一种有效工具。非负矩阵分解(Non-negative Matrix Factorization,NMF)算法是指在矩阵中所有元素均为非负的条件下对其实现的非负分解，它的分解结果中不出现负值，提取的特征是基于部分的、局部化的、纯加性的描述等特征，由此区别于其他的分解方法。这为矩阵分解提供了一种新的思路，同时，为分析局部特征和整体特征之间的关系提供了一种思路。因此，非负矩阵分解方法在当今众多研究研究领域都具有十分重要的应用意义。本文介绍非负矩阵分解的基本思想，结合研究工作讨论在概率模型的框架下实现非负矩阵分解的目标函数和相应的算法，以及非负矩阵分解在图像压缩中的实际应用。 关键词：非负矩阵，实际应用，图像压缩，识别
引言 在教材第四章中，专门讲解了矩阵的分解。书中首先由Gauss消去法推导出了矩阵的三角分解，然后介绍了QR分解、满秩分解等。这些分解在计算数学中都扮演着重要的角色，尤其是QR分解所建立的QR方法，它对数值代数理论的发展起着关键的作用。书中还简要介绍了广义逆矩阵理论中所遇到的矩阵的满秩分解、奇异值分解和谱分解。它们与QR分解都是求解各类最小二乘法问题和最优化问题的重要数学工具。而非负矩阵的分解则属于组合矩阵论的范畴，组合矩阵论作为近三十年来迅速发展的一个数学分支，它用矩阵论和线性代数来证明组合性定理及对组合结构进行描述、分类。它与众多数学领域联系密切，而且在信息科学、社会学、经济数学和计算机数学等很多方面都发展出了广阔的具体应用前景。 本文中介绍了非负矩阵分解的基本思想和一些最新研究成果，具体讨论了在概率模型框架下非负矩阵分解的算法，在传统的梯度下降法和加性迭代规则上加以改进，采用乘性迭代规则。并且，针对实际问题，具体分析阐述了当下非负矩阵分解的如图像压缩、人脸识别等较有发展前景的几个方向的热门应用。