2018-2019学年清华大学自主招生暨领军计划试题
1.已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值,则函数a x x x g ++=2)(2的零点个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .取决于a 的值温馨提示:多少汗水曾洒下,多少期待曾播种,终是
在高考交卷的一刹尘埃落地,多少记忆梦中惦记,多少青春付与流水,人生,总有一次这样的成败,才算长大。高考保持心平气和,不要紧张,像对待平时考试一样去做题,做完检查一下题目,不要直接交卷,检查下有没有错的地方,然后耐心等待考试结束。
【答案】C
【解析】注意)()(/x g e x f x =,答案C .
2. 已知ABC ?的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,.下列条件中,能使得ABC ?的形状唯一确定的有( )
A .Z c b a ∈==,2,1
B .B b
C a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500=+= C .060,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B A
D .060,1,3===A b a 【答案】AD .
3.已知函数x x g x x f ln )(,1)(2
=-=,下列说法中正确的有( ) A .)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线
B .存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行
C .)(),(x g x f 有且只有一个交点
D .)(),(x g x f 有且只有两个交点
【答案】BD
【解析】注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线,如图,因此答案BD .
4.过抛物线x y 42=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点,M 为线段AB 的中点.下列说法中正确的有( )
A .以线段A
B 为直径的圆与直线2
3
-=x 一定相离 B .||AB 的最小值为4 C .||AB 的最小值为2
D .以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 【答案】AB
【解析】对于选项A ,点M 到准线1-=x 的距离为
||2
1
|)||(|21AB BF AF =+,于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切,进而与直线2
3
-=x 一定相离;对于选项B ,C ,
设)4,4(2
a a A ,则)1,41(2a a B -,于是2414||2
2++
=a a AB ,最小值为4.也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值;对于选项D ,显然BD 中点的横坐标与
||2
1
BM 不一定相等,因此命题错误. 5.已知21,F F 是椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点,P 是椭圆C 上一点.下列说
法中正确的有( ) A .b a 2=时,满足02190=∠PF F 的点P 有两个 B .b a 2>
时,满足02190=∠PF F 的点P 有四个
C .21F PF ?的周长小于a 4
D .21F PF ?的面积小于等于
2
2
a 【答案】ABCD .
【解析】对于选项A ,B ,椭圆中使得21PF F ∠最大的点P 位于短轴的两个端点;对于选项C ,
21PF F ?的周长为a
c a 422<+;选项
D ,
21PF F ?的面积为
22
212121212||||21s i n ||||21a PF PF PF F PF PF =??
? ??+≤∠?. 6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛,有两花获奖.比赛结果揭晓之前,四个人作了如下猜测: 甲:两名获奖者在乙、丙、丁中; 乙:我没有获奖,丙获奖了; 丙:甲、丁中有且只有一个获奖; 丁:乙说得对.
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的,那么两个获奖者是( ) A .甲
B .乙
C .丙
D .丁
【答案】BD
【解析】乙和丁同时正确或者同时错误,分类即可,答案:BD .
7.已知AB 为圆O 的一条弦(非直径),AB OC ⊥于C ,P 为圆O 上任意一点,直线PA 与直线OC 相交于点M ,直线PB 与直线OC 相交于点N .以下说法正确的有( ) A .P B M O ,,,四点共圆 B .N B M A ,,,四点共圆 C .N P O A ,,,四点共圆
D .以上三个说法均不对
【答案】AC
【解析】对于选项A ,OPM OAM OBM ∠=∠=∠即得;对于选项B ,若命题成立,则MN 为直径,必然有MAN ∠为直角,不符合题意;对于选项C ,MAN MOP MBN ∠=∠=∠即得.答案:AC .
8.C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ?为锐角三角形的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】必要性:由于1cos sin )2
sin(sin sin sin >+=-+>+B B B B C B π
,
类
似
地
,
有1
s
i n s i n ,1s i n s i n >+>+A B A C ,
于
是
C B A C B A c o s
c o s c o s s i n s i n s i n ++>++. 不充分性:当4
,2
π
π
=
==
C B A 时,不等式成立,但ABC ?不是锐角三角形.
9.已知z y x ,,为正整数,且z y x ≤≤,那么方程2
1
111=++z y x 的解的组数为( ) A .8
B .10
C .11
D .12
【答案】B 【解析】由于
x
z y x 3
11121≤++=,故63≤≤x . 若3=x ,则36)6)(6(=--z y ,可得)12,12(),15,10(),18,9(),24,8(),42,7(),(=z y ; 若4=x ,则16)4)(4(=--z y ,可得)8,8(),12,6(),20,5(),(=z y ; 若5=x ,则
6,5,3
20
,211103=≤≤+=y y y z y ,进而解得)10,5,5(),,(=z y x ; 若6=x ,则9)3)(3(=--z y ,可得))6,6(),(=z y . 答案:B .
10.集合},,,{21n a a a A =,任取A a a A a a A a a n k j i i k k j j i ∈+∈+∈+≤<<≤,,,1这三个式子中至少有一个成立,则n 的最大值为( ) A .6
B .7
C .8
D .9
【答案】B
11.已知0
00121,61,1===γβα,则下列各式中成立的有( )
A .3tan tan tan tan tan tan =++αγγββα
B .3tan tan tan tan tan tan -=++αγγββα
C .
3tan tan tan tan tan tan =++γβαγ
βα
D .
3tan tan tan tan tan tan -=++γ
βαγ
βα
【答案】BD
【解析】令γβαtan ,tan ,tan ===z y x ,则
3111=+-=+-=+-zx
z
x yz y z xy x y ,所以
)1(3),1(3),1(3zx z x yz y z xy z y +=-+=-+=-,以上三式相加,即有3-=++zx yz xy .
类似地,有
)11
(311),11(311),11(311+=-+=-+=-zx
x z yz z y xy y x ,以上三式相加,即有
3111-=++=++xyz
z y x zx yz xy .答案BD . 12.已知实数c b a ,,满足1=++c b a ,则141414+++++c b a 的最大值也最小值乘积属于区间( )
A .)12,11(
B .)13,12(
C .)14,13(
D .)15,14(