第四讲 平面几何部分
教学目标：
1． 熟练掌握五大面积模型
2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b =
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD
BCD S S =△△；
反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△
图⑴ 图⑵
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①22
13::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =；
③S 的对应份数为()2
a b +．
四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
D
C B
A S 4
S 3
S 2
S 1O D
C
B
A A
B
C
D O
b
a
S 3
S 2S 1
S 4
①
AD AE DE AF
AB AC BC AG
===
； ②2
2
:ADE ABC S S AF AG =△△：．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、燕尾定理
在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ??=． 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着
广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
典型例题
【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为．
【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．
三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
66 1.562262 4.54216.5DEF S =?-?÷-?÷-?÷=△,所以长方形EFGH 面积为33．
【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？
【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行
四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．
∵在正方形ABCD 中，G 1
2
AB S AB AB =
??△边上的高， G
F E A
B
C
D A
B C
D
E
F G _ A _ B
_ G
_ C
_E
_F
_ D
_ A _ B
_ G
_ C _E _F
_ D
_ A
_
B
_C
_
D
_E
_F
_ G
_
H
_
H
_
G
_F
_E
_
D
_C
_
B
_ A O F E
D C B
A
∴1
2
ABG
ABCD S S = △(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半) 同理，1
2
ABG EFGB S S =
△． ∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等． 长方形的宽8810 6.4=?÷=(厘米)．
【例 2】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积
是多少？
【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：
可得：1
2
EHB AHB S S ??=、12FHB CHB S S ??=、12DHG DHC S S ??=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ???=++=
即11
()361822
EHB BHF
DHG AHB CHB CHD S S S S S S ??????++=++=?=；
而EHB BHF DHG EBF S S S S S ????++=+阴影，11111
()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ?=??=????=?=． 所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF
S S ?=-=-=阴影
解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，
那么图形就可变成右图：
这样阴影部分的面积就是DEF ?的面积，根据鸟头定理，则有：
1111111
3636363613.52222222
ABCD AED BEF CFD S S S S S ???=---=-??-???-??=阴影．
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分
别与P 点连接,求阴影部分面积．
E
E
G
(H )
【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影
部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和1
6
，所以阴影部分的
面积为211
6()1546
?+=平方厘米．
（法2）连接PA 、PC ．
由于PAD ?与PBC ?的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之
和等于正方形ABCD 面积的1
4
，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的
16，所以阴影部分的面积为211
6()1546
?+=平方厘米．
【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积
为．
【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE
和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．
由于长方形ABCD 的面积为158120?=，所以三角形BOC 的面积为1
120304
?=，所以三角形AOE 和
DOG 的面积之和为3
12070204
?-=；
又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024??
?-= ???
，所以四边形EFGO 的面积为
302010-=． 另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．
【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为．
【解析】 如图，连接OE ．
B
A
B
B
根据蝴蝶定理，1
:::1:12
COE CDE CAE CDE
ON ND S S S S ????===，所以12OEN OED S S ??=； 1
:::1:42
BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ????===，所以15OEM OEA S S ??=．
又11
334OED ABCD S S ?=?=矩形，26OEA OED S S ??==，所以阴影部分面积为：1136 2.725
?+?=．
【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，
求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC )
【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边
平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．
根据图形的容斥关系，有ABC
ABN AMC AMHN S S S S S ???-=+-丙，
即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙
．
又ADF AMHN S S S S S ?+=++乙甲阴影，所以1
143400434
ADF S S S S S ?=++-=-?=乙甲丙阴影．
【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，
右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是．
【解析】 连接AF ，BD ．
根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；
所以，15
27BE CBF F S S ??=
，1227BE CBF C S S ??=，2128
AEG ADG S S ??=，728AED ADG S S ??=， 于是：
2115
652827
ADG CBF S S ??+=；712382827ADG CBF S S ??+=； 可得40ADG S ?=．故三角形ADG 的面积是40．
【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方
厘米，求ABC △的面积．
B
G
F
E D
C B
A
A
B
C D
E F
G
【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△，
::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设8ADE S =△份，则
35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．
【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么
三角形ABC 的面积是多少？
【解析】 连接BE ．
∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =
∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷ ，∴1515ABC ADE S S == ．
【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积
是甲部分面积的几倍？
【解析】 连接AD ．
∵3BE =，6AE =
∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，
∴2ABC ABD S S = ，∴6ABC BDE S S = ，5S S =乙甲．
【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，
:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A A
B
C
D
E
乙
甲
E D
C
B
A A
B
C
D
E
甲
乙
E
D
C
B
A
E
D
C
B A
【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)
ADE ABE S S AD AB ===??△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=?+?△△， 所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =??+=△△，设6A D E
S =△份，
则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重
要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的
面积是2， 求平行四边形与四边形的面积比．
【解析】 连接、．根据共角定理
∵在和中，与互补，
∴． 又，所以．
同理可得，，．
所以．
所以．
【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？
【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换： 把三角形绕顶点逆时针旋转，使长为的两条边重合，此时三角形将旋转到三角形 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.
因此，原来四边形的面积为.(也可以用勾股定理)
【例 10】 如图所示，中，，，，以为一边向外作正方形，
中心为，求的面积．
ABCD EFGH H
G
A
B C
D E
F
H
G
A
B C
D E
F
AC BD ABC △BFE △ABC ∠FBE ∠111
133
ABC FBE S AB BC S BE BF ??=
==??△△1ABC S =△3FBE S =△8GCF S =△15DHG S =△8AEH S =△8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△21
3618
ABCD EFGH S S =
=D
B
13
13
12
12
OAB O 13OAB OCD 121212144?=ABC ?90ABC ∠=?3AB =5BC =AC ABC ?ACDE O OBC ?
【解析】 如图，将沿着点顺时针旋转，到达的位置．
由于，，所以．而， 所以，那么、、三点在一条直线上．
由于，，所以是等腰直角三角形，且斜边为，所以
它的面积为．
根据面积比例模型，的面积为．
【例 11】 如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于．已
知、的长分别为、，求三角形的面积．
【解析】 如图，连接，以点为中心，将顺时针旋转到的位置．
那么，而也是，所以四边形是直角梯形，且，
所以梯形的面积为：
()．
又因为是直角三角形，根据勾股定理，，所以
()． 那么()，
所以()．
【例 12】 如下图，六边形中，，，
，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米？
OAB ?O 90?OCF ?90ABC ∠=?90AOC ∠=?180OAB OCB ∠+∠=?OCF OAB ∠=∠180OCF OCB ∠+∠=?B C F OB OF =90BOF AOC ∠=∠=?BOF ?BF 538+=21
8164
?=OBC ?5
16108
?=AB ABE 90AEB ∠=?AC BD O AE BE 3cm 5cm
OBE
D
DE A ADE ?90?ABF ?90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=?AEB ∠90?AFBE 3AF AE ==AFBE ()1
353122
+??=2cm ABE ?222223534AB AE BE =+=+=21
172
ABD S AB ?=
=2cm ()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ?????=-+=-=-=2cm 1
2.52
OBE
BDE S S ??==2cm ABCDEF AB ED =AF CD =BC EF =AB ED AF CD BC EF FD BD 24FD =18BD =ABCDEF
【解析】 如图，我们将平移使得与重合，将平移使得与重合，这样、都
重合到图中的了．这样就组成了一个长方形，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形的面积为平方厘米，所以六边形的面积为平方厘米．
【例 13】 如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交
于点．则四边形的面积等于．
【解析】 方法一：连接，根据燕尾定理，
，, 设份，则份，份，份，如图所标
所以 方法二：连接，由题目条件可得到， ，所以，
，
而．所以则四边形的面积等于． 【巩固】如图，长方形的面积是平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平
方厘米?
【解析】 设份，则根据燕尾定理其他面积如图所示平方厘米.
【例 14】 四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的
面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍．
F
E
A
B
D
C
G
F
E
A
B
D
C
BCD ?CD AF DEF ?ED AB EF BC AG BGFD BGFD 2418432?=ABCDEF 432ABC 1E AC D BC :1:2BD DC =AD BE F DFEC F
E
D C
B
A
3332
1F E D
C B
A
A
B
C
D
E
F
CF 12ABF ACF S BD S DC ==△△1ABF CBF S AE
S EC
==△△1BDF
S =△2DCF S =△3ABF S =△3AEF EFC S S ==△△55
1212
DCEF ABC S S =
=△DE 11
33
ABD ABC
S S ==△△11212233ADE ADC ABC S S S ==?=△△△1
1
ABD ADE S BF FE S ==△△111111122323212
DEF DEB BEC ABC S S S S =?=??=???=
△△△△211323CDE ABC S S =??=△△DFEC 512
ABCD 22EC DE =F
DG
y B C
D E
G
E D C
B
A
E
D
B A 1DEF S =△55
1212
BCD S S =
=△阴影ABCD AC BD O ABD BCD 1
3
2AO =3DO =CO DO
【解析】 在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已
知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件
，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条
件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．
解法一：∵，∴，∴． 解法二：作于，于． ∵，∴，∴， ∴，∴，∴．
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形的面积；⑵？
【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，，那么；
⑵根据蝴蝶定理，．
【例 15】 如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、
4、4和6．求：⑴求的面积；⑵求的面积．
【解析】 ⑴根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所
以的面积为；
⑵由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为，
根据蝴蝶定理，，所以， 那么．
A
B
C
D
O
H G
A B
C
D O
ABCD :1:3ABD BCD S S = AH BD H CG BD G ::1:3ABD BDC AO OC S S ??==236OC =?=:6:32:1OC OD ==AH BD ⊥H CG BD ⊥G 13ABD
BCD S S ??=13
AH CG =13AOD
DOC S S ??=1
3
AO CO =236OC =?=:6:32:1OC OD ==BGC :AG GC
=B
123BGC S ?=? 6BGC
S = ()():12:361:3AG GC =++=ABCD O CEF △OEF △ODF △BOE △OCF △GCE △O
G
F E
C
B
A
BCD △244616+++=BCO △CDO ?1628÷=OCF △844-=BCO △BOE △OCE △862-=::2:41:2COE COF EG FG S S ??===::1:2GCE GCF S S EG FG ??==11221233
GCE CEF S S ??=
=?=+
【例 16】 如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长
方形的面积．
【解析】 连接，．
因为，，所以． 因为，，所以平方厘米，所以平方厘米．因为，所以长方形的面积是平方厘米．
【例 17】 如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积．
【解析】 因为是边上的中点，所以，根据梯形蝴蝶定理可以知道
，设份
，
则
份，所以正方形的面积为份，份，所以
，所以平方厘米．
【巩固】在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方
厘米，那么正方形面积是平方厘米．
【解析】 连接，根据题意可知，根据蝴蝶定理得
(平方厘米)，
(平方厘米)，那么(平方厘米)．
ABCD :2:3BE EC =:1:2DF FC =DFG 2ABCD A
B
C
D E
F G
A
B
C
D E
F G
AE FE :2:3BE EC =:1:2DF FC =3111
()53210
DEF ABCD
ABCD S S S =??= 长方形长方形1
2AED
ABCD S S = 长方形11::5:1210
AG GF ==510AGD GDF S S == 12AFD S = 16
AFD ABCD S S = 长方形ABCD 72ABCD 3M
AD C
B
A
M AD :1:2AM BC =22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =??=△△△△（）（）1
AGM S =△123MCD S =+=△1224312++++=224S =+=阴影:1:3S S =阴影正方形1S =阴影ABCD E BC AE BD F BEF ABCD A B
C
D
E
F DE :1:2BE AD =2
129S =+=梯形（）3ECD S =△12ABCD S =
【例 18】 已知是平行四边形，，三角形的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积
是平方厘米．
【解析】 连接．
由于是平行四边形，，所以，
根据梯形蝴蝶定理，，所以(平
方厘米)，(平方厘米)，又(平方厘米)，阴影部分面积为(平方厘米)．
【巩固】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分
的面积是平方厘米．
【分析】 连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．
根据蝴蝶定理，，故，
所以(平方厘米)．
【巩固】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分
的面积是平方厘米．
【解析】 连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．
根据蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)．
另解：在平行四边形中，(平方厘米)， 所以(平方厘米)，
根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为(平方厘米)．
ABCD :3:2BC CE =
ODE B
B
AC ABCD :3:2BC CE =:2:3CE AD =22
:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =??= 6AOC S = 9AOD S = 6915ABC ACD S S ==+= 61521
+=ABCD
ABED B
B
AE AD BC AECD OCD
OAE S S ??=4936OCD OAE OCE OAD S S S S ?????=?=?=2
36OCD S ?=6OCD
S ?=ABCD
ABED B
B
AE AD BC AECD OCD OAE S S ??=2816OCD
OAE OCE OAD S S S S ?????=?=?=2
16OCD S ?=4
OCD S ?=ABED ()11
1681222
ADE ABED S S ?=
=?+= 1284AOE ADE AOD S S S ???=-=-=8244?÷=
【例 19】 如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余
下的四边形的面积为___________平方厘米．
【解析】 连接、．四边形为梯形，所以，又根据蝴蝶定理，
，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)．那
么长方形的面积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)．
【例 20】 如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点．已知正方形的面积48，，则的面积是多少？
【解析】 由于是正方形，所以与平行，那么四边形是梯形．在梯形中，和
的面积是相等的．而，所以的面积是面积的，那么的面积也是面积的．
由于是等腰直角三角形，如果过作的垂线，为垂足，那么是的中点，而且，可见和的面积都等于正方形面积的一半，所以的面积与正方形的面积相等，为48．
那么的面积为．
【例 21】 下图中，四边形都是边长为1的正方形，、、、分别是，，，的中
点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于．
【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积
都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接．设与的交点为．
左图中为长方形，可知的面积为长方形面积的，所以三角形的面积为
．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为．
ABCD CE DF OFBC ?
8
5
2O A B C D
E
F
?
8
5
2O A B
C
D
E
F
DE CF EDCF EOD
FOC S S ?= EOD FOC EOF COD S S S S ?????=?2816EOD FOC EOF COD S S S S ?????=?=?=4EOD S ?=4812ECD S ?=+=ABCD 12224?=OFBC 245289---=ABC ?DEFG AB CD K DEFG
:1:3AK KB =BKD
?B
B
DEFG DA BC ADBC ADBC BDK ?ACK ?:1:3AK KB =ACK ?ABC ?11
134
=+BDK
?ABC ?1
4
ABC ?A BC M M BC AM D E =ABM ?ACM ?DEFG ABC ?DEFG BDK ?1
48124
?=ABCD E F G H AB BC CD DA m
n
()m n
+B
E
E EG AG DE M AEGD AM D ?AEGD 1
4
AMD 21111248??=111482
-?=
如上图所示，在右图中连接、．设、的交点为．
可知∥且．那么三角形的面积为三角形面积的
，所以三角形 的面积为，梯形的面积为．
在梯形中，由于，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：
，所以三角形的面积为，那么四边形的面
积为．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为． 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为，即，
那么．
【例 22】 如图， 中，，，互相平行，，
则．
【解析】 设份，根据面积比等于相似比的平方，
所以，，
因此份，份，
进而有份，份，所以
【巩固】如图，平行，且，，，求的长．
【解析】 由金字塔模型得，所以
B
E
AC EF AF EC N EF AC 2AC EF =BEF ABC 1
4
BEF 21111248??=AEFC 113
288
-=AEFC :1:2EF AC =221:12:12:21:2:2:4??=EFN 311
8122424
?=+++BENF 1118246+=11
1463
-?=11:3:223=3
2
m n =325m n +=+=ABC △DE FG BC AD DF FB ==::ADE
DEGF FGCB S S S =△四边形四边形E
G
F A D C
B
1ADE S =△22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△22
::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△4AFG S =△9ABC S =△3DEGF S =四边形5FGCB S =四边形::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形DE BC 2AD =5AB =4AE =AC A E
D C
B
:::2:5AD AB AE AC DE BC ===42510AC =÷?=
【巩固】如图， 中，，，，，互相平行，
，则
．
【解析】 设
份，，因此
份，进而有
份，同理有
份，份，份．
所以有
【例 23】 如图，已知正方形的边长为，是边的中点，是边上的点，且，与相交于点，求
【解析】 方法一：连接，延长，两条线交于点，构造出两个沙漏，所以有
，因此，根据题意有，再根据另一个沙漏有，所以
． 方法二：连接，分别求，，根据蝴蝶定理，所以．
【例 24】 如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点，
交于，求的面积．
【解析】 解法一：由题意可得，、是、的中点，得，而，
所以， 并得、是的三等分点，所以，所以
，所以，； 又因为，所以． 解法二：延长交于，如右图，
可得，，从而可以确定的点的位置，
，，(鸟头定理)，
ABC △DE FG MN PQ BC AD D F FM M P PB ====::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形1
ADE S =△22
::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△4
AFG S =△3DEGF S =四边形5FGNM S =四边形7MNQP S =四边形9PQCB S =四边形::::1:
ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形ABCD 4F BC E DC :1:3DE EC =AF
BE G ABG S △G
F
A
E
D
C B
M G
F
A
E
D
C
B
G
F
A
E
D
C
B
AE AF DC M ::1:1AB CM BF FC ==4CM =3CE =::4:7GB GE AB EM ==4432(442)471111
ABG ABE S S =
=??÷=+△△,AE EF 4224ABF S =?÷=△4441232247AEF S =?-?÷-?÷-=△::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△4432(442)471111
ABG ABE S S =
=??÷=+△△ABCD E F AB AD BF EC M BMG ?M
H
G
F E D C
B
A
A E F A
B AD //EF BD ::1:2FD B
C FH HC ==::1:2EB C
D BG GD ==::2:3CH CF GH EF ==G H BD BG GH =::2:3BG EF BM MF ==2
5
BM BF =11112224
BFD
ABD ABCD S S S ??==?= 13
BG BD =1212113535430BMG BFD
S S ??=??=??=CE DA I ::1:1AI BC AE EB ==M ::2:3BM MF BC IF ==25BM BF =1
3
BG BD =Q E G
N
M
F P
A D C
B
可得
【例 25】 如图，为正方形，且，请问四边形的面积为多
少？
【解析】 (法)由，有
，所以，又，所以 ，所以，所以占的，
所以．
(法)如图，连结，则(，
而，所以，()． 而()，因为， 所以，则()，阴影部分面积等于
()．
【例 26】 如右图，三角形中，，，求．
【解析】 根据燕尾定理得
（都有的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以
【点评】本题关键是把的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能
掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【巩固】如右图，三角形中，，，求.
2121115353430
BMG BDF ABCD S S S ??=
?=??= ABCD 1cm AM NB DE FC ====2cm MN =
PQRS C
A
C
A
1//AB CD MP PC MN DC
=2PC PM =MQ MB
QC EC =12MQ QC MC ==111236PQ MC MC MC =-=SPQR S AMCF S 1
6121(112)63
SPQR S =??++=2
(cm )2AE 14482
ABE S ?=??=2
cm )RB ER AB EF =2RB AB EF EF ==2216
8333
ABR ABE S S ??==?=2cm 1134322
MBQ ANS S S ??==???=2cm MN MP
DC PC =13MP MC =114
24233
MNP S ?=???=2cm 1642
33333
ABR ANS MBQ MNP S S S S ????--+=--+=2cm ABC :4:9BD DC =:4:3CE EA =:AF FB O F E
D
C
B
A
::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△AOB △:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△AOB △ABC :3:4BD DC =:5:6AE CE =:AF FB
【解析】 根据燕尾定理得
（都有的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以
【巩固】如右图，三角形中，，，求.
【解析】 根据燕尾定理得
（都有的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以
【点评】本题关键是把的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能
掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【例 27】 如右图，三角形中，，且三角形的面积是，则三角形
的面积为______，三角形的面积为________，三角形的面积为______．
【分析】 连接、、．
由于，所以，故； 根据燕尾定理，，，所以
，则，；
那么；
同样分析可得，则，，所以
，同样分析可得，
所以，．
【巩固】 如右图，三角形中，，且三角形的面积是，求三角形O F E
D
C
B
A
::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△AOB △:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△ABC :2:3BD DC =:5:4EA CE =:AF FB O F E
D
C
B
A
::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△AOB △:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△AOB △ABC :::3:2AF FB BD DC CE AE ===ABC 1ABE AGE GHI I H
G
F
E
D
C
B
A
I H
G F
E
D
C
B
A
AH BI CG :3:2CE AE =25AE AC =
22
55
ABE ABC S S ??==::2:3ACG ABG S S CD BD ??==::3:2BCG ABG S S CE EA ??==::4:6:9ACG ABG BCG S S S ???=419ACG S ?=9
19
BCG S ?=2248
551995
AGE AGC S S ??==?=9
19
ACH S ?=::4:9ACG ACH EG EH S S ??==::4:19ACG ACB EG EB S S ??==::4:5:10EG GH HB =::10:5:4AG GI ID =5521101055BIE BAE S S ??==?=5511
1919519
GHI BIE S S ??==?=ABC :::3:2AF FB BD DC CE AE ===GHI 1ABC
的面积．
【解析】 连接BG ，份
根据燕尾定理，，
得(份)，(份)，则(份)，因此,
同理连接AI 、CH 得
,,所以 三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19
【巩固】如图，中，，，那么的面积是阴影三角形面积的倍．
【分析】 如图，连接．
根据燕尾定理，，，
所以，，那么，． 同理可知和的面积也都等于面积的，所以阴影三角形的面积等于面积的
，所以的面积是阴影三角形面积的7倍．
【巩固】如图在中，,求的值．
【解析】 连接BG ,设1份，根据燕尾定理,,
得(份)，(份),则(份)，因此,同理连接AI 、CH 得,
I
H G F
E
D
C
B
A
I
H G F
E
D
C
B
A
AGC S △=6::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△4BGC S =△9ABG S =△19ABC S =△6
19AGC ABC S S =△△619ABH ABC S S =△△619BIC ABC S S =△△196661
1919
GHI ABC S S ---==△△ABC ?2BD D A =2CE EB =2AF FC =ABC
?B
C
C
B
AI ::2:1BCI ACI S S BD AD ??==::1:2BCI ABI S S CF AF ??==::1:2:4ACI BCI ABI S S S ???=22
1247
BCI ABC ABC S S S ???=
=++ACG ?ABH ?ABC ?2
7
ABC ?21
1377
-?=ABC ?ABC △12
DC EA FB DB EC FA ===GHI ABC △的面积
△的面积I
H
G F
E
D
C
B
A
I
H G F
E
D
C
B A
BGC S △=::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△2AGC S =△4ABG S =△7ABC S =△27AGC ABC S S =△△2
7
ABH ABC S S =△△
,所以 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.
【例 28】 如图，三角形的面积是，，，三角形被分成部分，请写
出这部分的面积各是多少?
【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，
CN ．
根据燕尾定理，，，设(份)，则
(份)，所以
同理可得，,,而，所以，．
同理，,所以，,,
【巩固】如图，的面积为1，点、是边的三等分点，点、是边的三等分点，那么四边
形的面积是多少？
【解析】 连接、、．
根据燕尾定理，，，
所以，那么，． 类似分析可得．
又，，可得．
那么，．
根据对称性，可知四边形的面积也为，那么四边形周围的图形的面积之和为
27BIC ABC S S =△△72221
77
GHI ABC S S ---==△△ABC 1BD DE EC ==CF FG GA ==ABC 99G
F
E D C
B
A
N M
Q
P
G
F E
D
C
B
A
::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△1ABP S =△1225ABC S =++=△1
5
ABP S =△27ABQ S =△12ABN S =△13ABG S =△2137535APQ S =-=△121
3721AQG S =-=△335BPM S =△121BDM S =△1239273570PQMN S =--=四边形139********MNED S =--=四边形1151321426NFCE S =--=四边形1115
321642
GFNQ S =--=四边形ABC ?D E BC F G AC JKIH K J
I H
A
B
C D E
F G
K
J
I H
A
B
C D E F
G
CK CI CJ ::1:2ACK ABK S S CD BD ??==::1:2ABK CBK S S AG CG ??==::1:2:4ACK ABK CBK S S S ???=111247ACK S ?=
=++11
321
AGK ACK S S ??==2
15
AGI S ?=::2:1ABJ CBJ S S AF CF ??==::2:1ABJ ACJ S S BD CD ??==1
4
ACJ S ?=1117
42184
CGKJ S =-=CEHJ 17
84
JKIH
，所以四边形的面积为．
【例 29】 右图，中，是的中点，、、是边上的四等分点，与交于，与交于，已知的面积比四边形的面积大平方厘米，则的面积是多少平方厘米？
【解析】 连接、．
根据燕尾定理，，，所以；
再根据燕尾定理，，所以，所以，那么
，所以． 根据题意，有，可得(平方厘米)
【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部
分面积.
【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！
令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP
⑴求：在中，根据燕尾定理，
设(份)，则(份),(份),(份),
所以，所以,,
所以,
同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是面积的
⑵求：在中，根据燕尾定理,
所以,同理
在中，根据燕尾定理,
172161228415370
CGKJ AGI ABE S S S ???++=
?++=JKIH 61917070-
=ABC △G AC D E F BC AD BG M AF
BG N ABM △FCGN 7.2ABC △N M G
A B
C
D E F
N
M
G
A B
C
D E
F CM CN ::1:1ABM CBM S S A
G GC ==△△::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△1
5
ABM ABC S S =△△::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△:4:3AN NF =1422437ANG AFC S S =?=+△△2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ??
=-=?=
???
△△△15
7.2528
ABC ABC S S -=△△336ABC S =
△G
C B
A
G
C
B
A
ADMI S 四边形ABC △::1:2
ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△1ABM S =△2CBM S =△1ACM S =△4ABC S =△14ABM ACM ABC S S S ==△△△11312ADM ABM ABC S S S ==△△△1
12AIM ABC S S =△△111
()12126
ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形ABC △1
6
DNPQE S 五边形ABC △::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△111133721
ADN ABN ABC ABC S S S S ==?=△△△△1
21BEQ ABC S S =△△ABC △::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△
六年级同步奥数培优——长正方体 1、下图是一个各面上依次标有1、 2、 3、 4、 5、6六个数字的正方体的三种不同摆法。问：这三种摆法左面上的数字和是多少？ 2、用棱长是1厘米的立方体拼成右图所示的立方体，求这个立体图形的表面是多少？ 3、用10块长7厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体积木拼成一个长方体，问这个长方体的表面积最小是多少？（第七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题） 4、一只小虫从右图长方体上的A点出发，沿长方体的表面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面，最后到达P点。请你为它设计一条最短的爬行路线。 5、有一个正方体，表面涂满红色，如果在它的每一个面上都均匀地切一刀，可得8个立方体；每个面上均匀地切两刀可行27个立方体；每个面上均匀地要3刀可得64个立方体。按此规律切下去，每个面上均匀地切n刀就可得（n+1）3个立方体。问每次切割后所得立方体中三面红色的有几个？两面红色的有几个？每一面都没有红色的有几个？
【拓展练习】 1、下图是由四个完全一样的正 方体拼成的长方体，每个正方体 的6个面按相同的次序涂有黑 色、白色、红色、黄色、蓝色、 绿色六种颜色。问：黑色的对面 涂的是什么颜色？红色的对面 涂的是什么颜色？ 2、把8个同样大小的小正方体拼成一个大正方体。已知小正方体的表面积是150平方厘米，大正方体的表面积是多少平方厘米？ 3、有一个棱长是3厘米的正方体，先从它的每个顶点处挖去一个棱长是1厘米的小正方体，再在它每个面的中央粘上一个棱长是1厘米的小正方体。所得物体的表面积是多少平方厘米？ 4、图中A的面积是15平方米，B的面积是25平方米，h是4米。现在把A处的土堆推到B处，使A、B两处同样高，这时B 处比原来升高了多少米？ 5、下左图是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从A点沿表面爬向B点。请画出蚂蚁爬行的最短路线。这样的路线共有几条？ 6、一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体。现从它的上面尽可能大的切下一个正方体。然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体。最后再从第二次剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ 7、将一个棱长为整数（单位：分米）的长方体6个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为1分米的小正方体。在这些小正方体中，6个面都没有涂红色的有12块，仅有2面涂红色的有28块，仅有1面涂红色的有多少块？原来长方体的体积是多少立方分米？
六年级数学培优补差工作总结 单位：晨阳路学校 姓名：郭盼盼 时间：2019年1月
六年级数学后进生转化工作总结 学困生对学习数学感到困难以致跟不上，因此组织后进生参加教师有目的性的活动，是大面积提高数学教学质量的一个有效途径，本学期我对培优补差工作十分重视。 转化学困生，教师应本着因材施教的原则，针对不同的情况，做好各类学生的思想教育和学业辅导工作，使他们都能得到适合于自己的提高和发展。一般来说，学生成绩差的原因是多方面的，第一是他们智力发展水平低，观察抽象、分析能力较差。第二是他们非智力因素方面也表现较差，求知欲低，学习信心不足，对数学学习态度不端正，没有兴趣。要做好传化学困生的学习的工作，教师必须深入了解他们落后的原因，针对他们的实际情况，从发展学困生的智力与非智力因素方面下功夫，有计划地介绍适应他们的学习方法，并从每个学习环节中做一系列的学法指导工作。 一、将学困生的非智力因素的培养放在首位。非智力因素在学习过程中起着动力性作用，不少学习差的学生，往往表现在缺乏学习数学的兴趣和克服困难的坚强意志。解决这个问题，除了教师经常关心接近他们，对它们进行引导和鼓励外，还要实实在在地给他们介绍一些培养兴趣的肺腑，锻炼意志的途径，提供一些他们能够享受学习乐趣的活动。 1、学困生自觉培养数学学习兴趣的操作方式。 阅读一些自己感到有意思的数学材料。有意识地欣赏数学中的简单、统一、对称、奇巧等美的特征。寻找和解决与自己有直接关系的数学问题。在游戏中学习数学。确定学习的小目标，并体会成功的喜悦。与自己喜欢的朋友一起解题看书，当看不懂教材时，试着抄一遍教材，慢慢将注意力集中在学习上。从听懂一节课，会解一道题做题，逐步对数学产生兴趣。 2、锻炼坚强的意志品质的操作方式。数学学习具有比其它学科更加困难，更需要付出艰苦努力，要求有更坚强的毅力和耐心。但学困生往往下定决心要好好学习，没多久就会被各种欲望而代替，使学习心思无法集中在学习上。因此我们给出下列锻炼意志的建议：将自己的誓言写在面前，确定一个目标，存有不达到目的不停止学习的理念，成功一次自我赞赏一次，从而逐步加长学习时间。突然改变主意的方法，当一个非学习的活动十分吸引自己时，突然告诫自己去学习，从而战胜自己原本的愿望，能够获取成功，则意味着自己已成了意志坚强的“巨人”。利用数学本身的特点培养自己的自觉性、坚韧性和自制性。学会严守计划，按时完成数学作业，养成自我检查、自我监督、自我鼓励等习惯。 二、智力因素的开发是学困生的当务之急。注意力不集中，记忆力差，想象力贫乏，使学困生付出与优生同等代价时，仍然难以将学习数学搞上去的真正原因。背同样一段数学法则，优生一两遍，学困生可能十多遍也无法记住，每遇到这样的情况，学困生会认为自己“天
同步奥数培优六年级上比比在实际的应用 集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]
第五讲比（比在实际的应用） 【知识概述】 “比”在实际生活中的应用十分广泛，解答关于“比”的问题时要及时沟通“比”和“分数”之间的联系，已知两个量的比，就是已知一个量是另一个量的几分之几，同时也知道了其中一个量是两个量之和的几分之几，从而把这类应用题转化为分数应用题来进行解答。 例题精学 例1一块长方形地的周长是20米，长与宽的比是3：2，它的面积是多少? 【思路点拨】长方形的周长是指两条长和两条宽的长度之和，用长方形的周长除以2，即20÷2=10（米），长方形的一条长和一条宽的和是10米，再把10米按3：2进行分配，分别求出长方形的长和宽，最后求出长方形的面积。 同步精练 1.一块长方形地的周长是80米，它的长和宽的比是3：2，这块长方形地的面积是多少平方米? 2.一个长方体棱长的和是144厘米，它的长、宽、高之比是4:3:2，长方体的体积是多少 3.有一个等腰三角形，它的两个角的度数之比是1：2，这个三角形按角分类可能是什么三角形（三角形内角和是180°）
例2 五（1）班男、女生人数比是12:11，又转来4名女生后，全班共有50人。求现在男、女生的人数比。 【思路点拨】求现在男、女生的人数比，就要用现在男生的人数比现在女生的人数。50-4=46（人），原来五（1)班有46人，再把46人按12:11进行分配，分别求出原来男、女生人数，“又转来4名女生”，现在男生的人教没有变，女生增加4人，求出现在女生的人数，最后求出所求问题。 同步精练 1.六年级（1）班男、女生人数比是3：2，又转来4名男生后，全班共有44人。求现在的男、女生人数比。 2.一杯盐水200克，其中盐与水的比是1：24，如果再放入4克盐，这时盐与水的比是多少? 3.两瓶油共重2.7千克。大瓶的油用去0.2千克后，剩下的油与小瓶内油的重量比是3：2。求大瓶子里原来装有多少千克油 例3 商店运来一批电视机，卖出18台，剩下的与卖出的比为4：3，共运来多少台电视机? 【思路点拨】“剩下的与卖出的比为4：3”，剩下的台数是4份，卖出的台数是3份， 一共是7份，电视机的总台数就是卖出的 34 3+ ，用18× 34 3+ =42(台），共运来42台。同步精练
六年级下册------圆柱和圆锥 圆柱和圆锥----表面积 例1、一个圆柱体木块，底面半径是6厘米，高是10厘米，现将它截成两个圆柱体小木块，则表面积要增加多少平方厘米？ 练习1、一个圆柱体木头，底面半径是8厘米，高是230厘米，现将它截成两段圆柱体小木头，则表面积要增加多少平方厘米？ 练习2、把一根直径20厘米的圆柱形木头锯成3段，表面积要增加多少? 例2、一个圆柱体，高减少2厘米，表面积就减少了18.84平方厘米，求这个圆柱的底面积是多少？ 练习1、一个圆柱体，高减少4厘米，表面积就减少75.36平方厘米，求这个圆柱体的底面积？ 练习2、一根长2米的圆柱形木头，截去2分米长的一段圆柱形小木块后，表面积减少了12.56平方分米，那么原来这根木头的体积是多少？ 例3、如下图高是10厘米，底面半径分别是3厘米和6厘米的两个圆柱组成的几何体，求这个物体的表面积？ 练习1、高都是2分米，底面半径分别是2分米和5分米的两个圆柱组成的几何体，求这个物体的表面积 练习2、如图由高是1米，底面半径分别是0.5米，1米和1.5米的三个圆柱组成的几何体，求这个物体的体积？ 例4、如图，在一个边长为4厘米的正方体的前后左右上下各面的中心位置挖去一个底面半径为1厘米，深1.5厘米的圆柱，求它的表面积？
练习1、在一个长为4厘米的正方体的前后左右上下各面的中心位置各挖去一个底面半径为1厘米，高为1厘米的圆柱，求它的表面积？ 练习2、在一个边长为3厘米的大立方体的顶部中央挖去一个边长为1厘米的小正方体，求挖去后这个物体的表面积？ 例5、一个圆柱体的表面积和长方形的面积相等，长方形的长等于圆柱体的底面周长，已知长方形的面积是251.2平方厘米，圆柱体的底面半径是2厘米，圆柱体的高是多少? 练习1、一个圆柱体的表面积和长方形的面积相等，长方形的长等于圆柱体的底面周长，已知长方形的面积是50.24平方厘米，圆柱体的底面半径是1,厘米，圆柱体的高是多少厘米？ 练习2、一个圆柱的表面积是314平方厘米，这个圆柱的底面半径是高的1 4 ，这个圆的侧面积是多少？ 例6、一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，它的表面积增加6.28平方厘米，如果沿着直径劈成两个半圆柱体，它的表面积将增加80平方厘米，求原圆柱体的表面积？练习1、一个圆柱体，如果沿着直径劈成两个半圆柱体，它的表面积将增加200平方厘米，如果截成两个小圆柱体，它的表面积增加25.2平方厘米，求原圆柱体的表面积？ 练习2、一个圆柱体，如果截成两个小圆柱体，它的表面积增加了12.56平方厘米，如果沿着直径劈成两个半圆柱体，它的表面积将增加100平方厘米，求圆柱体的表面积？ 例7、设计一个圆锥形的烟囱帽，底面的半径是40厘米，高是30厘米，需要材料多少平方厘米？ 练习1、将一块半径为10厘米的圆形铁片去掉 1 4 圆后，做成一个圆锥形的烟筒帽，此烟筒帽的底面半径是多少厘米？
6年级同步奥数培优
六年级同步奥数培优上 一、填空 1. 25 159）（＝＝0.3：（ ）＝（ ）％＝（ ）＝（ ）折＝（ ）成 2. 、一根长竹竿不到10米，从一头量到5米处作好记号A ，再从另一头量到5米处作好记号B ，这时AB 是全长的25%，竹竿长为（ ）米。 3.把一根长3 2米长的木料平均锯成5段，每段长（ ）米，每段长度是这根木料的） （）（ ，锯每段所用的时间是总时间的）（）（ 。 4．小明看一本320页的书，第一天读了整本书的41，第二天读了整本书的5 1，第三天应该从第（ ）页开始读。 5．30以内的质数中，有（ ）个质数加上2以后，结果仍然是质数。 6．把46块水果糖和38块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖剩1块，巧克力剩3块。这个组最多有（ ）位同学。 7．如右图，B 所表示的点为（2，2），C 表示的点为（5，2），并且长方形的面积为6，则点D 可以表示为（ ， ）。 8．已知a ＝b ×321＝2 1c ＝d ×1514，且a ，b ，c ，d 都不等于0，将a ，b ，c ，d 按从小到大的顺序排列：（ ）<（ ）<（ ） <（ ） 9．在右图中，圆的面积与长方形的面积是相等的，长方形的长是12.56厘米，圆的面积为（ ）平方厘米。 10．往30千克盐中加入 千克水，可得到含盐率为30％的盐 水。
11．用一批钢材，铸成等底、等高的数量相等的圆柱体和圆锥体零件若干个，铸圆锥体零件用的钢材占这批钢材的（ ）。 12．一根竹竿长不到6米，从一头量到3米处作一记号A ，再从另一头量到3米处作一记号B ，这时AB 的距离是全长的20％，竹竿的长度是（ ）米。 13一杯纯牛奶，喝了一半以后加满水，这时牛奶占整瓶溶液的 ％。 14．某人领得工资240元，有2元，5元，10元三种人民币共50张，其中2元和5元的张数一样多，那么10元的有（ ）张。 二、计算题。 1．用合理的方法计算。 765×213÷27＋765×327÷27 （2÷3＋3÷7＋5÷21）÷ 21 1÷0.28 2．求未知数。 72 48：＝x 15 6.2 1211：＝：x ）－（：＝：x 1 2 12721 214 三、选择题：（把正确答案的序号填在括号里） 1、一个圆和一个正方形的周长相等，他们的面积比较（ ） A 正方形的面积大 B 圆的面积大 C 一样大 2、把20克盐放入200克水中，盐和盐水的比是（ ） A 、1：10 B 、1：11 C 、10：1 D 、11：1 3、生产同样多的零件，小张用4小时，小李用了6小时，小李和小张的工效简 比是（ ）。 A 16 ：14 B 2：3 C 3：2 D 14 ：16
六年级下册数学思维培优训练及答案 一、培优题易错题 1．有这样一个数字游戏，将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字分别填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大．当数字3和4固定在图中所示的位置时，x代表的数字是________，此时按游戏规则填写空格，所有可能出现的结果共有________种． 【答案】2；6 【解析】【解答】根据题意知，x<4且x≠3，则x=2或x=1， ∵x前面的数要比x小，∴x=2， ∵每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大， ∴9只能填在右下角，5只能填右上角或左下角，5之后与之相邻的空格可填6、7、8任意一个，余下的两个数字按从小到大只有一种方法， ∴共有2×3=6种结果， 故答案为：2，6 【分析】根据题意得到x=2或x=1，由每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，得到x只能=2，9只能填在右下角，5只能填右上角或左下角，得到结果. 2．一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则这个自然数称为“智慧数”．比如：22-12=3，则3就是智慧数；22-02=4，则4就是智慧数． 从0开始第7个智慧数是________ ；不大于200的智慧数共有________ ． 【答案】8；151 【解析】【解答】解：（1）首先应该先找到智慧数的分布规律． ①∵02-02=0，∴0是智慧， ②因为2n+1=（n+1）2-n2，所以所有的奇数都是智慧数，③因为（n+2）2-n2=4（n+1），所以所有4的倍数也都是智慧数，而被4除余2的偶数，都不是智慧数． 由此可知，最小的智慧数是0，第2个智慧数是1，其次为3，4， 从5起，依次是5，7，8； 9，11，12； 13，15，16； 17，19，20… 即按2个奇数，一个4的倍数，三个一组地依次排列下去． ∴从0开始第7个智慧数是：8； 故答案为：8； （ 2 ）∵200÷4=50， ∴不大于200的智慧数共有：50×3+1=151． 故答案为：151．
第___讲巧解定义新运算 方法与技巧: （1）定义新运算是指用新的符号所定义的运算。解题时需要按它所规定的“运算程序”进行运算，直到得出最后结果。 （2）运算符号所表示的运算并不一是一种固定的算法，而是因题而异，不同的题目有不同的规定，我们应当严格按照题中规定进行运算。 例1:设a,b表示整数（不包括0），规定“*”的运算如下，并请求出169 * 13. a * b = a ÷ b × 2 + 3 × a - b 做一做1: 对于正整数a,b，规定“*”的运算如下：a * b = 3 × a + 2 × b – 2求：（1）10 * 20 （2）20 * 10 例2:用｛a｝表示a的小数部分，［a］表示不超过a的最大整数，例如｛0.3｝=0.3, ［0.3］=0, ［4.5］=4。记 做一做 2: 如果规定 =a × d – b × c,那么 例3:对于整数a,b，规定“*”的运算如下：a * b= a × b – a – b + 1,已知（2 * a）* 2=0，求a. 做一做 3: a * b表示a的3倍减去b的2倍，即a * b= 3 a - 2 b (1)计算（5 * 4）* 3；（2）已知x *（4 * x）=11,求x
例4:“◎”表示一种新的运算符号，已知：2◎3=2+3+4,7◎2=7+8；3◎5=3+4+5+6+7;… 按此规则，如果n◎8=68，那么，n是多少？ 做一做 4:规定：6 * 2 = 6 + 66 = 72 2 * 3 = 2 + 22 + 222 = 246 1 * 4 = 1 + 11 + 111 +1111 = 1234 按此规则，如果x * 5 = 86415，那么x是多少？ 例5：设“*”的运算规则如下：对任意整数a,b，若a + b≥10，则a * b = 2a + b – 1; 若a + b〈10，则a * b = 2ab。 求（1*2）+（2*3）+（3*4）+（4*5）+（5*6）+（6*7）+（7*8）+（8*9）+（9*10） 做一做5：对于任意正整数a,b,定义运算#如下：如果a,b同为奇数或同为偶数， 则a # b=（a + b）÷2;如果a,b的奇偶性不同，则a # b=（a + b + 1）÷2 求（1993 # 1994）#（1994 # 1995）#…#（1999 # 2000） 例6：任给一个数a,我们用[a]表示不超过a的最大整数，如果[4]=4，[7.9]=7等，则 做一做6：用整数4代替3.56，4与3.56的差0.44称为“误差”；用整数3代替3.56，误差是 3.56—3=0.56。下面五个数：2.48，2.53，2.61，2.67，2.71，它们的和为13。现在用五个整 数分别代替这五个数。要使五个整数之和仍为13，并且使“误差”尽可能小，问：这五个“误 差”之和是多少？
同步奥数培优（小学三年级） 第一讲除法（有余数的除法） 【知识概述】有40个小朋友在游乐园里坐船游玩，每条船坐6人，至少需要多少条船？有的学生说需要6条，有的学生说需要7条，就这样把今天的课题引出来了，学生列式计算。计算有余数的除法，可以按照四步进行：一、试商二、相乘三、相减四、比较（懂得余数要比除数小的道理）。本讲，我们就来研究余数的应用。 例题精学 例1一个数除以5，商是123，余数是3，这个数是多少？ 【思路点拨】在一道有余数的除法中，被除数=商×除数+余数，根据这一关系可以列出算式求出被除数。 同步精练 1.同学们做纸花，每6朵扎成一束，一共扎了103束，还多5朵，同学们一共 做了多少朵纸花？ 2.为了庆祝节日，学校要在6条走廊上挂彩灯，已知每条走廊上挂的彩灯一样 多，且彩灯的总数是最大的两位数，挂完后还多出3盏彩灯，每条走廊上挂了几盏彩灯？ 3.一道除法算式，被除数是最小的三位数，商是8，余数是4，这道除法算式的 除数是多少？ 例2算式□÷6=□......□中，不告诉被除数、商是多少，你能写出它的余数有哪几个吗？
【思路点拨】题目不告诉被除数和商，只告诉除数是6，要求写出余数。根据除法计算中每次除得的余数要比除数小，可知余数要比6小，比6小的数有0,1,2,3,4,5，其中余数为0时，我们说正好整除，没有余数，所以算式中的余数应是1,2,3,4,5共5个。 同步精练 1.算式□÷7=□......□中，不告诉被除数、商是多少，你能写出它的余数有哪几 个吗？ 2.算式□÷9=5......□中，被除数最大是几？最小是几？ 3.算式□÷□=13......8中，除数最小是几？被除数最小是几？
小学六年级数学培优题
一、分数乘法： 1、六楼的王大爷病了，小明帮王大爷送早餐， 从一楼走到二楼用了53 分钟，用同样的速度从一 楼到六楼王大爷家要用多少分钟？ 2、一位市场营销员从甲城坐火车到乙城。火车行了全程的一半时，营销员睡着了。他醒来时看了看路标，发现剩下的路程是他睡着前火车所行路程的31。想一想，这时火车行了全程的几分之几？ 3、观察左边的两个等式，找出规律，然后在右边等式的（ ）里填上合适的分数。 2 9+79=29×79 （ ）+4 7=（ ）×4 7 3 8+58=38×58 5 11+（ ）=5 11×（ ） 4、一袋食盐重0.5kg ，第一次用去了0.15kg ， 第二次用去了余下的73。哪次用的盐多？为什
么？ 5、有两袋大米，第一袋大米重20kg ，如果从第 二袋中取出52 kg 大米放入第一袋中，两袋大米就 同样重。这两袋大米一共重多少千克？（用两种不同方法解答） 6下面的（ ）里可以填的最大整数是多少？ （1）157×85＜)(7 （2）5 4×8)( ＜85 （3）9 8×6 )(＜32 （4）74 ×3 )( ＜1 7、一本书有120页，小敏第一天看了全书的83 ，第二天看的页数是第一天的32。两天一共看了多 少页？ 8、买电脑。原价是5000元，先降价101后，再涨价101，现价是多少元？ 9、六（1）班有学生54人，将六（1）班学生的 9 1调到六（2）班，那么两班人数相等。原来两个 班共有学生多少人？
10、用简便方法计算。 （1） 5 4×4+ 5 2×2+ 5 1×16 (2)20132012×2012 三、分数除法 1、如果x × 14 5 =y × 15 14=1，那么5x-2y= （ ）。 2五个连续奇数和的倒数是451，这五个奇数中最 大的奇数是多少？ 3、把一段长85米的钢管锯成若干相等的小段，一 共锯了4次，平均每段钢管长多少米？ 4、小马虎在计算一个数除以83时，看成了乘83，结果得到109，小马虎计算的那一道算式的正确结 果应该是多少？ 5、喝牛奶。一瓶纯牛奶200克，我第一次喝了4 1，
第四讲等差数列（一） 解题方法 若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。 【引例】:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。 计算等差数列的相关公式: （1）通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差 （2）项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1 （3）求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2 注：在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。 例题1 有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项 解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(25-4)÷ 3+1=8,所以这个数列共有8项。 引申 1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。 答：这个数列共有27项 2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项? 答: 这个数列共有19项 3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项? 答：这个等差数列共有29项。 例题2 有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少 解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第100项=2+(1OO-1)×5=497,所以这个等差数列的第100项是497。 引申 1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。答案：第30项是117。 2、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。答案: 第100项是299。 3、一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?答案：末项是49。 例题3 计算2+4+6+8+…+1990的和。 提示：仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差2，所以可以用等差数列的求和公式来求。 解：因为首项是2,末项是1990,公差是2,昕以,项数=(1990-2)÷2+1=995,再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2,解出2+4+6+8+… +1990=(2+1990)×995÷2=991020。 计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。 2、计算5+10+15+20+? +190+195+200的和。 3、计算100+99+98+…+61+60的和 例题4 计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990) 提示：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差数列相加，根据题意可以知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这需要我们求项数，按照这样的思路求得项数后，再运用求和公式即可解答。 解：被减数的项数=(1991-1)÷2+1=996，所以被减数的总和=(1+1991)×996÷2=992016;减数的项数=(l990-2)÷2+1=995,所以减数的总和=(2+1990)×995÷2=991020.所以原式=992016-991020=996。
第一讲长方体和正方体 （巧算长方体和正方体的表面积） 【知识概述】 同学们，我们已经知道长方体（或正方体）6个面的总面积，叫做它的表面积。在实际生产 和生活中，有时不需要计算6个面的总面积，只需要计算某几个面的总面积，解题时需要根据具体情况思考要求哪几个面的面积和，再进行计算。解答这类问题，不仅需要我们具备较扎实的基础知识和观察能力、作图能力和空间想象能力，还要掌握一些解题的方法和技巧。 例题精学 例1有一种无盖的玻璃鱼缸，长25厘米，宽20厘米，高15厘米，做这样一个鱼缸需要多少平方厘米的玻璃? 【思路点拨】这道题“做这样一个鱼缸需要多少平方厘米的玻璃”和求面积有关，解题时要看清楚这是一 个“无盖的玻璃鱼缸”，没有上面，只要求下面、前面、后面、左面、右面5个面的面积。 同步精练 1.一个无盖的长方体木箱长30厘米、宽20厘米、高10厘米。做这个木箱至少要用多少平 方分米铁皮? 2.一个正方体食品盒，棱长4分米，在它的四周贴一圈商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少是多少平方分米? 3.学校新建一个儿童游冰池，这个泳池长50米，宽25米，深1.6米，现在要用水泥抹四壁和底面，抹水泥部分是多少平方米？ 例2 两个棱长是2厘米的小正方体可以排成一个长方体，这个长方体的表面积是多少? 【思路点拨】先根据题意画图： 从图上可以清楚地看出：两个正方体原先各有6个正方形的面，当把它们拼起来时就少了2个正方形的面。这时，求长方体的表面积相当于求10个正方形的面积；还可以这样想；当两个正方体拼成一个长方体时， 求长方体的表面积，我们可以先分别求出这个长方体的长、宽、高，再求出它的表面积。 同步精练 1.把两个棱长是3厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少? 2.把底面积是36平方厘米的两个正方体木块拼成一个长方体，长方体的表面积是多少? 3.把两个棱长都是3厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了多少平方厘米? 第 1 页共 6 页
培优练习题 时间：80分钟姓名分数 一、填空题（6分×10=60分） 1.。 2.一项工程，甲队单独完成需要10天，乙队单独完成需要15天，丙队单独完成需要20天。 开始时三个队一起工作，中途甲队撤走，由乙、丙两个队一起完成剩下的工程。最后用6天时间完成该工程。那么甲队实际工作了天。 3.甲数比乙数大5，乙数比丙数也大5，而这三个数的乘积是6384，那么甲数是。 4.如图：在三角形ABC中，BD=BC，AE=ED，图中阴影部分的面积为250.75 平方厘米，则三角形ABC面积为__________平方厘米。 5.某厂向银行申请甲乙两种贷款共40万元，每年需支付利息5万元。甲种贷 款年利率为12%，乙种贷款年利率为14%。甲种贷款的金额是________万元，乙种贷款的金额是_______万元。 6.在358的后面补上三个数码组成一个六位数，使得它分别能被3、4、5整除，这样的六位 数中最小的是________。 7.写出5个不相同的自然数，使其中任意三个自然数的和能被3整除，这5个自然数的和至 少是_________。 8.已知一个圆柱体的侧面展开图恰好是一个边长为6.28厘米的正方形。这个圆柱体的体积 是_______立方厘米。 9.a、b、c、d、e是五个人的年龄数，已知a是b的2倍，c的3倍，d的4倍，e的6倍，
则a+b+c+d+e最小为________。 10.大货车和小轿车从同一地点出发沿同一公路行驶。大货车先走1.5小时，小轿车出发4小 时后追上了大货车，如果小轿车每小时多行5千米，出发后3小时就可追上大货车，小轿车实际每小时行_______千米。 二、解答题（10分×4=40分） 1.甲种酒精含纯酒精40%，乙种酒精含纯酒精36%，丙种酒精含纯酒精35%。将这三种酒 精混合在一起得到含纯酒精38.5的酒精11千克，已知乙种酒精比丙种酒精多3千克。那么甲种酒精有多少千克？ 2.某校参加一次数学竞赛的平均成绩是75分，选手中男生人数比女生人数多80%，而女生 比男生的平均分高20%，女生的平均分是多少？ 3.小明跑步速度是步行速度的3倍，他每天从家到学校都是步行，有一天由于晚出发10分 钟，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，这样与平时到达学校的时间一样，那么小明每天步行上学需要时间多少分钟？ 4．一艘轮船所带的柴油最多可以用6小时，驶出时顺风，每小时行30千米；驶回时逆风，每小时行24千米。这艘轮船最多驶出多少千米就应返航？
小学二年级数学奥数培优题全套已排版可直接 打印 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
二年级数学培优题全套 第一周 一、填一填 1、我们认识的长度单位有（）和（）。要知道物体的长度用（）来测量。量比较短的物体用（）作单位；量比较长的物体用（）作单位。测量铅笔长用（）作单位，测量学校操场用（）作单位 2、填上合适的单位（米或厘米） 爸爸的身高178（）小床的宽150（）铅笔长19（）教室的门高2（） 一棵大树高8（）课桌高70（）一根跳绳长约2（）粉笔盒的高约8（） 黑板的长大约是400（）。 3、童童的爸爸身高1米70厘米，童童的的身高130厘米，爸爸比童童高（）厘米。 4、从刻度8到17是（）厘米，算式是：（）； 从刻度2到18是（）厘米，算式是：（）。 5、在（）里写出所量物体的长度。 6、把一根木头锯成3段，要锯（）次；把一根木头锯成6段，要锯（）次。 二、比一比．在○里填上＜、＝、＞ 100厘米○1米45厘米○45米75厘米○1米； 200厘米○2米50厘米+60厘米○1米43米+8米○35米 三、算一算 31米+6米=23厘米-20厘米=2米-1米20厘米=3米15厘米-1米10厘米= 操作题。 1、①画一条比1厘米长2厘米的线段。②画一条比第一条长2厘米的线段。 2、在长方形纸上剪下一个三角形，剩下的是一个五边 形，怎样剪？ 3、在每两点间画一条线段，再数一数一共画了几条线 段。 （1）（2） （3） 三、应用题。 1.写字台高90()，椅子高45()。写字台比椅子高多少口答：写字台比椅子高()。 2.一根绳子已用去45厘米，还剩下55厘米。这根绳子原来是多少厘米合几米 3.春天到了，小青蛇从土里钻出来，我钻出地面的身体长6厘米，地下还藏着同样长的一段。你知道我的身体长几厘米吗？ 第二周 一、填空。 1、比30多8的数是（）。比36少3的数是（）。 2、56比48多（）。25比75少（）。 3、（）比40少12，38比（）多5. 4、笔算两位数加法，个位满十，要向（）位进1。 5、小丽家有公鸡15只，母鸡比公鸡多23只，母鸡有（）只，公鸡和母鸡一共有（）只。 6、62与33的和是（），62与33的差是（） 二、用竖式计算下面各题。 24+49+16=53—27+26=13+37-30=90-29-34= 三、完整解决问题。
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第一讲方程(解方程) 例1 ①14x-12=7x+23 ② 3x+4x-6=36-5x ③ 7*(x- 8)=31+4x 同步精练 ① 15x-10=8x+11 ② 5x+6x-6=36-3x ③ 9*(x- 4)=45+6x 例2 ① +8*4x= ② 37x=+12x ③ 23x-21=49+3x 同步精练 ① *4= ②③*3+4x=+3x 例3
第二讲方程(列方程解应用题) 例1 光明小学买2张桌子和5把椅子共付220元，每张桌子的价钱是每把椅子价钱的3倍，每张桌子和每把椅 子各多少钱 1．幼儿园买来花毛巾和白毛巾各40条，共用640元，已知花毛巾单价是白毛巾单价的3倍，一条花毛巾和一条白毛巾共多少元 2．买30于克精粉和70千克小米共付人民币312元，l千克精粉的价格是1千克小米价格的2倍，买精粉和小米各用去多少元 3．买10个排球和4个篮球共付510元，每个篮球比每个排球贵5元，篮球和排球的单价各是多少元 例2 有一群鸭，在河里的只数是岸上的3倍，如有26只鸭上岸，那么岸上的鸭子就与河里的鸭一样多。这群鸭 一共有多少只 1．甲筐有梨400个，乙筐有梨240个，现在从两筐取出相等数目的梨，剩下的梨数，甲筐恰好是乙筐的5倍，求两筐所剩的梨数各是多少
2．六(1)班与六(2)班原有图书一样多，后来六(1)班又买来新书38本，六(2)班从本班原有图书中取出72本送给一年级同学，这时六(1)班的图书是六(2)班的3倍，两班原有图书各多少本 3．有甲、乙两个班，如果从甲班调8个同学到乙班，则两个班人数相等。如果从乙班调8个同学到甲班，则甲班的人数就是乙班的2倍，甲乙两班各多少人 例3 生产一批零件，原计划10天完成，实际每天比原计划多生产42个零件，结果提前3天完成任务。这批零件有多少个 1．一辆汽车从甲地到乙地，原计划每小时行30千米，实际每小时比原计划多行10千米，结果比原计划提前2小时到达。甲乙两地相距多少千米 2．王宇从家到学校，如果每分钟走65米，就要迟到3分钟，如果每分钟走70米，就可以提前2分钟到校。王宇家到学校的路程是多少米 3．一辆车一天平均每小时行42千米，已知这辆车上午行了4小时，平均每小时行50千米，下午平均每小时行39千米，这辆车下午行丁几小时
第十二讲百分数（利润和折扣） 【知识概述】 利润和折扣是我们在日常生活的商品买卖中经常遇到的问题，常用的数量关系有： 定价=成本+利润 利润=售价一成本 利润率=（售价一成本）÷成本 售价=成本×（1+利润率） 成本=售价÷（1+利润率） 商品有时会打折出售，“几折”就表示十分之几，也就是百分之几十。 例题精学 例1 商店有作业本100本，每本成本为0.5元，按每本0.7元销售，可获利润多少元？利润率是百分之几？ 【思路点拨】先根据“利润=售价一成本”求出每本作业本的利润为：0.7-0.5=0.2(元），再乘100求出100本的利润：0.2×100=20(元）。利润率是指利润占成本的百分率，根据“利润率=（售价一成本）÷成 本”可以求出1本作业本的利润率，也就是100本作业本的利润率。因为被除数和除数同时扩大相同的倍数（0除外），商不变，所以1本作业本的利润率和100本作业本的利润率是相等的。 同步精练 1.一台电风扇，进货价是250元，售价是300元。这种电风扇卖出后所能获得的利润占成本的百分之几? 2.商店每卖出一本挂历，可获得利润1.元，已知每本挂历售价52元，这种挂历的利润率是百分之几？ 3.一种商品的利润率是20%。如果进货价降低20%，售出价保持不变，那么商品的利润率是百分之几？ 例2 红星商店购回一批商品，按20%的利润定价，然后打八折出售，结果亏损400元。这批商品的成本是多少元? 【思路点拔】把商品的成本看作单位“1”，则定价是成本的1+20%=120%，“打八折出售”就是按定价的80%
出售：120%×80%=96%，实际的售价是成本的96%，比成本少1-96%=4%，所以亏损的400元所对应的百分率是4%，400÷4%=10000(元），因此这批商品的成本是10000元。 同步精练 1.某商品按20%的利润定价，然后又打八折出售，结果亏损了64元。这种商品的成本是多少元？ 2.某种商品按定价卖出可得利润960元，若按定价的80%出售，则亏损832元。商品的购入价是多少元? 3.一种商品，商店先按20%的利润定价，然后按定价的90%出售，结果获利256元。这种商品的成本价是多少元? 例3商店以每双6.5元的价格购进一批凉鞋，售价为每双8.7元，卖到还剩200双时，除去购进这批凉鞋的成本外还获利20元。这批凉鞋共多少双? 【思路点拨】“商店以每双6.5元的价格购进一批凉鞋，售价为每双8.7元”，每双可获得的利润是2.2元。“卖到还剩200双时，除去购进这批凉鞋的成本外还获利20元”，如果用20元加上未卖出鞋的成本，就可求出卖出这批鞋获得的利润20+6.5×200=1320(元）。用获得的利润总教除以每双应得的利润，就可以求出已经卖出的双数，再加上剩下的200双，就是这批凉鞋的总数量：1320÷2.2+200=800（双）。 同步精练 1.一个小商店以每瓶6.5元的价格购进一批蜂蜜，售价7.4元，卖到还剩5瓶时，除成本外还获利44元。这批蜂蜜共进了多少瓶？ 2.商店以每双13元的价格购进一批凉鞋，售价为每双14.8元，卖到还剩5双时，除去购进这批凉鞋的成本外还获利88元。这批凉鞋共多？ 3.商店以每只2.8元的价格购进一批玩具熊，然后以每只3.6元的价格卖出。当卖出总数的之时，不仅收回了全部成本，还盈利24元。商店一共购进多少只玩具熊？ 例4商店进了一批钢笔，零售价10元卖出20支与零售价11元卖出15支的利润相同。这批钢笔的进货价是每支多少元？ 【思路点拨】这道题用方程解比较简便。根据“零售价10元卖出20支与零售价11元卖出15支的利润相同”可以得到这样一个等量关系：零售价10元卖出20支的利润=零售价11元卖出15支的利润，设这批钢笔的进货价是每支x元，再根据等量关系列方程解答。 同步精练
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 六年级数学培优版 第一讲简便运算学习目标：1、复习、巩固简便计算，熟练解决计算问题。 2、培养敏锐的观察能力和严密的逻辑思维能力。 3、在解题的过程中体验学习数学的乐趣。 衡阳个性化教育倡导者一、知识回顾1、填空。 （1） 5 ? 3 表示（ 74 ? 2 表示（ 93（2） 3 时=（）分518 分=（）；）；）时6 ? 5 表示（ 74 ? 2 表示（ 937 公顷=（ 20）平方米）。 ）。 150 m=（）Km25 cm=（）m60 g=（）Kg（3） 2 的倒数是（ 70.4 的倒数是（）1 3 的倒数是（8） 3.5 的倒数是（）6 的倒数是（））1的倒数是（）（4）把 4 米长的绳子平均剪成 8 段，每段长（）米，每段占全长的（）。 5（5）2.3 千克盐吃了 1 千克后，还剩下（）千克；2.3 千克盐如果吃了它的 1 ，剩下的是（）1010千克；（6）一个数与它倒数的和是 34 ,这个数与它倒数的差是 16 ，这个数和它的倒数分别是（）和1515（）。 （7）三个质数的倒数和为 103 ，这三个质数分别是（）、（）、（）。 1652、怎样简便就怎样算。 ( 7 ? 1) ? 60 12 58?8?8?8 99 9963 ?101 1007 ?101? 710101 1/ 161
二、例题辨析例 1、 6 ? 4 ? 3 ? 67 13 7 133 31 ? 25 32衡阳个性化教育倡导者25 3 ? 8 5练一练： 15 ? 3 ? 10 ? 3 ? 3 21 4 21 4 433 × 7 ＋4 ×33 8 11 11 899 4 ? 4 5例 2、 5 ? 1 ? 5 ? 2 ? 5 ? 6 6 1 3 9 13 18 13975? 0.25 ? 9 3 ? 76 ? 9.75 4练一练： 5 ? 79 16 ? 50? 1 ? 1 ? 59 179 9 173.5?1 1 ?1.25 ?1 1 ? 4425例 3、（1） 2000 ? 2000 2000 20012（2） 1993?199 4 ?1 1993 ?1992?1994
学而思培优小学奥数低年级试讲试题 1.四个小朋友去拍照，领头的是艾迪，如图所示艾迪必须站在排头，其他三个人薇儿、小明、小雅随便站，他们站队的方法有几种？ 艾迪薇儿小明小雅 2.下面方框可以填什么数，你有几种答案？ 1 91 3.小动物们举行动物运动会，在长跑比赛中有8只动物跑在小狗的前面，有9只动物跑在小狗的后面，一共有几只动物参加长跑比赛？ 4.6个同学做了红花12朵，做的红花比黄花少7朵，做黄花多少朵？做的红花和黄花一共有多少朵？ 5.请你数一数，下图中有多少个长方形？
6.有大小两桶一样多的油，如果从小桶倒9千克油到大桶中，则大桶中的油是小桶的4倍，那么原来大小两桶各有油多少千克？ 7.小东、小南和小北是好朋友，他们中一位是教师，一位是医生，一位是司机，现在只知道，小北比司机年纪大，小东和医生不同岁，医生比小南年龄小，请问：谁是教师，谁是医生，谁是司机？ 8.数一数，下面的图形各用几个方块堆成的？ 9.下面是一条用火柴棒摆成的鱼，头朝左，尾向右，请你移动2根火柴，使鱼头向下，尾向上． 10.果品店将每千克4元的酥糖5千克，每千克6元的水果糖2千克，每千克8元的牛奶糖5千克，混合成什锦糖，什锦糖每千克是多少元？
11.18位小朋友在一起吃饭，每人一个饭碗，2人一个菜碗，3人一个汤碗，请你算一算他们一共用了多少个碗？ 12.丁丁在期中考试时，语文、英语两科平均分是91分，数学比语文多2分，那丁丁语文和数学各得了多少分？ 13.将1,2,3,4,5,6，7这7个数分别填入圆圈中，使得每条直线上的3个数的和都等于10. 14.古代有孔融让梨的佳话，淘气的涛涛也要学他们，但是要在七个装有梨的盘子中取梨，每个盘子中分别装有1个，2个，3个，5个，6个，7个和9个梨.妈妈允许他从这些盘子中取出15个梨，但要求每个盘子中的梨要么都拿，要么都不拿.共有多少种不同的拿法？ 15.参加舞蹈表演的队伍中，第一排站有9个人，以后每排都少站一个人，如下图：算一算，参加舞蹈表演的一共有多少人？