一、选择题
1．已知x ＋y ＋1＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值是 A ．32 B.322 C ．2 3
D.233
解析 设P (x ，y )是x ＋y ＋1＝0上任一点，A (1,1)， 则(x －1)2＋(y －1)2＝|P A |， ∴(x －1)2＋(y －1)2≥|1＋1＋1|2
＝3
2 2. 答案 B
2．已知：函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是
A ．5
B ．7
C ．9
D ．10
解析 由题意可知，f (x )是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f (x )＝lg x ，则x ∈(0,10]，
画出两函数图象，则交点个数即为解的个数． 由图象可知共9个交点．
答案 C
3．(2011·佛山模拟)直线y ＝kx ＋3与圆? ????
x －322＋(y －3)2＝94相交于M ，N 两点，
若|MN |≥3
23，则k 的取值范围是
A.????
??
－34，0
B.??????
－33
，33
C ．[－3，3]
D.????
??－23，0
解析 如图，记题中圆的圆心为C ? ??
??
32，3，
作CD ⊥MN 于D ，则|CD |＝????
??32k 1＋k 2
，
于是有|MN |＝2|MD |＝2
|CM |2－|CD |2＝2
94－94k 21＋k 2≥
323，
即94－94k 21＋k 2≥2716，解得－33≤k ≤
33.故选B. 答案 B
4．已知f (x )＝log 2(x ＋1)，且a ＞b ＞c ＞0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )
c 的大小关系是 A.f (a )a ＞f (b )b ＞f (c )c B.f (c )c ＞f (b )b ＞f (a )a C.f (b )b ＞f (a )a ＞f (c )c
D.f (a )a ＞
f (c )c ＞f (b )b
解析 如图：
易知k OA ＝f (a )a ＜k OB ＝f (b )b ＜k OC ＝f (c )
c . 答案 B
5．关于方程3x ＋x 2＋2x －1＝0，下列说法正确的是
A．方程有两个不相等的负实根
B．方程有两个不相等的正实根
C．方程有一正实根，一零根
D．方程有一负实根，一零根
解析令y1＝3x，y2＝－x2－2x＋1＝2－(x＋1)2，
则方程的根即为两函数图象交点的横坐标．
由图象可知两个函数的图象有两个交点，一个恰好为0，另一个小于0，因此原方程有一负实根，一零根．故选D.
答案 D
6．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是
A．2 B．3
C.11
5 D.
37
16
解析如图，由抛物线定义知点P到x＝－1的距离即|PF|，由图知|PF|与点P
到l1的距离之和最小值即F到直线l1的距离，故最小值是|4×1－3×0＋6|
42＋(－3)2
＝2.故选
A.
答案 A
二、填空题
7．已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为________个． 解析 判断方程根的个数，就是判断图象y ＝a |x |与y ＝|log a x |的交点个数．
前者为偶函数，只需画出x ＞0的图象即可．
后者只要将对数函数的图象在x 轴下方的部分翻折上去即可． 根据两个函数图象，易知两图象只有2个交点． 答案 2
8．当0≤x ≤1时，不等式sin πx
2≥kx ，则实数k 的取值范围是________． 解析 ∵0≤x ≤1时，不等式sin πx 2≥kx 成立，设y ＝sin πx
2，y ＝kx ，做出两函数的图象，
∴由图象可知，
当k ≤1时，sin πx
2≥kx . 答案 k ≤1
9．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.
解析 因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －4)＝f (－x )，由f (x )为奇函数，所以函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0，由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f (x )＝m (m ＞
0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4，由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.
答案－8
三、解答题
10．若方程x2－4|x|＋5－m＝0恰有4个不同的实数解，试求实数m的取值范围．
解析设函数y1＝x2－4|x|＋5，函数y2＝m，
则方程x2－4|x|＋5＝m的实数解就是函数y1与y2图象交点的横坐标，
当方程x2－4|x|＋5＝m有4个不同的实数解时，
两个函数的图象应有4个不同的交点，在同一直角坐标系下分别画出两个函数的图象，如图所示，则得实数m的取值范围是1＜m＜5.
11．求y＝sin x＋2
cos x－2
的值域．
解析y＝sin x＋2
cos x－2
表示过两点P0(2，－2)，
P(cos x，sin x)的直线的斜率．
由于点P在单位圆x2＋y2＝1上，
显然，kP 0A ≤y ≤kP 0B .
由题可设过P 0的圆的切线方程为y ＋2＝k (x －2)， 则有
|2k ＋2|k 2＋1
＝1，解得k ＝－4±7
3， 即kP 0A ＝－4－73，kP 0B ＝－4＋7
3.
∴
－4－73≤y ≤－4＋73
， ∴所求的函数值域为??????
－4－73，
－4＋73.
12．已知定点A (0，t )(t ≠0)，点M 是抛物线y 2＝x 上一动点，A 点关于M 的对称点是N .
(1)求N 点的轨迹方程；
(2)设(1)中所求轨迹与抛物线y 2＝x 交于B 、C 两点，求当AB ⊥AC 时，t 的值． 解析 (1)设M (x 0，y 0)、N (x ，y )， 则x 0＝x ＋02，y 0＝y ＋t
2，
∴x 0＝x
2，y 0＝y ＋t 2适合方程y 2＝x ， 即(y ＋t )2＝2x (t ≠0)为所求轨迹方程．
(2)由???
(y ＋t )2
＝2x y 2＝x
得y 2－2ty －t 2＝0.
∵Δ＝8t 2＞0，∴交点存在． 设B (x 1，y 1)、C (x 2，y 2)， ∵AB ⊥AC ， 则k AB ·k AC ＝－1，
即y1－t
x1·
y2－t
x2＝－1，
∴(y1－t)(y2－t)＝－y21·y22，
即(y1y2)2＋y1y2－t(y1＋y2)＋t2＝0.
又y1＋y2＝2t，y1y2＝－t2，
∴t2＝2，∴t＝± 2.
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