一、选择题
1.已知x +y +1=0,则(x -1)2+(y -1)2的最小值是 A .32 B.322 C .2 3
D.233
解析 设P (x ,y )是x +y +1=0上任一点,A (1,1), 则(x -1)2+(y -1)2=|P A |, ∴(x -1)2+(y -1)2≥|1+1+1|2
=3
2 2. 答案 B
2.已知:函数f (x )满足下面关系:①f (x +1)=f (x -1);②当x ∈[-1,1]时,f (x )=x 2,则方程f (x )=lg x 解的个数是
A .5
B .7
C .9
D .10
解析 由题意可知,f (x )是以2为周期,值域为[0,1]的函数.又f (x )=lg x ,则x ∈(0,10],
画出两函数图象,则交点个数即为解的个数. 由图象可知共9个交点.
答案 C
3.(2011·佛山模拟)直线y =kx +3与圆? ????
x -322+(y -3)2=94相交于M ,N 两点,
若|MN |≥3
23,则k 的取值范围是
A.????
??
-34,0
B.??????
-33
,33
C .[-3,3]
D.????
??-23,0
解析 如图,记题中圆的圆心为C ? ??
??
32,3,
作CD ⊥MN 于D ,则|CD |=????
??32k 1+k 2
,
于是有|MN |=2|MD |=2
|CM |2-|CD |2=2
94-94k 21+k 2≥
323,
即94-94k 21+k 2≥2716,解得-33≤k ≤
33.故选B. 答案 B
4.已知f (x )=log 2(x +1),且a >b >c >0,则f (a )a ,f (b )b ,f (c )
c 的大小关系是 A.f (a )a >f (b )b >f (c )c B.f (c )c >f (b )b >f (a )a C.f (b )b >f (a )a >f (c )c
D.f (a )a >
f (c )c >f (b )b
解析 如图:
易知k OA =f (a )a <k OB =f (b )b <k OC =f (c )
c . 答案 B
5.关于方程3x +x 2+2x -1=0,下列说法正确的是
A.方程有两个不相等的负实根
B.方程有两个不相等的正实根
C.方程有一正实根,一零根
D.方程有一负实根,一零根
解析令y1=3x,y2=-x2-2x+1=2-(x+1)2,
则方程的根即为两函数图象交点的横坐标.
由图象可知两个函数的图象有两个交点,一个恰好为0,另一个小于0,因此原方程有一负实根,一零根.故选D.
答案 D
6.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是
A.2 B.3
C.11
5 D.
37
16
解析如图,由抛物线定义知点P到x=-1的距离即|PF|,由图知|PF|与点P
到l1的距离之和最小值即F到直线l1的距离,故最小值是|4×1-3×0+6|
42+(-3)2
=2.故选
A.
答案 A
二、填空题
7.已知0<a <1,则方程a |x |=|log a x |的实根个数为________个. 解析 判断方程根的个数,就是判断图象y =a |x |与y =|log a x |的交点个数.
前者为偶函数,只需画出x >0的图象即可.
后者只要将对数函数的图象在x 轴下方的部分翻折上去即可. 根据两个函数图象,易知两图象只有2个交点. 答案 2
8.当0≤x ≤1时,不等式sin πx
2≥kx ,则实数k 的取值范围是________. 解析 ∵0≤x ≤1时,不等式sin πx 2≥kx 成立,设y =sin πx
2,y =kx ,做出两函数的图象,
∴由图象可知,
当k ≤1时,sin πx
2≥kx . 答案 k ≤1
9.已知定义在R 上的奇函数f (x ),满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f (x )=m (m >0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x 1,x 2,x 3,x 4,则x 1+x 2+x 3+x 4=________.
解析 因为定义在R 上的奇函数,满足f (x -4)=-f (x ),所以f (x -4)=f (-x ),由f (x )为奇函数,所以函数图象关于直线x =2对称且f (0)=0,由f (x -4)=-f (x )知f (x -8)=f (x ),所以函数是以8为周期的周期函数,又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数,所以f (x )在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f (x )=m (m >
0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1<x2<x3<x4,由对称性知x1+x2=-12,x3+x4=4,所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.
答案-8
三、解答题
10.若方程x2-4|x|+5-m=0恰有4个不同的实数解,试求实数m的取值范围.
解析设函数y1=x2-4|x|+5,函数y2=m,
则方程x2-4|x|+5=m的实数解就是函数y1与y2图象交点的横坐标,
当方程x2-4|x|+5=m有4个不同的实数解时,
两个函数的图象应有4个不同的交点,在同一直角坐标系下分别画出两个函数的图象,如图所示,则得实数m的取值范围是1<m<5.
11.求y=sin x+2
cos x-2
的值域.
解析y=sin x+2
cos x-2
表示过两点P0(2,-2),
P(cos x,sin x)的直线的斜率.
由于点P在单位圆x2+y2=1上,
显然,kP 0A ≤y ≤kP 0B .
由题可设过P 0的圆的切线方程为y +2=k (x -2), 则有
|2k +2|k 2+1
=1,解得k =-4±7
3, 即kP 0A =-4-73,kP 0B =-4+7
3.
∴
-4-73≤y ≤-4+73
, ∴所求的函数值域为??????
-4-73,
-4+73.
12.已知定点A (0,t )(t ≠0),点M 是抛物线y 2=x 上一动点,A 点关于M 的对称点是N .
(1)求N 点的轨迹方程;
(2)设(1)中所求轨迹与抛物线y 2=x 交于B 、C 两点,求当AB ⊥AC 时,t 的值. 解析 (1)设M (x 0,y 0)、N (x ,y ), 则x 0=x +02,y 0=y +t
2,
∴x 0=x
2,y 0=y +t 2适合方程y 2=x , 即(y +t )2=2x (t ≠0)为所求轨迹方程.
(2)由???
(y +t )2
=2x y 2=x
得y 2-2ty -t 2=0.
∵Δ=8t 2>0,∴交点存在. 设B (x 1,y 1)、C (x 2,y 2), ∵AB ⊥AC , 则k AB ·k AC =-1,
即y1-t
x1·
y2-t
x2=-1,
∴(y1-t)(y2-t)=-y21·y22,
即(y1y2)2+y1y2-t(y1+y2)+t2=0.
又y1+y2=2t,y1y2=-t2,
∴t2=2,∴t=± 2.
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