四川省雅安中学2012-2013学年高三上期月考试题
数 学 试 题（理科）
（命题人：孙开荣 审题人：鲜继裕）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将答题卷和机读卡一并收回。
第Ⅰ卷 （选择题 ，共 60 分）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1设集合A={1,2,3,5,7}，B={x ∈Z|1 2x ≤0”的否定是 （ ） A 、不存在0x ∈R, 使得0 2x >0 B 、存在0x ∈R, 使得0 2x ≥0 C 、对任意的x ∈R, 使得2x ≤0 D 、对任意的x ∈R, 使得2x >0 3如图，网格纸的小正方形的边长是1， 在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个 多面体最长的一条棱的长为（ ） A 、23 B 、 3 C 、 43 D 、 2 4 执行右边的程序框图，输出的T=（ ） A 、29 B 、30 C 、31 D 、28 5 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列， 若2342,216a a a =+=，则n a 等于（ ） A 、22-n B 、32n - C 、12-n D 、n 2 6 已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ， 且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角为（ ） A ． 56 π B ． 23 π C ． 3 π D ． 6 π 7 在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos 2 x π的值介于0到2 1之间的概率为 ( ). A. 3 1 B. π2 C. 2 1 D. 3 2 8曲线e ()1 x f x x = -在0x =处的切线方程为（ ） A ．10x y --= B ．10x y ++= C ．210x y --= D ．210x y ++= 9圆 010442 2=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最 小距离的差是 （ ） A 2 5 B . 18 C . 2 6 D .36 10函数)6 cos( )2 (2 3x x Sin y -++ = π π 的最大值为（ ） 。 A 、4 13 B 、 4 13 C 、2 13 D 、13 11 已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”.现有定义在 (0,)+∞上的如下函数： ①1()f x x = ， ②2()f x x =， ③()e x f x =， ④()f x = ， 则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ） A ．①② B ．③④ C ．①②④ D ．②③④ 12直线y x =与函数2 2,,()42, x m f x x x x m >? =? ++≤?的图象恰有三个公共点，则实数 m 的取值范围是（ ） A ．[1,2)- B ．[1,2]- C ．[2,)+∞ D ．(,1]-∞- 第Ⅱ卷 （非选择题 ，共 90 分） 二、填空题（每题4分，共16分） 13已知i 为虚单位，则复数 2 21-+i i 的虚部为 。 14某单位为了了解用电量y （度）与气温x （°C ）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表： 由表中数据得线 性回归方程?y bx a =+中2b =-，预测当气温为4C -?时，用电量的度数约为 15已知1,10,220x x y x y ≥?? -+≤??--≤? 则22x y +的最小值是 16△ABC 中，它的三边分别为a,b,c,若A=120°，a=5，则b+c 的最大值为 三、解答题 17、（12分）已知向量m ＝? ???? 3sin x 4，1 ，n ＝? ??cos x 4，cos 2x 4. (1)若m·n ＝1，求cos ? ?? ?? 2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围. 18、（12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495】，（495，500】，……，（510，515】，由此得到样本的频率分布直方图，如图4 （1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量； （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列； （3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率。 19（12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥面ABC ，2,==⊥AC BC AC BC ， 13AA =，D 为AC 的中点. （Ⅰ）求证：11//BDC AB 面； B 1 B （Ⅱ）求二面角C BD C --1的余弦值； （Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得 1BDC CP 面⊥？请证明你的结论. 20在等比数列{a n } (n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n ；(3)试比较a n 与S n 的大小. 21．（ 12分）已知椭圆12 22 2=+ b y a x （0>>b a ）1， 短轴长为（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点， 若三角形O A B 的面积为4 ，求直线A B 的方程． 22、（14分）已知函数1 ()1ln a f x x x =- + （a 为实常数）。 （Ⅰ）当1a =时，求函数()()2g x f x x =-的单调区间； （Ⅱ）若函数()f x 在区间(0,2)上无极值，求a 的取值范围； （Ⅲ）已知n N *∈且3n ≥，求证: n+11111ln < + + ++ 3 3 4 5 n . 雅安中学2012-2013学年高三上期月 考试题 数 学 试 题（理科）参考答案 一选择题:1C 2D 3A 4B 5C 6B 7A 8D 9C 10C 11C 12A 二填空题：13 -1，14 68， 15 5， 16 3 310 三解答题：17（12分） 解 (1)m·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋1＋cos x 22 ＝sin ? ????x 2＋π6＋12，∵m·n ＝1，∴sin ? ????x 2＋π6＝12cos ? ???? x ＋π3＝1－2sin 2? ????x 2＋π6＝12，cos ? ????2π3x ＝－cos ? ????x ＋π3＝－12. (2) ∵(2a －c )cos B ＝b cos C ， 由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C .∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C ). ∵A ＋B ＋C ＝π ∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0.∴cos B ＝1 2 ， ∵0 2 ， sin ? ????A 2＋ π6∈? ????12，1. 又∵f (x )＝sin ? ??x 2π6＋12.∴f (A )＝sin ? ????A 2＋π6＋1 2 . 故函数f (A )的取值范围是? ???? 1，32. 18分析：（1）重量超过505克的产品数量是40(0.0550.015)12??+?=件； （2）Y 的所有可能取值为0，1，2； 2 2824063(0)130 C P Y C == = ，11 1228240 56(1)130 C C P Y C == = ，130 11)2(240 2 12= = =C C Y p ， Y 的分布列为 （3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概 率为 2312 28 540 1211 282726 21112312132140393837363719703 54321 C C C ???? ????= ==?????????。 19（本小题满分12分） （I ）证明：连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD ． …………1分 ∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点． 又D 是AC 的中点，∴OD//AB 1． ∵ AB 1?面BDC 1，OD ?面BDC 1，∴AB 1//面BDC 1． …………4分 （II ）解：如图，建立空间直角坐标系， 则C 1（0，0，0），B （0，3，2）， C （0，3，0），A （2，3，0）， D （1，3，0）， 1(0,3,2)C B = ， 1(1,3,0) C D = ， …………5分 设111(,,)n x y z = 是面BDC 1的一个法向量，则 110,0n C B n C D ?=??=?? 即1111320,30y z x y +=??+=?，取11(1,,)32 n =- . 易知1(0,3,0)C C = 是面ABC 的一个法向量. 1 11 2c o s ,7n C C n C C n C C ==-? . ∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为 27 . (8) 分 （III ）假设侧棱AA 1上存在一点P 使得CP ⊥面BDC 1. 设P （2，y ，0）（0≤y ≤3），则 (2,3,0)C P y =- ， 则110,0C P C B C P C D ?=??=?? ，即3(3)0,23(3)0 y y -=??+-=?. 解之3,73y y =?? ? =?? ∴方程组无解. ∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1. (12) 分 20（12分）(1)证明 ∵b n ＝log 2a n ， ∴b n ＋1－b n ＝log 2 a n ＋1 a n ＝log 2q 为常数， ∴数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q . (2)S n ＝9n －n 2 2 a n ＝25－n (n ∈N *) (3)解 显然a n ＝25－n >0， 当n ≥9时，S n ＝n (9－n ) 2 ≤0， ∴n ≥9时，a n >S n . ∵a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，a 6＝12，a 7＝14，a 8＝1 8 ， S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10，S 6＝9，S 7＝7，S 8＝4， ∴当n ＝3,4,5,6,7,8时，a n 解： （Ⅰ）由题意，2221a c b a b c ?-=?? =??=+?? -------1 分 解得1a c ==. ------------2 分 即：椭圆方程为 .12 3 2 2 =+ y x ------------3 分 （Ⅱ）当直线A B 与x 轴垂直时，AB = ， 此时AOB S ?= -----------4 分 当直线A B 与x 轴不垂直时，设直线 A B 的方程为：)1(+=x k y ， 代入消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=. ------------6分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2 1222 12262336 23k x x k k x x k ?-+=??+?-?=?+? ， -----------7分 所 以 23AB k = +. ------------9分 原点到直线的A B 距离d = 所以三角形的面积12 S AB d == 由2 24 S k k = ?=?=， 所以直线:0AB l y -+= 或: 0AB l y ++ =. ---------12 分 22 解 S n . 21（本小题满分12分）
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