第二章 函数概念与基本初等函数
专题2 函数的基本性质
【三年高考】
1. 【2016高考江苏11】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1-)上，
,10,
()2
,01,
5x a x f x x x +-≤
=?-≤
其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 . 2．【2017北京，文5】已知函数1()3()3
x x
f x =-，则()f x
（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数
3．【2017课标II ，文8】函数2
()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是
A.(,2)-∞-
B. (,1)-∞-
C. (1,)+∞
D. (4,)+∞ 4. 【2017山东，文10】若函数()e x
f x (e=2.71828
,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则
称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是
A . ()2x
f x -= B. ()2
f x x = C. ()3x
f x -= D. ()cos f x x =
5. 【2017天津，文8】已知函数||2,1,
()2
, 1.x x f x x x x +
=?+≥??
设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是
（A ）[2,2]-（B ）[23,2]-（C ）[2,23]-（D ）[23,23]-
6. 【2017课标II ，文14】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32
()2f x x x =+,
则(2)f = ________．
7. .【2017课标3，文16】设函数10()20x x x f x x +≤?=?>?，，，，
则满足1
()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________.
8.【2017山东，文14】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈- 时,()6x
f x -=,则f (919)= .
9．【2016年高考四川理数】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为
'2222
(
,)y x
P x y x y -++；
当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线'
C 定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题：
①若点A 的“伴随点”是点'
A ，则点'
A 的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”'
C 关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.
10．【2016高考山东理数改编】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3
()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，
()()f x f x -=-；当12x >
时，11
()()22
f x f x +=- .则f (6)= ． 11．【2016年高考北京理数】设函数错误！未找到引用源。 ①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.
12．【2016高考上海理数改编】设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，
对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，则命
题①②的真假是①为 ，②为 ．
13．【2016高考新课标2文数改编】已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则
1
=m
i i x =∑ ．
14．【2016高考四川文科】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x
f x =，则5
()(1)2
f f -+错误！未找到引用源。= .
15．【2014江苏，理10】已知函数2
()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数
m 的取值范围为 .
16.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】已知()f x 是定义在R 上的奇函数. 当0x >时，
2()4f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为 .
17．【2012江苏，理10】设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝1,10,2
,01,1
ax x bx x x +-≤
+?≤≤?+?其中a ，b ∈R .若13
(
)()22
f f =，则a ＋3b 的值为__________． 18．【2015高考山东，文8】若函数21
()2x x f x a
+=-是奇函数，则使3f x >（）成立的x 的取值范围为______.
12.【2015高考广东，理3改编】判断下列函数的奇偶性： ①x
e x y +=： ；②x x y 1+=： ；③x x
y 2
12+=： ；④21x y +=： ．
【2018年高考命题预测】
纵观2015－2017各地高考试题，对函数性质的考查是高考命题的主线索，不管是何种函数，都要与函数性质联系起来，主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性以及几方面的综合，高考中一般以选择题和填空的形式考查，或者结合导数研究函数性质的大题.单调性（区间）问题，热点有：（1）确定函数单调性（区间）；（2）应用函数单调性求函数值域（最值）、比较大小、求参数的取值范围、解（或证明）不等式；函数单调性，此部分知识在高考命题中以选择题和填空题的形式出现，或与导数结合出一个解答题，主要考查函数的单调性，求函数的单调区间，以及求函数值域（最值），确定参数范围，作为把关题存在.函数奇偶性与函数的周期性，此部分知识在高考命题中多以选择题和填空题的形式出现，一般难度不大，只要会判断简单函数的奇偶性，而函数的周期性，有时和数列结合出些周期数列问题，可用归纳推理得到.即对函数单调性的考察.在函数值的比较大小，求函数的值域，解相关的不等式方面有着重要的应用.对函数奇偶性的考察，一个是图形一个是方程的形式.对函数周期性的考察，周期性主要研究函数值有规律的出现，在解决三角函数里面体现的更明显．而且"奇偶性"+"关于直线x=k"对称，求出函数周期的题型逐年增加.2017
年函数性质的复习，首先要在定义上下功夫，其次要从数形结合的角度认识函数的单性质，深化对函数性质几何特征的理解和运用，同时要注意以下方面： 1.性质通过数学语言给出的
这类问题一般没有解析式，也没有函数方程，有的是常见的函数性质语言比如:单调递增，奇函数等等，它通常和不等式联立在一起考查，处理方式主要是通过它所给的性质画出函数的草图然后解决就可以了. 2.性质通过方程和不等式给出的
这类问题通常是考查的抽象函数有关问题，抽象函数因其没有解析式，其性质以方程（或不等式）给出而成为解题依据. 所以在解题时要搞清楚常见方程和不等式所告诉的含义是什么. 3. 性质通过解析式给出的
这类问题有解析式，但考虑的方向不是代人求值问题，而是通过观察解析的特点，从而得到函数的性质，用性质去解决相关问题，考虑的性质一般是先看看函数的对称性，再看看单调性，进一步作出相关的草图就可以解决了.[来源:学。科。网Z 。X 。X 。K]
【2018年高考考点定位】
高考对函数性质的考查有三种主要形式：一是考察单调性，可以从函数图象、单调性定义、导数来理解；二是考察奇偶性，要从图象和定义入手，尤其要注意抽象函数奇偶性的判断；三是对称性和周期性结合，用以考察函数值重复出现的特征以及求解析式.【考点1】函数的单调性 【备考知识梳理】
1.单调性定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为A . 区间A I ?.
如果对于区间I 内的任意两个值,,21x x 当12x x ＜时，都有12()(),f x f x ＜那么就说()y f x ＝在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x ＝的单调增区间．
如果对于区间I 内的任意两个值,,21x x 当12x x ＜时，都有)()(21x f x f >，那么就说()y f x ＝在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x ＝的单调减区间．
2.利用图象判断函数单调性：在定义域内的某个区间上，若函数图象从左向右呈上升趋势，则函数在该区间内单调递增；若函数图象从左向右呈下降趋势，则函数在该区间单调递减． 【规律方法技巧】
一．判断函数单调性的方法：
1. 定义及变形：设,,21x x 是函数()y f x ＝定义域内某个区间内的任意两个不等的自变量，若
1212(x )(x )0f f x x -<-，则函数在该区间内单调递减；若1212
(x )(x )
0f f x x ->-，则函数在该区间内单调递增.
常见结论: （1）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；
（2）函数()f x -与函数()f x 的单调性相反； （3）0k >时，函数()f x 与
()
k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；
0k <时，函数()f x 与
()
k f x 的单调性相同（()0f x ≠）.
二．单调区间的求法
1.利用基本初等函数的单调区间；
2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.
3.复合函数法：对于函数()y f g x =????，可设内层函数为()u g x =，外层函数为()y f u =，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相同，则函数()y f g x =????在区间D 上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数()y f g x =????在区间D 上单调递减.
4.导数法：不等式()0f x '>的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递增区间，不等式
()0f x '<的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递减区间.
【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接. 三．对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意1x 、
2x 在所给区间内比较()()12f x f x -与0的大小，或
()
()
12f x f x 与1的大小（要求()1f x 与()2f x 同号）．有时根据需要，需作适当的变形：如1
122
x x x x =?或()1122x x x x =+-等. 【考点针对训练】
1.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调增加，则1(21)()3
f x f -<的x 的取值范围 . 2.若函数2()2f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 .
【考点2】函数的奇偶性
【备考知识梳理】 1．函数的奇偶性的定义：
对于函数)(x f 定义域内定义域内任意一个x ，若有()()f x f x -=-，则函数)(x f 为奇函数；若有
()()f x f x -=，那么函数)(x f 为偶函数
2.奇偶函数的性质：
⑴ 定义域关于原点对称； ⑵ 偶函数的图象关于y 轴对称； ⑶ 奇函数的图象关于原点对称；
⑷ 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇． ⑸ ()f x 为偶函数()(||)f x f x ?=． ⑹ 若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． 【规律方法技巧】
1．利用定义判断函数奇偶性的步骤：
2．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式()x (x)0f f ＋－＝ (奇函数)或
()x (x)0f f -－＝ (偶函数))是否成立．
3．通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性．若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于y 轴对称，则函数是偶函数． 4．抽象函数奇偶性的判断方法：
(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现()()f x f x －，)； (2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；
(3)找出()f x -与()f x 的关系，得出结论．[来源:学#科#网]
5．已知函数的奇偶性求函数的解析式．
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式．
6．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用()f x f (x)0±－＝产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．
7．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 【考点针对训练】
1.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当x<0时，()2f x x =+，那么不等式()210f x -<的解集是 .
2.下列幂函数中：①1
2y x =；②2
y x -=；③43y x =；④13
y x =；其中既是偶函数，又在区间()0,+∞上单
调递增的函数是 .（填相应函数的序号）.
【考点3】周期性和对称性
【备考知识梳理】
[来源:https://www.doczj.com/doc/5e97748.html,]
1．周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x
＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．
2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )
的最小正周期．
3.关于函数周期性常用的结论
(1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； (2)若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1
()
f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；
(3)若函数满足1
()()
f x a f x +＝-
，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． （5）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=?．
（6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=?．
（7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=?． 【规律方法技巧】
1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π
|ω|计算．递
推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．
2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若
T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．
4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想． 【考点针对训练】
1.设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x +=，若(1)2f =，则(99)f = .
2．定义在R 上的函数()f x 满足 ()(2)f x f x -=-+，当1x >时，()f x 单调递增，如果122x x +>且
12(1)(1)0x x --<，则 12()()f x f x +与0的大小关系是 .
【两年模拟详解析】
1．【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】设函数()y f x =在是定义在R 上的周期为3T =的奇函数，若23
(1)1,(2)1
a f f a ->=
+，则实数a 的取值范围为． 2．已知错误！未找到引用源。是偶函数，则错误！未找到引用源。_________． 3．若函数()()12,2,{
log ,2
a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是__________．
4．设且
若定义在区间
内的函数
是奇函数，则
的取值范围是
________
5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f =. 若实数a 满足
()515log log f a f a ??
≥ ???
, 则实数a 的取值范围是____________．
6．设函数()1,0
{0,0 1,0
x f x x x >==-<, ()()2
1g x x f x =-，则函数()g x 的递减区间是________．
7．函数()y f x =是定义在R 上的增函数，函数()20y f x =-的图象关于点()20,0对称．若实数,x y 满足不等式()()
2268240f x x f y y -+-+<，则
y
x
的取值范围是_______． 8．若函数f(x)＝(x ＋a)(b x ＋2a)(常数a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式是f(x)＝________．
9．已知函数y ＝f(x)是偶函数，对于x∈R 都有f(x ＋6)＝f(x)＋f(3)成立．当x 1，x 2∈[0，3]，且x 1≠x 2时，都有
()()1212
f x f x x x -- >0，给出下列命题：
① f(3)＝0；
② 直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴； ③ 函数y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调递减函数；[来源:学科网ZXXK]
④ 函数y ＝f(x)在[－9，9]上有4个零点． 其中正确的命题是____________．(填序号)
10. 【淮宿连徐2016届高三第二次调研】定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0≥x 时，
b x a x x f +-++=)1()2(log )(2（a ，b 为常数），若1)2(-=f ，则)6(-f 的值为 ．
11．【淮阴中学2015-2016学年度第一学期期中考试】函数()()()13f x x x =--的单调减区间
是 .
12．【如东高级中学2016届高三上学期期中考试】设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上
单调递增，则满足不等式1(lg )10
x
f f <（）
的x 取值范围是________[来源:https://www.doczj.com/doc/5e97748.html,]
【一年原创真预测】
1.已知函数x x x x f cos 56sin 5)(+-=，则对任意实数)0(,≠+b a b a ，b
a b f a f ++)
()(与0的大小关系为
_______________.
2.若函数()f x 满足对任意x R ∈，都有()32f x f x ??
+
=- ???
，如图表示该函数在区间(2,1]-上的图像，则(2014)f ＋(2015)f ＝（ ）
3.已知R a ∈，若不等式ln 20a
x x x
-+->对于任意()1,x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围为________.