数学建模作业
(实验6 图论（组合优化）实验)
基本实验
1.设备更新问题
某公司需要对一台已经使用了2年的机器确定今后4年(n=4)的最优更新策略.公司要求，用了6年的机器必须更新，购买一台新机器的价格是100万元，表6.1给出了该问题的数据，请给出设备的更新策略。
解答
解：用图论知识来理解此题。
设用A，B…表示决策年度，用数字表示机龄，因此，第1年决策的节点就是A2，第2年只有两种可能，就是B3（第1年不更新）或B1(第1年更新)，以此类推。
LINGO程序
sets:
nodes/A2, B3, B1, C4, C2, C1, D5, D3, D2, D1,E6,
E4, E3, E2, E1, F/;
arcs(nodes, nodes)/ A2,B3 A2,B1
B3,C4 B3,C1 B1,C2 B1,C1
C4,D5 C4,D1 C2,D3 C2,D1 C1,D2 C1,D1
D5,E1 D5,E6 D3,E4 D3,E1 D2,E3 D2,E1 D1,E2 D1,E1
E6,F E4,F E3,F E2, F E1,F /: c, x;
endsets
data:
c = 17.3 -20.2 15.7 -30.2 18.4 -0.2 13.8 -50.2 17.3 -20.2 18.4 -0.2
12.2 -70.2 15.7 -30.2 17.3 -20.2 18.4 -0.2 5 30 50 60 80;
enddata
n = @size(nodes);
max = @sum(arcs: c * x);
@sum(arcs(i,j)| i #eq# 1 : x(i,j)) = 1;@for(nodes(i)| i #ne# 1 #and# i
#ne# n:@sum(arcs(i,j): x(i,j)) - @sum(arcs(j,i): x(j,i))=0);
@sum(arcs(j,i)| i #eq# n : x(j,i)) = 1;@for(arcs: @bin(x));
运行结果
Global optimal solution found.
Objective value: 139.0000
Objective bound: 139.0000
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 0
Model Class: PILP
Total variables: 25
Nonlinear variables: 0
Integer variables: 25
Total constraints: 17
Nonlinear constraints: 0
Total nonzeros: 75
Nonlinear nonzeros: 0
Variable Value Reduced Cost
N 16.00000 0.000000
C( A2, B3) 17.30000 0.000000
C( A2, B1) -20.20000 0.000000
C( B3, C4) 15.70000 0.000000
C( B3, C1) -30.20000 0.000000
C( B1, C2) 18.40000 0.000000
C( B1, C1) -0.2000000 0.000000
C( C4, D5) 13.80000 0.000000
C( C4, D1) -50.20000 0.000000
C( C2, D3) 17.30000 0.000000 C( C2, D1) -20.20000 0.000000 C( C1, D2) 18.40000 0.000000 C( C1, D1) -0.2000000 0.000000 C( D5, E1) 12.20000 0.000000 C( D5, E6) -70.20000 0.000000 C( D3, E4) 15.70000 0.000000 C( D3, E1) -30.20000 0.000000 C( D2, E3) 17.30000 0.000000 C( D2, E1) -20.20000 0.000000 C( D1, E2) 18.40000 0.000000 C( D1, E1) -0.2000000 0.000000 C( E6, F) 5.000000 0.000000 C( E4, F) 30.00000 0.000000 C( E3, F) 50.00000 0.000000 C( E2, F) 60.00000 0.000000 C( E1, F) 80.00000 0.000000 X( A2, B3) 1.000000 -17.30000 X( B3, C4) 1.000000 -15.70000 X( C4, D5) 1.000000 -13.80000 X( D5, E1) 1.000000 -12.20000 X( E1, F) 1.000000 -80.00000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 0.000000
3 0.000000 0.000000
4 0.000000 0.000000
5 0.000000 0.000000
6 0.000000 0.000000
7 0.000000 0.000000
8 0.000000 0.000000
9 0.000000 0.000000
10 0.000000 0.000000
11 0.000000 0.000000
12 0.000000 0.000000
13 0.000000 0.000000
14 0.000000 0.000000
15 0.000000 0.000000
16 0.000000 0.000000
17 0.000000 0.000000
18 0.000000 0.000000 由运行结果可得：
最佳的路径为A2-B3-C4-D5-E1-F，设备的最优更新策略应该是使用5年。
2.运输问题
有甲、乙和丙三个城市，每年分别需要煤炭320万吨、250万吨和350万吨，由A, B 两个煤矿负责供应.已知煤矿年产量A 为400万吨，B 为450万吨，从两煤矿至各城市煤炭运价如表6.2所示.由于需求大于供应，经协商平衡，甲城市在必要时可少供应0-30万吨，乙城市需求量须全部满足，丙城市需求量不少于270万吨。试求将甲、乙两矿煤炭全部分配出去，满足上述条件又使总运费最低的调运方案。
解答
解：根据题意可得：
煤矿的总需求为320+250+350=920；总产量为400+450=850；因此，增加一个虚拟产地C ，产量为70；
根据下面的模型可得LINGO 程序为：
n n
ij ij
i 1j 1n ij i j 1n ij i i 1ij C x s.t.x a i 1,2,3m
x
b i 1,2,3n
x 0
Min =====≤=??≥=??≥∑∑∑∑，，
LINGO 程序
sets :
From / A, B/: Capacity;
To/ C1, C2, C3/: Demand; Routes( From, To): D, x;
endsets
data:
Capacity =400,450;
Demand = 320,250,380 ;
D =15,18,22,21,25,16;
Enddata
min = @sum(Routes: D * x);
@for (From(i): [SUP] @sum (To(j): x(i,j)) <= Capacity(i));
@for (To(j): [DEM] @sum (From(i): x(i,j)) >= Demand(j));
运行结果
No feasible solution found.
Infeasibilities: 100.0000
Total solver iterations: 4
Model Class: LP
Total variables: 6
Nonlinear variables: 0
Integer variables: 0
Total constraints: 6
Nonlinear constraints: 0
Total nonzeros: 18
Nonlinear nonzeros: 0
Variable Value Reduced Cost CAPACITY( A) 400.0000 0.000000 CAPACITY( B) 450.0000 0.000000 DEMAND( C1) 320.0000 0.000000 DEMAND( C2) 250.0000 0.000000 DEMAND( C3) 380.0000 0.000000 D( A, C1) 15.00000 0.000000 D( A, C2) 18.00000 0.000000 D( A, C3) 22.00000 0.000000 D( B, C1) 21.00000 0.000000 D( B, C2) 25.00000 0.000000 D( B, C3) 16.00000 0.000000 X( A, C1) 150.0000 0.000000 X( A, C2) 250.0000 0.000000 X( B, C1) 170.0000 0.000000 X( B, C3) 380.0000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price SUP( A) 0.000000 6.000000 DEM( C1) 0.000000 -21.00000 DEM( C2) 0.000000 -24.00000 DEM( C3) 0.000000 -16.00000
由运行结果可得：
由A矿向甲乙丙三座城市的送矿量（万吨）为150、250、0；由B矿向甲乙丙三座城市的送矿量（万吨）为140、0、310。
此时总运输费最小为：
150*15+250*18+140*21+270*16+40*16+30*0+40*0=14650万元。
3.生产计划与库存管理
(1)某公司生产一种除臭剂，它在1至4季度的生产成本、生产量及订货量表4.3所示。如果除臭剂在生产当季没有交货，保管在仓库里除臭剂每盒每季度还需1元钱的储存费用。如果某个季度的货物供应量不足，则允许延期交货，延期交货的罚金是每盒每季度3元。请公司希望制定一个成本最低(包括储存费用和罚金)的除臭剂的生产计划，问各季度应生产多少?
(2)如果产品不允许延期交货，则公司考虑工人加班，已知加班生产出产品的成本要比原成本高出20%，且每季度加班最多生产2万盒。问：在这种情况下，将如何安排生产，使总成本最少?
解答
解：（1）根据题意可得：
设cij为从季度生产Ai到季度需求Bj的配送单价，xij为从季度生产Ai到季度需求Bj的运输量，因此总的费用为：
11m n ij ij i j c x
==∑∑
第i 个季度的运出量应该小于或等于该季度的生产量：
1m
ij i
j x a =≤∑
第j 个季度的运入量应该等于该季度的需求量：
1m
ij j
i x b =≤∑
LINGO 程序
sets :
Warehouse /1..4/: a;
Customer /1..4/: b;
Routes(Warehouse, Customer): c, x;
Endsets
data :
a= 13, 15, 15, 13 ;
b= 10, 14, 20, 8 ;
c = 5, 6, 7, 8,
8, 5, 6, 7,
12, 9, 6, 7,
15, 12, 9, 6;
Enddata
min = @sum (Routes: c * x);
@for (Warehouse(i): [SUP]
@sum (Customer(j): x(i,j))<= a(i));
@for (Customer(j): [DEM]
@sum (Warehouse(i): x(i,j))= b(j));
运行结果
Global optimal solution found.
Objective value: 294.0000
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 7
Model Class: LP
Total variables: 16
Nonlinear variables: 0
Integer variables: 0
Total constraints: 9
Nonlinear constraints: 0
Total nonzeros: 48
Nonlinear nonzeros: 0
Variable Value Reduced Cost A( 1) 13.00000 0.000000 A( 2) 15.00000 0.000000 A( 3) 15.00000 0.000000 A( 4) 13.00000 0.000000 B( 1) 10.00000 0.000000 B( 2) 14.00000 0.000000 B( 3) 20.00000 0.000000 B( 4) 8.000000 0.000000 C( 1, 1) 5.000000 0.000000 C( 1, 2) 6.000000 0.000000 C( 1, 3) 7.000000 0.000000 C( 1, 4) 8.000000 0.000000 C( 2, 1) 8.000000 0.000000 C( 2, 2) 5.000000 0.000000 C( 2, 3) 6.000000 0.000000 C( 2, 4) 7.000000 0.000000 C( 3, 1) 12.00000 0.000000 C( 3, 2) 9.000000 0.000000 C( 3, 3) 6.000000 0.000000 C( 3, 4) 7.000000 0.000000 C( 4, 1) 15.00000 0.000000 C( 4, 2) 12.00000 0.000000 C( 4, 3) 9.000000 0.000000 C( 4, 4) 6.000000 0.000000 X( 1, 1) 10.00000 0.000000 X( 1, 2) 3.000000 0.000000 X( 2, 2) 11.00000 0.000000 X( 2, 3) 4.000000 0.000000 X( 3, 3) 15.00000 0.000000 X( 4, 3) 1.000000 0.000000 X( 4, 4) 8.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price SUP( 1) 0.000000 2.000000
SUP( 2) 0.000000 3.000000 SUP( 3) 0.000000 3.000000 DEM( 1) 0.000000 -7.000000 DEM( 2) 0.000000 -8.000000 DEM( 3) 0.000000 -9.000000 DEM( 4) 0.000000 -6.000000
由运行结果可得：
第一季度生产13万盒，拿出10万盒满足第一季度要求，库存3万盒，不拖欠；第二季度生产15万盒，拿出11万盒，连同第一季度库存3万盒加起来为14万盒满足第二季度要求，库存4万盒，不拖欠；第三季度生产15万盒，全部拿出，连同第二季度库存4万盒加起来19万盒，拖欠1万盒；第四季度生产9万盒，还清第三季度拖欠1万盒，剩下8万盒满足第四季度需求。此方案下总成本最小，为294万元。
（2）根据题意可得：
如果考虑工人加班，可以将工人加班的费用视为除本季生产外为接下来其他季度供应货物的费用，只需将每季度生产量扩充2万盒即可。
LINGO程序
sets:
Warehouse /1..4/: a;
Customer /1..4/: b;
Routes(Warehouse, Customer): c, x;
Endsets
data:
a= 15, 17, 17, 15 ;
b= 10, 14, 20, 8 ;
c = 5, 6, 6, 6,
100000, 5, 6, 6,
1000000, 1000000, 6, 7.2,
1000000, 1000000, 1000000, 6;
Enddata
min = @sum(Routes: c * x);
@for(Warehouse(i): [SUP]
@sum(Customer(j): x(i,j))<= a(i));
@for(Customer(j): [DEM]
@sum(Warehouse(i): x(i,j))= b(j));
end
运行结果
Global optimal solution found.
Objective value: 288.0000
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 8
Model Class: LP
Total variables: 16
Nonlinear variables: 0
Integer variables: 0
Total constraints: 9
Nonlinear constraints: 0
Total nonzeros: 48
Nonlinear nonzeros: 0
Variable Value Reduced Cost A( 1) 15.00000 0.000000 A( 2) 17.00000 0.000000 A( 3) 17.00000 0.000000 A( 4) 15.00000 0.000000 B( 1) 10.00000 0.000000 B( 2) 14.00000 0.000000 B( 3) 20.00000 0.000000 B( 4) 8.000000 0.000000 C( 1, 1) 5.000000 0.000000 C( 1, 2) 6.000000 0.000000 C( 1, 3) 6.000000 0.000000 C( 1, 4) 6.000000 0.000000 C( 2, 1) 100000.0 0.000000 C( 2, 2) 5.000000 0.000000 C( 2, 3) 6.000000 0.000000 C( 2, 4) 6.000000 0.000000 C( 3, 1) 1000000. 0.000000 C( 3, 2) 1000000. 0.000000 C( 3, 3) 6.000000 0.000000 C( 3, 4) 7.200000 0.000000 C( 4, 1) 1000000. 0.000000 C( 4, 2) 1000000. 0.000000 C( 4, 3) 1000000. 0.000000 C( 4, 4) 6.000000 0.000000 X( 1, 1) 10.00000 0.000000 X( 1, 4) 5.000000 0.000000 X( 2, 2) 14.00000 0.000000 X( 2, 3) 3.000000 0.000000
X( 3, 3) 17.00000 0.000000 X( 4, 4) 3.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price SUP( 1) 0.000000 0.000000 SUP( 2) 0.000000 0.000000 SUP( 3) 0.000000 0.000000 DEM( 1) 0.000000 -5.000000 DEM( 2) 0.000000 -5.000000 DEM( 3) 0.000000 -6.000000 DEM( 4) 0.000000 -6.000000 由运行结果可得：
第一季度生产15万盒（2万盒为加班产出），拿出10万盒，满足第一季度需求，剩下5万盒库存至第四季度；第二季度生产17万盒（2万盒为加班产出），拿出14万盒，满足第二季度需求，剩下3万盒库存至第三季度；第三季度生产17万盒（2万盒为加班产出），连同第二季度库存共计20万盒，满足第三季度需求；第四季度生产3万，盒连同第一季度库存5万盒共计8万盒，满足第四季度要求。
此时可以将成本控制到最少288万元。
4.指派问题
某公司需要把4项工作派给4名工人，每名工人完成每项工作的费用如表6.4所示，其中工人甲不能完成工作C，工人丙不能完成工作D。
(1) 确定每名工人完成工作的最优方案；
(2) 假设有另外一名工人（戊）能完成这4项工作，完成每项工作相应费用分别为60、45、30和80元。是否用这名新工人（戊）替换原来的某位工人？
(3) 假设公司有了第5项工作(E)，4名工人（甲、乙、丙、丁）完成工作E的费用分别为20、10、20和80元。这项新工作E比原有的四项工作(A, B, C, D)的某一项优先吗？
解答
解：根据题意可得：
引入如下变量：
设变量为xij,表示第i 个人做第j 项工作时，xij=1，否则xij=0。因此，相应的线性规划问题为：
n n
ij ij
i 1j 1n ij j 1n
ij
i 1C x s.t.x 1i 1,2,3n
x 1j 1,2,3n i,j 1,2,3n
01,ij M x in =======??==??=??∑∑∑∑，或，
LINGO 程序
sets :
workers/w1..w4/;
jobs/j1..j4/;
links(workers,jobs): cost,volume;
endsets
min =@sum (links: cost*volume);
@for (workers(I):
@sum (jobs(J): volume(I,J))=1;
);
@for (jobs(J):
@sum (workers(I): volume(I,J))=1;
);
data :
cost= 50 50 100000 20
70 40 20 30
90 30 50 100000
70 20 60 70;
enddata
运行结果
Global optimal solution found.
Objective value: 140.0000
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 8
Model Class: LP
Total variables: 16
Nonlinear variables: 0
Integer variables: 0
Total constraints: 9
Nonlinear constraints: 0
Total nonzeros: 48
Nonlinear nonzeros: 0
Variable Value Reduced Cost COST( W1, J1) 50.00000 0.000000 COST( W1, J2) 50.00000 0.000000 COST( W1, J3) 100000.0 0.000000 COST( W1, J4) 20.00000 0.000000 COST( W2, J1) 70.00000 0.000000 COST( W2, J2) 40.00000 0.000000 COST( W2, J3) 20.00000 0.000000 COST( W2, J4) 30.00000 0.000000 COST( W3, J1) 90.00000 0.000000 COST( W3, J2) 30.00000 0.000000 COST( W3, J3) 50.00000 0.000000 COST( W3, J4) 100000.0 0.000000 COST( W4, J1) 70.00000 0.000000 COST( W4, J2) 20.00000 0.000000 COST( W4, J3) 60.00000 0.000000 COST( W4, J4) 70.00000 0.000000 VOLUME( W1, J4) 1.000000 0.000000 VOLUME( W2, J3) 1.000000 0.000000 VOLUME( W3, J2) 1.000000 0.000000 VOLUME( W4, J1) 1.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
2 0.000000 -10.00000
3 0.000000 -20.00000
4 0.000000 -40.00000
5 0.000000 -30.00000
6 0.000000 -40.00000
7 0.000000 10.00000
8 0.000000 0.000000
9 0.000000 -10.00000
由运行结果可得：
应该由甲来完成工作D，乙来完成工作C，丙来完成工作B，丁来完成工作A。此时总工作成本最小，为140元。
（2）根据题意加入一人戊后，问题模型变为5人完成4项工作，只需对Lingo模型稍作改动。
LINGO程序
sets:
workers/w1..w5/;
jobs/j1..j4/;
links(workers,jobs): cost,volume;
endsets
min=@sum(links: cost*volume);
@for(workers(I):
@sum(jobs(J): volume(I,J))<=1;
);
@for(jobs(J):
@sum(workers(I): volume(I,J))=1;
);
data:
cost= 50 50 100000 20
70 40 20 30
90 30 50 100000
70 20 60 70
60 45 30 80;
enddata
运行结果
Global optimal solution found.
Objective value: 120.0000
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 6
Model Class: LP
Total variables: 20
Nonlinear variables: 0
Integer variables: 0
Total constraints: 10
Nonlinear constraints: 0
Total nonzeros: 60
Nonlinear nonzeros: 0
Variable Value Reduced Cost COST( W1, J1) 50.00000 0.000000 COST( W1, J2) 50.00000 0.000000 COST( W1, J3) 100000.0 0.000000 COST( W1, J4) 20.00000 0.000000 COST( W2, J1) 70.00000 0.000000 COST( W2, J2) 40.00000 0.000000 COST( W2, J3) 20.00000 0.000000 COST( W2, J4) 30.00000 0.000000 COST( W3, J1) 90.00000 0.000000 COST( W3, J2) 30.00000 0.000000 COST( W3, J3) 50.00000 0.000000 COST( W3, J4) 100000.0 0.000000 COST( W4, J1) 70.00000 0.000000 COST( W4, J2) 20.00000 0.000000 COST( W4, J3) 60.00000 0.000000 COST( W4, J4) 70.00000 0.000000 COST( W5, J1) 60.00000 0.000000 COST( W5, J2) 45.00000 0.000000 COST( W5, J3) 30.00000 0.000000 COST( W5, J4) 80.00000 0.000000 VOLUME( W1, J4) 1.000000 0.000000 VOLUME( W2, J3) 1.000000 0.000000 VOLUME( W4, J2) 1.000000 0.000000 VOLUME( W5, J1) 1.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
2 0.000000 10.00000
3 0.000000 0.000000
5 0.000000 0.000000
6 0.000000 0.000000
7 0.000000 -60.00000
8 0.000000 -20.00000
9 0.000000 -20.00000
10 0.000000 -30.00000
由运行结果可得：
可以用这名新工人（戊）替换原来的某位工人，具体方案为：由甲做工作D，乙来做工作C，丁来做工作B，戊来做工作A，即戊要替换掉丙。此时总工作成本最小，为120元。（3）根据题意得，问题模型变成4人完成5项工作，只需对Lingo模型稍作改动。
LINGO程序
sets:
workers/w1..w4/;
jobs/j1..j5/;
links(workers,jobs): cost,volume;
endsets
min=@sum(links: cost*volume);
@for(workers(I):
@sum(jobs(J): volume(I,J))=1;
);
@for(jobs(J):
@sum(workers(I): volume(I,J))<=1;
);
data:
cost= 50 50 100000 20 20
70 40 20 30 10
90 30 50 100000 20
70 20 60 70 80;
enddata
运行结果
Global optimal solution found.
Objective value: 80.00000
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 5
Model Class: LP
Total variables: 20
Nonlinear variables: 0
Integer variables: 0
Total constraints: 10
Nonlinear constraints: 0
Total nonzeros: 60
Nonlinear nonzeros: 0
Variable Value Reduced Cost COST( W1, J1) 50.00000 0.000000 COST( W1, J2) 50.00000 0.000000 COST( W1, J3) 100000.0 0.000000 COST( W1, J4) 20.00000 0.000000 COST( W1, J5) 20.00000 0.000000 COST( W2, J1) 70.00000 0.000000 COST( W2, J2) 40.00000 0.000000 COST( W2, J3) 20.00000 0.000000 COST( W2, J4) 30.00000 0.000000 COST( W2, J5) 10.00000 0.000000 COST( W3, J1) 90.00000 0.000000 COST( W3, J2) 30.00000 0.000000 COST( W3, J3) 50.00000 0.000000 COST( W3, J4) 100000.0 0.000000 COST( W3, J5) 20.00000 0.000000 COST( W4, J1) 70.00000 0.000000 COST( W4, J2) 20.00000 0.000000 COST( W4, J3) 60.00000 0.000000 COST( W4, J4) 70.00000 0.000000 COST( W4, J5) 80.00000 0.000000 VOLUME( W1, J4) 1.000000 0.000000 VOLUME( W2, J3) 1.000000 0.000000 VOLUME( W3, J5) 1.000000 0.000000 VOLUME( W4, J2) 1.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
2 0.000000 -20.00000
3 0.000000 -20.00000
4 0.000000 -30.00000
5 0.000000 -20.00000
7 0.000000 0.000000
8 0.000000 0.000000
9 0.000000 0.000000
10 0.000000 10.00000
由运行结果可得：
新工作E的费用要比原有的工作费用低，所以优先级高。此时，具体方案为：甲完成工作D，乙完成工作C，丙完成工作E，丁完成工作B，总工作成本为80元。
5.油画制造
有一家油画公司有一些大型客户，它们一直有稳定的需求，此公司每周需要为这些客户制造5批油画，每批油画都完全相同。每批油画都在同一个制造过程中完成，所有批油画都要使用同一支调和画笔，在绘制两批油画之间必须清洗此画笔。第1到5批油画的绘制时间分别为40，35，45，32和50分钟。清洗时间取决于所使用的颜色和颜料类型。例如，如果在使用水性颜料使用油性颜料，或者在使用深色后使用浅色，则需要较长的清洗时间。下表中给出了清洗时间，其中数字表示在第i批油画之后绘制第j批油画所需的清洗时间。
由于此公司还有其他业务，因此希望尽量缩短完成这项每周固定的任务所需的时间（绘制时间和清洗时间）。那么应采取什么顺序绘制这些批次的油画？所指定的顺序将每周重复执行，因此总清洗时间中也应计入一周的最后一批油画与下周的第一批油画之间所需的清洗时间。
解答
解：该问题本质上是旅行商问题，解法如下：
假设该问题由油画1, 2, …,n组成，wij表示油画i到油画j之间的清洗时间，决策变量定义为：xij=1表示选择从油画i到油画j；xij=0表示不选择。
因此，相应的线性规划问题为：
i 111
11,2,,min 1,1,1
,,2,3,. ,
1, 2,, ,
, 1, 2,, .
..,,
0,1,2,...,,
01,n n
ij ij
j n ij i n ij j i j ij j ij w x x
x u u nx n i j i j n u j n x j n i n i j n =====?=?====-+≤-≠=≥=?=∑∑∑∑或 LINGO 程序
sets :
picture/A B C D E/: u;
link(picture, picture): w, x;
endsets
data :
w = 0 11 7 13 11
5 0 13 15 15
13 15 0 23 11
9 13 5 0 3
3 7 7 7 0 ;
enddata
n=@size (picture);
min = @sum (link: w * x);
@for (picture(k):
@sum (picture(i)| i #ne# k: x(i,k))=1;
@sum (picture(j)| j #ne# k: x(k,j))=1;
);
@for (link(i,j)|i #gt# 1 #and# j #gt# 1 #and# i #ne# j:
u(i)-u(j)+n*x(i,j)<=n-1;
);
@for (link: @bin (x));
运行结果
Global optimal solution found.
Objective value: 41.00000
Objective bound: 41.00000
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 40
Model Class: MILP
Total variables: 30
Nonlinear variables: 0
Integer variables: 25
Total constraints: 23
Nonlinear constraints: 0
Total nonzeros: 96
Nonlinear nonzeros: 0
Variable Value Reduced Cost N 5.000000 0.000000 U( B) 3.000000 0.000000 U( C) 1.000000 0.000000 U( E) 2.000000 0.000000 W( A, B) 11.00000 0.000000 W( A, C) 7.000000 0.000000 W( A, D) 13.00000 0.000000 W( A, E) 11.00000 0.000000 W( B, A) 5.000000 0.000000 W( B, C) 13.00000 0.000000 W( B, D) 15.00000 0.000000 W( B, E) 15.00000 0.000000 W( C, A) 13.00000 0.000000 W( C, B) 15.00000 0.000000 W( C, D) 23.00000 0.000000 W( C, E) 11.00000 0.000000 W( D, A) 9.000000 0.000000 W( D, B) 13.00000 0.000000 W( D, C) 5.000000 0.000000 W( D, E) 3.000000 0.000000 W( E, A) 3.000000 0.000000 W( E, B) 7.000000 0.000000 W( E, C) 7.000000 0.000000 W( E, D) 7.000000 0.000000 X( A, D) 1.000000 13.00000 X( B, A) 1.000000 5.000000 X( C, E) 1.000000 11.00000 X( D, C) 1.000000 5.000000 X( E, B) 1.000000 7.000000
数学建模实验答案-概率模型
实验10 概率模型（2学时） （第9章 概率模型） 1.（验证）报童的诀窍p302~304, 323（习题2） 关于每天报纸购进量的优化模型： 已知b 为每份报纸的购进价，a 为零售价，c 为退回价（a > b > c ），每天报纸的需求量为r 份的概率是f (r )(r =0,1,2,…)。 求每天购进量n 份，使日平均收入，即 1 ()[()()()]()()()n r r n G n a b r b c n r f r a b nf r ∞ ==+=----+ -∑∑ 达到最大。 视r 为连续变量，f (r )转化为概率密度函数p (r )，则所求n *满足 * ()n a b p r dr a c -= -? 已知b =, a =1, c =，r 服从均值μ=500（份），均方差σ=50（份）的正态分布。报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，这个最高收入是多少 [提示：normpdf, normcdf] 要求：
(1) 在同一图形窗口内绘制10 ()()n y n p r dr =?和2()a b y n a c -= -的图形，观察其交点。 [提示] 22 ()2()r p r μσ-- = ，0 ()()()n n p r dr p r dr p r dr -∞ -∞ =-?? ? ☆(1) 运行程序并给出结果： (2) 求方程0()n a b p r dr a c -= -?的根n *（四舍五入取整），并求G (n *)。
mu=500;sigma=50; a=1; b=; c=; r=n+1; while (a-b)*n*normpdf(r,mu,sigma)>1e-6 r=r+1; end r=n+1:r; G=sum((a-b)*n*normpdf(r,mu,sigma)); r=0:n; G=G+sum(((a-b)*r-(b-c)*(n-r)).*normpdf(r,mu,sigma)) ☆(2) 运行程序并给出结果： 2.（编程）轧钢中的浪费p307~310 设要轧制长l=的成品钢材，由粗轧设备等因素决定的粗轧冷却后钢材长度的均方差σ=，问这时钢材长度的均值m应调整到多少使浪费最少。 平均每得到一根成品材所需钢材的长度为 () () m J m P m = 其中， 2 2 () 2 ()(), () 2 x m l P m p x dx p xσ πσ - - ∞ == ? 求m使J(m)达到最小。 等价于求方程 () () z z z λ ? Φ =- 的根z*。 其中：
实验作业 对以下问题,编写M 文件: (1)用起泡法对10个数由小到大排序. 即将相邻两个数比较,将小的调到前头. (2)有一个4x5矩阵,编程求出其最大值及其所处的位置. (3)编程求 (4)一球从100米高度自由落下,每次落地后反跳回原高度的一半,再落下. 求它在第10次落地时,共经过多少米?第10次反弹有多高? (5)有一函数 ,写一程序,输入自变量的值,输出函数值. 解（1） 编写qipao.m 文件如下： function qipao(x) for j=1:10 for i=1:10-j if x(i)>x(i+1) t=x(i); x(i)=x(i+1); x(i+1)=t; end end end x 解（2） 编写maximum.m 文件如下： function maximum(x) t=max （max(x)) for i=1:4 for j=1:5 if t==x(i,j) i j end end end ∑=20 1!n n y xy x y x f 2sin ),(2++=
解(3) 编写jiehe.m文件如下所示： function jiehe(x) s=1; sum=0; for i=1:x s=s*i; sum=sum+s; end sum 解（4）: 编写high.m文件如下：function high(x) sum=0; high=100; for i=1:10 sum=sum+high; high=high/2; end high high=50; for i=1:9 sum=sum+high; high=high/2; end sum 解（5） 编写fun.m文件如下：function f=fun(x,y) f=x.^2+sin(x.*y)+2*y;
在下面的题目中选做100分的题目，给出详略得当的答案。 一.通过举例简要说明数学建模的一般过程或步骤。(15分) 答：建立数学模型的方法大致有两种，一种是实验归纳的方法，即根据测试或计算数据，按照一定的数据，按照一定的数学方法，归纳出系统的数学模型；另一种是理论分析的方法，具体步骤有五步（以人口模型 为例）： 1、明确问题，提出合理简化的假设：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息 2、建立模型：据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系。（查资料得出数学式子或算法）。 3、模型求解：利用数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要做出进一步的简化或假设。注意要尽量采用简单的数学公具。例如：马尔萨斯模型，洛杰斯蒂克模型 4、模型检验：根据预测与这些年来人口的调查得到的数目进行对比检验 5、模型的修正和最后应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，根据预测模型，制定方针政策，以实现资源的合理利用和环境的保护。 二.把一张四条腿等长的正方形桌子放在稍微有些起伏的地面上，通常只有三只脚着地，然而 只需稍为转动一定角度，就可以使四只脚同时着地，即放稳了。(1) 请用数学模型来描述和证明这个实际问题; (2)讨论当桌子是长方形时，又该如何描述和证明？(15分) 答： 模型假设： 1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触部分相对椅子所占的地面面积可视为一个点。 2．地面凹突破面世连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有向台阶那样的情况），即地面可看作数学上的连续曲面。 3．相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地。4．椅子四脚连线所构成的四边形是圆内接四边形，即椅子四脚共圆。 5．挪动仅只是旋转。 我们将椅子这两对腿的交点作为坐标原点，建立坐标系，开始时AC、BD这两对腿都在坐标轴上。将AC和BD这两条腿逆时针旋转角度θ。记AC到地面的距离之和为f(θ)。记BD到 地面的距离之和为g(θ)。易得f(θ)，g(θ)至少有一个为零。
《数学建模与数学实验》本科教学日历 数学建模部分 开设课程课程名称数学建模课程编号0701107 施教单位理学院 课内学时 总课时36 课程性质公共基础讲授课时28 修读要求选修实践课时8 选用教材教材名称数学建模教程出版社名称高等教育出版社 出版时间 及版次 2011年出版，第一版印刷时间2011年 其他情况 教学安排 班次授课对象及人数任教教员（指导教员）姓名及职称数学建模A 各专业本科学员 吴孟达教授 段晓君教授 毛紫阳讲师 王丹讲师 数学建模B 各专业本科学员 吴孟达教授 段晓君教授 毛紫阳讲师 王丹讲师 课次节 次 授课内容 教学 方法 采用现代化教学手段(课时) 多媒体电教双语网络实验 1 1 （1）什么是数学建模？数学建模的一般概念 （2）几个数学建模问题 讲授 1 2 （1）数学建模的一般步骤 （2）敏感问题调查案例 讲授 1 2 3 （1）行走步长问题 （2）雨中行走淋雨量最小问题 （3）道路是越多越通畅吗? 讲授 1 4 （1）有奖销售的抽奖策略问题 （2）“非诚勿扰”女生最佳选择问题 （3）网络文章流行度预测和招聘匹配 讲授 1 3 5 （1）线性规划模型基本概念 （2）整数规划模型 （3）0-1规划模型 讲授 1 6 （1）非线性规划 （2）多目标规划 讲授 1 4 7 （1）最短路算法 （2）最小生成树算法 讲授 1 8 （1）最大流算法 （2）PageRank算法 讲授 1 5 9 规划模型上机实践实践 1
课次节 次 授课内容 教学 方法 采用现代化教学手段(课时) 多媒体电教双语网络实验10 图论模型上机实践实践 1 6 11 （1）博弈模型基本概念 （2）Nash平衡和Pareto最优 （3）博弈论案例 讲授 1 12 （1）贝叶斯纳什均衡 （2）拍卖模型 讲授 1 7 13 社会选择理论中的选举问题数学模型-阿罗不可能定理讲授 1 14 越野长袍团体赛排名规则公平性问题讲授 1 8 15 军事作战模型-Lanchester作战模型讲授 1 16 自动化车床管理模型讲授 1 9 17 （1）“边际效应”基本概念 （2）实物交换模型，最佳消费模型、报童售报问题 讲授 1 18 （1）价格弹性模型 （2）合作效益的Shapley值分配模型 讲授 1 10 19 （1）聚类分析基本概念 （2）常用聚类算法 讲授 1 20 （1）方差分析基本概念 （2）单因素方差分析 （3）双因素方差分析 讲授 1 11 21 （1）主成分分析基本概念 （2）因子分析 讲授 1 22 （1）一元回归分析 （2）多元回归分析 （3）多元回归模型的检验与优化 讲授 1 12 23 聚类分析和方差分析上机实践实践 1 24 主成分分析和多元回归分析上机实践实践 1 13 25 （1）遗传算法基本思想 （2）算法步骤 讲授 1 26 遗传算法计算实例讲授 1 14 27 （1）模拟退火算法基本思想 （2）算法步骤 讲授 1 28 模拟退火算法计算实例讲授 1 15 29 （1）蚁群算法基本思想 （2）算法步骤 讲授 1 30 （1）数学建模中的计算机仿真 （2）不可召回的秘书招聘问题 （3）车灯光源优化设计 （4）生命游戏 讲授 1 16 31 遗传算法上机实践实践 1 32 模拟退火算法上机实践实践 1
数学建模协会寒假作业答案 【作业一】 某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由A 、B 、C 三个水库供应。四个区每天必须得到保证的基本生活用水分别为30，70，10，10千吨，但由于水源紧张，三个水库每天最多只能分别供应50，60，50千吨自来水。由于地理位置的差别，自来水公司从各水库向各区送水所需付出的引水管理费不同(见表1-1，其中C 水库与丁区之间没有输水管道)，其他管理费用都是450元／千吨。根据公司规定，各区用户按照统一标准900元／千吨收费。此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为每天50，70，20，40千吨。 问题一：该公司应如何分配供水量，才能获利最多? 的最大供水量都提高一倍，问那时供水方案应如何改变?公司利润可增加到多少? （灵敏度分析） 【答案】 分配供水量就是安排从三个水库向四个区送水的方案，目标是获利最多。而从题目给出的数据看，A 、B 、C 三个水库的供水量160千吨，不超过四个区的基本生活用水量与额外用水量之和300千吨，因而总能全部卖出并获利，于是自来水公司每天的总收人是900×(50+603-50)=144000元，与送水方案无关。同样，公司每天的其他管理费用为450×(50+60+50)=72000元，也与送水方案无关。所以，要使利润最大，只需使引水管理费最小即可。另外，送水方案自然要受三个水库的供应量和四个区的需求量的限制。 很明显，决策变量为A 、B 、C 三个水库(1,2,3i =)分别向甲、乙、丙、丁四个区(1,2,3,4j =)的供水量。设水库i 向j 区的日供水量为ij x 。由于C 水库与丁区之间没有输水管道，即340x =，因此只有11个决策变量。由以上分析，问题的目标可以从获利最多转化为引水费用最少，于是有： 111213142122 2324313233 min 160130220170140130190150190200230x x x x x x x x x x x =++++++++++ 约束条件有两类：一类是水库的供应量限制，另一类是各区的需求量限制。 1112131421222324313233506050x x x x x x x x x x x +++=+++=++=11213112223213233314243080 70140 1030 1050x x x x x x x x x x x ≤++≤≤++≤≤++≤≤+≤ LINGO 线性规划源程序如下所示：
数学建模实验报告
一、实验目的 1、通过具体的题目实例，使学生理解数学建模的基本思想和方法，掌握 数学建模分析和解决的基本过程。 2、培养学生主动探索、努力进取的的学风，增强学生的应用意识和创新 能力，为今后从事科研工作打下初步的基础。 二、实验题目 （一）题目一 1、题目：电梯问题有r个人在一楼进入电梯，楼上有n层。设每个 乘客在任何一层楼出电梯的概率相同，试建立一个概率模型，求直 到电梯中的乘客下完时，电梯需停次数的数学期望。 2、问题分析 （1）由于每位乘客在任何一层楼出电梯的概率相同，且各种可能的情况众多且复杂，难于推导。所以选择采用计算机模拟的 方法，求得近似结果。 （2）通过增加试验次数，使近似解越来越接近真实情况。 3、模型建立 建立一个n*r的二维随机矩阵，该矩阵每列元素中只有一个为1，其余都为0，这代表每个乘客在对应的楼层下电梯（因为每 个乘客只会在某一层下，故没列只有一个1）。而每行中1的个数 代表在该楼层下的乘客的人数。 再建立一个有n个元素的一位数组，数组中只有0和1,其中1代表该层有人下，0代表该层没人下。 例如： 给定n=8;r=6（楼8层，乘了6个人）,则建立的二维随机矩阵及与之相关的应建立的一维数组为： m = 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 c = 1 1 0 1 0 1 1 1 4、解决方法（MATLAB程序代码）：
n=10;r=10;d=1000; a=0; for l=1:d m=full(sparse(randint(1,r,[1,n]),1:r,1,n,r)); c=zeros(n,1); for i=1:n for j=1:r if m(i,j)==1 c(j)=1; break; end continue; end end s=0; for x=1:n if c(x)==1 s=s+1; end continue; end a=a+s; end a/d 5、实验结果 ans = 6.5150 那么，当楼高11层，乘坐10人时，电梯需停次数的数学期望为6.5150。 （二）题目二 1、问题：某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6 千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千 克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人 150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何 安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨 论: 1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资. 2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划. 2、问题分析 （1）题目中共有3个约束条件，分别来自原料量、工人数与甲饮料产量的限制。 （2）目标函数是求获利最大时的生产分配，应用MATLAB时要转换
实验02 初等模型（4学时） （第2章初等模型） 1.（编程）光盘的数据容量p23~27 表1 3种光盘的基本数据 CAV光盘：恒定角速度的光盘。 CLV光盘：恒定线速度的光盘。 R2=58 mm, R1=22.5 mm，d, ρ见表1。
CLV光盘的信息总长度(mm) L CLV 22 21 () R R d π- ≈ CLV光盘的信息容量(MB) C CLV = ρL CLV / (10^6) CLV光盘的影像时间(min) T CLV = C CLV / (0.62×60) CAV光盘的信息总长度(mm) L CAV 2 2 2 R d π≈ CAV光盘的信息容量(MB) C CAV = ρL CAV / (10^6) CAV光盘的影像时间(min ) T CAV = C CAV / (0.62×60) 1.1（验证、编程）模型求解 要求： ①（验证）分别计算出LCLV, CCLV和TCLV三个3行1列的列向量，仍后输出结果，并与P26的表2（教材）比较。 程序如下：
②（编程）对于LCAV, CCAV和TCAV，编写类似①的程序，并运行，结果与P26的表3（教材）比较。 ★要求①的程序的运行结果： ★要求②的程序及其运行结果：
1.2（编程）结果分析 信道长度LCLV 的精确计算：21 2R CLV R L d π=? 模型给出的是近似值：2221() CLV R R L L d π-= ≈ 相对误差为：CLV L L L δ-= 要求：
①取R2=58 mm, R1=22.5 mm，d, ρ见表1（题1）。 分别计算出LCLV, L和delta三个3行1列的列向量，仍后将它组合起来输出一个3行3列的结果。 ②结果与P26的表2和P27（教材）的结果比较。 [提示] 定积分计算用quad、quadl或trapz函数，注意要分别取d的元素来计算。要用数组d参与计算，可用quadv（用help查看其用法）。 ★编写的程序和运行结果： 程序：
数学建模与数学实验课程总结与练习内容总结 第一章 1.简述数学建模的一般步骤。 2.简述数学建模的分类方法。 3.简述数学模型与建模过程的特点。 第二章 4.抢渡长江模型的前3问。 5.补充的输油管道优化设计。 6.非线性方程（组）求近似根方法。 第三章 7.层次结构模型的构造。 8.成对比较矩阵的一致性分析。 第五章 9.曲线拟合法与最小二乘法。 10 分段插值法。 第六章 11 指数模型及LOGISTIC模型的求解与性质。 12.VOLTERRA模型在相平面上求解及周期平均值。 13 差分方程（组）的平衡点及稳定性。 14 一阶差分方程求解。 15 养老保险模型。
16 金融公司支付基金的流动。 17 LESLLIE 模型。 18 泛函极值的欧拉方法。 19 最短路问题的邻接矩阵。 20 最优化问题的一般数学描述。 21 马尔科夫过程的平衡点。 22 零件的预防性更换。 练习集锦 1. 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是成对比较矩阵 31/52a b P c d e f ?? ??=?????? ，（1）确定矩阵P 的未知元素。 （2）求 P 模最大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取0.58）。 2. 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是三阶成对比较矩阵 322P ? ???=?????? ，（1）将矩阵P 元素补全。 （2）求P 模最 大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受。 3.考虑下表数据
(1)用曲改直的思想确定经验公式形式。 （2）用最小二乘法确定经验公式系数。 4.. 考虑微分方程 (0.2)0.0001(0.4)0.00001dx x xy dt dy y xy dt εε?=--????=-++?? （1）在像平面上解此微分方程组。（2）计算0ε=时的周期平均值。（3）计算0.1ε=时，y 的周期平均值占总量的周期平均值的比例增加了多少？ 5考虑种群增长模型 '()(1/1000),(0)200x t kx x x =-= （1）求种群量增长最快的时刻。（2）根据下表数据估计参数k 值。 6. 布均匀，若环保部门及时发现并从某时刻起切断污染源，并更新湖水（此处更新指用新鲜水替换污染水），设湖水更新速率是 3 (m r s 单位：）。 （1） 试建立湖中污染物浓度随时间下降的数学模型？ 求出污染物浓度降为控制前的5%所需要的时间。 7. 假如保险公司请你帮他们设计一个险种:35岁起保,每月交费400元,60岁开始领取养老金,每月养老金标准为３６００元，请估算该保险费月利率为多少（保留到小数点后５位）？ 8. 某校共有学生40000人，平时均在学生食堂就餐。该校共有,,A B C 3 个学生食堂。经过近一年的统计观测发现：A 食堂分别有10%，25%的学生经常去B ，C 食堂就餐，B 食堂经常分别有15%，25%的同学去
1、高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳 万元，可使用的金属板有500t，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号为100万元，中号为150万元，大号为200万元，现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大， max=4*x1+5*x2+6*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; 1*x1+2*x2+3*x3<=100; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); y1+y2+y3>=1; Global optimal solution found. Objective value: 300.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 0.000000 X2 0.000000 3.000000 X3 0.000000 6.000000 Y1 1.000000 100.0000 Y2 0.000000 150.0000 Y3 0.000000 200.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 300.0000 1.000000 2 300.0000 0.000000 3 100.0000 0.000000 4 0.000000 4.000000 5 0.000000 0.000000
数学建模与数学实验试卷及答案 二、本题10分(写出程序和结果) 蚌埠学院2010—2011学年第二学期 2,x在 [-5 ，5] 区间内的最小值，并作图加以验证。求函数yxe,，,3《数学建模与数学实验》补考试卷答案 f1=inline('x.^2 +exp(-x)-3') 注意事项:1、适用班级:09数学与应用数学本科1,2班 2、本试卷共1页，附答题纸1页。满分100分。 x=fmin(f1,-5,5) 3、考查时间100分钟。 y=f1(x) 4、考查方式:开卷 fplot(f1,[-5,5]) 一、填空:(每空4分，共60分) x = 0.3517，y== -2.1728 123111,，，，， ,,,,三、本题15分(写出程序和结果) 1. 已知，，则A的秩为 3 ，A的特征值为 A,612B,234,,,, ,,,,,215531,，，，，360000xx，,,12,max2.5fxx,，求解:， stxx..250000，,,1212-1.9766 4.4883 + 0.7734i 4.4883 - 0.7734i ，若令 A([1,3],:)= B([2,3],:)，则,x,150001,A(2,:)= 6 1 2 ; 解: xxx，，,22,123,model: 2. 的解为 1.25 ,0.25 0.5 ; xxx，，,521,123max=2.5*x1+x2; ,242xxx，，,123,3*x1+x2<=60000; 装订线内不要答题 2*x1+x2<=50000; 3. 将1234521 分解成质因数乘积的命令为_factor(sym(‘1234521’)),
1、（模糊聚类）已知我国31个省农业生产条件的5大指标数据。 五大指标的数据 （1）作聚类图。并告知分5类时，每一类包含的省份名称（列表显示）。 （2）若分为3类，问相似水平（就是阈值）不能低于多少 解：新建,将全部数据存入该,打开MATLAB,在命令窗口输入： >>datastruct=importdata('') 检查一下数据是否导入正确： >> %这里是31*5的数值矩阵 >>datastruct.textdata%这里是31*1的省名称文本矩阵 >>fuzzy_jlfx(3,5, %调用网站所给的模糊数学聚类程序包
9 311.000.83 0.67170.93 1 150.91 2130.91 3290.91 4260.90 5110.89 6190.89 7100.89860.88 9310.88 10160.88 11120.87 12210.8713180.87 14230.85 15220.85 16200.8517140.84 18300.83 19270.83 2070.83 21280.82 22250.82 23240.81 2480.80 2550.79 2640.79 2730.76 2820.74 2910.67 30 根据编号代表意义，可知分5类时的省份编号为： 第一类：9、上海 第二类：1、北京 2、天津 第三类：3、河北 第四类：4、山西 第五类：其余省市自治区都属于第五类 （2）若分成3类，由聚类图可知阈值应在（,）内。 2、（模糊评价）对某水源地进行综合评价，取U 为各污染物单项指标的集合，取V 为水体分级的集合。可取U(矿化度，总硬度，NO3-，NO2-，SO42-)，V （I 级水，Ⅱ级水，Ⅲ级水，Ⅳ级水，V 级水）。现得到该水源地的每个指标实 I 级水 Ⅱ级水 Ⅲ级水 Ⅳ级水 V 级水 矿化度 0 0 0 总硬度 0 0 0 硝酸盐 0 0 0 亚硝酸盐 0 0 0 硫酸盐 几级水 解：在matlab 命令窗口内输入数据： >> V=[0 0 0; 0 0 0; 0 0 0; 0 0 0; 0 0 0]; >> A=[,,,,]; >> fuzzy_zhpj(2,A,V) % 调用网站所给的模糊综合评判程序包 ans =
《数学建模》上机作业 信科05-3 韩亚 0511010305
实验1 线性规划模型 一、实验名称：线性规划模型—设备的最优配备问题。 二、实验目的：掌握线性规划模型的建模方法，并能用数值算法或MATLAB 库函数求解。 三、实验题目：某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。 四、实验要求： 1、若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型。 2、利用相应的数值方法求解此问题的数学模型。 3、谈一谈你对这类线性规划问题的理解。 4、举一个简单的二维线性规划问题，并针对此问题将你所了解的线性规划的求解方法作出总结。 5、用软件lindo 或lingo 求解上述问题。（选做题） 6、编写单纯形算法的MATLAB 程序。（选做题） 五、实验内容： 解：设第i 个月进货xi 件，销售yi 件，则下半年总收益为销售收入减去进货费和仓库储存费之和，所以目标函数为： 12 11109871211109711109871211109875.232427252628252528262729) 2345(5.0)2345)300(6(5.07x x x x x x y y y y y y y y y y y x x x x x x z y ------+++++++++++++++++-= 整理后得： 900 24255.28275.2831255.25295.27295.31121110987121110987-------+++++=x x x x x x y y y y y y z 由于仓库的容量为1500件，每个月的库存量大于0，小于1500，所以有如下约束条件
P59 4.学校共1002名学生，237人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生要组织一个10人的委员会，使用Q 值法分配各宿舍的委员数。 解:设P 表示人数，N 表示要分配的总席位数。i 表示各个宿舍（分别取A,B,C ），i p 表示i 宿舍现有住宿人数，i n 表示i 宿舍分配到的委员席位。 首先，我们先按比例分配委员席位。 A 宿舍为:A n = 365.21002 10237=? B 宿舍为:B n =323.31002 10333=? C 宿舍为:C n =311.4100210432=? 现已分完9人，剩1人用Q 值法分配。 5.93613 22372 =?=A Q 7.92404 33332 =?=B Q 2.93315 44322 =?=C Q 经比较可得，最后一席位应分给A 宿舍。 所以，总的席位分配应为：A 宿舍3个席位，B 宿舍3个席位，C 宿舍4个席位。
商人们怎样安全过河
由上题可求：4个商人，4个随从安全过河的方案。 解：用最多乘两人的船，无法安全过河。所以需要改乘最多三人乘坐的船。 如图所示，图中实线表示为从开始的岸边到河对岸，虚线表示从河对岸回来。商人只需要按照图中的步骤走，即可安全渡河。总共需要9步。
P60 液体在水平等直径的管内流动，设两点的压强差ΔP 与下列变量有关：管径d,ρ,v,l,μ,管壁粗糙度Δ，试求ΔP 的表达式 解：物理量之间的关系写为为()?=?,,,,,μρ?l v d p 。 各个物理量的量纲分别为 []32-=?MT L p ，[]L d =，[]M L 3-=ρ，[]1-=LT v ，[]L l =，[]11--=MT L μ，Δ是一个无量纲量。 ???? ??????-----=?0310100011110010021113173A 其中0=Ay 解得 ()T y 00012111---=， ()T y 00101102--=， ()T y 01003103--=， ()T y 10000004= 所以 l v d 2111---=ρπ，μρπ112--=v ，p v ?=--313ρπ，?=4π 因为()0,,,,,,=??p l v d f μρ与()0,,,4321=ππππF 是等价的，所以ΔP 的表达式为： ()213,ππψρv p =?
数学建模实验报告 实验一计算课本251页A矩阵的最大特征根和最大特征向量 1 实验目的 通过Wolfram Mathematica软件计算下列A矩阵的最大特征根和最大特征向量。 2 实验过程 本实验运用了Wolfram Mathematica软件计算，计算的代码如下：
3 实验结果分析 从代码的运行结果，可以得到最大特征根为5.07293，最大特征向量为 {{0.262281},{0.474395},{0.0544921},{0.0985336},{0.110298}},实验结果 与标准答案符合。
实验二求解食饵-捕食者模型方程的数值解 1实验目的 通过Wolfram Mathematica或MATLAB软件求解下列习题。 一个生物系统中有食饵和捕食者两种种群，设食饵的数量为x（t），捕食者为y（t），它们满足的方程组为x’(t)=(r-ay)x,y’(t)=-(d-bx)y,称该系统为食饵-捕食者模型。当r=1，d=0.5，a=0.1，b=0.02时，求满足初始条件x（0）=25，y（0）=2的方程的数值解。 2 实验过程 实验的代码如下 Wolfram Mathematica源代码： Clear[x,y] sol=NDSolve[{x'[t] (1-0.1y[t])x[t],y'[t] 0.02x[t]y[t]-0.5y[t],x[0 ] 25,y[0] 2},{x[t],y[t]},{t,0,100}] x[t_]=x[t]/.sol y[t_]=y[t]/.sol g1=Plot[x[t],{t,0,20},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],PlotRange->{0,11 0}] g2=Plot[y[t],{t,0,20},PlotStyle->RGBColor[0,1,0],PlotRange->{0,40 }] g3=Plot[{x[t],y[t]},{t,0,20},PlotStyle→{RGBColor[1,0,0],RGBColor[ 0,1,0]},PlotRange->{0,110}] matlab源代码 function [ t,x ]=f ts=0:0.1:15; x0=[25,2]; [t,x]=ode45('shier',ts,x0); End function xdot=shier(t,x)
10级信息《数学建模与数学实验(实践)》任务书 一、设计目的 通过《数学建模与数学实验(实践)》实践环节，掌握本门课程的众多数学建模方法和原理，并通过编写C语言或matlab程序，掌握各种基本算法在计算机中的具体表达方法，并逐一了解它们的优劣、稳定性以及收敛性。在熟练掌握C 语言或matlab语言编程的基础上，编写算法和稳定性均佳、通用性强、可读性好，输入输出方便的程序，以解决实际中的一些科学计算问题。 二、设计教学内容 1线性规划（掌握线性规划的模型、算法以及Matlab 实现）。整数线性规划（掌握整数线性规划形式和解法）。 2微分方程建模（掌握根据规律建立微分方程模型及解法；微分方程模型的Matlab 实现）。 3最短路问题（掌握最短路问题及算法，了解利用最短路问题解决实际问题）。 行遍性问题（了解行遍性问题，掌握其TSP算法）。 4回归分析（掌握一元线性回归和多元线性回归，掌握回归的Matlab实现）。 5计算机模拟（掌握Monte-carlo方法、了解随机数的产生；能够用Monte-carlo 解决实际问题）。 6插值与拟合（了解数据拟合基本原理，掌握用利用Matlab工具箱解决曲线拟合问题）。 三、设计时间 2012—2013学年第1学期：第16周共计一周 目录 一、10级信息《数学建模与数学实验(实践)》任务书 (1) 二、饭店餐桌的布局问题 (3) 摘要 (3)
问题重述 (3) 模型假设 (3) 模型分析 (4) 模型的建立和求解 (4) 模型推广 (9) 参考文献 (9) 三、白酒配比销售问题 (10) 摘要 (10) 问题重述 (11) 问题分析 (12) 模型假设 (12) 符号及变量说明 (12) 模型的建立与求解 (13) 模型的检验 (18) 模型的评价与推广 (19) 附录 (21) 饭店餐桌的布局问题 摘要 饭店餐桌的布局对于一个饭店有着很重要的作用。本文讨论的就是饭店餐桌的布局问题，根据实际需求及规定建立模型，同时考虑餐桌的类型及规格，尤其是餐桌的摆放技巧，保证使饭店能容纳的人数达到最大。根据所需餐桌的数量
例1（任务分配问题）某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？ 解：设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为321,,x x x ，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为654,,x x x 。建立以下线性规划模型： 6543218121110913m in x x x x x x z +++++= ???? ???????=≥≤++≤++=+=+=+6 ,,2,1,09003.12.15.08001.14.0500600 400 ..6543216352 41 i x x x x x x x x x x x x x t s i 例2 某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的 检验员。一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时。检验员每错检一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？ 解： 设需要一级和二级检验员的人数分别为21,x x 人,则应付检验员的工资为： 因检验员错检而造成的损失为： 故目标函数为： 约束条件为： 线性规划模型： 212124323848x x x x +=??+??2 1211282)%5158%2258(x x x x +=????+???2121213640)128()2432(m in x x x x x x z +=+++=???????≥≥≤??≤??≥??+??0,0180015818002581800 158258212121x x x x x x 2 13640m in x x z +=
数学建模课程实验报告 专题实验7 班级数财系1班学号2011040123 丛文 实验题目常微分方程数值解 实验目的 1．掌握用MATLAB求微分方程初值问题数值解的方法； 2．通过实例学习微分方程模型解决简化的实际问题； 3．了解欧拉方法和龙格库塔方法的基本思想。 实验容 (包括分 析过程、 方法、和 代码，结 果) 1. 用欧拉方法和龙格库塔方法求下列微分方程初值问题的数值 解，画出解的图形，对结果进行分析比较 解；M文件 function f=f(x,y) f=y+2*x; 程序； clc;clear; a=0;b=1; %求解区间 [x1,y_r]=ode45('f',[a b],1); %调用龙格库塔求解函数求解数值 解； %% 以下利用Euler方法求解 y(1)=1;N=100;h=(b-a)/N; x=a:h:b;
for i=1:N y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i)); end figure(1) plot(x1,y_r,'r*',x,y,'b+',x,3*exp(x)-2*x-2,'k-');%数值解与真解图 title('数值解与真解图'); legend('RK4','Euler','真解'); xlabel('x');ylabel('y'); figure(2)
plot(x1,abs(y_r-(3*exp(x1)-2*x1-2)),'k-');%龙格库塔方法的误差 title('龙格库塔方法的误差') xlabel('x');ylabel('Error'); figure(3) plot(x,abs(y-(3*exp(x)-2*x-2)),'r-')%Euler方法的误差 title('Euler方法的误差') xlabel('x');ylabel('Error');
数学建模与数学实验 实验报告 班级: 数学师范153 姓名：付爽 学号：1502012060 实验名称: 数列极限与函数极限
基础实验 基础实验一数列极限与函数极限第一部分实验指导书解读 一、实验目的 从刘徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽象出极限的定义；理解数列收敛的准则；理解函数极限与数列极限的关系。 二、实验使用软件 Mathematic 5.0 三．实验的基本理论即方法 1割圆术
中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率π。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。 “割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。 以n S 表示单位圆的圆内接正1 23-?n 多边形面积，则其极限 为圆周率π。用下列Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{n S }的收敛情况： m=2;n=15;k=10; For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k]; (圆内接正1 23-?n 多边形边长) s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k]; (圆内接正1 23-?n 多边形面积) r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1]; Print[i," ",r[i]," ",l[i]," ",s[i]," ",d[i]] ] t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}] (数组) ListPlot[t] (散点图)
实验10 概率模型（2学时） （第9章 概率模型） 1.（验证）报童的诀窍p302~304, 323（习题2） 关于每天报纸购进量的优化模型： 已知b 为每份报纸的购进价，a 为零售价，c 为退回价（a > b > c ），每天报纸的需求量为r 份的概率是f (r )(r =0,1,2,…)。 求每天购进量n 份，使日平均收入，即 1 ()[()()()]()()()n r r n G n a b r b c n r f r a b nf r ∞ ==+=----+ -∑∑ 达到最大。 视r 为连续变量，f (r )转化为概率密度函数p (r )，则所求n *满足 * ()n a b p r dr a c -= -? 已知b =0.75, a =1, c =0.6，r 服从均值μ=500（份），均方差σ=50（份）的正态分布。报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，这个最高收入是多少？ [提示：normpdf, normcdf] 要求：
(1) 在同一图形窗口内绘制10 ()()n y n p r dr =?和2()a b y n a c -= -的图形，观察其交点。 [提示] 22 ()2()r p r μσ-- = ，0 ()()()n n p r dr p r dr p r dr -∞ -∞ =-?? ? ☆(1) 运行程序并给出结果： (2) 求方程0()n a b p r dr a c -= -?的根n *（四舍五入取整），并求G (n *)。
mu=500;sigma=50; a=1; b=0.75; c=0.6; r=n+1; while (a-b)*n*normpdf(r,mu,sigma)>1e-6 r=r+1; end r=n+1:r; G=sum((a-b)*n*normpdf(r,mu,sigma)); r=0:n; G=G+sum(((a-b)*r-(b-c)*(n-r)).*normpdf(r,mu,sigma)) ☆(2) 运行程序并给出结果： 2.（编程）轧钢中的浪费p307~310 设要轧制长l =2.0m的成品钢材，由粗轧设备等因素决定的粗轧冷却后钢材长度的均方差σ=0.2m，问这时钢材长度的均值m应调整到多少使浪费最少。 平均每得到一根成品材所需钢材的长度为 () () m J m P m = 其中， 2 2 () 2 ()(), () 2 x m l P m p x dx p xσ πσ - - ∞ == ? 求m使J(m)达到最小。 等价于求方程 () () z z z λ ? Φ =- 的根z*。 其中：