立体几何专题：空间角
异面直线所成的角
一、基础知识 1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ?//a ，b ?//b ，相交直线a ?b ?所成的锐角（或直角）叫做 。 2.范围： ??
?
?
?
∈2,
0πθ 3.方法： 平移法、问量法、三线角公式
（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角形，并解三角形
求角。 （2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式b
a b a b a ?=
><=,cos cos θ
求出来
方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出 b a ?，a ，b 代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量
),,(111z y x a = ),,(222z y x b =2
2
22222
1
2
12
12
12121c o s z y x z y x z z y y x x ++++++=
∴θ
（3）三线角公式 用于求线面角和线线角
斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦
即：θθθcos cos cos 21=
二、例题讲练
例1、如图，正四棱柱
1111ABCD A B C D -中， 12AA AB =，则异面直
线1A B 与1AD 所成角的余弦值为
变式训练1、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1=c ，求异面直线D 1B 和AC 所成的角
的余弦值。
A B 1
B 1
A 1
D 1
C C
D O B B1
A1A C1
D C
D1?2
?1c
b
a
θ
P
α
O A
B
变式训练2、如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（
）
A 、
5
10 B 、
5
15 C 、
5
4 D 、
3
2
例2、在空间四边形ABCD 中，已知AD=1，BC=3，且AD ⊥BC ，对角线BD=2
3213=，AC ， 求AC 和BD 所成的角.
例3、 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，
⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且1
2
PA AD DC ===
，1AB =，M 是PB 的中点
（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；
B
A
C D E
F O 1A
1B 1C 1D 图 1
A
B
C
D E
F M O 1A
1B 1C 1D 图2
变式训练 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，3AB =，1BC =，2PA =， E 为PD 的中点 求直线AC 与PB 所成角的余弦值；
1.正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是 。
2.正方体1AC 中，O 是底面ABCD 的中心，则OA 1和BD 1所成角的大小为 。
3.已知l 为异面直线a 与b 的公垂线，点a p ∈，若a 、b 间距离为2，点P 到l 的距离为2，P 到b 的距离为5 ，
则异面直线a 与b 所成的角为 。 4.如图正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中AB=2AA 1，M 、N 分别是
A 1
B 1，A 1
C 1的中点，则AM 与CN 所成角为 。
5.如图PD ⊥平面ABCD,四边形ABCD 为矩形， AB=2AD=2DP ，E 为CD 中点。 （1）AP 与BE 所成的角为
（2）若∈F 直线PD ，且AF 与BE 所成角为θ
1. θ=30?行吗？
2. θ=75?时；
DP
DF
= 。
6.空间四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 与各边长均为1，O 为BCD ?的重心，M 是AC 的中点，E 是 AO 的中点，求异面直线OM 与BE 所成的角 。
7.空间四边形ABCD 中AB=BC=CD ，∠BCD=∠ABC=120?，AB ⊥CD ，M 、N 分别是中点（1）AC 和BD 所成的角为 。（2）MN 与BC 所成的角为 。
8.已知正方体AC 1中，
（1）E 、F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，则AE 与CF 所成的角为 （2）M 、N 分别是AA 1，BB 1的中点，则CM 和D 1N 所成的角是 。
训练题
A'C1A
B
C
M
N
B D
A C
P E
C
A
B D
P
9、三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小；
直线和平面所成的角
一、基础知识
1.定义： （①斜线和平面所成的角②垂线与平面所成的角③αα//l l 或?）
2.直线与平面所成角范围是 。
3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。（最小值定理）
4. 求法： 几何法 公式法 问量法
（1）几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要滶的角，解三角形求出此角。 （2）公式法：θθθθθθcos cos cos cos cos cos 212
1
=?=
21,,,θθθα=∠=∠=∠⊥BOC AOC AOB B AB 于点
（即：与斜线射影所成的两角的余弦的积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值）
（3）向量法：设θ为直线l 与平面α所成的角，?为直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 之间的夹角，则有
θπ
?-=
2
或θπ
?+=
2
（图2）
图2
特别地 0=?时，2
π
θ=
，α⊥l ；2
π
?=
时，0=θ，α?l 或α//l 。
则> v n v n v ?= ><=,cos sin θ θ ω α l v n ω θα v l n O A B C 例1、如图（4），在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ， AB ＝BC ＝kP A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点， OP ⊥底面ABC ． (Ⅰ)求证：OD ∥平面P AB ； (Ⅱ)当k ＝2 1 时，求直线P A 与平面PBC 所成角的大小. 例2、在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形， 90=∠ACB ，侧棱AA 1=2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ?的重心G 。求A 1B 与平面ABD 所成角的大小。 例3、在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=PC,E 是PC 中点。 （1）证明PA ∥平面EDB ； （2）求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值。 变式训练： 1、在长方体AC 1中，AB=2，BC=CC 1=1，求 （1）CD 与面ABC 1D 1所成的角 （2）A 1C 与平面ABC 1D 1所成的角 C1 D1 （3）A 1C 与平面BC 1D 所成的角 2、四面体ABCD 中，所有棱长都相等，M 为AD 的中点，求CM 与平面BCD 所成角的余弦值。 3、）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC = ∠，2AB =， 22BC =，3SA SB ==． （Ⅰ）证明SA BC ⊥； （Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小． 4、如图,2,1l l 是互相垂直的异面直线，M 、N 分别在2,1l l 上，且MN ⊥1l ，MN ⊥2l ，点AB 在1l 上，C 在2l 上，AM=MB=MN 。 （1）证明：AC ⊥NB （2）若∠ABC=60?，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值。 1、已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为三角形ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成的角的正弦值等于 2、如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1BC 的中点。求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小 （结果用反三角函数值表示）. 训练题 L2L1A B M C N B 1 D 1 C 1 A 1 D B C A S 3、过点P 作平面α的两条斜线段PA 和PB ，则PA=PB 是斜线PA 和PB 与平面α成等角的 条件。 4、如图所示，∠BOC 在平面α内，OA 是α的斜线，∠AOB=∠AOC=60?，OA=OB=OC=a ，BC=2a ，求OA 和平面α所成的角的大小。 5、如图，已知正方形ABCD ，SA ⊥现面ABCD ，且SA=AB ，M 、N 分别为SB 、SD 的中点，求SC 和平面AMN 所成的角 6.给出下列命题，其中正确命题序号是 。 （1）若PA 、PB 、PC 与平面α成等角，则迠P 在平面α上的射影O 是?ABC 的外心 （2）已知直线上l 与平面α所成角是 4π，直线a 是α内与l 异面的任一直线，则l 与平面α 所成角范围是?? ????2,4ππ (3)在三棱锥P-ABC 中，若二面角P-AB-C ，P-BC-A ，P-CA-B ，大小相等，则点P 在平面ABC 上射影O 是?ABC 内心。 （4）坡度为α的斜坡，有一条与坡脚水平线成30?的小道，若沿小道每前进100m ，高度就上升25m,那么此坡坡度 为30?。 7、如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==， VDC θ∠=π02θ? ?<< ?? ?． （I ）求证：平面VAB ⊥VCD ； （II ）试确定θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为 6 π。 （Ⅲ）当解θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围． D A B C S N M B A C O 第5题图 B V A D C 平面与平面所成的角 一、基础知识 1.定义： 二面角:由一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 平面角：过棱上同一点分别位于二面角的两个面内，且与棱同时垂直的两条射线所成的角叫做二面角的平面角， 二面角的取值范围是 . 注:二面角是空间图形，平面角是平面图形。在书写时不要写成”∠AOB 为所求二面角”，而应写成”∠AOB 为二面角βα--l 的平面角”。 2.求法：几何法 向量法 公式法 （1）几何法：作出二面角的平面角，再求解，常见的有 作 法 图 形 定义法 在棱CD 上找一点O ，在两个面内分别作棱的垂线AO,BO ∠AOB 为二面角βα--CD 的平面角 垂面法 过棱上一点O 作棱的垂直平面γ与两个半平面的交线分别为AOBO ∠AOB 为βα--CD 的平面角 三垂线法 过B 内一点A ，作AB ⊥ α交α于B ， 作BO ⊥CD 于O ，连结AO,∠AOB 的βα--CD 平面角或其补角 （2）向量法： ①分别求出α和β的法向量n m ,，则二面角βα--l 的大小为> 〈1〉需建空间直角坐标系，定准相应点的坐标 A O B M N α β α β A O P A B O P α β 4（1） 4（3） 4（2） 〈2〉通常容易找到一个面的法向量，只需通过二次垂直，求另一个平面的法向量 〈3〉当βα--l 为锐角时=θ> 或 π—> ②在平面α内?????∈⊥EF A EF AC 在平面β内，BD ⊥EF ，且B ∈EF 分别求出BD AC ,，则> βα--EF 的大小 （3）公式法： ①设二面角βα--l 的大小为,θ,,,,l CD l AB CD AB ⊥⊥??βα令,,,d BD n CD m AB ===则 注意：BA 与DC 所成的角一定与二面角的平面角大小相等，但不一定是异面直线BA 和CD 所成角的大小。 ②面积法： 设二面角βα--l 的平面α内某一图形（一般取三角形）面积为S ，该图形在平面β上射影面积为S '，二面角βα--l 的大小为θ，则 )(cos )(cos 为钝角或为锐角θθθθS S S S ' -='= 1、定义法： 例1、如图7，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 交于点E ，C 1B 于BC 1交于点F 。 （1）求证：AC 1⊥平面BDC 1； （2）求二面角B-EF-C 的大小。（结果用反三角函数值表示） 2、垂线法 当已知条件中出现二面角中的一个半平面内一点到另一个半平面的垂线时（或虽未给出这样的垂线，但由已知条件能够作出这样的垂线），可依据三垂线定理或其逆定理作出它的平面角，然后再求解。 例2、如图16，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB=2，AF=1，M 是线段EF 的中点。 （1） 求证：AM ∥平面BDE ； （2） 求证：AM ⊥平面BDF ； （3） 求二面角A －DF －B 的大小； θcos 22222mn d n m AC -++= M C B E F M C B E F 变式训练：如图20，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB=3，AA 1=4，M 为棱AA 1的中点，P 是BC 上的一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N ，求 （1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长； （2）PC 和NC 的长； （3）平面NMP 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小。（结果用反三角函数表示） 3、垂面法 在求解二面角的问题中，若能找到或者作出棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角。 M C D A B E F 图18 M C D A B E F 图19 G H M C A A 1 B 1 C 1 B N P 图20 M C A A 1 B 1 C 1 B N P 图21 P 1 x x M C A A 1 B 1 C 1 B N P 图22 P 1 H S A B C D E 图25 图26 1θ 2θ θ A B 1B C α 例3、如图23，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是菱形，ABCD PD DAB 平面⊥=∠,600 PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点。 （1）证明：平面PED ⊥平面PAB （2）求二面角P-AB-F 的平面角的余弦值。 变式训练：如图25，在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于D ，E ，又SA=AB ，SB=BC ，求以BD 为棱，以BDE 与BDC 为面的二面角的大小。 4、公式法 求空间角的大小，有时可以直接根据一些公式来求解。 公式1 如图26，若斜线AB 与平面α内直线AC 所成的角为?，1θ是AB 与平面α所成的角，2θ是AB 在α内的射影1AB 与AC 的夹角，则 21cos cos cos θθθ?=。 此公式揭示了平面内的一条直线和平面的斜线及其 在平面内的射影这三条直线所成角之间的关系，运用它可以求线面夹角。 例4、正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为________ 图23 P C 2θ P A B M N P ' α β 图29 公式2 设ABC ?的面积为S ，ABC ?在平面α上的射影面积为S '，ABC ?所在平面与平面α所成的角为θ，则S S ' =θcos ，该定理称为面积射影定理，利用该定理可以来求一些二面角的大小（该公式对任意的多边形也同样适用） 例5、在正三棱柱111C B A ABC -?中，AB=2，AA 1=2，M 为AA 1的中点，求平面C 1MB 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小。 公式3 在二面角βα--AB 的两个半平面内分别作出 垂直于棱AB 的两条异面直线MP 与P N '（如图29），则这 两条异面直线所成的角与二面角的平面角相等或互补。故可 用异面直线上两点间的距离公式： θcos 2222?'?-+'+='P N MP MN P N MP P P 来求二面角θ的大小。 例6、如图30，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=1， CB=2，侧棱AA 1=1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ， B 1C 1的中点为M. （Ⅰ）求证CD ⊥平面BDM ； （Ⅱ）求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小. 公式 4 如图32，在三棱锥P-ABC 中，设PC ， 图30 AC ，BC 两两互相垂直，PDC ∠是二面角P-AB-C 的 平面角设21,,θθθ=∠=∠=∠PBC PAC PDC ，则 22122tan tan tan θθθ+=，应用此式可以使求二面角 的问题得到一个新颖便捷的解法。 例7、在棱长为a 的正方体C B A O OABC ''''-中，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE=BF ，当三棱锥BEF B -'的体积取得最大值时，求二面角B EF B --'的大小（结果用反三角函数表示）。 变式训练：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C —DE —C 1的正切值; (2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值. 例8、如图11，在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心， 点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP. (1)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； · B 1 P A C D A 1 C 1 D 1 B O H · 图11 · B 1 P A C D A 1 C 1 D 1 B O H 图12 x y Z (1)解：⊥AB 平面BCC 1B ，AP ∴与平面BCC 1B 1所成的角即为APB ∠ 如图12，建立空间直角坐标系，坐标原点为D ，4,411==CC CP CC 1=∴CP ，A （4，0，0） ，P （0，4，1），B （4，4，0） 171016),1,0,4(),1,4,4(=++=?∴-=--=PB PA PB PA 33 561 173317 cos ?= ??= ∠PB PA PB PA APB ∴直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角为arc 33 561 cos （2）连结D 1O ，由（1）有D 1（0，0，4），O （2，2，4），0088),0,2,2(11=+-=?=∴O D PA O D O D PA 1⊥∴， 平面D 1AP 的斜线D 1O 在这个平面内的射影是D 1H ，AP H D ⊥∴1 点评：由于此题的背景是正方体，所以很容易建立空间直角坐标系，对于容易作出空间直角坐标系的图形，作出坐标系容易求解且准确率较高，空间问题一般采用空间向量法解决，显得简捷明快。 例9、如图13,已知四棱锥P －ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长为2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与平面ABCD 所成的二面角为120o 。 （1）求点P 到平面ABCD 的距离； （2）求面APB 与面CPB 所成的二面角的大小。 解：（1）如图14，作⊥PO 平面ABCD ，垂足为点O ，连结OB 、OA 、OD ，OB 与AD 交于点E ，连结PE 。 OB AD PB AD ⊥∴⊥, OD OA PD PA =∴=, 于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，AD PE ⊥∴，由 此知PEB ∠为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， 0060,120=∠=∠∴PEO PEB 由已知可求得PE=3，2 323360sin 0=?=?=∴PE PO 故点P 到平面ABCD 的距离为2 3 。 （2）如图15，建立直角坐标系，其中O 为坐标原点， X 轴平行于DA ，则 D A B C P 图13 D A B C P O E 图14 D C P z G P （0，0， 2 3 ），B （0，233，0） PB 的中点G 的坐标为)4 3 ,433, 0(，连结AG 。 又知)0,2 3 3,2(),0,23, 1(-C A )43,43,1(-- =∴GA ，)23,233,0(-=PB ，)0,0,2(-=BC 0,0=?=?∴PB BC PB GA PB GA ⊥∴，PB BC ⊥ BC GA ,∴的夹角θ即为所求二面角的平面角，故77 2cos - =??= BC GA BC GA θ ∴所求的二面角的大小为arc -π7 7 2cos 点评：本题是将二面角转化为两异面直线所成的角，一般来说，用向量求二面角有如下三种转化方法：①转化为两个面内垂直于棱的方向向量所成的角；②转化为两异面直线所成的角；③转化为两个面的法向量所成的角或其补角，向量法充分体现了数形结合思想，解题过程简捷、直观，是求空间角的一种好方法 练习： 1、如图，已知棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，且⊥1AA 面ABCD ， 60=∠DAB ，1AA AD =，F 为 棱1AA 的中点，M 为线段1BD 的中点， （1）求证：⊥MF 面11B BDD ； （2）求面1BFD 与面ABCD 所成二面角的大小． 2、如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE 。 （1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求二面角B —AC —E 的大小； 3、如图所示的几何体ABCDE 中,⊥DA 平面EAB ， DA CB //,CB AB DA EA 2===，AB EA ⊥， M 是EC 的中点. (Ⅰ)求证:EB DM ⊥; A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 F M O E A B C D P (Ⅱ)求二面角A BD M --的余弦值. 4、 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且 1 2 PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小 5、如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2， AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求二面角C-PA-B 的大小． 6、 在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形, 平面VAD ⊥底面ABCD （Ⅰ）证明：AB ⊥平面VAD ； （Ⅱ）求面VAD 与面DB 所成的二面角的大小 证明：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标图系 7、如图，已知四棱锥P -ABCD ， 底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?, E ，F 分别是BC , PC 的中点 . D 1 C 1 B 1 C D B A A 1E F （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角的正切值为 6 2 ，求二面角E —AF —C 的余弦值. 8、在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1， E 、F 分别为BC 与A 1D 1的中点， (1) 求直线A 1C 与DE 所成的角； (2) 求直线AD 与平面B 1EDF 所成的角； (3) 求面B 1EDF 与 面ABCD 所成的角。 9、如图，在Rt AOB △中， π 6OAB ∠= ，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得 到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ； （II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小； （III ）求CD 与平面AOB 所成角的最大值． 【变式】如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2． E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1． (1) 求二面角C —DE —C 1的正切值; (2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值． O C A D B E 10、如图，正三棱柱ABC －A1B1C1的所有棱长都为2，D 为CC1中点。 （Ⅰ）求证：AB 1⊥面A 1BD ；（Ⅱ）求二面角A －A1D －B 的大小； 分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力． 【变式】在梯形ABCD 中，AB=BC=1，AD=2， 90=∠=∠BAD CBA ，沿对角线AC 将折起，使点B 在平面ACD 内的射影O 恰在AC 上。 （1）求证：AB ⊥平面BCD （2）求异面直线BC 与AD 所成的角。 11、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，E 为BC 中点. （1）求平面PDE 与平面PAB 所成二面角的大小；（2）求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小 2019年高三数学知识点总结：立体几何 由查字典数学网高中频道提供，2019年高三数学知识点总结：立体几何，因此老师及家长请认真阅读，关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱： 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台： 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱： 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥： 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台： 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 D C 1 A 1 B 1 C 1 D B C A D 立体几何专题----空间角 知识点归纳 1、异面直线所成的角 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′ 与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a b 注1：异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ] 注2：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b 注3：在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等) 2 、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 （1）一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 （2）一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 ?的角 （3）直线和平面所成角的范围是[0?，90?] 3、二面角: 如右图在二面角的棱l取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则 叫做二面角的平面角. 注：①二面角的平面角的大小与O点位置_____ _。 ②二面角的平面角的范围是_______ 。 ③平面角为______的二面角叫做直二面角。 试题探究： 1、如图：表示正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-， 求异面直线 1 1 CC BA和所成的角。 2、空间四边形ABCD中，2 AD BC ==，,E F分别是, AB CD的中点，3 EF=， 求异面直线, AD BC所成的角。 3、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中，试求直线 1 BD与平面ABCD所成的角. 4、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中，求直线 11 A C与截面 11 ABC D所成的角. 5、将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD;(2)求二面角A-BD-C的正切值;(3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值. a′O b′ a P α O A O A B D C A 1 B 1 C 1 D A F E D B A B D B 1 A 1 C 1 D 1 2015届高三数学（文）立体几何训练题 1、如图3，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的一点． ⑴求证：平面PAC ⊥平面PBC ； ⑵若PA=AB=2，∠ABC=30°，求三棱锥P -ABC 的体积． 2、如图，已知P A ?⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，AB =2，C 是⊙O 上一点，且AC =BC =P A ，E 是PC 的中点，F 是PB 的中点. （1）求证：EF 3、如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1?底面ABCD ，且41=A A . 梯 形ABCD 的面积为6，且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . （1）证明：EC D A 111A ABB 4、如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AA 1＝AB ＝2a ，D 、E 分别为CC 1、A 1B 的中 点． （1）求证：DE ∥平面ABC ； （2）求证：AE ⊥BD ； （3）求三棱锥D —A 1BA 的体积 ． 5.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ， 将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ． （Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； P A B C O E F A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 A D F F E A （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体CDFN 体积的最大值． 6、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ，AP=AC, 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且BC （Ⅰ）求证：D E ⊥平面PAC ； （Ⅱ）若PC ⊥AD ，且三棱锥P ABC -的体积为8，求多面体ABCED 的体积。 7、如图：C 、D 是以AB 为直径的圆上两点，==AD AB 232，BC AC =，F 是AB 上一点， 且AB AF 3 1 =，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上，已知2=CE . （1）求证：⊥AD 平面BCE ； （2）求证：//AD 平面CEF ； （3）求三棱锥CFD A -的体积． 8、如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=A B BD =，现将四边 形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ； 高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形； ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体 的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长，h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线 为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥：有一个面是多边形，其余各面是 有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。 第十二讲 立体几何之空间角 一、基本知识回顾 空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1） 异面直线所成角 1.022.π??? ? ???????????范围：，平移相交（找平行线替换）求法：向量法??? ??20π， 2） 直线与平面所成角 1.π???????????????? 范围0，2定义2.求法向量法?? ? ? ??2,0π n m n m ??=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α?a 若n m //则α⊥a 3） 二面角[]1.0.2.π??? ?????? ?? ???? ???? ?????? 范围：定义法（即垂面法）作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理垂线法 直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法 θcos S S =' (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成锐二面角的平面 角) 当θ为锐角时，n m n m ??=arccos θ 当θ为锐角时，n m n m ??-=arccos πθ 二、例题讲解 1.在正三棱柱 111 ABC A B C -中，若 1 2, AB BB =求 1 AB与B C 1 所成的角的大小。 解：法一：如图一所示， 设O为C B 1 、B C 1 的交点，D AC 为的中点，则所求角是DOB ∠。 设 1 ,2 BB a AB a == 则，于是在DOB ?中， 1 222 1 1336 ,2, 2222 13 ,, 2 OB BC a BD a a OD AB a BD OB OD ==== ===+ 即90, DOB ∠=?∴? = ∠90 DOB 法二：取 11 A B的中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系, xyz O-AB 2 1 的长度单位，则由 文科立体几何线面角二面角专题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 2．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 3．（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2． （Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值． 4．如图，在三棱柱中，点P，G分别是，的中点，已知⊥平面 ABC，==3，==2. （I）求异面直线与AB所成角的余弦值； （II）求证：⊥平面； （III）求直线与平面所成角的正弦值. 5．如图，四棱锥，底面是正方形，，，，分别是，的中点. （1）求证； （2）求二面角的余弦值. 6．如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等.，，分别为棱，，的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与直线所成角的正弦值. 7．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠AB D=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF． （Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF； （Ⅱ）若二面角C BF D的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值． 8．如图，在四棱锥中，平面，，， ，点是与的交点，点在线段上，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 9．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，，， （1）求证：平面平面； （2）设为线段上一点，，求二面角的平面角的余弦值. 10．如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，已知，，，四边形为直角梯形，，. （1）证明：平面，平面平面； 高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1．直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理 图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β，a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系： 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平 面垂直 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 二、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个平 面垂直 2．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面 类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D 为PB 中点， 且△PMB 为正三角形。（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ； （Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C 2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲：立体几何 1、（2010一试7）正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin 【答案】4 【解析】 O E P 1B 1 A 1 C B A 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则 ???? ?=++-=?=+-=?,03, 022111111z y x z x BA ???? ?=-+-=?=-=?, 03, 022221211z y x B x A B n 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α?=? ，即 2cos cos αα=?= .所以4 10sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 . 过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E . 连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得 3,2,5111== ===PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1?中，OE P A PO O A ?=?11,即5 6,532= ∴?= ?OE OE . 11B O B E =∴===又.4 10 5 542sin sin 111= ==∠=E B O B EO B α. 2、（2011一试6）在四面体ABCD 中，已知?=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 【解析】 因为?=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得3 2sin ,3 1cos = = θθ． 在△DMN 中，332 33232,121=??=?=== DP DN CD DM ．学科*网 由余弦定理得231312)3(1222=? ??-+=MN ， 故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径 33 22sin === θ MN OD ．故球O 的半径3=R ． 3、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的 （2019全国1文）16.已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距 P 到平面ABC 的距离为 . 答案： 解答： 如图，过P 点做平面ABC 的垂线段，垂足为O ，则PO 的长度即为所求，再做,PE CB PF CA ⊥⊥，由线面的 垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥，在Rt PCF ?中，由2,PC PF == ，可得出1CF =，同 理在Rt PCE ?中可得出1CE =，结合90ACB ∠=?，,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==，OC = ， PO == （2019全国1文）19.如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=， ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. （1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离. 答案： 见解析 解答： （1）连结1111,AC B D 相交于点G ，再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ，再连结GH ，NG . ,,E M N 分别是 11,,BC BB A D 的中点. 于是可得到1//NG C D ，//GH DE ， 于是得到平面//NGHM 平面1C DE ， 由 MN ?平面NGHM ，于是得到//MN 平面1C DE （2） E 为BC 中点，ABCD 为菱形且60BAD ∠= DE BC ∴⊥，又 1111ABCD A B C D -为直四棱柱，1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥，又 12,4AB AA ==， 1DE C E ∴=，设点C 到平面1C DE 的距离为h 由11C C DE C DCE V V --=得 1111 143232 h ?=?? 解得h = 所以点C 到平面1C DE （2019全国2文）7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面 答案：B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. （2019全国2文）16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.) 高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b. (2)两直线垂直的判定 建立空间直角坐标系，解立体几何高考题 立体几何重点、热点： 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等． 常用公式： 1 、求线段的长度： 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离： PN = ，（N 为垂足，M 为斜足，为平面α的法向量） 3、求直线l 与平面α所成的角：|||||sin |n PM ?= θ，(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角：cos = θ 5、求二面角的平面角θ：|||||cos |21n n ?= θ，（ 1n ，2n 为二面角的两个面的法向量） 6、求二面角的平面角θ：S S 射影 = θ cos ，（射影面积法） 7、求法向量：①找；②求：设, 为平面α内的任意两个向量，)1,,(y x =为α的法向量， 则由方程组?????=?=?0 n b n a ，可求得法向量．高三数学知识点总结：立体几何
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