2016届如东中学高三数学阶段测试
一．填空题：
1.已知集合{}1,3A =，{}2,B x =，若{1,2,3,4}A B = ，则x = ▲
2.命题“0,1x x e x ?><+”的否定是 ▲
3.已知函数=''+=)0(),1(2)(2f f x x x f 则 ▲
4．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）。若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ▲
5．已知a ，b 为正实数，函数x bx ax x f 2)(3++=在[]1,0上的最大值为4，则)(x f 在[]0,1-上的最小值为 ▲ 6．已知3
(0,),cos()4
5
π
απα∈+
=
，则tan α＝ ▲ 7．若函数)(x f 是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足)()()(y f x f xy f +=，则不等式)4(2)()6(f x f x f <++的解集为 ▲
8. 已知过点O 的直线与函数3x
y =的图象交于A 、B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数9x
y =的图象于C 点，当BC ∥x 轴，点A 的横坐标是 ▲
9．设函数,01)(??
?=为无理数
，为有理数
，x x x D 有下列四个结论：
①D （x ）的值域为{0,1}；② D （x ）是偶函数；③D （x ）不是周期函数；④D （x ）不是单调函数；其中正确的是 ▲ （填序号）
10．已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=x
x g ，若同时满足条件：
①R x ∈?，0)( 11．在ABC ?中，若tan tan tan tan 2tan tan A C B C A B +=，则 2 2 2c b a += ▲ 12．函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 ▲ 13．已知函数2log ,0 ()2, 0x x x f x x >?=?≤?则满足不等式(())1f f x >的x 的取值范围是 ▲ 14.设函数132)(2 +-+=a bx ax x f ，当]4,4[-∈x 时，0)(≥x f 恒成立，则b a +5的最大 值是 ▲ 二．解答题： 15．已知命题p ：函数21y x mx =++ 在(1,)-+∞内单调递增 ；命题q ：函数244(2)1y x m x =+-+大于0恒成立 ，若命题“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围． 16．已知函数()sin()(0,||,)2 f x A x A x R π ω??=+><∈，且函数()f x 的最大值为2，最 小正周期为 2π，并且函数()f x 的图像过点(,0)24 π （1）求函数()f x 的解析式； （2）设ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()24c f =，3 2 c =，求2a b +的取值范围。 17.如图（1），有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC 的长为a 米（a 为常数），现在斜边AB 上选一点D ，将△ACD 沿CD 折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2）. 设△BCD 的面积为S ，点A 到直线CD 的距离为d. 实践证明，遮阳效果y 与S 、d 的乘积Sd 成正比，比例系数为k （k 为常数，且k >0）. （1）设∠ACD=θ，试将S 表示为θ的函数； （2）当点D 在何处时，遮阳效果最佳（即y 取得最大值）？ A B C D 图（1） A B C D 图（2） θ S 18．已知函数1()log (0,1)1 a mx f x a a x -=>≠-的图象关于原点对称． (1) 求m 的值； (2)判断函数)(x f 在区间()+∞,1上的单调性并加以证明； (3)当)(,),(,1x f a t x a 时∈>的值域是),1(+∞，求a 与t 的值. 19. 已知函数(),()ln x f x e g x x ==， （1）求证：()1f x x ≥+ ; (2)设01x >,求证：存在唯一的0x 使得g(x)图象在点A(00,()x g x )处的切线l 与y=f(x)图象也相切； （3）求证：对任意给定的正数a,总存在正数x,使得()1 |1|f x a x --<成立. 20．已知函数 2 ()1,()|1|f x x g x a x =-=-． （1）若关于x 的方程|()|()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； （2）若当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[2,2]-上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）． 高三阶段测试（加试题） 21.已知函数f(x)=ax 2+2ln(2-x)(a ∈R ),设曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线为l ，若l 与直线x-2y+2=0垂直，求a 的值. 22.设函数()|1||4|.f x x x a =++-- （Ⅰ）当1 ,()a f x =时求函数的最小值； （Ⅱ）若4 ()1f x a ≥+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围. 23.在△ABC 中，BC =2，AC =1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时，求线段CD 长的最大值为. 24．函数()()??? ??????? ???∈-?? ????∈+=1,21,1221,0,21x x x x x f ，定义()x f 的第k 阶阶梯函数 ()()(]1,,2 +∈--=k k x k k x f x f k ，其中*N k ∈ ， ()x f 的各阶梯函数图像的最高点()k k k b a P ,，最低点()k k k d c Q , （1）直接写出不等式()x x f ≤的解； （2）求证：所有的点k P 在某条直线L 上． （3）求证：点k Q 到（2）中的直线L 的距离是一个定值． 高三数学阶段测试参考答案 1. 4 2. 0,1x x e x ?>≥+ 3. -4 4． ]1,(-∞ 5． 3 2 - 6． 1/7 7．（0，2） 8. 2log 3 9．①②④ 10 (4,2)-- 11． 2 12．6 13． (4,)+∞ 14. 2 15．解：p 为真得2m ≥ ，……3分；q 为真得1 f x x π =- （2）23sin()(0)6 3 a b B B π π +=+ << ∴3 2(,3)2 a b +∈ 17. （1）△BCD 中 B CD CDB BC ∠=∠sin sin ， ∴ 45 sin )45sin(CD a =+θ，∴) 45sin(2 +=θa CD …………4分 ∴BCD CD BC S ∠??=sin 21 ) 45sin(4cos 22 +=θθa ， 900<<θ……6分（其中范围1分） （2）θsin a d =…………8分 kSd y =) 45sin(4cos sin 23 +=θθθka )cos (sin 2cos sin 3θθθθ+=ka ………………10分 令t =+θθcos sin ，则]2,1(∈t ，2 1 cos sin 2-=t θθ ∴)1 (44)1(323t t ka t t ka y -=-= 在区间]2,1(上单调递增，…………12分 ∴当2= t 时y 取得最大值，此时4 π θ= ， 即D 在AB 的中点时，遮阳效果最佳.………………14分 18．解：（1）因为函数1()log (0,1)1 a mx f x a a x -=>≠-的图象关于原点对称，所以 0)()(=+-x f x f 即()0) 1)(1(1)1(log 11log 11log =---+-=--+--+x x mx mx x mx x mx a a a ， ()1) 1)(1(1)1(=---+-x x mx mx ，得1,12==m m 或1-=m ……………………………………….3分 当1=m 时， 011 1<-=--x mx 舍去； A B C D 图（1） A B C D 图（2） θ S 当1-=m 时， 1111-+=--x x x mx ，令01 1>-+x x ，解得1- 1 log )(-+=x x x f a ，任取211x x <<， 1 1 log 11log )()(11 2212-+--+=-x x x x x f x f a a ()()()()1111log 1212+--+=x x x x a ……………………6分 211x x << ∴()()()()0)(21111211212<-=+---+x x x x x x ， ∴()()()() 1 111101212<+--+< x x x x ………………………………………………………………….9分