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理科部分

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命题角度1

空间直线与平面的位置关系

1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F.

(1)证明:PA//平面EDB;(2)证明:BP⊥平面EFD;

解:(1)如图,连接AC、AC交BD于O,连接EO。∵底面

ABCD为正方形,∴O为AC的中点,在△PAC中,EO是中

位线,∴PA//EO,又EO?平面EDB,且PA?平面EDB,所

以PA//平面EDB;

(2)∵PD⊥平面ABCD,∴平面PDC⊥平面ABCD,又底面ABCD为正方形,∴BC⊥CD,∴BC⊥平面PCD,∴BC⊥DE,又DE⊥PC,∴DE⊥平面PBC,∴DF在平面PBC上的射影为EF,又EF⊥PB,∴DF⊥PB,又PB⊥EF,∴PB⊥平面DEF;2.下列五个正方体图形中,l是正方体的一条对角线,点M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出l⊥面MNP的图形的序号是_________.(写出所有符合要求的图形序号)

解:(1)中l在面ADD1A、A1B1C1D1,内的射影分别为AD1,B1D1,而AD1⊥MN,B1D1⊥MP,∴l⊥MN,l⊥MP, ∴l⊥面MNP;(2)中若l⊥MN,则取AA1的中点E,连接ME、NE,l在面ADD1A1内的射影为AD1而AD1⊥ME,∴l⊥ME,结合l⊥MN,得l⊥面MEN,∴l⊥NE,这显然不可能,∴l与MN不可能垂直,∴l与面MNP不垂直;(3)类似(2)的证明,可得l与面MNP不垂直;(4)中l⊥MP易证,而MN∥AC,l⊥AC,∴l⊥MN,∴l ⊥面MNP;(5)中取AA1中点E,连接ME,PE,可证得l⊥面MEP,∴l⊥MP,同理可

证l⊥NP,∴l⊥面MNP,综上知,本题的正答案是(1)、(4)、(5)。

3.如图10-4所示,在正三棱锥A—BCD中,∠BAC=30°,AB=a,平行

于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于E、F、G、H。

(1)判定四边形EFGH的形状,并说明理由;

(2)设P是棱AD上的点,当AP为何值时,平面PBC⊥平面EFGH,请

给出证明。

解:(1)∵AD∥面EFGH,面ACD?面EFGH=HG,∴AD∥HG,同理EF∥AD,所以HG

∥EF,同理EH∥FG,∴EFGH为平行四边形。又A—BCD为正三棱锥,∴A在底面BCD 上的射影O是△BCD的中心,∴DO⊥BC,根据三垂线定理,AD⊥BC,∴HG⊥EH,四边形EFGH为矩形;

(2)作CP⊥AD于P点,连接BP,∵AD⊥BC,∴AD⊥面BCP,∴HG∥AD,∴HG⊥面BCP,又HG?面EFGH,∴面BCP⊥面EFGH,在Rt△APC中,∠CAP=30°,AC=a,

3.

∴AP=a

2

专家会诊

解线面位置关系的题目,首先要熟悉各种位置关系的判定方法及性质,其次解题时应将判定与性质结合起来,多用分析法,如要证a∥α则过a作一平面β,使β?α=b,再证a∥b;第三要善于转化,如两条羿面直线是否垂直,要用三垂线定理将其转化为两相交直线是否垂直。线面的位置关系是立体几何的基础,学习时应予以重视。

考题训练

1 如图10-5 所示的四个正方体图形中,A 、B 为正方体的四个项点,M 、N 、P 分别为其所在棱的中点,能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是____________ .(写出所有符合要求的图形序号)

答案:①③ 解析:①中平面MNP//平面AB , ∴AB//平面 MNP ;②中取下底面中心O ,MP 的中点C ,连接NO , NC ,则由已知AB//NO ,AB ■NC .∴AB ■面MNP ;③ 中AB//MP,∴AB//平面MNP ;④中AB ■面MNP . ∴填①③.

2 如图,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=AA 1,E 是棱BB 1的中点。 (1)求证:平面A 1EC ⊥平面AA 1C 1C ;(2)设AB=a ,求三棱锥A-A 1EC 的体积。 答案:(1)连接A 1C 与AC 1交于点F ,则由条件可得EC 1=EA 1,则EF ⊥AC 1,同理EC 1=EA ,则EF ⊥A 1C 所以EF 上平面AA 1C 1C ,而EF ?平面A 1EC ,所以平面A 1EC ⊥平面AA 1C 1C. (2) VA 1-A 1EC=V E -AA 1C=3

12EF 22

12AA 12AC

3 已知正三棱锥P-ABC 的三条侧棱两两互相垂直,G 是侧面△PAB 的重心,E 是BC 上

的一点,且BE=3

1BC ,F 是PB 上一点,且PF=3

1PB ,如图 (1)求证:GF ⊥平面PBC ;(2)求证:EF ⊥BC ;

答案:(1)连接BG 并延长交AP 于M ,由C 为APAB 的重心,则MG=3

1BM , 又由PF=,∴GF//MP ∵AP ⊥BP,AP ⊥CP .∴AP ⊥平面PBC , ∴GF ⊥平面PBC

(2)在侧面PBC 内作FD//PC 交BC 于D .∵PF=3

1PB,∴DC=3

1BC.又BE=3

1BC,∴DE=3

1BC.故BE=DE ,E 为BD 的中点,由△PBC 为等腰三角形,得△FBD 也为等腰三角形.∴FB=FD . ∴EF ⊥BC . 命题角度 4 简单几何体 专家会诊

棱柱、棱锥、球是几何中的重要载体,学习中除了牢固掌握有关概念、性质、面积体积公式之外,还要灵活运用有关知识进行位置益寿延年 判断与论证,进而达到计算的目的,在计算时要注意把某些平面图形分离现来运用平面几何的知识来进行计算,这是立体几何中计算问题的重要方法和技巧。 考场思维训练

考点高分解题综合训练

1 在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中,∠A=90°,且BC1⊥AC ,过C1作C1H ⊥底面ABC ,则H 在 ( )

A .直线AC 上

B .直线AB 上

C .直线BC 上

D .△ABC 的内部 解析:连AC 1,∵AC ⊥AB ,AC ⊥BC 1,且BC 1∩AB=B ,∴AC ⊥平面ABC 1,又AC ?平面ABC , ∴H 一定交线AB 上. B

2 正四面体内任意一点到各面的距离和为一个常量,这人常量是 ( ) A .正四面体的一条棱长 B .正四面体后条斜高的长

C .正四面体的高

D .以上结论都不对

解析:正四面体的四个面都全等,设其面积都为S ,四面体的高为h ,并设正四面体内任一

点到四个面的距离分别为h 1、h 2、h 3、h 4,

则V 正四面体=.,3

1)(3

143214321h h h h h sh V h h h h S =+++∴=+++正四面体又 C

7 如图,在正四棱锥S —ABCD 中,E 是BC 的中点,P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动,并且总有PE ⊥AC 。 (1)证明SB ⊥AC ;

答案:∵S-ABCD 为正四棱锥,O 为ABCD 的中心,∴SO ⊥平面ABCD ,OB 为SB 在ABCD 上的射影,

∵AC ⊥BD , ∴SB ⊥AC.

(2)指出动点P 的轨迹,并证明你的结论;

答案:如图,N 、G 分别为SC 、DC 的中点,则P 的轨迹为△SCD 的中位线GN 证明:设H 为CD 的中点,则GH ∥SO ,∴GH ⊥平面ABCD ,GN ,在下底央上的射出影为NE ,∵ABCD 为正方形,∴NE ⊥AC ,由三垂线定理知PE ⊥AC.

(3)以轨迹上的动点P 为顶点的三棱锥P —CDE 的最大体积为V 1,正四棱锥S —ABCD 的体积为V ,则V 1:V 等于多少?

答案:△CDE 的面积为定值,当P 在G 处时,三棱锥P-CDE 的体积最大,此时PH=2

1SO ,

又S △CDE :S 正方形ABCD =1:4,∴三棱锥P-CDE 的最大体积V 1是正四棱锥体积V 的81,即V 1:V=1:8.

8 如图,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1底面边长为a ,侧棱长为

a 2

2

,D 是A1C1的中点。 (1)求证:BC 1∥平面B 1DA ;

答案:如图,连结A 1B 交AB 1于E ,则E 为A 1B 的中点,又D 为A 1C 1的中点,∴DE ∥BC 1又DE ?面AB 1D ,∴BC 1∥平面AB 1D.

(2)求证:平面AB 1D ⊥平面A 1ACC 1;

答案:∵△A 1B 1C 1为正三角形,D 为A 1C 1中点,∴B 1D ⊥A 1C 1,又ABC-A 1B 1C 1为正三棱柱,∴B 1D ⊥平面A 1C 1CA ,又B 1D ?平面AB 1D ⊥平面A 1ACC 1 (3)求二面角A 1—AB 1—D 的大小。

答案:过A 1作A 1F ⊥AD 于F ,由(2)知A 1F ⊥平面AB 1D ,过F 作FG ⊥AB 1于G ,依据三垂线定理,A 1G ⊥AB ,∴∠A 1GF 为二面角A 1-AB 1-D 的平面角.在RT △AA 1D 中,A 1F=,1

1

11AB B A AA ?在RT △A 1FG 中,sin ∠A 1GF=

∴=2

2

11G A F A ∠A 1GF=45°∴二面角A 1-AB 1-D 为45°. 9 菱形ABCD 的边AB=5,对角线BD=6,沿BD 折叠得四面体ABCD ,已知该四面体积不小于8,求二面角A —BC —C 的取值范围。

答案:解:如图:设BD 的中点为O ,连结AO 、CO ,则AO=OC=,422=-BO AB 且AO ⊥BD ,OC ⊥BD ∴∠AOC=θ为二面角A-BO-C 的平面角.

S △AOC =21AO 2OC 2sin ∠AOC=21·42sin θ=8 sin θ,V ABCD =S 3

1△AOC·BD=16 sin θ依题意16 sin θ≥8,∴sin θ≥2

1

又0<θ<π, ∴θ∈[ππ6

5,6]故所求二面角的范围是[6

5,

6

π

π].

10 已知△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB ⊥平面BCD ,∠ADB=60°E 、F 分别是AC 、AD 上的动点,且

λ=AD

AF

AC AE (0<λ<1), 如图。

(1)求证:不论λ为何值,恒有平面BEF ⊥平面ABC ;

答案:∵AB ⊥ 平面BCD ,∴AB ⊥CD ,∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ,∴CD ⊥平面ABC.又∵

)10(<<==λλAD

AE

AC AE ∴不论λ取何值,恒有EF ∥CD ,∴EF ⊥平面ABCEF ?平面BEF ,∴不论λ取何值,恒有平面BEF ⊥平面ABC.

(2)当λ为何值时,平面BEF ⊥平面ACD 。

答案:由(1)知,BE ⊥EF ,又平面BEF ⊥平面ADC ∴BE ⊥AC ,∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠AOB=60°,∴BD=2,AB=2tan60°=6,∴AC=7,由AB2=AE 2AC 得AE=

7

6

,76==

∴AC AE λ,故当λ=76时,平面BEF ⊥平面ACD.

11 如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB-=3a,Do A 1C 1的中点。

(1)求BE 与A 1C 所成的角; 答案:如图,取A 1B 的中点M ,连结MB ,E 为B 1C 的中点,∴EM ∥A 1C ,EM=2

1

A 1C ∴∠ME

B (或补角)为直线BE 与A 1

C 所成的角.

.143

143

7cos

,1431437cos ,21121,2382

19,21321EM 11212arc C A BE BEM EMB a C B BE a a a BM a C A 所成的角为与中在∴-=∠?===+===

(2)在线段AA 1上是否存在点F ,使CF ⊥平面B 1DF ,若存在,求出AF ;若不存在,请说明理由。

答案:假若在AA 1上存在点F ,使CF ⊥平面B 1DF ,∵ABC-A 1B 1C 1为直棱柱,∴平面A 1B 1C 1⊥平面ACC 1A ,又A 1B 1=B 1C 1,D 为A 1C 1的中点,∴B 1D ⊥A 1C 1,B 1D ⊥平面A 1ACC 1,∴B 1D ⊥CF ,所以只

需CF ⊥B 1F 即可。设AF=x,则B 1F 2=2a 2+(3a-x )2,CF 2=x 2+4a 2,B 1C 2=11a 2

, ∴x=a ,或2a.

12 如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠ACB=90°,BC=AC=2,AA 1=4,D 为棱CC 1上

一动点,M 、N 分别为△ABD 、△A 1B 1R 的重心。 (1)求证:MN ⊥BC ;

答案:如图,连结DM 并延长交AB 于E ,则E 为AB 的中点,连结DN 并延长交A 1B 1于F ,则F 为A 1B 1的中点,且

,1

2

,12==NF DN ME DM ∴MN ∥EF ,又EF ∥BB 1,BB 1⊥BC ,∴EF ⊥BC ,MN ⊥BC. (2)若二面角C —AB —D 的大小为arctan 2,求C 1到平面A 1B 1D 的距离;

答案:∵BC=AC ,E 为AB 的中点,∴CE ⊥AB ,又DC ⊥平面ABC ,∴由三垂线定理知DE ⊥AB ,∴∠CED 为二面角C-AB-D 的平面角,∴tan ∠CED=2又CE=2,∴CD=2,∴D 为CC 1的中点,∴C1D=2 VD-A 1B 1C 1=VC 1-A 1B 1D=3

1

·2·2

1·2·2=3

1·h ·

43×(22)2

, ∴h=3

32. (3)若点C 在平面ABD 上的射影恰好为M ,试判断点C 1在平面A 1B 1D 上的射影是否

为N ?并说明理由。

答案:由已知CM ⊥平面ABD ,∴CM ⊥DE,在Rt △DCE 中,DM :ME=2:1,CE=2,∴DE=2,∴D 为CC 1的中点,由对称性知C 1N ⊥平面A 1B 1D ∴C 1在平面A 1B 1D 上的射影是N.

13 如图,在直三棱术ABC —A 1B 1C 1中,∠ACB=90°,B 1B=BC=CA=4,D 1是A 1B 1中点E 是BC 1的中点,BD 1交AB 1于点F

(1)求证:AB 1⊥BC 1;

答案:解:∵ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,AC ⊥BC ,∴AC ⊥平面B 1C 1CB ,∴AB 1在平面B 1C 1CB 上的射影为B 1C ,又由已知B 1C 1CB 为正方形,∴BC 1⊥B 1C 根据三垂线定理,可得AB 1⊥BC 1.

(2)求二面角B —AB 1—C 的大小; 答案:由(1)BC 1⊥AB 1,又BC 1⊥BC, ∴BC 1⊥平面AB 1C 利用平面几何的知识知:在平面ABB 1A 1内,AB 1⊥BD 1∴EF ∴AB 1,∴∠BFE 为二面角B-AB 1-C 的平面角.BE=,222

1

1=-BC 在Rt △ABB 1中,BF=

36

448

42411=?=?AB BB AB ,∴在Rt △中,sin ∠BFE= ,2

3

=BF BE ∴∠BFE=60°,∴二面角B-AB1-C 的大小为60°. (3)求点C 到平面BEF 的距离。

答案:(解法一) ∵E 为B 1C 的中点,∴C 到平面BEF 的距离等于B 1到平面BEF 的距离,∵ABC-A 1B 1C 1为直棱柱,A 1C 1=B 1C 1,D 1为中点,∴C 1D 1⊥A 1B 1,∴C 1D 1平面A 1B 1BA ,∴CD 1⊥B 1F ,又由(2)知B 1F ⊥BD 1,∴B 1F ⊥平面BEF ,∴B 1F 为B 1到面BEF 的距离,B 1F=3

3

46

2224=

?,∴C 到平面BEF 的距离为

3

3

4. (解法二)由(2)知BC1⊥EF 于M ,得CM ⊥平面BEF ,可算得CM=

3

3

4,∴C 到平面BEF 的距离等于

3

3

4.

14 如图,ABCD 是边长为a 的正方体,M 、N 分别在边DA 、BC 上滑动,且MN ∥AB ,

AC 与MN 交于点O ,现把平面MNCD 沿MN 折成120°的二面角,使它到平面MNEF 位置。

(1)求证:不论MN 怎样平行移动,∠AOE 的大小不变; 答案:设BN=x ,则EN=a-x, 易知MN ⊥平面BEN ,

∴∠BNE=120°,∴BE 2=x 2+(a-x)2+x(a-x)=x 2-ax+a 2

,又AB ∥平面BEN ,∴AB ⊥BE ,易得

AE 2=x 2-ax+2a 2

,而AO=2x,EO=2(a-x),故

cos ∠AOE=4

3

2222-=?++EO AO AE EO AO ,即不论MN 怎样平行移动,∠AOE 的大小不变.

(2)当A 、E 两点间的距离最小时,证明:平面AOE ⊥平面ABE 。 答案:∵AE 2

=x 2

-ax+2a 2

=(x-2a )2+247a ,∴当x=2

a

时,AE 有最小值,此时M 、N 分别AD 、BC 中点,

∵EN=BN=CN ,∴CE ⊥BE ,又AB ⊥平面ABE ,而CE ?平面AOE ,故平面AOE ⊥平面ABE. 考点11 空间向量

?求异面直线所成的角 ?求直线与平面所成的角 ?求二面角的大小 ?求距离

?利用空间向量解立体几何中的探索问题 ?利用空间向量求角和距离 经典易错题会诊 命题角度 1

求异面直线所成的角 1.(典型例题Ⅰ)如图11-1,四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形,AB ∥DC ,∠DAB=90°,PA ⊥底面ABCD ,且PA=AD=DC=

2

1AB=1,M 是PB 的中点。

(1)证明:面PAD ⊥面PCD ; (2)求AC 与PB 所成的角;

(3)求面AMC 与面BMC 所成二面角A-CM-B 的大小。

[考场错解] 第(2)问。∵PA ⊥底面ABCD ,且∠DAB=90°∴AD 、AB 、AP 两两互相垂直,建立如图所示的坐标系,则A (0,0,0),C (1,1,0),B (0,2,0),P (0,0,1),∴AC =(1,1,0),PB =(0,-2,1),∴cos θ5

10

|

|||-

=PB AC ∴AC 与PB 所成的角为arccos(-5

10

). [专家把脉] 上述错解中有两个错误:(1)PB 的坐标应用B 的坐标减P 的坐标,∴PB =(0,2,-1);(2)异面直线所成角的范围不正确,公式记忆不准确,实际上异面直线所成的角的范围不正确,公式记忆不准确,实际上异面直线所成的角的范围为(0°,90°),而arccos(-510

)为钝角,cos θ|

|||PB AC ? [对症下药] (1)∵PA ⊥底面ABCD ,∴PA ⊥CD ,又CD ⊥AD ,∴CD ⊥平面PAD ,又CD

?平面PCD ,∴平面图PAD ⊥平面PCD 。

(2)∵PA ⊥底面ABCD ,∴PA ⊥CD ,PA ⊥AB ,又AD ⊥AB ,∴可以建立如图所示空间坐标系,则由已知A (0,0,0)、C (1,1,0)、B (0,2,0)、P (0,0,1)∴AC =(1,

1,0),PB =(0,2,-1),设AC 与PB 成角为θ,则cos θ5

10

=

,∴AC 与PB 所成的角为arccos

5

10

. (3) ∵M 为PB 的中点,∴M (0,1,2

1),∴AM =(0,1,2

1),AC =(1,1,0)设n 1=(x,y,z)

为平面AMC 的法向量,则n 1⊥AM ,n 1⊥AC ,∴y=2

1z=0,x+y=0,令x=1,得y=-1,z=2, ∴n 1=(1,-1,2)为平面AMC 的一个法向量,同理可求得n 2=(1,1,2)为平面BMC 的一个法向量,∴n 1、n 2的夹角为arccos 3

2,而从图中可看出A-MC-B 为钝角,∴二面角A-CM-B 的大小为3

2arccos -π。

2.(典型例题)如图11-2,在直四棱术ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=2,DC=23,AA 1=3,

AD ⊥DC ,AC ⊥BD ,垂足为E 。 (1)求证BD ⊥A 1C ;

(2)求二面角A 1-BD-C 1的大小;

(3)求异面直线AD 与BC 1所成角的大小。

[考场错解]第(3)问,由已知AD 、DC 、DD 1两两互相垂直,∴建立如图所示的空间直角

坐标系,∴A (2,0,0)、D (0,0,0)、B (2, 23,0)C 1(0,

23,3)∴AD (-2,0,0)1BC =(-2,0,3)。cos θ|

|||11BC AD ?=

,7

7

2724=?∴AD 与BC 1所成的角为 arccos

7

7

2. [专家把脉] B 点坐标计算错误,其实质是位置关系未分析清楚,错误地认为AB ⊥AD,BC ⊥CD,

本题还会出现以BD 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为 z 轴的建立坐标系的错误.

[对症下药] (1) ∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为直四棱柱。∴AA 1⊥底面ABCD ,∴A 1C 在底面ABCD

上的射影为AC ,又由已知AC ⊥依三垂线定

理可得BD ⊥A 1C 。

(2)如图,以D 为坐标原点,DA 、DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,

建立空间直角坐标系。

连接A 1E 1、C 1E 1、AG 1。与(1)同理可证,BD ⊥A 1E 1,BD ⊥C 1E 1,∴∠A 1EC 1

为二面角A 1-BD-C 1的平面角。 由

A 1(2,0

3

)、C 1(0,2

3

3

)、E (

0,2

3,23),得,

,034943),3,233,23(),3,23,21(111111EC EA EC EA EC EA ⊥∴=+--=?∴-=-=

即EA 1⊥EC 1。∴二面角A 1-BD-C 1的大小为90°。

(3)在平面ABCD 中,过A 作BF ⊥AD ,交DA 的延长线于F ,由AD=2,CD=23,得

AC=4,∠DAE=60°,∴AE=1,在Rt △AEB

中,AB=2,AE=1,∠BAE=60°,在Rt △AFB 中AB=2,∠BAF=60°,∴BF=3,AF=1,

DF=2+1=3,∴B 的坐标为(3,3,0)由

D (0,0,0)、A (2,0,0)、C1(0,23,3)、B (3,3,0),得

,15||,2||.6),3,3,3(),0,0,2(111===?∴-=-=BC AD BC AD BC AD

∴cos (AD 、1BC )=

5

15

15

26|

|||1=

=

BC AD ,∴异面直线AD 与BC 1所成角的大小为arccos

5

15

。 本题还可以E 为坐标原点,EB 、EC 分别为x 轴和y 轴,则z 轴与AA 1平行,E (0,0,0)、

A 1(0,-1,3)、C 1(0,3,3)

B (3,)

0,0)、D (3-,0,0)、A (0,-1,0),其中A 1、D 、A 的坐标容易求错。 专家会诊

利用空间向量求异面直线所成的角,公式为cos ,|

||||

|b a b a ??=

θ关键是正确地建立坐标系进而写

出各有关点的坐标,建立坐标会出现用三条

两两不垂直的直线作x 轴、y 轴、z 轴的错误,还会出现用三条两两互相垂直但不过同一点

的三条直线作x 轴、y 轴、z 轴的错误。写点的

坐标也容易出现错误,学习时要掌握一些特殊点坐标的特点,如x 轴上的点坐标为(a ,0,

0),xoz 面上的点坐标为(a,0,b )等,其次还

应学会把某个平面单独分化出来,利用平面几何的知识求解,如本节的例2,求B 的坐标。 考场思维训练 1.已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2a,高为b ,求异面直线AC 1和A 1B 所成的角。 答案:如图:∵ABC-A1B1C1为正三棱柱,∴AA 1⊥平面空间直角坐标系.则A (0,0,0)、A 1(0,0,b )、B (a,3a,0)

、C 1(2a,0,b ), ∴),3,(),,0,2(11b a a B A b a AC -== ∴ cos θ=

,,

2

2

,4|2|2

22211时当b a b a b a ≥

+-=

AC 1与A 1B 所成的角为arc

cos

,2

2

;4222时当b a b

a b a <+- AC 1与A 1Ba 所成的角为π-arc cos 2

22242b a b a +-.

2.如图11-4,在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是D 1D ,BD 的中点,

G 在CD 上,且CG=4

1CD ,H 为C 1G 的中 点。

(1)求证:EF ⊥B1C ;

答案:建立如图所示的空间直角坐标系,由已知有E (0,0,21)、F (21,2

1,0)、C (0,1,0)、B 1(1,1,1)、G (0,4

3,0)

(1)∵得,0).1,0,1()2

1,21,21(11=?∴--=-=B B EF ⊥B 1C. (2)求EF 与C 1G 所成角的余弦;

答案:=G C 1(0,43,0)-(0,1,1)=(0,-4

1,-1), ∵,83

,23||,417||11=?==

G C EF EF G C ∴cos θ=

.17

51

2

341783=

? (3)求FH 的长。

答案:由中点坐标公式,得H 的坐标为(0,

21,87)又F (21,2

1,0), ∴=FH (-

21,83,21),FH=.8

41

||=FH 3.如图11-5 四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形,PA ⊥底面ABCD ,PA=AB=1,BC=2。

(1)求证:平面PAD ⊥平面PCD ;

答案:由已知PA ⊥平面ABCD ,又ABCD 为矩形, ∴CD ⊥AD, ∴CD ⊥平面PAD ,∴面PAD ⊥面PCD.

(2)若E 是PD 的中点,求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值; 答案: A(0,0,0)、P (0,0,1)、D (0,2,0),E 为PD 中点, ∴E(0,1, 2

1

)、C (1,2,0),∴,10

302

56212,cos ),1,2,1(),2

1,1,0(=

?

->=

∠∴-== ∴AE 与PC 所成角的余弦值为

10

30 (3)在BC 边上是否存在一点G ,使得D 点在平面PAG 的距离为1,如果存在,求出BG

的值;如果不存在,请说明理由。 答案:假设BC 边上存在一点G 满足D 到PAG 的距离为1,设G (1,y ,0),则AP =(0,0,1)

AG =(1,y,0),设n=(a 、b 、c)为平面PAG 的一个法向量,由n ⊥AP ,得c=0,由n ⊥AG ,得

a+by=0,令a=1,得b=-

y 1,∴n =(1, -y 1,0) 为平面PAG 的一个法向量,∴d=1|

||

|=?n AD n ,

解得

y=3,∴BC 上存在一点G ,BG=3,使得D 到平面PAG 的距离为1.

命题角度 2

求直线与平面所成的角 1.(典型例题)如图在三棱锥P —ABC 中,AB ⊥BC ,AB=BC=KPA ,点O 、D 分别是AC 、

PC 的中点,OP ⊥底面ABC 。 (1)当k=2

1

时,求直线PA 与平面PBC 所成角的大小;

(2)当k 取何值时,O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心?

[考场错解](1)∵PO ⊥OC ,PO ⊥OB ,又AB=BC ,O 为AC 的中点,∴BO ⊥OC ,∴以O

为坐标原点,OB 、OC 、OP 所在直线x 、y 、z 轴建立穿间直角坐标系,则O (0,0,0)、C (0,a,0)其中设AC=2a ,A (0,-a,0)P(0,0,a 7)、

B (a,0,0)∴PA =(0,-a,-7a),PB = (a,0,-7a)

PC =(0,a,-7a),设n=(x,y,z )为平面PBC 的一个法向量,由n ⊥PB ,得ax-7az=0,由n ⊥PC ,

得ay-7az=0,令x=1,得z=

7

7

,y=1, ∴n=(1,1, 77

)为平面PBC 的一个法向量,设PA 与平面PBC 所成的角为θ,则cos θ30

210

=. [专家把脉]

公式记忆错误,其实质是未能把直线与平面所成的角与向量的夹角联系上,

线与平面所成角的正弦值.

[对症下药](1)由错解和错因知,设PA 与平面PBC 所成的角为θ,则cos θ30

210

|

|||=

?n PA , ∴θ=arcsin

30

210

. ∴PA 与平面PBC 所成的角为arcsin

30

210

. (2)设 P(0,0,b),则PB =(a,0,-b),PC =(0,a,-b),设G 为△PBC 的重心,则由穗主坐标公式得

G(3

,3,3b

a a ),由已知OG ⊥平面PBC, ∴

PB OG PC OG ⊥⊥,,得a=b,即PO=a ,在Rt △POA 中,PA=2a,又AB=2a, ∴R=1, ∴当k=1

时O 在平面PBC 内的射影为△PBC 的重 心。 2.(典型例题Ⅱ)如图11-7,四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PD ⊥底面ABCD ,

AD=PD ,E 、F 分别为CD 、PB 的中点。 (1)求证EF ⊥平面PAB ;

(2)设AB=2BC ,求AC 与平面AEF 所成的角的大小。

[考场错解] 第(2)问,由已知PD ⊥CD ,PD ⊥AD ,CD ⊥AD ,∴建立如图所示的空间直

角坐标系,设BC=a ,则AB=2a ,可得D (0,

0,0)、C (2a ,0,0)、A (0,a,0)、B (a, 2a,0),以后算出AC 的坐标,平面AEF 的

一个法向量的坐标,利用公式sin θ|

|||n AC ?得出结果。

[专家把脉] B 的坐标写错,由于本题中所建坐标系与通常所建坐标系在直观上有所不同,其

实质还是求点的坐标不熟练所致。 [对症下药] (1)连接PE 、BE 、CF 、FD 。在Rt △PED 中,PE=22PD ED +,在Rt △BCE

中,BE=,22CE BC +又由已知AD=BC=PD ,

CD=ED ,∴PE=BE ,又F 为PB 中点,∴EF ⊥PB ,又在Rt △PBC 中,CF=2

1PB ,在Rt △

PDB 中,DF=2

1PB ,∴CF=DF ,∴EF ⊥CD ,

又AB ∥CD ,∴EF ⊥AB ,∴EF ⊥平面PAB ;

(2)由已知PD ⊥CD ,PD ⊥AD ,又AD ⊥CD ,所以建立如图11-8所示的空间直角坐标系,

设BC=a ,则AB=2BC=2a ,得D (0,0,

0)、C (2a,0,0)、A (0,a,0)B (2a,a,0)、P (0,0,a ),由中点坐标公式得E (

0,0,2

2

a )

,F (

2

,2,22a

a a )∴ )0,,2

2

(),2,2,0(),0,,2(a a AE a a EF a a AC -==-=设n=(x,y,z )为平面AEF 的一个法向量,由n ⊥

,得

)2

2

,22,1(,22,22,1,022,,022-=∴-====-⊥=+n z y x ay ax AE n z a y a 得令得由为平面AEF 的一个法向量,设AC 与平面AEF 所成 的角为θ,则sin θ.63|

|||=

?n AC ∴AC 与平面AEF 所成的角为arcsin 6

3. [专家会诊]

求直线与平面所成角的公式为:sin θ=

|

||||

|n a n a ??,其中a 为直线上某线段所确定的一个向量,n

为平面的一个法向量,这个公式很容易记错,

关键是理解,有些学生从数形结合来看,认为n 应过直线上某个点,如例4中n 应过C 点,

这是错误的,这里n 是平面的任意一个法向量, 再说一个向量过某一个具体的点这种说法也是错误的。 考场思维训练 1 如图11-9,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠ACB=90°AC=2,BC=6,D 为A 1B 1的中点,

异面直线CD 与A 1B 垂直。

(1)求直三棱术ABC-A 1B 1C 1的高;

答案:以CA 、CB 、CC1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则由已知有A1(2,0,x )、B (0,6,0)、D (1,3,x ),C (0,0,0),其中x 为直三棱柱,∴=--=x A ),,6,25(1(1,3,x ),又A1B ⊥CD ,∴B A 1·CD =0,得(-2)31+633-x 2

=0,解得x=4或x=-4(舍去) ∴直三棱柱的高为4.

(2)求直线A 1B 与平面CC 1A 1C 所成的角。 答案:由(1)知B A 1=(-2,6,-4),又BC ⊥平面ACC 1A 1 ∴BC 为平面CC 1A 1C 的—个法向量,又BC (0,-6,0) ∴sin θ=

.14

4

36

5636|

||||

|11=

?=

??BC B A BC B A ∴直线A 1B 与平面CC 1A 1C 所成的角为arc sin

.14

4

3 2 如图,已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面边长AB=2,侧棱BB 1的长为4,过点B

作B 1C 的垂线交侧棱CC 1于点E ,交B 1C 于点F 。 (1)求证:A 1C ⊥平面BED ;

答案:以DA 、DC 、DD1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0)、A(2,0,0)、A1(2,0,4)、B(2,2,0),设E(0,2,x)则=(-2,0,x),B 1=(-2,0,-4),由已知BE ⊥B 1∴BE ·B 1=0,得x=1,∴E(0,2,1),∴BE = (-2,0,1),BD =(-2,-2,0),C A 1=(-2,2,-4),由C A 1·BE =0知A 1C ⊥BE ,C A 12BD=0知A 1C ⊥BD ,∴A 1C ⊥平面BED (2)求A 1B 与平面BDE 所成的角是正弦值。

答案:由(1)知A 1=(-2,2,-4)为平面BED 的一个法向量,B A 1=(0,2,-4),∴sin θ=

,6

30

1111=

∴θ=arc sin

6

30. ∴A 1B 与平面BDE 所成的角为arc sin

6

30. 3 已知四棱锥P-ABCD (如图),底面是边长为2的正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD ,M 、N

别为AD 、BC 的中点,MQ ⊥PD 于Q ,直线PC 与平面PBA 所成角的正弦值为

3

3

(1)求证:平面PMN ⊥平面PAD ;

答案:以A 为坐标原点,分别以AB 、AD 、AP 所在的直线为x 轴、y 轴和z 轴,建立空间直角坐标系(图略).

设PA=a ,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2, 0),P(0,0,a),M(0,1,0),N(2,1,0).

∴MN =(2,0,0),AP =(0,0,a),AD =(0,2,0),

∴?????=?=?0

0AD MN AP MN ,∴MN ⊥平面PAD. ∵MN ?平面PMN ,∴平面PMN ⊥平面PAD. (2)求PA 的长;

答案:PC =(2,2,-a),平面PBA 的一个法向量为n==(0,1,0) ∵直线PC 与平面PBA 成角的正弦值为3

3

, ∴|cos|=

3

3 即

3

3010)(222

2

22222|=

|++?-++a , ∴a=2,即PA=2.

(3)求二面角P-MN-Q 的余弦值。

答案:由(Ⅰ),MN ⊥平面PAD ,知MQ ⊥MN,MP ⊥MN, ∴∠PMQ 即为二面角P —MN —Q 的平面角. 而PM=5,MQ=

22,MD=2

2, ∴cosPMQ=.1010

5

22PM MQ == ∴二面角P-MN-Q 的余弦值为

.10

10

命题角度 3

求二面角的大小

1.(典型例题)在四棱锥V-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧面V AD 是正三角形,平

面V AD ⊥底面ABCD ,如图11-12。 (1)证明:AB ⊥平面V AD ; (2)求二面角A-VD-B 的大小。 [考场错解](2)过V 作VO ⊥AD 于O ,由已知平面V AD ⊥底面ABCD ,∴VO ⊥底面ABCD ,

∴以OA 、OV 分别为x 、z 轴建立空间坐 标系,则分别算出V AD 与VBD 的法向量n 1=(0,1,0),n 2=(1,-1,

33),∴cos(n 12n 2)=-7

21。∴二面角A-VD-B 的大小为.7

21

arccos

-π [专家把脉] 认为两平面的法微量是的夹角等于二面角的大小,这是错误的,实际上法向量

的夹角与二面角的平面角相等或互补。本题中A-VD-B 为一锐二面角。 [对症下药](1)∵平面V AD ⊥平面ABCD ,AB ⊥AD ,

∴根据两面垂直的性质和AB ⊥平面V AD 。

(2)过V 作VO ⊥AD 于O ,由平面V AD ⊥平面ABCD ,得VO ⊥底面ABCD ,∴可以建立如衅11-13所示的空间直角坐标系,设正方形的边长为1,则A (21

,0,0)、B (2

1,1,0)、C (-21,1,0)、D (-21,0,0)、V(0,0,2

3

)由(1)知=(0,1,0)为平面V AD 的一个法向量,=-=BD VB ),2

3

,1,21((-1,-1,0)

,设n=(x,y,z)为平面VDB 的一个法向量,由

n ⊥,,023

21,n z y x ⊥=-

+由得得,x+y=0,令x=1,得y=-1,z=-

3

3。∴

cos

21-

= 又由图形知二面角A-VD-B 为锐二面角,∴二面角A-VB-B 的大小为arccos

7

21.

2.(典型例题)如图11-14,已知三棱锥P-ABC 中,E 、F 分别是AC 、AB 的中点,△ABC 、△PEF 都是正三角形,PF ⊥AB 。 (1)证明:PC ⊥平面PAB ;

(2)求二面角P-AB-C 的平面角的余弦值;

(3)若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上,求△ABC 的边长。 [考场错解] 以EB 、EC 、EP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系。

[专家把脉] 坐标系建立错误,实际上BE ⊥EC ,PE ⊥EC 都可以证得,但PE 与EB 不垂直,本题用穿间向量来解没有用传统方法来解方便,建立坐标系错误或不知息样建立坐标系的穿间向量中的常见错误。

[对症下药] ∵F 为AB 中点,PF ⊥AB ,∴PA=PB ,又△PEF 为正三角形,∴PE=PF ,在△PAE 与△PAF 中,PE=PF ,AE=AF ,∴△PAE ≌△PAF ,∴∠PEA=∠PEF=90°,又E 为AC 中点,∴PA=PC ,∴PA=PB=PC ,∴P 在底面ABC 上的射影为正△ABC 的中心,建立如图11-14所示的空间坐标系,设底面△ABC 的边长为2a ,则PA=PB=PC=2a ,∴PO=,3

63

4222a a a =- ∴P (0,0,36a ),C (,332a 0,0),A (a a -,330),C (,332a -0,0),B (,,33a a 0)。 (1))3

6,,33(),36,0,332(a a a PA a a PC --=--

=由,0=?知PC ⊥PA ,同理PC ⊥BP ,∴PC ⊥平面PAB 。 (2)由(1)知PC =(a a 3

6,0,332--

)为平面PAB 的一个法向量,OP =(0,0,a 36

)为平面ABC 的一个法向量,cos

3

|

|||=

?OP PC 又由图形知P-AB-C 的平面角的余弦值为

3

3。 (3)由已知球半径为3,又PA 、PB 、PC 两两互相垂直,∴PA 2+BP 2+PC 2=(23)2,得PA=2,∴AB=22,即正三角形的边长为22 专家会诊

利用空间向量求二面角,先求两平面的法向量,利用向量的夹角公式求出两法现量的夹角,

二面角的平面角与法向量的夹角相等或互补,具体是哪一种,一般有两种判断方法:(1)根据图形判断二面角是锐角还是钝角;(2)根据两法向量的方向判断。实际上很多求二面角的题目,还是传统方法(如三垂线定理作出二面角的平面角)简单,或传统方法与空间向量相结合来解。 考场思维训练

1 如图,在三棱锥P-OAC 中,OP 、OA 、OC 两两互相垂直,且OP=OA=1,OC=2,B 为OC 的中点。

(1)求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值;

答案:解:以OA 、OC 、OP ,所在直线为,x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则O(0,0,0)、P(0,0,1)、C(0,2,0)、B(0,1,0). (1)PC =(0,2,-1),=(-1,1,0),cos

10

=

,∴PC 与AB 所成角的余弦值为

5

10. (2)求点C 到平面PAB 的距离;

答案: PA =(1,0,-1),AB =(-1,1,0),设n 1=(x ,y ,z)为平面PAB 的一个法向量,则x-z=0,x-y=0,令x=1得n 1=(1,1,1)为平面PAB 的一个法向量. CB =(0,-1,0),∴.3

3

3111== ∴C 到平面PAB 的距离为

3

3. (3)求二面角C-PA-B 的大小(用反余弦表示)。

答案: AC =(-1,2,0),PA =(1,0,-1),设n 2=(x ,y ,z)为平面PAC 的一个法向量,由2y-x=0,x-z=0,令x=1,得n 2=(1,2

1,1)为平面PAC 的一个法向量.∴cos ∠n 1,n 2>= 9

3

5,又由图形知C-PA-B 为锐二面角. ∴C-PA-B 的大小为

9

3

5. 2 如图所示,四棱锥P-ABCD 的底面是正方形,PA ⊥底面ABCD ,PA=AD=2,点M 、N 分别在棱PD 、PC 上,且PC ⊥平面AMN 。 (1)求证:AM ⊥PD ;

答案:解析:(1)由已知PC ⊥平面AMN ,得PC ⊥AM ,又可得 CD ⊥平面PAD ,∴CD ⊥AM ,∴AMA ⊥平面PCD , ∴AM ⊥PD .

(2)求二面角P-AM-N 的大小;

答案:以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则由已知A(0,0,0),P(0,0,2)C(2,2,0),可以算得N 分PC 的比为2

1,∴N(3

2,3

2,3

4)、M(0,1,1)、PC =(2,2,-2)为平面AMN 的一个法向量,=(2,0, 0)为平面PAM 的一个法向量,且cos ∠,

>

3

3. ∴P ——AM ——N 的大小为arc cos

3

3 . (3)求直线CD 与平面AMN 所成角的大小。 答案:CD =(-2,0,0),sin θ3

3|

|||=

?PC CD . ∴CD 与平面AMN 所成角为arcsin

3

3. 3 如图所示,已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面边长为4,AA 1=6,Q 为BB 1的中点,P ∈DD 1,M ∈A 1B 1,N ∈C 1D 1,AM=1,D 1N=3。

(1)当P 为DD 1的中点时,求二面角M-PN=D 1的大小;

以A 1D 1为x 轴,D 1C 1为y 轴,DD 1,为z 轴,D 1为原点,建立空间直角坐标系则D 1(0,0,0)、A 1(4,0,0)、P(0,0,3)、M(4,1,0)、N(0,3,0) ∴11A D =(4,0,0),PN =(0,3,-3),PM =(4,1,-3) 显然11A D 是面PD 1N 的法向量. 设面PMN 的法向量为n=(x ,y,z)

则由.0

330

340????????

?=????=-=-+=?n z y z y x PM n 得 ∴y=z=2x

不妨取n=(1,2,2),设11A D 与n 成角θ 则cos θ.3

1221004)2,2,1()0,0,4(2

222221111=++?++?=

∴θ=arc cos 3

1.

由题知二面角M--PN--D 1大小为arccos 3

1.

(2)在DD1上是否存在点P ,使QD1⊥面PMN ?若存在,求出点P 的位置;若不存在,请说明理由;

答案:MN =(-4,2,0),1QD =(-4,-4,-3) ∵1QD 2 =(-4,-4,-3)2(-4,2,0)=8≠O ∴QD 1与MN 不垂直.

∴不存在点P 使QD 1⊥面PMN .

(3)若P 为DD 1中点,求三棱锥Q=PMN 的体积。

答案: P(0,0,3)、M(4,1,0)、N(0,3,0)、=(4,1,-3),

=(0,3

,-3),|

PM

|=

.13

22

32693,cos 18)3(30||26)3(14222222=

?+=

>=

∠=-++==-++PN PM PN

)

0,4,4(.913

3182621sin ||||21.13

31341sin ==???=∠???=

?=-=∠MPN PM PMN S MPN 由(1)取平面PMN 的法向量n=(1,2,2)则Q 到平面PNM 的距离h=

42

21|

84|||||22=+++=?n n

∴V Q-PMN =3

13S △PMN 2h=3

13934=12.

命题角度 4

求距离 1.(典型例题)如图11-18,直二面角D-AB-E 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,AE=EB ,F 为CE 上的点且BF ⊥平面ACE 。 (1)求证:AE ⊥平面BCE ; (2)求二面角B-AC-E 的大小; (3)求点D 到平面ACE 的距离。

[考场错解] 第(3)问,以A 为坐标原点,AB 、AD 分别为y 轴,z 轴建立空间坐标系,由(1)知∠AEB=90°∴∠EAB=45°,可得E (1,1,0),在Rt △BCE 中,F 分CE 的比为2,∴F (32,34,32),)3

2,32,32(-=BF 为平面BCE 的一个法向量,=DB (0,2,-2),∴D 到平面ACE 的距离.3

2

2|

|=DB [专家把脉] 点到面的公式用错,求A 到平面α的距离的公式为,|

||

|n n a d ?=

其中a 为A 且与α相交的线段所确定的向量,n 为平面的任一非零法向量。本题若用D 到面ACE 的距离等于B 到面ACE 的距离,而后者即为BF ,将会更简单。

[对症下药] (1)∵BF ⊥平面ACE ,∴BF ⊥AE ,又D-AB-E 为直二面角,CB ⊥AB ,∴CB ⊥平面AEB ,∴CB ⊥AE ,∴AE ⊥平面BCE 。

(2)以A 为坐标原点,AB 、AD 分别为y 轴、z 轴建立如衅11-18所示的空间坐标系,则由∠AEB=90°,AE=EB ,得∠EAB=45°,AE=2,得E (1,1,0),在Rt △BCE 中,

F

分CB 的比为2,∴F (32,34,32),)3

2,32,32(-=BF 为平面ACE 的一个法向量,平面ABC 的一人法向量为x 轴,取n=(1,0,0), ∴cos(n,BF )=3

3

,又由图知B-AC-E 为锐二面角。∴B-AC-E 的大小为arccos

3

3

. (3) =(0,2,-2), ∴D 到平面ACE 的距离.3

2

2=

2.(典型例题)如图11-19,在三棱锥S-ABC 中,△ABC 是边长为4的正三角形,平面SAC ⊥平面ABC ,SA=SC=32,M 、N 分别为AB 、SB 的中点

(1)证明:AC ⊥SB ;

(2)求二面角N-CM-B 的大小。 (3)求点B 到平面CMN 的距离。

[考场错解] 因为平面SAC ⊥平面ABC ,∴SC ⊥平面ABC ,∴C 为坐标原点,CB 、CS 为y 轴、z 轴建立空间坐标系。

[专家把脉] 坐标系建立错误,实质是对二面垂直的性质不熟悉所致,SC 与平面ABC 不垂直。

[对症下药] 取AC 中点O ,连续OS 、OB ,∵SA=SC ,AB=BC ,∴AC ⊥SO ,AC ⊥OB ,又平面SAC ⊥平面ABC ,SO ⊥AC ,

∴SO ⊥平面ABC ,∴SO ⊥BO 。以OA 、OB 、OC 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如下图。

(1)A (2,0,0)、B (0,23,0)、C (-2,0,0)、S (0,0,22)、M

(1,3,0)、N (0,3,2)∴AC =(-4,0,0),SB =(0,23,-22)∵,0=?SB AC ∴AC ⊥SB 。

(2)由(1)得),2,0,1(),0,3,3(-==MN CM 设n=(x,y,z )为平面CMN 的一个法向量,则

????

?=+-=?=+=?,

020

33z x n y x n CM 可得n=(1,6,2-)为平面CMN 的一个法向量,又OS =(0,0,22)为平面ABC 的一个法向量,∴ cos =

,3

1

=

又由图知二面角N-CM-B 的大小为锐角,∴二面角N-CM-B 的大小为arccos 3

1

(3)由(1)、(2)得)1,6,2(),0,3,1(-=-=n MB 为平面CMN 的一个法向量。 ∴点B 到平面CMN 的距离d=

.3

2

4||||=?n MB n 专家会诊

立体几何中的距离以点到面的距离最为重要利用空间和量求点到面的距离关键是对公式

d=

|

||

|n n a ?的理解和记忆,其中a 为过该点且与平面相交的线段确定的向量,n 为平面的任意一个法向量,这个任意给解题带来了很大的方便。当然有些题目用空间向量来解可能没有传统方法简单。 考场思维训练

1 已知ABCD 是边长为4的正方形,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,PC 垂直于ABCD 所在的平面,且PC=2。

求点B 到平面PEF 的距离。

答案:解:以CD 、CB 、CP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0)、P(0,0,2)、F(4,2,0)、E(2,4,0)、B(4,4,0),∴=(2,4,-2),=(4,2,-2),设n=(x ,y ,z)为平面PEF 的一个法向量,则由n ⊥PE ,得2x+4y-2z=0,由n ⊥PE 得4x+2y-2z=0,令x=1,得y=1,z=3,∴n=(1,1,3)为平面PEF 的一个法向量. ∴d=

.1111

2

||||=?n BE n 2 如图:正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面边长是3,侧棱长是3,点E 、F 分别在BB1、

DD1上,且AE ⊥A1B ,AF ⊥A2C 。

(1)求证:A1C ⊥平面AEF ;

答案:∵CB ⊥平面A 1B ,∴A 1C 在平面A1B 上的射影为A 1B ,又A 1B ⊥AE,AE ?平面A 1B .∴A 1C ⊥AE .同理A 1C ⊥AF ,∴A 1C ⊥平面AEF . (2)求二面角A-EF-B 的大小;

答案:以D 为坐标原点,以DA 、DC 、DD 1在的直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0)、A(3,0,0)、A 1(3,0,3)、C(0,3,0),由(1)知C A 1=(-3,3,-3)为平面AEF 的一个法向量,设n 为平面AEB 的一个法向量,可以算得F(0,0,1)、E(3,

3,1),∴BE =(0,0,1)、EF (-3,-3,0),由n ⊥BE ,得z=0,n ⊥EF ,得x+y=0,

令x=1,则y=-1,∴n=(1,-1,0)为平面BEF 的一个法向量.∴cos ∠n, C A 1>=,

5

10

||||11=??C A n C A n 又从图知A —EF —B 为锐二面角,∴二面角A —EF —B 的大小为a1ccos 5

10. (3)求点B 1到平面AEF 的距离。

答案: B 1(3,3,3)、B 1(0,0,-2)、A 1 (-3,3,-3)为平面AEF 的一个法向量,∴d=

.155

2

||||11=?C A A

3 在三棱锥P-ABC 中,PA=PB=PC ,BC=2a ,AC=a ,AB=3a ,点P 到平面ABC 的距离为2

3a

(1)求二面角P-AC-B 的大小;

答案:设O 为BC 中点,则可证明PO ⊥面ABC ,建立如图3所示的空间直角坐标系,则A (a 2

1

,-2

3

a,0)、B (-a,0,0)、C(a,0,0)、P (0,0,a 23),AC 中点D

()2

3,43;43(),0,23,23(),0,43,43a a a DP a a AB a a -=-=-

,AB ⊥AC ,PA=PC ,PD ⊥AC ,cos即为二面角P-AC-B 的余弦值。而

cos=

214

9163169043490

43

23)43)(23(2

2222=++?+++?+--a a a a a a a a a ∴二面角P-AC-B 的大小为60°

(2)求点B ’到平面PAC 的距离。 答案:由(1)知=(设)2

3

,0,(),23,23,

21a a CP a a a -=n=(x,y,z)为平面PAC 的一个法向量,则由n ⊥

.

23

),0,0,2(,)32,33,1(,3

3

,32,1,023,,0232321,a d a BC PAC n y z x az ax n az ay ax ==∴=-=∴-====+-⊥=++-

的一个法向量为平面得令得得

∴B’到平面PAC 的距离为a 2

3

.

探究开放题预测 预测角度 1

利用空间向量解立几中的探索性问题

1.如图11-23,PD ⊥面ABCD ,ABCD 为正方形,AB=2,E 是PB 的中点,且异面直线DP 与AE 所成的角的余弦为

3

3。 试在平面PAD 内求一点F ,使EF ⊥平面PCB 。 [解题思路] 建立空间坐标系,DP 与AE 所成的角的余弦为3

3

,求出E 的坐标,再设F 的坐标,得用PC EF CB EF ⊥⊥,求解。

[解答] 以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图11-24所示的穿间直角坐标系,则A (2,0,0)、B (2,2,0)、C (0,2,0),设P (0,0,2m )则E (1,1,m ),

)2,0,0(),,1,1(m DP m AE =-=∴

∴cos=

,3

3

211222=

?++m

m m 得m=1. ∴P(0,0,2),E(1,1,1)

∵F ∈平面PAD ,∴可设F (x,0,z ),=(x-1,-1,z-1)、EF ⊥平面PCB ,∴CB EF ⊥,∴CB EF ⊥

=0

2019-2020年公务员考试备考行测《其他常识》练习题资料含答案解析(四十六)[湖北]

2019-2020年公务员考试备考行测《其他常识》练习题资料 含答案解析(四十六)[湖北] 一、第1题: 现代生活中,手机的普及和应用给人们的生活带来了极大的便利,但在现实生活中,使用手机时也需要注意安全。以下安全问题中不是由手机无线通讯引起的是(____) A.在加油站不能打手机 B.坐飞机时不能打手机 C.驾驶机动车时不能打手机 D.在使用医疗器械的病区不能打手机 【答案】:C 【来源】:2012年国家 【解析】 驾驶机动车时打手机会分散驾驶员的注意力,可能引发交通事故,C项符合题意。 二、第2题: 关于古琴,下列说法不正确的是(____ )

A.“高山流水”的故事与该乐器有关 B.古琴通常以桐木为琴材 C.“竹林七贤”中的阮咸善弹古琴 D.“目送归鸿,手挥五弦”说的是古琴 【答案】:C 【来源】:2013年河南 【解析】 阮咸善弹琵琶,精通音律。据说阮咸改造了从龟玆传入的琵琶,后世亦称为阮咸,简称阮。中书监荀勖常与阮咸讨论音律,自叹弗如,由此嫉恨在心,迁阮咸为始平太守,故后人称之为阮始平。 三、第3题: 关于下列各组人物说法错误的是:( ) A.苏格拉底、柏拉图和亚里士多德被称为“古希腊三贤” B.颜回、曾子都属孔子七十二门徒 C.荀子及其弟子韩非子都是法家学派的代表人物 D.康有为、梁启超都是“公车上书”的发起人 【答案】:C 【来源】:2014年陕西 【解析】

C项中荀子是儒家学派的代表人物 四、第4题: 北京时间2011年9月29日,“天宫一号”目标飞行器发射后大约10分钟,到达了近地点约200千米、远地点约346千米的轨道该运行轨道所处大气层的特点是( ) A.气温随高度的增加而递减 B.对流现象显著,多云雨现象 C.气流平稳,天气晴朗,有利于航空发射 D.存在电离层,可反射无线电波 【答案】:D 【来源】:2012年北京 【解析】 大气层次从接近地表排序依次为对流层、平流层、中间层、热层、外层。其中,热层大约距地球表面80至300千米,属于题目中所提的该运行轨道所处大气层。热层的特点是,①气温随高度增加而增加,②电离程度较强烈,可反射无线电波。因此,本题选择D选项 五、第5题: 下列古代典籍中,哪一部不是以年号命名的?( )

理科生专业选择大全

理科生 可以报考哪些专业 相对于文科生来说,理科生能选择的专业数量要多的多,围也比较大,而且大多为技术型的专业,一些大众化的专业很多院校都会开设,招生人数也不少,就业相对比较容易。 1约有270多种专业可选 为什么说理科生选专业的围大呢?众所周知,所有理科类再加上文理兼收的专业,理科生都可以选择。在目前我国高等教育本科的13个学科中,理、工、农、医这四个门类基本上都是理科生的天下。文科专业中,除了文学、历史等专业外,绝大部分专业也都可以文理兼招。在2013年教育部颁布的《新版专业目录》中有506种专业,其中理、工、农、医四大门类就有276个专业,占总专业数的一半儿以上。 这里所说的270多种专业只是理科生选择的大致围,而具体到每个省市、每个考生可选择的专业就不同了。因为各高校每年在不同地区招生的专业和人数会有一定的差异,如2012年南开大学一批共有16个专业在京招生,共招理科生36人;而在天津本地理科则有39个专业招生,共招424人。所以具体到哪个院校开设了哪个专业,某个院校的某个专业在当年当地是否有招生计划,招生人数是多少,考生必须仔细阅读各省当年下发的《招生专业目录》和各高校的招生章程,查看具体情况。 2数量多围大 对于理科生来说基本不存在“没的选”的尴尬,主要问题就是如何选择一个适合自己的好专业。这里首先说说理科生报考比较集中的四大门类——理工农医。 理学中基本都是纯理科专业,包括数学类、物理学类、化学类、天文学类、地理学类、大气学类等12个大类,36种专业。 工学共有31个大类,169种专业,是所有学科中包含专业最多的门类,也是理科生的招生大户。像电子信息、自动化、计算机、土木类、材料类、能源动力、航空航天等高科技、专业性强、就业好的专业都属于该门类。 农学门类下设植物生产类、动物医学类、林学类、水产类等7个大类,27种专业。农学专业基本都招理科生,只有少数如园林、园艺等专业,个别院校会有文科计划。近两年,在国家大环境的作用下,农学又有回暖的趋势,很多农学类的专业也成为了大家关注的热点。 医学共包含11个大类,44种专业。医学门类中的很多专业向来都是竞争激烈、分数要求高的,像临床医学、口腔医学、药学、麻醉学等专业更是考生们报考的热门。 3还有哪些专业招理科生 除了理、工、农、医这四个主要学科外,经济学、管理学中很多专业更是对理科生青睐有加,有很多只招收理科生或文理兼收的专业,都可以是理科生选择的重点。如经济学中金融学、经济学、金融工程、投资、保险等;管理学息管理与信息系统、工程管理、农业经济管理、土地资源管理、物流工程等。 法学近年来报考比较火爆,法学、社会学、公安学类有很多学校都会投放一些计划招收理科生。另外,一些教育学、体育类等专业也会在理科中招生,如师大学教育学(含教育学、学前教育、特殊教育)等。 艺术类大多数专业都在艺术类专业目录中查找,也有部分院校的艺术类专业会在普通批次招生,一般不多,具体各校招生的计划,考生可在本省当年下发的《招生专业目录》中查找。 另外,像人们普遍认为的纯文科专业如文学、历史、哲学等,个别院校也招理科生。如华东师、北大等哲学类专业一般会有理科计划。文学中像英语、德语、法语、日语等外国语言文学类、翻译、传播学等很多专业都招理科生。个别院校历史类中的专业如考古会在理科中招生,但是极少,如首都师大学等。

理科综合物理试卷

理科综合物理试题 13.下列说法正确的是( ) A .布朗运动是悬浮在液体中的固体颗粒内的分子运动 B .只要知道水的摩尔质量和水分子的质量,就可以计算出阿伏伽德罗常数 C .在使两个分子间的距离由很远(r >10–9m )减小到很难再靠近的过程中,分子间作用力先减小后增大,分子势能不断增大 D .温度升高,物体内所有分子运动的速率都增大 14、下列核反应方程及其表述完全正确的是( ) A .错误!未找到引用源。是聚变反应 B .错误!未找到引用源。是人工转变 C .错误!未找到引用源。是人工反应 D .错误!未找到引用源。是裂变反应 15.杂技运动员用双手握住竖直的滑杆匀速上攀和匀速下滑时,运动员所受到的摩擦力分别是f 1和f 2,那么 ( ) A .f 1向下,f 2向上,且f 1=f 2 B. f 1向下,f 2向上,且f 1>f 2 C .f 1向上,f 2向上,且f 1=f 2 D . f 1向上,f 2向下,且f 1=f 2 16.如图所示,固定的水平长直导线中通有电流I ,矩形线框与导线在同一竖直平面内,且一边与导线平行。线框由静止释放,在下落过程中( ) A .穿过线框的磁通量保持不变 B .线框中感应电流方向保持不变 C .线框所受安掊力的合力为零 D .线框的机械能不断增大 二、双项选择题:本大题共9小题,每小题6分,共54分。在每小题给出的四个选项中, 有两个选项符合题目要求,全选对的得6分,只选1个且正确的得3分,错选或不答的得0分。 17.在物理学理论建立的过程中,有许多伟大的科学家做出了贡献。下面列出的科学家与他们的发现或观点相符合的选项是( ) A .伽利略发现了行星运动的规律 B .亚里士多德认为没有力的作用物体将停止运动 C .牛顿最早指出力不是维持物体运动的原因 D .爱因斯坦认为时间、空间、质量都是相对的 18、如下图中各图面积均为S 的线圈均绕其对称轴或中心轴在匀强磁场B 中以角速度ω匀速转动,能产生正弦交变电动势e =BS ωsin ωt 的图是( ) I

理科院校大学生艾滋病知识和态度现状分析及对策

理科院校大学生艾滋病知识和态度现状分析及对策 发表时间:2017-03-23T15:46:35.970Z 来源:《医师在线》2017年1月第2期作者:杨爱芳 [导读] 为了解理工科大学生对艾滋病相关知识了解以及对该病态度的现状,在我市一所理科院校展开调查。 (山东理工大学医院医务科;山东淄博255049) 【摘要】艾滋病是全球关注的重大社会问题。据相关调查显示[1],艾滋病发病人群逐渐从吸毒、囚犯等特殊人群向普通人群蔓延开来,而与此同时,青少年大学生正处于青春懵懂期,对性生活与新鲜事物都充满好奇心,也正是其个人价值观的形成期,极易受到艾滋病侵害。为了解理工科大学生对艾滋病相关知识了解以及对该病态度的现状,在我市一所理科院校展开调查,为制定相应对策提供科学依据。【关键词】理科;大学生;艾滋病;知识;态度;对策 艾滋病(acquired immuno deficiency syndrome,AIDS)是由艾滋病病毒(又称为人类免疫缺陷病毒,Human Immunodeficiency Virus;abbr:HIV)感染所致,破坏人体内免疫系统中最重要的CD4T淋巴细胞,使人体丧失免疫功能,并发生长期消耗,最终导致全身衰竭死亡[2]。调查统计,在我国约有78.2%艾滋病患者或病毒携带者年龄段正处于16~30岁之间,由此可见,预防并控制青少年感染HIV是目前社会需重点关注课题[3]。尽管近年来不少文献高校学生对AIDS知识与态度方面均有所报道,但对理科院校大学生AIDS知识与其对待AIDS 患者态度尚未出现相关研究,这就导致对该类大学生开展艾滋病预防健康教育有效参考与有力依据仍相对匮乏。对此作者于2014年1月在我市一所理科院校中对在校大学生开展调查研究,并制定出相应解决对策,现报道如下: 1 大学生对艾滋病相关知识知晓情况 对我市一所理科院校开展调查,采取整群抽样方法,结果显示,被调查大学生艾滋病相关知识总知晓率为56.38%,发现76.5%学生认为看起来健康人可能是艾滋病毒感染者,73.2%学生认为被蚊虫叮咬可能感染艾滋病毒,79.4%学生认为与艾滋病毒感染者共桌吃饭可能感染艾滋病,81.2%学生认为正确使用安全套能够降低艾滋病感染的危险性,85.3%学生认为多个性伴侣能够增加感染艾滋病机会,79.3%学生认为同性恋也能增加艾滋病感染机会。郝继伟,王强等人于河南省某综合大学在校非医学类大学生进行调查得出[4],艾滋病相关知识总知晓率为59.4%,传播途径知识知晓率为62.36%预防知识知晓率为63.1%,其他知识知晓率仅有52.5%。 理科院校中对生物学与医学知识接触甚少,对有关艾滋病知识了解严重不足,此次在调查中发现,仅有一半左右理科大学生认识到我国艾滋病流行现状的严重性,相当比例大学生仍然对艾滋病认识存在误区。 2 大学生对艾滋病的相关态度 通过调查发现,理科院校中78.5%学生认为艾滋病威胁其本人、家庭、朋友乃至所住城市,32.4%学生对婚前性行为表示赞同并发生过婚前性行为,33.6%学生对婚前性行为表示理解或无所谓,说明现代大学生性观念已相当开放,尽管多数大学生能够正确对待AIDS,但仍然存在恐惧、歧视AIDS的心理,有部分学生则严肃表明自己对AIDS的立场,如躲避、拒绝接触、甚至断绝关系等。李博,彭康为调查结果显示[5]:有7.5%大学生认为HIV感染者完全是自作自受,不值得同情,11.6%学生认为HIV感染者或病人应被强制隔离,不应和正常人一样生活、工作。调查发现,理科院校中大学生并未完全端正对待AIDS患者态度,而对AIDS知识的无知是产生歧视与错误态度根源之一。 3 针对现状提出对策 3.1 加强教师对防治艾滋病知识的培训 教师是传播知识且对学生潜移默化影响最大的首要人员,一个对艾滋病一无所知的教师不可能培养出一个热情宣传预防AIDS志愿者,因此调动教师对AIDS预防积极性具有至关重要的意义[6]。例如为在校教师发放有关AIDS防治手册,开展艾滋病专题讲座,定期开展健康教育课堂,将掌握艾滋病知识灵活运用到课堂中去。 3.2 积极举办艾滋病知识讲座 邀请艾滋病协会专业讲师或院内专科高级医师担任主讲人[7],由于其医学知识面广、经验丰富,对艾滋病相关知识演讲相对透彻、易懂,能够获得学生一致信赖与欢迎,增强其对艾滋病知识探索欲望。 3.3 筛选宣传预防艾滋病志愿者 在理科院校中人口众多、且普遍以男性学生居多的校园中,只依靠卫生部门很难做到AIDS预防传播地步。因此,可在校内筛选出宣传预防艾滋病志愿者,对其进行专业培训,定时开展艾滋病教育课,树立正确对待HIV感染者态度。在各部门支持下,利用课余时间或假期加强宣传艾滋病防治知识。 4 讨论 国外多数国家已通过课堂传授、角色扮演、同伴教育、录像等多种形式,对提高理科院校大学生艾滋病相关知识及行为的信念、态度方面都具有明确效果[8]。另外针对在校大学生,应将解决对策的形式与内容,尽量贴近于同龄人,将教师授课与同伴教育相结合,取长补短,在树立学生正确性观念同时提高学生艾滋病风险意识,加入艾滋病宣传与防治当中。 参考文献 [1] 贾改珍,闫阳,徐天和等.多水平模型在大学生预防艾滋病健康教育影响因素分析中的应用[J].中国卫生统计,2013,30(1):37-39. [2] 张毅,贾红莲,郭丽等.重庆市大学生艾滋病知识知晓与需求调查研究[J].重庆医学,2016,45(25):3527-3530,3533. [3] 姚海珍,闫文菊,宋任浩等.大学生献血者艾滋病知识与教育需求分析[J].河北医科大学学报,2014,35(3):324-327. [4] 郝继伟,王强,李瑞玲等.艾滋病高发区大学生艾滋病相关知识水平及其影响因素分析[J].河南大学学报(医学版),2013,32(3):196-199. [5] 李博,彭康为,杨跃峰等.广州、深圳、珠海三市几所大学生艾滋病知识、态度及行为现况调查[J].现代生物医学进展,2013,13(18):3573-3577. [6] 夏彦昌,赵运良,李灿等.某医学院大学生艾滋病知识认知度及健康教育需求[J].湖南师范大学学报(医学版),2015,12(5):138-140. [7] 王永红.某高校大学生对艾滋病知识、态度、技能及性健康教育需求的调研[J].中华疾病控制杂志,2015,19(4):376-379. [8] 冷静,李筱青,叶红等.合肥市两所高校大学生艾滋病知识、态度、行为的调查[J].中华疾病控制杂志,2015,19(12):1291-1293.

高考理科生可以报哪些专业

高考理科生可以报哪些专业 相对于文科生来说,理科生能选择的专业数量要多的多,范围也比 较大,而且大多为技术型的专业,一些大众化的专业很多院校都会开设,招 生人数也不少,就业相对比较容易。下面小编给大家分享一下理科生可以报 哪些专业,供大家参考。 ?理科生约有270多种专业可选为什幺说理科生选专业的范围大呢?众所周知,所有理科类再加上文理兼收的专业,理科生都可以选择。在目前我国高等教 育本科的12个学科中,理、工、农、医这四个门类基本上都是理科生的天下。文科专业中,除了文学、历史等专业外,绝大部分专业也都可以文理兼招。 在2013年教育部颁布的《新版专业目录》中有506种专业,其中理、工、农、医四大门类就有276个专业,占总专业数的一半儿以上。这里所说的270多 种专业只是理科生选择的大致范围,而具体到每个省市、每个考生可选择的 专业就不同了。因为各高校每年在不同地区招生的专业和人数会有一定的差异,如2012年南开大学一批共有16个专业在京招生,共招理科生36人;而 在天津本地理科则有39个专业招生,共招424人。所以具体到哪个院校开设了哪个专业,某个院校的某个专业在当年当地是否有招生计划,招生人数是 多少,考生必须仔细阅读各省当年下发的《招生专业目录》和各高校的招生 章程,查看具体情况。理科生选专业数量多范围大对于理科生来说基本不存 在“没的选”的尴尬,主要问题就是如何选择一个适合自己的好专业。这里首 先说说理科生报考比较集中的四大门类。理学中基本都是纯理科专业,包括 数学类、物理学类、化学类、天文学类、地理学类、大气学类等12个大类,36种专业。工学共有31个大类,169种专业,是所有学科中包含专业最多的门类,也是理科生的招生大户。像电子信息、自动化、计算机、土木类、材

2019年全国一卷理科综合物理部分

2019年全国卷一理科综合物理部分 14.氢原子能级示意图如图所示。光子能景在1.63 eV~3.10 eV的光为可见光。要使处于基态(n=1)的氢原子被激发后可辐射出可见光光子,最少应给氢原子提供的能量为 A.12.09 eV B.10.20 eV C.1.89 eV D.1.5l eV 15.如图,空间存在一方向水平向右的匀强磁场,两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下,两细绳都恰好与天花板垂直,则 A.P和Q都带正电荷B.P和Q都带负电荷 C.P带正电荷,Q带负电荷D.P带负电荷,Q带正电荷 16.最近,我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试成功,这标志着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展。若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约为3 km/s,产生的推力约为4.8×108 N,则它在1 s时间喷射的气体质量约为 A.1.6×102 kg B.1.6×103 kg C.1.6×105 kg D.1.6×106 kg 17.如图,等边三角形线框LMN由三根相同的导体棒连接而成,固定于匀强磁场中,线框平面与磁感应强度方向垂直,线框顶点M、N与直流电源两端相接,已如导体棒MN受到的安培力大小为F,则线框LMN 受到的安培力的大小为

A .2F B .1.5F C .0.5F D .0 18.如图,篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮,离地后重心上升的最大高度为H 。上升第一个4H 所用的时间为t 1,第四个4 H 所用的时间为t 2。不计空气阻力,则21t t 满足 A .1<21t t <2 B .2<21t t <3 C .3<21t t <4 D .4<21 t t <5 19.如图,一粗糙斜面固定在地面上,斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮,其一端悬挂物块N 。 另一端与斜面上的物块M 相连,系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N ,直至悬挂N 的细绳与竖直方向成45°。已知M 始终保持静止,则在此过程中 A .水平拉力的大小可能保持不变 B .M 所受细绳的拉力大小一定一直增加 C .M 所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D .M 所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加

2018贵州省公务员考试考情特点分析—行测理科部分

2018贵州省公务员考试考情特点分析—行测理科部分 多省公务员考试总的来说理科部分都考察了数学运算、图形推理和资料分析部分,有个别省份还考察了数字推理部分。总体的难度居中,较之国考难度略微偏低。题目难度跨度比较全面,有个别题目很浅显易解,而有个别题目繁杂难懂,大部分题目的解题难度比较正常。下面中公教育专家就数字推理、数学运算、图形推理和资料分析四个部分进行分析。 第一部分:数字推理 一、题量及题型: 数字推理部分各个省份有选择性的进行考察,有的省份会考察,而大多数省份不会进行考察。在多省公务员考试省份中考察数字推理的省份比如广东省、吉林省、浙江省、江苏省等,考察时题量一般在5题左右,而从多省公务员考试的行测大通版试题总结来看,所涉及的考点一般都是比较常见的题型。其中:等差数列有2题,占比20%;和数列有4题,占比40%;倍数数列有1题,占比10%;积数列有2题,占比20%;分数数列有3题,占比30%。由此可见,数字推理试题难度不高,其中和数列以及等差数列是重点题型。 二、考点分布: 从大通版数字推理的试题总结来看,具体的考点分布如下: 考点一:等差数列考察最多,4题,其中包含1题三级等差(难度3★)、1题分数做差(难度为2★)、1题正常作差(难度1★)、1题等差构造(作差后是前一项的两倍或一半)(难度4★) 考点二:分数数列,难度偏高,3题。分别考察:分数作差(难度为2★)、作商得下一项(难度为2★)、相乘为下一项。(难度4★)。 考点三:和数列,3题,直接考察两项和与下一项的关系有1题(难度1★),也可看成质数列加1;其他2题均考察和数列的变式逐和法,即相邻两项做和之后生成的新数列

理工科大学生人际关系现状调查

理工科大学生人际关系现状调查 党的十八大报告中第一次提出,要“把立德树人作为教育的根本任务”。大学生处于人生发展的早期阶段,渴望建立良好的人际关系,然而从各种调查结果来看,当代大学生特别是理工科大学生的人际关系现状并不理想。对此进行调查和研究,了解目前理工科大学生人际关系现状、分析其特点,探索建立良好人际关系的途径和方法,对于实现高校人才培养的目标,具有现实的理论价值和实践的指导意义。 笔者对苏州科技学院大学生进行了人际关系现状的抽样调查。本次调查以班级为单位进行集体测试,要求被测试者根据实际情况在规定的时间当场填写完成并交卷,共发放问卷1000份,收回996份,其中有效问卷947份,有效率为95.08%,男生728人,占76.9%,女生219人,占23.1%;城市生源308人,占32.5%,农村生源614人,占67.5%;独生子女618人,占65.3%,非独生子女329人,占34.7%。 调查结果与分析 通过问卷调查发现:在所调查的947名学生中,得分在0~8分的有589名,占学生总数的62.2%,这部分学生人际交往困扰较少,人际关系融洽,能与周围同学老师和睦相处;得分在9~14分的有238名,占学生总数的25.1%,这部分学生在人际交往上存在一定的困扰,人际关系一般,在人际交往中存在一定的问题;得分在15~28分的有120名,占学生总数的12.7%,这部分学生人际交往困扰非常严重,人际关系不良,存在严

重的交往障碍。可以看出,理工科大学生人际交往能力存在困难和严重困难的学生有37.8%,现状不容乐观。 在待人接物方面,得分在0~2分的学生有790人,占83.4%,这部分学生待人接物能力较强,能够与他人和睦融洽相处,待人真诚,不伤害他人,也没有被他人伤害的感觉;得分在3~5分的学生有148人,占15.6%,这部分学生待人接物能力一般,应该说是比较圆滑的,知道应该与他人融洽相处,并全力去做,但缺乏交往技巧;得分在6分以上的学生有9人,占1.0%,这部分学生在交往中容易伤害别人,也容易有被别人伤害的感觉。由此可见,在待人接物方面,理工科大学生还是比较良好的。城市学生的圆滑程度要比农村学生突出,非师范类学生的圆滑程度要较师范类的高,这与个体心理特征如性格、能力等相关。 在交谈能力方面,得分在0~2分的学生有581人,占61.3%,这部分学生有较高的交谈能力,并掌握了较熟练的交谈技巧,善于用语言来交流感情和思想;得分在3~5分的学生有339人,占35.8%,这部分学生交谈能力一般,能够向别人倾诉,也能够倾听别人的诉说,但是不能掌握交谈的技巧,表述时条理不清晰;得分在6分以上的学生有27人,占2.97%,这部分学生交谈能力存在严重的问题,既不能向别人表达自己的想法和感受,也不能耐心地倾听别人的诉说,只有在急需的情况下才会与人交谈。通过研究发现,在交谈能力方面,理工科大学生相对较好,从而易于建立良好人际关系,同时男生的交谈能力要高于女生,城市学生要高于农村学生。研究还发现,在交谈能力方面表现较弱的学生,在性别等方面的差异不大。之所以产生这种情况,原因较多,如男女生在性格等方面的差异、

2019-2020年公务员考试备考行测《其他常识》试题精选含答案解析(二十三)[甘肃]

2019-2020年公务员考试备考行测《其他常识》试题精选含 答案解析(二十三)[甘肃] 一、第1题: 下列关于火山的表述错误的是() A.喷出的物质有气态,液态和固态三种 B.可分为死火山,活火山和休眠火山 C.五大连池的形成与火山喷发有关 D.页岩是最常见的岩浆岩 【答案】:D 【来源】:2014年上半年联考 【解析】 D选项中的并不是岩浆岩,而是花岗岩与玄武岩。岩浆岩:花岗岩、玄武岩;沉积岩:砾岩、砂岩、页岩、石灰岩;变质岩:大理岩。因此正确答案为D选项。二、第2题: 国家积极支持北部湾经济区发展,审批和核准了不少有利于带动和帮助北部湾经济发展的重要政策,但不包括() A.设立钦州保税港区 B.设立凭祥综合保税区

C.设立北海自由贸易港区 D.设立南宁保税物流中心 【答案】:B 【来源】:2014年上半年联考 【解析】 略 三、第3题: 以下变化使事物性质发生改变的是(____ )。 A.酒精挥发 B.矿石粉碎 C.冰雪融化 D.白磷自燃 【答案】:D 【来源】:2010年黑龙江 【解析】 使事物性质发生改变的是化学反应。A、B、C都是物理变化;D项属于化学变化。故答案为D。 四、第4题:

今天人们经常以“姓氏笔画”为序来排名,其实古代特别是先秦时期“姓”与“氏”是有严格区别的。一下关于“姓”“氏”表述错误的一项是( ) A.“姓”源于母系社会,“氏”源于父系社会 B.秦汉以后,出现姓名合一的倾向,姓和氏不再是贵族的专利,平民也能 有姓氏了 C. 中国最早的氏,大都从“女”旁,如姬、姚、姜、嬴等 D.一般女子称“姓”用来“别婚姻”,男子称“氏”用来“明贵贱” 【答案】:C 【来源】:2014年吉林甲 【解析】 《通志·氏族略》曰:三代(夏商周)以前,姓氏分而为二,男子称氏,女子称姓。“氏”用来“别贵贱”,尊贵的人才有氏,卑贱的人有名无氏。“姓”用来“别婚姻”。根据《通志·氏族略》,A选项说法正确,女子为“姓”在母系社会,男子为“氏”在父系社会;而D选项,古时女子嫁人之后从夫姓,男子用氏来区别贵贱的说法正确,D说法正确;B选项秦汉以后,出现姓名合一的倾向,姓和氏不再是贵族的专利,平民也能有姓氏了,说法正确;中国有上古八大姓:姬、姚、妫、姒、姜、嬴、姞、妘。都是从“女”旁,如姬、姚、姜、嬴等,说明在母系氏族公社时期的妇女地位举足轻重,是“姓”而不是“氏”。 五、第5题: 下列现象中,其本质与其他三个现象的本质不同的现象是()。

文科理科:分别对应有哪些专业

文理科对应的专业 文科又称人文社会科学,顾名思义,以人类社会独有的政治,经济,文化等为研究对象, 一、文科的分类 文科分为人文科学与社会科学。 人文科学是研究人类文化遗产的,其经典学科是文学、历史学、哲学;"史"包括历史、考古等;哲学是讲究方法的,美学、艺术学等都属于哲学范畴。 社会科学是研究社会发展、社会问题、社会规律的,是法学、教育学、经济学、管理学4个学科门的统称,共有19个学科类,120个本科目录内专业。2004年,设立社会科学本科专业的大学共有597所。社会科学是人类认识和改造人类社会的科学。它研究的对象是人类社会。 大学文科设置有政治学,经济学,法学,哲学,历史学,文学,艺术学,外国语言与文学,新闻传播学,人类学,社会学,民族学,管理学,教育学等等. 文科可以选择的专业: 1、哲学类:哲学、逻辑学、宗教学、心理学 2、经济学类:经济学、国际经济与贸易、财政学、金融学 3、教育学类:教育学、学前教育、特殊教育 4、历史学类:历史学、世界历史学、考古学、博物馆学、民族学 5、法学类:①法学,②马克思主义理论类:科学社会主义与国际共产主义运动、革命史与共产党史,③社会学类:社会学、社会工作,④政治学类:国际政治、政治学与行政学、思想教育学、外交学,⑤公安学类:治安学、侦察学、边防管理学。 6、文学类:①中国语言文学类:汉语言文学、汉语言、对外汉语、古典文学,②外国语言,③新闻传播学类:新闻学、广播电视新闻学、编辑出版学、广告学。 7、管理类:①管理科学与管理工程类:管理学、信息管理与信息系统,②工商管理类:工商管理、市场营销、会计学、财务管理、人力资源管理、旅游管理,③公共管理类:行政管理、公共事业管理、劳动与社会保障,④农业经济管理类:农林经济管理、农村区域发展,⑤图书档案学类:图书馆学、档案学。 二、理科的分类 理科是物质方面的缔造者,而文科是精神方面的充实者。换言之,理科是学习理论和方法的学问,是前提,而文科是补充。一些人总认为文理有区分贵贱,其实并不是这样的,理科只讲究兴趣和天赋,适合而已。 理科的主要学科有:数学、物理、化学、生物,还包括地质、地理、计算机软件部份。 考生在报名参加高考时。一般分理工类、文史类、外语类、体育类、艺术类。这种分类方法是为了编制考题而分的,不是从专业的内涵而分。 如上所说,普通高校中的专业分设哲学、经济学、法学、教育学、文学、历史学、理学、工学、农学、医学、管理学11个学科门类(无军事学)。 其中的哲学、经济学、法学、文学、历史学、教育学、管理学,即属于文科类专业,又可将之分为人文学科和社会科学两大类。人文学科是研究人类社会发展过程中文化产物的学科,即通常所说的文(文学、语言学)、史(历史学、考古学)、哲(哲学、逻辑学、美学、宗教学),历史学是出思想的,哲学是出方法的,文学是表述工具,相互之间融会贯通,但不能相互取代。社会科学是研究人类社会发展规律、社会问题、社会秩序的学科,主要包括政治学、国际政治学、外教学、经济学、管理学、贸易学、金融学、保险学、社会学、人口学、犯罪学、法律学等学科。人文学科是社会科学的基础和灵魂,社会科学发展到高层次的水平,又回到人文学

高考理综物理全国卷

马鸣风萧萧 高中物理学习材料 (马鸣风萧萧**整理制作) 2012年高考理综物理全国卷 (贵州、甘肃、青海、西藏、广西) 14.下列关于布朗运动的说法,正确的是 A .布朗运动是液体分子的无规则运动 B .液体温度越高,悬浮粒子越小,布朗运动越剧烈 C .布朗运动是由于液体各个部分的温度不同而引起的 D .布朗运动是由液体分子从各个方向对悬浮粒子撞击作用的不平衡引起的 15. 235 92U 经过m 次α衰变和n 次β衰变235 92Pb,则 A .m =7,n =3 B .m =7,n =4 C .m =14,n =9 D .m =14,n =18 16.再双缝干涉实验中,某同学用黄光作为入射光,为了增大干涉条纹的间距,该同学可以采用的方法有 A .改用红光作为入射光 B .改用蓝光作为入射光 C .增大双缝到屏的距离 D .增大双缝之间的距离 17.质量分别为m 1和m 2、电荷量分别为q 1和q 2的两粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动,已知两粒子的动量大小相等。下列说法正确的是 A.若q 1=q 2,则它们作圆周运动的半径一定相等 B.若m 1=m 2,则它们作圆周运动的周期一定相等 C. 若q 1≠q 2,则它们作圆周运动的半径一定不相等 D. 若m 1≠m 2,则它们作圆周运动的周期一定不相等 18.如图,两根互相平行的长直导线过纸面上的M 、N 两点,且与直面垂直,导线中通有大小相等、方向相反的电流。a 、o 、b 在M 、N 的连线上,o 为MN 的中点,c 、d 位于MN 的中垂线上,且a 、b 、 c 、 d 到o 点的距离均相等。关于以上几点处的磁场,下列说法正确的是 A .o 点处的磁感应强度为零 B .a 、b 两点处的磁感应强度大小相等,方向相反 C .c 、d 两点处的磁感应强度大小相等,方向相同 D .a 、c 两点处磁感应强度的方向不同 19.一台电风扇的额定电压为交流220V 。在其正常工作过程中,用交流电流表测得某一段时间内的工作电流I 随时间t 的t /min I /A

2014山东公务员考试行测:理工科考生如何翻盘

2014年山东省公务员考试即将来临,为了帮助广大考生积极备战山东公务员考试,中公教育专家特别推荐最新考情资讯,深度剖析时下热点,整合公考疑难问题,预祝广大考生在山东公务员考试中金榜题名,荣获佳绩。 2014年省考即将拉开序幕,很多考生都开始着手准备,都希望通过自己的努力获得自己理想的职位,但是在以往的考试中,大部分考生都对行测言语理解这一类题目把握不准确,比如言语理解题目要求对文段进行归纳概括,归纳概括到什么程度才算到位,才算完美,这就导致了言语理解答案的不确定性,同时汉语词汇一词多义也一定程度上增加了考生辨析词语的难度,因此,很多考生言语理解与表达部分的分数并不理想,特别是一些理工科类学生。中公教育专家经过对历年考生的分析,认为造成考生言语理解成绩不理想的原因主要有以下三点: 首先,考生基础匮乏,又没有针对性的复习,很多考生认为作为中国人的自己,对于母语而言不需要复习,二三十年的语言基础,应付考试应该没有问题。但是我们之前接触的一直是中学语文,大部分同学充其量也就称得上有一定的“语文基础”,根本谈不上语文素养,对于很多词语,把握不准词义,很容易望文生义,张冠李戴。

其次,考生惯性思维的束缚。很多考生在辨析词语时,不从词语的语言特点和具体语境出发,而是以现代语言思维习惯想当然的理解,结果往往是“失之毫厘,谬之千里”,即使考生学习了一些做题的方法,这些“定势思维”也会阻碍正确方法的接受。 最后,考生没有整体意识与重点意识,以至于在语句表达和片段阅读中不能准确的把握文段的中心。做这两类题型的基本思路就是整体把握与重点突出,如果考生对于题干的整体性把握和重点内容分析不准确,就很容易造成选择错误。 针对上述原因,中公教育专家建议考生可以从以下几点进行备考: 首先,扎实基础,注重平时的词汇积累。在做真题时要把逻辑填空中的每一个选项中的词语的确切词义查阅清楚,并且通过查字典等方式辨析清选项间词语的异同。虽然汉语中的词汇量非常巨大,但是真正常用的毕竟有限,在有限的常用词中又有一部分是公考常考的高频词,因此考生注重平时学习中的词汇积累对于考试非常重要。

理工类大学生文化素养

浅谈理工类大学生人文素质教育的现状与对策 ——以南昌航空大学为例 【摘要】:高等教育的目标是培养具备综合素质的优秀人才,培养具有独立的人格、敏锐的创造能力、高尚的道德情操的人才。理工科大学作为我国高等教育的主力军,其人文素质教育是一个相对薄弱环节,表现在人文知识匮乏和人文精神遭遇迷惘,本文拟从社会、学校和学生个人三方面来探讨提高理工类大学的人文 素质教育的有效途径。 【关键字】: 理工类大学人文素质对策 21世纪的人才要具备良好的人文素质、专业素质和身体心理素质。其中,人文素质是核心,是全面素质的基础,是人类社会赖以生存和发展的内在力量,推动着人类文明的进程。人文素质,主要指人们在自身基本素质的形成过程中,将人文知识经过环境、教育、体验感悟内化于心而形成的一种稳定的品格和素质。其外显为人的理想志向、道德情操、文化修养、思维方式、言谈举止和行为方式等。当前理工类大学生普遍存在人文知识匮乏,重理轻文,重功利轻精神等现象,加强人文素质教育,对于全面提升理工类大学生的综合素质具有重大的现实意义和 作用。 一、开展人文素质教育工作的意义 (一)有助于加强理工大类学生的精神文化内涵随着经济发展水平的发展,社会主义文化更加繁荣,人们的精神文化需求越来越旺盛,人们思想活动的独立性、选择性、多变性、差异性明显增强。当代大学生作为未来社会的主力军,其各方面的素养必然体现了我们整个国家的素养。如果人文素质教育工作不能适应生产力迅速发展的要求,使人们的精神追求畸形发展,就会严重制约社会进步。人文素养相对薄弱的理工类大学生加强人文素质教育,旨在弥补自身不足,构建优秀的精神文化内涵,使其形成正确的人生观、 价值观。 (二)有助于实现理工科大学生的全面发展 人文素质通过对人的价值引导、启迪益智、自我调控等使人达到内心的平衡、宁静和幸福。人文素质教育在于优化人的心理与人格,关切人的生存与价值,增进人的自由与幸福。开展人文素质教育,能够铸造优秀的人文精神,实现全面发展。迫于各种压力和历史制度问题,理工类大学在培养学生中仍存在文理分科的现象,大学生课业繁重,很少主动关注人文素质的培养是理工科大学普遍存在的现象。开展人文素质教育有利于理工科大学生综合素质的提高,增强其待人接物、为人处事的能力,从而实现学生的全面发展。

2014年广东省普通高考理科类分数段统计表

2014年广东省普通高考理科类分数段统计表(含本科层次加分) 分数段分数段人数累计人数 690以上18 18 689-685 16 34 684-680 35 69 679-675 46 115 674-670 82 197 669-665 145 342 664-660 181 523 659-655 283 806 654-650 371 1177 649-645 479 1656 644-640 564 2220 639-635 723 2943 634-630 883 3826 629-625 1106 4932 624-620 1267 6199 619-615 1533 7732 614-610 1779 9511 609-605 2044 11555 604-600 2316 13871 599-595 2665 16536 594-590 2938 19474 589-585 3141 22615 584-580 3461 26076 579-575 3861 29937 574-570 4131 34068 569-565 4370 38438 564-560 4660 43098 559-555 4891 47989 554-550 5298 53287 549-545 5432 58719 544-540 5675 64394 539-535 5987 70381 534-530 6246 76627

529-525 6230 82857 524-520 6487 89344 519-515 6483 95827 514-510 6574 102401 509-505 6728 109129 504-500 6743 115872 499-495 6766 122638 494-490 6835 129473 489-485 6531 136004 484-480 6523 142527 479-475 6497 149024 474-470 6321 155345 469-465 6467 161812 464-460 6269 168081 459-455 6180 174261 454-450 5976 180237 449-445 5948 186185 444-440 5840 192025 439-435 5693 197718 434-430 5542 203260 429-425 5360 208620 424-420 5196 213816 419-415 5170 218986 414-410 5103 224089 409-405 4987 229076 404-400 4655 233731 399-395 4506 238237 394-390 4507 242744 389-385 4344 247088 384-380 4208 251296 379-375 4063 255359 374-370 3903 259262 369-365 3787 263049 364-360 3733 266782 359-355 3564 270346 354-350 3437 273783 349-345 3381 277164

2018高考新课标2理科综合物理附答案解析

2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科综合能力测试物理试题卷 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.作答时,务必将答案写在答题卡上。学科.网写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 二、选择题:本题共8小题,每小题6分,共48分。在每小题给出的四个选项中,第 14~18题只有一项符合题目要求,第19~21题有多项符合题目要求。全部选对的得6分,选对但不全的得3分,有选错的得0分。 14.如图,一光滑大圆环固定在桌面上,环面位于竖直平面内,在大圆环上套着一个小环。 小环由大圆环的最高点从静止开始下滑,在小环下滑的过程中,大圆环对它的作用力 A .一直不做功 B .一直做正功 C .始终指向大圆环圆心 D .始终背离大圆环圆心 15.一静止的铀核放出一个α粒子衰变成钍核,衰变方程为 2382344 92 902U Th He → +。下列说 法正确的是 A .衰变后钍核的动能等于α粒子的动能 B .衰变后钍核的动量大小等于α粒子的动量大小 C .铀核的半衰期等于其放出一个α粒子所经历的时间 D .衰变后α粒子与钍核的质量之和等于衰变前铀核的质量 16.如图,一物块在水平拉力F 的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F 的大小不 变,而方向与水平面成60°角,物块也恰好做匀速直线运动。学.科网物块与桌面间的动摩擦因数为 A .2 B . 6 C . 3 D . 2

17.如图,半圆形光滑轨道固定在水平地面上,半圆的直径与地面垂直。一小物快以速度 v 从轨道下端滑入轨道,并从轨道上端水平飞出,小物快落地点到轨道下端的距离与 轨道半径有关,此距离最大时。对应的轨道半径为(重力加速度大小为g ) A .2 16v g B .28v g C .24v g D .22v g 18.如图,虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场,P 为磁场边界上的一点。 大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点,在纸面内沿不同的方向射入磁场。若粒子射入速率为1v ,这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上;若粒子射入速率为2v ,相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则21:v v 为 A 2 B C D .3 19.如图,海王星绕太阳沿椭圆轨道运动,P 为近日点,Q 为远日点,M 、N 为轨道短轴的 两个端点,运行的周期为0T 。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用,则海王星在从P 经过M 、Q 到N 的运动过程中 A .从P 到M 所用的时间等于0/4T B .从Q 到N 阶段,机械能逐渐变大 C .从P 到Q 阶段,速率逐渐变小 D .从M 到N 阶段,万有引力对它先做负功后做正功 20.两条平行虚线间存在一匀强磁场,磁感应强度方向与纸面垂直。边长为0.1 m 、总电 阻为0.005 Ω的正方形导线框abcd 位于纸面内,cd 边与磁场边界平行,如图(a )

2019国家公务员行测理科题常用技巧汇编

2019国家公务员行测理科题常用技巧汇编 近三年国考来看该部分难度较稳定,题型较多,考察的知识面 更广,而且出题越来越灵活,有弱化十大基本题型的趋势。由此可见,国考对考生的综合素质要求相当之高,若没能掌握一定的技巧解题, 会耗费很长时间。而在这其中重点考察的方法依然是六大思想:整除 思想、特值思想、比例思想、方程思想、盈亏思想和极限思想。下面 我们来看两个真题: 例1.某单位原有45名职工,从下级单位调入5名党员职工后, 该单位的党员人数占总人数的比重上升了6个百分点,如果该单位又 有2名职工入党,那么该单位现在的党员人数占总人数的比重为多少?【方程思想】 A.40% B.50% C.60% D.70% 【解析】B。方程思想,设单位原有45名职工中党员人数有x人,比重为x/45;现有党员职工x+5名,总人数有45+5=50名,所以比重变为(x+5)/50,根据条件得到方程:(x+5)/50-x/45=6%;求解得x=18。所以现在党员人数比重为:(18+5+2)/50*100%=50%。 例2.两个派出所某月内共受理案件160起,其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件,乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件, 问乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件?【整除思想】 A、48 B、60 C、72 D、96 【解析】A。整除思想,甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件,所以甲派出所刑事案件必须是17的整数倍,总案件数是100的整数倍,总案件为160,所以甲派出所只能是100件,乙派出所就剩60件,20%是刑事案件,80%是非刑事案件,共48件。 二、接下来看资料分析部分。

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