《最优化方法》复习题(含答案)
附录5 《最优化方法》复习题 1、设n n A R ?∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，求1()2 T T f x x Ax b x c =++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵． 解 2(),()f x Ax b f x A ?=+?=． 2、设()()t f x td ?=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求()t ?''． 解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ??'''=?+=?+． 3、设方向n d R ∈是函数()f x 在点x 处的下降方向，令 ()()()()() T T T T dd f x f x H I d f x f x f x ??=--???， 其中I 为单位矩阵，证明方向()p H f x =-?也是函数()f x 在点x 处的下降方向． 证明 由于方向d 是函数()f x 在点x 处的下降方向，因此()0T f x d ?<，从而 ()()()T T f x p f x H f x ?=-?? ()()()()()()()() T T T T T dd f x f x f x I f x d f x f x f x ??=-?--???? ()()()0T T f x f x f x d =-??+?<， 所以，方向p 是函数()f x 在点x 处的下降方向． 4、n S R ?是凸集的充分必要条件是12122,,,,,,,,m m m x x x S x x x ?≥?∈L L 的一切凸组合都属于S ． 证明 充分性显然．下证必要性．设S 是凸集，对m 用归纳法证明．当2m =时，由凸集的定义知结论成立，下面考虑1m k =+时的情形．令1 1k i i i x x λ+==∑， 其中,0,1,2,,1i i x S i k λ∈≥=+L ，且1 1 1k i i λ+==∑．不妨设11k λ+≠（不然1k x x S +=∈， 结论成立），记11 1k i i i k y x λλ=+=-∑ ，有111(1)k k k x y x λλ+++=-+，
偏导数 在数学中，一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。 函数f关于变量x的偏导数写为或。偏导数符号是圆体字母，区别于全导数符号的 正体d。这个符号是阿德里安-马里·勒让德介入的并在雅可比的重新介入后得到普遍接受。 简介 假设?是一个多元函数。例如： f(x,y) = x2 + xy + y2。 f = x2 + xy + y2的图像。我们希望求出函数在点（1, 1, 3）的对x的偏导数；对应的切线与xOz平面平行。 因为曲面上的每一点都有无穷多条切线，描述这种函数的导数相当困难。偏导数就是选择其中一条切线，并求出它的斜率。通常，最感兴趣的是垂直于y轴（平行于xOz平面）的切线，以及垂直于x轴（平行于yOz平面）的切线。 定义
这是右图中y = 1时的图像片段。 一种求出这些切线的好办法是把其他变量视为常数。例如，欲求出以上的函数在点（1, 1, 3）的与xOz平面平行的切线，我们把变量y视为常数。右图中显示了函数的图像以及这个平面。左图中显示了函数在平面y = 1上是什么样的。通过求出这个图中的切线，我们发现?在点（1, 1, 3）的与xOz平面平行的切线的斜率是3。我们把它记为： 在点（1, 1, 3），或称“f在（1, 1, 3）的关于x的偏导数是3”。 定义 函数f可以解释为y为自变量而x为常数的函数： 。 也就是说，每一个x的值定义了一个函数，记为f x，它是一个一元函数。也就是说： f x(y) = x2 + xy + y2。 一旦选择了一个x的值，例如a，那么f(x,y)便定义了一个函数f a，把y映射到a2+ ay + y2： f a(y) = a2 + ay + y2。 在这个表达式中，a是常数，而不是变量，因此f a是只有一个变量的函数，这个变量是y。这样，便可以使用一元函数的导数的定义： f a'(y) = a + 2y。
三. 设z =u 2+v 2, 而u =x +y , v =x -y , 求x z ??, y z ??. 解 x v v z x u u z x z ?????+?????=??=2u ?1+2v ?1=2(u +v )=4x , y v v z y u u z y z ?????+?????=??=2u ?1+2v ?(-1)=2(u -v )=4y . 四. 设z =arcsin(x - y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dt dz . 解 dt dy y z dt dx x z dt dz ???+???=2 2 212)(113)(11t y x y x ?---+?--= 2 32) 43(1) 41(3t t t ---=. 五. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数): (1) u =f (x , xy , xyz ). 解 yz f y f f x u ?'+?'+?'=??3211321f yz f y f '+'+'=, 3232f xz f x xz f x f y u '+'=?'+?'=??, 33f xy xy f z u '=?'=??. (2)(, )x y w f y z = ; 解 1211()()w x y f f f x x y x z y ???'''=?+?=???, 12()()w x y f f y y y y z ???''=+????2121f z f y x '+'-=, 12()()w x y f f z z z z z ???''=+????22f z y ' ?-=. 六. 设022=-++xyz z y x , 求x z ??及y z ??. 解 令xyz z y x z y x F 22),,(-++=, 则 xyz yz F x - =1, xyz xz F y -=2, xyz xy F z -=1,
偏导数与全导数偏微分与全微分的关系 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
1。偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率 几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在d e t a x趋进于0时偏增量的线性主要部分d e t a z=f x（x,y）d e t a x+o(d e t a x) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分
全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系d z=A d x+B d y其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导 希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 d z/d t=(偏z/偏u)(d u/d t)+(偏z/偏v)(d v/d t) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。 对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数
习题8-2 1. 求下列函数的偏导数: (1) z =x 3y -y 3x ; 解 323y y x x z -=??, 233xy x y z -=??. (2)uv v u s 22+=; 解 21)(u v v u v v u u u s -=+??=??, 2 1)(v u u u v v u v v s -=+??=??. (3))ln(xy z =; 解 x y x y x x x z 1ln ln 121)ln ln (?+?=+??=??) ln(21xy x =. 同理) ln(21xy y y z =??. (4) z =sin(xy )+cos 2(xy ); 解 y xy xy y xy x z ?-?+?=??)]sin([)cos(2)cos()]2sin()[cos(xy xy y -= 根据对称性可知 )]2sin()[cos(xy xy x y z -=??. (5)y x z tan ln =; 解 y x y y y x y x x z 2csc 21sec tan 12=??=??, y x y x y x y x y x y z 2csc 2sec tan 12 22-=- ??=??. (6) z =(1+xy )y ; 解 121)1()1(--+=?+=??y y xy y y xy y x z , ]1)1[ln()1ln()1ln(xy x y xy e e y y z xy y xy y +?++=??=??++
]1)1[ln()1(xy xy xy xy y ++ ++=. (7)z y x u =; 解 )1(-=??z y x z y x u , x x z z x x y u z y z y ln 11ln ?=?=??, x x z y z y x x z u z y z y ln )(ln 22?-=-=??. (8) u =arctan(x -y )z ; 解 z z y x y x z x u 21)(1)(-+-=??-, z z y x y x z y u 21)(1)(-+--=??-, z z y x y x y x z u 2)(1)ln()(-+--=??. 2. 设g l T π2=, 试证0=??+??g T g l T l . 解 因为l g l T ??=??1π, g g g l g T 1)21(223 ?-=?-?=??-ππ, 所以 0=?-?=??+??g l g l g T g l T l ππ. 3. 设)11(y x e z +-=, 求证z y z y x z x 222=??+??. 解 因为2)11(1x e x z y x ?=??+-, 2)1 1(1 y e y z y x ?=??+-, 所以 z e e y z y x z x y x y x 2)11()11(22=+=??+??+-+- 4. 设y x y x y x f arcsin )1(),(-+=, 求)1 ,(x f x .
1。偏导数 代数意义 偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数 对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率 对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率 几何意义 对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分 偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在detax趋进于0时偏增量的线性主要部分 detaz=fx（x,y）detax+o(detax) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分 这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分 全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量 全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分
同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系 dz=Adx+Bdy 其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导 希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3.全导数 全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。 u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 dz/dt=(偏z/偏u)(du/dt)+(偏z/偏v)(dv/dt) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。 对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数 如果z=f(x^2,2^x) 只有这种情况下dz/dx才是全导数！
偏导数与全微分习题 1. 设y x y x y x f arcsin )1(),(-+=，求)1,(x f x '。 2. 习题8 17题。 3. 设?? ??? =+≠++=0 001sin ),(22222 2 y x y x y x y y x f ，考察f (x , y )在点（0,0）的偏导数。 4. 考察?? ??? =+≠++=0 001sin ),(22222 2 y x y x y x xy y x f 在点 （0,0）处的可微性。 5. 证 明 函 数 ?? ???=+≠+++=0 001sin )(),(222 22 22 2y x y x y x y x y x f 在 点（0,0）连续且偏导数存在，但偏导数在（0,0）不连续，而f (x , y )在点（0,0）可微。 }
1． 设y x y x y x f arcsin )1(),(-+=，求)1,(x f x '。 y y x y x y y x f x 1) (2111 )1(1),(21 ??- -+='- ∴ 1)1,(='x f x 。 ： &
2.习题8 17题。 17. 设22)()(ln b y a x z -+-=（a , b 为常数），证明 02 22 2=??+??y z x z 。 先化简函数 ))()ln((2 1 22b y a x z -+-=， ， 2 222)()() ()()()(221b y a x a x b y a x a x x z -+--= -+--?=??， 2222) ()() ()()()(221b y a x b y b y a x b y y z -+--=-+--?=??， 2 22 2 222 2))()(()(2)()(b y a x a x b y a x x z -+----+-= ?? 2 22 22) )()(()()(b y a x a x b y -+----= ， 2 222 222 2))()(()(2)()(b y a x b y b y a x y z -+----+-= ?? 2 2222) )()(()()(b y a x b y a x -+----= ， ∴ 02 22 2=??+ ??y z x z 。 3. $
高等数学的内容基本可划分为一元函数和多元函数两大块，其中多元函数包括多元函数微分学和多元函数积分学，而偏导数的计算是多元函数微分学的基础。所谓偏导数就是将多元函数中的某个自变量看作变量，而将其它自变量看作常量，对该变量的导数就称为多元函数对它的偏导数。计算偏导数的方法有多种，下面考研数学的蔡老师对这些不同的方法做些分析和比较，供学习高等数学和复习考研数学的同学们参考。 一，求偏导数的三种方法 求多元函数在某点处的偏导数有以下三种方法： 1）定义求导：按偏导数的定义计算，f x ’(x 0，y 0)=lim x→x 0f(x ，y 0)?f(x 0，y 0)x?x 0 （或lim ?x→0f(x 0+?x ，y 0)?f(x 0，y 0)?x ，?x 也可用字母表示，如t ，h ，x 等） f y ’(x 0，y 0)=lim y→y 0f(x 0，y)?f(x 0，y 0)y?y 0 （或 lim ?y→0f(x 0，y 0+?y)?f(x 0，y 0)?y ） 2） 先求导后代值：先求偏导数，再带入该点坐标，即先按偏导数的运算法则求出f x ’(x ，y)和f y ’(x ，y) ，再将(x ，y)用(x 0，y 0)代入得f x ’ (x 0，y 0) 和f y ’(x 0，y 0)； 3）先代值后求导：先将非偏导变量值代入，再按一元函数求导数的方法求导，即先将y =y 0代入z =f(x ，y)得z =f(x ，y 0),再按一元函数对x 求导的方法计算得f x ’(x 0，y 0)，同理可求f y ’(x 0，y 0) 二，典型题型分析 例1.设f(x ，y)=x 2+y 4+y ，求ef ex | (0,0), ef ey | (0,0) 。 解：先求偏导再代值：ef ex =2x ，ef ey =4y 3+1，ef ex | (0,0)=0，ef ey | (0,0)=1。 注：此题也可按另外两种方法计算。 例2.已知f(x ，y)={xy x 2+y 2，(x,y)≠(0,0) 0 ，(x,y )=(0,0) , 求ef ex | (0,0), ef ey | (0,0) 。 解：由偏导数的定义得 ef ex | (0,0)=lim x→0f (x,0)?f(0,0)x =lim x→00x =0 , 同理 ef ey | (0,0)=0 也可按先代值再求导的方法计算：由 f (x,0)=0，所以ef ex | (0,0)=0 ， 同理 ef ey | (0,0)=0 注：此题中函数是一个分段函数，不能像普通函数那样先求偏导再代值计算。
附录5 《最优化方法》复习题 1、设n n A R ?∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，求1()2 T T f x x Ax b x c =++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵． 解 2(),()f x Ax b f x A ?=+?=． 2、设()()t f x td ?=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求()t ?''． 解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ??'''=?+=?+． 3、设方向n d R ∈是函数()f x 在点x 处的下降方向，令 ()()()()() T T T T dd f x f x H I d f x f x f x ??=--???， 其中I 为单位矩阵，证明方向()p H f x =-?也是函数()f x 在点x 处的下降方向． 证明 由于方向d 是函数()f x 在点x 处的下降方向，因此()0T f x d ?<，从而 ()()()T T f x p f x H f x ?=-?? ()()()()()()()() T T T T T dd f x f x f x I f x d f x f x f x ??=-?--???? ()()()0T T f x f x f x d =-??+?<， 所以，方向p 是函数()f x 在点x 处的下降方向． 4、n S R ?是凸集的充分必要条件是12122,,,,,,,,m m m x x x S x x x ?≥?∈L L 的一切凸组合都属于S ． 证明 充分性显然．下证必要性．设S 是凸集，对m 用归纳法证明．当2m =时，由凸集的定义知结论成立，下面考虑1m k =+时的情形．令1 1k i i i x x λ+==∑， 其中,0,1,2,,1i i x S i k λ∈≥=+L ，且1 1 1k i i λ+==∑．不妨设11k λ+≠（不然1k x x S +=∈， 结论成立），记11 1k i i i k y x λλ=+=-∑ ，有111(1)k k k x y x λλ+++=-+，
高等数学下册讲稿第四章数学分析教研室 第二节偏导数 教学目的： (1) 理解多元函数偏导数的概念； (2)掌握偏导数和高阶偏导数的求法的四则运算法则和复合函 数的求导法则 ; (3)了解混合偏导数与求导次序无关的充分条件。 教学重点：偏导数和高阶偏导数的求法 教学难点：偏导数存在性的讨论 教学方法：讲练结合 教学时数： 2 课时 一、偏导数的定义及其计算 在研究一元函数时，从研究函数的变化率引入了导数的概念，对于多元函数同样需要讨论它的变化率。由于多元函数不止一个自变量，研究起来要复杂得多。但是，我们可考虑多 元函数关于其中一个自变量的变化率，例如: 理想气体的体积：V k T , p 因此，我们引入下面的偏导数概念。 1、偏导数的定义 定义 2.1 设函数 z f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内有定义，当y固定在 y0，而 x 在 x0处有增量x 时，相应地函数有增量： f ( x0x, y0) f ( x0 , y0 ) ， 如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x , y ) 存在，则称此极限为函数z f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 0 x x的偏导数，记为 z， f x ( x0, y0)x ， z x (x0 , y0 ) 或f x( x0, y0). ( x0 , y0 ) 即 f x ( x0 f ( x0 x, y0 ) f (x0 , y0 ) d f ( x, y0 ) x x。 , y0 ) lim x dx x 0 0 同理可定义函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处对y的偏导数，为 lim f (x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) y 0 y
第十四章 偏导数与全微分 §1. 偏导数与全微分的概念 1．求下列函数的偏导数： (1) 2 2 2 ln()u x x y =+； (2) ()cos()u x y xy =+； (3) arctan x u y =； (4) sin()xy u xye =. 2．设22 22 221sin , 0,(,)0, 0.y x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，考察函数在(0,0)点的偏导数. 3 ．证明函数u =(0,0)点连续但偏导数不存在. 4．求下列函数的全微分： (1) u = (2) yz x u xe e y -=++.
5．求下列函数在给定点的全微分： (1) u =在点(1,1,1)； (2) (u x y =+-0，1）. 6．证明函数22222 22, 0,(,) 0, 0.x y x y f x y x y x y ?+≠?=+??+=? 在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。 7 ．证明：函数22 220(,)0, 0x y f x y x y +≠=+=?在点(0, 0)处偏导数存在，但不可微. 8．设,x y 很小，利用全微分推出下列式(1)(1)m n x y ++的近似公式：
9．求下列函数指定阶的偏导数： (1) 3 3 sin sin u x y y x =+,求633u x y ???； (2) ln()u ax by =+,求m n m n u x y +???. §2. 求复合函数偏导数的链式法则 1．求下列函数指定的偏导数： （1）．设(,,),x y z Φ=Φ ,,,x u v y u v z uv =+=-=求, u v ?Φ?Φ ??. （2） 设),,22(xyz z y x f z --=求x z ?? 2. 求下列函数指定的偏导数（假定所有二阶偏导数都连续） (1) 2 2 (,)u f xy x y =，22u x ?? ； (2) (,)x y u f y z =,2u x y ???； (3) 2 2 2 ()u f x y z =++,22u y ??； (4) (,,)x u f x y xy y =+,2u y x ???.
第十三讲：多元函数的偏导数与全微分的练习题答案 一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1． 设2(,)f x y x y xy y +-=+ 则(,)f x y = （A ） A ． ()2x x y - B ．2xy y + C ．()2 x x y + D ．2x xy - 解： (,)()f x y x y x y y +-=+ []1()()()2 x y x y x y = ++-- (,)()2x f x y x y ∴=- 2． 22 1cos lim 1x x y o e y x y →→++= （D ） A ． 0 B ．1 C ． 1e D ． 2 e 解：22cos (,)1x e y f x y x y =++在点（1，0）连续 '221cos cos 0lim 11102x x y o e y e e x y →→∴==++++ 3．设(,) f x y 在点00(,)x y 处有偏导数存在，则0000(2,)(,)lim h o f x h y f x h y h →+--=（D ） A ．0 B ．'00(,)x f x y C ．'002(,)x f x y D ．'003(,)x f x y 解：原式=0000(2,)(,)lim 22h o f x h y f x y h →+-? 0000(,)(,)lim h o f x h y f x y h →--+- ='''0000002(,)(,)3(,)x x x f x y f x y f x y += 4．(,)z f x y =偏导数存在是(,)z f x y =可微的 （B ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充分必要条件 D ．无关条件
多元函数微分学习题五 1、设函数z z x y =(,)由方程yz xyz yz -=≠ln()()21所确定，求 ??22 z y 。 2、设函数z z x y =(,)由方程x z z y =?? ???ln 所确定，求???2z x y 。 3、设函数z z x y =(,)由方程e z x y z +-=sin 2所确定，求???2z x y 。 4、设函数z z x y =(,)由方程12++-=x y z e z 所确定，求???2z x y 。 5、设函数z z x y =(,)由方程e x z y z +=+2 1所确定，求???2z x y 。 6、设函数z z x y =(,)由方程x y z z x y 2 2 2 9+++-+=所确定，求???2z x y 。 7、设函数z z x y =(,)由方程e z xy z +=+1所确定，求???2z x y 。 8、设函数u u x y =(,)由方程u e xy u +=所确定，求???2u x y 。 9、设u x yz =23,其中z z x y =(,)是由方程x y z xyz 222 30++-=所确定的可微函数， 且z (,)11 1=,求??u y x y ==11 。 10、设函数y y x =()由方程10+-+=-xy e e xy xy ln()所确定，求 d d y x 和 d d 22y x 。 11、设函数y y x =()由方程x y e x y +=-所确定，求 d d y x 和 d d 22 y x 。 12、函数y y x =()由方程x xy y 2 2 21+-=所确定，求 d d 22 y x 。 13、函数y y x =()由方程x xy y 223++=所确定，求 y y '', 。 14、函数z z x y =(,)由方程z y xe y z +-=+1cos 所确定，求 2 2x z ??。
第二节 偏导数 教学目的：(1) 理解多元函数偏导数的概念； (2) 掌握偏导数和高阶偏导数的求法的四则运算法则和复合函 数的求导法则; (3) 了解混合偏导数与求导次序无关的充分条件。 教学重点：偏导数和高阶偏导数的求法 教学难点：偏导数存在性的讨论 教学方法：讲练结合 教学时数：2课时 一、偏导数的定义及其计算 在研究一元函数时，从研究函数的变化率引入了导数的概念，对于多元函数同样需要讨论它的变化率。由于多元函数不止一个自变量，研究起来要复杂得多。但是，我们可考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，例如: 理想气体的体积：,T V k p = 因此，我们引入下面的偏导数概念。 1、偏导数的定义 定义2.1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y ，而x 在0x 处有增量x ?时，相应地函数有增量：),(),(0000y x f y x x f -?+， 如果x y x f y x x f x ?-?+→?) ,(),(lim 00000 存在，则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对 x 的偏导数，记为 00(,)x y z x ??，00(,) x y f x ??，00(,)x z x y 或),(00y x f x . 即0000000 (,)(,)(,)lim x x f x x y f x y f x y x ?→+?-=?0 0d (,)d x x f x y x ==。 同理可定义函数),(y x f z =在点),(00y x 处对 y 的偏导数，为 y y x f y y x f y ?-?+→?) ,(),(lim 00000 记为 00(,) x y z y ??， 00(,) x y f y ??，00(,)y z x y 或00(,)y f x y . 即00(,)y f x y 00000 (,)(,)lim y f x y y f x y y ?→+?-=?0 0d (,) d y y f x y y ==。
求偏导数的方法小结 （应化2，闻庚辰，学号：130911225） 一， 一般函数： 计算多元函数的偏导数时， 由于变元多， 往往计算量较大． 在求某一点的偏导数时 ， 一般的计算方法是， 先求出偏 导函数， 再代人这一点的值而得到这一点的偏导数． 我们发 现 ， 把部分变元的值先代人函数中， 减少变元的数量， 再计 算偏导数， 可以减少运算量。 求函数f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数f ’x(a,b)及f ’y(a,b)的方法是： 1) 先求出偏导数的函数式，然后将（a,b ）代入计算即可. 2) 先求出g(x)=f(x,b)和h(y)=f(a,y),再求出g ’(b),h ’(a)便得到f ’x(a,b)和f ’y(a,b). 3) 若函数f(x,y)是分段函数则一般采用定义来做. 复合具体函数的导数求解: 基本法则：x z ??=u z ??x u ??+v z ??x v ?? y z ??=u z ??y u ??+v z ??y v ?? 其本质与一元函数的求导法则是一样的，只不过是将暂时不求的变量看成常量而已。 例1 ：z=f(x,y)=(x+y)xy ,求f ’ x （1，1），f ’y （1，0）； 法一：设u=x+y,v=xy,则z=u v 函数的复合关系为：z 是u,v 的函数，u,v 分别是x,y 的函数. 则：x z ??=u z ??x u ??+v z ??x v ?? =xy(x+y)xy-1+y(x+y)xy ln(x+y) =y(x+y)xy [)(y x x +ln(x+y)]
f ’ x (x,y)= y(x+y)xy [)(y x x ++ln(x+y)] 所以：f ’ x (1,1)=1+2ln2 由于f(x,y)的表达式中的 x,y 依次轮换，即x 换y 成，同时将换y 成x ，表达式不变，这叫做函数f(x,y)对自变量x,y 交换具有轮换对称性。具有轮换对称性的函数，只要在f ’ x 的表达式中将x,y 调换即得到f ’y 。即：f ’y （x,y ）= y(x+y)xy [)(y x x ++ln(x+y)] 所以f ’y （1，0）=0 法二：由于和一元函数的求导的实质是一样的。我们可以不引入中间变量，对某一自变量求导时，只要把其他自变量看成常数即可。如： Lnz=xyln(x+y) 上式两边求导得： z 1 x z ??=y[ln(x+y)+ )(y x x +] 从而：x z ??=z y[ln(x+y)+ )(y x x +] 所以：f ’ x (1,1)=1+2ln2 有函数的对称轮换性得：f ’y （1，0）=0 例三：我们也可以利用全微分的不变性来解题。 设z=e u sin(v),而u=xy,v=x+y 。求x z ??+y z ??在（1，1）处的值。 dz=d(e u sin(v))= e u sin(v)du+e u cos(v)dv du=d(xy)=ydx+xdy dv=d(x+y)=dx+dy 代入后合并同类项得： dz=(e u sin(v)y+e u cos(v))dx+(e u sin(v)x+ e u cos(v))dy 将点（1，1）代入得： x z ??+y z ??=2e(sin2+cos2). 二，隐函数的求偏导。
偏导数与全导数偏微分与全微分的关系 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
1。偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率 几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在d e t a x趋进于0时偏增量的线性主要部分d e t a z=f x（x,y）d e t a x+o(d e t a x) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分
全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系d z=A d x+B d y其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导 希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 d z/d t=(偏z/偏u)(d u/d t)+(偏z/偏v)(d v/d t) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。
第十章偏微分方程数值解法 偏微分方程问题，其求解十分困难。除少数特殊情况外，绝 大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。 §1差分方法的基本概念 1.1几类偏微分方程的定解问题 椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程 特别地，当 0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又称 为调和方程 Poisson 方程的第一边值问题为 其中 Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线， ΓΩY 称为定解区域，),(y x f ，),(y x ?分别为Ω，Γ上的已知连 续函数。 第二类和第三类边界条件可统一表示为 其中 n 为边界Γ的外法线方向。当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。 抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程 方程可以有两种不同类型的定解问题： 初值问题 初边值问题 其中 )(x ?，)(1t g ，)(2t g 为已知函数，且满足连接条件 边界条件)(),(),(),0(21t g t l u t g t u ==称为第一类边界条 件。 第二类和第三类边界条件为 其中0)(1≥t λ，0 )(2≥t λ。当0)()(21≡=t t λλ时，为第二 类边界条件， 否则称为第三类边界条件。 双曲型方程: 最简单形式为一阶双曲型方程 物理中常见的一维振动与波动问题可用二阶波动方程 描述，它是双曲型方程的典型形式。方程的初值问题为
边界条件一般也有三类，最简单的初边值问题为 1.2差分方法的基本概念 差分方法又称为有限差分方法或网格法，是求偏微分方程定 解问题的数值解中应用最广泛的方法之一。 它的基本思想是：先对求解区域作网格剖分，将自变量的连 续变化区域用有限离散点（网格点）集代替；将问题中出现的连 续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通过用网 格点上函数的差商代替导数，将含连续变量的偏微分方程定解问 题化成只含有限个未知数的代数方程组（称为差分格式）。如果 差分格式有解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解 问题的解，则差分格式的解就作为原问题的近似解（数值解）。 因此，用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以下问题： （1）选取网格； （2）对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式； （3）求解差分格式； （4）讨论差分格式解对于微分方程解的收敛性及误差估计。 下面，用一个简单的例子来说明用差分方法求解偏微分方程 问题的一般过程及差分方法的基本概念。 设有一阶双曲型方程初值问题。 （1） 选取网格： －2h-h0h2h3h 首先对定解区域 }0,),{(≥+∞<<∞-=t x t x D 作网格剖 分，最简单 常用一种网格是用两族分别平行于 x 轴与 t 轴的等距直线 kh x x k ==， (0,1,2,0,1,2,)j t t j k j τ===±±=L L 将D 分成许 多小矩形 区域。这些直线称为网格线，其交点称为网格点，也称为节点， h 和τ 分别称作 x 方向和t 方向的步长。这种网格称为矩形网格。 （2） 对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式： 如果用向前差商表示一阶偏导数，即 其中 1,021<<θθ。
全微分方向导数偏导数与连续四者之间的关系 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
全微分、方向导数、偏导数与连续四者之间的关系 朱丽娜 郑州工业安全职业学院 451192 摘要 本文结合具体实例分三种情况分别讨论了二元函数的全微分、偏导数和连续之间的关系，全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系，任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系，从而得出他们四者之间的所有关系。 关键词 全微分，任意方向上的方向导数，偏导数，连续 对于多元函数的偏导数、方向导数、偏导数和连续等基本概念及其内在联系，既是多元函数微分学中的重难点知识，也是我们教学过程中容易出现的误解和错误盲点．本文就该问题分三种情况、以二元函数为例来加以阐述，以做到加强理解和灵活掌握的目的． 一、 全微分、偏导数和连续三者之间的关系 定理１：（必要条件）如果函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微分，则该函数在点(,)x y 连续且一阶偏导数存在． 定理２：（充分条件）函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对,x y 的一阶偏导数存在且连续，则在该点处必可微分． 读者还可以从可微的定义看到函数在可微点处必连续，但是在函数的连续点处不 一定存在偏导数，当然更不能保证函数在该点可微．如z =在原点连续，但是在该点处偏导数不存在，也不可微． 偏导数存在，函数却不一定可微，也不一定连续． 二、 全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系
定理3：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微分，则在该点处任意方向上的方向导数存在，反之不成立． 例1 ：函数z =在点(0,0)处对,x y 的全微分不存在，但在该点处沿任意方向的方向导数存在． 证明：0(0,0)(,0)(0,0)lim x z z x z x x ?→??-=?? 故z =在点(0,0)处对x 的偏导数不存在， 同理z =在点(0,0)处对y 的偏导数不存在， 由定理1 z =在点(0,0)处对,x y 的全微分不存在． 但z =在点(0,0)处沿任意方向的方向导数为 即任意方向上的方向导数存在． 三、任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系 咱们下面介绍一个更易出错的概念，大多数人以为“若函数在一点处沿任意方向的方向导数存在，则函数在该点处必连续”．这是一个完全错误的概念，如： 例2： 2 222422,0,0,0,xy x y z x y x y ?+≠?=+??+=? 它在任意方向上的方向导数为： 这一结果表明2 222422,00,0xy x y z x y x y ?+≠?=+??+=? 在点(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在． 但是222001lim (0,0)2 y x x x z z x x ++ →→==≠+，即函数在该点不连续． 定理4：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 沿任意方向上的方向导数存在，则在该点处偏导数必存在． 证明：函数在点00(,)x y 的任意方向的方向导数为：
西安文理学院数学系本科毕业论文开题报告
注：此表前4项由学生填写后，交指导教师签署意见，经主管系主任审批后，才能开题。
西安文理学院数学系本科毕业论文进度表
分类号： 西安文理学院数学系学士学位论文 二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论 系院名称数学系 指导老师胡洪萍 学生姓名韩晓莉 学生学号 021******** 专业、班级数学与应用数学06级2班 提交时间二〇一〇年五月二十一 西安文理学院数学系
二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论 韩晓莉 （西安文理学院 数学系，陕西 西安 710065） 摘要： 本文对多元函数微分学中连续、偏导数及可微三个概念之间的关系作了较为详细 的论述，并给出了简洁全面的证明，同时给出相应的反例加以说明，用实例说明了它们的无关性与在一定条件下所具有的共性. 关键词： 二元函数；连续；偏导数；可微 多元函数微分学的内容与一元函数微分学的内容大体上是平行的，但在注意多元函数与一元函数的共性的同时，特别要注意多元函数所具有的特性.二元函数的连续性、偏导数及可微性是数学分析中的一个重要概念，在一般的教材中对于该部分内容的介绍比较粗略，比较浅显，本文就二元函数连续性、偏导数及可微性在教材相关内容的基础上进行进一步的探讨、研究，对教材内容做一些适当的补充和扩展，为后继课程的学习奠定基础. 1 二元函数连续、偏导、可微的定义 定义1 设f 为定义在点集2D R ?上的二元函数,0P D ∈(它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点).对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要 0(;) P U P D δ∈，就有 0()(),f P f P ε-< 则称f 关于集合D 在点0P 连续，也称f 在点0P 连续. 若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数. 定义2 设函数()y x f z ,=在点),(00y x 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y ，而x 在0x 处有增量x ?时，相应地函数有增量 ()()0000,,y x f y x x f -?+ 如果极限()() x y x f y x x f x ?-?+→?00000 ,,lim 存在，则称此极限为函数()y x f z ,=在点 ),(00y x 处对x 的偏导数.