福州一中2014-2015学年高三校质检试卷
理 科 数 学
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考
题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟． 参考公式：
样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式
V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V =Sh 2
4S R =π，343
V R =
π 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集R U =，}0)3(|{<+=x x x M ，}1|{-<=x x N ，则图中阴影部分表示的集合为 A ．}03|{<<-x x B ．}1|{-≥x x
C ．}3|{-≤x x
D ．}01|{<≤-x x （第1题图）
2.若
11a i i i
+=-（i 为虚数单位），则a 的值为 A . i B . i - C . 2i - D . 2i 3.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为1
2
y x =±
，则该双曲线的离心率等于 A ．5 B ．5 C ．
2
5
D ．45
4.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和， 则
32
53
S S S S --的值为
A ．2
B ．3
C ．2-
D ．3-
5.下列判断不正确的是
A ．若)25.0,4(~
B ξ，则1=ξE
B ．命题“2,0x R x ?∈≥”的否定是“2
00,0x R x ?∈<”
C ．从匀速传递的产品生产线上，检查人员每隔5分钟从中抽出一件产品检查，这样的抽样是系统抽样
D ．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，这组数据的中位数与众数相等 6.函数()()sin 0,2f x x πω?ω???
=+><
??
?
的最小正周期是π，
若其图象向右平移6
π
个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象 A ．关于点,012π??
???
对称 B ．关于直线12x π=对称
C ．关于点)0,6
(
π
对称 D ．关于直线6
π
=
x 对称
7．设点（,a b ）是区域40
00x y x y +-≤??
>??>?内的任意一点，则函数2()41f x ax bx =-+在区间
[1,)+∞上是增函数的概率为
A
B
C
D
8.如图，在棱长均为2的四棱锥P ABCD -中，点E 为 PC 的中点，则下列命题正确的是（ ）
A ．BE ∥平面PAD ，且直线BE 到平面PAD
B ．BE ∥平面PAD ，且直线BE 到平面PAD
的距离为
3
C .BE 与平面PA
D 不平行，且直线B
E 与平面PAD 所成的角大于
30 第8题图 D .BE 与平面PAD 不平行，且直线BE 与平面PAD 所成的角小于
30 9．称(,)||d a b a b =-为两个向量,a b 间的“距离”.若向量,a b 满足： ①||1b =； ②a b ≠； ③对任意的t R ∈，恒有(,)(,)d a tb d a b ≥． 则以下结论一定成立的是
A ．a b ⊥
B ．()b a b ⊥-
C ．()a a b ⊥-
D ．()()a b a b +⊥-
10．已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点
(1,0)的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的
直线l 有且只有三条的必要条件是
A ．(0,1]r ∈
B ．(1,2]r ∈
C ．3(,4)2r ∈
D ．3
[,)
2
r ∈+∞
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
11．若4
(4),0(),(2012)cos ,0x
f x x f x f tdt x π
->??
==?≤???则 ．
12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 ．
13．在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时 该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且90POQ ∠=， 再过两分钟后，该物体位于R 点，且30QOR ∠=， 则tan OPQ ∠的值为 ．
14．在2015
(2)
x -的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，则当2x =时，S 等
于 ．
15．已知a 为[0,1]上的任意实数，函数1()f x x a =-，2
2()1f x x =-+，32
3()f x x x =-+． 则以下结论：
①对于任意0∈x R ，总存在)(x ，)(x ({,}i j ?≠{1,2,3})，使得00()()0i j f x f x ≥； ②对于任意0∈x R ，总存在)(x ，)(x ({,}i j ?≠{1,2,3})，使得00()()0i j f x f x ≤； ③对于任意的函数)(x ，)(x ({,}i j ?≠{1,2,3})，总存在0∈x R ，使得00()()0i j f x f x >； ④对于任意的函数)(x ，)(x ({,}i j ?≠{1,2,3})，总存在0∈x R ，使得00()()0i j f x f x <． 其中正确结论的序号是 ．（填上你认为正确的所有答案序号）
(第12题图)
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）
甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：
（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；
（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X ，求随机变量X 的分布列和期望EX ．
17．（本小题满分13分）
如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，设AC 与BD
相交于点O ，若0
60=∠=∠DBF DAB ，且FC FA =.
（Ⅰ）求证：FC ∥∥平面EAD ； （Ⅱ）求二面角A FC B --的余弦值.
（第17题图）
18．（本小题满分13分）
设m R ∈，函数
（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；
（Ⅱ）设锐角△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，
，求()f A 的取值范围．
E
A B C
D
F
O
19．（本小题满分13分）
已知(2, 0)A -，(2, 0)B 为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异
于A ，B 的动点，且APB ?面积的最大值为
（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．
20．（本小题满分14分）
已知函数23
()1
x f x x +=
+，()ln()g x x x p =--. （Ⅰ）求函数()f x 的图象在点11
(,())33
f 处的切线方程；
（Ⅱ）判断函数()g x 的零点个数，并说明理由；
（Ⅲ）已知数列{}n a 满足：03n a <≤，*
n N ∈，且1220153()2015a a a +++=．若不
等式122015()()()()f a f a f a g x +++≤在(,)x p ∈+∞时恒成立，求实数p 的最小值.
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵11a M b ??=
???的一个特征值1所对应的特征向量为10??
???
.
（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线C ：22221x xy y ++=在矩阵M 对应变换作用下得到的新的曲线方程.
（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x t
y t =??=+?
（t 为参数）．在极坐标系（与
直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C
的极坐标方程为)4
π
ρθ=+
.
（Ⅰ）将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 和曲线C 相交于A 、B 两点，求AB 的长.
（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲 已知正数a ，b ，c 满足2
2
2
6a b c ++=． （Ⅰ）求2a b c ++的最大值M ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式1||x x m M +++≥恒成立，求实数m 的取值范围．
福州一中2014-2015学年高三校质检理科数学参考答案
一、选择题：
二、填空题：
11.
2
12. 3132
14. 4029
2 15. ①④
选择题10简解：依题意可设直线l ：1x my =+，（1）代入24y x =，得2440y m y --=，
△=2
16(1)m +，把（1）代入
22)1(r y x =+-设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，
||||AC BD =，即1324||||y y y y -=-，
若1324()y y y y -=--，则1234y y y y +=+，0m =.
即2
2(1)r m =+，故当2r >时，l 有三条．从而本题应该选D .
三、解答题：
16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 5分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2．
1144115516(0)25C C P X C C ===，1
4115528
(1)25
C P X C C ===
， 11
5511
(2)25
P X C C ==
=，…………………10分
8 7 5 6 9
8
2
6
甲 乙
5 5
7 2 5
8 5
随机变量X 的分布列是：
160122525255
EX =?+?+?=．…………………………………………………13分
17.（I ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， 所以BC AD ∥，BF DE ∥.
因为FBC AD 平面?，FBC D 平面?E ，
所以FBC AD 平面∥，FBC DE 平面∥…………………………………………………2分 又AD DE D ?=，EAD AD 平面?，EAD DE 平面?， 所以EAD 平面∥平面FBC 又FBC FC 平面?，
所以EAD FC 平面∥…………………………………………………………………………4分 （II ）连接FO 、FD ,因为四边形BDEF 为菱形，且0
60=∠DBF ， 所以DBF ?为等边三角形，
因为O 为BD 中点.所以BD FO ⊥， 又因为O 为AC 中点,且FC FA =， 所以FO AC ⊥
又AC BD O ?=，所以ABCD FO 平面⊥………………………………………………6分 由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -
设2=AB ，因为四边形ABCD 为菱形，0
60=∠DAB ，
则2=BD ，1=OB ，3==OF OA ，所以
)3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -…8分
所以)0,1,3(),3,0,3(==→
→
CB CF 设平面BFC 的一个法向量
为),,(z y x n =→
，则有?????=?=?→→→→00
CB n CF n ,所以???=+=+03033y x z x ，
令1=x ，则)1,3,
1(--=→
n …………………………………………………………………10分 因为AFC 平面⊥BD ，所以平面AFC 的一个法向量为)0,1,0(OB =→
. 因为二面角B FC --A 为锐二面角，设二面角的平面角为θ，
则5
155
3,cos cos =
-=
??=
><=→
→
→
→
→
→OB
n OB
n OB n θ. 所以二面角B FC --A 的余弦值为
5
15
…………………………………………………13分 18．解：（I
2分
…………………………………4分
5分
，k Z ∈
7分
（II ……………………………………………………………………………………………8分
11分
12分
13分
19.解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，(,0)F c ．
由题意知解得b =1c =．
故椭圆C 的方程为22
143
x y +=.…………………………………………………………4分
?????2
221
22
2, .
a b a a b c ??===+
（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．…………………………………………………5分 证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.
则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．
由22(2),14
3y k x x y =+??
?+=??得2222(34)1616120k x k x k +++-=．
设点P 的坐标为00(,)x y ，则202
1612
234k x k --=+．
所以2
02
6834k x k
-=+，00212(2)34k y k x k =+=+． ……………………………8分 因为点F 坐标为(1, 0)， 当12k =±
时，点P 的坐标为3
(1, )2
±，点D 的坐标为(2, 2)±. 直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=与直线PF 相切． ……………………………………………………………………………………………9分 当12k ≠±
时，则直线PF 的斜率02
04114PF y k k x k ==--. 所以直线PF 的方程为2
4(1)14k
y x k =
--．………………………………………10分
点E 到直线PF
的距离d =
322
228142||14|14|
k k k k k k +-==+-． 又因为||4||BD k = ，所以1
||2
d BD =
． 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．
综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．………13分
20. 解:（Ⅰ）222222
(1)2(3)61
'()(1)(1)x x x x x f x x x +-+--+==++，……………………………1分 21
21199'()1310(1)9
f --+∴=
=-+，又1()33f =，
所以函数()f x 在13x =
的切线方程为913()103
y x -=--， 即933
1010
y x =-
+.……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）
11
'()1()x p g x x p x p x p
--=-
=>-- 当(,1)x p p ∈+时，'()0,g x <所以()g x 在(,1)p p +单调递减； 当(1,)x p ∈++∞时，'()0,g x >所以()g x 在(,1)p p +单调递增；
所以 1x p =+时，min ()(1)1g x g p p =+=+.……………………………………………5分 ①当10p +>，即1p >-时，()g x 的零点个数为0； ②当10p +=，即1p =-时，()g x 的零点个数为1；
③当10p +<即1p <-时，此时(1)0g p +<，(0)ln()0g p =-->，
()ln 0p p p p g p e p e e e +=+-=>（或,()x p g x →→+∞）
因为()g x 在定义域上连续，由零点存在定理及()g x 的单调性，
知()g x 在(,1)p p +有且只有一个零点，()g x 在(1,)p ++∞有且只有一个零点， 所以1p <-时，()g x 的零点个数为2.
综上所述，当1p <-时，()g x 的零点个数为2；1p =-时，()g x 的零点个数为1；1p >-时，()g x 的零点个数为0. …………………………………………………………………9分
(Ⅲ)
1220153()2015,a a a +++=当1220151
3
a a a ==
==时，有1()33f =.
所以1220151
()()()2015()60453
f a f a f a f ++
+=?=.………………………10分
接下来证明:122015()()()6045f a f a f a +++≤.
由(I)知，函数2
3()1x f x x +=+在13x =的切线方程为9331010y x =-+.
而当03x <≤时，2
239331()(3)()0110103
x f x x x x x +=≤-+?--≤+成立. 所以，当03,n a n N *<≤∈时,有9333
()(113)101010
n n n f a a a ≤-+
=-………………12分 所以，1220151220153
()()()[1120153()]6045,
10
f a f a f a a a a ++
+≤
?-+++=
所以，当1220151
3
a a a ==
==时，122015()()()f a f a f a ++
+的最大值为6045.
再由(II)知，min ()1,g x p =+60451,p ∴≤+得6044.p ≥
所以p 的最小值为6044.……………………………………………………………14分
21．解：（1）（Ⅰ）依题意，1111100a b ??????=?
??? ???????，10a b ????
= ? ?????
，所以1a =，0b =.…2分
所以1101M ??=
???.因为det 1M =，所以1
1101M --??= ???
.………………………………4分
（Ⅱ）曲线C ：22221x xy y ++=上任意一点(,)x y 在矩阵M 对应变换作用下
得到'
'
(,)x y ，则''1101x x y y ??????= ? ??? ???????，得''x x y y y ?=+??=??，即'''x x y y y
?=-?
?=??， 代入方程22221x xy y ++=得'2'2
()()1x y +=.
因此，曲线C 在矩阵M 对应变换作用下得到的新的曲线方程为2
2
1x y +=.…………7分 （2）（Ⅰ）由12x t
y t
=??
=+?，得直线l 的直角坐标方程为：210x y -+=.………………2分
由)4
π
ρθ=+
，得cos
cos sin )2sin 2cos 44
π
π
ρθθθθ=+=+， 22sin 2cos ρρθρθ=+，得曲线C 的直角坐标方程为：22(1)(1)2x y -+-=.……4分
（Ⅱ）圆心(1,1)到直线l 的距离
d =
=
，圆的半径R ,
||5
AB ===
.……………………………………………………7分
（3）（Ⅰ）由柯西不等式，2222222()(121)(2)a b c a b c ++++≥++，
即有2
(2)36a b c ++≤，……………………………………………………………………2分 又a 、b 、c 是正数，
∴26a b c ++≤即2a b c ++的最大值为6，
当且仅当121
a b c
==，即当1,2a c b ===时取得最大值．……………………………4分
（Ⅱ）因为1|||1()||1|x x m x x m m +++≥+-+=-，
由题意及（Ⅰ）得，16m -≥，得7m ≥或5m ≤-.
综上，实数m 的取值范围为7m ≥或5m ≤-.……………………………………………7分